学案44空间的垂直关系
导学目标： 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题．
自主梳理
1．直线与平面垂直
(1)判定直线和平面垂直的方法
①定义法．
②利用判定定理：一条直线和一个平面内的两条______直线都垂直，则该直线与此平面垂直．
③推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条直线也______这个平面．
(2)直线和平面垂直的性质
①直线垂直于平面，则垂直于平面内______直线．
②垂直于同一个平面的两条直线______．
③垂直于同一直线的两个平面________．
2．直线与平面所成的角
平面的一条斜线和它在平面内的________所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．
一直线垂直于平面，说它们所成角为________；直线l∥α或l?α，则它们成________角．
3．平面与平面垂直
(1)平面与平面垂直的判定方法
①定义法．
②利用判定定理：一个平面过另一个平面的__________，则这两个平面垂直．
(2)平面与平面垂直的性质
两个平面垂直，则一个平面内垂直于________的直线与另一个平面垂直．
4．二面角的平面角
以二面角棱上的任一点为端点，在两个半平面内分别作与棱________的射线，则两射线所成的角叫做二面角的平面角．
自我检测
1．平面α⊥平面β的一个充分条件是()
A．存在一条直线l，l⊥α，l⊥β
B．存在一个平面γ，γ∥α，γ∥β
C．存在一个平面γ，γ⊥α，γ⊥β
D．存在一条直线l，l⊥α，l∥β
2．(20xx·浙江)设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是() A．若l⊥m，m?α，则l⊥α
B．若l⊥α，l∥m，则m⊥α
C．若l∥α，m?α，则l∥m
D．若l∥α，m∥α，则l∥m
3．(20xx·长沙模拟)对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件：
①存在平面γ，使得α，β都垂直于γ；
②存在平面γ，使得α，β都平行于γ；
③存在直线l?α，直线m?β，使得l∥m；
④存在异面直线l、m，使得l∥α，l∥β，m∥α，m∥β.
其中，可以判定α与β平行的条件有()
A．1个B．2个
C．3个D．4个
4．(20xx·十堰月考)已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是()
A．若m∥α，n∥α，则m∥n
B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
C．若m∥α，m∥β，则α∥β
D．若m⊥α，n⊥α，则m∥n
5．(20xx·大纲全国)已知点E、F分别在正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BB1、CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值为________．
探究点一线面垂直的判定与性质
例1Rt△ABC所在平面外一点S，且SA＝SB＝SC，D为斜边AC的中点．
(1)求证：SD⊥平面ABC；
(2)若AB＝BC.求证：BD⊥平面SAC.
变式迁移1
在四棱锥V—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面V AD是正三角形，平面V AD⊥底面ABCD.证明：AB⊥VD.
探究点二面面垂直的判定与性质
例2(20xx·邯郸月考)如图所示，已知四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面为正方形，O1、O分别为上、下底面的中心，且A1在底面ABCD内的射影是O.求证：平面O1DC⊥平面
ABCD.
变式迁移2(20xx·江苏)如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB ＝AD，∠BAD＝60°，E，F分别是AP，AD的中点．
求证：(1)直线EF∥平面PCD；
(2)平面BEF⊥平面PAD.
探究点三直线与平面，平面与平面所成的角
例3(2009·湖北)如图，四棱锥S—ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD＝2a，AD＝2a，点E是SD上的点，且DE＝λa(0<λ≤2)．
(1)求证：对任意的λ∈(0,2]，都有AC⊥BE；
(2)设二面角C—AE—D的大小为θ，直线BE与平面ABCD所成的角为φ，若tanθtanφ＝1，求λ的值．
变式迁移3(2009·北京)如图，在三棱锥P—ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝AB，∠ABC ＝60°，∠BCA＝90°，点D、E分别在棱PB、PC上，且DE∥BC.
(1)求证：BC⊥平面PAC.
(2)当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成角的正弦值．
(3)是否存在点E使得二面角A—DE—P为直二面角？并说明理由．
转化与化归思想综合应用
例(12分)已知四棱锥P—ABCD，底面ABCD是∠A＝60°的
菱形，又PD⊥底面ABCD，点M、N分别是棱AD、PC的中点.
(1)证明：DN∥平面PMB；
(2)证明：平面PMB⊥平面PAD.
多角度审题(1)在平面PMB内找到(或构造)一条直线与DN平行即可；(2)要证面PMB⊥面PAD，只需证明MB⊥面PAD即可．
【答题模板】
证明(1)
取PB 中点Q ，连接MQ 、NQ ，因为M 、N 分别是棱AD 、PC 的中点，所以QN ∥BC ∥MD ，且QN ＝MD ，故四边形QNDM 是平行四边形，
于是DN ∥MQ.
又∵MQ ?平面PMB ，DN ?平面PMB ∴DN ∥平面PMB.[6分]
(2)∵PD ⊥平面ABCD ，MB ?平面ABCD ，∴PD ⊥MB. 又因为底面ABCD 是∠A ＝60°的菱形，且M 为AD 中点， 所以MB ⊥AD.又AD ∩PD ＝D ，所以MB ⊥平面PAD. 又∵MB ?平面PMB ，∴平面PMB ⊥平面PAD.[12分] 【突破思维障碍】
立体几何的证明问题充分体现线面关系的转化思想，其思路为：
1．证明线面垂直的方法：(1)线面垂直的定义：a 与α内任何直线都垂直?a ⊥α；(2)判
定定理1：
?
???
?m 、n ?α，m ∩n ＝A l ⊥m ，l ⊥n ?l ⊥α；(3)判定定理2：a ∥b ，a ⊥α?b ⊥α；(4)面面平行的性质：α∥β，a ⊥α?a ⊥β；(5)面面垂直的性质：α⊥β，α∩β＝l ，a ?α，a ⊥l ?a ⊥β. 2．证明线线垂直的方法：(1)定义：两条直线的夹角为90°；(2)平面几何中证明线线垂直的方法；(3)线面垂直的性质：a ⊥α，b ?α?a ⊥b ；(4)线面垂直的性质：a ⊥α，b ∥α?a ⊥b.
3．证明面面垂直的方法：(1)利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角；(2)判定定理：a ?α，a ⊥β?α⊥β.
(满分：75分)
一、选择题(每小题5分，共25分) 1．(20xx·滨州月考)已知直线a ，b 和平面α，β，且a ⊥α，b ⊥β，那么α⊥β是a ⊥b 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
2．已知两个不同的平面α、β和两条不重合的直线m 、n ，有下列四个命题：
①若m ∥n ，m ⊥α，则n ⊥α；②若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β；③若m ⊥α，m ∥n ，n ?β，则α⊥β；④若m ∥α，α∩β＝n ，则m ∥n.
其中正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
3．设α，β，γ是三个不重合的平面，l 是直线，给出下列四个命题： ①若α⊥β，l ⊥β，则l ∥α；②若l ⊥α，l ∥β，则α⊥β；
③若l 上有两点到α的距离相等，则l ∥α；④若α⊥β，α∥γ，则γ⊥β. 其中正确命题的序号是( ) A ．①② B ．①④ C ．②④ D ．③④ 4．(20xx·浙江)下列命题中错误的是( )
A ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β
B．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
C．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ
D．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β
5．平面α的斜线AB交α于点B，过定点A的动直线l与AB垂直，且交α于点C，则动点C的轨迹是()
A．一条直线B．一个圆
C．一个椭圆D．双曲线的一支
二、填空题(每小题4分，共12分)
6．如图所示，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱PA＝a，PB ＝PD＝2a，则它的5个面中，互相垂直的面有________对．
7．(20xx·金华模拟)如图所示，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长是1，过A点作平面A1BD的垂线，
垂足为点H，有下列三个命题：
①点H是△A1BD的中心；
②AH垂直于平面CB1D1；③AC1与B1C所成的角是90°.其中正确命题的序号是____________．
8．正四棱锥S－ABCD底面边长为2，高为2，E是边BC的中点，动点P在表面上运动，并且总保持PE⊥AC，则动点P的轨迹的周长为________．
三、解答题(共38分)
9．(12分)(20xx·山东)在如图所示的
几何体中，四边形ABCD是正方形，MA⊥平面ABCD，PD∥MA，E、G、F分别为MB、PB、PC的中点，且AD＝PD＝2MA.
(1)求证：平面EFG⊥平面PDC；
(2)求三棱锥P－MAB与四棱锥P－ABCD的体积之比．
10．(12分)(2009·天津)如图，
在四棱锥P —ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，AD ⊥CD ，DB 平分∠ADC ，E 为PC 的中点，AD ＝CD ＝1，DB ＝2 2.
(1)证明：PA ∥平面BDE ； (2)证明：AC ⊥平面PBD ；
(3)求直线BC 与平面PBD 所成的角的正切值．
11．(14分)(20xx·杭州调研)如图所示，已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为AB 的中点．
(1)求直线B 1C 与DE 所成角的余弦值； (2)求证：平面EB 1D ⊥平面B 1CD ； (3)求二面角E －B 1C －D 的余弦值．
学案44 空间的垂直关系
自主梳理
1．(1)②相交 ③垂直 (2)①任意 ②平行 ③平行 2．射影 直角 0° 3.(1)②一条垂线 (2)交线 4.垂直 自我检测
1．D 2.B 3.B 4.D 5.2
3
课堂活动区
例1 解题导引 线面垂直的判断方法是：证明直线垂直平面内的两条相交直线．即从“线线垂直”到“线面垂直”．
证明
(1)取AB中点E，连接SE，DE，在Rt△ABC中，D、E分别为AC、AB的中点，
故DE∥BC，且DE⊥AB，
∵SA＝SB，
∴△SAB为等腰三角形，∴SE⊥AB.
∵SE⊥AB，DE⊥AB，SE∩DE＝E，
∴AB⊥面SDE.而SD?面SDE，∴AB⊥SD.
在△SAC中，SA＝SC，D为AC的中点，∴SD⊥AC.
∵SD⊥AC，SD⊥AB，AC∩AB＝A，
∴SD⊥平面ABC.
(2)若AB＝BC，则BD⊥AC，
由(1)可知，SD⊥面ABC，而BD?面ABC，
∴SD⊥BD.
∵SD⊥BD，BD⊥AC，SD∩AC＝D，
∴BD⊥平面SAC.
变式迁移1证明∵平面VAD⊥平面ABCD，
AB⊥AD，AB?平面ABCD，
AD＝平面VAD∩平面ABCD，
∴AB⊥平面VAD.
∵VD?平面VAD，∴AB⊥VD.
例2解题导引证明面面垂直，可先证线面垂直，即设法先找到其中一个平面的一条垂线，再证明这条垂线在另一个平面内或与另一个平面内的一条直线平行．
证明如图所示，连接AC，BD，A1C1，则O为AC，BD的交点，O1为A1C1，B1D1的交点．
由棱柱的性质知：
A1O1∥OC，且A1O1＝OC，
∴四边形A1OCO1为平行四边形，
∴A1O∥O1C，
又A1O⊥平面ABCD，∴O1C⊥平面ABCD，
又O1C?平面O1DC，
∴平面O1DC⊥平面ABCD.
变式迁移2
证明(1)如图，在△P AD中，因为E，F分别为AP，AD的中点，所以EF∥PD.又因为EF?平面PCD，PD?平面PCD，
所以直线EF∥平面PCD.
(2)连接BD .因为AB ＝AD ，∠BAD ＝60°，所以△ABD 为正三角形． 因为F 是AD 的中点，所以BF ⊥AD .
因为平面P AD ⊥平面ABCD ，BF ?平面ABCD ， 平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，所以BF ⊥平面P AD . 又因为BF ?平面BEF ，所以平面BEF ⊥平面P AD .
例3 解题导引 高考中对直线与平面所成的角及二面角的考查是热点之一．有时在客观题中考查，更多的是在解答题中考查．
求这两种空间角的步骤：(几何法)．
根据线面角的定义或二面角的平面角的定义，作(找)出该角，再解三角形求出该角，步骤是作(找)→认(指)→求．
(1)证明 如图所示，连接BD ，由底面ABCD 是正方形可得AC ⊥BD . ∵SD ⊥平面ABCD ，∴BD 是BE 在平面ABCD 上的射影，∴AC ⊥BE .
(2)解 如图所示，由SD ⊥平面ABCD ，CD ?平面ABCD ， ∴SD ⊥CD .
又底面ABCD 是正方形， ∴CD ⊥AD .又SD ∩AD ＝D ， ∴CD ⊥平面SAD .
过点D 在平面SAD 内作DF ⊥AE 于F ，连接CF ，则CF ⊥AE ，故∠CFD 是二面角C —AE —D 的平面角，即∠CFD ＝θ.
在Rt △BDE 中，∵BD ＝2a ，DE ＝λa ，
∴tan φ＝DE BD ＝λ
2
.
在Rt △ADE 中，∵AD ＝2a ＝CD ，DE ＝λa ， ∴AE ＝a λ2＋2，
从而DF ＝AD ·DE AE ＝2λa
λ2＋2
.
在Rt △CDF 中，tan θ＝CD
DF ＝λ2＋2λ
，
由tan θ·tan φ＝1，得 λ2
＋2λ·λ
2
＝1?λ2＋2＝2?λ2＝2. 由λ∈(0,2]，解得λ＝2，即为所求．
变式迁移3 (1)证明 ∵P A ⊥底面ABC ，∴P A ⊥BC . 又∠BCA ＝90°，∴AC ⊥BC .又AC ∩P A ＝A ， ∴BC ⊥平面P AC .
(2)解 ∵D 为PB 的中点，DE ∥BC ，∴DE ＝1
2
BC .
又由(1)知，BC ⊥平面P AC ， ∴DE ⊥平面P AC ，垂足为点E .
∴∠DAE 是AD 与平面P AC 所成的角． ∵P A ⊥底面ABC ，∴P A ⊥AB .
又P A ＝AB ，∴△ABP 为等腰直角三角形．
∴AD ＝2
2
AB .
在Rt △ABC 中，∠ABC ＝60°，∴BC ＝1
2
AB .
∴在Rt △ADE 中，sin ∠DAE ＝DE AD ＝BC 2AD ＝2
4
.
∴AD 与平面P AC 所成的角的正弦值为2
4
.
(3)解 ∵DE ∥BC ，又由(1)知，BC ⊥平面P AC ， ∴DE ⊥平面P AC .
又∵AE ?平面P AC ，PE ?平面P AC ， ∴DE ⊥AE ，DE ⊥PE .
∴∠AEP 为二面角A —DE —P 的平面角． ∵P A ⊥底面ABC ，∴P A ⊥AC ，∴∠P AC ＝90°. ∴在棱PC 上存在一点E ，使得AE ⊥PC . 这时，∠AEP ＝90°，
故存在点E 使得二面角A —DE —P 是直二面角． 课后练习区
1．C 2.D 3.C
4．D [两个平面α，β垂直时，设交线为l ，则在平面α内与l 平行的直线都平行于平面β，故A 正确；如果平面α内存在直线垂直于平面β，那么由面面垂直的判定定理知α⊥β，故B 正确；两个平面都与第三个平面垂直时，易证交线与第三个平面垂直，故C 正确；两个平面α，β垂直时，平面α内与交线平行的直线与β平行，故D 错误．]
5．A 6．5
解析 面P AB ⊥面P AD ，
面P AB ⊥面ABCD ，面P AB ⊥面PBC ， 面P AD ⊥面ABCD ，面P AD ⊥面PCD . 7．①②③
解析 由于ABCD —A 1B 1C 1D 1是正方体，所以A —A 1BD 是一个正三棱锥，因此A 点在平面A 1BD 上的射影H 是三角形A 1BD 的中心，故①正确；又因为平面CB 1D 1与平面A 1BD 平行，所以AH ⊥平面CB 1D 1，故②正确；从而可得AC 1⊥平面CB 1D 1，即AC 1与B 1C 垂直，所成的角等于90°.
8.6＋ 2
解析 如图取CD 的中点F ，SC 的中点G ，连接EF ，GF ，GE . 则AC ⊥平面GEF ，故动点P 的轨迹是△EFG 的三边．
又EF ＝1
2DB ＝2，
GE ＝GF ＝12SB ＝6
2
，
∴EF ＋FG ＋GE ＝6＋ 2.
9．(1)证明 因为MA ⊥平面ABCD ， PD ∥MA ，所以PD ⊥平面ABCD .
又BC ?平面ABCD ，所以PD ⊥BC .(2分) 因为四边形ABCD 为正方形， 所以BC ⊥DC .
又PD ∩DC ＝D ，所以BC ⊥平面PDC .(4分)
在△PBC 中，因为G 、F 分别为PB 、PC 的中点，
所以GF ∥BC ，所以GF ⊥平面PDC .又GF ?平面EFG ， 所以平面EFG ⊥平面PDC .(6分)
(2)解 因为PD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，不妨设MA ＝1， 则PD ＝AD ＝2，
所以V P －ABCD ＝13S 正方形ABCD ·PD ＝8
3
.(8分)
由题意可知，DA ⊥平面MAB ，且PD ∥MA ， 所以DA 即为点P 到平面MAB 的距离，
所以V P －MAB ＝13×12×1×2×2＝2
3
.(10分)
所以V P －MAB ∶V P －ABCD ＝1∶4.(12分) 10．(1)证明
设AC ∩BD ＝H ，连接EH .在△ADC 中，因为AD ＝CD ，且DB 平分∠ADC ，所以H 为AC 的中点，又由题设，知E 为PC 的中点，故EH ∥P A .又EH ?平面BDE ，且P A ?平面BDE ，
所以P A ∥平面BDE .(4分)
(2)证明 因为PD ⊥平面ABCD ，AC ?平面ABCD ，所以PD ⊥AC .由(Ⅰ)可得，DB ⊥AC .又PD ∩DB ＝D ，
故AC ⊥平面PBD .(8分)
(3)解 由AC ⊥平面PBD 可知，BH 为BC 在平面PBD 内的射影，所以∠CBH 为直线BC 与平面PBD 所成的角．
由AD ⊥CD ，AD ＝CD ＝1，DB ＝22，可得DH ＝CH ＝22，BH ＝32
2
.
在Rt △BHC 中，tan ∠CBH ＝CH BH ＝1
3
.
所以直线BC 与平面PBD 所成的角的正切值为1
3
.
(12分)
11．(1)解 连接A 1D ，则由A 1D ∥B 1C 知，B 1C 与DE 所成角即为A 1D 与DE 所成角．(2分)
连接A 1E ，可设正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ， 则A 1D ＝2a ，
A 1E ＝DE ＝5
2
a ，
∴cos ∠A 1DE ＝ A 1D 2＋DE 2－A 1E 22·A 1D ·DE ＝10
5
.
∴直线B 1C 与DE 所成角的余弦值是10
5
.(6分)
(2)证明 取B 1C 的中点F ，B 1D 的中点G ， 连接BF ，EG ，GF .∵CD ⊥平面BCC 1B 1， 且BF ?平面BCC 1B 1，∴CD ⊥BF . 又∵BF ⊥B 1C ，CD ∩B 1C ＝C ，
∴BF ⊥平面B 1CD .(8分)
又∵GF 綊12CD ，BE 綊1
2
CD ，
∴GF 綊BE ，∴四边形BFGE 是平行四边形，
∴BF ∥GE ，∴GE ⊥平面B 1CD . ∵GE ?平面EB 1D ，
∴平面EB 1D ⊥B 1CD .(10分) (3)解 连接EF .
∵CD ⊥B 1C ，GF ∥CD ，∴GF ⊥B 1C . 又∵GE ⊥平面B 1CD ，∴GE ⊥B 1C .
又∵GE ∩GF ＝G ，∴B 1C ⊥平面GEF ，∴EF ⊥B 1C ， ∴∠EFG 是二面角E －B 1C －D 的平面角．(12分) 设正方体的棱长为a ，则在△EFG 中，
GF ＝12a ，EF ＝32a ，GE ⊥GF ，∴cos ∠EFG ＝GF EF ＝33
，
∴二面角E －B 1C －D 的余弦值为3
3
.(14分)
《平行关系的性质》教学设计 教材分析: 本节内容在立体几何学习中，具有重要的意义和地位.本节课是在前面已经学习空间点、线、面位置关系的基础上，结合有关的实物模型，通过直观感知、操作确认（合情推理，不要求证明）归纳出平行关系的性质定理.本节课的学习对培养学生空间感与逻辑推理能力起到重要作用。 本节课的设计遵循从具体到抽象的原则，适当运用多媒体辅助教学手段，借助实物模型，通过直观感知、操作确认、合情推理归纳出直线与平面平行的判定定理，将合情推理与演绎推理有机结合，让学生在观察分析、自主探索、合作交流的过程中，揭示直线与平面平行的性质，养成积极主动、勇于探索、自主学习的学习方式，发展学生的空间观念和空间想象力，提高学生的数学逻辑思维能力. 教学目标： 【知识与能力目标】 1. 掌握直线与平面平行的性质定理； 2. 掌握两平面平行的性质定理； 3．能熟练应用直线与平面、平面与平面平行的性质定理解决相关问题． 【过程与方法】 1. 学生通过观察实物及模型，归纳得出直线与平面平行、平面与平面平行的性质定理. 2. 通过读图、识图、画图的过程，培养空间想象能力及运用图形和符号语言进行交流的能 力. 【情感态度与价值观】 学生在观察、探究、发现中学习，在自主、合作、交流中学习.体验学习的乐趣，增强自信心，树立积极地学习态度，提高学习的自我效能感. 教学重难点： 【教学重点】 归纳出直线与平面平行、平面与平面平行的性质定理. 【教学难点】 直线与平面平行、平面与平面平行的性质定理的合情推理及其应用. 课前准备： 课件、学案、实物模型.
教学过程： 一、课题引入： 上节课我们学习了线面平行、面面平行的判定定理.那今天我们一起来线面平行、面面平行的性质定理.也就是如果给你线面平行、面面平行能得到什么结论呢？ 问题1：如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与这个平面内的直线有哪些位 置关系？（观察长方体） 问题2：如果一条直线和一个平面平行，如何在这个平面内做一条直线与已知直线平 行？（可观察教室内灯管和地面） 问题3：若直线a ∥平面α,过直线a 的平面β与平面α有哪些位置关系?当平面β 与平面α相交于直线b 时,直线a 与直线b 有怎样的位置关系?请尝试证明你的结论. 问题4：观察长方体1111D C B A ABCD -，面ABCD 与面1111D C B A 互相平行,那么在面 ABCD 内直线l 与面1111D C B A 是怎样的位置关系?与1111D C B A 面内的直线 是什么位置关系，那你如何找到此面内和l 平行的直线呢？ 二、新课探究： 1．直线和平面平行的性质 文字语言：直线和平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的 任一平面与此平面的交线与该直线平行. 图形语言： 符号语言：//a α,a β?，=α βb //a b ?. 注: 直线和平面平行的性质定理可简述为“若线面平行，则线线平行”．可以用符号表示： 若a ∥α，αβ?，b α β=，则a ∥b ．这个性质定理可以看作直线与直线平 行的判定定理，用该定理判断直线a 与b 平行时，必须具备三个条件：（1）直线a 和平面α平行，即a ∥α；（2）平面α和β相交，即b α β=；（3）直线a
1.2.2 空间中的平行关系(4)——平面与平面平行 自主学习 学习目标 1．掌握两平面平行的定义、图形的画法以及符号表示． 2．理解两平面平行的判定定理及性质定理，并能应用定理．证明线线、线面、面面的平行关系． 自学导引 1．两个平面平行的定义： _______________________________________________________ _________________. 2．平面与平面平行的判定定理： _______________________________________________________ ___. 图形表示： 符号表示： _______________________________________________________ _________________. 推论：如果一个平面内有两条____________分别平行于另一个平面内的__________，则这两个平面平行． 3．平面与平面平行的性质定理
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么____________________________． 符号表示：若平面α、β、γ满足________________________，则a∥b. 上述定理说明，可以由平面与平面平行，得出直线与直线平行． 对点讲练 知识点一平面与平面平行的判定 例1已知E、F、E1、F1分别是三棱柱A1B1C1—ABC棱AB、AC、A1B1、A1C1的中点． 求证：平面A1EF∥平面E1BCF1. 点评要证平面平行，依据判定定理只需要找出一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面即可．另外在证明线线、线面以及 线面平行的判定线面平行面面平行时，常进行如下转化：线线平行―-------→ 面面平行的判定面面平行． ――------→
空间中得垂直关系专题训练 知识梳理 一、线线垂直: 如果两条直线于一点或经过后相交于一点,并且交角为 ,则称这两条直线互相垂直、 二、线面垂直: 1、定义:如果一条直线与一个平面相交,并且与这个 平面内得_________________,则称这条直线与这个平 面垂直、也就就是说,如果一条直线垂直于一个平面, 那么她就与平面内任意一条直线都、直线l与平面 α互相垂直,记作l⊥α、 2、判定定理:如果一条直线与平面内得直线垂直,则这条直线与这个平面垂 直、 推论①:如果在两条平行直线中,有一条垂直于平面,那么另一条直线也于这个平面、 推论②:如果两条直线同一个平面,那么这两条直线平行、 3、点到平面得距离: 长度叫做点到平面得距离、 三、面面垂直: 1、定义:如果两个相交平面得交线与第三个平面 ,又这两个平面与第三个平面相交 所得得两条交线 ,就称这两个平面互相垂直、平面α,β互相垂直,记作α⊥β、 2、判定定理:如果一个平面经过另一个平面得___________,则这两个平面互相垂直、 3、性质定理:如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于直线垂直于另 一个平面、 四、求点面距离得常用方法: 1、直接过点作面得垂线,求垂线段得长,通常要借助于某个三角形、 2、转移法:借助线面平行将点转移到直线上某一特殊点到平面得距离来求解、 3、体积法:利用三棱锥得特征转换位置来求解、 题型一线线垂直、线面垂直得判定及性质 例1、如图,在四棱锥PABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E就是PC得中点、求证: (1)CD⊥AE;
空间中的垂直关系专题训练 知识梳理 一、线线垂直： 如果两条直线于一点或经过后相交于一点，并且交角为，则称这两条直线互相垂直. 二、线面垂直： 1.定义：如果一条直线和一个平面相交，并且和这个 平面内的_________________，则称这条直线和这个平 面垂直. 也就是说，如果一条直线垂直于一个平面，那 么他就和平面内任意一条直线都.直线l和平面 α互相垂直，记作l⊥α. 2.判定定理：如果一条直线与平面内的直线垂直，则这条直线与这个平面垂 直. , 推论①：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也于这个平面. 推论②：如果两条直线同一个平面，那么这两条直线平行. 3.点到平面的距离：长度叫做点到平面的距离. 三、面面垂直： 1.定义：如果两个相交平面的交线与第三个平面，又这两个平面与第三个平面相交 所得的两条交线，就称这两个平面互相垂直.平面α，β互相垂直，记作α⊥β. 2.判定定理：如果一个平面经过另一个平面的___________，则这两个平面互相垂直. 3.性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于直线垂直于 另一个平面. 四、求点面距离的常用方法： 1.直接过点作面的垂线，求垂线段的长，通常要借助于某个三角形. ; 2.转移法：借助线面平行将点转移到直线上某一特殊点到平面的距离来求解. 3.体积法：利用三棱锥的特征转换位置来求解.
题型一线线垂直、线面垂直的判定及性质 例1.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD， AC⊥CD，∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中点.求证： (1)CD⊥AE； @ (2)PD⊥平面ABE. 【变式1】已知：正方体ABCD﹣A1B1C1D1 ，AA1=2，E为棱CC1的中点． （Ⅰ）求证：B1D1⊥AE； （Ⅱ）求证：AC∥平面B1DE． 【解答】（Ⅰ）连接BD，则BD∥B1D1，∵ABCD是正方形，∴AC⊥ BD． ∵CE⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，∴CE⊥BD． 又∵AC∩CE=C，∴BD⊥面ACE．∵AE?面ACE，∴BD⊥AE， ∴B1D1⊥AE．﹣﹣﹣（5分） ~ （Ⅱ）证明：取BB1的中点F，连接AF、CF、EF．∵E、F是C1C、B1B的中点， ∴CE∥B1F且CE=B1F，∴四边形B1FCE是平行四边形，∴CF∥B1E．∵正方形BB1C1C 中，E、F是CC、BB的中点，∴EF∥BC且EF=BC
直线与平面平行的性质 一、教学目标 1.知识与技能 通过教师的适当引导和学生的自主学习，使学生由直观感知获得猜想，经过逻辑论证，推导出直线与平面平行的性质定理，并掌握这一定理． 2.过程与方法 (1)通过直观感知和操作确认的方法，发展几何直觉、运用图形语言进行交流的能力； (2)体会和感受通过自己的观察、操作等活动进行合情推理发现并获得数学结论的过程； (3)通过直线与平面平行的性质定理的实际应用，让学生体会定理的现实意义与重要性． 3.情感、态度与价值观 通过主动参与、积极探究的学习过程，提高学生学习数学的自信心和积极性，培养合作意识和交流能力，领悟化归与转化的数学思想，提高学生分析、解决问题的能力． 二、教学重点与难点 教学重点：直线与平面平行的性质定理． 教学难点：综合应用线面平行的判定定理和性质定理． 三、授课类型：新授课 四、教学方法：师生合作探究 五、教具准备：三角板、PPT 六、课时安排：1课时 七、教学过程 教学内容 师生互动 【回顾旧知】 1.直线与平面的位置关系； 线在面内；线面平行、线面相交（统称为“线在面外”） 2.直线与平面平行判定定理的内容. 通过复习直线与平面平行的判定定理，温故而知新，为后面线线平行与线面平行的相互转化做铺垫． 【新课引入】 思考： 1.如果一条直线a 与平面α平行，那么这条直线与这个平面内的直线有哪些位置关系？ 2.在平面α内，哪些直线与直线a 平行？ 3.在什么条件下，平面α内的直线与直线a 平行呢？ 通过演示实验，让学生观察、发现规律，并对发现的结论进行归纳. 引导学生结合直观感知，层层递进，逐步探索，体会数学结论的发现过程．学生根据问题进行直观感知，进而提出合理猜想．并逐步探索，认真思考，画出相应图形，进行观察、感知、猜想． ααα////a b a b a ??? ? ?? ??思想方法：
空间中的垂直关系(带 答案)
空间中的垂直关系专题训练 知识梳理 一、线线垂直： 如果两条直线于一点或经过后相交于一点，并且交角 为，则称这两条直线互相垂直. 二、线面垂直： 1.定义：如果一条直线和一个平面相交，并且 和这个 平面内的_________________，则称这条直线和这个平 面垂直. 也就是说，如果一条直线垂直于一个平面，那么他就和平面内任意一条直线都 .直线l和平面 α互相垂直，记作l⊥α. 2.判定定理：如果一条直线与平面内的直线垂直，则这条直线 与这个平面垂直. 推论①：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也于这个平面. 推论②：如果两条直线同一个平面，那么这两条直线平行. 3.点到平面的距离：长度叫做点到平面的距离. 三、面面垂直： 1.定义：如果两个相交平面的交线与第三个平面，又这两个平面与第 三个平面相交所得的两条交线，就称这两个平面互相垂直.平面α，β互相垂直，记作 α⊥β. 2.判定定理：如果一个平面经过另一个平面的___________，则这两个平面互相垂直. 3.性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于 直线垂直于另一个平面. 四、求点面距离的常用方法：
1.直接过点作面的垂线，求垂线段的长，通常要借助于某个三角形. 2.转移法：借助线面平行将点转移到直线上某一特殊点到平面的距离来求解. 3.体积法：利用三棱锥的特征转换位置来求解. 题型一线线垂直、线面垂直的判定及性质 例1.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD， A C⊥CD，∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中点.求证： (1)CD⊥AE； (2)PD⊥平面ABE. 【变式1】已知：正方体ABCD﹣A1B1C1D1 ，AA1=2，E为棱CC1的中点． （Ⅰ）求证：B1D1⊥AE； （Ⅱ）求证：AC∥平面B1DE． 【解答】（Ⅰ）连接BD，则BD∥B1D1，∵ABCD是正方形，∴AC⊥ BD．
第四章立体几何--平行及位置关系 一．课标要求： 1．平面的基本性质与推论 借助长方体模型，在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上，抽象出空间线、面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理： ◆公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内； ◆公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面； ◆公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线； ◆公理4：平行于同一条直线的两条直线平行； ◆定理：空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。 2．空间中的平行关系 以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定。通过直观感知、操作确认，归纳出以下判定定理： ◆平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行； ◆一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行； 通过直观感知、操作确认，归纳出以下性质定理，并加以证明： ◆一条直线与一个平面平行，则过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平 行； ◆两个平面平行，则任意一个平面与这两个平面相交所得的交线相互平行； ◆垂直于同一个平面的两条直线平行 能运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题。 二．命题走向 立体几何在高考中占据重要的地位，通过近几年的高考情况分析，考察的重点及难点稳定，高考始终把直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的性质和判定作为考察重点。在难度上也始终以中等偏难为主，在新课标教材中将立体几何要求进行了降低，重点在对图形及几何体的认识上，实现平面到空间的转化，示知识深化和拓展的重点，因而在这部分知识
课题：《空间中的平行关系》复习课 一、教学目标： 1、知识与技能目标： 通过复习三个平行的关系，使学生在《立体几何》的证明中能够正确运用定理证明三个平行，从而使学生重新认识学习立体几何的目的，明确立体几何研究的内容；使学生初步建立空间观念，会看空间图形的直观图；使学生知道立体几何研究问题的一般思想方法。 2、过程与方法目标： 通过背定理、小组互相讨论等环节，使学生形成自主学习、语言表达等能力，以及相互协作的团队精神；通过对具体情形的分析，归纳得出一般规律，让学生具备初步归纳能力；借助图形，通过整体观察、直观感知，使学生形成积极主动、勇于探索的学习方式，完善思维结构，发展空间想象能力。 3、情感、态度、与价值观目标： 在教学过程中培养学生创新意识和数学应用意识，提高学生学习数学的兴趣并注意在小组合作学习中培养学生的合作精神。 二、教学重点与难点： 重点：培养空间想象能力，明确证明空间中的平行关系的一般思想方法，并会应用。 难点：在证明的过程中做辅助线或辅助平面。 三、教学方法：合作探究教学法、引导式教学法 四、学情分析： 1、由于这是复习课，学生已经系统学习了立体几何的知识，本节课就是让学生更深入 地对空间中几何图形的平行位置和数量关系进行推理和计算； 2、学生在学习过程中将会遇到一些问题：不能很好地使用直观图来表示立体图形、不 能准确的做出辅助线、证明过程书写不规范等等。 五、教学过程：
4. 如图，已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，E是棱PD的中点，F是线段CD上任意一点(不包括端点)，平面PBF与平面ACE交于直线GH. 求证：PB∥GH.
空间中的垂直关系 1．线线垂直 如果两条直线所成的角是______(无论它们是相交还是异面)，那么这两条直线互相垂直． 2．直线与平面垂直 (1)定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说______________________，记作______．直线l叫做______________，平面α叫做______________．直线与平面垂直时，它们惟一的公共点P叫做______．垂线上任意一点到垂足间的线段，叫做这个点到这个平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到平面的________． (2)判定定理：一条直线与一个平面内的______________都垂直，则该直线与此平面垂直． 推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．用符号表示：a∥b，a⊥α?b⊥α． (3)性质定理：垂直于同一个平面的两条直线__________． 3．直线和平面所成的角 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的________，叫做这条直线和这个平面所成的角． 一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0°的角．任一直线与平面所成角θ的范围是____________． 4．二面角的有关概念 (1)二面角：从一条直线出发的______________________叫做二面角． (2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作______________的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．二面角的范围是__________． 5．平面与平面垂直 (1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是____________，就说这两个平面互相垂直． (2)判定定理：一个平面过另一个平面的________，则这两个平面垂直． (3)性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于______的直线与另一个平面垂直． 自查自纠： 1．直角 2．(1)直线l与平面α互相垂直l⊥α平面α的垂线 直线l的垂面垂足距离(2)两条相交直线(3)平行 3．锐角[0°，90°] 4．(1)两个半平面所组成的图形(2)垂直于棱[0°，180°] 5．(1)直二面角(2)垂线(3)交线 (2018·广东清远一中月考)已知直线l⊥平面α，直线m?平面β，给出下列命题：①α⊥β?l ∥m；②α∥β?l⊥m；③l⊥m?α∥β；④l∥m?α⊥β，其中正确命题的序号是() A．①②③B．②③④C．①③D．②④ ． (2017·全国卷Ⅲ)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则() A．A1E⊥DC1B．A1E⊥BD
初中数学标准教材 七年级：数学教案－空间里的平行关系(实用文本) Mathematics is the door and key to science. Learning mathematics is a very important measure to make yourself rational. 学校：______________________ 班级：______________________ 科目：______________________ 教师：______________________
--- 专业教学设计系列下载即可用 --- 七年级：数学教案－空间里的平行关系(实 用文本) 教学建议 一、知识结构 在平行线知识的基础上，教科书以学生对长方体的直观认识为基础，通过观察长方体的某些棱与面、面与面的不相交，进而把它们想象成空间里的直线与平面、平面与平面的不相交，来建立空间里平行的概念．培养学生的空间观念． 二、重点、难点分析 能认识空间里直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系既是本节教学重点也是难点．本节知识是线线平行的相关知识的
延续，对培养学生的空间观念，进一步研究空间中的点、线、面、体的关系具有重要的意义． 1．我们知道在同一平面内的两条直线的位置关系有两种：相交或平行，由于垂直和平行这两种关系与人类的生产、生活密切相关，所以这两种空间位置关系历来受到人们的关注，前面我们学过在平面内直线与直线垂直的情况，以及在空间里直线与平面，平面与平面的垂直关系． 2．例如：在图中长方体的棱AA与面ABCD垂直,面AABB与面ABCD 互相垂直并且当时我们还从观察中得出下面两个结论: (1)一条棱垂直于一个面内两条相交的棱,这条棱与这个面就互相垂直． (2)一个面经过另一个面的一条垂直的棱,这两个面就互相垂直． 正如上述，在空间里有垂直情况一样，在空间里也有平行的情况，首先看棱AB与面ABCD的位置关系,把棱AB向两方延长,面ABCD 向各个方向延伸,它们总也不会相交,像这样的棱和面就是互相平行
空间里的平行关系教学设计 Teaching design of parallel relation in space
空间里的平行关系教学设计 前言：小泰温馨提醒，数学是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科， 从某种角度看属于形式科学的一种，在人类历史发展和社会生活中，数学发挥着不可替代 的作用，是学习和研究现代科学技术必不可少的基本工具。本教案根据数学课程标准的要 求和针对教学对象是初中生群体的特点，将教学诸要素有序安排，确定合适的教学方案的 设想和计划、并以启迪发展学生智力为根本目的。便于学习和使用，本文下载后内容可随 意修改调整及打印。 教学建议 一、知识结构 在平行线知识的基础上，教科书以学生对长方体的直观认识 为基础，通过观察长方体的某些棱与面、面与面的不相交，进而 把它们想象成空间里的直线与平面、平面与平面的不相交，来建 立空间里平行的概念．培养学生的空间观念． 二、重点、难点分析 能认识空间里直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行 关系既是本节教学重点也是难点．本节知识是线线平行的相关知 识的延续，对培养学生的空间观念，进一步研究空间中的点、线、面、体的关系具有重要的意义． 1．我们知道在同一平面内的两条直线的位置关系有两种： 相交或平行，由于垂直和平行这两种关系与人类的生产、生活密
切相关，所以这两种空间位置关系历来受到人们的关注，前面我们学过在平面内直线与直线垂直的情况，以及在空间里直线与平面，平面与平面的垂直关系． 2．例如：在图中长方体的棱AA与面ABCD垂直,面AABB与面ABCD互相垂直并且当时我们还从观察中得出下面两个结论:（1）一条棱垂直于一个面内两条相交的棱,这条棱与这个面就互相垂直． （2）一个面经过另一个面的一条垂直的棱,这两个面就互相垂直． 正如上述，在空间里有垂直情况一样，在空间里也有平行的情况，首先看棱AB与面ABCD的位置关系,把棱AB向两方延长,面ABCD向各个方向延伸,它们总也不会相交,像这样的棱和面就是互相平行的,同样,棱AB与面DDCC是互相平行的,棱AA与面BBCC、与面DDCC也是互相平行的． 再看面ABCD与ABCD,这两个面无论怎样延展,它们总也不会相交,像这样的两个面是互相平行的,面AABB与DDCC也是互相平行的． 3．直线与平面、平面与平面平行的判定
空间中的垂直关系 __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 理解空间中三种垂直关系的定义； 掌握空间中三种垂直关系判定及性质； 用空间中三种垂直关系的定义、判定及性质解决垂直问题． 一、直线与平面垂直 1.如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且交角为直角，则称这两条直线互垂直． 2.如果一条直线(AB)和一个平面(α)相交于点O，并且和这个平面内过点O的任何直线都垂直， 我们就说这条直线和这个平面互相垂直，记作AB⊥α，直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面，交点叫做垂足．垂线上任一点到垂足间的线段，叫做这点到这个平面的垂线段．垂线段的长度叫做这点到平面的距离 3.直线和平面垂直的判定 4.(1)判定定理：如果一条直线和一个平面内的任何两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于 这个平面． 符号语言：l⊥a，l⊥b，a∩b＝A，a?α，b?α?l⊥α， 如图： (2)如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面． 符号语言：a∥b，a⊥α?b⊥α， 如图：
5．直线与平面垂直的性质 (1)性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行． 符号语言：a⊥α，b⊥α?a∥b， 如图： (2)一条直线垂直于一个平面，它就和平面内的任意一条直线垂直． 符号语言：a⊥α，b?α?a⊥b， 如图： 6．设P是三角形ABC所在平面α外一点，O是P在α内的射影 (1)若PA＝PB＝PC，则O为△ABC的外心．特别地当∠C＝90°时，O为斜边AB中点． (2)若PA、PB、PC两两垂直，则O为△ABC的垂心． (3)若P到△ABC三边距离相等，则O为△ABC的内心． 7．(1)过一点有且只有一条直线与已知平面垂直． (2)过一点有且只有一个平面与已知直线垂直． 二、直线和平面平行 1．平面与平面垂直的定义： 如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直，就称这两个平面互相垂直．平面α、β互相垂直，记作α⊥β. 2．两个平面垂直的判定定理： 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直． 符号表示：a⊥α，a?β?α⊥β， 如图： 3．两个平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线，垂直于另一个平面． 符号表示：α⊥β，α∩β＝CD，BA?α，BA⊥CD，B为垂足?BA⊥β，
！ 空间中的垂直关系专题训练 知识梳理 一、线线垂直： 如果两条直线于一点或经过后相交于一点，并且交角为，则称这两条直线互相垂直. 二、线面垂直： 1.定义：如果一条直线和一个平面相交，并且和这个 平面内的_________________，则称这条直线和这个平 面垂直. 也就是说，如果一条直线垂直于一个平面，那 么他就和平面内任意一条直线都 .直线l和平面 ！ α互相垂直，记作l⊥α. 2.判定定理：如果一条直线与平面内的直线垂直，则这条直线与这个平面垂 直. 推论①：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也于这个平面. 推论②：如果两条直线同一个平面，那么这两条直线平行. 3.点到平面的距离：长度叫做点到平面的距离. 三、面面垂直： 1.定义：如果两个相交平面的交线与第三个平面，又这两个平面与第三个平面相交 所得的两条交线，就称这两个平面互相垂直.平面α，β互相垂直，记作α⊥β. — 2.判定定理：如果一个平面经过另一个平面的___________，则这两个平面互相垂直. 3.性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于直线垂直于 另一个平面. 四、求点面距离的常用方法： 1.直接过点作面的垂线，求垂线段的长，通常要借助于某个三角形. 2.转移法：借助线面平行将点转移到直线上某一特殊点到平面的距离来求解. 3.体积法：利用三棱锥的特征转换位置来求解. 】
题型一线线垂直、线面垂直的判定及性质 例1.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD， ∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中点.求证： (1)CD⊥AE； (2)PD⊥平面ABE. 《 【变式1】已知：正方体ABCD﹣A1B1C1D1 ，AA1=2，E为棱CC1的中点． （Ⅰ ）求证：B1D1⊥AE； （Ⅱ ）求证：AC∥平面B1DE． 【解答】（Ⅰ）连接BD，则BD∥B1D1，∵ABCD是正方形，∴AC⊥ BD． ∵CE⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，∴CE⊥BD． 又∵AC∩CE=C，∴BD⊥面ACE．∵AE?面ACE，∴BD⊥AE，∴B1D1⊥AE．﹣ ﹣﹣（5分） - （Ⅱ）证明：取BB1的中点F，连接AF、CF、EF．∵ E、F是C1C、B1B的中点， ∴ CE∥B1F且CE=B1F，∴ 四边形B1FCE是平行四边形，∴ CF∥ B1E．∵ 正方形BB1C1C 中，E、F是CC、BB的中点，∴ EF∥BC且EF=BC
空间中的平行关系 一、 学习目标： 理解空间直线、平面位置关系的定义；认识和理解空间中平行关系的有关性质与判定定理能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的平行关系的简单命题。 二、知识梳理：1、证明线线平行的方法： ①定义 ②平行公理 。 ③线面平行性质定理 ④面面平行性质定理 2、证明线面平行的方法： ①定义 ___________________。 ②判定定理 ____ 。 ③面面平行性质定理 。 3、证明面面平行的方法 ①定义 ____________________________。 ②判定定理 ____________或 4、等角定理：_____________________________________________________________。 四、基础训练： 1、下列命题中，真命题的个数是： ①过不在平面内的一点，有且只有一个平面与这个平面平行。 ②过不在平面内的一条直线，有且只有一个平面与这个平面平行。 ③如果平面α∥平面β，平面β∥平面γ,则有α∥γ ④分别在两个平行平面内的两条直线平行。 ⑤如果直线a 平行于直线b ，则a 平行于经过b 的任何平面。 ⑥如果一条直线不在平面内，则这条直线就与这个平面平行。 ⑦过直线外一点，可以做无数个平面与这条直线平行。 ⑧如果一条直线与平面平行，则它与平面内的任何直线平行 A 、3 B 、4 C 、5 D 、6 2、在四面体ABCD 中，AC=BD,E,F,G,H 分别为棱AB,BC,CD,DA 的中点。 则四边形EFGH 的形状是______________. 3、已知,//αl 点P l m m P //,,∈∈α,则m 与α的位置关系是 _______________. 五、合作、探究、展示： (一）定理、性质的应用 例1 、如图所示，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，M 、N 分别是BC 和A 1B 1的中点. 求证：MN ∥平面AA 1C 1.
课题：空间中的平行关系 授课人:杜仙梅 教学目标：1．掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理,灵活运用线面平行的判定定理和性质定理实现“线线”“线面”平行的转化。 2．掌握两个平面平行的判定定理及性质定理，灵活运用面面平行的判定定理和性质定理实现“线面”“面面”平行的转化． 教学重点、难点：线面平行的判定定理和性质定理的证明及运用；两个平面平行的判定和性质及其灵活运用． 教学方法：探究、引导、讲练相结合 教学过程： 基础知识梳理 1．直线与平面平行的判定与性质 (1)判定定理： 平面外一条直线与_______________平行，则该直线与此平面平行．（此平面内的一条直线） (2)性质定理： 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线．（平行）2．平面与平面平行的判定与性质 (1)判定定理： 一个平面内的与另一个平面平行，则这两个平面平行．（两条相交直线） (2)性质定理： 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线．（平行） 思考：能否由线线平行得到面面平行？ 【思考·提示】可以．只要一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，这两个平面就平行． 三基能力强化 1．两条直线a、b满足a∥b，b?α，则a与平面α的关系是(C) A．a∥α B．a与α相交 C．a与α不相交 D．a?α 2．正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是DD1的中点，则BD1与平面ACE的位置关系为_____．(平行) 课堂互动讲练 考点一 直线与平面平行的判定： 判定直线与平面平行，主要有三种方法： (1)利用定义(常用反证法)． (2)利用判定定理：关键是找平面内与已知直线平行的直线．可先直观判断平面内是否已有，若没有，则需作出该直线，常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线．(3)利用面面平行的性质定理：当两平面平行时，其中一个平面内的任一直线平行于另一平面． 特别提醒：线面平行关系没有传递性，即平行线中的一条平行于一平面，另一条不一定平行于该平面．例1正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE、BD上各有一 点P、Q，且AP＝DQ. 求证：PQ∥平面BCE. 【证明】法一：如图所示，作PM∥AB交BE于M，作QN∥AB交BC于N， 连结MN、PQ.
《金版新学案》高三数学一轮复习 第七章 第4课时 空间 中的平行关系线下作业 文 新人教A 版 (本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！) 一、选择题 1．给出下列关于互不相同的直线l 、m 、n 和平面α、β、γ的三个命题： ①若l 与m 为异面直线，l ?α，m ?β，则α∥β； ②若α∥β，l ?α，m ?β，则l ∥m ； ③若α∩β＝l ，β∩γ＝m ，γ∩α＝n ，l ∥γ，则m ∥n . 其中真命题的个数为( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 解析： ①中α、β可以相交；②两平面平行，两平面中的直线可能平行，也可能异面；由l ∥γ，l ?β，β∩γ＝m ?l ∥m ，同理l ∥n ，故m ∥n ，③正确，故选C. 答案： C 2．设α，β表示平面，m ，n 表示直线，则m ∥α的一个充分不必要条件是( ) A ．α⊥β且m ⊥β B ．α∩β＝n 且m ∥n C ．m ∥n 且n ∥α D ．α∥β且m ?β 解析： 若两个平面平行，其中一个面的任一直线均平行于另一个平面，故选D. 答案： D 3．若空间四边形ABCD 的两条对角线AC 、BD 的长分别是8、12，过AB 的中点E 且平行于BD 、AC 的截面四边形的周长为( ) A ．10 B ．20 C ．8 D ．4 解析： 设截面四边形为EFGH ，F 、G 、H 分别是BC 、CD 、DA 的中点，∴EF ＝GH ＝4，FG ＝HE ＝6， ∴周长为2×(4＋6)＝20. 答案： B 4．已知m ，n 为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，则下列命题中正确的是( ) A ．若m ?α，n ?α，m ∥β，n ∥β，则α∥β B ．若α∥β，m ?α，n ?β，则m ∥n C ．若m ∥β，n ?β，则m ∥n D ．若α∥β，m ?α，则m ∥β 解析： 选项A 中若m ，n 平行，α，β可能相交；选项B 中m ，n 可能是异面直线；选项C 中m ，n 可能是异面直线；选项D 中α∥β，则α，β无公共点，m ?α，则m 与β无公共点，即m ∥β. 答案： D 5．a 、b 、c 为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合平面，现给出六个命题： ①????? a ∥c b ∥c ?a ∥b ②????? a ∥γb ∥γ?a ∥b ③? ???? α∥c β∥c ?α∥β ④????? α∥γβ∥γ?α∥β ⑤????? α∥c a ∥c ?α∥a ⑥????? α∥γa ∥γ?a ∥α 其中正确的命题是( ) A ．①②③ B ．①④⑤ C ．①④ D ．①③④
空间中的垂直关系练习题 知识点小结 一．线面垂直定义：如果直线AB 与平面α相交于点O,并且和这个平面内过交点O 的任何直线都垂直，我们就说直线AB 与平面α互相垂直，直线AB 叫做平面α的_________，平面α叫做直线L 的_________,交点P 叫做_________。 垂线上任意一点到垂足间的线段，叫做这个点到这个平面的_________，垂线段的长度叫做点到平面的_________。 由定义：如果一条直线垂直于一个平面，那么_____________________________。 二．判定定理：如果一条直线与平面内的______________垂直，则这条直线与这个平面垂直。 符号语言： 推论1 如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么__________________________。 推论2 如果在两条直线垂直于同一平面，那么这两条直线_________。 三．平面与平面垂直的判定 1.平面与平面垂直定义 如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与_________________互相垂直，就称这两个平面互相垂直。 2.平面与平面垂直的判定定理 如果一个平面过另一个平面的_________，则两个平面互相垂直。 3.平面与平面垂直的性质定理 如果两个平面互相垂直，那么_____________________________________。 一．选择题 1在空间，如果一个角的两边分别与另一个角的两边垂直，那么这两个角的关系是( ) A.相等 B.互补 C.相等或互补 D.无法确定 2.个平面γβα,,，之间有α⊥γ，β⊥ γ，则α与β （ ） A.垂直 B.平行 C.相交 D.以上三种可能都有 3.下列命题正确的是( ) A 、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行 B 、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行 C 、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行 D 、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行 4.若l 为一条直线，α、β、γ为三个互不重合的平面，给出下面三个命题： ①α⊥γ，β⊥γ?α⊥β；②α⊥γ，β∥γ?α⊥β； ③l ∥α，l ⊥β?α⊥β. 其中的真命题有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个
教材分析 空间中的平行关系是高中课程标准实验教科书数学（必修2）第二章第2节的内容。 空间直线与平面的平行关系和证明是立体几何的基本任务，理科同学通过空间向量的学习，使得学生对空间线面关系的判定变得更加轻松了。但对于文科同学来说，用传统的办法来判定和证明还是一个重点内容。很多学生对于简单的立体几何题目的平行关系的证明还是觉得比较简单的，但对于一些比较复杂的证明题目，很多同学还是有困难的。通过本节课的学习，特别是采用了“执果索因”法以后，很多同学感觉找到了证明空间中平行关系的实质，空间想象能力也有了较大 的提高 课标分析 （一）知识与技能 1、理解直线和平面平行、两平面平行的判定定理 2、理解并能证明直线与平面平行、两平面平行的性质定理 （二）过程与方法 1、通过知识梳理，让同学们对空间的平行关系的判定和性质有更清晰的感知； 2、通过例题的学习和探索让学生明白如何判断空间的平行。包括直线与平面的判定和平面与平面的判定。 （三）情感态度与价值观 1、通过生活中的大量实例，鼓励学生积极思考，激发学生对知
识的探究精神和严肃认真的科学态度，培养学生的类比、归纳的能力； 2、通过学习小组的合作，培养了同学们的团队合作意识； 学情分析 教学对象是高三的学生，他们具有一定的分析问题和解决问题 的能力，逻辑思维能力也初步形成。思维尽管活跃，敏捷，但缺乏冷静、深刻，因此片面、不严谨。 从学生的思维特点看，通过前面有关章节的学习，学生认识了一 些几何体的结构，对点线面有了一定的直观感知。其空间想象能力，抽象概括能力，几何表达能力已经初步形成。通过本节课的学习，增强学生思维的严谨性。 从学生的课堂参与度来看，整节课以学生的自主动手和合作讨论 为主要的教学方法，这也符合学生的学习特点。 教学设计 课前下发学案，请同学们完成知识梳理和预习检测部分。 知识梳理 1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线 ，则该直线与此平面平行。符号表示：,a b αα??， ?a //α 2、平面与平面平行的判定定理：一个平面内的两条 与另一个平面平行，则这两个平面平行。 符号表示：,,a b ββ?? ，a //α，b//α? 3、直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与 此平面的交线与该直线平行。
§2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 一、教学目标： 1、知识与技能 （1）了解空间中两条直线的位置关系； （2）理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力； （3）理解并掌握公理4； （4）理解并掌握等角定理； （5）异面直线所成角的定义、范围及应用。 2、过程与方法 （1）师生的共同讨论与讲授法相结合； （2）让学生在学习过程不断归纳整理所学知识。 3、情感与价值 让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性，提高学生的学习兴趣。 二、教学重点、难点 重点：1、异面直线的概念； 2、公理4及等角定理。 难点：异面直线所成角的计算。 三、学法与教学用具 1、学法：学生通过阅读教材、思考与教师交流、概括，从而较好地完成本节课的教学目标。 2、教学用具：投影仪、投影片、长方体模型、三角板 四、教学思想 （一）创设情景、导入课题 1、通过身边诸多实物，引导学生思考、举例和相互交流得出异面直线的概念：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。 2、师：那么，空间两条直线有多少种位置关系？（板书课题） （二）讲授新课 1、教师给出长方体模型，引导学生得出空间的两条直线有如下三种关系： 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内，没有公共点； 异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。 教师再次强调异面直线不共面的特点，作图时通常用一个或两个平面衬托，如下图： 2、（1）师：在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。在空间中，是否有类似的规律？ 组织学生思考： 共面直
长方体ABCD-A'B'C'D'中， BB'∥AA'，DD'∥AA'， BB'与DD'平行吗？ 生：平行 再联系其他相应实例归纳出公理4 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线 a ∥ b c ∥b 强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。 公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。 （2）例2（投影片） 例2的讲解让学生掌握了公理4的运用 （3）教材P47探究 让学生在思考和交流中提升了对公理4的运用能力。 3、组织学生思考教材P47的思考题 （投影） 让学生观察、思考： ∠ADC 与A'D'C'、∠ADC 与∠A'B'C'的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？ 生：∠ADC = A'D'C'，∠ADC + ∠A'B'C' = 1800 教师画出更具一般性的图形，师生共同归纳出如下定理 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。 教师强调：并非所有关于平面图形的结论都可以推广到空间中来。 4、以教师讲授为主，师生共同交流，导出异面直线所成的角的概念。 （1）师：如图，已知异面直线a 、b ，经过空间中任一点O 作直线a'∥a 、b'∥b ，我们把a'与b'所成的锐角（或直角）叫异面直线a 与b 所成的角（夹角）。 （2）强调： ① a'与b'所成的角的大小只由a 、b 的相互位置来确定，与O 的选择无关，为了简便，点O 一般取在两直线中的一条上； =>a ∥c 2