绝密★启用前
2019年普通高等学校招生上海统一考试
数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）
1.已知集合，则________
2.已知，且满足，求________
3.已知向量，则与的夹角为________
4.已知二项式，则展开式中含项的系数为________
5.已知、满足，求的最小值为________
6.已知函数周期为1，且当，则________
7.若，且，则的最大值为________
8.已知数列的前项和为，且满足，则________
9.过曲线的焦点并垂直于轴的直线分别与曲线交于，在上方，为抛物线上一点，，则________
10.某三位数密码，每位数字可在0—9这10个数字中任选一个，则该三位数密码中，恰有两位数字相同的概率是________
11.已知数列满足，若均在双曲线上，则________
12.已知与轴交点为，若对于图像上任意一点，()(),3,2,A B =-∞=+∞A
B =z
C ∈15
i z =-z =()()1,0,2,2,1,0a b ==a b ()5
21x +2x x y 002x y x y ≥??≥??+≤?23z x y =-()f x ()201,log x f x x <≤=32f ??= ???
,R x y +∈123y x +=y x
{}n a n n S 2n n S a +=5S =24y x =F x 24y x =A B 、A B M ()2OM OA OB λλ=+-λ={}n a ()1N *n n a a n +<∈()(),3n n P n a n ≥22
162
x y -=1lim n n n P P +→∞=()()()21,0,1f x a x a f x x =
->>-x A ()f x P
在其图像上总存在另一点（异于），满足，且，则________
二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）
13.已知直线方程的一个方向向量可以是（ ）
A. B. C. D.
14.一个直角三角形的两条直角边长分别为1和2，将该三角形分别绕其两个直角边旋转得到的两个圆锥的体积之比为（ ）
A.1
B.2
C.4
D.8
15.已知，函数，存在常数，使得为偶函数，则的值可能为（ ）
A. B. C. D. 16.已知，有下列两个结论：①存在在第一象限，在第三象限；②存在在第二象限，在第四象限；则（ ）
A.①②均正确
B.①②均错误
C.①对②错
D.①错②对
三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）
17.如图，在长方体中，M 为上一点，已知
.
（1）求直线与平面的夹角；
（2）求点到平面的距离.
18.已知. （1）当时，求不等式的解集；
（2）若在时有零点，求的取值范围.
Q P Q 、A AP AQ ⊥AP AQ =a =20x y c -+=d ()2,1-()2,1()1,2-()1,2R ω∈()()()2
6sin f x x x ω=-?R a ∈()f x a +ω2π3π4π5
π()tan tan tan αβαβ?=+αβαβ1111ABCD A B C D +1BB 12,3,4,5BM CD AD AA ====1A C ABCD A 1A MC ()1,R 1
f x ax a x =+∈+1a =()()11f x f x +<+()f x []1,2x ∈a
19.如图，为海岸线，为线段，为四分之一圆弧，，.
（1）求的长度；
（2）若，求D 到海岸线的最短距离.（精确到0.001km ）
20.已知椭圆为左、右焦点，直线过交椭圆于两点. （1）若直线垂直于轴，求；
（2）当时，在轴上方时，求的坐标；
（3）若直线交轴于，直线交轴于，是否存在直线，使得，若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由.
21.数列有100项，，对任意，存在，，若与前项中某一项相等，则称具有性质.
（1）若，求所有可能的值；
（2）若不是等差数列，求证：数列中存在某些项具有性质；
（3）若中恰有三项具有性质，这三项和为，请用表示.
A B C --AB BC 39.2km BD =22,68,58BDC CBD BDA ∠=?∠=?∠=?BC 40km AB =A B C --22
121,84
x y F F +=、l 2F A B 、l x AB 190F AB ∠=?A x A B 、1AF y M 1BF y N l 11F AB F MN S S ??=l {}()N *n a n ∈1a a =[]2,100n ∈1n a a d =+[]1,1i n ∈-k a n k a P 11,2a d ==4a {}n a {}n a P {}n a P c a d c 、、12100a a a +++
参考答案
一.填空题
1.（2,3）
2. 3. 4.40，的系数为 5.-6，线性规划作图，后求出边界点代入求最值，当时，
6.-1，
7.，法一： 法二：由
，求二次最值 8.
9.3 10.
12.
二.选择题
13.选D
14.选B
15.选C
16.选D
三.解答题
17.（1）（2） 18.（1）；（2）
19.（1）；（
2）35.752km 20.（1）
（2）；（3） 21.（1）3、5、7；（2）略；（3）
15,55i z i i
-=+=-22arccos ,cos 555a b a b
θ?===??2x 325
240C ?=0,2x y ==min 6z =-2311log 1222f f ????===- ? ?????
982
19328y y x x =+≥≤=()21332,322302y y y y y y y x x ??=-=-?=-+<< ???max 98y x ??= ???3116
27100a =4π103
()2,1x ∈--11,26a ??∈--????
sin 2216.310km 22BC R BD ππ===??≈()820,233A B ?? ???
，，20x ±-=974656a d c ++