相似三角形练习
题1．如图所示，给出下列条件：
①BACD；②ADCACB；③ACAB
CDBC ；④
2
ACADAB．
其中单独能够判
定△ABC∽△ACD的个数为（）A．1B．2C．3D．4
2.如图，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是（）
A．
A DBC
DFCE B．
B CDF
CEAD
C．
C DBC
EFBE
D．
C DAD
EFAF
3.如图，已知等边三角形ABC的边长为2，DE是它的中位线，则下面四个结论：
（1）DE=1，（2）△CDE∽△CAB，（3）△CDE的面积与△CAB的面积之比为
1：4.其中正确的有：（）
A．0个B．1个C．2个D．3个
4.若△ABC∽△DEF,△ABC与△DEF的相似比为１∶2，则△ABC与△DEF的周长比为（）
A．1∶4B．1∶2C．2∶1D．１∶2
5.如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x，那么x的值（）A．只有1个B．可以有2个C．有2个以上但有限D．有无数个
6.如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，M、N分别是边AB、AD的中
A
点，连接
O M、ON、MN，则下列叙述正确的是（）
M
N
A．△AOM和△AON都是等边三角形
BD
O
B．四边形MBON和四边形MODN都是菱形
C
C．四边形AMON与四边形ABCD是位似图形
D．四边形MBCO和四边形NDCO都是等腰梯形
7.如图，在55方格纸中，将图①中的三角形甲平移到图②
中所示的位置，与三角形乙拼成一个矩形，那么，下面的平
移方法中，正确的是（）
A．先向下平移3格，再向右平移1格B．先向下平移2格，再向
右平移1格
C．先向下平移2格，再向右平移2格D．先向下平移3格，再向右平移2格
8.在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄
金
比
。
已知这
本书的长为20cm，则它的宽约
为（）
A．12.36cmB.13.6cmC.32.36cmD.7.64cm
9.小明在一次军事夏令营活动中，进行打靶训练，在用
枪瞄
准目标点B时，要使眼睛O、准星A、目标B在同一条直
使准星A偏离到A′，若OA=0.2米，OB=40米，AA′=0.0015线上，如图4所示，在射击时，小明有轻微的抖动，致
米，则小明射击到的点B ′偏离目标点B 的长度BB ′为（） A ．3米B ．0.3米C ．0.03米D ．0.2米
2
10、在比例尺为1︰10000的地图上，一块面积为2cm 的区域表示的实际面积是（）
（A ）2000000cm 2 ；（B ）20000cm 22 ；（C ）4000000cm ；（D ）40000cm
2
．
11．如图一，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD ＝3，BD ＝2，则△ADE 与四边形DBCE 的面积比是（） （A ）3︰2；（B ）3︰5；（C ）9︰16；（D ）9︰4．
A
DE
( 图 一 )
E
A D
（
图 三 ）
BC
B C
F
12．如图三，在△ABC 中，DE ∥BC ，DF ∥AB ，那么下列比例式中正确的是（） （A ） A E EB ＝ B F FC ；（B ） A E EB ＝ C F FB
；
（C ） D E BC ＝ AD DC ；（D ） D E BC ＝ D F AB
．
13、（2009年甘肃白银）如图3，小东用长为3.2m 的竹竿做测量工具测量学校旗杆的高 度，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点 相距8m 、与旗杆相距22m ，则旗杆的高为（） A ．12mB ．10mC ．8mD ．7m
14、一张等腰三角形纸片，底边长l5cm ，底边上的高长22．5cm ．现沿底边依次从下往上裁剪 宽度均为3cm 的矩形纸条，如图所示．已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条 是()
A ．第4张
B ．第5张C.第6张D ．第7张 二、填空题
1、已知：线段a ＝3，b ＝2，c ＝4，则b 、a 、c 的第四比例项d ＝；
则a 、b 、(a －b)的第四比例项是；3a 、(2a －b)的比例中项是。
2、已知：数
3、6，请再写出一个数，使这个数是另外两个数的比例中项，这个数
是。
ac2 3、已知：,(bd0).
bd5
则 a b c d 。 4、已知 x yz 356
，且3y ＝2z ＋6，则x ＝、y ＝。
5、把一个矩形的硬纸片剪去一个正方形，若剩下的矩形与原矩形相似，那么原矩形的长边和短边之比为。
6、、在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，CD 平分ACB ，DE ∥BC ，
如果AC ＝10，AE ＝4，那么BC ＝．
7、点G是△ABC的两条中线BD、CE的交点，如果△GDE的面积为6平方厘米，那么△ABC的面积
为平方厘米．
8、在△ABC中，AB＝8厘米，AC＝6厘米，点D、E分别在边AB、AC边上，且以点A、D、E为顶点的三角形和以
点A、B、C为顶点的三角形相似．如果AD＝2厘米，那么AE＝厘米．
9、两个相似三角形的周长之比为3：4，则这两个三角形的面积之比为：。
10、在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC．如果AD＝8，DB＝6，EC＝9那么AE＝．
11、在△ABC中，点G为重心，若BC边上的高为6，则点G到BC边的距
为．
1.6米影长1米，一塔的影长25米，则这个塔高米．
12、在同一时刻，某人身高
C D、EF的比例中项，CD=2，EF=8，那么AB=。
13、已知线段
A B是线段
14、两相似三角形的相似比为1:3，面积和为80，则较大的三角形面积为
M N＝8cm，又点P是线段
M N的一个黄金分割点，
15、已知线段
M
甲乙丙丁那么较长线段M P长是cm．
16、如图一,棋盘上有三个白棋子A、B、C和两个黑棋子M、N，要使N
AB△ABC与△MNP相似，那么第三个黑棋子P应该放在甲乙丙丁哪
个点上．答：应该在．
C
17、如图，点D在AC上，且ABDC,ABCD2,则AD=______.
A
18、锐角△ABC中，BC＝6,12,
S两动点M、N分别在边AB、AC上滑动，且MN∥
D
ABC
BC，以MN为边向下作正方形MPQN，设其边长为x，正方形MPQN与△ABC公共部分的
BC
9题
图面积为（yy＞0）,当x＝，公共部分面积y最大，y最大值＝,
19、在平面直角坐标系中，△ABC顶点A的坐标为(2，3)，若以原点O为位似中心，画△ABC的位似图形△AB C，
1
使△ABC与△ABC的相似比等于
，则点A的坐标为．
2
20、如图，△ABC与△A′B′C′是位似图形，点O是位似中心，若OA=2AA′,S
△ABC=8，则S△A′B′C′=_____．___
21、如图，△OAB的顶点B的坐标为（4，0），把△OAB沿x轴向右平移得到
△CDE，如果CB1,那么OE的长为．
22、如图，△ABC与△AEF中，ABAE，BCEF，BE，AB交EF于D．给出下列结论：
①AFCC；②DFCF；
③△ADE∽△FDB；④BFDCAF．
）．其中正确的结论是（填写所有正确结论的序号
23、如图，正方形OEFG 和正方形ABCD 是位似形，点F 的坐标为（1，1）， 点C 的坐标为（4，2），则这两个正方形位似中心的坐标是．
24、（2009年广西南宁）三角尺在灯泡O
的照射下在墙上形成影子（如图
6所示）.现测
得
OA20cm ，OA50cm ，这个三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比
是．
25、如图，点M 是△ABC 内一点，过点M 分别作直线平行于△ABC 的各边，所形成的 三个小三角形△1、△2、△3（图中阴影部分）的面积分别是4，9和49．则△ABC 的面积 是．
26、如图(1)，在平行四边形ABCD 中，R 在BC 的延长线上，AR 交BD 于P ，交CD 于Q ，
若DQ ∶CQ ＝4∶3，则AP ∶PR ＝ ADCA
D
A B
EF F
EE
P O
Q
F
B C
C
R
D
BC
AB
图(2)
图(1)图(3)图(4)
27、如图(2)，在梯形ABCD 中，CD ∥AB ，AC 、BD 交于点O ，过点O 作AB 的平行线交AD 于点E ，交BC 于点F ， 则图中有对相似形三角形；若DC ＝9，AB ＝15，则OD ∶OB ＝，EF ＝。 28、如图(3)，在△ABC 中，∠BAC ＝90
，CE 平分∠ACB ，AD ⊥BC ，垂足为D ，AD 、CE 相交于点F ，则△AFC ∽△。
29、如图(4)，要使△AEF ∽△ABC ，已具备的条件是，还需补充的条件是或或。 30、如图(5)，点D 是△ABC 内一点，连结BD 并延长到E ，连结AD 、AE ，若∠BAD ＝20
，ABBCAC
ADDEAE
A
EAC ＝
E
A
F
E
B C
D
BDC
图(5)图(6)
，则∠ 31、在△ABC 中，AD ⊥BC ，DE ⊥AB ，则有A D 2
＝，ED 2
＝，BD
2
＝。若DF ⊥AC ，则还有线段是
比例中项。
32、把一个三角形变成和它相似的三角形，而面积扩大为原来的100倍，则边长扩大为 原来的倍。
33、在△ABC 中，DE ∥BC ，
A D AB
1 2
，且S △ABC ＝8cm
2 ，那么S △ADE ＝cm
2
B M
ND图(2)
D AB
C A
E
图(3)
C
34、如图(2)，C为线段
A B上的一点，△ACM、△CBN都是等边三角形，若AC＝3，BC＝2，则△MCD与△BND的
面积比为。
35、如图(3)，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，则△ADE与四边形DECB的面积之比为。
三、解答题
1、已知，如图，在平行四边形ABCD 中，E 为AC 三分之一处，即A E=
D
C
=FB
1 3
AC ，DE 的延长线交AB 于F ，求证：AF E
AB F
2、如图所示，在平行四边形ABCD 中，过点B 作BE ⊥CD ，垂足为E ，连结AE ，F 为AE 上一点，且∠BFE ＝∠C (1)求证：△ABF ∽△EAD;(2)若AB ＝4，∠BAE ＝30°，
B A
求AE 的长；(3)在(1)(2)的条件下，若AD ＝3，求BF 长. (计算结果含根号).
F DC E
3、如图(3)，在△ABC 中，E 、F 分别是AC 、BC 的中点，AF 与BE 交于点O ，ED ∥AF ，交BC 于点D ，求BO ∶OE
A
的值。
E
O
BC FD
4、如图，AE 2
＝AD ·AB ，且∠ABE ＝∠C ，试说明△BCE ∽△EBD 。
A
E D
12 BC
5、如图五，在△ABC 中，矩形DEFG 的一边DE 在BC 上，点G 、F 分别在 A （
AB 、AC 上，AH 是BC 边上的高，AH 与GF 相交于K ，已知 GKF 图 五
S △AGF
︰S △ABC
＝9︰64，EF ＝10，求AH 的长．
BC
DHE
） 6、如图，在梯形ABCD 中，AD//BC ，点E 在对角线BD 上， A
D
且DCEADB ，如果BC9，CD ∶BD=2∶3，求CE 的长．
E BC
7、在九年级数学课本练习册上有这样一道题： D
已知：如图七，点O 为四边形ABCD 内一点，连接O A 、OB 、OC 、OD ， 点E 、F 、G 、H 分别在OA 、OB 、OC 、OD 上，且有OA ＝OB ，EH ∥AD ，
E
H
O
C G F
（ 图 七 ）
HG ∥CD ，FG ∥BC ，求证：EA ＝FB ．
AB 若将这题目中的点O移至四边形ABCD外，其它条件不变，题中要求证的
D
结论还成立吗
？C （图
（1）请在图八中画出相应的图形，观察并回答：（填成立或不成立）；
八
）AB
（2）证明你（1）中观察到的结论．
一、填空题：
1、如图
,在△ABC中,DE∥BC,AD：AC=2：1，则△ADE∽△，∠C=∠△ABC的面积：△ADE的面积=.
CAA
E
D1
EDGE
ADBBCBFC
(第1题图)(第2题图)(第3题图)
2、已知:如图,直线D E交△ABC的两边AB、AC于点D、E,且∠1=∠B则
(
( )
)
(
(
)
)
(
(
)
)
.
3、如图,DE∥BC,则△∽△,若AD=3,BD=2,AF⊥BC,交DE于G,则AG:AF=：,△
AGE∽△AFC,且它们的相似比为.
4、如图,平行四边形ABCD中,P是CD上的一点,CP:DP=3:4,则三角形APB的面积:平行四边形ABCD 的面积=,S△BCP：S△APD：S△APB=：：
5、已知：如图,梯形ABCD的上底CD=10cm,下底AB=28cm,高为12cm,点M为腰A D、BC的交点,则
点M到上底CD的距离为cm,点M到下底AB的距离为cm.
DPCM
DC
DC
AB
(第6题图)
ABAB
（第4题图）（第5题图）
A B的长
6、如图，在直角梯形ABCD中，BC⊥AB，BD⊥AD，CD∥AB，且BD=3，CD=2，则下底
是.
△ABC的周长之比为是3:7，若DE=15cm,则BC=
7、如图，在△ABC中，DE∥BC,且△ADE的周长与
cm,AD:BD=.
AA
DE(第7题图)（第8题图）
D
BCCB
2，在AC上取一点E，使以8、如图，在△ABC中，AB=12，AC=15，D为AB上一点，且AD=AB
3
A、D、E为顶点的三角形和△ABC相似，则AE等于
.
9、若△ABC∽△A1B1C1，AB=3，A1B1=4.5，且S
△ABC+S△A1B1C1=78，则S△A1B1C1=
.
10、如图，CD是直角三角形ABC斜边上的高，已知A B=25cm，BC=15cm，则BD=.
C
ADB
题：
二、选择
11、下列命题中，不正确的是（）
A、如果两个三角形相似，且相似比为1，那么这两个三角形全等；
B、等腰直角三角形都是相似三角形；
C 、有一个角为60
的两个等腰三角形相似；
D 、有一个锐角相等的两个等腰三角形相似。 12、下列结论中，不正确的是（）
A 、有一个角相等，有两条边对应成比例的两个三角形相似
B 、顺次连结三角形各边中点所得的三角形与原三角形相似
C 、如果三角形两边和其中一边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形
D 、两条边长分别是7、4和14、8的两个直角三角形相似 13、如图，已知：∠BAO=∠CAE=∠DCB ，则下列关系式中正确的是（） A 、 A B AD B C A
E B 、 A C AE B C AD C 、 AB DE B C AE D 、
A C AE A
B AD
AC
E
B
O DCEADB
（第13题图）（第14题图） 14、如图，直角三角形ABC 中，∠ACB=90
，CD ⊥AB 于D ，DE ⊥AC 于E ，则下列说法中正确的
有（）
2AEEC ①图中
有4个三角形与△ACB 相似；②;
DE
③∠A=∠BCD=∠CDE ；④ A D AC
C E BD
；⑤若AC=4，BC=3，则CD= 16 3
；
⑥
A E EC
A D DB
。 A 、6个B 、5个C 、4个D 、3个
15、一个三角形的三边长为5，5，6，与它相似的三角形最长边为10，则后一个三角形的面积为
（）
A、100
B、20
C、45
D、
3
108
25
16、如图，梯形ABCD中，AB∥CD，如果S△ODC：S△BDC=1：3，那么S△ODC：S
△ABC的值是（）
A、1
B、
5
1C、
6
1D、
7
1
9 DCＡＤ
OＰ
ABＢＣ
（第16题图）（第１８题图）
17、已知一个梯形被一条对角线分成两个相似三角形，如果两腰的比是1：4，则两底的比是
（）
A、1：2
B、1：4
C、1：8
D、1：16
18、已知，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90 0，对角线AC⊥BD，垂足为P，已知AD：BC=3：4，则BD：AC的值是（）
Ａ、3：２Ｂ、２：３Ｃ、3：３Ｄ、３：４
三、解答题与证明题：
19、已知：如图，在正方形ABCD中，Ｐ是ＢＣ上的点，且BP=3PC,Q是CD的中点。
求证：△ＡDQ∽△QCP
AD
Q
BPC
B C，AC且BD=CE,AD、BE相交于
20、已知：如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在
点M
(1)△AME∽△BAE;(2)BD
2=ADDM.
A
E
M
BDC
21、已知：如图，AD是RT△ABC的角平分线，AD的垂直平分线EF交CB的延长线于点F,
2求证：
FDFBFC
A
E
FBDC
C作对角线BD的垂线交BD、AD于22、已知：如图，四边形ABCD中，∠A=∠BCD=90 0,过
WOIRD格式
点E、F。
2
求证：CDDFDA
D
F
A
E
BC
您好，欢迎您阅读我的文章，本WOR文档可编辑修改，也可以直接打印。阅读过后，希望您提出保贵的意见或建议。阅读和学习是一种非常好的习惯，坚持下去，让我们共同进步。
1.计算：22 ﹣1|﹣． 2计算：( )0 - ( )-2 + 45° 3.计算：2×(－5)＋23－3÷． 4. 计算：22＋(－1)4＋(－2)0－|－3|； 5.计算：30 82 145+-Sin 6.计算：?+-+-30sin 2)2(20． 7.计算， 8.计算：a(3)+(2)(2) 9.计算： 10. 计算：()()03 32011422 - --+÷- 11.解方程x 2 ﹣41=0． 12.解分式方程 2 3 22-= +x x
13．解方程：＝．14.已知﹣1=0，求方裎1的解． 15.解方程：x2+4x－2=0 16.解方程：-1)-x)= 2．17.（2011.苏州）解不等式：3﹣2（x﹣1）＜1．18.解不等式组： 19.解不等式组 () ()() ? ? ? + ≥ - - + - 1 4 6 1 5 3 6 2 x x x xπ 20.解不等式组 ?? ? ? ? < + > + .2 2 1 ,1 2 x x 答案 1.解: 原式=4+1﹣3=2 2.解：原式=1-4+12.
3.解：原式10+8-68 4.解：原式＝4＋1＋1－3＝3。 5.解：原式= 222222=+-． 6. 解：原式＝2＋1＋2×2 1＝3＋1＝4． 7. 解：原式=1+2﹣ +2× =1+2﹣ + =3． 8.解: ()()()22a a 32a 2a a 3a 4a =43a -+-+=-+-- 9. 解：原式=5+4-1=8 10. 解：原式3 1122 -- 0． 11. 解：（1）移项得，x 2 ﹣4﹣1， 配方得，x 2 ﹣44=﹣1+4，（x ﹣2）2 =3，由此可得x ﹣2=±，x 1=2+，x 2=2﹣； （2）1，﹣4，1．b 2 ﹣4=（﹣4）2﹣4×1×1=12＞0． 2±， x 1=2+，x 2=2﹣． 12.解：10 13.解：3 14. 解：∵﹣1=0，∴a﹣1=0，1；2=0，﹣2． ∴﹣21，得2x 2 ﹣1=0，解得x 1=﹣1，x 2=． 经检验：x 1=﹣1，x 2=是原方程的解．∴原方程的解为：x 1=﹣1，x 2=． 15.解: 4168426 26x -±+-±- 16. 解：去分母，得 3=2(1) . 解之，得5. 经检验，5是原方程的解. 17. 解：3﹣22＜1，得：﹣2x ＜﹣4，∴x＞2． 18.解：x ＜-5 19.解：15≥x 20. 解：不等式①的解集为x ＞－1；不等式②的解集为x ＋1＜4 x ＜3 故原不等式组的解集为－1＜x ＜3．
初三数学相似三角形知 识点归纳 Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998
初三数学《相似三角形》知识提纲 (何老师归纳) 一：比例的性质及平行线分线段成比例定理 （一）相关概念：1.两条线段的比：两条线段的比就是两条线段长度的比 在同一长度单位下两条线段a ，b 的长度分别为m ，n ，那么就说这两条线段 的比是，或写成a ：b=m ：n ； 其中 a 叫做比的前项，b 叫做比的后项 2：比例尺= 图上距离／实际距离 3：成比例线段：在四条线段a ，b ，c ，d 中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段，记作：c d a b =（或a ：b=c ：d ） ① 线段a ，d 叫做比例外项，线段b ，c 叫做比例内项， ② 线段a 叫首项，d 叫a ，b ，c 的第四比例项。 ③ 比例中项:若 c a b c a b c b b a ,,2是则即?==的比例中项. （二）比例式的性质 1.比例的基本性质:bc ad d c b a =?= 2. 合比：若 ，则或a b c d a b b c d d a b a c d c =±=±±=± 3. 等比：若 ……（若……）a b c d e f m n k b d f n =====++++≠0 4、黄金分割： 把线段AB 分成两条线段AC ，BC （AC>BC ），并且使AC 是AB 和BC 的 比例中项，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AC= 2 1 5-≈， (三)平行线分线段成比例定理 1.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 如图：当AD∥BE∥CF 时，都可得到 = . = ， = ， n m b a =
必修五解三角形常考题型 1.1正弦定理和余弦定理 1.1.1正弦定理 【典型题剖析】 考察点1：利用正弦定理解三角形 例1 在V ABC 中，已知A:B:C=1:2:3,求a :b :c. 【点拨】 本题考查利用正弦定理实现三角形中边与角的互化，利用三角形内角和定理及正弦定理的变形形式 a :b :c=sinA: sinB: sinC 求解。 解：::1:2:3,A . ,,, 6 3 2 1::sin :sin :sin sin :sin :sin :1 2.6 3 2 2A B C B C A B C a b A B C ππ π π π π π =++=∴= = = ∴=== =Q 而 【解题策略】要牢记正弦定理极其变形形式，要做到灵活应用。 例2在ABC 中，已知 ，C=30°，求a+b 的取值范围。 【点拨】 此题可先运用正弦定理将a+b 表示为某个角的三角函数，然后再求解。 解：∵C=30°， ，∴由正弦定理得： sin sin sin a b c A B C === ∴ )sin （150°-A ）. ∴ )[sinA+sin(150° )·2sin75°·cos(75° -A)= 2 cos(75°-A) ① 当75°-A=0°，即A=75°时，a+b 取得最大值 2 ； ② ∵A=180°-(C+B)=150°-B,∴A ＜150°，∴0°＜A ＜150°, ∴-75°＜75°-A ＜75°，∴cos75°＜cos(75°-A)≤1， ∴＞ 2 cos75° = 2 × 4 . 综合①②可得a+b 的取值范围为 ,8+ 考察点2：利用正弦定理判断三角形形状 例3在△ABC 中，2 a ·tanB=2 b ·tanA ，判断三角形ABC 的形状。 【点拨】通过正弦定理把边的关系转化为角的关系，利用角的关系判断△ABC 的形状。
相似三角形难题精选 模块一：相似三角形中的动点问题 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B作射线BB1∥AC．动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C 沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB于H，过点E作EF⊥AC交射线BB1于F，G是EF中点，连接DG．设点D运动的时间为t秒．（1）当t为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长度； （2）当△DEG与△ACB相似时，求t的值． 如图，在△ABC中，ABC＝90°，AB=6m，BC=8m，动点P以2m/s的速度从A 点出发，沿AC向点C移动．同时，动点Q以1m/s的速度从C点出发，沿CB向点B移动．当其中有一点到达终点时，它们都停止移动．设移动的时间为t秒．（1）①当t=2.5s时，求△CPQ的面积； ②求△CPQ的面积S（平方米）关于时间t（秒）的函数解析式； （2）在P，Q移动的过程中，当△CPQ为等腰三角形时， 求出t的值．
如图1，在Rt△ABC中，ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在边AB上运动，DE 平分CDB交边BC于点E，EM⊥BD，垂足为M，EN⊥CD，垂足为N． （1）当AD＝CD时，求证：DE∥AC； （2）探究：AD为何值时，△BME与△CNE相似？ 如图所示，在△ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm，点P从A点出发，沿着AB 以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A点运动，当P点到达B点时，Q点随之停止运动．设运动的时间为x．（1）当x为何值时，PQ∥BC？ （2）△APQ与△CQB能否相似？若能，求出AP的长；若不能，请说明理由.
1.计算：22+|﹣1|﹣ ． 2计算：( 3 )0 - ( 12 )-2 + tan45° 3.计算：2×(－5)＋23－3÷12 ． 4. 计算：22＋(－1)4＋(5－2)0－|－3|； 5.计算：3082145+- Sin 6.计算：?+-+-30sin 2)2(20． 7.计算 ， 8.计算：a(a-3)+(2-a)(2+a) 9.计算： 10. 计算：()()0332011422 ---+÷-
11.解方程x 2﹣4x+1=0． 12.解分式方程 2322-=+x x 13．解方程：3x ＝ 2x －1 ． 14.已知|a ﹣1|+ =0，求方裎+bx=1的解． 15.解方程：x 2+4x －2=0 16.解方程：x x -1 - 3 1- x = 2． 17.（2011.苏州）解不等式：3﹣2（x ﹣1）＜1． 18.解不等式组：???2x ＋3＜9－x ，2x －5＞3x ． 19.解不等式组()()() ?? ?+≥--+-14615362x x x x 20.解不等式组?????<+>+.22 1,12x x 答案 1.解: 原式=4+1﹣3=2 2.解：原式=1-4+1=-2. 3.解：原式=-10+8-6=-8 4.解：原式＝4＋1＋1－3＝3。
5.解：原式=222222=+-． 6. 解：原式＝2＋1＋2×2 1＝3＋1＝4． 7. 解：原式=1+2﹣+2×=1+2﹣+=3． 8.解: ()()()22a a 32a 2a a 3a 4a =43a -+-+=-+-- 9. 解：原式=5+4-1=8 10. 解：原式=31122 -- =0． 11. 解：（1）移项得，x 2﹣4x=﹣1， 配方得，x 2﹣4x+4=﹣1+4，（x ﹣2）2=3，由此可得x ﹣2=± ，x 1=2+，x 2=2﹣； （2）a=1，b=﹣4，c=1．b 2﹣4ac=（﹣4）2﹣4×1×1=12＞0． x==2±， x 1=2+，x 2=2﹣． 12.解：x=-10 13.解：x=3 14. 解：∵|a﹣1|+ =0，∴a﹣1=0，a=1；b+2=0，b=﹣2． ∴﹣2x=1，得2x 2+x ﹣1=0，解得x 1=﹣1，x 2=． 经检验：x 1=﹣1，x 2=是原方程的解．∴原方程的解为：x 1=﹣1，x 2=． 15.解: 2x - 16. 解：去分母，得 x +3=2(x -1) . 解之，得x =5. 经检验，x =5是原方程的解. 17. 解：3﹣2x+2＜1，得：﹣2x ＜﹣4，∴x＞2． 18.解：x ＜-5 19.解：15≥x 20. 解：不等式①的解集为x ＞－1；不等式②的解集为x ＋1＜4 x ＜3 故原不等式组的解集为－1＜x ＜3．
2 初三数学相似三角形 （一）相似三角形是初中几何的一个重点，同时也是一个难点，本节复习的目标是： 1. 理解线段的比、成比例线段的概念，会根据比例线段的有关概念和性质求线段的长或两线段的比，了解黄金分割。 2. 会用平行线分线段成比例定理进行有关的计算、证明，会分线段成已知比。 3. 能熟练应用相似三角形的判定和性质解答有关的计算与证明题。 4. 能熟练运用相似三角形的有关概念解决实际问题 本节的重点内容是相似三角形的判定定理和性质定理以及平行线分线段成比例定理。本节的难点内容是利用判定定理证明两个三角形相似以及相似三角形性质的应用。 相似三角形是平面几何的主要内容之一， 在中考试题中时常与四边形、 圆的知识相结合 构成高分值的综合题，题型常以填空、选择、简答或综合出现，分值一般在 10%左右，有时也单独成题，形成创新与探索型试题；有利于培养学生的综合素质。 （二）重要知识点介绍： 1. 比例线段的有关概念： 在比例式 a b c (a ： bc ：d )中， a 、 d 叫外项， d b 、 c 叫内项， a 、c 叫前项， b 、 d 叫后项， d 叫第四比例项，如果 b=c ，那么 b 叫做 a 、 d 的比例中项。 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC ，使 AC=AB BC ，叫做把线段 AB 黄金分割， C 叫做线段 AB 的黄金分割点。 2. 比例性质： ①基本性质： a c b d ②合比性质： a c b d ad bc a b c d b d ③等比性质： a c ? b d m (b d ? n n ≠ 0) a c ? m a b d ? n b 3. 平行线分线段成比例定理： ①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图： l 1∥ l 2∥ l 3 。 AB 则 BC DE ， AB EF AC DE ， BC DF AC EF ，? DF
解三角形的必备知识和典型例题及习题 一、知识必备： 1．直角三角形中各元素间的关系： 在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。 （1）三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2。（勾股定理） （2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°； （3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） sin A ＝cos B ＝c a ，cos A ＝sin B ＝c b ，tan A ＝b a 。 2．斜三角形中各元素间的关系： 在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。 （1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝π。 （2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等 R C c B b A a 2sin sin sin ===（R 为外接圆半径） （3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 a 2＝ b 2＋ c 2－2bc cos A ； b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。 3．三角形的面积公式： （1）?S ＝ 21ah a ＝21bh b ＝2 1ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高）； （2）?S ＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝21ac sin B ； 4．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等．主要类型： （1）两类正弦定理解三角形的问题： 第1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. 第2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角. （2）两类余弦定理解三角形的问题： 第1、已知三边求三角. 第2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角. 5．三角形中的三角变换 三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。
一、相似三角形中的动点问题 1.如图，在Rt△ ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过 点B作射线BB1∥AC．动点D 从点A 出发沿射线AC方向 以每秒5 个单位的速度运动，同时动点E 从点C沿射线 AC 方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB 于H，过点E作EF⊥ AC交射线BB1于F，G是EF中点， 连接DG．设点D 运动的时间为t 秒． （1）当t 为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长度； （2）当△DEG与△ACB 相似时，求t 的值． 点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点运 动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm 的速度向A 点运动，当P点到达B点时，Q 点随之停止运动．设运动 的时间为x． （1）当x 为何值时，PQ∥ BC？ （2）△APQ 与△CQB能否相似？若能，求出AP的长； 若不能说明理由． 2.如图，在△ ABC中，ABC＝90°，AB=6m，BC=8m， 动点P 以2m/s 的速度从A 点出发，沿AC 向点C 移 动．同时，动点Q以1m/s的速度从C点出发，沿CB向 点B移动．当其中有一点到达终点时，它们都停止移 动．设移动的时间为t 秒． （1）① 当t=2.5s 时，求△ CPQ的面积； ② 求△ CPQ的面积S（平方米）关于时间t（秒）的函数 解析式； （2）在P，Q 移动的过程中，当△CPQ为等腰三角形 时，求出t 的值． 5.如图，在矩形ABCD 中，AB=12cm，BC=6cm，点P 沿 AB 边从A 开始向点B 以2cm/s 的速度移动；点Q 沿DA 边从点D开始向点A以1cm/s 的速度移动．如果P、Q 同 时出发，用t（s）表示移动的时间（0< t <6）。 （1）当t 为何值时，△ QAP为等腰直角三角形？（2） 当t 为何值时，以点Q、A、P 为顶点的三角形与△ABC 相似？ 3.如图1，在Rt△ ABC中，ACB＝90°，AC＝6，BC＝8， 点D 在边AB 上运动，DE 平分CDB交边BC 于点E， EM⊥ BD，垂足为M，EN⊥CD，垂足为N． （1）当AD＝CD 时，求证：DE∥AC； （2）探究：AD 为何值时，△BME与△CNE相似？ 二、构造相似辅助线——双垂直模型 6.在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为（2，1）， 正比例函数y=kx 的图象与线段OA 的夹角是45°，求这个 正比例函数的表达式． 7.在△ABC中，AB= ，AC=4， BC=2，以AB 为边在 C点的异侧作△ABD，使△ABD 为等腰直角三角形， 4.如图所示，在△ ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm ，
2 + 3 8 3.计算：2×(－5)＋23－3÷1 9. 计算：( 3 )0 - ( )-2 + tan45° 2 - (-2011)0 + 4 ÷ (-2 )3 中考专项训练——计算题 集训一（计算） 1. 计算： Sin 450 - 1 2.计算： 2 ． 4.计算：22＋(－1)4＋( 5－2)0－|－3|； 5.计算：22+|﹣1|﹣ ． 8.计算：（1） (- 1)2 - 16 + (- 2)0 （2）a(a-3)+(2-a)(2+a) 1 2 10. 计算： - 3 6.计算： - 2 + (-2) 0 + 2sin 30? ． 集训二（分式化简） 7.计算 ， 1. （2011.南京）计算 ．
x 2 - 4 - 9.（2011.徐州）化简： (a - ) ÷ a - 1 10.（2011.扬州）化简 1 + x ? ÷ x （ 2. （2011.常州）化简： 2 x 1 x - 2 7. （2011.泰州）化简 ． 3.（2011.淮安）化简：（a+b ）2+b （a ﹣b ）． 8.（2011.无锡）a(a-3)+(2-a)(2+a) 4. （2011.南通）先化简，再求值：(4ab 3－8a 2b 2)÷4ab ＋(2a ＋b )(2a －b )，其中 a ＝2，b ＝1． 1 a a ； 5. （2011.苏州）先化简，再求值： a ﹣1+ ）÷（a 2+1），其中 a= ﹣ 1． 6.（2011.宿迁）已知实数 a 、b 满足 ab ＝1，a ＋b ＝2，求代数式 a 2b ＋ab 2 的值． ? ? 1 ? x 2 - 1 ? 集训三（解方程） 1. （2011?南京）解方程 x 2﹣4x+1=0．
相似三角形的判定练习 例题分析： 例1：已知如图，在△ABC 中，D 是AB 上的一点，连结CD ，∠ACD=∠B,求证：2 AE AD AC = 例2：如图，在Rt ΔABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB ，垂足为D ， (1)求证：△ACD ∽△ABC ∽△CBD (2)求证：222(1) (2) (3)AC AD AB CD AD DB BC BD AB === 例3：已知如图，点D 是AB 上的一点，CA ⊥AB,EB ⊥AB,CD ⊥DE,求证：△ACD ∽△BDE 例4：在△ABC 中，AB=6，AC=9，D 为AC 上的一点，AD=3，在AB 上找一点E ，使得△ADE 与△ABC 相似？并求出AE 的长。
两个三角形相似的六种图形： 1. 如图在△ABC中，D是BC边的中点，且AD＝AC，DE⊥BC，交AB于点E，EC交AD于点F． 求证：△ABC∽△FCD； A E F B D C 2、已知：如图，△ABC中，∠ACB=900，AB的垂直平分线交AB于D，交BC延长线于F。 求证：CD2=DE·DF 3. 如图3，△ABC中，AD平分∠BAC，AD的垂直平分线FE交BC的延长线于E．求证：DE2＝BE·CE． 4.如图，已知△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，CF∥BA，BF交AD于P点，交AC于E点。求证：BP2=PE·PF。
5.如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，∠BAC的平分线分别交BC、CD于点E、F，AC·AE=AF·AB 6.如图4，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，E是AC的中点，ED交AB的延长线于点F． 求证：AB DF AC AF ． 7.已知如图，在平行四边形ABCD中，,求证：△AOB∽△ABC 8. 已知:如图,ΔABC中,CE⊥AB,BF⊥AC.求证:(1)△AEC∽△AFB (2) △AEF∽△ACB
1．正弦定理和余弦定理 在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则 2.S △ABC ＝2ab sin C ＝2bc sin A ＝2ac sin B ＝4R ＝2(a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R ，r . 1.在△ABC 中，A >B ?a >b ?sin A >sin B ?cos A 经典练习题相似三角形 一．解答题（共30小题） 1．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC． 2．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点F在BC上，连DF与AB的延长线交于点G．（1）求证：△CDF∽△BGF； （2）当点F是BC的中点时，过F作EF∥CD交AD于点E，若AB=6cm，EF=4cm，求CD 的长． 3．如图，点D，E在BC上，且FD∥AB，FE∥AC． 求证：△ABC∽△FDE． 4．如图，已知E是矩形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于F，试说明：△ABF∽△EAD． 5．已知：如图①所示，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且点B，A，D在一条直线上，连接BE，CD，M，N分别为BE，CD的中点． （1）求证：①BE=CD；②△AMN是等腰三角形； （2）在图①的基础上，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立； （3）在（2）的条件下，请你在图②中延长ED交线段BC于点P．求证：△PBD∽△AMN． 6．如图，E是?ABCD的边BA延长线上一点，连接EC，交AD于点F．在不添加辅助线的情况下，请你写出图中所有的相似三角形，并任选一对相似三角形给予证明． 7．如图，在4×3的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上． （1）填空：∠ABC=_________ °，BC= _________ ； （2）判断△ABC与△DEC是否相似，并证明你的结论． 8．如图，已知矩形ABCD的边长AB=3cm，BC=6cm．某一时刻，动点M从A点出发沿AB 方向以1cm/s的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，问： （1）经过多少时间，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的 （2）是否存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似若存在，求t的值；若不存在，请说明理由． 9．如图，在梯形ABCD中，若AB∥DC，AD=BC，对角线BD、AC把梯形分成了四个小三角形． 1. 解：cos cos cos ,sin cos sin cos sin cos a A b B c C A A B B C C +=+= sin 2sin 2sin 2,2sin()cos()2sin cos A B C A B A B C C +=+-= cos()cos(),2cos cos 0A B A B A B -=-+= cos 0A =或cos 0B =，得2A π=或2B π= 所以△ABC 是直角三角形。 2. 证明：将ac b c a B 2cos 222-+=，bc a c b A 2cos 2 22-+=代入右边 得右边22222222 22()222a c b b c a a b c abc abc ab +-+--=-= 22a b a b ab b a -==-=左边， ∴)cos cos (a A b B c a b b a -=- 3．证明：∵△AB C 是锐角三角形，∴,2A B π+>即022A B ππ>>-> ∴sin sin()2 A B π >-，即sin cos A B >；同理sin cos B C >；sin cos C A > ∴C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++ 4.解：∵2,a c b +=∴sin sin 2sin A C B +=，即2sin cos 4sin cos 2222 A C A C B B +-=， ∴1sin cos 222B A C -==0,22 B π<<∴cos 2B = ∴sin 2sin cos 22244B B B ==?=839 5解：22222222sin()sin cos sin ,sin()cos sin sin a b A B a A B A a b A B b A B B ++===-- cos sin ,sin 2sin 2,222cos sin B A A B A B A B A B π===+=或2 ∴等腰或直角三角形 6解：2sin sin 2sin sin )sin ,R A A R C C b B ?-?=- 222sin sin )sin ,,a A c C b B a c b -=--=- 中考数学计算题专项训练 1.（1） 计算： () 32 22143-?? ? ??-?+ 2. 解分式方程： x x x -+--3132=1。 3.（1） 计算：0452005)-?-+ (2)解不等式组，并把解集在数轴上表示出来 12(3)3 322 x x x --≤?? ?--+??-?，≥ 11. 先化简再求值： 222141 2211 a a a a a a --÷+-+-g ，其中a 满足20a a -= 12.计算 13、计算 14、计算 15. 计算：－22 + (12－1 )0 + 2sin30o 16 ．计算： 1 31-??? ??+0232006???? ??-3-tan60°．17．解不等式组 3(2)451214x x x x x ????? -+<-+≥- 一、训练一（代数计算） 130 3)2(2514-÷-+?? ? ??+-22)145(sin 230tan 3121 -?+?--）＋（）－（＋－ab b a ]a b a b b a a [2÷2 2 32 214( )244 2x x x x x x x x x +--- ÷ --+- 1. 计算： （1）30 82 145+- Sin （2） （3）2×(－5)＋23－3÷12 （4）22＋(－1)4＋(5－2)0 －|－3|； （6）?+-+-30sin 2)2(20 （8）()()0 2 2161-+-- 2.计算：345tan 3231211 0-?-???? ??+??? ??-- 3.计算：( ) () () ??-+-+-+ ?? ? ??-30tan 3312120122010311001 2 4.计算：()( ) 1 1 2230sin 4260cos 18-+ ?-÷?--- 5.计算：12010 0(60)(1) |2(301) cos tan -÷-+-o o 二、训练二（分式化简） 注意：此类要求的题目，如果没有化简，直接代入求值一分不得！ 考点：①分式的加减乘除运算 ②因式分解 ③二次根式的简单计算 1. ． 2。 2 1 422---x x x 3.（a+b ）2 +b （a ﹣b ）． 4. 11()a a a a --÷ 5.2 11 1x x x -??+÷ ??? 6、化简求值 （1）? ?? ??1＋ 1 x －2÷ x 2 －2x ＋1 x 2－4，其中x ＝－5． （2）2121 (1)1a a a a ++-?+，其中a -1. （3）)252(423--+÷--a a a a ， 1-=a （4）)1 2(1a a a a a --÷-，并任选一个你喜欢的数a 代入求值. （5）221 21111 x x x x x -??+÷ ?+--??然后选取一个使原式有意义的x 的值代入求值 初三数学《相似三角形》知识提纲 (何老师归纳) 一：比例的性质及平行线分线段成比例定理 （一）相关概念：1.两条线段的比：两条线段的比就是两条线段长度的比 在同一长度单位下两条线段a ，b 的长度分别为m ，n ，那么就说这两条线段 的比是，或写成a ：b=m ：n ； 其中 a 叫做比的前项，b 叫做比的后项 2：比例尺= 图上距离／实际距离 3：成比例线段：在四条线段a ，b ，c ，d 中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段，记作：c d a b =（或a ：b=c ：d ） ① 线段a ，d 叫做比例外项，线段b ，c 叫做比例内项， ② 线段a 叫首项，d 叫a ，b ，c 的第四比例项。 ③ 比例中项:若 c a b c a b c b b a ,,2是则即?==的比例中项. （二）比例式的性质 1.比例的基本性质:b c a d d c b a =?= 2. 合比：若 ，则或a b c d a b b c d d a b a c d c =±=±±=± 3. 等比：若 ……（若……）a b c d e f m n k b d f n =====++++≠0 4、黄金分割： 把线段AB 分成两条线段AC ，BC （AC>BC ），并且使AC 是AB 和BC 的比例中项，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AC=2 1 5-AB ≈0.618AB ， (三)平行线分线段成比例定理 1.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 如图：当AD∥BE∥CF 时，都可得到 = . = ， = ， 语言描述如下： = ， = ， = . （4）上述结论也适合下列情况的图形： n m b a = 一、知识梳理 1．内角和定理：在ABC ?中，A B C ++=π；sin()A B +=sin C ；cos()A B +=cos C - 面积公式: 111 sin sin sin 222ABC S ab C bc A ac B ?= == 在三角形中大边对大角，反之亦然. 2．正弦定理：在一个三角形中,各边和它的所对角的正弦的比相等. 形式一：R C c B b A a 2sin sin sin === (解三角形的重要工具) 形式二： ?? ? ??===C R c B R b A R a sin 2sin 2sin 2 (边角转化的重要工具) 形式三：::sin :sin :sin a b c A B C = 形式四： sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R = == 3.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.. 形式一：2 2 2 2cos a b c bc A =+- 2 2 2 2cos b c a ca B =+- 222 2cos c a b ab C =+-(解三角形的重要工具) 形式二： 222cos 2b c a A bc +-= 222cos 2a c b B ac +-= 222 cos 2a b c C ab +-= 二、方法归纳 (1)已知两角A 、B 与一边a ,由A +B +C =π及sin sin sin a b c A B C == ，可求出角C ，再求b 、c . (2)已知两边b 、c 与其夹角A ，由a 2=b 2+c 2 -2b c cosA ，求出a ，再由余弦定理，求出角B 、C . (3)已知三边a 、b 、c ，由余弦定理可求出角A 、B 、C . (4)已知两边a 、b 及其中一边的对角A ，由正弦定理sin sin a b A B = ，求出另一边b 的对角B ，由C =π-(A +B )，求出c ，再由sin sin a c A C =求出C ，而通过sin sin a b A B = 求B 时，可能出一解，两解或无解的情况 a = b sinA 有一解 b >a >b sinA 有两解 a ≥b 有一解 a >b 有一解 三、课堂精讲例题 问题一：利用正弦定理解三角形 中考数学计算题专项训练 一、训练一（代数计算） 1. 计算： （1）30821 45+-Sin （2） （3）2×(－5)＋23－3÷12 （4）22＋(－1)4＋(5－2)0－|－3|； （6）?+-+-30sin 2)2(20 （8）()()0 22161-+-- 2.计算：345tan 32312110-?-??? ? ??+??? ??-- 3.计算：()() ()??-+-+-+??? ??-30tan 331212012201031100102 4.计算：() ()0 112230sin 4260cos 18-+?-÷?--- 5.计算：120100(60)(1)|28|(301)21 cos tan -÷-+--?-- 二、训练二（分式化简） 注意：此类要求的题目，如果没有化简，直接代入求值一分不得！ 考点：①分式的加减乘除运算 ②因式分解 ③二次根式的简单计算 1. ． 2。 2 1422---x x x 3.（a+b ）2 +b （a ﹣b ）． 4. 11()a a a a --÷ 5.2111x x x -??+÷ ??? 6、化简求值 （1）????1＋ 1 x －2÷ x 2 －2x ＋1 x 2－4，其中x ＝－5． （2）2121(1)1a a a a ++-?+，其中a 2-1. （3） )2 52(423--+÷--a a a a ， 1-=a （4）)12(1a a a a a --÷-，并任选一个你喜欢的数a 代入求值. （5）22121111x x x x x -??+÷ ?+--??然后选取一个使原式有意义的x 的值代入求值 7、先化简：再求值：????1－1a －1÷a 2－4a ＋4a 2－a ，其中a ＝2＋ 2 . 8、先化简，再求值：a －1a ＋2·a 2＋2a a 2－2a ＋1÷1a 2－1 ，其中a 为整数且－3＜a ＜2. 9、先化简，再求值：222211y xy x x y x y x ++÷??? ? ??++-，其中1=x ，2-=y ． 10、先化简，再求值： 222112( )2442x x x x x x -÷--+-，其中2x =（tan45°-cos30°） 三、训练三（求解方程） 1. 解方程x 2﹣4x+1=0． 2。解分式方程 2322-=+x x 3解方程：3x ＝ 2x －1 ． 4．解方程：x 2+4x －2=0 5。解方程：x x -1 - 31- x = 2． 四、训练四（解不等式） 1.解不等式组，并写出不等式组的整数解． 2.解不等式组?????<+>+.22 1,12x x 3. 解不等式组? ????x +23 ＜1，2(1-x )≤5，并把解集在数轴上表示出来。 4. 解不等式组31311212 3x x x x +<-??++?+??≤，并写出整数解． 五、训练五（综合演练） 1、（1）计算: |2-|o 2o 12sin30(3)(tan 45)-+--+; （2）先化简,再求值: 6)6()3)(3(2+---+a a a a ,其中12-=a . 2、解方程： 0322=--x x 3、解不等式组1(4)223(1) 5. x x x ?+?， 相似三角形 一、知识概述 (一)相似三角形 1、对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形． 温馨提示： ①当且仅当一个三角形的三个角与另一个(或几个)三角形的三个角对应相等，且三条对应边的比相等时，这两个(或几个)三角形叫做相似三角形，即定义中的两个条件，缺一不可； ②相似三角形的特征：形状一样，但大小不一定相等； ③相似三角形的定义，可得相似三角形的基本性质：对应角相等，对应边成比例，其应用广泛． 2、相似三角形对应边的比叫做相似比． 温馨提示： ①全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=1．所以全等三角形是相似三角形的特例．其区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例． ②相似比具有顺序性．例如△ABC∽△A′B′C′的对应边的比，即相似比为k，则△A′B′C′∽△ABC的相似比，当且仅当它们全等时，才有k=k′=1． ③相似比是一个重要概念，后继学习时出现的频率较高，其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数，这一点借助相似三角形可观察得出． 3、如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形． 4、相似三角形的预备定理：如果一条直线平行于三角形的一条边，且这条直线与原三角形的两条边(或其延长线)分别相交，那么所构成的三角形与原三角形相似． ①定理的基本图形有三种情况，如图其符号语言： ∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE； ②这个定理是用相似三角形定义推导出来的三角形相似的判定定理．它不但本身有着广泛的应用，同时也是证明下节相似三角形三个判定定理的基础，故把它称为“预备定理”； ③有了预备定理后，在解题时不但要想到上一节“见平行，想比例”，还要想到“见平行，想相似”． (二)相似三角形的判定 1、相似三角形的判定： 判定定理(1)：两角对应相等，两三角形相似． 判定定理(2)：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似． 判定定理(3)：三边对应成比例，两三角形相似． 温馨提示： ①有平行线时，用上节学习的预备定理； ②已有一对对应角相等(包括隐含的公共角或对顶角)时，可考虑利用判定定理（1）或判定定理（2）； ③已有两边对应成比例时，可考虑利用判定定理2或判定定理3．但是，在选择利用判定定理2时，一对对应角相等必须是成比例两边的夹角对应相等． 2、直角三角形相似的判定：斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似． 相似三角形 1.如图，在△中，∠90°，3，4，过点B作射线1∥．动点D从点A出发沿射线方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C沿射线方向以每秒3 个单位的速度运动．过点D作⊥于H，过点E作⊥交射线1于F，G 是中点，连接．设点D运动的时间为t秒． （1）当t为何值时，，并求出此时的长度；（2）当△与△相似时， 求t的值． 2.如图，在△中，＝90°，6m，8m，动点P以2的速度从A点出 发，沿向点C移动．同时，动点Q以1的速度从C点出发，沿向点 B移动．当其中有一点到达终点时，它们都停止移动．设移动的时间为t秒． （1）①当2.5s时，求△的面积；②求△的面积S（平方米）关于时 间t（秒）的函数解析式； （2）在P，Q移动的过程中，当△为等腰三角形时，求出t的值． 3.如图1，在△中，＝90°，＝6，＝8，点D在边上运动，平分 交边于点E，⊥，垂足为M，⊥，垂足为N． （1）当＝时，求证：∥；（2）探究：为何值时，△与△相似？ 4.如图所示，在△中，＝＝20，＝30，点P从A点出发，沿着以每秒4的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿以每秒3的速度向A点运动，当P点到达B点时，Q点随之停止运动．设运动的时间为x． （1）当x为何值时，∥？ （2）△与△能否相似？若能，求出的长；若不能说明理由． 5.如图，在矩形中，12，6，点P沿边从A开始向点B以2的速度移动；点Q沿边从点D 开始向点A以1的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0＜t＜6）。 （1）当t为何值时，△为等腰直角三角形？ （2）当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△相似？ 6.在平面直角坐标系中，点A的坐标为(2，1)，正比例函数的图 象与线段的夹角是45°，求这个正比例函数的表达式． 7.在△中，，4，2，以为边在C点的异侧作△，使△为等腰直角 三角形，求线段的长． 8.在△中，，∠90°，点M是上的一点，点N是上的一点，沿着直 线折叠，使得点C恰好落在边上的P点．求证：：：． 9.如图，在直角坐标系中，矩形的边在x轴上，边在y轴上，点B 的坐标为（1，3），将矩形沿对角线翻折B点落在D点的位置，且交 y轴于点E．那么D点的坐标为（） A. B. C. D. 10..已知，如图，直线﹣2x＋2与坐标轴交于A、B两点．以为短边在第一象限做一个矩形，使得矩形的两边之比为1﹕2。 求C、D两点的坐标。初中数学相似三角形练习题附参考答案
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