株洲市二中2016届高三第三次月考数学（理工类）
试题卷
命题： 高三理科数学备课组
本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共4页，时量120分钟，满分150分.
一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每个小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的）
1. 如图，设全集为U=R ，{|(2)0},{|1(1)}A x x x B x y n x =-<==-，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A ．{|1}x x ≥ B ．{|12}x x ≤<
C ．{}|01x x <≤
D ．{}|1x x ≤
2. 命题“对任意的x R ∈，都有2
210x x -+≥”的否定是（ ） A..对任意的x R ∈，都有2
210x x -+< B.存在0x R ∈，使200210x x -+<
C.不存在0x R ∈，使200210x x -+<
D.存在0x R ∈，使200210x x -+≥
3. 以双曲线2
214
x y -=的中心为顶点，右焦点为焦点的抛物线方程是（ ） A ．2
4y x = B ．2y = C ．2y = D ．2y =
4. 在△ABC 中,若4a =，3b =,1
cos 3
A =，则
B =（ ）
A .π4
B .π3
C .π6
D .2π3
5. 若2
0030lg ,(),a
x x f x x t dt x >??=?+≤??
?，且11(())f f =，则a 的值为（ ） A .1 B .2 C . 1- D . 2-
6. 某四棱锥的底面为正方形，其三视图如下左图所示，则该四棱锥的体积等于（ ） A ．1 ．2 C ．3 D ．4
正视图
侧视图
7. 如果执行如上图的程序框图,若输入n ＝6,m ＝4,那么输出的p 等于（ ） A .720 B .360 C .240 D .120
8.设各项都是正数的等比数列{}n a 的前n 项之积为T n ，且T 10=32，则5611a a +
的最小值是
A.
B.
C.
D.
9. 在某次会议上，有2位女性和3位男性共五位领导人站成一排照相，则女性领导人甲不在两端的概率为（ ） A . 15 B . 2
5
C . 35
D . 4
5
10.
()f x y x
=
是
定
义
在
非
零
实
数
集
上
的
减
函数，
记
5log )
5(log 2.0)2.0(2)2(222
22.02.0f c f b f a =
==，，，则 （ ） A . c b a <<
B . c a b <<
C . b a c <<
D . a b c <<
11. 已知P 是边长为2的正三角形ABC 的边BC 上的动点，则()AP AB AC ?+
（ ）
A ．最大值为8
B ．是定值6
C ．最小值为2
D ．与P 点位置有关
12．过双曲线22
2210()x y b a a b -=>>的左焦点00(,)()F c c ->作圆222x y a +=的切线，
切点为E ，延长EF 交抛物线2
4y cx =于点P ．若12
()OE OF OP =+
，则双曲线的离心率
为（ ）
32
.
A +
12
.
B
2C
12
.D + 二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡中对应题号后
的横线上）
13．若复数(2
1a -)＋(1a -)i (i 为虚数单位)是纯虚数，则实数a ＝ ；
14. 设实数x ，y 满足不等式组2502700,0x y x y x y +->??
+->??≥≥?
，则3x +4y 的最小值是 ；
15. 若正数,a b 满足
111a b +=，则41611
a b +--的最小值为 ；
16．若存在实常数k 和b ，使得函数()F x 和()G x 对其公共定义域上的任意实数x 都满足：
()F x kx b ≥+和()G x kx b ≤+恒成立，则称此直线y kx b =+为()F x 和()G x 的“隔离直
线”，已知函数2
1
()(),()(0),()2ln f x x x R g x x h x e x x
=∈=<=，有下列命题： ①()()()F x f x g x =-在
(x ∈内单调递增； ②()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且b 的最小值为4-； ③()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且k 的取值范围是(4,0]-；·
④()f x 和()h x 之间存在唯一的“隔离直线”y e =-. 其中真命题的个数为 （请填所有正确命题的序号）
三、解答题：解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
17．（本小题满分12分）已知函数()()sin(2)16
f x x x R π
=--∈。
（1）求函数()f x 的最小正周期以及在区间??
?
???2,
0π的最小值；
（2）设ABC ?的内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，且()0c f C ==，若向量
()1,sin m A =与向量()2,sin n B =共线，求ABC ?的面积。
18．（本小题满分12分）已知单调递增的等比数列{}n a 满足：28432=++a a a ，且23+a 是2a 和4a 的等差中项．
（1）求数列{}n a 的通项公式n a ；
（2） 令n n n a a b 2
1log =，n n b b b S +++= 21，求使5021>?++n n n S 成立的最小的正
整数n ．
19．（本小题满分12分）如图，在六面体ABCDEFG 中，平面ABC ∥平面DEFG ，AD ⊥平面DEFG ，ED ⊥DG ，EF ∥DG ，且AB =AD =DE =DG =2，AC =EF =1。 （1）求证：BF ∥平面ACGD ；
（2）求二面角D —CG —F 的余弦值。
20．（本小题满分12分）已知椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的离心率为12，以原点O 为
圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线0x y -=相切.
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A 、B 两点，且OA k ·2
2OB b k a
=-，求证：△AOB
的面积为定值；
21．（本小题满分12分）已知函数3
2
313102
()()()t f x x x tx t +=-++> （1）若()f x 在02(,)上无极值，求t 的值；
（2）若存在002(,)x ∈，使得0()f x 是()f x 在02[,]上的最大值，求实数t 的取值范围； （3）若2()x
f x xe m ≤-+（e 为自然对数的底数）对任意的0[,)x ∈+∞恒成立，且m 的最大值为1，求实数t 的取值范围.
请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分
22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图BD 是△ABC 外接圆的切线。过A 作BD 的平行线交BC 于E ，交△ABC 的外接圆于F .
（1
）若4,D ABD BC AC ∠=∠==，求△ABC 外接圆的面积； （2）求证：AC EF AB EC ?=?
23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xoy 中,直线l
的参数方程为2x t y m
?=+??=-??（t 为参数）,若以坐
标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为
128(cos )cos ρθθ-=
（1）求曲线C 的直角坐标方程；
（2）若直线l 与曲线C 相切，求直线l 与坐标轴围成的三角形的面积.
24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数2()log (11)f x x x a =++--。 （1）当4a =时，求函数()f x 的定义域；
（2）若函数()f x 的定义域是R ，求实数a 的取值范围。
株洲市二中2016届高三第三次月考数学
(理科)答题卡
一、选择题（5′×12=60′）
二、填空题（5′×4=20′） 13．____________ ____ ___； 14．______ __________；
15.________ ______ ___； 16. ；
三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
年级___________ 班级___________ 学号____________ 姓名___________ 考场号__________ 座位号___________ ……………………………………… 装 …………………………………… 订 ……………………………… 线…………………………
株洲市二中2016届高三第三次月考数学试卷
数 学（理工类）
本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共4页，时量120分钟，满分150分.
一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每个小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的）
1. 如图，设全集为U=R ，{|(2)0},{|1(1)}A x x x B x y n x =-<==-，则图中阴影部分表示的集合为（ B ） A ．{|1}x x ≥ B ．{|12}x x ≤<
C ．{}|01x x <≤
D ．{}|1x x ≤
2. 命题“对任意的x R ∈，都有2
210x x -+≥”的否定是（ B ） A..对任意的x R ∈，都有2
210x x -+< B.存在0x R ∈，使200210x x -+<
C.不存在0x R ∈，使200210x x -+<
D.存在0x R ∈，使200210x x -+≥
3. 以双曲线2
214
x y -=的中心为顶点，右焦点为焦点的抛物线方程是（ B ） A ．2
4y x = B
．2y = C
．2y = D
．2y =
4. 在△ABC 中,若4a =，3b =,1
cos 3
A =，则
B =（ A ）
A .π4
B .π3
C .π6
D .2π3
5. 若2
0030lg ,(),a
x x f x x t dt x >??=?+≤??
?，且11(())f f =，则a 的值为（ A ） A .1 B .2 C . 1- D . 2-
6. 某四棱锥的底面为正方形，其三视图如下左图所示，则该四棱锥的体积等于（ B ） A ．1
．2 3 D ．4
俯视图
正视图
侧视图
7. 如果执行如图的程序框图,若输入n ＝6,m ＝4,那么输出的p 等于（ B ） A .720 B .360 C .240 D .120
8. 在某次会议上，有2位女性和3位男性共五位领导人站成一排照相，则女性领导人甲不在两端，3位男性领导人中有且仅有2位相邻的概率为（ C ） A .
15
B .
13 C . 2
5
D .
1
2
9. )(x f 是定义在非零实数集上的函数，)(x f '为其导函数，且0>x 时，0)()(<-'x f x f x ，
记5log )5(log 2
.0)2.0(2)2(222
22.02.0f c f b f a ===，，，则 （ C ） A . c b a <<
B . c a b <<
C . b a c <<
D . a b c <<
10. 已知P 是边长为2的正三角形ABC 的边BC 上的动点，则()AP AB AC ?+
（ B ）
A ．最大值为8
B ．是定值6
C ．最小值为2
D ．与P 点位置有关
11．过双曲线22
2210()x y b a a b -=>>的左焦点00(,)()F c c ->作圆222x y a +=的切线，
切点为E ，延长EF 交抛物线2
4y cx =于点P ．若12
()OE OF OP =+
，则双曲线的离心率
为（ B ）
A B C D 【解析】设双曲线的右焦点为F'，则F'的坐标为（c ，0） ∵抛物线为y 2
=4cx ，∴F'为抛物线的焦点，O 为FF'的中点， ∵
，∴E 为FP 的中点，∴OE 为△PFF'的中位线，
∵O 为FF'的中点，∴OE ∥PF'，∵|OE|=a ，∴|PF'|=2a
∵PF 切圆O 于E ，∴OE ⊥PF ，∴PF'⊥PF ， ∵|FF'|=2c ，∴|PF|=2b 设P （x ，y ），则x+c=2a ，∴x=2a ﹣c
过点F 作x 轴的垂线，则点P 到该垂线的距离为2a 由勾股定理 y 2
+4a 2
=4b 2
∴4c （2a ﹣c ）+4a 2
=4（c 2
﹣a 2
） ∴e 2
﹣e ﹣1=0，∵e ＞1，∴e=
．故选B ．
12．若存在实常数k 和b ，使得函数()F x 和()G x 对其公共定义域上的任意实数x 都满足：
()F x kx b ≥+和()G x kx b ≤+恒成立，则称此直线y kx b =+为()F x 和()G x 的“隔离直
线”，已知函数2
1
()(),()(0),()2ln f x x x R g x x h x e x x
=∈=<=，有下列命题： ①()()()F x f x g x =-在
(x ∈内单调递增； ②()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且b 的最小值为4-； ③()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且k 的取值范围是(4,0]-；
④()f x 和()h x 之间存在唯一的“隔离直线”y e =-. 其中真命题的个数有（ C ）
A .1个
B .2个
C .3个
D .4个
二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡中对应题号后
的横线上）
13．若复数(21a -)＋(1a -)i (i 为虚数单位)是纯虚数，则实数a ＝ 1- ；
14. 设实数x ，y 满足不等式组2502700,0x y x y x y +->??
+->??≥≥?
，则3x +4y 的最小值是 13 ；
15. 若正数,a b 满足
111a b +=，则41611
a b +--的最小值为
16 ； 16. 已知5
2
x ? ?
的展开式中的常数项为T ，()f x 是以T 为周期的偶函数，且当[0,1]x ∈时，()f x x =，若在区间[1,3]-内，函数()()g x f x kx k =--有4个零点，则实
数k 的取值范围是 10,4
?? ??
?
．
解析：∵的常数项为=2
∴f （x ）是以2为周期的偶函数 ∵区间[﹣1，3]是两个周期
∴区间[﹣1，3]内，函数g （x ）=f （x ）﹣kx ﹣k 有4个零点 可转化为f （x ）与r （x ）=kx+k 有四个交点
当k=0时，两函数图象只有两个交点，不合题意
当k≠0时，∵r （﹣1）=0，两函数图象有四个交点，必有0＜r （3）≤1解得0＜k≤
14
故答案为：10,4
?? ?
?
?
三、解答题：解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
17．（本小题满分12分）已知函数()()2
1
cos cos 2
f x x x x x R =--
∈。 （1）求函数()f x 在区间??
?
???2,
0π的最小值和最小正周期； （2）设ABC ?
的内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，且()0c f C ==，若向量
()1,sin m A =与向量()2,sin n B =共线，求ABC ?的面积。
18．（本小题满分12分）已知单调递增的等比数列{}n a 满足：28432=++a a a ，且23+a 是2a 和4a 的等差中项．
（1）求数列{}n a 的通项公式n a ；
（2） 令n n n a a b 2
1log =，n n b b b S +++= 21，求使5021>?++n n n S 成立的最小的正
整数n ．
①-②得：-T n =（2+2+…+2）-n×2=-（n-1）×2-2，
∴S n =-T n =-（n-1）×2n+1-2（10分）故S n +n?2n+1＞50?-（n-1）×2n+1-2+n×2n+1＞50，?2n ＞26，
∴满足不等式的最小的正整数n 为5． 19．（本小题满分12分）如图，在六面体ABCDEFG 中，平面ABC ∥平面DEFG ，AD ⊥平面DEFG ，ED ⊥DG ，EF ∥DG ，且AB =AD =DE =DG =2，AC =EF =1。 （1）求证：BF ∥平面ACGD ；
（2）求二面角D —CG —F 的余弦值。
解法二：由题意可得， DA ，DE ，DG 两两垂直，故可建立如右图所示的空间直角坐标系。 则A(0,0,2)，B （2,0,2），C （0,1,2），E （2,0,0），G （0, 2,0），F(2,1,0).
（1）(2,1,0)(2,0,2)(0,1,2),BF =-=-
(0,2,0)(0,1,2)(0,1,2),CG =-=-
∴BF CG =
，∴BF ∥CG 。
又BF ?平面ACGD ，CG ?平面ACGD ，故BF ∥平面ACGD 。………（6分）
（2）(0,2,0)(2,1,0)(2,1,0).FG =-=-
设平面BCGF 的法向量为m 1=(x,y,z)
则11·CG=y 20·
20n z n FG x y ?-=??=-+=??
令y=2，则n 1=（1，2，1）.又平面ADGC 的法向量n 2=（1，0，0）
∴12
1212
·cos ?
·n n n n n n <>=
由于所求的二面角为锐二面角，∴二面角D —CG —F
12分） 20．（本小题满分12分）已知椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的离心率为12，以原点O 为
圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线0x y -=相切.
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A 、B 两点，且OA k ·2
2OB b k a
=-，求证：△AOB
的面积为定值；
21．（本小题满分12分）已知函数3
2
313102
()()()t f x x x tx t +=-++> （1）若()f x 在02(,)上无极值，求t 的值；
（2）若存在002(,)x ∈，使得0()f x 是()f x 在02[,]上的最大值，求实数t 的取值范围； （3）若2()x f x xe m ≤-+（e 为自然对数的底数）对任意的0[,)x ∈+∞恒成立，且m 的最大值为1，求实数t 的取值范围.
请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分
22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图BD 是△ABC 外接圆的切线。过A 作BD 的平行线交BC 于E ，交△ABC 的外接圆于F .
（1
）若4,D ABD BC AC ∠=∠==，求△ABC 外接圆的面积； （2）求证：AC EF AB EC ?=?