[学习目标] 1.了解导数和微积分的关系.2.掌握微积分基本定理.3.会用微积分基本定理求一些函数的定积分. 知识点一导数与定积分的关系
f(x)d x等于函数f(x)的任意一个原函数F(x)(F′(x)=f(x))在积分区间[a,b]上的
s可
s=t=s(b)-s t等于
(1)
(2)
(3)
(4)若f(x)=e x,则F(x)=e x;
(5)若f(x)=a x,则F(x)=(a>0且a≠1);
(6)若f(x)=sin x,则F(x)=-cos x;
(7)若f(x)=cos x,则F(x)=sin x.
知识点二微积分基本定理
一般地,如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数,并且F′(x)=f(x),那么f(x)d x =F(b)-F(a).
思考(1)函数f(x)的原函数F(x)是否唯一?
(2)用微积分基本定理计算简单定积分的步骤是什么?
(2)
例
解
所以3d x=(3x)=3×2-3×1=3.
(2)因为(x2+3x)′=2x+3,
所以(2x+3)d x=(x2+3x)
=22+3×2-(02+3×0)=10.
(3)因为′=4x-x2,
所以(4x-x2)d x=
=-=.
(4)因为′=(x-1)5,
所以(x-1)5d x
=(
=
①
②
(2)
①
②C
F′(x)=f)=
F(x)|,所以利用f(x)的原函数计算定积分时,一般只写一个最简单的原函数,不用再加任意常数C了.
跟踪训练1求下列函数的定积分:
(1)2d x;(2)(1+)d x.
解(1)2d x
=d x
=x2d x+2d x+d x
=x3+2x+
=×(23-13)+2×(2-1)-=.
=(
=
=
例
解
f(x
=
=++
=+-+-
=+.
反思与感悟(1)分段函数在区间[a,b]上的定积分可分成几个定积分的和的形式.(2)分段的标准是确定每一段上的函数表达式,即按照原函数分段的情况分就可以.
跟踪训练2求下列定积分:
(1)|x2-1|d x;(2)d x.
解
∴|
=
=
=
=
=2-2.
题型三定积分的简单应用
例3已知f(a)=(2ax2-a2x)d x,求f(a)的最大值.
解∵′=2ax2-a2x,
∴(2ax2-a2x)d x=
=a-a2,
即f(a)=a-a2=-+
=-2+,
∴当a=时,f(a)有最大值.
反思与感悟定积分的应用体现了积分与函数的内在联系,可以通过积分构造
)d x=-
解
又
而
=
=
∴
由①②③式得a=6,b=0,c=-4.
1.d x等于()
A.2(-1)
B.+1
C.-1
D.2-
答案 C
解析结合微积分基本定理,得
d x=(cos x-sin x)d x=(sin x+cos x)=-1.
2.下列定积分的值等于1的是()
A.x d x
B.(x+1)d x
C.1d x
D.d x
3.d
4.
5.已知函数f(x)为偶函数,且f(x)d x=8,则f(x)d x=.
答案16
解析因为函数f(x)为偶函数,且f(x)d x=8,所以f(x)d x=2f(x)d x=16.
1.求定积分的一些常用技巧
(1)对被积函数,要先化简,再求积分.
(2)若被积函数是分段函数,依据定积分“对区间的可加性”,分段积分再求和.
(3)对于含有绝对值符号的被积函数,要去掉绝对值符号才能积分.
2.由于定积分的值可取正值,也可取负值,还可以取0,而面积是正值,因此
x
1.
2.
A.
B.
C.F(x)=x3+1
D.F(x)=x3+c(c为常数)
答案 B
解析若F(x)=x3,则F′(x)=3x2,这与F′(x)=x2不一致,故选B.
3.|x+2|d x等于()
A.(x+2)d x
B.(-x-2)d x
C.(x+2)d x+2(-x-2)d x
D.(-x-2)d x+(x+2)d x
答案 D
∴|
4.
A.
答案 D
解析sin2d x=d x=0=,故选D.
6.若S1=x2d x,S2=d x,S3=e x d x,则S1,S2,S3的大小关系为()
A.S1<S2<S3
B.S2<S1<S3
C.S2<S3<S1
D.S3<S2<S1
答案 B
解析S1=x2d x=x3S2==ln2<1,S3=e x d x=e x=e2-e=e(e-1)>,所以S2<S1<S3,选B.
二、填空题
7.(
的半圆
即
∴(
8.
9.
答案
解析由f(x)d x=f(x0),得(ax2+c)d x==a+c=ax+c,∴=ax,∵a≠0,∴x =,又0≤x0≤1,∴x0=.故填.
10.设f(x)=若f[f(1)]=1,则a=.
答案 1
解析因为x=1>0,所以f(1)=lg1=0.又x≤0时,f(x)=x+3t2d t=x+t3=x+a3,
所以f(0)=a3.因为f[f(1)]=1,所以a3=1,解得a=1.
三、解答题
11.设f(x)是一次函数,且f(x)d x=5,xf(x)d x=,求f(x)的解析式.
解
f(x
=
xf(
=
12.
解
f(x
=
=
=+-+-
=-++.
13.求定积分|x+a|d x.
解(1)当-a≤-4即a≥4时,
原式=(x+a)d x==7a-.
(2)当-4<-a<3即-3<a<4时,原式=[-(x+a)]d x+(x+a)d x
=
=
(3)
1.6 微积分基本定理( 2) 一、【教学目标】 重点:使学生直观了解微积分基本定理的含义,并能正确运用基本定理计算简单的定积分. 难点:利用微积分基本定理求积分;找到被积函数的原函数. 能力点:正确运用基本定理计算简单的定积分. 教育点:通过微积分基本定理的学习,体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系,培养学生辩 证唯物主义观点,提高理性思维能力. 自主探究点:通过实例探求微分与定积分间的关系,体会微积分基本定理的重要意义. 易错点:准确找到被积函数的原函数,积分上限与下限代人求差注意步骤,以免符号出错. 考试点:高考多以填空题出现,以考查定积分的求法和面积的计算为主. 二、【知识梳理】 1. 定积分定义:如果函数() f x在区间[,] a b上连续,用分点 0121- =<<<<<<<= i i n a x x x x x x b,将区间[,] a b等分成n个小区间,在每一个小区间 1 [,] i i x x - 上任取一点(1,2,,) ξ= i i n,作和 1 ()() ξξ = - ?=∑n i i i i b a f x f n ,当n→∞时,上述和式无限接近某个常数,这个常数叫做函数() f x在区间[,] a b上的定积分,记作() b a f x dx ?,即 1 ()lim() n b a i n i b a f x dx f n ξ →∞ = - =∑ ?,这里a、b分别叫做积分的下限与上限,区间[,] a b叫做积分区间,函数() f x叫做被积函数,x叫做积分变量,() f x dx叫做被积式. 2.定积分的几何意义 如果在区间[,] a b上函数连续且恒有()0 f x≥,那么定积分() b a f x dx ?表示由直线, x a x b ==(a b ≠),0 y=和曲线() y f x =所围成的曲边梯形的面积.
导数公式: 基本积分表: 三角函数的有理式积分: 2222 212sin cos 1121u u x du x x u tg dx u u u -==== +++, , , 22(tan )sec (cot )csc (sec )sec tan (csc )csc cot ()ln ()(ln 1)1(log )ln x x x x a x x x x x x x x x x a a a x x x x x a '='=-'=?'=-?'='=+' = 2 2 2 (arcsin )(arccos )1 (arctan )11 (arc cot )11 ()x x x x x x thx ch '= '='= +'=- +' = 2 22 2sec tan cos csc cot sin sec tan sec csc cot csc ln ln(x x dx xdx x C x dx xdx x C x x xdx x C x xdx x C a a dx C a shxdx chx C chxdx shx C x C ==+==-+?=+?=-+=+=+=+=+????????? 222222tan ln cos cot ln sin sec ln sec tan csc ln csc cot 1arctan 1ln 21ln 2arcsin xdx x C xdx x C xdx x x C xdx x x C dx x C a x a a dx x a C x a a x a dx a x C a x a a x x C a =-+=+=++=-+=++-=+-++=+--=+???????? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π
定积分与微积分基本定理(理) 基础巩固强化 1.求曲线y =x 2与y =x 所围成图形的面积,其中正确的是( ) A .S =?? ?0 1(x 2-x )d x B .S =?? ?0 1 (x -x 2)d x C .S =?? ?0 1 (y 2-y )d y D .S =??? 1 (y - y )d y [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义,确定积分上、下限和被积函数. [解析] 两函数图象的交点坐标是(0,0),(1,1),故积分上限是1,下限是0,由于在[0,1]上,x ≥x 2,故函数y =x 2与y =x 所围成图 形的面积S =?? ?0 1 (x -x 2)d x . 2.如图,阴影部分面积等于( ) A .2 3 B .2-3 [答案] C [解析] 图中阴影部分面积为
S =??? -3 1 (3-x 2 -2x )d x =(3x -1 3x 3-x 2)|1 -3=32 3. 4-x 2d x =( ) A .4π B .2π C .π [答案] C [解析] 令y =4-x 2,则x 2+y 2=4(y ≥0),由定积分的几何意义知所求积分为图中阴影部分的面积, ∴S =1 4×π×22=π. 4.已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线(假定为直线)行驶.甲车、乙车的速度曲线分别为v 甲和v 乙(如图所示).那么对于图中给定的t 0和t 1,下列判断中一定正确的是( ) A .在t 1时刻,甲车在乙车前面 B .在t 1时刻,甲车在乙车后面 C .在t 0时刻,两车的位置相同 D .t 0时刻后,乙车在甲车前面 [答案] A [解析] 判断甲、乙两车谁在前,谁在后的问题,实际上是判断在t 0,t 1时刻,甲、乙两车行驶路程的大小问题.根据定积分的几何意义知:车在某段时间内行驶的路程就是该时间段内速度函数的定积
7、微积分基本定理 一、选择题 1.??0 1(x 2 +2x )d x 等于( ) A.13 B.23 C .1 D.43 2.∫2π π(sin x -cos x )d x 等于( ) A .-3 B .-2 C .-1 D .0 3.自由落体的速率v =gt ,则落体从t =0到t =t 0所走的路程为( ) A.13gt 20 B .gt 2 0 C.12gt 20 D.16gt 20 4.曲线y =cos x ? ????0≤x ≤3π2与坐标轴所围图形的面积是( ) A .4 B .2 C.5 2 D .3 5.如图,阴影部分的面积是( ) A .2 3 B .2- 3 C.323 D.35 3 6.??0 3|x 2-4|d x =( ) A.213 B.223 C.233 D.25 3 7.??241 x d x 等于( ) A .-2ln2 B .2ln2 C .-ln2 D .ln2 8.若??1a ? ?? ??2x +1x d x =3+ln2,则a 等于( ) A .6 B .4 C .3 D .2 9.(2010·山东理,7)由曲线y =x 2 ,y =x 3 围成的封闭图形面积为( ) A.112 B.14 C.13 D.7 12 10.设f (x )=??? ?? x 2 0≤x <12-x 1 11.从如图所示的长方形区域内任取一个点M (x ,y ),则点M 取自阴影部分的概率为________. 12.一物体沿直线以v =1+t m/s 的速度运动,该物体运动开始后10s 内所经过的路程是________. 13.求曲线y =sin x 与直线x =-π2,x =5 4π,y =0所围图形的面积为________. 14.若a =??02x 2 d x ,b =??02x 3 d x ,c =??0 2sin x d x ,则a 、b 、c 大小关系是________. 三、解答题 15.求下列定积分: ①??0 2(3x 2+4x 3 )d x ; ② sin 2 x 2 d x . 17.求直线y =2x +3与抛物线y =x 2 所围成的图形的面积. 18.(1)已知f (a )=??0 1(2ax 2 -a 2 x )d x ,求f (a )的最大值; (2)已知f (x )=ax 2 +bx +c (a ≠0),且f (-1)=2,f ′(0)=0,??0 1f (x )d x =-2,求a ,b ,c 的值. DBCDCCDDAC 11. 13 12. 23(1132-1) 13.4-2 2 [解析] 所求面积为 =1+2+? ?? ?? 1-22=4-22. 14.[答案] c 专题13定积分与微积分基 本定理知识点 标准化文件发布号:(9312-EUATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DQQTY- 考点13 定积分与微积分基本定理 一、定积分 1.曲边梯形的面积 (1)曲边梯形:由直线x =a 、x =b (a ≠b )、y =0和曲线()y f x =所围成的图形称为曲边梯形(如图①). (2)求曲边梯形面积的方法与步骤: ①分割:把区间[a ,b ]分成许多小区间,进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形(如图②); ②近似代替:对每个小曲边梯形“以值代曲”,即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积,得到每个小曲边梯形面积的近似值(如图②); ③求和:把以近似代替得到的每个小曲边梯形面积的近似值求和; ④取极限:当小曲边梯形的个数趋向无穷时,各小曲边梯形的面积之和趋向一个定值,即为曲边梯形的面积. 2.求变速直线运动的路程 3.定积分的定义和相关概念 (1)如果函数f (x )在区间[a ,b ]上连续,用分点a =x 0专题13定积分与微积分基本定理知识点
定积分及微积分基本定理练习题及答案