第一章投影法和点、直线、平面的投影【主要讲授内容及时间分配】
1、投影法概述（25分钟）
2、点的投影（45分钟）
3、直线的投影（90分钟）
4、平面的投影（45分钟）【重点与难点】
重点：
1、点、直线、平面的投影特性
2、直角三角形法求一般位置直线实长
3、直角投影定理
4、面上取点、取线
难点：
1、直角三角形法求一般位置直线实长
2、直角投影定理
3、面上取点、取线
【教学要求】
1、掌握正投影法的基本性质
2、掌握点、直线和平面的投影特性
3、掌握直角三角形法求一般位置直线实长
4、掌握面上取点、取线的方法
【实施方法】
课堂讲授，板书作图，模型展示，PPT配合，布置课后作业。
§1-1 投影法
一、投影法的基本概念
投影线通过物体向选定的面投影，并在该面上获得物体投影的方法叫做投影法。
二、投影法的分类
1.中心投影法
2.平行投影法
（1）斜投影法。
（2）正投影法。
三、正投影的基本性质
（1）实形性。
（2）积聚性。
（3）类似性。
四、工程中常用的两种作图方法
1、多面正投影图：采用相互垂直的两个或两个以上的投影面，在每个投影面上分别用正投影法获得物体的投影。它有良好的度量性，作图简便，但直观性差。
2、轴测图：将物体连同其参考直角坐标系，沿不平行于任一坐标面的方向，用平行投影法将其投射在单一投影面上所得的具有立体感的图形。它能反映长、宽、高的形状，但作图较繁且度量性差，作辅助图样。
§1-2 点的投影
一、点的三面投影
点的投影规律：
（1）点的两面投影的连线，必定垂直于相应的投影轴。
（2）点的投影到投影轴的距离，等于空间点到相应的投影面的距离，即“影轴距等于点面距”。
二、点的投影与直角坐标的关系
点的空间位置可用直角坐标来表示。即把投影面当作坐标面，投影轴当作坐标轴，O即为坐标原点。则：
S点的X坐标X S=S点到W面的距离Ss″；
S点的Y坐标Y S=S点到V面的距离Ss′；
S点的Z坐标Z S=S点到H面的距离Ss。
点S坐标的规定书写形式为：S（x、y、z）。
三、两点的相对位置
两点在空间的相对位置，由两点的坐标关系来确定。
两点的左、右相对位置由x坐标来确定，坐标大者在左方。故点A在点B的左方；
两点的前、后相对位置由y坐标来确定，坐标大者在前方。故点A在点B的后方；
两点的上、下相对位置由z坐标来确定，坐标大者在上方。故点A在点B的下方。
若反过来说，则点B在点A的右、前、上方。如图：
在图所示E、F两点的投影中，e′和f′重合，这说明E、F两点的x、z坐标相同，x E=x F、z E=z F，即E、F两点处于对正面的同一条投射线上。
可见，共处于同一条投射线上的两点，必在相应的投影面上具有重合的投影。这两个点被称为对该投影面的一对重影点。
重影点的可见性需根据这两点不重影的投影的坐标大小来判别，即：
当两点在V面的投影重合时，需判别其H面或W面投影，则点在前（y坐标大）者可见；
当两点在H面的投影重合时，需判别其V面或W面投影，则点在上（z坐标大）者可见；
若两点在W面的投影重合时，需判别其H面或V面投影，则点在左（x坐标大）者可见。
如图中，e′、f′重合，但水平投影不重合，且e在前f在后，即Y E﹥Y F。所以对V面来说，E可见，F不可见。在投影图中，对不可见的点，需加圆括号表示。
例题1：已知点A的三面投影图，如图a 所示，作点B（30、10、0）的三面投影，并判断两点的空间相对位置。
分析点B的z坐标等于0，说明点B属于H面，点B的正面投影b′一定在OX轴上，侧面投影b″一定在OY W轴上。
作图在OX轴上由O向左量取30，得b x（b′重合于该点），由b x向下作垂线并量取b x b=10，得b。根据b、b′，即可求出第三投影b″，如图2-13b所示。应注意，b″事实上在W面的OY W轴上，而不在H面的OY H轴上。
判别A、B两点在空间的相对位置：
左、右相对位置：x B－x A=10,故点A在点B右方10mm。
前、后相对位置：y A－y B=10，故点A在点B前方10mm；
上、下相对位置：z A－z B=10,故点A在点B上方10mm；
即点A在点B的右、前、上方各10mm处。
1-3 直线的投影
一、直线的三面投影
（1)一般来说，直线的投影仍为直线。
（2）直线的投影可由直线上两点的同面投影（即同一投影面上的投影）来确定。
二、属于直线的点
如果一个点在直线上，则该点的各个投影必在该直线的同面投影上。反之，如果点的各个投影都在直线的同面投影上，则该点一定在该直线上。
三、各种位置直线的投影
直线的位置共有三种，即一般位置直线、投影面平行线、投影面垂直线。
1．一般位置直线
对三个投影面都倾斜的直线，称为一般位置直线,如图：
一般位置直线的投影特性为：
（1）一般位置直线的各面投影都与投影轴倾斜；
（2）一般位置直线的各面投影的长度均小于实长。
2．特殊位置直线
（1）投影面平行线平行于一个投影面而与其他两个投影面倾斜的直线，称为投影面平行线。
根据投影面平行线所平行的平面不同，投影面平行线又可分为三种：平行于H面的直线，称为水平线；平行于V面的直线，称为正平线；平行于W面的直线，称为侧平线。
直线和投影面的夹角，叫直线对投影面的倾角，并以α、β、γ分别表示直线对H、V、W面的倾角。
（2）投影面垂直线垂直于一个投影面的直线，称为投影面垂直线。
根据投影面垂直线垂直的投影面不同，投影面垂直线又可分为三种：垂直于H面的直线，称为铅垂
线；垂直于V面的直线，称为正垂线；垂直于W面的直线，称为侧垂线。
四、两直线的相对位置
空间两直线的相对位置有平行、相交和交叉三种情况，它们的投影特性分述如下：
1．平行两直线
空间相互平行的两直线，它们的同面投影也一定相互平行。
2．相交两直线
空间相交的两直线，他们的同面投影也一定相交，交点为两直线的共有点，且应符合点的投影
规律。
3．交叉两直线
在空间即不平行也不相交的两直线，叫交叉两直线，又称异面直线。
1-4 平面的投影
一、平面的表示法
不属于同一直线的三点可确定一平面。因此平面可以用任何一组几何要素的投影来表示。在投影图中，常用平面图形来表示空间的平面。
平面的投影也是先画出平面图形各顶点的投影，然后将各点的同面投影依次连接，即为平面图形的投影
二、各种位置平面的投影
在投影体系中，平面相对于投影面的位置也有三种，即一般位置平面、投影面平行面、投影面垂直面。
1．一般位置平面
对三个投影面都倾斜的平面，称为一般位置平面。
一般位置平面的投影特性为：
三面投影都是小于原平面图形的类似形。
2．特殊位置平面
（1）投影面平行面平行于一个投影面的平面，称为投影面平行面。
根据投影面平行面所平行的平面不同，投影面平行面又可分为三种：
平行于H面的平面，称为水平面；
平行于V面的平面，称为正平面；
平行于W面的平面，称为侧平面。
投影面平行面特性：
平面在所平行的投影面上的投影反映实形，其余的投影都是平行于投影轴的直线；
（2）投影面垂直面垂直于一个投影面而对其他两个投影面倾斜的平面，称为投影面垂直面。
根据投影面垂直面所垂直的平面不同，投影面垂直面又可分为三种：
垂直于H面的平面，称为铅垂面；
垂直于V面的平面，称为正垂面；
垂直于W面的平面，称为侧垂面。
投影面垂直面特性：
平面在所垂直的投影上的投影积聚成一直线，该直线于投影轴的夹角，就是该平面对另外两个投影面的真实倾角，而另外两个投影面上的投影是该平面的类似形。
三、平面上直线和点的投影
1．平面上的直线
在平面上取直线的条件是：
（1）一直线经过平面上的两点；
（2）一直线经过平面上的一点，且平行于平面上的另一已知直线。
2．平面上的点
在平面上取点的条件是：
若点在直线上，直线在平面上，则点一定在该平面上。因此，在平面上取点时，应先在平面上取直线，再在该直线上取点。
例题2：已知△ABC上的直线EF的正面投影e′f′，如图b所示，求水平投影ef。
分析如图a所示，因为直线EF在△ABC平面内,延长EF，可与△ABC的边线交于M、N，则直线EF是△ABC上直线MN的一部分，它的投影必属于直线MN的同面投影。
作图
①延长e′f′与a′b′和b'c'交于m′、n′, 由m′n′求得m、n，如图c所示。
②连m、n, 在mn上由e′f′求得ef，如图d所示。
例题3：如图a所示，已知△ABC上点E的正面投影e′和点F的水平投影f，求作它们的另一面投影。
分析因为点E、F在△ABC上，故过E、F在△ABC平面上各作一条辅助直线，则点E、F的两个投影必定在相应的辅助直线的同面投影上。
作图
①如图b所示，过e′做一条辅助直线Ⅰ、Ⅱ的正面投影1′2′，使1′2′//a′b′,求出水平投影1、2；然后过e′作OX轴的垂线与1、2相交，交点e即为点E的水平投影。
②过f作辅助直线的水平投影fa，fa交bc于3，求出正面投影a′3′，过f作OX轴的垂线与a′3′
的延长线相交，交点即为点F的正面投影f′。
例题4: 已知五边形的五个顶点组成一平面图形，试完成图b所示图形的水平投影。
分析因为五边形的五个顶点在同一平面上，已知A、B、C三点的两面投影，可在△ABC所确定的平面上，应用在平面上取点的方法，求D、E的水平投影，从而完成五边形的水平投影。
作图
①过E在△ABC上作辅助线AF：连a'e'并延长，与b'c'交于f'，由f'求得f；连af，由e'求得e，如图a、c所示。
②过D在△ABC上作辅助线DG//BC：过d'作d'g'//b'c'得g'，由g'求得g；作dg//bc，由d'求得d，如图a、d所示。
③连ae、ed和dc，完成五边形ABCDE的水平面投影。