2018年浦东新区高考数学二模含答案
-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
2018年浦东新区高考数学二模含答案 2018．4
注意：1． 答卷前，考生务必在试卷上指定位置将学校、班级、姓名、考号填写清楚．
2． 本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟． 一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）只要求直接填写结果，1-6题每个空格填
对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分．
1.21
lim
1n n n →+∞+=-________ .
2
2.不等式01x
x <-的解集为________.(0,1)
3.已知{}n a 是等比数列，它的前n 项和为n S ，且34,a =48a =-，则5S = ________.11
4.已知1()f x -是函数2()log (1)f x x =+的反函数，则1(2)f -=________.3
5.91
)x
二项展开式中的常数项为________.84
6.
椭圆2cos ,x y θθ=?????
（θ为参数）的右焦点为________.(1,0)
7.满足约束条件24
23
x y x y x y +≤??+≤?
?≥??≥?的目标函数32f x y =+的最大值为________.163
8.
函数2()cos 2,R f x x x x =∈的单调递增区间为____________.,,36Z k k k ππππ?
?-+∈???
?
9.已知抛物线型拱桥的顶点距水面2米时，量得水面宽为8米。当水面下降1米后，水面的宽为_____
米。10.—个四面体的顶点在空间直角坐标系xyz O -中的坐标分别是(0,0,0)，(1,0,1)，(0,1,1)，(1,1，
0)，则该四面体的体积为________.1
3
11.已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且()f x 在[)0,+∞上是增函数，如果对于任意
[1,2]x ∈， (1)(3)f ax f x +≤-恒成立，则实数a 的取值范围是________.[1,0]-
12.已知函数2()57f x x x =-+.若对于任意的正整数n ，在区间51,n n ?
?+????上存在1m +个实数
012,,,
,m a a a a 使得012()()()()m f a f a f a f a >++
+成立，则m 的最大值为________.6
二、选择题(本大题共有4小题，满分20分) 每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 5分，否则一律得零分．
13.已知方程210x px -+=的两虚根为12,x x ，若121x x -=，则实数p 的值为（ ）A A ． 3±
B ．5± C. 3,5 D ． 3,5±±
14.在复数运算中下列三个式子是正确的：（1）1212z z z z +≤+，（2）1212z z z z ?=?，（3）123123()()z z z z z z ??=??；相应的在向量运算中，下列式子：（1）a b a b +≤+，（2）a b a b ?=?，（3）()()a b c a b c ??=??；正确的个数是（ ）B A ． 0
B ．1 C.
2 D ．3
15.唐代诗人杜牧的七绝唐诗中两句诗为“今来海上升高望，不到蓬莱不成仙。”其中后一句中“成仙”是“到蓬莱”的（ ）A A ．充分条件
B ．必要条件
C.充分必要条件 D ．既非充分又非必要条件
16.设,P Q 是R 上的两个非空子集，如果存在一个从P 到Q 的函数()y f x =满足： （1）{}()|Q f x x P =∈；（2）对任意12,x x P ∈，当12x x <时，恒有12()()f x f x <； 那么称这两个集合构成“P Q →恒等态射”。以下集合可以构成“P Q →恒等态射”的是（ ）D
A ．→R Z
B ． →Z Q C. []1,2(0,1)→ D ． (1,2)→R
三、解答题（本大题共有5小题，满分76分）解答下列各题必须写出必要的步骤．
17.（本题满分14分，本题共有2个小题，第(1)小题满分7分，第(2)小题满分7分）
已知圆锥AO 的底面半径为2，母线长为210，点C 为圆锥底面圆周上的一点，O 为圆心，D 是AB 的中点，且2
BOC π
∠=
；
（1）求圆锥的全面积；
（2）求直线CD 与平面AOB 所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）
解：（1）圆锥的底面积214S r ππ== ……………3分
圆锥的侧面积2S rl π==……………3分
圆锥的全面积124(1S S S π=+=+……………1分 （2）
2
BOC π
∠=
OC OB ∴⊥ 且OC OA ⊥，OC ⊥平面AOB ……………2分
CDO ∴∠是直线CD 与平面AOB 所成角 ……………1分
在Rt CDO 中，2OC =
,OD =, ……………1分
tan CDO ∠=
,CDO ∴∠= ……………2分 所以，直线CD 与平面AOB
所成角的为arctan 5。……………1分
18.（本题满分14分，本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分） 在ABC △中，边,,a b c 分别为角,,A B C 所对应的边。
（1）若
()()()22sin 02sin 1sin 2sin c
a b A
b a B C
a b A
-=-+
-，求角C 的大小；
（2）若4
sin 5A =，23
C π=
，c =ABC △的面积。 解：（1）由
()()()()()22sin 02sin 2sin 2sin 2sin 1sin 2sin c a b A
c C a b A b a B b a B
C
a b A
-=?=-+--+
-；……………2分
由正弦定理得()()2222c a b a b a b =-+-，∴222c a b ab =+-，……………2分
∴2221
cos 22a b c C ab +-=
=，∴3
C π=；……………2分 （2）由4sin 5A =
，c =sin sin a c A C =，∴8
5
a =；…………2分
由23
a c A C π
，∴3
cos 5A =,…………2分
∴(
)4
sin sin sin cos cos sin 10
B A
C A C A C =+=+=
；…………2分
∴118sin 225
ABC S ca B ?-==。…………2分
19.（本题满分14分，本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分） 已知双曲线22:1C x y -=；
(1)求以右焦点为圆心，与双曲线C 的渐近线相切的圆的方程；
(2)若经过点(0,1)P -的直线与双曲线C 的右支交于不同两点,M N ，求线段MN 的中垂线l 在y 轴上截距t 的取值范围. 解：(1)
2F …………1分 渐近线 0x y ±=………1分
1R =…………2分
22(1x y +=;………………2分
(2)设经过点B 的直线方程为1y kx =-,交点为1122(,),(,)M x y N x y ………………1分
由22221
(1)2201
x y k x kx y kx ?-=?-+-=?
=-?,…………………1分
则2121210100
k k x x x x ?≠?
?>??<??>?2分 MN 的中点为22
1
(,)11k k k ----，…………1分 得中垂线22
11:()11k
l y x k k k +=-+--………1分
令0x =得截距22
22
211
t k k -==>--………………2分 即线段MN 的中垂线l 在y 轴上截距t 的取值范围是(2,)+∞.
20. （本题满分16分，本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分6分）
已知函数()y f x =定义域为R ，对于任意R x ∈恒有(2)2()f x f x =-；
（1）若(1)3f =-，求(16)f 的值；
（2）若(1,2]x ∈时，2
()22f x x x =-+，求函数(),(1,8]y f x x =∈的解析式及值域； （3）若(1,2]x ∈时，3()2
f x x =--
，求()y f x =在区间*
(1,2],n n N ∈上的最大值与最小值. 解：1）(1)3f =-且(2)2()f x f x =-
(2)3(2)f ∴=-?-……………1分
22(2)3(2)f ∴=-?-……………1分 33(2)3(2)f ∴=-?-……………1分
44(16)(2)3(2)48f f ∴==-?-=-……………1分
2）
(2)2()()2()2
x
f x f x f x f =-?=-
(1,2]x ∈时，22()22(1)1f x x x x =-+=-+， ()(1,2]f x ∈……………1分
(2,4]x ∈时，221
()2()2[(1)1](2)2222x x f x f x =-=--+=---，……………1分
()[4,2)f x ∈--……………1分
(4,8]x ∈时，2211
()2()2[(2)2](4)42224x x f x f x =-=----=-+，……………1分
()(4,8]f x ∈……………1分
得：222
(1)1,(1,2]1
()(2)2,(2,4]21(4)4,(4,8]4x x f x x x x x ?
?-+∈??=---∈???-+∈??，
值域为[4,2)12](4,8]--（，……………1分 3）
(2)2()()2()2
x
f x f x f x f =-?=-
当(1,2]x ∈时，3
()2f x x =--
得：当2(2,2]x ∈时，()2()32
x f x f x =-=-……………1分 当1(2,2]n n x -∈时，
1
(1,2]2
n x -∈，
211
221
1
3
()2()(2)()(2)(
)(2)(1)3222
2
2
2
n n n n n n x x
x
x
f x f f f x -----=-=-=
-=---=--?……………2分
当1
(2,2]n n
x -∈，n 为奇数时，2
2()32
[,0]4
n
n f x x -=--?∈-
当1(2,2]n n x -∈，n 为偶数时，2
2()32
[0,]4
n
n f x x -=-?∈
综上：1n =时，()f x 在(1,2]上最大值为0，最小值为1
2
-……………1分
2n ≥，n 为偶数时，()f x 在(1,2]n
上最大值为24n ，最小值为28
n
-……………1分
3n ≥，n 为奇数时，()f x 在(1,2]n
上最大值为28n ，最小值为24
n
-……………1分
21.（本题满分18分，本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分8分）
已知数列{}n a 中11a =，前n 项和为n S ，若对任意的N*n ∈，均有n n k S a k +=-（k 是常数，且N*k ∈）成立，则称数列{}n a 为“()H k 数列”； （1）若数列{}n a 为“()1H 数列”，求数列{}n a 的前n 项和n S ；
（2）若数列{}n a 为“()2H 数列”，且2a 为整数，试问：是否存在数列{}n a ，使得
21140n n n a a a -+-≤对一切*2,n n N ≥∈恒成立如果存在，求出2a 的所有可能值；如果不存
在，请说明理由；
（3）若数列{}n a 为“()H k 数列”，且121k a a a ==
==，证明：当21n k ≥+时，
1
112n k n k a --?
?≥+ ?
??
.
解：（1）数列{}n a 为“()1H 数列”，则11n n S a +=-，故121n n S a ++=-， 两式相减得：212n n a a ++=， …………………1分
又1n =时，121a a =-，所以2122a a ==，………………1分 故12n n a a +=对任意的N*n ∈恒成立，即
1
2n n
a a +=（常数）， 故数列{}n a 为等比数列，其通项公式为12,*n n a n N -=∈；………………1分
21,*n n S n N =-∈………………1分
（2）2132321132()2N*n n n n n n n n n n S a a a a a a a n S a +++++++++=-??=-?=+∈?=-?
21(2,)N*n n n a a a n n ++?=+≥∈………………1分
当*2,n n N ≥∈时，
()222121111()n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a ++++++-=-+=-- 因为*11,(3,)n n n a a a n n N +--=≥∈成立，
则22*1211,(3,)n n n n n n a a a a a a n n N ++-+-=-≥∈成立；
则22*1211,(3,)n n n n n n a a a a a a n n N ++-+-=-≥∈………………2分
则22*11324(3,)n n n a a a a a a n n N -+-=-≥∈ 因为432a a a =+
则222*113232(3,)n
n n a a a a a a a n n N -+-=--≥∈………………1分 因为13132,13S a a a =-=?=， 则2229340a a --≤ 且2n =时，22340a -≤，
解得：20,1,2,3,4,5,6a =±±±±±-。………………2分
（3）*
1*11(2,)(2,)n k n n k n k n n k n a S k a a a n n N a S k n n N +++--+-=+???=+≥∈?=+≥∈??…………1分 110k a S k +=+>，由归纳知，20,,0k n a a +>?>，…………1分
1211,1k k a a a a k +==
===+，由归纳知，*1,()n n a a n N +≤?∈，…………2分
则*11112(2,)n k n k n n k n k n k a a a a a a n n N ++-+-+-+-=+≤+=≥∈
*12(2,)n k n k a a n n N ++-≤≥∈…………1分
*12212111
1
,()22
2
n k n k n k n k k a a a a n N ++++++--?≥
≥≥≥
∈…………1分 于是*2212111
(1),()2
n k n k n k n k k a a a a n N ++-++--=+≥+
∈ 于是1*
2211(1),()2n n k k k a a n N -+-≥+
∈…………1分 22k k a S k k =+=
于是112111111(1)2(1),(2(1))222
n n k k
n k k k k a k k ----+---≥+
?>+>+…………1分 结论显然成立。