第一章习题解答
1.1 给定三个矢量A 、B 和C 如下：
23x y z =+-A e e e
4y z =-+B e e
52x z =-C e e
求：（1）A a ；（2）-A B ；（3）A B g ；
（4）AB θ；（5）A 在B 上的分量；（6）?A C ； （7）()?A B C g 和()?A B C g ；
（8）()??A B C 和()??A B C 。 解 （1
）23A x y z +-===-e e e A a e e e A （2）-=A B (23)(4)x y z y z +---+=e e e e
e 64x y z +-=e e e
（3）=A B g (23)x y z +-e e e (4)y z -+=e e g －11
（4）由 cos AB θ
=
==A B A B g ，得 1cos AB θ-
=(135.5=o （5）A 在B 上的分量 B A =A cos AB θ
==A B B g （6）?=A C 123502
x
y z
-=-e e e 41310x y z ---e e e
（7）由于?=B C 0415
02x
y z -=-e e e 8520x y z ++e e e ?=A B 123041
x y
z -=-e e e 1014x y z ---e e e
所以 ()?=A B C g (23)x y z +-e e e g (8520)42x y z ++=-e e e
()?=A B C g (1014)x y z ---e e e g (52)42x z -=-e e
（8）()??=A B C 10145
02x
y z ---=-e e e 2405x y z -+e e e ()??=A B C 1
238
520x y
z -=e e e 554411x y z --e e e 1.2 三角形的三个顶点为1(0,1,2)P -、2(4,1,3)P -和3(6,2,5)
P 。
（1）判断123
PP P ?是否为一直角三角形； （2）求三角形的面积。
解 （1）三个顶点1(0,1,2)P -、2(4,1,3)P -和3(6,2,5)
P 的位置矢量分别为 12y z =-r e e ，243x y z =+-r e e e ，3625x y z =++r e e e
则 12214x z =-=-R r r e e ， 233228x y z =-=++R r r e e e ，
311367x y z =-=---R r r e e e
由此可见
1223(4)(28)0x z x y z =-++=R R e e e e e g g
故123
PP P ?为一直角三角形。 （2）三角形的面积
122312231117.1322S =
?=?==R R R R 1.3 求(3,1,4)P '-点到(2,2,3)P -点的距离矢量R 及R 的方向。
解 34P x y z '=-++r e e e ，223P x y z =-+r e e e ， 则 53P P P P x y z ''=-=--R r r e e e
且P P 'R 与x 、y 、z 轴的夹角分别为
11cos ()cos 32.31x P P x P P φ--''===e R R o g
11cos ()cos 120.47y P P y P P φ'--'===e R R o g
11cos ()cos (99.73z P P z P P φ--''===e R R o g 1.4 给定两矢量234x y z =+-A e e e 和456x y z =-+B e e e ，求它们之间的夹角和A 在B 上的分量。
解 A 与B 之间的夹角为
11cos ()cos 131θ--===AB A B A B o g A 在B 上的分量为
3.532B A ===-B A B g
1.5 给定两矢量234x y z =+-A e e e 和64x y z =--+B e e e ，求?A B 在x y z
=-+C e e e 上的分量。 解 ?=A B 23464
1x
y
z
-=--e e e 132210x y z -++e e e
所以?A B 在C 上的分量为 ()?=C A
B ()14.43?==-A B
C C g 1.6 证明：如果A B g =A C g
和?=A B ?A C ，则=B C ； 解 由?=A B ?A C ，则有()()??=??A A B A A C ，即
()()()()-=-A B A A A B A C A A A C g g g g
由于A B g =A C g
，于是得到 ()()=A A B A A C g g 故 =B C
1.7 如果给定一未知矢量与一已知矢量的标量积和矢量积，那么便可以确定该未知矢量。设A 为一已知矢量，p =A X g 而=?P A X ，p 和P 已知，试求X 。
解 由=?P A X ，有
()()()()p ?=??=-=-A P A A X A X A A A X A A A X g g g
故得 p -?=
A A P X A A g 1.8 在圆柱坐标中，一点的位置由2(4,,3)3
π定出，求该点在：（1）直角坐标中的坐标；（2）球坐标中的坐标。
解 （1）在直角坐标系中 4cos(23)2x π==-、4sin(23)y π==3z =
故该点的直角坐标为(2,-。
（2）在球坐标系中 5r ==、1tan (43)53.1θ-==o 、2120φπ==o 故该点的球坐标为(5,53.1,120)o o
1.9 用球坐标表示的场2
25r
r =E e ， （1）求在直角坐标中点(3,4,5)--处的E 和x E ； （2）求在直角坐标中点(3,4,5)--处E 与矢量22x y z =-+B e e e 构成的夹角。 解 （1）在直角坐标中点(3,4,5)--处，2222(3)4(5)50r =-++-=，故
22512
r r ==E e
1cos
2x x rx E θ====e E E g （2）在直角坐标中点(3,4,5)--处，345x y z =-+-r e e e ，所以
23345252r r -+-===e e e E
故E 与B 构成的夹角为 11cos ()cos (153.63θ--===EB E B E B o g g 1.10 球坐标中两个点111(,,)r θφ和222(,,)r θφ定出两个位置矢量1R 和2R 。证明1R 和2R 间夹角的余弦为
121212cos cos cos sin sin cos()γθθθθφφ=+-
解 由 111111111sin cos sin sin cos x y z r r r θφθφθ=++R e e e
222222222sin cos sin sin cos x y z r r r θφθφθ=++R e e e
得到 1212
cos γ==R R R R g 1122112212sin cos sin cos sin sin sin sin cos cos θφθφθφθφθθ++=