广东省江门市普通高中2015届高三上学期调考数学试卷（文科）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）设A={x|x2﹣4x﹣5=0}，B={1，2，3，4，5}，则A∩B=（）
A．{1} B．{5} C．{1，5} D．?
2．（5分）sin=（）
A．B．C．D．
3．（5分）已知i是虚数单位，若复数Z=a+bi（a，b∈R）在复平面内对应的点位于第四象限，则复数Z?i在复平面内对应的点位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
4．（5分）双曲线16x2﹣9y2=144的离心率e=（）
A．B．C．D．
5．（5分）将正弦曲线y=sinx上所有的点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，所得曲线对应的函数的最小正周期T=（）
A．πB．2πC．4πD．
6．（5分）已知{a n}是等比数列，a1=1，a3=2，则a2=（）
A．B．C．或D．以上都不对
7．（5分）函数f（x）=1﹣在其定义域上是（）
A．单调递增的奇函数B．单调递增的减函数
C．偶函数且在（0，+∞）上单调递增D．偶函数且在（0，+∞）上单调递减
8．（5分）直线l经过点P（﹣3，4）且与圆x2+y2=25相切，则直线l的方程是（）
A．y﹣4=﹣（x+3） B．y﹣4=（x+3）C．y+4=﹣（x﹣3） D．y+4=（x﹣3）9．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，这个三棱锥最长棱的棱长是（）
A．1B．C．D．2
10．（5分）已知函数f（x）=，其中e是自然对数的底数，若直线y=2与函
数y=f（x）的图象有三个交点，则常数a的取值范围是（）
A．（﹣∞，2）B．（﹣∞，2]C．（2e﹣2，+∞）D．，f（x）≤3恒成立？若存在，求常数a的值或取值范围；若不存在，请说明理由．
广东省江门市普通高中2015届高三上学期调考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）设A={x|x2﹣4x﹣5=0}，B={1，2，3，4，5}，则A∩B=（）
A．{1} B．{5} C．{1，5} D．?
考点：交集及其运算．
专题：集合．
分析：根据集合的基本运算即可得到结论．
解答：解：A={x|x2﹣4x﹣5=0}={﹣1，5}，
则A∩B={5}，
故选：B
点评：本题主要考查集合的基本运算，求出集合A是解决本题的关键．
2．（5分）sin=（）
A．B．C．D．
考点：运用诱导公式化简求值．
专题：三角函数的求值．
分析：直接利用诱导公式化简求值即可．
解答：解：sin=sin（4π﹣）═sin=．
故选：B．
点评：本题考查三角函数的化简求值，着重考查诱导公式的应用，基本知识的考查．
3．（5分）已知i是虚数单位，若复数Z=a+bi（a，b∈R）在复平面内对应的点位于第四象限，则复数Z?i在复平面内对应的点位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
考点：复数代数形式的乘除运算．
专题：数系的扩充和复数．
分析：由复数代数形式的乘法运算化简Z?i，然后根据实部和虚部的符号得答案．
解答：解：∵复数Z=a+bi（a，b∈R）在复平面内对应的点位于第四象限，
∴a＞0，b＜0，
则Z?i=（a+bi）i=﹣b+ai，
∴﹣b＞0，a＞0，
∴复数Z?i在复平面内对应的点位于第一象限．
故选：A．
点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．4．（5分）双曲线16x2﹣9y2=144的离心率e=（）
A．B．C．D．
考点：双曲线的简单性质．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：由双曲线16x2﹣9y2=144化为，可得a2=9，b2=16，a=3，=5，即可得出．
解答：解：双曲线16x2﹣9y2=144化为，
∴a2=9，b2=16，∴a=3，=5，
离心率e==．
故选：D．
点评：本题考查了双曲线的标准方程及其性质，属于基础题．
5．（5分）将正弦曲线y=sinx上所有的点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，所得曲线对应的函数的最小正周期T=（）
A．πB．2πC．4πD．
考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
专题：三角函数的图像与性质．
分析：直接利用函数图象中变换的伸缩变换求出函数的解析式，进一步利用函数的周期公式求出结果．
解答：解：正弦曲线y=sinx上所有的点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，
得到：f（x）=sin x
则：
故选：C
点评：函数图象变换中的伸缩变换，正弦函数的周期公式的应用．属于基础题型．6．（5分）已知{a n}是等比数列，a1=1，a3=2，则a2=（）
A．B．C．或D．以上都不对
考点：等比数列．
专题：等差数列与等比数列．
分析：利用等比数列的性质求解．
解答：解：∵{a n}是等比数列，a1=1，a3=2，
∴a2==．
故选：C．
点评：本题考查数列的第2项的求法，虽基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．
7．（5分）函数f（x）=1﹣在其定义域上是（）
A．单调递增的奇函数B．单调递增的减函数
C．偶函数且在（0，+∞）上单调递增D．偶函数且在（0，+∞）上单调递减
考点：函数单调性的判断与证明．
专题：函数的性质及应用；导数的综合应用．
分析：求f′（x），并容易判断f′（x）＞0，所以f（x）在定义域R上为增函数，B为减函数，C，D是说在（0，+∞）上单调递增，应该在R上单调递增，所以只能选A．
解答：解：函数f（x）的定义域为R，f′（x）=；
∴f（x）在R上为增函数；
∴只有A正确．
故选A．
点评：考查通过判断导数符号判断函数单调性的方法，以及函数定义域的概念及求法．
8．（5分）直线l经过点P（﹣3，4）且与圆x2+y2=25相切，则直线l的方程是（）
A．y﹣4=﹣（x+3） B．y﹣4=（x+3）C．y+4=﹣（x﹣3） D．y+4=（x﹣3）
考点：圆的切线方程．
专题：计算题；直线与圆．
分析：显然已知点在圆上，设过已知点与圆相切的直线方程的斜率为k，利用点到直线的距离公式，由直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，由k的值及已知点的坐标写出切线方程即可．
解答：解：显然点（﹣3，4）在圆x2+y2=25上，
设切线方程的斜率为k，则切线方程为y﹣4=k（x+3），即kx﹣y+3k﹣4=0，
∴圆心（0，0）到直线的距离d==5，解得k=，
则切线方程为y﹣4=（x+3）．
故选：B．
点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有直线的点斜式方程，点到直线的距离公式以及直线的一般式方程，若直线与圆相切，圆心到直线的距离等于圆的半径，熟练掌握此性质是解本题的关键．
9．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，这个三棱锥最长棱的棱长是（）
A．1B．C．D．2
考点：由三视图求面积、体积．
专题：空间位置关系与距离．
分析：由三视图可知：原三棱锥为P﹣ABC．其中PA⊥底面ABC，AC⊥CB，
PA=AC=BC=1．可得这个三棱锥最长棱的棱长是PB．
解答：解：由三视图可知：原三棱锥为P﹣ABC．
其中PA⊥底面ABC，AC⊥CB，PA=AC=BC=1．
∴这个三棱锥最长棱的棱长是PB==．
故选：C．
点评：本题考查了三视图的有关知识、三棱锥的有关计算，属于基础题．
10．（5分）已知函数f（x）=，其中e是自然对数的底数，若直线y=2与函
数y=f（x）的图象有三个交点，则常数a的取值范围是（）
A．（﹣∞，2）B．（﹣∞，2]C．（2e﹣2，+∞）D．
解答：解：由约束条件作出可行域如图，
联立，得C（2，2），
化z=x﹣2y为，由图可知，
当直线过C（2，2）时z有最小值，为z=2﹣2×2=﹣2．
故答案为：﹣2．
点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
13．（5分）已知定义在区间（﹣π，0）上的函数f（x）=xsinx+cosx，则f（x）的单调递减区间是（﹣．
考点：利用导数研究函数的单调性．
专题：导数的概念及应用．
分析：先对原函数求导数，然后令导数小于0，即可得到减区间，注意和（﹣π，0）取交集．
解答：解：由题意f′（x）=xcosx．
要求原函数的减区间，只需f′（x）＜0，
而x∈（﹣π，0），所以只需cosx＞0，
结合y=cosx的图象可知，区间（﹣）即为所求．
故答案为．
点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性，此题在解不等式时，充分利用了余弦函数的图象．体现了数形结合的思想．
（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）
14．（5分）如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且棱AB所在的直线与棱CD所在的直线互相平行，正方体的六个面所在的平面与直线CE、EF相交的平面个数分别记为m，n，那么m=4；n=4．
考点：平面的基本性质及推论．
专题：空间位置关系与距离．
分析：判断CE与EF与正方体表面的关系，即可推出正方体的六个面所在的平面与直线CE，EF相交的平面个数分别记为m，n．
解答：解：由题意可知直线CE与正方体的上底面平行在正方体的下底面上，与正方体的四个侧面不平行，所以m=4，
直线EF与正方体的左右两个侧面平行，与正方体的上下底面相交，前后侧面相交，所以n=4．故答案为：4，4．
点评：本题考查直线与平面的位置关系，基本知识的应用，考查空间想象能力．
15．若函数f（x）满足条件：①?x∈R，f（x）＞0；②?x1，x2∈R，f（x1+x2）=f（x1）f （x2）；③f（2）＜1．则：
（1）f（x）=；（写出一个满足条件的函数即可）
（2）根据（1）所填函数f（x），f（﹣1）=2．
考点：函数的定义域及其求法．
专题：函数的性质及应用．
分析：根据题意，得出f（x）是指数函数，且底数a满足0＜a＜1；写出f（x）的一个解析式即可．
解答：解：（1）根据题意，f（x）应为指数函数，且底数a满足0＜a＜1；
不妨令f（x）=；
（2）当f（x）=时，f（﹣1）==2．
故答案为：、2．
点评：本题考查了指数函数的性质的应用问题，答题的灵活性很大，是较好的题目，给的参考答案是
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（12分）已知函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（0）=1．
（1）求A的值；
（2）若f（α）=﹣，α是第二象限角，求cosα．
考点：y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义；同角三角函数间的基本关系．
专题：三角函数的求值．
分析：（1）由函数f（x）的解析式以及f（0）=1，求得A的值．
（2）由（1）得，求出，将α用
表示，利用两角差的余弦展开求出值；
解答：解：（1）依题意，…（2分），
…（3分），…（4分）
（2）由（1）得，…（5分）
由得，…（6分）
∵α是第二象限角，
∴，
∴…（7分），
∴是第二或第三象限角
∵由，
∴是第三象限角，
∴…（9分）
∴=
…（12分）
点评：本题考查三角函数的恒等变换，同角三角函数的关系式，两角差的余弦公式，属于中档题．
17．（14分）如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A、B的一点．
（1）求证：平面PAC⊥平面PBC；
（2）若PA=AB=2，∠ABC=30°，求三棱锥P﹣ABC的体积．
考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．
专题：空间位置关系与距离．
分析：（1）设⊙O所在的平面为α，证明PA⊥BC，AC⊥BC，然后证明BC⊥平面PAC，利用直线与平面垂直的判定定理证明平面PAC⊥平面PBC．
（2列出三棱锥P﹣ABC的体积求出底面面积，棱锥的高，即可得到结果．
解答：解：（1）证明：设⊙O所在的平面为α，
依题意，PA⊥α，BC?α，∴PA⊥BC…（2分）
∵AB是⊙O的直径，C是圆周上不同于A、B的一点，∴AC⊥BC…（3分）
∵PA∩AC=A，∴BC⊥平面PAC…（5分）
∵BC?平面PBC，∴平面PAC⊥平面PBC…（7分）
（2）∵PA⊥α，∴三棱锥P﹣ABC的体积…（9分）
∵AB=2，∠ABC=30°，AC⊥BC，∴AC=1，BC=…（11分）
…（13分）
…（14分）
点评：本题考查直线与平面垂直的判定定理，平面与平面垂直的判定定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．
18．（14分）设数列{a n}、{b n}满足：a n=（﹣1）n（n2+1），b n=a n+a n+1，n∈N*．
（1）求a1的值；
（2）求数列{b n}的通项公式；
（3）求数列{a n}的前100项和S100的值．
考点：数列的求和．
专题：等差数列与等比数列．
分析：（1）直接利用条件求出a1的值；
（2）利用条件直接求解数列{b n}的通项公式；
（3）利用a n=（﹣1）n（n2+1），b n=a n+a n+1，n∈N*．推出数列{a n}的前100项和S100的表达式，利用等差数列求和即可．
解答：解：（1）∵a n=（﹣1）n（n2+1），
∴…（2分）
（2）∵a n=（﹣1）n（n2+1），b n=a n+a n+1，n∈N*．
∴…（3分）
=（﹣1）n+1…（5分），
=（﹣1）n+1（2n+1）…（6分）
（3）由已知，S100=b1+b3+b5+…b99…（8分）
=3+7+11+…+199…（10分）
=…（13分），
=5050…（14分）
点评：本题考查数列的递推关系式的应用，数列的通项公式以及数列求和，考查计算能力．
19．（12分）某单位建造一间背面靠墙的房子，俯视图如图．地面面积为12m2，房屋正面每平方米的造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价共5200元．如果墙高为3m，且不计房屋背面和地面的造价．问怎样设计房屋能使总造价最低？最低总造价是多少？
考点：函数模型的选择与应用；函数的值域．
专题：计算题；应用题．
分析：由已知中地面面积为12m2，，我们可得，根据房屋正面每平方米的
造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价共5200元．根据墙高为3m，我们可以构造房屋总造价的函数解析式，利用基本不等式即可求出函数的最小值，进而得到答案．
解答：解：设总造价为Z元，则
∴Z=3y×1200+6x×800+5200
=…（3分）
=34000 …（6分）
当时，即x=3时，Z有最小值34000，此时y=4
答：长4m，宽3m．最低总造价为34000元…（8分）
点评：本题考查的知识点是函数模型的选择与应用，函数的值域，其中根据已知条件构造房屋总造价的函数解析式，将实际问题转化为函数的最值问题是解答本题的关键．
20．（14分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的焦点为F1（﹣4，0）、F2（4，0），且经过点P（3，1）．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若点M在椭圆C上，且，求λ的值．
考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：（1）（方法一）设椭圆C的标准方程为（a＞b＞0），利用定义求出a，通过c，求出b，即可求出椭圆C的标准方程．
（方法二）设椭圆C的标准方程为（a＞b＞0），利用c=4得到a2=b2+16，化简椭圆方程，利用点P（3，1）在椭圆C上，即可求解b，然后求出椭圆C的标准方程．
（2）利用向量关系求出点M的坐标，通过点M在椭圆C上，列出20λ2+4λ﹣7=0，求解即可．
解答：解：（1）（方法一）依题意，设椭圆C的标准方程为（a＞b＞0）…（1
分）
2a=|PF1|+|PF2|…（2分），
=，
∴…（4分）
c=4…（5分），
∴b2=a2﹣c2=2…（6分）
椭圆C的标准方程为…（7分）
（方法二）依题意，设椭圆C的标准方程为（a＞b＞0）…（1分）
∵c=4…（2分），
∴a2=b2+c2=b2+16，…（3分）
∵点P（3，1）在椭圆C上，∴ (4)
）b4+6b2﹣16=0…（5分），解得b2=2或b2=﹣8（负值舍去）…（6分）
a2=b2+16=18，椭圆C的标准方程为…（7分）
（2）…（9分）
点M的坐标为…（10分）
∵点M在椭圆C上，∴…（11分）
即20λ2+4λ﹣7=0…（12分），解得或…（14分）
点评：本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．
21．（14分）已知函数f（x）=ax3+x2+2x﹣1（a∈R）．
（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）是否存在常数a，使得?x∈，f（x）≤3恒成立？若存在，求常数a的值或取值范围；若不存在，请说明理由．
考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．
专题：导数的综合应用．
分析：（1）求出函数的导数，求出切线的斜率，切点坐标，即可求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）方法一：由f（x）=ax3+x2+2x﹣1≤3，构造函数，其中x∈
求出新函数的导数，判断函数的单调性，转化f（x）=ax3+x2+2x﹣1≤3，当x∈（0，4]时，
，a的取值范围为，当x∈…（5分）
…（6分）
x
g′（x）﹣﹣0 +
g（x）↘↘极小值↗
…（9分）（每行1分）
由上表可知，?x∈，
…（11分）
由f（x）=ax3+x2+2x﹣1≤3，当x∈（0，4]时，，a的取值范围为
，当x∈[﹣2，0）时，，a的取值范围为…（13分）
∵，f（0）=﹣1≤3恒成立，∴…（14分）（方法二）a≥0时，f（4）=64a+23≥23不符合题意…（5分）
a＜0时，解f′（x）=3ax2+2x+2=0得，
x （﹣∞，x1）x1（x1，x2）x2（x2，+∞）
g′（x）﹣0 + 0 ﹣
g（x）↘极小值↗极大值↘
…（8分），
由…（10分），
解得…（11分）
此时，…（12分）
∴，即，﹣6≤x2≤2…（13分）
解得，综上所述…（14分）
点评：本题考查函数的导数的综合应用，切线方程的求法，构造法的应用，考查分析问题解决问题的能力．