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插值法练习

插值法练习
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数值计算插值法练习题

一、下表给出了若干节点上的函数值,试比较用不同次数的Lagrange 多项式计算(1.5)f 的值

二、已知()ln f x x =的数据

二、设函数()f x 的函数值

1) 构造差商表

2) 求四次牛顿插值多项式4()p x

,及(0.596)f 的近似值

三、已知单调连续函数()y f x =的如下数据

用插值法计算x约为多少时() 1.

f x=

四、设函数()

f x在区间[0,3]上具有四阶连续导数,试用埃尔米特插值法,求一个次数不高于3

的多项式

3()

P x,使其满足

3(0)0

P=,

3(1)1

P=,

3'(1)3

P=,

3(2)1

P=;并写出误差估计式。

计算方法练习题与答案

练习题与答案 练习题一 练习题二 练习题三 练习题四 练习题五 练习题六 练习题七 练习题八 练习题答案 练习题一 一、是非题 1.–作为x的近似值一定具有6位有效数字,且其误差限。() 2.对两个不同数的近似数,误差越小,有效数位越多。() 3.一个近似数的有效数位愈多,其相对误差限愈小。()

4.用近似表示cos x产生舍入误差。 ( ) 5.和作为的近似值有效数字位数相同。 ( ) 二、填空题 1.为了使计算的乘除法次数尽量少,应将该表达式改写 为; 2.–是x舍入得到的近似值,它有位有效数字,误差限 为,相对误差限为; 3.误差的来源是; 4.截断误差 为; 5.设计算法应遵循的原则 是。 三、选择题 1.–作为x的近似值,它的有效数字位数为( ) 。 (A) 7; (B) 3; (C) 不能确定 (D) 5. 2.舍入误差是( )产生的误差。 (A) 只取有限位数 (B) 模型准确值与用数值方法求得的准确值 (C) 观察与测量 (D) 数学模型准确值与实际值 3.用 1+x近似表示e x所产生的误差是( )误差。 (A). 模型 (B). 观测 (C). 截断 (D). 舍入 4.用s*=g t2表示自由落体运动距离与时间的关系式 (g为重力加速度),s t是在时间t内的实际距离,则s t s*是()误差。 (A). 舍入 (B). 观测 (C). 模型 (D). 截断 5.作为的近似值,有( )位有效数字。 (A) 3; (B) 4; (C) 5; (D) 6。

四、计算题 1.,,分别作为的近似值,各有几位有效数字? 2.设计算球体积允许的相对误差限为1%,问测量球直径的相对误差限最大为多少? 3.利用等价变换使下列表达式的计算结果比较精确: (1), (2) (3) , (4) 4.真空中自由落体运动距离s与时间t的关系式是s=g t2,g为重力加速度。现设g是精确的,而对t有秒的测量误差,证明:当t增加时,距离的绝对误差增加,而相对误差却减少。 5*. 采用迭代法计算,取 k=0,1,…, 若是的具有n位有效数字的近似值,求证是的具有2n位有效数字的近似值。 练习题二 一、是非题 1.单点割线法的收敛阶比双点割线法低。 ( ) 2.牛顿法是二阶收敛的。 ( ) 3.求方程在区间[1, 2]内根的迭代法总是收敛的。( ) 4.迭代法的敛散性与迭代初值的选取无关。 ( ) 5.求非线性方程f (x)=0根的方法均是单步法。 ( ) 二、填空题

插值法综述《计算方法》学习报告

插值法综述 一、插值法及其国内外研究进展 1.插值法简介 插值法是一种古老的数学方法,它来自生产实践,早在一千多年前,我国科学家在研究历法上就应用了线性插值与二次插值,但它的基本理论却是在微积分产生之后才逐渐完善的,其应用也日益增多,特别是在计算机广泛使用之后,由于航空、机械加工、自动控制等实际问题的需要,使插值法在实践和理论上都显得更为重要,并得到了空前的发展。 2.国内外研究进展 ●插值法在预测地基沉降的应用 ●插值法在不排水不可压缩条件下两相介质的两重网格算法的应用 ●拉格朗日插值法在地震动的模拟研究中的应用 ●插值法在结构抗震可靠性分析中的应用 ●插值法在应力集中应变分布规律实验分析中的应用 3.代表性文献 ●不等时距GM(1%2c1)模型预测地基沉降研究秦亚琼武汉理工大学学报 (交通科学与工程版) 2008.2 ●不排水不可压缩条件下两相介质的两重网格算法牛志伟岩土力学2008.3 ●基于拉格朗日插值法的地震动的模拟白可山西建筑2010.10 ●响应表面法用于结构抗震可靠性分析张文元世界地震工程1997 ●小议应力集中应变分布规律的实验方法查珑珑淮海工学院学报(自

然科学版)2004.6 二、插值法的原理 【原理】 设有n+1个互不相同的节点(i x ,i y ) (i=0,1,2,...n )则存在唯一的多项式: 2012()...(1)n n n L x a a x a x a x =++++ 使得()(0,1,2,...)(2) n j j L x y j n == 证明:构造方程组 201020002011211120 12......(3)...n n n n n n n n n n a a x a x a x y a a x a x a x y a a x a x a x y ?++++=?++++=?? ??++++=? 令:0011111 n n n n n x x x x A x x ?????? =?? ?????? 01n a a X a ??????=?????? 01n y y Y y ?? ????=?????? 方程组的矩阵形式如下:(4)AX Y = 由于1 1 ()0n n i j i j A x x -===-≠∏∏所以方程组(4)有唯一解。 从而2012()...n n n L x a a x a x a x =++++唯一存在。 三、常用插值法 3.1 Lagrange 插值法 3.1.1 Lagrange 插值法的一般提法 给定))(,(i i x f x ),,1,0(n i =,多项式

MAAB牛顿插值法例题与程序

题目一:多项式插值 某气象观测站在8:00(AM )开始每隔10分钟对天气作如下观测,用三次多项式插值函数(Newton )逼近如下曲线,插值节点数据如上表,并求出9点30分该地区的温度(x=10)。 二、数学原理 假设有n+1个不同的节点及函数在节点上的值(x 0,y 0),……(x n ,y n ),插值多项式有如下形式: )() )(()()()(n 10n 102010n x -x )(x -x x -x x P x x x x x x -??-+??+-++=αααα(1) 其中系数i α(i=0,1,2……n )为特定系数,可由插值样条i i n y x P =) ((i=0,1,2……n )确定。 根据均差的定义,把x 看成[a,b]上的一点,可得 f(x)=f (0x )+f[10x x ,](0x -x ) f[x,0x ]=f[10x x ,]+f[x,10x x ,](1x -x ) …… f[x,0x ,…x 1-n ]=f[x,0x ,…x n ]+f[x,0x ,…x n ](x-x n ) 综合以上式子,把后一式代入前一式,可得到: f(x)=f[0x ]+f[10x x ,](0x -x )+f[210x x x ,,](0x -x )(1x -x )+ …+f[x,0x ,…x n ](0x -x )…(x-x 1-n )+f[x,0x ,…x n ,x ])(x 1n +ω=N n (x )+) (x n R 其中 N n (x )=f[0x ]+f[10x x ,](0x -x )+f[210x x x ,,](0x -x )(1x -x )+ …+f[x,0x ,…x n ](0x -x )…(x-x 1-n )(2) )(x n R =f(x)-N n (x )=f[x,0x ,…x n ,x ]) (x 1n +ω(3) ) (x 1n +ω=(0x -x )…(x-x n ) Newton 插值的系数i α(i=0,1,2……n )可以用差商表示。一般有 f k =α[k 10x x x ??,](k=0,1,2,……,n )(4)

线性插值法计算公式解析

线性插值法计算公式解析 2011年招标师考试实务真题第16题:某机电产品国际招标项目采用综合评价法评标。评标办法规定,产能指标评标总分值为10分,产能在100吨/日以上的为10分,80吨/日的为5分,60吨/日以下的为0分,中间产能按插值法计算分值。某投标人产能为95吨/日,应得()分。A.8.65 B.8.75 C.8.85 D.8.95 分析:该题的考点属线性插值法又称为直线内插法,是评标办法的一种,很多学员无法理解公式含义,只能靠死记硬背,造成的结果是很快会遗忘,无法应对考试和工作中遇到的问题,对此本人从理论上进行推导,希望对学员有所帮助。 一、线性插值法两种图形及适用情形 F F F2

图一:适用于某项指标越低得分越高的项目评 分计算,如投标报价得分的计算 图二:适用于某项投标因素指标越高,得分越高的情 形,如生产效率等 二、公式推导 对于这个插值法,如何计算和运用呢,我个人认为考生在考试时先试着画一下上面的图,只有图出来了,根据三角函数定义,tana=角的对边比上邻边,从图上可以看出,∠A是始终保持不变的,因此,根据三角函数tana,我们可以得出这样的公式 图一:tana=(F1-F2)/(D2-D1)=(F-F2)/(D2-D)=(F1-F)/(D-D1),

通过这个公式,我们可以进行多种推算,得出最终公式如下F=F2+(F1-F2)*(D2-D)/ (D2-D1) 或者F= F1-(F1-F2)*(D-D1)/(D2-D1) 图二:tana=(F1-F2)/(D2-D1)=(F-F2)/ (D-D1)=(F1-F)/(D2-D)通过这个公式我们不难得出公式: F= F2+(F1-F2)*(D-D1)/(D2-D1) 或者F=F1-(F1-F2)*(D2-D)/(D2-D1) 三:例题解析 例题一:某招标文件规定有效投标报价最高的得30分,有效投标报价最低的得60分,投标人的报价得分用线性插值法计算,在评审中,评委发现有效的最高报价为300万元,有效最低的报价为240万元,某A企业的有效投标报价为280万元,问他的价格得分为多少 分析,该题属于图一的适用情形,套用公式 计算步骤:F=60+(30-60)/(300-240)*(280-240)=40 例题二:某招标文件规定,水泵工作效率85%的3分,95%的8分,某投标人的水泵工作效率为92%,问工作效率指标得多少分? 分析:此题属于图二的适用情形,套用公式 F=3+(92%-85%)*(8-3)/(95%-85%)=3+7/2=6.5 (此文档部分内容来源于网络,如有侵权请告知删除,文档可自行编辑修改内容, 供参考,感谢您的配合和支持)

数值分析拉格朗日插值法上机实验报告

课题一:拉格朗日插值法 1.实验目的 1.学习和掌握拉格朗日插值多项式。 2.运用拉格朗日插值多项式进行计算。 2.实验过程 作出插值点(1.00,0.00),(-1.00,-3.00),(2.00,4.00)二、算法步骤 已知:某些点的坐标以及点数。 输入:条件点数以及这些点的坐标。 输出:根据给定的点求出其对应的拉格朗日插值多项式的值。 3.程序流程: (1)输入已知点的个数; (2)分别输入已知点的X坐标; (3)分别输入已知点的Y坐标; 程序如下: #include #include #include float lagrange(float *x,float *y,float xx,int n) /*拉格朗日

插值算法*/ { int i,j; float *a,yy=0.0; /*a作为临时变量,记录拉格朗日插值多项*/ a=(float*)malloc(n*sizeof(float)); for(i=0;i<=n-1;i++) { a[i]=y[i]; for(j=0;j<=n-1;j++) if(j!=i) a[i]*=(xx-x[j])/(x[i]-x[j]); yy+=a[i]; } free(a); return yy; } int main() { int i; int n; float x[20],y[20],xx,yy; printf("Input n:");

scanf("%d",&n); if(n<=0) { printf("Error! The value of n must in (0,20)."); getch();return 1; } for(i=0;i<=n-1;i++) { printf("x[%d]:",i); scanf("%f",&x[i]); } printf("\n"); for(i=0;i<=n-1;i++) { printf("y[%d]:",i);scanf("%f",&y[i]); } printf("\n"); printf("Input xx:"); scanf("%f",&xx); yy=lagrange(x,y,xx,n); printf("x=%f,y=%f\n",xx,yy); getch(); } 举例如下:已知当x=1,-1,2时f(x)=0,-3,4,求f(1.5)的值。

matlab插值法实例

Several Typical Interpolation in Matlab Lagrange Interpolation Supposing: If x=175, while y=? Solution: Lagrange Interpolation in Matlab: function y=lagrange(x0,y0,x); n=length(x0);m=length(x); for i=1:m z=x(i); s=0.0; for k=1:n p=1.0; for j=1:n if j~=k p=p*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j)); end end s=p*y0(k)+s; end y(i)=s; end input: x0=[144 169 225] y0=[12 13 15] y=lagrange(x0,y0,175) obtain the answer: x0 = 144 169 225 y0 = 12 13 15 y = 13.2302

Spline Interpolation Solution : Input x=[ 1 4 9 6];y=[ 1 4 9 6];x=[ 1 4 9 6];pp=spline(x,y) pp = form: 'pp' breaks: [1 4 6 9] coefs: [3x4 double] pieces: 3 order: 4 dim: 1 output : pp.coefs ans = -0.0500 0.5333 -0.8167 1.0000 -0.0500 0.0833 1.0333 2.0000 -0.0500 -0.2167 0.7667 4.0000 It shows the coefficients of cubic spline polynomial , so: S (x )=, 169,3)9(1484.0)9(0063.0)9(0008.0,94,2)4(2714.0)4(0183.0)4(0008 .0, 41,1)1(4024.0)1(0254.0)1(0008.0232 3 23≥≤+-+---≥≤+-+---≥≤+-+---x x x x x x x x x x x x Newton’s Interpolation Resolve 65 Solution: Newton’s Interpolation in matlab : function yi=newint(x,y,xi); n=length(x); ny=length(y); if n~=ny error end Y=zeros(n);Y(:,1)=y';

插值法习题及解答

一、填空题: 1. 满足()a a f x x =,()b b f x x =,()c c f x x =的拉格朗日插值余项为 。 答:()() ()()()3! a b c f R x x x x x x x ξ'''=--- 2.已知函数()f x 的函数值()()()()()0,2,3,5,6f f f f f ,以及均差如下 ()()()()()00,0,24,0,2,35,0,2,3,51,0,2,3,5,60f f f f f ===== 那么由这些数据构造的牛顿插值多项式的最高次幂的系数是 答: 1 二、选择题 1. 通过点()()0011,,,x y x y 的拉格朗日插值基函数()()01,l x l x 满足( ) A .()00l x =0,()110l x = B . ()00l x =0,()111l x = C .()00l x =1,()110l x = D . ()00l x =1,()111l x = 答:D 2.. 已知等距节点的插值型求积公式 ()()35 2 k k k f x dx A f x =≈∑?,那么3 k k A ==∑( ) A .1 B. 2 C. 3 D. 4 答:C 3.过点(x 0,y 0), (x 1,y 1),…,(x 5,y 5)的插值多项式P(x)是( )次的多项式。 (A). 6 (B).5 (C).4 (D).3. 答:B 三、证明题 1. 设 f (x) = (x-1) (x-2) .证明对任意的x 有: f [1, 2, x)]= 1 证明:f [1, 2] = [f (1) – f (2)]/ (1 – 2) = [0 – 0]/ (-1) = 0, 对任意的x 有 F[2, x] = [f (2) – f (x)]/ (2 – x) = [0 – (x-1) (x-2)]/ (2 – x) = (x-1), 所以 f [1, 2, x] = [f (1, 2) - f (2, x)]/ (1 – x) = [0 - (x-1)]/ (1 – x) = 1 2.设 在 上具有二阶连续导数,且 ,求证:

《财务管理》教学中插值法的快速理解和掌握

摘要在时间价值及内部报酬率计算时常用到插入法,但初学者对该方法并 不是很容易理解和掌握。本文根据不同情况分门别类。利用相似三角形原理推 导出插入法计算用公式。并将其归纳为两类:加法公式和减法公式,简单易懂、理解准确、便于记忆、推导快捷。 关键词插入法;近似直边三角形;相似三角形 时间价值原理正确地揭示了不同时点上资金之间的换算。是财务决策的基 本依据。为此,财务人员必须了解时间价值的概念和计算方法。但在教学过程中。笔者发现大多数教材插值法(也叫插入法)是用下述方法来进行的。如高等 教育出版社2000年出版的《财务管理学》P62对贴现期的。 事实上,这样计算的结果是错误的。最直观的判断是:系数与期数成正向 关系。而4.000更接近于3.791。那么最后的期数n应该更接近于5,而不是6。正确结果是:n=6-0.6=5.4(年)。由此可见,这种插入法比较麻烦,不小心时还容易出现上述错误。 笔者在教学实践中用公式法来进行插值法演算,效果很好,现分以下几种 情况介绍其原理。 一、已知系数F和计息期n。求利息率i 这里的系数F不外乎是现值系数(如:复利现值系数PVIF年金现值系数PVIFA)和终值系数(如:复利终值系数FVIF、年金终值系数FVIFA)。 (一)已知的是现值系数 那么系数与利息率(也即贴现率)之间是反向关系:贴现率越大系数反而越小,可用图1表示。 图1中。F表示根据题意计算出来的年金现值系数(复利现值系数的图示略 有不同,在于i可以等于0,此时纵轴上的系数F等于1),F为在相应系数表 中查到的略大于F的那个系数,F对应的利息率即为i。查表所得的另一个比F 略小的系数记作F,其对应的利息率为i。

插值例题

例1 机床加工 待加工零件的外形根据工艺要求由一组数据(x, y)给出(在平面情况下),用程控 铣床加工时每一刀只能沿x 方向和y 方向走非常小的一步,这就需要从已知数据得到加工所要求的步长很小的(x, y)坐标。 表1 中给出的x, y数据位于机翼断面的下轮廓线上,假设需要得到x坐标每改变 0.1 时的y坐标。试完成加工所需数据,画出曲线,并求出x = 0处的曲线斜率和 13 ≤x ≤15范围内y的最小值。 表 1 x 0 3 5 7 9 11 12 13 14 15 y 0 1.2 1.7 2.0 2.1 2.0 1.8 1.2 1.0 1.6 要求用Lagrange、分段线性和三次样条三种插值方法计算。 解编写以下程序: clc,clear x0=[0 3 5 7 9 11 12 13 14 15]; x=0:0.1:15; y1=lagrange(x0,y0,x); %调用前面编写的Lagrange插值函数 y2=interp1(x0,y0,x); y3=interp1(x0,y0,x,'spline'); pp1=csape(x0,y0); y4=ppval(pp1,x); pp2=csape(x0,y0,'second'); y5=ppval(pp2,x); fprintf('比较一下不同插值方法和边界条件的结果:\n') fprintf('x y1 y2 y3 y4 y5\n') xianshi=[x',y1',y2',y3',y4',y5']; fprintf('%f\t%f\t%f\t%f\t%f\t%f\n',xianshi') subplot(2,2,1), plot(x0,y0,'+',x,y1), title('Lagrange') subplot(2,2,2), plot(x0,y0,'+',x,y2), title('Piecewise linear') subplot(2,2,3), plot(x0,y0,'+',x,y3), title('Spline1') subplot(2,2,4), plot(x0,y0,'+',x,y4), title('Spline2') dyx0=ppval(fnder(pp1),x0(1)) %求x=0处的导数 ytemp=y3(131:151); index=find(ytemp==min(ytemp)); xymin=[x(130+index),ytemp(index)] 计算结果略。 可以看出,拉格朗日插值的结果根本不能应用,分段线性插值的光滑性较差(特别 是在x = 14附近弯曲处),建议选用三次样条插值的结果。

数值分析常用的插值方法

数值分析报告 班级: 专业: 流水号: 学号: 姓名:

常用的插值方法 序言 在离散数据的基础上补插连续函数,使得这条连续曲线通过全部给定的离散数据点。插值是离散函数逼近的重要方法,利用它可通过函数在有限个点处的取值状况,估算出函数在其他点处的近似值。 早在6世纪,中国的刘焯已将等距二次插值用于天文计算。17世纪之后,牛顿、拉格朗日分别讨论了等距和非等距的一般插值公式。在近代,插值法仍然是数据处理和编制函数表的常用工具,又是数值积分、数值微分、非线性方程求根和微分方程数值解法的重要基础,许多求解计算公式都是以插值为基础导出的。 插值问题的提法是:假定区间[a,b〕上的实值函数f(x)在该区间上n+1个互不相同点x0,x1……x n处的值是f(x0),……f(x n),要求估算f(x)在[a,b〕中某点的值。其做法是:在事先选定的一个由简单函数构成的有n+1个参数C0, C1,……C n的函数类Φ(C0,C1,……C n)中求出满足条件P(x i)=f(x i)(i=0,1,……n)的函数P(x),并以P(x)作为f(x)的估值。此处f(x)称为被插值函数,x0,x1,……xn 称为插值结(节)点,Φ(C0,C1,……C n)称为插值函数类,上面等式称为插值条件,Φ(C0,……C n)中满足上式的函数称为插值函数,R(x)=f(x)-P(x)称为插值余项。

求解这类问题,它有很多种插值法,其中以拉格朗日(Lagrange)插值和牛顿(Newton)插值为代表的多项式插值最有特点,常用的插值还有Hermit 插值,分段插值和样条插值。 一.拉格朗日插值 1.问题提出: 已知函数()y f x =在n+1个点01,,,n x x x L 上的函数值01,,,n y y y L ,求任意一点 x '的函数值()f x '。 说明:函数()y f x =可能是未知的;也可能是已知的,但它比较复杂,很难计算其函数值()f x '。 2.解决方法: 构造一个n 次代数多项式函数()n P x 来替代未知(或复杂)函数()y f x =,则 用()n P x '作为函数值()f x '的近似值。 设()2012n n n P x a a x a x a x =++++L ,构造()n P x 即是确定n+1个多项式的系数 012,,,,n a a a a L 。 3.构造()n P x 的依据: 当多项式函数()n P x 也同时过已知的n+1个点时,我们可以认为多项式函数 ()n P x 逼近于原来的函数()f x 。根据这个条件,可以写出非齐次线性方程组: 20102000 20112111 2012n n n n n n n n n n a a x a x a x y a a x a x a x y a a x a x a x y ?++++=?++++=?? ? ?++++=?L L L L L 其系数矩阵的行列式D 为范德萌行列式: ()20 0021110 2111n n i j n i j n n n n x x x x x x D x x x x x ≥>≥= = -∏L L M M M M L

数值分析常用的插值方法

数值分析 报告 班级: 专业: 流水号: 学号: 姓名:

常用的插值方法 序言 在离散数据的基础上补插连续函数,使得这条连续曲线通过全部给定的离散数据点。插值是离散函数逼近的重要方法,利用它可通过函数在有限个点处的取值状况,估算出函数在其他点处的近似值。 早在6世纪,中国的刘焯已将等距二次插值用于天文计算。17世纪之后,牛顿、拉格朗日分别讨论了等距和非等距的一般插值公式。在近代,插值法仍然是数据处理和编制函数表的常用工具,又是数值积分、数值微分、非线性方程求根和微分方程数值解法的重要基础,许多求解计算公式都是以插值为基础导出的。 插值问题的提法是:假定区间[a,b〕上的实值函数f(x)在该区间上 n+1 个互不相同点x 0,x 1 (x) n 处的值是f(x ),……f(x n ),要求估算f(x)在[a,b〕 中某点的值。其做法是:在事先选定的一个由简单函数构成的有n+1个参数C , C 1,……C n 的函数类Φ(C ,C 1 ,……C n )中求出满足条件P(x i )=f(x i )(i=0,1,…… n)的函数P(x),并以P(x)作为f(x)的估值。此处f(x)称为被插值函数,x 0,x 1 ,……xn 称为插值结(节)点,Φ(C 0,C 1 ,……C n )称为插值函数类,上面等式称为插值条件, Φ(C 0,……C n )中满足上式的函数称为插值函数,R(x)= f(x)-P(x)称为 插值余项。

求解这类问题,它有很多种插值法,其中以拉格朗日(Lagrange)插值和牛顿(Newton)插值为代表的多项式插值最有特点,常用的插值还有Hermit 插值,分段插值和样条插值。 一.拉格朗日插值 1.问题提出: 已知函数()y f x =在n+1个点01,, ,n x x x 上的函数值01,, ,n y y y ,求任意一点 x '的函数值()f x '。 说明:函数()y f x =可能是未知的;也可能是已知的,但它比较复杂,很难计算其函数值()f x '。 2.解决方法: 构造一个n 次代数多项式函数()n P x 来替代未知(或复杂)函数()y f x =,则 用()n P x '作为函数值()f x '的近似值。 设()2012n n n P x a a x a x a x =+++ +,构造()n P x 即是确定n+1个多项式的系数 012,,,,n a a a a 。 3.构造()n P x 的依据: 当多项式函数()n P x 也同时过已知的n+1个点时,我们可以认为多项式函数 ()n P x 逼近于原来的函数()f x 。根据这个条件,可以写出非齐次线性方程组: 20102000 201121112012n n n n n n n n n n a a x a x a x y a a x a x a x y a a x a x a x y ?+++ +=?++++=??? ?+++ +=? 其系数矩阵的行列式D 为范德萌行列式: () 200021110 2 111n n i j n i j n n n n x x x x x x D x x x x x ≥>≥= = -∏

数值分析 插值法

第二章插值法 2.在区间[-1,1]上分别取n=10,20用两组等距节点对龙哥函数f(x)=1/(1+25*x^2)做多项式插值及三次样条插值,对每个n值,分别画出插值函数及f(x)的图形。 (1)多项式插值 ①先建立一个多项式插值的M-file; 输入如下的命令(如牛顿插值公式): function [C,D]=newpoly(X,Y) n=length(X); D=zeros(n,n) D(:,1)=Y' for j=2:n for k=j:n D(k,j)=(D(k,j-1)- D(k-1,j-1))/(X(k)-X(k-j+1)); end end C=D(n,n); for k=(n-1):-1:1 C=conv(C,poly(X(k))) m=length(C); C(m)= C(m)+D(k,k); end ②当n=10时,我们在命令窗口中输入以下的命令: clear,clf,hold on; X=-1:0.2:1; Y=1./(1+25*X.^2); [C,D]=newpoly(X,Y); x=-1:0.01:1; y=polyval(C,x); plot(x,y,X,Y,'.'); grid on; xp=-1:0.2:1; z=1./(1+25*xp.^2); plot(xp,z,'r') 得到插值函数和f(x)图形:

③当n=20时,我们在命令窗口中输入以下的命令:clear,clf,hold on; X=-1:0.1:1; Y=1./(1+25*X.^2); [C,D]=newpoly(X,Y); x=-1:0.01:1; y=polyval(C,x); plot(x,y,X,Y,'.'); grid on; xp=-1:0.1:1; z=1./(1+25*xp.^2); plot(xp,z,'r') 得到插值函数和f(x)图形:

数值分析实验插值与拟合

《数值分析》课程实验一:插值与拟合 一、实验目的 1. 理解插值的基本原理,掌握多项式插值的概念、存在唯一性; 2. 编写MATLAB 程序实现Lagrange 插值和Newton 插值,验证Runge 现象; 3. 通过比较不同次数的多项式拟合效果,理解多项式拟合的基本原理; 4. 编写MATLAB 程序实现最小二乘多项式曲线拟合。 二、实验内容 1. 用Lagrange 插值和Newton 插值找经过点(-3, -1), (0, 2), (3, -2), (6, 10)的三次插值公式,并编写MATLAB 程序绘制出三次插值公式的图形。 2. 设 ]5,5[,11 )(2 -∈+= x x x f 如果用等距节点x i = -5 + 10i /n (i = 0, 1, 2, …, n )上的Lagrange 插值多项式L n (x )去逼近它。不妨取n = 5和n = 10,编写MATLAB 程序绘制出L 5(x )和L 10(x )的图像。 3. 在某冶炼过程中,根据统计数据的含碳量与时间关系如下表,试求含碳量与时间t 的拟合曲线。

(1) 用最小二乘法进行曲线拟合; (2) 编写MATLAB 程序绘制出曲线拟合图。 三、实验步骤 1. (1) Lagrange 插值法:在线性空间P n 中找到满足条件: ?? ?≠===j i j i x l ij j i , 0,, 1)(δ 的一组基函数{}n i i x l 0)(=,l i (x )的表达式为 ∏ ≠==--= n i j j j i j i n i x x x x x l ,0),,1,0()( 有了基函数{}n i i x l 0)(=,n 次插值多项式就可表示为 ∑==n i i i n x l y x L 0)()( (2) Newton 插值法:设x 0, x 1, …, x n 是一组互异的节点,y i = f (x i ) (i = 0, 1, 2, …, n ),f (x )在处的n 阶差商定义为 1102110] ,,,[],,,[],,,[x x x x x f x x x f x x x f n n n n --= - 则n 次多项式 ) ())(](,,[) )(](,,[)](,[)()(11010102100100----++--+-+=n n n x x x x x x x x x f x x x x x x x f x x x x f x f x N 差商表的构造过程:

数值计算方法复习题2

习题二 1. 已知 ,求的二次值多项式。 2. 令 解:; ,介于x和0,1决定的区 间内;,当时。 的数表,分别用线性插值与二次插值求 3. 给出函数 ,试利用拉格朗日余项定理写出以为节点的三次 4. 设 插值多项式。 ,求及的值。1,0 5. 已知 6. 根据如下函数值表求四次牛顿插值多项式,并用其计算 , 的如下函数值表,解答下列问题(1)试列出相应 7. 已知函数 的差分表;(2)分别写出牛顿向前插值公式和牛顿向后插值公式。 解:向前插值公式

向后插值公式 8. 下表为概率积分 的数据表,试问:1)时, 积分 在各点的数据(取五位有效数 9. 利用 字),求方程 在0.3和0.4之间的根的近似值。0.3376489 10. 依据表10中数据,求三次埃尔米特插值多项式。 11. 依据数表11 项式。 上给出的等距节点函数表,用分段线性插值求 12. 在 的近似值,要使截断误差不超过 取? 13. 将区间 分成n等分,求在上的分段三次埃尔米 特插值多项式,并估计截断误差。 14、给定的数值表

用线性插值与二次插值计算ln0.54的近似值并估计误差限 解:仍可使用n=1及n=2的Lagrange插值或Newton插值,并应用误差估计。线性插值时,用0.5及0.6两点,用Newton插值 误差限 ,因,故 二次插值时,用0.5,0.6,0.7三点,作二次Newton插值 误差限, 故 15、在-4≤x≤4上给出的等距节点函数表,若用二次插值法 求的近似值,要使误差不超过,函数表的步长h应取多少? 解:用误差估计式, 令因 得

16、若,求和 解:由均差与导数关系 于是 17、若互异,求 的值,这里p≤n+1. 解:,由均差对称性 可知当有 而当P=n+1时 于是得 18、求证 解:只要按差分定义直接展开得 19、已知的函数表

计算方法实验报告习题1

计算方法实验报告 实验名称: 实验1 从函数表出发进行插值 1 引言 某个实际问题中,函数f (x)在区间[a,b]上存在且连续,但难以找到其表达式,只能通过实验和观测得到有限点上的函数表。有些情况虽然可以写出表达式,但结构复杂,使用不方便。所以希望构造简单函数P (x)作为f (x)的近似值。插值法是解决此类问题的一种方法。 设函数y=在插值区间[a,b]上连续,且在n+1个不同的插值节点a≤x 0,x 1,…,x n ≤b 上分别取值y 0,y 1,…,y n 。目的是要在一个性质优良、便于计算的插值函数类Φ中,求一简单函数P (x),满足插值条件P (x i )=y i (i=0,1,…,n),而在其他点x≠x i 上,作为f (x)近似值。求插值函数P (x)的方法称为插值法[1]。 2 实验目的和要求 运用Matlab 编写m 文件,定义三种插值函数,要求一次性输入整张函数表,并利用计算机选择在插值计算中所需的节点。分别通过分段线性插值、分段二次插值和全区间上拉格朗日插值计算f ,f ,f 的近似值。 3 算法原理与流程图 (1)原理 1.线性插值 当给定了n+1个点x 0

CPA.会计第二章插值法计算

专题四资金时间价值 一、资金时间价值的概念 定义:资金时间价值是指一定量资金在不同时点上的价值量差额。 【提示】理解资金时间价值要把握两个要点:(1)不同时点;(2)价值量差额。 二、终值和现值的计算 1.终值又称将来值,是现在一定量的资金折算到未来某一时点所对应的价值,俗称“本利和”,通常记作F。 2.现值,是指未来某一时点上的一定量资金折算到现在所对应的价值,俗称“本金”,通常记作“P”。 现值和终值是一定量资金在前后两个不同时点上对应的价值,其差额即为资金的时间价值。生活中计算利息时所称本金、本利和的概念,相当于资金时间价值理论中的现值和终值,利率(用i表示)可视为资金时间价值的一种具体表现:现值和终值对应的时点之间可以划分为n期(n≥1),相当于计息期。 【注意】终值与现值概念的相对性。 【思考】现值与终值之间的差额是什么?两者之间的差额是利息. 三、利息的两种计算方式 1.单利计息方式:只对本金计算利息。以本金为基数计算利息,所生利息不再加入本金滚动计算下期利息(各期的利息是相同的)。 2.复利计息方式:既对本金计算利息,也对前期的利息计算利息。将所生利息加入本金,逐年滚动计算利息的方法。(各期的利息是不同的)。 【提示】除非特别指明,否则在计算利息的时候使用的都是复利计息。

四、复利终值与现值 1.复利终值 复利终值的计算公式为: F=P(1+i)n 在上式中,(1+i)n称为“复利终值系数”,用符号(F/P,i,n)表示。这样,上式就 可以写为: F=P(F/P,i,n) 【提示】在平时做题时,复利终值系数可以查表得到。考试时,一般会直接给出。但需要注意的是,考试中系数是以符号的形式给出的。因此,对于有关系数的表示符号需要掌握。 【例题1·计算题】某人将100元存入银行,复利年利率2%,求5年后的终值。 【答案】5年后的终值=100×(1+2%)5=100×(F/P,2%,5)=100×1.104=110.4(元)。 【注意】如果不加注明,一般均按照复利计算。 2.复利现值 复利现值的计算公式为: 上式中,(1+i)-n称为“复利现值系数”,用符号(P/F,i,n)表示,平时做题时, 可查表得出,考试时一般会直接给出。 【例题2·计算题】某人存入一笔钱,想5年后得到10万,若银行存款利率为5%,要求计算按照复利计息,现在应存入银行多少资金? 【答案】 如果按照复利计息:P=10×(1+5%)-5 =(P/F,5%,5)=10×0.7835=7.835(万元)。 【结论】 (1)复利终值和复利现值互为逆运算; (2)复利终值系数(1+i)n和复利现值系数1/(1+i)n互为倒数。 【例题3·计算题】甲公司主要从事化工产品的生产和销售。2007年12月31日,甲公司一套化工产品生产线达到预定可使用状态并投入使用,预计使用寿命为15年,根据有关法律,甲公司在该生产线使用寿命届满时应对环境进行复原,预计将发生弃置费用200 000万元。甲公司采用的折现率为10%。 【答案】 甲公司与弃置费用有关的账务处理如下: 2007年12月31日,按弃置费用现值计入固定资产原价 应计入固定资产原价金额=200 000*0.2394(15年10%的复利现值系数)=47 880(万元)。 借:固定资产 47 880 贷:预计负债 47 880 五、年金的终值和年金现值的计算(重点) (一)年金的含义

计算方法简明教程插值法习题解析

第二章 插值法 1.当1,1,2x =-时,()0,3,4f x =-,求()f x 的二次插值多项式。 解: 0120121200102021101201220211,1,2, ()0,()3,()4;()()1 ()(1)(2)()()2()()1 ()(1)(2) ()()6 ()()1 ()(1)(1) ()()3 x x x f x f x f x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x ==-===-=--==-+-----==------= =-+-- 则二次拉格朗日插值多项式为 2 20 ()()k k k L x y l x ==∑ 0223()4() 14 (1)(2)(1)(1)23 537623 l x l x x x x x x x =-+=---+ -+= +- 2.给出()ln f x x =的数值表 用线性插值及二次插值计算的近似值。 解:由表格知, 01234012340.4,0.5,0.6,0.7,0.8;()0.916291,()0.693147()0.510826,()0.356675()0.223144 x x x x x f x f x f x f x f x ======-=-=-=-=- 若采用线性插值法计算ln 0.54即(0.54)f , 则0.50.540.6<<

2 112 1 221 11122()10(0.6)()10(0.5)()()()()() x x l x x x x x x l x x x x L x f x l x f x l x -==----= =---=+ 6.9314 7(0.6) 5.10826( x x =--- 1(0.54)0.62021860.620219L ∴=-≈- 若采用二次插值法计算ln 0.54时, 1200102021101201220212001122()() ()50(0.5)(0.6) ()() ()() ()100(0.4)(0.6) ()()()() ()50(0.4)(0.5) ()() ()()()()()()() x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x L x f x l x f x l x f x l x --==------==-------= =----=++ 500.916291(0.5)(0.6)69.3147(0.4)(0.6)0.51082650(0.4)(0.5 x x x x x x =-?--+---?--2(0.54)0.61531984 0. 615320L ∴=-≈- 3.给全cos ,090x x ≤≤ 的函数表,步长1(1/60),h '== 若函数表具有5位有效数字,研究用线性插值求cos x 近似值时的总误差界。 解:求解cos x 近似值时,误差可以分为两个部分,一方面,x 是近似值,具有5位有效数字,在此后的计算过程中产生一定的误差传播;另一方面,利用插值法求函数cos x 的近似值时,采用的线性插值法插值余项不为0,也会有一定的误差。因此,总误差界的计算应综合以上两方面的因素。 当090x ≤≤ 时, 令()cos f x x = 取0110,( )606018010800 x h ππ===?= 令0,0,1,...,5400i x x ih i =+= 则5400902 x π = = 当[]1,k k x x x -∈时,线性插值多项式为

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