4-1 如题4-1图所示电路，N R 为线性纯电阻电路，其内部结构不详。已知：当u s = 1V ，i s =1A 时，u 2 =1V ，当u s = 10V ，i s =2A 时，u 2 =6V 。求当u s = 4V ，i s =10A 时的电压u 2。
+
_
s
i
题4-1图
解 由线性电路的齐次性和叠加定理，设
212s s u k u k i =+
代入已知条件，得方程组
12121
1026
k k k k +=??
+=? 解得 10.5k =， 20.5k = 所以，待求量
240.5100.57V u =?+?=
4-2 试用叠加定理求题4-2图所示电路中的电压U 1，并求电流源的功率。
25V
题4-2图
解 用叠加定理求1U ，就是分别求出各电源单独作用时所产生的分量，最后再叠加得到1U 。
25V 电压源单独作用，见图4-2-1(a)，此时1.5A 电流源应开路。
25 V
()
a
()
b
图4-2-1 电源分别作用对应电路
由电阻分压公式可得
120//10
2510V 20//1010
U '=
?=+
1.5A 电流源单独作用，见图4-2-1(b)，此时25V 电压源应短接。
由欧姆定律得
120//10//10 1.56V U ''=?=
根据叠加定理，将两响应分量叠加得
11110616V U U U '''=+=+=
下面求电流源的功率。由题4-2图知
()125 1.5P U =-+?
()1625 1.513.5W =-+?=
4-3 应用叠加定理求解题4-3图所示电路。若欲使3A 电流源产生30W 功率，与其串联的电阻R 应取何值。
+_
18V 3 Ω2 Ω
6 Ω1Ω
R (b)
+_
+u'
题4-3图
解 电压源单独作用时，电路如图4-3（b ）所示。电流源端电压为6Ω与1Ω电阻上电压之代数和
'(12-6)V 6V u ==
当3A 电流源单独作用时，电路如图4-3 (c)所示，电流源端电压"
u 依题意有
'"()s P u u i =+?
"30(6)3u -=+?
"16V u =-
由KVL 应有
"212330R u ?+?++=
解得
83
R =Ω
4-4 试用叠加原理计算题4-4图所示电路中电流源两端的电压U 值。
3 Ω
题4-4图
'
U ''
图4-4-1
解 根据叠加原理，使电压源单独作用时，电流源应以开路代替，如图4-4-1（a)所示。由图4-4-1（a)得
U '= —d I 2R +2= —3?21
2
?+2= —1V 。
使电流源单独作用时，电压源应以短路代替，如图4-4-1（b ）得
23339U R ''==?=V
所以 U U U '''=+=—1+9=8V
4-5 在题4-5图所示电路中，已知U =1.5V ，试用替代定理求1U 。
1U U _1
U 0.5A
题4-5图 图 4-5-1
解 由于U =1.5V ，且R =3Ω
故 1.5
0.5A
33
U I =
== 根据替代定理，虚线左边的单口网络可用0.5A 的理想电流源替代，如图4-5-1所示，可
求得
10.5
20.5V 2
U =
?=
4-6 试用戴维南定理计算题4-4图所示电路电流源两端的电压U 值。
解 欲求电流源两端的电压U 值，先把含电流源的支路当作外电路去掉，计算其剩下部分的开路电压OC U 和端口电阻i R ，如图4-6（a ）所示。 （1）求开路电压OC U 由图4-6（a ）知
11
32232212
OC U I =-?+=-??
+=-V （2）求端口电阻i R ，因为图4-6（b ）所示网络中含有受控源，所以求端口电阻i R 时应在端口处外加电压为U 的电压源，并令网络中所有独立源均为零值时产生的电流为Ｉ，如图4-6（b ）所示。由图4-6（b ）知，独立源为零值时，10I =。受控电流源12I 也应等于零。 所以有 3U I = 即 3i U
R I
=
=Ω 作其含源支路如图4-6（c ）所示。由图4-6（c ）得 3318U =?-=V
值得注意，电流源两端的电压Ｕ 不等于去掉电流源后网络的开路电压OC U 。
OC U
U
(c)
图4-6
4-7 试用诺顿定理计算题4-4图所示电路电流源两端的电压U 值。
解 先求短路电流SC I ，即将图4-7（a ）所示电路中的电流源去掉，并将去掉后的端口短路，如图4-7（a ）所示。在图4-7（a ）中，列写KVL 方程，得
1L : 13442L L i i +=或12221L L i i += (1) 2L : 212L i I =132()L L i i =+ (2) 3L : 12343(34)0L L L i i i -++= (3)
将式（2）代入式（3）中， 得
1133432()70L L L L i i i i -?++=
1320L L i i -+= (4) 联解式（1）、式（4）得
31
3
SC L I i ==
A 经过计算得知，其端口电阻3i R =Ω，作其等效含源支路如图4-7（b ）所示。 由图4-7（b ）得
1333
U
+= 8U =V
SC I
J
I SC
图4-7
4-8 试用叠加定理求题4-8图所示电路中的电流I x 。
I x
2Ω
题4-8图
解 当电压源单独作用时，对于AB 端而言是一平衡电桥。'
x I =0 当电流源单独作用时，电路如图4-8-1所示
2Ω
Ω
"5x I
图4-8-1
采用回路分析法，其回路方程为
123520I I I --=
124520I I I -+-=
13230I I U -++=
"
24235x I I U I -+-=-
以及
"
21x I I I =-
433I I -= 联立求解得
19A 8I =-,21A 8
I =- 所以
"
211A x I I I =-=
则
'"
1A x x x I I I =+=
4-9 题4-9图所示电路中，已知R 1=2Ω，R 2=5Ω，R 3=10Ω，U S 1=10V ，U S 2=5V ,试求(1)各支路电流及R 3两端电压；（2）运用替代原理，把电阻R 3换成电流源重新计算各支路电流。
2S U 2
S U
题4-9图
解 (1)根据电压源与电流源的等效变换，将图4-9-1（a ）等效成同图4-9-1（b ）， 并在图4-9-1（b ）中设节点电位为1?和2?，且令20?=。由KCL 得 12112312
111
(
)J J U U R R R R R ?++=+或 1111
()62510
?+
+= 解之得 17.5?=V 因此得图4-9-1（a ）中各支路电流为 1111107.5
1.25A 2J U I R ?--=
== 222257.5
0.55
J U I R ?--=
==- A 1
33
7.5
0.7510
I R ?=
=
= A (2)把电阻3R 用电流强度等于0.75A 的电流源J I 替代（即用电流源J I 替代电阻3R ，电流源的电流值要等于通过3R 的电流值方向和3R 中电流方向一致），如图4-9-1（c ）所示，若将该图等效成图4-9-1（d ）。在图4-9-1（d ）中设节点电位为1? 和2?，并令2?＝０，列写ＫＣ
Ｌ方程得
1211212
11
(
)J J J U U I R R R R ?+=-+ 或111()50.75125
?+=-+
解之得 10.75?=V
由此得图4-9（c ）所示电路，其各支路电流为 1111107.5
1.252
J U I R ?--'=
== A 212257.5
0.55
J U I R ?--'===- A
1J U
2J U 2
2
2
(a)
(b)
'
'
1J U 2
J U 2
2
2
(c)
(d)
图4-9-1
即11I I '=，22I I '=。也就是说用电流强度为3I 的电流源J I 替代电阻3R 后，对电路中其它支路的电流和电压不发生任何影响。
4-10 如题4-10(a)图中所示电路，N 为线性含源网络，电压表、电流表均是理想的，若当开关S 置于“
1”时，电流表的读数为2A ，S 置于“2”时，电压表的读数为6V 。求：当开关S 置于“
3”时的电流I 。
i
(a) (b) (c) (d)
题4-10图
解 理想电流表的内阻为零，因此，当开关S 置于“１”时，等效电路如图4-10(b)所示。电流表的读数即为短路电流sc i ，所以：
2A sc i =
理想电压表的内阻为无穷大，因此，当开关Ｓ置于“２”时，等效电路如图4-10(c)所示。电压表的读数即为开路电压ｕoc ，所以：
6V oc u =
由短路电流和开路电压可得等效电阻为：
06
32
oc sc u R i =
==W 当开关Ｓ置于“３”时，根据题意可得戴维南等效电路如图4-10(d)所示。由图4-10(d)可得电
流为I :
6
1A 33
I =
=+ 4-11 题4-11图所示电路，当R x 分别为1Ω、2Ω、3Ω时，电流i x 分别为多大？
x
x
R 2
题4-11图
解
_
2oc
2sc
i u (a)
(b)(c)
图4-11-1
当线性电路中参数变动时（X R 可变）求响应，最适宜用戴维南定理或诺顿定理求解。 一般将参数变动的元件或者待求响应的支路当作负载，求剩余含源二端网络的等效电源 （戴维南等效电路或者诺顿等效电路）。最后，接上负载求响应。
自a 、b 断开负载X R ，求端口开路电压oc u 。如图4-11-1（a ）所示，由KVL ，有 (610)4(2)240i i i '''+---= 解得 2A i '=
所以 1020V oc u i '==
将端口短路，求短路电流sc i 。如图4-11-1（b ）所示，由KVL ，有
64240i i ''''--=
则 12A sc i i ''== 所以戴维南电路等效电阻
0205123
oc sc u R i =
==Ω 作出戴维南等效电路，再接上负载X R ，如图4-11-1（c ）所示，有 0oc
x x
u i R R =+
当1x R =Ω时， 20
7.5A 5/31x i =
=+
2x R =Ω时， 2060
A 5/3211x i ==+
3x R =Ω时， 2030
A 5/337
x i ==+
4-12 试用诺顿定理求题4-12图电路中通过6Ω电阻的电流。
I 1
题4-12图
解
1
I SC
(a)
(b)
I
1(c)
(d)
6 ΩI
图4-12-1
（1）将6Ω电阻短路、如图4-12-1(b)所示，其短路电流I SC 可由叠加定理求得 SC 12633 6 A 44//4
I =
+=+= （2）将网络中的电压源短接，如图4-12-1(c) 所示。由此可得等效电阻为
i 4//4 2 ΩR ==
（3）画出与6Ω电阻相联接的诺顿等效电路，如图4-12-1(d) 所示，由此可得通过6Ω电阻的电流为
4-13 如题4-13(a )图所示电路，求戴维南等效电路(图4-13(b ))中的s u 和s R 。
1.5)(a )(b )
(c
题4-13图
解 求开路电压。
1163513oc u u u =?+-=+ 而由KCL ，有
1
13 1.52
u u += 解得 13V u =- 所以 10V U oc s u ==
求等效电阻s R 。采用外施电源法，电路如图4-13（c ）所示。由KVL ，得 16u i u '=+
其中 1
11.52
u i u ''+= 1
u i '=- 将上式代入式（1）解得： 5u i = 所以 S R =
5u
i
=Ω
4-14 如题4-14图所示电路，用戴维南定理求电阻R L 吸收的功率P L 。
b
60ΩL R Ω
题4-14图
解 自a 、b 端口断开负载，求开路电压oc u 。
3030
0.3A (6060)//60604060
i =
==+++
由分流公式
1601
0.30.1A 601203
i i ==?=+
所以
16060600.1600.324V oc u i i =+=?+?=
将30V 电压源短路，求从a 、b 短端看的等效电阻0R 。 利用电阻串并联关系，有
0(60//6060)//60(3060)//6036R =+=+=Ω
做出戴维南等效电路，即电压源oc u 与等效电阻0R 的串联。再接上负载L R ，则回路电流
0241
A 36122
oc L L u i R R =
==++
L R 吸收的功率为
22
120.53W L L L P R i ==?=
4-15 如题4-15(a)图所示电路，已知S 打开时，U ab = 2.5V ，当S 闭合时，I = 3A ，求电路N 的戴维南等效电路。
5V
2.5
)
(a)
(b
题4-15图
解分别作出a、b端以左及以右两部分戴维南等效电路，如图4-15（b）所示。其中，
R和oc
u即为所求的戴维南等效电路的参数。
由已知，当a、b开路时，有
5
2.55 2.5
2.5
oc
oc
u
u
R
-
=-?+=
+
(1)
当a、b短路时，有
5
3
2.5
oc
u
I
R
=+=(2) 整理式（1）和（2）得
2.5
oc
oc
u R
u R
+=
?
?
-=
?
解得 1.25V
oc
u=
1.25
R=Ω
4-16 求题4-16(a)图电路中R L
为何值时获得最大功率，最大功率P Lmax为多少？
L
R
O
)
(a)
(b)
(c
题4-16图
解先求从
L
R两端看进去的等效电阻
R，将电压源短路，如图4-16(b)所示。
Ω
=
+
+
?
=3
4.1
2
8
2
8
R
即Ω
=
=3
R
R
L
时获得最大功率。
再求
L
R两端的开路电压，如图例4-16(c)所示。
2102
82
=?+=
oc u V 3
13424202max =?==R u P oc W
4-17 在题4-17图所示电路中，当可变电阻R L 等于多大时，它能从电路中吸收最大的功率，并求此最大功率。
R L
题4-17图
解 采用戴维南定理求解，先将L R 所在的支路移去，可采用叠加定理求出开路电压为
'
'0'00U U U +=
502)20
2020
2010()5202020515(
=?+?+++?+-=V
将独立电源置零后，求得等效电阻为
Ω=+?+
=2020
2020
20100R
当L R =0R 时，L R 消耗的功率最大，有 L L
R R R U P ?+=200
m
a x
)(
25.3120)20
2050(
2
=?+=W
4-18 如题4-18图所示，N R 网络由线性电阻组成。已知当R 2=2Ω、U 1=6V 时，测得I 1=2A 、
U 2=2V ；当R 2=4Ω、U 1=10V 时，测得I 1=3A ，求此时U 2的值。
U U 2
+
_
题4-18图
解 将两次测量所对应的电路看成两个具有相同拓扑图的电路，分别视为Ｎ和 Ｎ′，根据特勒根定理２知
???
????=++-=++-∑∑==0
03''22'113
'
2'1'12
b
k k
k b
k k k I U I U I U I U I U I U )2()1( 由于网络R N 由线性电阻构成，上两式中
k k k k k k k k I U I RI I RI I U ''''=== (3)
式（１）式（２），得
'22'112'21'1I U I U I U I U +-=+-
(4)
将A =A ===A ==12
2
V 22V 6'2'2'
2
'2
'1
'1
R U I U I U 、、、
以及4
3V 102
22211U R U I I U ==
A ==、、分别代入式(4)得 1210)4
(
23622
?+?-=?+?-U U 即 22202
18U U
+-=+-
所以
V 42=U
4-19 题4-19图所示电路，已知图(a )中u S1=1V 、i 2=2A ；图(b )中u S2 = -2V ，求电流i 1。
u S 2
i
u S 21
i
(a ) （b ）
题4-19图
解 图4-19(a )的端子1、2均为正极性端，而图(b )的端子1、2为反极性端。根据互易定理1知
2
1
12s s u i u i -=
所以
A =A ??
? ???--==
42122121i u u i s s
4-20 含有两个未知电阻的互易网络如题4-20(a)图所示，当电压源U S 作用于1-1′之间时，
有3
611s U U '=，当电源U S 作用于2-2′之间时电路如题4-20(b)图所示，有3
3
11
s U U ''=，试回答：（1）借助互易定理确定电阻R 1和R 3的值。（2）当1-1′与2-2′之间都有电压源激励时，
电路如题4-20(c)图所示，欲使R 3两端电压为零，应用叠加定理确定K 值。
12
U S
12
12S
(a) (b) (c)
题4-20图
解
（1）依据互易定理，（a ）中'22I 与（b ）中'11I ′相等，所以'331
2U U R ''
=
， 即11613
21111s s U U R ?=?
得11R =Ω
再由图（a ），列KVL 方程: ''
'
33313
()2
s U U U U R R =++
即3666
1111211
s s s s U U U U R =
++? 得33R =Ω
（2）由叠加定理363
01111
s s U U K U =
+?= 得2K =- 4-21 题4-21(a )图所示电路中，N 为有源二端线性电阻网络，当外部电路中受控源控制系数 1β=时，20U =V ；当1β=-时，12.5V U =，试求β为何值时，外部电路从N 网络获得最大功率，求此最大功率。
(a )
(b ) (c )
题4-21图
解 最大功率问题实质就是求戴维南等效电路，根据题给测试结果，构建如图(b)所示的戴维南等效电路。
1β=时， 212I I =
1120210I I U +?=,10.5A I =
有 00.520oc U R -= ①
1β=- 时， 20I =
120I u =，10.625A I =
有 00.62512.5oc U R -= ② 联立求解方程①和②，解得
060R =Ω,50V oc U =
将图（ｂ）电路右侧诺顿电路进行变换成为戴维南电路，并注意到电流控电压源的控制量电流1I 就是该受控源支路电流，故这类电流控电压源可等效为一电阻。
欲使 01030R β+= 则 3β=
于是 2max
10.42W 4oc U P R == 4-22 题4-22图（a ）电路中有1121V,2A,1A S U I I ===；在题4-22图（b ）电路中，有
2?5V S U =， 1
?1A I =，试确定电阻R 值（N R 为互易网络）。
∧
∧
)
(a )
(b )
(c
题4-22图
解 断开R ，利用互易定理求1-1′ 短路电流
2
21?5
151
s sc
s U I I A U '==?= 再将2
?s U 置零，求等效电阻0R ，利用图4-35（a ）的已知条件 1011
0.52
s U R I =
==Ω 所以用诺顿等效电路求R 的电路如图4-35（c ）所示。
根据欧姆定律11
0.5(5)
0.5(51)
21
I R I -?-=
=
=Ω
4-2 试用外施电源法求图题4-2 所示含源单口网络VCR ，并绘出伏安特性曲线。 解：图中u 可认为是外加电压源的电压。 根据图中u 所示的参考方向。可列出 (3)(6)(5)20(9)50u i i A V A i V =Ω+Ω++=+ 4-5试设法利用置换定理求解图题4-5所示电路中的电压0u 。何处划分为好？置 换时用电压源还是电流源为好？ 解：试从下图虚线处将电路划分成两部分，对网路N 1有（节点法） 11 11967 (11)u u u u i ???+-=? ?+????-++=-? 整理得： 1511714u i =- 对网络2N 有 2 5 1133u i i i =?+?= 解得3i A =，用3A 电流源置换N 1较为方便，置换后利用分流关系，可得： ()121031V 1V u +=??=
4-9 求图题4-7所示电路的输入电阻R i ，已知0.99α= 解： 施加电源t u 于输入端可列出网孔方程： 12335121(25100)100 (1) 100(100100101010)100.990(2)t i i u i i i +-=-++?+?-?= 将(2)代入(1)得135t i u R i ==Ω 4-14求图题4-10所示各电路的等效电路。 解 解： 图(a):因电压的计算与路径无关，所以
[5(1)]4(13)4ad ac cd ad ab bd u u u V V u u u V V =+=---=-=+=--=- 图(b): 流出a 点的电流(521)8a i A =++=，流入b 点多的电流(541)8b i A =+-=。 所以ab 之间的等效电路为8A 的电流源，电流从b 端流出。 图(c):导线短接。 4-23 电路如图题4-15 所示，已知非线性元件A 的VCR 为2u i =。试求u ，i ，i 1. 解： 断开A ，求得等效内阻：1o R =Ω 开路电压a u 所满足的方程： ()(11)12111/21 c a c a u u u u +-?=???-?++=?? 求得2a u V =，最后将A 接到等效电源上，如上图所示。 写出KVL ：220i i +-=12A i A ?=-或 当1i A =时，1u V =，21120.5,[2(0.5)1] 1.52i A A i A -==-=---= 当2i A =-时，4u V =，21421,[212]32i A A i A -===-+= 4-25 试求图题4-17所示电路中流过两电压源的电流。
第四章 电路定理 4-1应用叠加定理求图示电路中电压ab u 。 2Ω 1Ω ＋－ ab u a b 题4-1图 解：画出两个电源单独作用时的分电路如题解4-1图所示。 对(a)图应用结点电压法可得： 1 1 15sin 13211n t u ??++= ?+?? 解得： 13sin n u tV = ()1 1 1sin 21 n ab u u tV = ?=+ 题解4-1图 ＋－ (a) () 1ab u ＋ － (b) ()2ab u 对(b)图，应用电阻分流公式有 11 11351321 t t e i e A --=?=+++ 所以 ()21 15 t ab u i e V -=?= ()()121 sin 5 t ab ab ab u u u t e V -=+=+
4-2应用叠加定理求图示电路中电压u 。 题4-2图 － V 解：画出电源分别作用的分电路图 ①(a) (b) 题解4-2图 － V u 对(a)图应用结点电压法有 1 111136508240108210n u ??++=+ ?++?? 解得： ()1 182.667n u u V == 对(b)图，应用电阻串并联化简方法，可得： 104028161040310403821040si u V ??? ?+ ? +??=?=??? ++ ?+?? ()28 23 si u u V -= =- 所以，由叠加定理得原电路的u 为 ()()1280u u u V =+=
4-3应用叠加定理求图示电路中电压2u 。 3Ω 题4-3图 2u 解：根据叠加定理，作出电压源和电流源单独作用时的分电路，受控源均保留在分电路中。 (a) (b) 3 Ω 题解4-3图 () 123 Ω A (a) 图中 ()112 0.54 i A = = 所以根据KVL 有 ()()1 1 213221u i V =-?+=- (b) 图中 ()2 10i = ()2 2339u V =?= 故原电路电压 ()()1 2 2228u u u V =+= 4-4图示电路中，当电流源1s i 和电压源1s u 反向时(2s u 不变)，电压ab u 是原来的0.5倍；当电流源1s i 和电压源1s u 反向时(1s u 不变)，电压ab u 是原来的0.3倍。问：仅 1s i 反向时(1s u ，2s u 不变)，电压ab u 应为原来的多少倍？
第四章 电路定理 4-1 试用叠加定理求题4-1图所示电路中各电阻支路的电流I 1、I 2、I 3和I 4。 4-2 试用叠加定理求题4-2图所示电路中的电压U 和电流I x 。 题 4-1 图 题 4-2 图 4-3 试用叠加定理求题4-3图所示电路中的电流I 。 4-4 试用叠加定理求题4-4图所示电路中的电压U x 和电流I x 。 题 4-3 图 题 4-4 图 4-5 在题4-5图中，(a) N 为仅由线性电阻 构成的网络。当u 1 =2 V , u 2 =3 V 时，i x =20 A; 而 当u 1 = -2 V , u 2 = 1 V 时，i x = 0。求u 1=u 2=5 V 时 的电流i x 。(b)若将N 换为含有独立源的网络， 当u 1 = u 2 = 0时，i x = -10 A ，且上述已知条件仍 然适用，再求当u 1 = u 2 = 5 V 时的电流i x 。 4-6 对于题4-6图所示电路， (1) 当u 1 = 90 V 时，求u s 和u x ； (2) 当u 1 = 30 V 时，求u s 和u x ； (3) 当u s = 30 V 时，求u 1和u x ； (4) 当u x = 20 V 时，求u s 和u 1； 4-7 已知题4-7图所示电路中的网络N 是 由线性电阻组成。当i s =1 A ，u s =2 V 时，i =5 A ； 当i s = -2 A ，u s = 4 V 时，u = 24 V 。试求当i s = 2 A ，u s = 6 V 时的电压u 。 4-8 对于题4-8图所示电路，已知U 0 =2.5 V ，试用戴维宁定理求解电阻R 。 题 4-5 图 题 4-6 图
特勒根定理 设有电路,A B ，满足：（1）两者的拓扑图完全相同，均有n 个节点b 条支路；（2）对应的支路和节点均采用相同的编号，其中B 电路的电流、电压加“^”号；（3）各支路电流、电压参考方向均取为一致，则有： 功率守恒定理： 01 b U I k k k =∑= ??01b U I k k k =∑= 似功率守恒定理： ?01 b U I k k k =∑= 1 ?0b k k k U I ==∑
适用于各种电路：直流、交流；线性、非线性； 被称为基尔霍夫第三定律。 §2－2互易定理 在线性电路中，若只有一个独立电源作用，网络只含有线性电阻（不含受控源），则在一定的激励与响应的定义下，二者的位置互易后，响应与激励的比值不变。 互易定理的证明需要特勒根定理（或二端网络等效的概念）。 根据激励和响应是电压还是电流，互易定理有三种形式： 1、互易定理的第一种形式
S u S u ?+- 电路在方框内仅含线性电阻，不 含任何独立电源和受控源。电压源s u 接在端子1-1'，支路2-2'短路，其电流为2i 。如果把激励和响应位置互 换，此时?s u 接于2-2'，而响应则是接于1-1'，短路电流1?i 。 21??s s i i u u =，若 ?s s u u =，则21?i i =。 对一个仅含线性电阻的电路，在单一电压源激励而响应为电流时，激励和响应互换位置，不改变同一激励产生的响应。 2、互易定理的第二种形式
2' 2 1' 1 21??s s u u i i = 若?s s i i =，则21?u u =。 3 互易定理的第三种形式 2 1??s s i u i u = 若数值上?s s i u =，则数值上21?i u =。 例 用互易定理求下图中电流i 。
第四章 电路定理 电路定理是电路理论的重要组成部分，为我们求解电路问题提供了另一种分析方法，这些方法具有比较灵活，变换形式多样，目的性强的特点。因此相对来说比第三章中的方程式法较难掌握一些，但应用正确，将使一些看似复杂的问题的求解过程变得非常简单。应用定理分析电路问题必须做到理解其内容，注意使用的范围、条件，熟练掌握使用的方法和步骤。需要指出，在很多问题中定理和方程法往往又是结合使用的。 4-1 应用叠加定理求图示电路中电压ab u 。 解：首先画出两个电源单独作用式的分电路入题解4-1图（a ）和（b ）所示。 对（a ）图应用结点电压法可得 1sin 5)121311( 1t u n = +++ 解得 15sin 3sin 53n t u t V == (1) 111113sin sin 2133n ab n u u u t t V =?==?=+ 对（b ）图，应用电阻的分流公式有 1132111135t t e i e A --+=?=++ 所以 (2) 110.25t t ab u i e e V --=?== 故由叠加定理得 (1)(2)sin 0.2t ab ab ab u u u t e V -=+=+
4-2 应用叠加定理求图示电路中电压u 。 解：画出电源分别作用的分电路如题解（a ）和（b ）所示。 对（a ）图应用结点电压法有 105028136)101401281( 1++=+++n u 解得 (1)113.65 0.10.0250.1n u u +== ++ 18.624882.6670.2253V === 对（b ）图，应用电阻串并联化简方法，可求得 10402(8) 32161040331040183(8)2 1040si u V ??++=? =?=?+++ (2)16182323si u u V -==-?=- 所以，由叠加定理得原电路的u 为 (1)(2)2488 8033u u u V =+= -= 4-3 应用叠加定理求图示电路中电压2u 。
第4章 电路定理 4-1XX 简单题 4-2XX 叠加定理 4-3XX 戴维宁定理 4-201、 试用叠加定理计算下图所示电路中US2=2V 时，电压U4的大小。若US1的大小不变，要使U4=0，则US2应等于多少？ 答案 U4=-0.4V, Us2=1.2V 4-202、电路如图所示。（1）用叠加定理求各支路电流；（2）求电压源发出的功率。 答案 I1=-50mA, I2=15mA, I3=60mA (2)电压源发出的功率为：P=25I1=-1.25W 4-204、 4-205、求题3-22图示电路的电压U 和电流I 。 例4－4 用叠加定理求图4－5(a)电路中电压u 。 图4－5 解：画出独立电压源u S 和独立电流源i S 单独作用的电路，如图(b)和(c)所示。由此分别求得u’和u”,然后根据叠加定理将u’和u”相加得到电压u 4-206、例4－1 利用叠加定理求图（a ）所示电路中的电压U 。 （a ） (b) (c) 解：首先画出分电路图如图(b)、(c)所示。 当12V 电压源作用时，应用分压原理有：V 43912)1(-=?-=U 当3A 电流源作用时，应用分流公式得：V 633636)2(=?+?=U 则所求电压：V 264=+-=U 4-207、 例4－2利用叠加定理求图（a ）所示电路中的电压u 和电流i 。 （a ） (b) (c) 解：首先画出分电路图如图(b)、(c)所示。 当 10V 电源作用时：)12/()210()1()1(+-=i i 解得：A i 2)1(=，V i i i u 6321)1()1()1()1(==+?= 当5A 电源作用时，由左边回路的KVL ：02)5(12)2()2()2(=++?+i i i 解得：A i 1)2(-=，V i u 22)2()2(=-= 所以： V u u u 8)2()1(=+= A i i i 1)2()1(=+= 注意：受控源始终保留在分电路中。 4-208、 S 4242"S 424' i R R R R u u R R R u +=+=)(S 2S 424"'i R u R R R u u u ++=+=
第4章电路定理 4-1XX 简单题 4-2XX 叠加定理 4-3XX 戴维宁定理 4-201、试用叠加定理计算下图所示电路中US2=2V时，电压U4的大小。若US1的大小不变，要使U4=0，则US2应等于多少？ 答案U4=-0.4V, Us2=1.2V 4-202、电路如图所示。（1）用叠加定理求各支路电流；（2）求电压源发出的功率。 答案I1=-50mA, I2=15mA, I3=60mA (2)电压源发出的功率为：P=25I1=-1.25W 4-204、
4-205、求题3-22图示电路的电压U和电流I。 + - 2 I1 10V + - 3A - + U 4Ω 6Ω9Ω I1 题3-22图 I 例4－4 用叠加定理求图4－5(a)电路中电压u。 图4－5 解：画出独立电压源u S和独立电流源i S单独作用的电路，如图(b)和(c)所示。由此分别求得u’和u”,然后根据叠加定理将u’和u”相加得到电压u 4-206、例4－1 利用叠加定理求图（a）所示电路中的电压U。 （a） (b) (c) 解：首先画出分电路图如图(b)、(c)所示。 当12V电压源作用时，应用分压原理有：V 4 3 9 12 )1(- = ? - = U 当3A电流源作用时，应用分流公式得：V 6 3 3 6 3 6 )2(= ? + ? = U 则所求电压：V 2 6 4= + - = U S 4 2 4 2 " S 4 2 4 'i R R R R u u R R R u + = + = ) (S 2 S 4 2 4 " 'i R u R R R u u u+ + = + =
第4章电路定理 4-1XX简单题 4-2XX叠加定理 4-3XX戴维宁定理 4-201、试用叠加定理计算下图所示电路中US2=2V时，电压U4的大小。若 US1的大小不变，要使U4=0，则US2应等于多少？ 答案U4=-0.4V,Us2=1.2V 4-202、电路如图所示。（1）用叠加定理求各支路电流；（2）求电压源发出的功率。 答案I1=-50mA,I2=15mA,I3=60mA(2)电压源发出的功率为：P=25I1=-1.25W 4-204、
4-205、求题3-22图示电路的电压U和电流I。 I 69 + 10V - 3A +U - I1 + 2I1 - 4 题3-22图 例4－4用叠加定理求图4－5(a)电路中电压u。 图4－5 解：画出独立电压源u S和独立电流源i S单独作用的电路，如图(b)和(c)所示。由此分别求得u’和u”,然后根据叠加定理将u’和u”相加得到电压u RRR '4"24iuuu SS RRRR 2424 u ' u " u R 4 R 2 R 4 (uSR2iS) 4-206、例4－1利用叠加定理求图（a）所示电路中的电压U。 （a）(b)(c) 解：首先画出分电路图如图(b)、(c)所示。 12(1) 当12V电压源作用时，应用分压原理有：34V U 9
63 则所求电压：U462V 2
第四章电路定理练习题 4-207、 例4－2利用叠加定理求图（a）所示电路中的电压u和电流i。 （a）(b)(c) 解：首先画出分电路图如图(b)、(c)所示。 当10V电源作用时：i(1)(102i(1))/(21) 解得：i(1)2A，u(1)1i(1)2i(1)3i(1)6V 当5A电源作用时，由左边回路的KVL：2i(2)1(5i(2))2i(2)0 解得：i(2)1A，u(2)2i(2)2V 所以：uu(1)u(2)8V i(1)(2)1 iiA 注意：受控源始终保留在分电路中。 4-208、 例4－4封装好的电路如图，已知下列实验数据：当uV s1,i s1A时，响应i2A，当 u s1,i s2A时，响应i1A，求：u s3V,i s5A时的电流i。 V 解：根据叠加定理，有：ik1i s k2u s 代入实验数据，得：k 1 2k 1 k 2 k 2 2 1 解得：k 1 k 2 1 1 因此：ii s u s352A 本例给出了研究激励和响应关系的实验方法。
一、选择题 1. 图示二端网络的等效电阻R ab 为（）。 A 、5Ω B 、4Ω C 、6Ω D 、8Ω 2. 图示单口网络的短路电流sc i 等于（）。 A 、1A B 、 C 、3A D 、-1A 3. 图示单口网络的开路电压oc u 等于（）。 A 、3V B 、4V C 、5V D 、9V 4. 图示单口网络的等效电阻等于（）。 A 、2Ω B 、4Ω C 、6Ω D 、-2Ω 6 V 3 V 6 V ?
5. 理想电压源和理想电流源间（）。 A 、有等效变换关系 B 、没有等效变换关系 C 、有条件下的等效关系 6. 图示电路中a 、b 端的等效电阻R ab 在开关K 打开与闭合时分别为（）。 A 、10?，10? B 、10?，8? C 、10??，?16? D 、8??，10? 7. 图示电路中A 、B 两点间的等效电阻与电路中的R L 相等，则R L 为（）。 A 、40? B 、30 ? C 、20? 二、填空题 1. 具有两个引出端钮的电路称为网络，其内部含有电源称为网络，内部不包含电源的 称为网络。 2. “等效”是指对以外的电路作用效果相同。戴维南等效电路是指一个电阻和一个电 压源的串联组合，其中电阻等于原有源二端网络后的电阻，电压源等于原有源二端网络的电压。 3. 在进行戴维南定理化简电路的过程中，如果出现受控源，应注意除源后的二端网络 等效化简的过程中，受控电压源应处理；受控电流源应处理。在对有源二端网络求解开路电压的过程中，受控源处理应与分析方法相同。 4. 直流电桥的平衡条件是相等；负载获得最大功率的条件是等于，获得的最大功率 max P =。 4? 4? 16? ??? ? a b ? 4 — + i 2 a b i
第四章电路定理 电路定理是电路理论的重要组成部分，为我们求解电路问题提供了另一种分析方法，这些方法具有比较灵活，变换形式多样，目的性强的特点。因此相对来说比第三章中的方程式法较难掌握一些，但应用正确，将使一些看似复杂的问题的求解过程变得非常简单。应用定理分析电路问题必须做到理解其内容，注意使用的范围、条件，熟练掌握使用的方法和步骤。需要指出，在很多问题中定理和方程法往往又是结合使用的。 4-1应用叠加定理求图示电路中电压ab u。 解：首先画出两个电源单独作用式的分电路入题解4-1图（a）和（b）所示。 对（a）图应用结点电压法可得 1 sin 5 ) 1 2 1 3 1 1( 1 t u n = + + + 解得 1 5sin 3sin 5 3 n t u t V == (1)1 1 11 13sin sin 2133 n ab n u u u t t V =?==?= + 对（b）图，应用电阻的分流公式有 11 321 11 135 t t e i e A - - + =?= ++ 所以 (2) 1 10.2 5 t t ab u i e e V -- =?== 故由叠加定理得(1)(2)sin0.2t ab ab ab u u u t e V - =+=+
4-2 应用叠加定理求图示电路中电压u 。 解：画出电源分别作用的分电路如题解（a ）和（b ）所示。 对（a ）图应用结点电压法有 105028136)101401281( 1++=+++n u 解得 (1)113.650.10.0250.1n u u +==++ 18.624882.6670.2253V === 对（b ）图，应用电阻串并联化简方法，可求得 10402(8)32161040331040183(8)21040si u V ??++=?=?=?+++ (2)16182323si u u V -==-?=- 所以，由叠加定理得原电路的u 为 (1)(2)24888033u u u V =+=-= 4-3（4-4）应用叠加定理求图示电路中电压2u 。(注意：不用叠加更简单)
电路分析基础答案周围版 4-2.5μF 电容的端电压如图示。 （1)绘出电流波形图。 （2)确定2μs t =和10μs t =时电容的储能。 解：（1）由电压波形图写出电容端电压的表达式： 10 0μs 1μs 10 1μs 3μs ()1040 3μs 4μs 0 4μs t t t u t t t t ≤≤??≤≤?=?-+≤≤??≤? 式中时间t 的单位为微秒；电压的单位为毫伏。电容伏安关系的微 分形式： 50 0μs 1μs 0 1μs 3μs ()()50 3μs 4μs 0 4μs t t du t i t C t dt t <
4-1 如题4-1图所示电路，N R 为线性纯电阻电路，其内部结构不详。已知：当u s = 1V ，i s =1A 时，u 2 =1V ，当u s = 10V ，i s =2A 时，u 2 =6V 。求当u s = 4V ，i s =10A 时的电压u 2。 + _ s i 题4-1图 解 由线性电路的齐次性和叠加定理，设 212s s u k u k i =+ 代入已知条件，得方程组 12121 1026 k k k k +=?? +=? 解得 10.5k =， 20.5k = 所以，待求量 240.5100.57V u =?+?= 4-2 试用叠加定理求题4-2图所示电路中的电压U 1，并求电流源的功率。 25V 题4-2图 解 用叠加定理求1U ，就是分别求出各电源单独作用时所产生的分量，最后再叠加得到1U 。 25V 电压源单独作用，见图4-2-1(a)，此时1.5A 电流源应开路。 25 V () a () b 图4-2-1 电源分别作用对应电路 由电阻分压公式可得
120//10 2510V 20//1010 U '= ?=+ 1.5A 电流源单独作用，见图4-2-1(b)，此时25V 电压源应短接。 由欧姆定律得 120//10//10 1.56V U ''=?= 根据叠加定理，将两响应分量叠加得 11110616V U U U '''=+=+= 下面求电流源的功率。由题4-2图知 ()125 1.5P U =-+? ()1625 1.513.5W =-+?= 4-3 应用叠加定理求解题4-3图所示电路。若欲使3A 电流源产生30W 功率，与其串联的电阻R 应取何值。 +_ 18V 3 Ω2 Ω 6 Ω1Ω R (b) +_ +u' 题4-3图 解 电压源单独作用时，电路如图4-3（b ）所示。电流源端电压为6Ω与1Ω电阻上电压之代数和 '(12-6)V 6V u == 当3A 电流源单独作用时，电路如图4-3 (c)所示，电流源端电压" u 依题意有 '"()s P u u i =+? "30(6)3u -=+? "16V u =- 由KVL 应有 "212330R u ?+?++= 解得 83 R =Ω 4-4 试用叠加原理计算题4-4图所示电路中电流源两端的电压U 值。
) 3(2 )2(2)1(23322113 21 23233222322 2212 )1( )(i i i u b u b i b G G i G G G u G G u G G G G G u u i S S S S S S S n ++=++=++++-+=-=第四章 电路定理 本章重点： 1、叠加定理 2、替代定理 3、戴维宁定理和诺顿定理 4、最大功率传输定理 4-1 叠加定理 1.叠加定理定义： 在线性电路中，任一支路的电流（或电压）可以看成是电路中每一个独立电源单独作用于电路时，在该支路产生的电流（或电压）的代数和。 2.定理的证明: 用结点电压法： (G 2+G 3)u n1=G 2u s 2+G 3u s 3+i S 1 或表示为： 支路电流为： 3 21323332221G G i G G u G G G u G u S S S n ++ +++=) 3(1 )2(1)1(13322111 n n n S s S n u u u u a u a i a u ++=++=)3(3 )2(3)1(33 21 333323232323313 )1()( )(i i i G G i G u G G G G u G G G G G u u i S S S S n ++=++-+++=-=
结论： 结点电压和支路电流均为各电源的一次函数，均可看成各独立电源单独作用时，产生的响应之叠加。 3、使用叠加定理时应该注意以下几点： （1）、叠加定理适用于线性电路，不适用于非线性电路。 （2）、在叠加的各分电路中，不作用的电压源置零，在电压源处用短路代替；不作用的电流源用开路代替。电路中所有电阻都不予更动，受控源则保留在各分电路中。 （3）、叠加时各分电路中的电压和电流的参考方向可以取为与原电路中的相同。取代数和时，应注意各分量前的“+”、“-”号。 （4）、原电路的功率不等于按各分电路计算所得功率的叠加，这是因为功率是电压和电流的乘积，与激励不成线性关系。 4.叠加定理的应用 例1 试用叠加定理计算图（a ）所示电路中的U 1与I 2。 (a) 20Ω 20Ω 30Ω + U 1 - 20V +﹣20Ω 0.5A I 2 (b) 20Ω 20V +﹣20Ω 30Ω 20Ω I 2 ′ ＋－ U 1′ 解 ：画出电压源分别作用时的分电路如上图所示。对图（b ）有 A A I V V U 5.020 202022030203020202020' 2'1=+=-=??? ???+-?+= 对图（c ）有
第四章作业解答4-1 应用叠加定理求图示电路中电压u ab A sin 2 5.1 1 sin 5 3 // 3 1 sin 5 1 t t t i= + = + = t i i s i n 3 3 3 1 2 = + = t i u ab sin 1 ' 1 = ? = V 2.0 1 4 3 3 4 3 1 3 '' t t ab e e i u - - = ? + = ? = 叠加:V 2.0 sin '' 't ab ab ab e t u u u- + = + = 2Ω 2Ω 1Ω ab 2Ω
4-2 应用叠加定理求图示电路中电压U 解法一: （1）电压源作用:方法一 :电压源共同作用分电路3-6-1如图所示，节点电压方程 10 502136)101401281( 1+=+++n U 解方程得 3 248 1=n U 所以: V 53.8211==n U U 方法二:如用回路电流法则分电路3-6-2如图所示，设回路电流I l 1、I l 2。 列各回路的KVL 方程 ?? ?-=++-=-++50 )1040(40136 40)4082(2121l l l l I I I I 解方程得 ，，A 27.3A 33.521==l l I I 所以: V 53.8240)(211=?-=l l I I U （2）电流源单独作用:分电路3-6-3如图所示， 列各回路的KVL 方程 ??? ??==-++-=--++3010)1040(400840)4082(3 321321l l l l l l l I I I I I I I 解方程得 A 3A 6A 321=== l l l I I I ，， 所以 V 53.240)(212-=?-=l l I I U （3） 叠加：V 8021=+=U U U 分电路3-6-2 分电路3-6-3 2Ω 分电路3-6-1