等腰三角形典型例题练习
一．选择题（共2小题）
1．如图，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC=5cm，BD=3cm，则点D 到AB的距离为（）
A．5cm B．3cm C．2cm D．不能确定
2．如图，已知C是线段AB上的任意一点（端点除外），分别以AC、BC为边并且在AB的同一侧作等边△ACD和等边△BCE，连接AE交CD于M，连接BD 交CE于N．给出以下三个结论：
①AE=BD
②CN=CM
③MN∥AB
其中正确结论的个数是（）
A．0B．1C．2D．3
二．填空题（共1小题）
3．如图，在正三角形ABC中，D，E，F分别是BC，AC，AB上的点，DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，则△DEF的面积与△ABC的面积之比等于_________ ．
三．解答题（共15小题）
4．在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E、F分别为AB、AC上的点，且
∠EDF+∠EAF=180°，求证DE=DF．
5．在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．请说明DE=BD+EC．
6．＞已知：如图，D是△ABC的BC边上的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE=DF．请判断△ABC是什么三角形？并说明理由．
7．如图，△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，延长BC至E，使CE=CD．连接DE．
（1）∠E等于多少度？
（2）△DBE是什么三角形？为什么？
8．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，∠A=30°．求证：AB=4BD．
9．如图，△ABC中，AB=AC，点D、E分别在AB、AC的延长线上，且BD=CE，DE与BC相交于点F．求证：DF=EF．
10．已知等腰直角三角形ABC，BC是斜边．∠B的角平分线交AC于D，过C 作CE与BD垂直且交BD延长线于E，
求证：BD=2CE．
11．（2012?牡丹江）如图①，△ABC中．AB=AC，P为底边BC上一点，PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，垂足分别为E、F、H．易证PE+PF=CH．证明过程如下：
如图①，连接AP．
∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，
∴S△ABP=AB?PE，S△ACP=AC?PF，S△ABC=AB?CH．
又∵S△ABP+S△ACP=S△ABC，
∴AB?PE+AC?PF=AB?CH．
∵AB=AC，
∴PE+PF=CH．
（1）如图②，P为BC延长线上的点时，其它条件不变，PE、PF、CH又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明：
（2）填空：若∠A=30°，△ABC的面积为49，点P在直线BC上，且P到直线AC的距离为PF，当PF=3时，则AB边上的高CH= _________ ．点P到AB边的距离PE= _________ ．
12．数学课上，李老师出示了如下的题目：
“在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC，如图，试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由”．
小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：
（1）特殊情况，探索结论
当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE _________ DB（填“＞”，“＜”或“=”）．
（2）特例启发，解答题目
解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE _________ DB（填“＞”，“＜”或“=”）．理由如下：如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程）
（3）拓展结论，设计新题
在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC．若△ABC的边长为1，AE=2，求CD的长（请你直接写出结果）．
13．已知：如图，AF平分∠BAC，BC⊥AF于点E，点D在AF上，ED=EA，点P在CF上，连接PB交AF于点M．若∠BAC=2∠MPC，请你判断∠F与∠MCD 的数量关系，并说明理由．
14．如图，已知△ABC是等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且AE=CD，AD与BE相交于点F．
（1）线段AD与BE有什么关系？试证明你的结论．
（2）求∠BFD的度数．
15．如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E 在BC上，BE=BF，连接AE、EF和CF，
求证：AE=CF．
16．已知：如图，在△OAB中，∠AOB=90°，OA=OB，在△EOF中，∠EOF=90°，OE=OF，连接AE、BF．问线段AE与BF之间有什么关系？请说明理由．
17．（2006?郴州）如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC上任意一点，过D分别向AB，AC引垂线，垂足分别为E，F，CG是AB边上的高．
（1）DE，DF，CG的长之间存在着怎样的等量关系？并加以证明；
（2）若D在底边的延长线上，（1）中的结论还成立吗？若不成立，又存在怎样的关系？请说明理由．
18．如图甲所示，在△ABC中，AB=AC，在底边BC上有任意一点P，则P点到两腰的距离之和等于定长（腰上的高），即PD+PE=CF，若P点在BC的延长线上，那么请你猜想PD、PE和CF之间存在怎样的等式关系？写出你的猜想并加以证明．
等腰三角形典型例题练习
参考答案与试题解析
一．选择题（共2小题）
1．如图，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC=5cm，BD=3cm，则点D 到AB的距离为（）
A．5cm B．3cm C．2cm D．不能确定
考点：角平分线的性质．1418944
分析：由已知条件进行思考，结合利用角平分线的性质可得点D到AB 的距离等于D到AC的距离即CD的长，问题可解．
解答：解：∵∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D
∴D到AB的距离即为CD长CD=5﹣3=2故选C．
2．如图，已知C是线段AB上的任意一点（端点除外），分别以AC、BC为边并且在AB的同一侧作等边△A CD和等边△BCE，连接AE交CD于M，连接BD 交CE于N．给出以下三个结论：
①AE=BD②CN=CM③MN∥AB其中正确结论的个数是（）
A．0B．1C．2D．3
考点：平行线分线段成比例；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．1418944
分析：由△ACD和△BCE是等边三角形，根据SAS易证得△ACE≌△DCB，即可得①正确；由△ACE≌△DCB，可得∠EAC=∠NDC，又由
∠ACD=∠MCN=60°，利用ASA，可证得△ACM≌△DCN，即可得②正
确；又可证得△CMN是等边三角形，即可证得③正确．
解答：解：∵△ACD和△BCE是等边三角形，∴∠ACD=∠BCE=60°，AC=DC，EC=BC，
∴∠ACD+∠DCE=∠DCE+∠ECB，即∠ACE=∠DCB，∴△ACE≌△DCB
（SAS），
∴AE=BD，故①正确；
∴∠EAC=∠NDC，∵∠ACD=∠BCE=60°，∴∠DCE=60°，
∴∠ACD=∠MCN=60°，
∵AC=DC，∴△ACM≌△DCN（ASA），∴CM=CN，故②正确；
又∠MCN=180°﹣∠MCA﹣∠NCB=180°﹣60°﹣60°=60°，
∴△CMN是等边三角形，∴∠NMC=∠ACD=60°，∴MN∥AB，故③正
确．故选D．
二．填空题（共1小题）
3．如图，在正三角形ABC中，D，E，F分别是BC，AC，AB上的点，DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，则△DEF的面积与△ABC的面积之比等于1：3 ．
考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．1418944
分析：首先根据题意求得：∠DFE=∠FED=∠EDF=60°，即可证得△DEF 是正三角形，又由直角三角形中，30°所对的直角边是斜边的一
半，得到边的关系，即可求得DF：AB=1：，又由相似三角形的
面积比等于相似比的平方，即可求得结果．
解答：解：∵△ABC是正三角形，∴∠B=∠C=∠A=60°，
∵DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，∴∠AFE=∠CED=∠BDF=90°，
∴∠BFD=∠CDE=∠AEF=30°，∴∠DFE=∠FED=∠EDF=60°，，
∴△DEF是正三角形，∴BD：DF=1：①，BD：AB=1：3②，
△DEF∽△ABC，
①÷②，=，∴DF：AB=1：，∴△DEF的面积与△ABC的面
积之比等于1：3．
故答案为：1：3．
三．解答题（共15小题）
4．在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E、F分别为AB、AC上的点，且
∠EDF+∠EAF=180°，求证DE=DF．
考点：全等三角形的判定与性质；角平分线的定义．1418944
分析：过D作DM⊥AB，于M，DN⊥AC于N，根据角平分线性质求出DN=DM，根据四边形的内角和定理和平角定义求出∠AED=∠CFD，根据全等
三角形的判定AAS推出△EMD≌△FND即可．
解答：证明：过D作DM⊥AB，于M，DN⊥AC于N，
即∠EMD=∠FND=90°，
∵AD平分∠BAC，DM⊥AB，DN⊥AC，∴DM=DN（角平分线性质），
∠DME=∠DNF=90°，
∵∠EAF+∠EDF=180°，∴∠MED+∠AFD=360°﹣180°=180°，
∵∠AFD+∠NFD=180°，∴∠MED=∠NFD，
在△EMD和△FND中
，∴△EMD≌△FND，∴DE=DF．
5．在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．请说明DE=BD+EC．
考点：等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．1418944
分析：根据OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，和DE∥BC，利用两直线平行，内错角相等和等量代换，求证出DB=DO，OE=EC．然后即可得
出答案．
解答：解：∵在△ABC中，OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠DBO=∠OBC，∠ECO=∠OCB，
∵DE∥BC，∴∠DOB=∠OBC=∠DBO，∠EOC=∠OCB=∠ECO，
∴DB=DO，OE=EC，∵DE=DO+OE，∴DE=BD+EC．
6．＞已知：如图，D是△ABC的BC边上的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE=DF．请判断△ABC是什么三角形？并说明理由．
考点：等腰三角形的判定；全等三角形的判定与性质．1418944
分析：用（HL）证明△EBD≌△FCD，从而得出∠EBD=∠FCD，即可证明△ABC是等腰三角形．
解答：△ABC是等腰三角形．
证明：连接AD，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED=∠CFD=90°，且
DE=DF，
∵D是△ABC的BC边上的中点，∴BD=DC，
∴Rt△EBD≌Rt△FCD（HL），∴∠EBD=∠FCD，∴△ABC是等腰三
角形．
7．如图，△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，延长BC至E，使CE=CD．连接DE．
（1）∠E等于多少度？（2）△DBE是什么三角形？为什么？
考点：等边三角形的性质；等腰三角形的判定．1418944
分析：（1）由题意可推出∠ACB=60°，∠E=∠CDE，然后根据三角形外角的性质可知：∠ACB=∠E+∠CDE，即可推出∠E的度数；
（2）根据等边三角形的性质可知，BD不但为AC边上的高，也是
∠ABC的角平分线，即得：∠DBC=30°，然后再结合（1）中求得
的结论，即可推出△DBE是等腰三角形．
解答：解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，
∵CD=CE，∴∠E=∠CDE，∵∠ACB=∠E+∠CDE，
∴，
（2）∵△ABC是等边三角形，BD⊥AC，∴∠ABC=60°，
∴，
∵∠E=30°，∴∠DBC=∠E，∴△DBE是等腰三角形．
8．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，∠A=30°．求证：AB=4BD．
考点：含30度角的直角三角形．1418944
分析：由△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°可以推出AB=2BC，同理可得BC=2BD，则结论即可证明．
解答：解：∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴AB=2BC，∠B=60°．
又∵CD⊥AB，∴∠DCB=30°，∴BC=2BD．∴AB=2BC=4BD．
9．如图，△ABC中，AB=AC，点D、E分别在AB、AC的延长线上，且BD=CE，DE与BC相交于点F．求证：DF=EF．
考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．1418944
分析：过D点作DG∥AE交BC于G点，由平行线的性质得∠1=∠2，∠4=∠3，再根据等腰三角形的性质可得∠B=∠2，则∠B=∠1，于
是有DB=DG，根据全等三角形的判定易得△DFG≌△EFC，即可得
到结论．
解答：证明：过D点作DG∥AE交BC于G点，如图，
∴∠1=∠2，∠4=∠3，
∵AB=AC，∴∠B=∠2，∴∠B=∠1，∴DB=DG，而BD=CE，∴DG=CE，
在△DFG和△EFC中
，∴△DFG≌△EFC，∴DF=EF．
10．已知等腰直角三角形ABC，BC是斜边．∠B的角平分线交AC于D，过C 作CE与BD垂直且交BD延长线于E，
求证：BD=2CE．
考点：全等三角形的判定与性质．1418944
分析：延长CE，BA交于一点F，由已知条件可证得△BFE全≌△BEC，所
以FE=EC，即CF=2CE，再通过证明△ADB≌△FAC可得FC=BD，所
以BD=2CE．
解答：证明：如图，分别延长CE，BA交于一点F．
∵BE⊥EC，∴∠FEB=∠CEB=90°，∵BE平分∠ABC，∴∠FBE=∠CBE，
又∵BE=BE，∴△BFE≌△BCE （ASA）．∴FE=CE．∴CF=2CE．
∵AB=AC，∠BAC=90°，∠ABD+∠ADB=90°，∠ADB=∠EDC，
∴∠ABD+∠EDC=90°．
又∵∠DEC=90°，∠EDC+∠ECD=90°，∴∠FCA=∠DBC=∠ABD．
∴△ADB≌△AFC．∴FC=DB，∴BD=2EC．
11．（2012?牡丹江）如图①，△ABC中．AB=AC，P为底边BC上一点，PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，垂足分别为E、F、H．易证PE+PF=CH．证明过程如下：
如图①，连接AP．
∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，∴S△ABP=AB?PE，S△ACP=AC?PF，S△ABC=AB?CH．又∵S△ABP+S△ACP=S△ABC，∴AB?PE+AC?PF=AB?CH．
∵AB=AC，∴PE+PF=CH．
（1）如图②，P为BC延长线上的点时，其它条件不变，PE、PF、CH又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明：
（2）填空：若∠A=30°，△ABC的面积为49，点P在直线BC上，且P到直线AC的距离为PF，当PF=3时，则AB边上的高CH= 7 ．点P到AB边的距离PE= 4或10 ．
考点：等腰三角形的性质；三角形的面积．1418944
分析：（1）连接AP．先根据三角形的面积公式分别表示出S△ABP，S△ACP，S△ABC，再由S△ABP=S△ACP+S△ABC即可得出PE=PF+PH；
（2）先根据直角三角形的性质得出AC=2CH，再由△ABC的面积为
49，求出CH=7，由于CH＞PF，则可分两种情况进行讨论：①P为
底边BC上一点，运用结论PE+PF=CH；②P为BC延长线上的点时，
运用结论PE=PF+CH．
解答：解：（1）如图②，PE=PF+CH．证明如下：
∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，∴S△ABP=AB?PE，S△ACP=AC?PF，
S△ABC=AB?CH，
∵S△ABP=S△ACP+S△ABC，∴AB?PE=AC?PF+AB?CH，又∵AB=AC，
∴PE=PF+CH；
（2）∵在△ACH中，∠A=30°，∴AC=2CH．
∵S△ABC=AB?CH，AB=AC，∴×2CH?CH=49，∴CH=7．
分两种情况：
①P为底边BC上一点，如图①．
∵PE+PF=CH，∴PE=CH﹣PF=7﹣3=4；
②P为BC延长线上的点时，如图②．
∵PE=PF+CH，∴PE=3+7=10．故答案为7；4或10．
12．数学课上，李老师出示了如下的题目：
“在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC，如图，试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由”．
小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：
（1）特殊情况，探索结论
当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE = DB（填“＞”，“＜”或“=”）．
（2）特例启发，解答题目
解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE = DB（填“＞”，“＜”或“=”）．理由如下：如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程）
（3）拓展结论，设计新题
在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC．若△ABC的边长为1，AE=2，求CD的长（请你直接写出结
果）．
考点：等边三角形的判定与性质；三角形的外角性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．1418944
分析：（1）根据等边三角形性质和等腰三角形的性质求出
∠D=∠ECB=30°，求出∠DEB=30°，求出BD=BE即可；
（2）过E作EF∥BC交AC于F，求出等边三角形AEF，证△DEB
和△ECF全等，求出BD=EF即可；
（3）当D在CB的延长线上，E在AB的延长线式时，由（2）求出
CD=3，当E在BA的延长线上，D在BC的延长线上时，求出CD=1．解答：解：（1）故答案为：=．
（2）过E作EF∥BC交AC于F，
∵等边三角形ABC，∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°，AB=AC=BC，
∴∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠ACB=60°，即
∠AEF=∠AFE=∠A=60°，
∴△AEF是等边三角形，∴AE=EF=AF，
∵∠ABC=∠ACB=∠AFE=60°，∴∠DBE=∠EFC=120°，
∠D+∠BED=∠FCE+∠ECD=60°，
∵DE=EC，∴∠D=∠ECD，∴∠BED=∠ECF，
在△DEB和△ECF中
，∴△DEB≌△ECF，∴BD=EF=AE，即AE=BD，故答案为：=．
（3）解：CD=1或3，
理由是：分为两种情况：①如图1
过A作AM⊥BC于M，过E作EN⊥BC于N，则AM∥EM，
∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC=1，
∵AM⊥BC，∴BM=CM=BC=，∵DE=CE，EN⊥BC，∴CD=2CN，
∵AM∥EN，∴△AMB∽△ENB，∴=，∴=，
∴BN=，∴C N=1+=，∴CD=2CN=3；
②如图2，作AM⊥BC于M，过E作EN⊥BC于N，
则AM∥EM，
∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC=1，
∵AM⊥BC，∴BM=CM=BC=，∵DE=CE，EN⊥BC，∴CD=2CN，