第一章 绪论
一 本章的学习要求
（1）会求有效数字。
（2）会求函数的误差及误差限。 （3）能根据要求进行误差分析。
二 本章应掌握的重点公式
（1）绝对误差：设x 为精确值，x *
为x 的一个近似值，称e x x **=-为x *
的绝对误
差。
（2）相对误差：r e e x
*
*
*=。
（3）绝对误差限：e x x ε
*
**==-。
（4）相对误差限：r x x x
x
εε**
**
*
-=
=
。
（5）一元函数的绝对误差限：设一元函数()()()0,df f x f x dx εε*
*
*
??==? ???
则。
（6）一元函数的相对误差限：()()1r df f x dx f εε*
**
*??=? ???
。 （7）二元函数的绝对误差限：设一元函数()()(),0,f f x y f y y εε*
**???==? ?
???
则。 （8）二元函数的相对误差限：()()()1r f f f x y x y f εεε*
****
*
??????????=?+? ? ??????????
?
。
三 本章习题解析
1. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，（1）试指出它们有几位有效数字，（2）分别
估计11
23A X X X **
*
=及224
X A X *
*
=的相对误差限。 12341.1021,0.031,385.6,56.430x x x x ****====
解：（1）1x *
有5位有效数字，2x *
有2位有效数字，3x *
有4位有效数字，4x *
有5位有效
数字。 （2）1111123231312123
,
,,,A A A
A x x x x x x x x x x x x ???====???由题可知：1A *为1A 的近似值，123,,x x x ***分别为123,,x x x 近似值。
所以
()()1
1
1
r
A A A
ε
ε**
*
=
()()()
12
3
11111123A A A x x x A X X X ε
εε
*
*
*
****?
???=++
??????
????????? ? ? ?
????
???
??
43123131212311111010100.215222x x x x x x x x x **-**-**-***??=
??+??+??=????
()
222222424441,,,X A A
x A X x x x x ??=
==-??则有同理有2A *为2A 的近似值，2x *，4x *为2x ，4x 的近似值，代入相对误差限公式：
()()2
2
2
r
A A A
ε
ε**
*=
()()
2
4
212224A A X X A X X ε
ε
*
*
***?
???=+???
???
?????? ? ?
????
??
()33542
224411*********X X X X X *
*--***??
??=??+??=????
2. 正方形的边长大约为100cm ，怎样测量才能使其面积误差不超过2
1cm ? 解：设正方形的边长为x ，则面积为2S x =，
2ds
x dx
=，在这里设x *为边长的近似值，S *为
面积的近似值：由题可知：()()1ds s x dx εε
*
*
*
=≤?? ???
即：()
21x x ε**?≤ 推出：(
)1
0.005200
x
cm ε*
≤
=。 3. 测得某房间长约L *
=4.32m ，宽约为d *
=3.12m ，且长与宽的误差限均为0.01m ，试问房
间面积S=Ld 的误差限和相对误差限分别为多少？ 解：设s ld = 则有：
s d l ?=?，s l d
?=?。在这里l d S ***，，分别为l ，d ，s 的近似值： ()()()()()2
3.120.01
4.320.010.0744cm
s s d
s l d l l d l d ε
εεεε*
*
*
*
*
*
***?+?=?+?=??????
=+= ? ???????
相对误差限为：(
)()
0.0744
0.00554.32 3.12
r S S
S εε**
*
=
=
=?。
4. 下列公式如何计算才比较准确：
(1)当x 的绝对值充分小时，计算
21
2
x
e -；
（2）当N 的绝对值充分大时，计算1
2
11N N dx
x ++?； （3）当x
解：（1）当0x →时，()()()
22221
1
1221x
x
x
x
e e e e -+-=
+=()41
2x
x x x
e e e e --+=()()32x x x
x x x
e e e e e e ---+ =
()()()()
32222x
x x x x
x x x
x
e e
e e e
e e e e ------=++
（2）当N →∞时，
1
2
1
1N N
dx X ++?
=1arg N tgx N +=()arg 1arg tg N tgN +- =()
1
arg 11tg
N N ++
(3)当x →+∞
5. 列{}y n 满足递推关系n y =101n y --1，n=1,2,…，若0y 1.41≈，计算到10y 时误差有多
大？这个计算数值稳定吗？
解：已知准确值0y ，近似值0 1.41y =，设他们的误差为000y y ε=-，则有：
()()1
11
101101y y
y y ε
=
-=---=0
00
10
10y y ε-=
()()2
2
21
1
101101y y y y ε=-=---=0
00
100100y y ε-= 以此类推所以()()10
101099
101101y y y y ε=-=---=10
10
00
1010
y y
ε
-=
=1028111.4122
10101010-≤??=?
6. 计算)
6
f =
≈1.4，直接计算和用
()
3
1
3+来计算，哪一个最好？
解：依题意构造函数()()1f x x *
=-，则()()5
61I f x x =-，由绝对误差公式
()()()
f f x x εε***==()116 1.41 1.460.0124102
-?-=???=0.003072
7. 求二次方程2
x -16x+1=0的较小正根，要求有3位有效数字。
解：由求根公式：x =。所以。18x =28x =对比可知：
较小的根为28x =
2888x +=-
=
0.0627=
≈
8. 如果利用四位函数表计算0
1cos 2-，试用不同方法计算并比较结果的误差。 解：0
1cos 210.9940.006-≈-=
2020
4
sin 20.03491cos 2 6.092101cos 2 1.994
--=≈≈?+ 9. 设x 的相对误差限为δ，求100
x 的相对误差限。
解：由题意可知：设()100f x x =，则有()99100I f x X =在这里设x *
为X 的近似值，f *
为f
的近似值，由已知x 的相对误差限为δ。 所以： ()()()()
()
()()
()
()99
100
100100100I
x x f
x x f
x f
f
x
f x x εεεεεδ***
**
**
*
*
*
*=
=
=
=
=
10. 已知三角形面积S=1
2absinc,其中c 为弧度，满足0 2 π ，且a,b,c,的误差分别为 a ?,b ?，c ?。证明面积误差s ?满足 s s ?≤ a a ?+ b b ?+c c ?。 解：由误差定义： s s s s a b c a b c ????≤?+?+????，又因为：1sin 2s b c a ?=?，1sin 2 s a c b ?=? 1 cos 2 s ab c c ?=?，代入上式可得：111sin sin cos 222s b c a a c b ab c c ?≤?+?+? 两边同除以s 可得：111sin sin cos 222111 sin sin sin 222 b c a c ab c s a b c s ab c ab c ab c ?≤?+?+?， 约分可得： s a b c s a b tgc ????≤++ ， 因为：0 s a b c s a b c ????≤++成立。 第二章 插值法 一 本章的学习要求 （1）会用拉格朗日插值和牛顿插值求低阶插值多项式。 （2）会应用插值余项求节点数。 （3）会应用均差的性质。 二 本章应掌握的重点公式 （1）线性插值：()()()10011L x l x y l x y =+。 （2）抛物插值：()()()()1001122L x l x y l x y l x y =++。 （3）n 次插值：()()0n n k k k L x l x y ==∑。 （4）拉格朗日插值余项：()()()() ()111! n n n n f R x f x L x x n ξω++=-=+。 （5）牛顿插值公式： ()()[]()[]()()()001001011,,n n N X f x f x x x x f x x x x x x x x x -=+-+??????--???-。 （6）[]() ()()()()()011 1 1 1 ,,n j n j j j n f x f x x x x x x x x x x x x x =-+???= --???--???-∑。 （7）[]()() 01,,! n n f f x x x n ξ???=。 （8）牛顿插值余项：()()()[]()011,n n n n R x f x N x f x x x x ω+=-=???。 三 本章习题解析 1. 给定()() ,x f x 的一系列离散点（1，0），（2，—5），（3，—6），（4，3），试求Lagrange 插值多项试。 解：设所求插值多项式为()()()()()30120 1 2 p x X x x x y y y l l l L ==?+?+?，且已知： 0011223310253643x y x y x y x y ====-==-==，，，，，，，，代入插值基函数公 式：可得：()()()()()()()1 2 3 1 2 3 x x x x x x x l x x x x x x ---=---= ()()()()234123x x x ----?-?- ()()()()()()()0 2 3 1 1 1 2 1 3 x x x x x x x l x x x x x x ---=---=()()()()134112x x x ---?-?- ()()()()()()() 1 3 2 2 2 1 2 3 x x x x x x x l x x x x x x ---=---=()()()()124211x x x ---??- 化简代入()p x 得: ()3 2 43p x x x =-+ 2. 若 ()653231f x x x x =-++，求016 3,33f ????L ，0173,33f ? ???L 。 解: 由() ()626!f x =? ，所以: ( ) ()626f ξ=?! ，()()()()770f x f ξ==.由均差的性质(三) 可知: ()()601626!3,3326!6! f f ξ???===??L ，()()7 01703,3307!7!f f ξ??===??L （1） 试用Lagrange 插值法求一个三次插值多项式()3L X ，并由此求()0.5f 的近似值。 （2） 试用Newton 插值公式求一个三次插值多项式()3N X ，并由此求()0.5f 的近似值。 解：(1) 3n =，取0.5附近的4个点为宜。故取，00112207142,5x y x y x y ==-==-==，，，，， 33326x y ==，。则()()()()3012012 X x x x y y y l l l L =?+?+?，按照习题1求出插值基 函数。代入()3L X 。可得：()3 327X x x L =+-，所以：()3 110.527 5.87522f ??≈+?-=- ??? （2）设牛顿插值多项式为 ()()()()() 3 1 1 2 1 ,,,x f f x f x x N x x x x x x x x x ????=+-+--???? ()()()0123012,,,f x x x x x x x x x x ??+---??， 列差商表： 所以：()()()()()()()3730301012N X x x x x x x =-+-+--+---327x x =+-=-5.875 4. 设j x 为互异节点（j=0,1,2,…,n ）求证： ()0 n k k j j j x x l x =≡∑，k =0,1,2,…,n 其中 ()j x l 为 n 次插值基函数。 证明：根据题意：设()k f x x =，所以有 () k j j j f y x x ==， 结合上式所以有：()()()()0 n n n k j j j j j j j j j x f x x y x l x l l =====∑∑∑=()n j x L ， 由余项定理可知： ()()()n j j n j f L x x x R +=， 且由定理二可知，当0j n ≤≤时，() 0n j R x =所以就有()() k j n j j f x L x x ==。 在这里令变量j x x =，所以命题： ()0 n k k j j j x x l x =≡∑，成立。 5. 设()[]2,f x c a b ∈且()()0f a f b ==，求证：()()()2 1max max 8 II a x b a x b f x b a f x ≤≤≤≤≤ -。 证明：由题可知：00,0x a y ==，11,0x b y ==，故可构造线性插值多项式即为下式： ()()()()()1 1 1 X x f x f l x l x L =+，记为（1）式， 因为()()()11f x X x L R =+，记为（2）式，其中()()()()12! II f R x x a x b ξ=--，记为（3） 式， 将（1）（3）代入（2）整理： ()()()()()111x b x a f x X x f a f b a b b a L R R --=+= ++--() ()()2! II x a x b f ξ=-- 所以：()()()() 2! II f f x x a x b ξ=--()()()2! max II a x b f x a x b ξ≤≤≤ --这里取2 a b x += 代入，可推出：()()() 2 2! 4 II f f x b a ξ≤ -再放缩得()()()2 1max max 8 II a x b a x b f x b a f x ≤≤≤≤≤ - 6. 若 ()1110n n n n f x a x a x a x a --=++?????++有n 个不同实零点12,,,n x x x L 证明： ()11 0,02,1k n j I j j n k n k n f x x a -=≤≤-? ?=?=-??∑ 证明：由题可知：()f x 有n 个不同实零点，故()f x 还可以表示成根形式的多项式，即： ()()()()12n n f x a x x x x x x =---L ； 由导数的定义可知：() ()()lim j I j x j f x f f j x x x x x →-=- () ()()()() ()1211lim lim j j n j j n x x j f x x x x x x x x x a x x x x x x -+→→==--?????--????--=()()()()() 1 2 1 1 n j j j j j j j n a x x x x x x x x x x -+--?????--????-在此设：()k x x φ =； () () ()()()() 1 1 1111 k n n j j I j j n j j j j j j n j x x a x x x x x x x x f x φ ==-+= -?????--????-∑ ∑ () ()1 1211,,1! n n n n n x x x a a φφξ-??=????=??-，记为（1）式 当1k n =-时，()()1 1!n x n φ -=-，则（1）变为 1 x a ； 当02k n ≤≤-，则（1）式变为0， 综上所述：() 110,02,1k n j I j n k n k n x a f x -=≤≤-??=?=-??∑ 已知以上数据取自一个多项式，试确定这个多项式的次数；并求出这个多项式。 解：用牛顿法：()()[]()[]()()001001201,,,,N X f x f x x x x f x x x x x x x =+-+--+ []()()()()()01234501234,,,,,f x x x x x x x x x x x x x x x x ???+-----， 列插商表： ()356(2)3(2)(1)(2)(1)(0)1N X x x x x x x x x =-++-+++++-=-+，为三次。 8. 对函数()f x ，()g x 及任意常数a,b,证明： ()()[][][]010101,,,,,,n n n af x bg x x x x af x x x bg x x x +???=???+???????。 证明：由高等数学的知识，我们构造函数()()()F X af x bg x =+，于是就有下式成立： ()()[]01,,n af x bg x x x x +???????()[]01,,n F x x x x =??? () ()()()()() 00 1 1 1 n j j j j j j j j j n F x x x x x x x x x x x =-+=--????--????-∑ ()()()()()()() 0111n j j j j j j j j j j n af bg x x x x x x x x x x x x =-++=--????--????-∑ 由分式法则： () ()()()()() () ()()()()() 00 1 1 1 1 1 1 n n j j j j j j j j j j j n j j j j j j j n f g a b x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ==-+-++--????--????---????--????-∑ ∑ =[][]0101,,,n n af x x x bg x x x ???+???，所以命题成立。 试分别用Newton 前插值公式和Newton 后插值公式计算()0.05f 的近似值。 分析：基于本题内容为教材中的选讲部分，考试不做任何要求。故只给出习题结果，有兴趣 的同学可自行解答，分别代入Newton 前插值公式和Newton 后插值公式可得 ()0.05f =1.05126. 11. 若要给出()cos f x x =，0,2x π??∈???? 的一张按等距步长h 分布的函数表，并按线性插值计 算任何0,2x π??∈???? 的cos x 的值。问当h 取多大才能保证其截断误差的绝对值不超过 4 12 10-?。 分析：基于本题内容为教材中的选讲部分，考试不做任何要求。故只给出习题结果，有兴趣的同学可自行解答，代入余项公式，即可求出0.02h ≤。 12. 设()[]22,n f x c a b +∈，采用Lagrange 插值余项的证明方法，证明：埃尔米特插值余项 ()()()()()()222 21122! n n n f R x f x H x x n ξω+++=-=+。 分析：基于本题内容为教材中的选讲部分，考试不做任何要求。故只给出习题结果，有兴趣的同学可自行解答，将定理2代入余项公式即可求得，在此不做说明。 13. 求不超过3次的多项式()H x ，使其满足()()()()191151111I I H H H H -=-===-，，，。 分析：基于本题内容为教材中的选讲部分，考试不做任何要求。故只给出习题结果，有兴趣的同学可自行解答，设所求多项式为：()230133H x a a x a x a x =+++，代入条件，即可求得： ()3244H x x x x =-+。 14. 求不超过4次的多项式()P X ，使其满足()()()()000111I I P P P P ====，， ()21P =。 分析：基于本题内容为教材中的选讲部分，考试不做任何要求。故只给出习题结果，有兴趣的同学可自行解答，设所求多项式为分析()2 3 4 01234x p a a x a x a x a x =++++， 代入条件，即可求得：()()2 21x 34 p x x =-。 （1） 在边界条件()00.2I f =，()31I f =-下求三次样条插值函数()S X ； （2） 在边界条件()00.3II f =-，()3 3.3II f =下求三次样条插值函数()S X 。 分析：基于本题内容为教材中的选讲部分，考试不做任何要求。故只给出习题结果，有兴趣 的同学可自行解答，代入样条插值函数公式，即可求得，在此不做说明。 结果为：（1）()[]()()()[]()()()[]3232 320.480.180.2,0,11.041 1.251 1.2810.5,1,20.682 1.8620.682 2.0,2,3x x x x s x x x x x x x x x ?-+∈??=--+-+-+∈??---+-+∈?? （2）()[]()()()[]()()()[]3232320.50.150.15,0,11.21 1.351 1.3510.5,1,21.32 2.2520.4522,2,3x x x x s x x x x x x x x x ?-+∈??=--+-+-+∈??---+-+∈?? 第三章 函数逼近及最小二乘法 一 本章的学习要求 （1）会用最小二乘法求拟合曲线。 （2）会将非线性函数转化成线性函数。 二 本章应掌握的重点公式 线性曲线拟合公式： ()()()0 ,n i i i i t t φφφφω==∑， ()()()()0 1 1 1 ,,n i i i i t t φφφφφφω===∑， ()()()1 1 1 1 ,n i i i i t t φφφφω==∑， ()()0 ,n i i i i f y t φφω==∑，()()1 1 ,n i i i i f y t φφω==∑。 三 本章习题解析 1. 设 ()()()0 1 1 ,n x x x φφφ-??????是区间[0,1]上带权()x x ρ=的最高项系数为1的正交多 项式序列，其中 ()0 x φ=1，求()1 k x x dx φ?及()1x φ和()2 x φ。 分析：基于本题内容为教材中的选讲部分，考试不做任何要求。故只给出习题结果，有兴趣 的同学可自行解答，在这里只给出结果。结果为：()1 01 ,020,0 k k x x dx k φ?=?=??≠??；()12 3x x φ=-；()2 2 63 510 x x x φ=-+。 2. 判断函数()0 x φ=1，()1x φ=x,， ()2 2 1 3 x x φ=-，在[]1,1-上带权()1x ρ=正交，并求()3 x φ使其在[-1，1]上带权()1x ρ=与()0 x φ，()1 x φ，()2 x φ 正交。 分析：基于本题内容为教材中的选讲部分，考试不做任何要求。故只给出习题结果，有兴趣 的同学可自行解答，在这里只给出结果。结果为：3 35 x x -。 3. 证明：若函数组 ()()()0 1 1 ,n x x x φφφ-???是在[a,b]上带权()x ρ正交的函数组，则 ()()()0 1 1 ,n x x x φφφ-???必然是线性无关的函数组。 分析：基于本题内容为教材中的选讲部分，考试不做任何要求。故只给出习题结果，有兴趣的同学可自行证明。 4. 已知点列02x =-，11x =-，20x =，31x =，42x =及权函数()00.5x ω=， ()()()1231x x x ωωω===，()4 1.5x ω=，利用公式（4—7）和（4—8）构造对应的正交多 项式()()()012,,p x p x p x 。 分析：基于本题内容为教材中的选讲部分，考试不做任何要求。故只给出习题结果，有兴趣的同学可自行解答，在这里只给出结果。结果为： ()0 1x p =，()1 2 5 x x p =-， ()24246115515p x x x ????=--- ???? ???。 求拟合这些数据的直线方程。 解：设所要拟合的直线方程为：01y a a x =+，这里4m =，1n =，()01x φ=，()1 x x φ=， ()()()4 0, 05i i i i x x φφφφω===∑，()()()()4 0,11,0 1 10i i i i x x φφφφφφω====∑， ()()()4 1,1 1 1 30i i i i x x φφφφω===∑，()()4 0, 32.75i i i i f y x φφω===∑， () ()4 1, 10 93.1i i i i f y x φφ ω===∑，所以可得到以下方程组：0151032.75103093.1a a ?????? =?????????? ?? 解得：0 1.03a =，1 2.76a =，所以所求方程为 1.03 2.76y x =+。 求拟合这些数据的直线方程。 解：设所要拟合的直线方程为：01y a a x =+，这里7m =，1n =，()0 1x φ=，()1x x φ=， ()()()7 0, 8i i i i x x φφφφω===∑，()()()()7 0, 1 1, 1 36i i i i x x φφφφφφω====∑， ()()()7 1,1 1 1 285i i i i x x φφφφω===∑，()()7 0, 41i i i i f y x φφω===∑， () ()7 1, 1 216i i i i f y x φ φ ω===∑，所以可得到以下方程组：018,364136,285216a a ?????? =?????????? ?? 解得：0 2.22a =，10.95a =，所以所求方程为： 2.220.95y x =+。 7. 某发射源的发射强度公式为0t I I e α-=，现测得I 与t 的一组数据如下表 试用最小二乘法根据以上数据确定参数0I 和α的值。 解：先将0t I I e α-=线性化，即两边取以10为底的对数，变为0 I lg lg lg e I a x =-， 设I lg y =，0 0lg I A =，1lg e a A =，所以上式变为0 1 y x A A = +。这里7m =，1n =， ()0 1x φ =， ()1 x x φ =，代入公式得： ()()()7 0, 8i i i i x x φφφφω===∑， ()()()()7 0, 1 1, 1 3.5i i i i x x φφφφφφω====∑，()()()7 1,1 1 1 2.03i i i i x x φφφφω===∑， ()()7 0, 0.8638i i i i f y x φφω===∑， ()()7 1, 1 0.08062i i i i f y x φφω===∑， 所以可得到以下方程组018, 3.50.86383.5,2.030.08062A A ?????? =?????? ???? ??，解得：00.08777A ≈，10.04618A ≈-，相应的0 5.64, 2.89I a ≈≈。 求bx y ae =的最小二乘拟合曲线。 解：先将bx y ae =线性化，即两边取以10为底的对数，变为lg lg lg y e b x α=+，设lg y y =， 0lg A α=，1lg e A b =，所以原式变为：01y A A x =+。这里4m =，1n =，()0 1x φ=， 数值分析 第二章 2．当1,1,2x =-时，()0,3,4f x =-,求()f x 的二次插值多项式。 解： 0120121200102021101201220211,1,2, ()0,()3,()4;()()1 ()(1)(2)()()2()()1 ()(1)(2) ()()6 ()()1 ()(1)(1) ()()3 x x x f x f x f x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x ==-===-=--==-+-----==------= =-+-- 则二次拉格朗日插值多项式为 2 20 ()()k k k L x y l x ==∑ 0223()4() 14 (1)(2)(1)(1)23 537623 l x l x x x x x x x =-+=---+ -+= +- 6．设,0,1,,j x j n =L 为互异节点，求证： （1） 0()n k k j j j x l x x =≡∑ (0,1,,);k n =L （2）0 ()()0n k j j j x x l x =-≡∑ (0,1,,);k n =L 证明 （1） 令()k f x x = 若插值节点为,0,1,,j x j n =L ，则函数()f x 的n 次插值多项式为0 ()()n k n j j j L x x l x == ∑。 插值余项为(1)1() ()()()()(1)! n n n n f R x f x L x x n ξω++=-= + 又,k n ≤Q (1)()0 ()0 n n f R x ξ+∴=∴= 0()n k k j j j x l x x =∴=∑ (0,1,,);k n =L 0 000 (2)()() (())()()(()) n k j j j n n j i k i k j j j i n n i k i i k j j i j x x l x C x x l x C x x l x =-==-==-=-=-∑∑∑∑∑ 0i n ≤≤Q 又 由上题结论可知 ()n k i j j j x l x x ==∑ ()()0 n i k i i k i k C x x x x -=∴=-=-=∑原式 ∴得证。 7设[]2 (),f x C a b ∈且()()0,f a f b ==求证： 21 max ()()max ().8 a x b a x b f x b a f x ≤≤≤≤''≤- 解：令01,x a x b ==，以此为插值节点，则线性插值多项式为 10 101010 ()() ()x x x x L x f x f x x x x x --=+-- =() () x b x a f a f b a b x a --=+-- 1()()0()0 f a f b L x ==∴=Q 又 插值余项为1011 ()()()()()()2 R x f x L x f x x x x x ''=-= -- 011 ()()()()2 f x f x x x x x ''∴= -- 1、解：将)(x V n 按最后一行展开，即知)(x V n 是n 次多项式。 由于 n i i i n n n n n i n x x x x x x x x x x V ...1...1... ......... ...... 1 )(21110 20 0---= ，.1,...,1,0-=n i 故知0)(=i n x V ，即110,...,,-n x x x 是)(x V n 的根。又)(x V n 的最高 次幂 n x 的系数为 )(...1...1... ...... .........1),...,,(101 1 21 11 2 2221 02001101j n i j i n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x V -== ∏-≤<≤-----------。 故知).)...()()(,...,,()(1101101------=n n n n x x x x x x x x x V x V 6、解：（1）设 .)(k x x f =当n k ,...,1,0=时，有.0)()1(=+x f n 对 )(x f 构造Lagrange 插值多项式， ),()(0 x l x x L j n j k j n ∑== 其 0)()! 1() ()()()(1)1(=+=-=++x w n f x L x F x R n n n n ξ， ξ介于j x 之间，.,...,1,0n j = 故 ),()(x L x f n =即 .,...,1,0,)(0 n k x x l x k j n j k j ==∑= 特别地，当0=k 时， 10) (=∑=n j x j l 。 （2） 0)()1(1) ()1()()(0000=-=??? ? ??-??? ? ??-=--=-===∑∑∑∑k j j i j i k j k i i j i i k j n j k i i j k n j j x x x x i k x l x x i k x l x x ）利用（。 7、证明：以b a ,为节点进行线性插值，得 )()()(1 b f a b a x a f b a b x x P --+--= 因 0)()(==b f a f ，故0)(1=x P 。而 ))()(("2 1 )()(1b x a x f x P x f --= -ξ，b a <<ξ。 故)("max )(8 122)("max )(max 2 2 x f a b a b x f x f b x a b x a b x a ≤≤≤≤≤≤-=??? ??-≤。 14、解：设 ))...()(()(21n n x x x x x x a x f ---=， k x x g =)(，记)() (1 ∏=-=n j j n x x x w ，则 ),()(x w a x f n n =).()(' j n n j x w a x f = 由差商的性质知 [])! 1()(1,..,,1) (' 1 )(')('1 211 11 -== ==-===∑∑∑ n g a x x x g a x w x a x w a x x f x n n n n n j j n k j n n j j n n k j n j j k j ξ， ξ介于n x x ,...,1之间。 当20-≤≤ n k 时，0)()1(=-ξn g ， 当 1-=n k 时，)!1()(1-=-n g n ξ， 故 ???-=-≤≤=-= --=∑1,,20,0)!1()(1) ('1 11 n k a n k n g a x f x n n n n j j k j ξ 16、解：根据差商与微商的关系，有 [] 1! 7! 7!7)(2,...,2,2)7(7 10===ξf f ， [ ] 0! 80 !8)(2,...,2,2)8(8 1 ===ξf f 。 （ 13)(47+++=x x x x f 是7次多项式， 故 ,!7)()7(=x f 0)()8(=x f ）。 25、解：（1） 右边= [][]dx x S x f x S dx x S x f b a b a ??-+-)(")(")("2)(")("2 = [] d x x S x f x S x S x S x f x f b a ?-++-)("2)(")("2)(")(")("2)(" 222 = [] d x x S x f b a ?-)(")(" 22 = [][]dx x S dx x f b a b a 2 2 )(")("??- =左边。 （2）左边= ? -b a dx x S x f x S ))(")(")((" 数值分析习题集 （适合课程《数值方法A 》和《数值方法B 》） 长沙理工大学 第一章 绪 论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2％,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出 它们是几位有效数字: *****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限: ********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中**** 1234 ,,,x x x x 均为第3题所给的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设028,Y =按递推公式 1n n Y Y -=( n=1,2,…) 计算到100Y .27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字27.982). 8. 当N 充分大时,怎样求2 1 1N dx x +∞+?? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设 212S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对 误差增加,而相对误差却减小. 11. 序列 {}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若0 1.41y =≈(三位有效数字), 计算到 10y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算6 1)f =, 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 -- 13. ()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若 数值分析 2?当x=1,—1,2时，f(x)=O, 一3,4,求f(x)的二次插值多项式。解： X 0 =1,x j = — 1,x 2 = 2, f(X。)= 0, f (xj = -3, f (x2)= 4; l o(x)=(x-xi^~x2\=-1(x 1)(x-2) (x o -X/X o _x2) 2 (x -x0)(x -x2) 1 l i(x) 0 2(x-1)(x-2) (x i ~x0)(x i ~x2) 6 (x—x0)(x—x,) 1 l2(x) 0 1(x-1)(x 1) (X2 -X°)(X2 - X i) 3 则二次拉格朗日插值多项式为 2 L 2(X)= ' y k 1 k ( x) kz0 = -3l°(x) 4l2(x) 1 4 =(x_1)(x—2) 4 (x-1)(x 1) 2 3 5 2 3 7 x x - 6 2 3 6?设Xj, j =0,1,||(,n 为互异节点，求证： n (1 )7 x：l j(x) =x k(k =0,1川,n); j=0 n (2 )7 (X j -x)k l j(x)三0 (k =0,1川,n); j ￡ 证明 (1)令f(x)=x k n 若插值节点为X j, j =0,1,|l(, n，则函数f (x)的n次插值多项式为L n(x)八x k l j(x)。 j=0 f (n 十)(?) 插值余项为R n(X)二f(X)-L n(X) n1(X) (n +1)! .f(n1)( ^0 R n(X)=O n 二瓦x k l j(x) =x k(k =0,1川,n); j ：o n ⑵、(X j -x)k l j(x) j卫 n n =為(' C?x j(—x)k_L)l j(x) j =0 i =0 n n i k i i =為C k( -x) (、X j l j(x)) i =0 j=0 又70 _i _n 由上题结论可知 n .原式二''C k(-x)k_L x' i=0 =(X -X)k =0 -得证。 7设f (x) c2 la,b 1且f (a) =f (b)二0,求证: max f(x)兰一(b-a) max a $至小一*丘f (x). 解：令x^a,x^b，以此为插值节点，则线性插值多项式为 L i(x^ f(x o) x x f (xj X o —人x -X o X —X o x-b x-a ==f(a) f(b)- a - b x -a 又T f (a) = f (b)二0 L i(x) = 0 1 插值余项为R(x)二f (x) - L,(x) f (x)(x - X Q)(X - xj 1 f(x) = 2 f (x)(x -X g)(X -xj （适合课程《数值方法A 》和《数值方法B 》） 第一章 绪 论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2％,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位 有效数字: ***** 123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限: * * * * * * * * 12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中* * * * 1234,,,x x x x 均为第3题所给的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设028,Y =按递推公式 11783 100 n n Y Y -=- ( n=1,2,…) 计算到100Y .若取783≈27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字(783≈27.982). 8. 当N 充分大时,怎样求 2 11N dx x +∞+?? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设2 12S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对误差增加, 而相对误差却减小. 11. 序列{}n y 满足递推关系1101 n n y y -=-(n=1,2,…),若02 1.41y =≈(三位有效数字),计算到10 y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算6 (21)f =-,取 2 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 6 3 11,(322), ,9970 2. (21) (322) --++ 13. 2 ()ln(1)f x x x =- -,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等 价公式 2 2 ln(1)ln(1)x x x x - -=-+ + 计算,求对数时误差有多大? 14. 试用消元法解方程组{ 10 10 12121010; 2. x x x x +=+=假定只用三位数计算,问结果是否可靠? 15. 已知三角形面积 1sin , 2 s ab c = 其中c 为弧度, 02c π << ,且测量a ,b ,c 的误差分别为,,.a b c ???证 明面积的误差s ?满足 . s a b c s a b c ????≤ ++ 第二章 插值法 1. 根据( 2.2)定义的范德蒙行列式,令 习 题 二 解 答 1．用二分法求方程x 3-2x 2-4x-7=0在区间[3，4]内的根，精确到10-3，即误差不超过31 102-?。 分析：精确到10-3与误差不超过10-3不同。 解：因为f(3)＝-10＜0，f(4)=9＞0，所以，方程在区间［3，4］上有根。 由 3 4311*10 2 2 2 2 2 n n n n n n b a b a x x -----≤ == = < ? 有2n-1＞1000，又为210＝1024＞1000， 所以n ＝11，即只需要二分11次即可。 x *≈x 11=3.632。 指出： （1）注意精确度的不同表述。精确到10-3和误差不超过10-3 是不同的。 （2）在计算过程中按规定精度保留小数，最后两次计算结果相同。 （3）用秦九韶算法计算f(x n )比较简单。 1*．求方程x 3-2x 2-4x-7=0的隔根区间。 解：令32247y x x x =---， 则2344322()()y x x x x '=--=+- 当23443220()()y x x x x '=--=+-=时，有122 23,x x =-=。 因为2 14902150327(),()y y -=- <=-<，所以方程在区间223 (,)-上无根； 因为214903 27 ()y - =-<，而函数在23 (,)-∞- 上单调增，函数值不可能变号，所以 方程在该区间上无根； 因为2150()y =-<，函数在(2,+∞)上单调增，所以方程在该区间上最多有一个根， 而(3)=-10<0,y(4)=9>0，所以方程在区间(3,4)有一个根。 所以，该方程有一个根，隔根区间是(3.4)。 2．证明1sin 0x x --=在[0,1]内有一个根，使用二分法求误差不大于4 1 102-?的根，需要迭代多少次？ 分析：证明方程在指定区间内有一个根，就是证明相应的函数在指定区间有至少一个零点。 解：令()1sin f x x x =--， 因为(0)10sin 010,(1)11sin 1sin 10f f =--=>=--=-<， 习 题 一 解 答 1．取3.14，3.15， 227，355113 作为π的近似值，求各自的绝对误差，相对误差和有效数字的位数。 分析：求绝对误差的方法是按定义直接计算。求相对误差的一般方法是先求出绝对误差再按定义式计算。注意，不应先求相对误差再求绝对误差。有效数字位数可以根据定义来求，即先由绝对误差确定近似数的绝对误差不超过那一位的半个单位，再确定有效数的末位是哪一位，进一步确定有效数字和有效数位。有了定理2后，可以根据定理2更规范地解答。根据定理2，首先要将数值转化为科学记数形式，然后解答。 解：（1）绝对误差: e(x)=π－3.14＝3.14159265…－3.14＝0.00159…≈0.0016。 相对误差： 3()0.0016 ()0.51103.14r e x e x x -==≈? 有效数字： 因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10，3.14＝0.314×10，m=1。 而π－3.14＝3.14159265…－3.14＝0.00159… 所以│π－3.14│＝0.00159…≤0.005=0.5×10－2＝21311 101022 --?=? 所以，3.14作为π的近似值有3个有效数字。 （2）绝对误差: e(x)=π－3.15＝3.14159265…－3.14＝－0.008407…≈－0.0085。 相对误差： 2()0.0085 ()0.27103.15r e x e x x --==≈-? 有效数字： 因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10，3.15＝0.315×10，m=1。 而π－3.15＝3.14159265…－3.15＝－0.008407… 所以│π－3.15│＝0.008407……≤0.05=0.5×10－1 ＝11211101022 --?=? 所以，3.15作为π的近似值有2个有效数字。 （3）绝对误差: 22 () 3.14159265 3.1428571430.0012644930.00137e x π=-=-=-≈- 相对误差： 第四版 数值分析习题 第一章 绪 论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2％,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指 出它们是几位有效数字: *****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式求下列各近似值的误差限: ********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中**** 1234 ,,,x x x x 均为第3题所给的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设028,Y =按递推公式 1n n Y Y -=…) 计算到100Y .(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字. 8. 当N 充分大时,怎样求 2 11N dx x +∞ +? ? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设 212S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对误 差增加,而相对误差却减小. 11. 序列 {}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若0 1.41y =≈(三位有效数字), 计算到 10y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算61)f =, 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 -- 13. ()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式 ln(ln(x x =- 计算,求对数时误差有多大? 第四版 数值分析习题 第一章绪论 1.设x>0,x得相对误差为δ,求得误差、 2.设x得相对误差为2％,求得相对误差、 3.下列各数都就是经过四舍五入得到得近似数,即误差限不超过最后一位得半个单位,试指 出它们就是几位有效数字: 4.利用公式(3、3)求下列各近似值得误差限: 其中均为第3题所给得数、 5.计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R时允许得相对误差限就是多少? 6.设按递推公式 ( n=1,2,…) 计算到、若取≈27、982(五位有效数字),试问计算将有多大误差? 7.求方程得两个根,使它至少具有四位有效数字(≈27、982)、 8.当N充分大时,怎样求? 9.正方形得边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝? 10.设假定g就是准确得,而对t得测量有±0、1秒得误差,证明当t增加时S得绝对误差增 加,而相对误差却减小、 11.序列满足递推关系(n=1,2,…),若(三位有效数字),计算到时误差有多大?这个计算过程 稳定吗? 12.计算,取,利用下列等式计算,哪一个得到得结果最好? 13.,求f(30)得值、若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式 计算,求对数时误差有多大? 14.试用消元法解方程组假定只用三位数计算,问结果就是否可靠? 15.已知三角形面积其中c为弧度,,且测量a ,b ,c得误差分别为证明面积得误差满足 第二章插值法 1.根据(2、2)定义得范德蒙行列式,令 证明就是n次多项式,它得根就是,且 、 2.当x= 1 , -1 , 2 时, f(x)= 0 , -3 , 4 ,求f(x)得二次插值多项式、 3. 4., 研究用线性插值求cos x 近似值时得总误差界、 0.1算法 1、 （p.11，题1）用二分法求方程013 =--x x 在[1,2]内的近似根，要求误差不 超过10-3. 【解】 由二分法的误差估计式31 1*102 1 2||-++=≤=-≤ -εk k k a b x x ，得到100021≥+k .两端取自然对数得96.812 ln 10 ln 3≈-≥ k ，因此取9=k ，即至少需 2、（p.11，题2） 证明方程210)(-+=x e x f x 在区间[0,1]内有唯一个实根；使用 二分法求这一实根，要求误差不超过2102 1 -?。 【解】 由于210)(-+=x e x f x ，则)(x f 在区间[0,1]上连续，且 012010)0(0<-=-?+=e f ，082110)1(1>+=-?+=e e f ，即0)1()0(+=x e x f ，即)(x f 在区间[0,1]上是单调的，故)(x f 在区间[0,1]内有唯一实根. 由二分法的误差估计式211*1021 2 12||-++?=≤=-≤-εk k k a b x x ，得到1002≥k . 两端取自然对数得6438.63219.322 ln 10 ln 2=?≈≥k ，因此取7=k ，即至少需二分 0.2误差 1．（p.12，题8）已知e=2.71828…，试问其近似值7.21=x ，71.22=x ，x 2=2.71，718.23=x 各有几位有效数字？并给出它们的相对误差限。 【解】有效数字： 因为111021 05.001828.0||-?= <=-K x e ，所以7.21=x 有两位有效数字； 因为1 2102105.000828.0||-?=<=-K x e ，所以71.22=x 亦有两位有效数字； 因为3 3102 10005.000028.0||-?=<=-K x e ，所以718.23=x 有四位有效数字； %85.17.205 .0||111=<-= x x e r ε； %85.171.205 .0||222=<-= x x e r ε； %0184.0718 .20005 .0||333=<-= x x e r ε。 评 （1）经四舍五入得到的近似数，其所有数字均为有效数字； （2）近似数的所有数字并非都是有效数字.2．（p.12，题9）设72.21=x ， 71828.22=x ，0718.03=x 均为经过四舍五入得出的近似值，试指明它们的绝对误差(限) 与相对误差(限)。 【解】 005.01=ε，31 1 11084.172.2005 .0-?≈< = x r εε； 000005.02=ε，622 21084.171828 .2000005 .0-?≈< =x r εε； 00005.03=ε，43 3 31096.60718 .000005 .0-?≈< = x r εε； 评 经四舍五入得到的近似数，其绝对误差限为其末位数字所在位的半个单位. 3．（p.12，题10）已知42.11=x ，0184.02-=x ，4 310184-?=x 的绝对误差限均为 2105.0-?，问它们各有几位有效数字？ 第一章 题12 给定节点01x =-，11x =，23x =，34x =，试分别对下列函数导出拉格朗日插值余项： （1） （1） 3 ()432f x x x =-+ （2） （2） 4 3 ()2f x x x =- 解 （1）(4) ()0f x =， 由拉格朗日插值余项得(4)0123() ()()()()()()0 4!f f x p x x x x x x x x x ξ-=----=； （2）(4) ()4!f x = 由拉格朗日插值余项得 01234! ()()()()()() 4! f x p x x x x x x x x x -= ----(1)(1)(3)(4)x x x x =+---. 题15 证明：对于()f x 以0x ，1x 为节点的一次插值多项式()p x ，插值误差 012 10()()()max () 8x x x x x f x p x f x ≤≤-''-≤. 证 由拉格朗日插值余项得 01() ()()()()2!f f x p x x x x x ξ''-= --，其中01x x ξ≤≤， 01 0101max ()()()()()()()() 2!2!x x x f x f f x p x x x x x x x x x ξ≤≤''''-=--≤-- 01210()max () 8x x x x x f x ≤≤-''≤. 题22 采用下列方法构造满足条件(0)(0)0p p '==，(1)(1)1p p '==的插值多项式 ()p x ： （1） （1） 用待定系数法； （2） （2） 利用承袭性，先考察插值条件(0)(0)0p p '==，(1)1p =的插值多项式 ()p x . 解 （1）有四个插值条件，故设230123()p x a a x a x a x =+++，2 123()23p x a a x a x '=++， 代入得方程组001231123010231 a a a a a a a a a =? ?+++=?? =? ?++=? 解之，得01230 021 a a a a =??=?? =??=-? 第一章 绪论（12） 1、设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差。 [解]设0*>x 为x 的近似值，则有相对误差为δε=)(*x r ，绝对误差为**)(x x δε=，从而x ln 的误差为δδεε=='=* ****1)()(ln )(ln x x x x x ， 相对误差为* * ** ln ln ) (ln )(ln x x x x r δ εε= = 。 2、设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。 [解]设*x 为x 的近似值，则有相对误差为%2)(*=x r ε，绝对误差为**%2)(x x =ε，从而n x 的误差为n n x x n x n x x n x x x ** 1 *** %2%2) ()()()(ln * ?=='=-=εε， 相对误差为%2) () (ln )(ln *** n x x x n r == εε。 3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字： 1021.1*1=x ，031.0*2=x ，6.385*3=x ，430.56*4=x ，0.17*5 ?=x 。 [解]1021.1*1 =x 有5位有效数字；0031.0* 2=x 有2位有效数字；6.385*3=x 有4位有效数字；430.56* 4 =x 有5位有效数字；0.17*5?=x 有2位有效数字。 4、利用公式（3.3）求下列各近似值的误差限，其中* 4*3*2*1,,,x x x x 均为第3题所给 的数。 （1）* 4*2*1x x x ++； [解]3 334* 4*2*11** *4*2*1*1005.1102 1 10211021)()()()()(----=?=?+?+?=++=? ??? ????=++∑x x x x x f x x x e n k k k εεεε； （2）* 3*2 *1x x x ； 1第一章 习题解答 1 设x >0，x 的相对误差限为δ，求 ln x 的误差。 解：设 x 的准确值为x *，则有 ( | x – x * | /|x *| ) ≤ δ 所以 e (ln x )=| ln x – ln x * | =| x – x * | ×| (ln x )’|x=ξ·≈ ( | x – x * | / | x *| ) ≤ δ 另解： e (ln x )=| ln x – ln x * | =| ln (x / x *) | = | ln (( x – x * + x *)/ x *) | = | ln (( x – x * )/ x * + 1) |≤( | x – x * | /|x *| ) ≤ δ 2 设 x = – 2.18 和 y = 2.1200 都是由准确值经四舍五入而得到的近似值。求绝对误差限ε( x ) 和 ε( y ) 。 解：| e (x ) | = |e (– 2.18)|≤ 0.005，| e (y ) | = |e ( 2.1200)|≤ 0.00005，所以 ε( x )=0.005， ε( y ) = 0.00005。 3 下近似值的绝对误差限都是 0.005，问各近似值有几位有效数字 x 1=1.38，x 2= –0.0312，x 3= 0.00086 解：根据有效数字定义，绝对误差限不超过末位数半个单位。由题设知，x 1，x 2， x 3有效数末位数均为小数点后第二位。故x 1具有三位有效数字，x 2具有一位有效数字，x 3具有零位有效数字。 4 已知近似数x 有两位有效数字，试求其相对误差限。 解：| e r (x ) | ≤ 5 × 10– 2 。 5 设 y 0 = 28，按递推公式 y n = y n-1 – 783/ 100 ( n = 1，2，…) 计算到y 100。若取≈78327.982 （五位有效数字），试问，计算 y 100 将有多大的误差？ 解：由于初值 y 0 = 28 没有误差，误差是由≈78327.982所引起。记 x = 27.982，783?=x δ。则利用理论准确成立的递推式 y n = y n-1 – 783/ 100 和实际计算中递推式 Y n = Y n-1 – x / 100 (Y 0 = y 0) 两式相减，得 e ( Y n ) = Y n – y n = Y n-1 – y n-1 – ( x – 783)/ 100 所以，有 e ( Y n ) = e ( Y n-1) – δ / 100 利用上式求和 δ?=∑∑=?=100111001)()(n n n n Y e Y e 化简，得 e ( Y 100) = e ( Y 0) – δ = δ 所以，计算y 100 的误差界为 4100105001.05.0)(?×=×=≤δεY 6 求方程 x 2 – 56x + 1 = 0的两个根，问要使它们具有四位有效数字，D=ac b 42 ?至少要取几位有效数字？ 如果利用韦达定理，D 又应该取几位有效数字？ 解：在方程中，a = 1，b = – 56，c = 1，故D=4562?≈55.96427，取七位有效数字。 数值分析 第二章 2．当1,1,2x =-时，()0,3,4f x =-,求()f x 的二次插值多项式。 解： 0120121200102021101201220211,1,2, ()0,()3,()4; ()()1()(1)(2)()()2()()1()(1)(2)()()6()()1()(1)(1)()()3 x x x f x f x f x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x ==-===-=--= =-+-----= =------==-+-- 则二次拉格朗日插值多项式为 2 20()()k k k L x y l x ==∑ 0223()4() 1 4(1)(2)(1)(1)23 537623 l x l x x x x x x x =-+=---+-+=+- 6．设,0,1,,j x j n =L 为互异节点，求证： （1）0 ()n k k j j j x l x x =≡∑ (0,1,,);k n =L （2） 0()()0n k j j j x x l x =-≡∑ (0,1,,);k n =L 证明 （1） 令()k f x x = 若插值节点为,0,1,,j x j n =L ，则函数()f x 的n 次插值多项式为0()()n k n j j j L x x l x ==∑。 插值余项为(1)1()()()()()(1)! n n n n f R x f x L x x n ξω++=-=+ 又,k n ≤Q (1)()0()0 n n f R x ξ+∴=∴= 0 ()n k k j j j x l x x =∴=∑ (0,1,,);k n =L 000(2)()() (())()()(())n k j j j n n j i k i k j j j i n n i k i i k j j i j x x l x C x x l x C x x l x =-==-==-=-=-∑∑∑∑∑ 0i n ≤≤Q 又 由上题结论可知 0()n k i j j j x l x x ==∑ 0()()0 n i k i i k i k C x x x x -=∴=-=-=∑原式 ∴得证。 7设[]2 (),f x C a b ∈且()()0,f a f b ==求证： 21max ()()max ().8 a x b a x b f x b a f x ≤≤≤≤''≤- 解：令01,x a x b ==，以此为插值节点，则线性插值多项式为 10101010()() ()x x x x L x f x f x x x x x --=+-- =()()x b x a f a f b a b x a --=+-- 1()()0 ()0 f a f b L x ==∴=Q 又 插值余项为1011()()()()()()2 R x f x L x f x x x x x ''=-=-- 011()()()()2 f x f x x x x x ''∴=-- 第四版 数值分析习题 第一章 绪 论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2％,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试 指出它们是几位有效数字: *****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限: ********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中**** 1234 ,,,x x x x 均为第3题所给的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设028,Y =按递推公式 1n n Y Y -= ( n=1,2,…) 计算到100Y .27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字27.982). 8. 当N 充分大时,怎样求 211N dx x +∞ +? ? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设 212S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的 绝对误差增加,而相对误差却减小. 11. 序列{}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若0 1.41y ≈(三位有效数 字),计算到10y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算6 1)f =, 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 -- 13. ()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大? 若改用另一等价公式 ln(ln(x x =- 计算,求对数时误差有多大? 14. 试用消元法解方程组 { 101012121010; 2. x x x x +=+=假定只用三位数计算,问结果是否可靠? 15. 已知三角形面积 1sin ,2s ab c = 其中c 为弧度, 02c π<<,且测量a ,b ,c 的误差分别为,,.a b c ???证明面积的误差s ?满足 .s a b c s a b c ????≤++ 第二章 插值法 1. 根据( 2.2)定义的范德蒙行列式,令 20000112111 2 1 ()(,,,,)11 n n n n n n n n n x x x V x V x x x x x x x x x x ----== 证明()n V x 是n 次多项式,它的根是01,,n x x - ,且 101101()(,,,)()()n n n n V x V x x x x x x x ---=-- . 2. 当x = 1 , -1 , 2 时, f (x)= 0 , -3 , 4 ,求f (x )的二次插值多项式. 3. 给出f (x )=ln x 的数值表用线性插值及二次插值计算ln 0.54 的近似值. 习 题 一 解 答 1．取3.14，3.15， 227，355113 作为π的近似值，求各自的绝对误差，相对误差和有效数字的位数。 分析：求绝对误差的方法是按定义直接计算。求相对误差的一般方法是先求出绝对误差再按定义式计算。注意，不应先求相对误差再求绝对误差。有效数字位数可以根据定义来求，即先由绝对误差确定近似数的绝对误差不超过那一位的半个单位，再确定有效数的末位是哪一位，进一步确定有效数字和有效数位。有了定理2后，可以根据定理2更规范地解答。根据定理2，首先要将数值转化为科学记数形式，然后解答。 解：（1）绝对误差: e(x)=π－3.14＝3.14159265…－3.14＝0.00159…≈0.0016。 相对误差： 3()0.0016 ()0.51103.14 r e x e x x -==≈? 有效数字： 因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10，3.14＝0.314×10，m=1。 而π－3.14＝3.14159265…－3.14＝0.00159… 所以│π－3.14│＝0.00159…≤0.005=0.5×10－2＝21311 101022 --?=? 所以，3.14作为π的近似值有3个有效数字。 （2）绝对误差: e(x)=π－3.15＝3.14159265…－3.14＝－0.008407…≈－0.0085。 相对误差： 2()0.0085 ()0.27103.15 r e x e x x --==≈-? 有效数字： 因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10，3.15＝0.315×10，m=1。 而π－3.15＝3.14159265…－3.15＝－0.008407… 所以│π－3.15│＝0.008407……≤0.05=0.5×10－1＝11211 101022 --?=? 所以，3.15作为π的近似值有2个有效数字。 （3）绝对误差: 22 () 3.14159265 3.1428571430.0012644930.00137 e x π=-=-=-≈-L L 相对误差： 数值分析复习题 一、填空 Chapter1 绪论 近似数x*=0.4231关于真值x=0.4229有 3 位有效数字. 用1000.1近似真值1000时，其有效数字有 4 位， 已知准确值x*与其有t 位有效数字的近似值12 10.10(0)s n x a a a a =?≠的绝对误差为 1 x*-x 102s t -≤ ?。 设 2.40315x * =是真值 2.40194x =的近似值，则x * 有 3 位有效数字。 设一近似数x*=2.5231具有5位有效数字，则其相对误差限是44 11 1010224--?=?? ，其绝对误差限是4 1 102-?。 当x 很大时，为防止损失有效数字，应该使 = 。 Chapter2 插值方法 设642 ()3651f x x x x =+-+，则[3,2,1,0,1,2,3]f ---= 3 。 若 42 f(x)=2x +x -3, 则f[1,2,3,4,5,6]= 0 。 对 32f(x)=x +3x -x+5,差商f[0,1,2,3,4]= 0 。 设 643()35f x x x x =-+-，则差商[0,1,2,3,4,5,6]f = 1 。 已知y=f(x)的均差 021[,,]5f x x x =, 402[,,]9f x x x =, f[x4, x3, x2]=14， f[x0, x3, x2]=8 ,.那么 均差f[x4, x2, x0]= 9 。（交换不变性） 设有数据112 032 x y -则其 2 次 Larange 插值多项式为 32 (1)(2)(1)(1)23x x x x -+-++-，2次拟合多项式为 （最佳平方逼近可求）。？？？ 以n + 1个 整 数 点k ( k =0,1,2,…,n) 为 节 点 的 Lagrange 插 值 基 函 数 为 ()k l x ( k =0,1,2,…,n)，则 n k k=0 kl (x)= ∑ x 。？？（注： k y k =，则有拉格朗日插值公式：数值分析课后题答案
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