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三角函数教案:7课时学案-同角三角函数的基本关系式1

三角函数教案:7课时学案-同角三角函数的基本关系式1
三角函数教案:7课时学案-同角三角函数的基本关系式1

课 题:4.4

同角三角函数的基本关系式(一) 公式: 1cos sin 22=+αα

αα

αt a n c o s s i n = 1.注意“同角”,即22sin cos 1αβ+≠ 2.无特殊说明,默认定义域内。

讲解范例:

例1. 已知5

4sin =α,并且α是第二象限角,求α的其他三角函数值. 定义法: 关系式法:

练习:已知17

8cos -=α,求sin α、tan α的值.

例2.已知tan α=3,求sin α,cos α.

例3.化简tan α在第二象限。

课堂练习:

课本第18页练习2,3,4,5。

课后作业

1.已知21cos =

θ , 求θtan 的值.

2.已知2tan =α,求αsin 的值

3.已知tan α=-3,则sin α= ,cos α = .

4.已知tan α为非零实数,用tan α表示sin α,cos α.

5. 化简: 440sin 12-

6. 已知αααααsin 1sin 1sin 1sin 1+---+是第三象限角,化简

7. 化简sin 2α+sin 2β-sin 2αsin 2β+cos 2αcos 2β

高一备课组

三角函数的定义导学案

5,则 b的值。 3的终边上,且|OP|=2,则点P的坐标? 2 ,-3),,则定义:叫做角α的余弦,记作cosα,即cosα=; α=- 5 2,则sin α,tanα的值分别为(另外,角α的正割:secα= 1 cosαx 角α的余割:cscα= 1 sinαy 角α的余切:cotα= 1 2C- 3 A 1 高一数学学案 必修四第一章第3节三角函数的定义(1) 制作人:适用范围:高一使用日期:4.17 【教学目标】 1、三角函数定义; 2、利用定义求角的六个三角函数; 3、特殊角的三角函数值。 4、通过角定义的学习,进一步体会数形结合的思想方法 【教学重难点】 1、用定义求三角函数值; 2、特殊角三角函数值。 【教学内容】 1.任意角三角函数的定义 任意角三角函数的定义 如图所示,以任意角α的顶点O为坐标原点,以角α的始边的方向作为x轴的正方向,建立直 角坐标系.设P(x,y)是任意角α终边上不同于坐标原点的任意一点. 变式训练2:若角α的终边经过点P(-b,4)且cosα=- 3 例2、求下列各角的六个三角函数值: (1)0;(2)π;(3) 3π 2 变式训练3:若点P在角 π 【课堂练习】 1、(1)已知角α终边经过点p( 1 cosα=______,sinα=______,tanα=______, cotα=______,secα=______,cscα=______。 其中,r=OP=x2+y2>0. x x r r y y r叫做角α的正弦,记作sinα,即sinα=r; 2、设π A、-1;不存在 B、1;不存在 C、-1;0 D、1;0 )。 y y x叫做角α的正切,记作tanα,即tanα=x. r =; r =; x tanα=y. 例1、已知角α终边过点P(2,-3),求角α的六个三角函数值。 3、如果角α的终边过点(2sin30°,-2cos30°),则sinα的值等于() 13 2 B- 2 D 2 4、若角α的终边经过点M(0,m)(m≠0),则下列式子无意义的是() A、sinα B、cosα C、tanα D、cotα 15.已知角 α的终边上一点的坐标为( 3 ,- 1 ),则角α的最小正值为( 22)变式训练1:设角α的终边经过点P(3x,-4x)(x<0),则sinα-cosα的值?

人教版必修四 同角三角函数的基本关系教案

1.2.2同角三角函数的基本关系(3) 教学目的: 知识目标:根据三角函数关系式进行三角式的化简和证明; 能力目标:(1)了解已知一个三角函数关系式求三角函数(式)值的方法。 (2)灵活运用同角三角函数关系式的不同变形,提高三角恒等变形的能力; 德育目标:训练三角恒等变形的能力,进一步树立化归思想方法; 教学重点:同角三角函数的基本关系式 教学难点:如何运用公式对三角式进行化简和证明。 授课类型:新授课 教学模式:启发、诱导发现教学. 教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程: 一、复习引入: 1.同角三角函数的基本关系式。 (1)倒数关系:sin csc 1αα?=,cos sec 1αα?=,tan cot 1αα?=. (2)商数关系: sin tan cos ααα=,cos cot sin ααα =. (3)平方关系:22sin cos 1αα+=,221tan sec αα+=,221cot csc αα+=. (练习)已知tan α43=,求cos α 2.tan αcos α= ,cot αsec α= ,(sec α+tan α)·( )=1 二、讲解新课: 例82tan α=-,试确定使等式成立的角α的集合。 =|1sin ||1sin |cos ||cos |αααα+-- =1sin 1sin |cos |ααα+-+=2sin |cos | αα. 2tan α-=-, ∴2sin |cos |αα2sin 0cos αα +=, 即得sin 0α=或|cos |cos 0αα=-≠. 所以,角α的集合为:{|k ααπ=或322,}22 k k k Z πππαπ+<<+∈. 例9.化简(1cot csc )(1tan sec )αααα-+-+. 解:原式=cos 1sin 1(1)(1)sin sin cos cos αααααα -+-+ 2sin cos 1cos sin 11(sin cos )sin cos sin cos αααααααααα-+-+--=?=?112sin cos 2sin cos αααα-+?==?. 说明:化简后的简单三角函数式应尽量满足以下几点: (1)所含三角函数的种类最少; (2)能求值(指准确值)尽量求值; (3)不含特殊角的三角函数值。 例10.求证: cos 1sin 1sin cos x x x x +=-. 证法一:由题义知cos 0x ≠,所以1sin 0,1sin 0x x +≠-≠.

人教版九年级下册数学学案:28.1锐角三角函数(3)—特殊角三角函数值

中学导学稿 28章.锐角三角函数年级:九年级学科:数学学期:下学期设计时间: 12月 课题28.1锐角三角函数(3)—特殊角三角函数值主备课时一课时 探 究 展 示活动三:自学教材P79例3完成下题: 已知:如图,在菱形ABCD中,DE⊥AB于E,BE=16cm,? = 13 12 sin A求此菱形的周长. 简单回顾一个直角三角形中,1、一个锐角正弦是怎么定义的?; 2、一个锐角余弦是怎么定义的?; 3、一个锐角正切是怎么定义的?。 学习目标1、能推导并熟记30°、45°、60°角的三角函数值,并能根据这些值说出对应锐角度数。 2、能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角函数的运算式 反 思 对照学习目标,你学会了哪些,还有什么疑惑的地方吗? 学习过程 自主 合作 交流活动一: 思考:1、两块三角尺中有几个不同的锐角?是多少度?分别求出这几个锐角的正弦值、余 弦值和正切值码?. 2、归纳结果 活动二:自学教材P79例3完成下题:图1 1、 Sin230°+cos230°sin45cos30 32cos60 ?+? -? -sin60°(1-sin30°). 2、已知:如图1,Rt△ABC中,∠C=90°,求证:(1)sin2A+cos2A=1(2)? = A A A cos sin tan 30°45°60° siaA cosA tanA 当 堂 检 测 1.已知:Rt△ABC中,∠C=90°,cosA= 3 5 ,AB=15,则AC的长是(). A.3 B.6 C.9 D.12 2.下列各式中不正确的是(). A.sin260°+cos260°=1 B.sin30°+cos30°=1 C.sin35°=cos55° D.tan45°>sin45° 3、计算: (1)2sin30°-2cos60°+tan45°(2)sin45 tan30tan60 ? ?-? +cos45°·cos30° (3)tan45°·sin60°-4sin30°·cos45°+6·tan30°(4)sin272°+sin218° 4、已知:如图,Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC=30°,延长CA至D点,使AD=AB. 求:(1)∠D及∠DBC;(2)tan D及tan∠DBC; 一/ 2

1.2.2同角的三角函数的基本关系 教案

1. 2.2同角的三角函数的基本关系 一、教学目标: ⒈掌握同角三角函数的基本关系式,理解同角公式都是恒等式的特定意义; 2 通过运用公式的训练过程,培养学生解决三角函数求值、化简、恒等式证明的解题技能,提高运用公式的灵活性; 3 注意运用数形结合的思想解决有关求值问题;在解决三角函数化简问题过程中,注意培养学生思维的灵活性及思维的深化;在恒等式证明的教学过程中,注意培养学生分析问题的能力,从而提高逻辑推理能力. 二、教学重、难点 重点:公式1cos sin 2 2=+αα及 αα α tan cos sin =的推导及运用: (1)已知某任意角的正弦、余弦、正切值中的一个,求其余两个;(2)化简三角函数式;(3)证明简单的三角恒等式. 难点: 根据角α终边所在象限求出其三角函数值;选择适当的方法证明三角恒等式. 三、学法与教学用具 利用三角函数线的定义, 推导同角三角函数的基本关系式: 1cos sin 2 2 =+αα及 αα α tan cos sin =,并灵活应用求三角函数值,化减三角函数式,证明三角恒等式等. 教学用具:圆规、三角板、投影 四、教学过程 【创设情境】 与初中学习锐角三角函数一样,本节课我们来研究同角三角函数之间关系,弄清同角各不同三角函数之间的联系,实现不同函数值之间的互相转化. 【探究新知】 探究:三角函数是以单位圆上点的坐标来定义的,你能从 圆的几何性质出发,讨论一 下同一个角不同三角函数之间的关系吗? 如图:以正弦线MP ,余弦线OM 和半径OP 三者的长构成直角三角形,而且1OP =.由勾股定理由2 2 1MP OM +=, 因此2 2 1x y +=,即22 sin cos 1αα+=. 根据三角函数的定义,当()2a k k Z π π≠+ ∈时,有 sin tan cos α αα =. 这就是说,同一个角α的正弦、余弦的平方等于1,商等于角α的正切. 【例题讲评】 例1化简: 440sin 12- 解:原式 80cos 80cos 80sin 1)80360(sin 122 2 ==-=+-= 例2 已知α α αααsin 1sin 1sin 1sin 1+---+是第三象限角,化简

任意角的三角函数教案

1.2.1 任意角的三角函数 教学目标 1.知识与技能 (1)掌握任意角的三角函数的定义. (2)已知角α终边上一点,会求角α的各三角函数值. (3)记住三角函数的定义域. 2.过程与方法 (1)通过直角三角形中三角函数定义到单位圆中三角函数定义,最后到直角坐标系中一 般化的三角函数定义,培养学生发现数学规律的思维方法和能力. (2)树立映射观点,正确理解三角函数是以实数为自变量的函数. (3)通过对定义域介绍,提高学生分析、探究、解决问题的能力. 3.情感、态度与价值观 (1)使学生认识到事物之间是有联系的,三角函数就是角度(自变量)与比值(函数值)的 一种联系方式. (2)学习转化的思想,培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神. 重点、难点 教学重点:任意角的正弦、余弦、正切的定义(包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号). 教学难点:利用角的终边上点的坐标刻画三角函数,三角函数的符号以及三角函数的几何意义. 授课类型:新授课 教学模式:启发、诱导发现教学. 新知探究 一、三角函数的定义: 提出问题 问题①:在初中时我们学了锐角三角函数,你能回忆一下锐角三角函数的定义吗? 问题②:你能用直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数吗? 学习了弧度制,知道了角的集合与实数集是一一对应的,在此基础上,我们来研究任意角的三角函数.

图1 如图1,设锐角α的顶点与原点O 重合,始边与x 轴的正半轴重合,那么它的终边在第一象限.在α的终边上任取一点P(a,b),它与原点的距离22b a >0.过P 作x 轴的垂线,垂足为M,则线段OM 的长度为a,线段MP 的长度为b. 根据初中学过的三角函数定义,我们有 sinα=OP MP =r b ,cosα=OP OM =r a ,tanα=OP MP =a b . 讨论结果: ①锐角三角函数是以锐角为自变量,边的比值为函数值的三角函数. ②sinα=OP MP =r b ,cosα=OP OM =r a ,tanα=OM MP =a b . 提出问题 问题①:如果改变终边上的点的位置,这三个比值会改变吗?为什么? 问题②:你利用已学知识能否通过取适当点而将上述三角函数的表达式简化? 最后可以发现,由相似三角形的知识,对于确定的角α,这三个比值不会随点P 在α的终边上的位置的改变而改变. 过图形教师引导学生进行对比,学生通过对比发现取到原点的距离为1的点可以使表达式简化. 此时sinα=OP MP =b,cosα=OP OM =a,tanα=OM MP =a b . 在引进弧度制时我们看到,在半径为单位长度的圆中,角α的弧度数的绝对值等于圆心角α所对的弧长(符号由角α的终边的旋转方向决定).在直角坐标系中,我们称以原点O 为圆心,以单位长度为半径的圆为单位圆.这样,上述P 点就是α的终边与单位圆的交点.锐角三角函数可以用单位圆上点的坐标表示. 同样地,我们可以利用单位圆定义任意角的三角函数. 图2 如图2所示,设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么: (1)y 叫做α的正弦,记作sinα,即sinα=y; (2)x 叫做α的余弦,记作cosα,即cosα=x; (3)x y 叫做α的正切,记作tanα,即tanα=x y (x≠0). 所以,正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数,我们将它们统称为三角函数. 值得注意的是:(1)正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以比值为函数值的函数.(2)sinα不是sin 与α的乘积,而是一个比值;三角函数的记号是一个整体,离开自变量的“sin”“tan”等是没有意义的. 二、例题讲解

同角三角函数的基本关系 导学案

2018年苏州工业技术学校数学“同题异构” 教研活动 公开课教案 课题: 同角三角函数的基本关系 教师: 胡甲维 日期: 2018年3月20日

课题:5.4 同角三角函数的基本关系(一) 【教学目标】 知识目标: 理解同角的三角函数基本关系式. 能力目标: ⑴已知一个三角函数值,会利用同角三角函数的基本关系式求其他的三角函数值; ⑵会利用同角三角函数式化简三角式. 情感目标: 通过公式的推导和应用,培养学生严谨规范的思维品质和分类讨论思想以及辩证唯物主义观点。 【教学重点】 同角的三角函数基本关系式的应用. 【教学难点】 应用平方关系求正弦或余弦值时,正负号的确定. 【教学设计】 (1)由实际问题引入知识,认识学习的必要性; (2)从特殊到一般,从特殊角的三角函数值之间的关系发现一般角三角函数值的关系,并利用已有的知识进行证明; (3)例题讲解——已知一个角的三角函数值求这个角的其他三角函数值; (4)在练习——讨论中深化、巩固知识,培养能力; (5)拓展应用,提升计算技能. 【教学备品】 教学课件、教学导案、超星平台. 【课时安排】 2课时.(90分钟) 【板书设计】

揭示课题 5.4同角三角函数的基本关系式 *构建问题 探寻解决 探究一: 设坡角(斜坡与水平面所成的角)为α,如果sin α=0.6,小明沿着斜坡走了10米,则他升高了多少米? 探究二: 设坡角(斜坡与水平面所成的角)为α,如果tan 0.75α=,小明沿着斜坡走了10 m,想知道升高了多少米,就需要求出坡角α的正弦值.这就需要研究同角三角函数之间的关系? 引入新知: 回忆以下几个特殊角的三角函数值,并计算,观察他们之间的关系,猜想他们之间的联系. 问题:从以上的过程中,你发现了什么一般规律? 同角三角函数的基本关系: 22sin cos 1αα+=,sin tan cos ααα= . 说明: 1、 2、一定是“同角”至于角的形式无关 3、是对“任意”一个角(使得函数有意义的前提下)关系式都成立. 提示:要灵活应用公式(正用、反用、变形) =+ 90cos 90sin 22=+ 30cos 30sin 22= 60cos 60sin = 45cos 45sin ()22 2sin sin sin ααα是并不是αα22sin 4+cos 4=1等;

同角三角函数基本关系教案

同角三角函数基本关系

1. 教学分析: 教材分析 同角三角函数基本关系式是学习三角函数定义后,安排的一节继续深入 学习的内容,三角函数值、化简三角函数式、证明三角恒等式的基本工具,是整个三角函数的基础,在教材中起承上启下的作用.同时,它体现的数学思想与方法在整个中学数学学习中起重要作用. 学情分析 学生从认知角度上看,已经比较熟练的掌握了三角函数定义.从方法上 看,学生已经对数形结合,猜想证明有所了解.从能力上看,学生主动学习能力、探究能力有待于提高. 2.教学目标 1.通过三角函数的定义导出同角三角函数基本关系式,并能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数的求值. 2.同角三角函数的基本关系式主要有两个方面的应用:(1)求值(知一求二); (2)证明三角恒等式.本节主要学习三角函数的求值,通过这节课学生应明了如何进行三角函数的求值. 3.通过同角三角函数关系的应用使学生养成探究、分析的习惯,提高三角恒等变形的能力,树立转化与化归的思想方法. 3.教学重点与难点 教学重点: 公式1cos sin 22=+αα及 ααα tan cos sin =的推导及运用. 教学难点:公式1cos sin 22=+αα及αα α tan cos sin =的推导,运用同角三角函 数基本关系求三角函数值. 4.教学基本流程 (1)情境引入:大家都听过一句话:南美洲亚马逊河雨林中的一只蝴蝶,偶尔 扇动几下翅膀,可能在两周后引起美国德克萨斯州的一场龙卷风.这就

是著名的“蝴蝶效应”, 两个似乎毫不相干的事物,却有着这样的联系.那么我们来看看前些天我们所学习的三角函数.在三个式子中有着“同一个角”其中的联系应该更为紧密! (2)回顾复习:三角函数定义、三角函数线 设任意角α的顶点在原点O ,始边与x 轴非负半轴重合,终边与单位圆相交与点 P (,)x y ,过P 作x 轴的垂线,垂足为M ;过点(1,0)A 作单位圆的切线,它与角α的终边或其反向延长线交与点T . y 叫做α的正弦,记做sin α,即 sin =y α x 叫做α的余弦,记做cos α,即 cos x α= 叫做α的正切,记做tan α,即 tan y x α= 我们就分别称有向线段MP 、OM 、AT 为正弦线、余弦线、正切线. 初中时我们学过以下两个公式: 2 2 sin cos 1αα+= sin tan cos α αα = 请同学们思考:这两个等式是否对任意角α都成立怎么证明,在三角函数中有什么作用 这就是本节课要学习的内容:同角三角函数基本关系. (3)新课: 如图:以正弦线MP ,余弦线OM 和半径OP 三者的长构成直角三角形,而且1OP =. x y

高中数学任意角的三角函数教案

§1.2.1 任意角的三角函数 教学目标 <一> 知识目标 1、掌握任意角的三角函数的定义。 2、已知角α终边上一点,会求角α的各三角函数值。 3、记住三角函数的定义域和诱导公式(一)。 <二> 能力目标 1、理解并掌握任意角的三角函数的定义。 2、树立映射观点,正确理解三角函数是以实数为自变量的函数。 3、通过对定义域,三角函数值的符号,诱导公式一的推导,提高学生分析、探究、解决问题的能力。 <三> 德育目标 1、使学生认识到事物之间是有联系的,三角函数就是角度(自变量)与比值(函数值)的一种联系方式。 2、学习转化的思想,培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神。 教学重难点 任意角的正弦、余弦、正切的定义 (包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号),以及这三种函数的第一组诱导公式。 教学过程 问题1:你能回忆一下初中里学过的锐角三角函数(正弦,余弦,正切)的定义吗? 锐角三角函数定义

问题2:在终边上移动点P的位置,这三个比值会改变吗? 在直角坐标系中,以原点O为圆心,以单位长度为半径的圆叫单位圆 即:锐角三角函数可以用单位圆上的点的坐标来表示 推广: 我们也可以利用单位圆定义任意角三角函数(正弦,余弦,正切) 任意角的三角函数定义: 设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),则: 正弦,余弦,正切都是以角为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数. (由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系,因此三角函数可以看成是自变量为实数的函数.)

所以三角函数可以记为: 我们把角X的正弦、余弦、正切统称为三角函数 问题3:如何求α角的三角函数值? 求α角的三角函数值即求α终边与单位圆交点的纵、横坐标或坐标的比值。例1: 解: 例2: 事实上: 三角函数也可定义为: 设α是一个任意角,它的终边经过点P(x,y),则

九年级数学下册特殊角的三角函数值学案无答案北师大版

A B C 广东省深圳市宝安实验中学九年级数学下册《特殊角的三角函数值》 学案北师大版 思维导图: 学习目标: 1.会探索推理得到30°,45°,60°角的三角函数值; 2.会进行含有30°,45°,60°角的三角函数值的计算; 3. 能根据30°,45°,60°角的三角函数值得出相应的锐角的度数。 一、前提补偿、自学展示 (一)基础回顾: 锐角三角函数的定义: tan A A A ∠ = ∠ 的对边 的邻边 ,sin A A ∠ = 的对边 斜边 ,cos A A ∠ = 的邻边 斜边 (二)尝试练习: 如图,Rt△ABC中,∠C= 90°,∠A= 30°,则BC与AB之间的数量关系是_______ 若BC=2,AB=4,则sinA=________,cosA=________,tanA=_______, sinB=________,cosB=________,tanB=_______。 二、达标导学 (一)知能点1:30°,45°,60°角的三角函数值求法。 1.活动内容:探索30°角的三角函数值 ①观察一副三角尺,其中有几个锐角?它们分别等于多少度? ②sin30°等于多少呢?你是怎样得到的?与同伴交流. ③cos30°等于多少?tan30°呢?

学生探讨、交流,得出 30°角的三角函数值。 2.我们求出了30°角的三个三角函数值,还有两个特殊角——45°、60°,它们的三角函数值分别是多少?你是如何得到的? 3.请学生完成下表 三角函数 度数 sin α co α tan α 30° 45° 60° 例1: (1)sin30°+cos45°; (2)sin 2 60°+cos 2 60°-tan45° [牛刀小试] 22 sin45°+sin60°-2cos45° [解题反思] (二) 知能点2:特殊三角函数值的实际应用 例2:一个小孩荡秋千,秋千链子的长度为2.5 m ,当秋千向两边摆动时,摆角恰好为60°,且两边的摆动角度相同,求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差。(结果精确到0.01 m)

高中数学同角三角函数的基本关系教案

同角三角函数的基本关系 教学目的: 知识目标:1.能根据三角函数的定义导出同角三角函数的基本关 系式及它们之间的联系; 2.熟练掌握已知一个角的三角函数值求其它三角函 数值的方法。 能力目标: 牢固掌握同角三角函数的两个关系式,并能灵活运用 于解题,提高学生分析、解决三角的思维能力; 教学重点:同角三角函数的基本关系式 教学难点:三角函数值的符号的确定,同角三角函数的基本关系式的变式应用 教学过程: 一、复习引入: 1.任意角的三角函数定义: 设角α是一个任意角,α终边上任意一点(,)P x y ,它与原点的距离为 (0)r r ==>,那么:sin y r α=,cos x r α=,tan y x α=, 2.当角α分别在不同的象限时,sin α、cos α、tg α的符号分别是怎样的? 3.背景:如果5 3sin =A ,A 为第一象限的角,如何求角A 的其它三角函数值; 4.问题:由于α的三角函数都是由x 、y 、r 表示的,则角α的三个三角函数之间有什么关系? 二、讲解新课:

(一)同角三角函数的基本关系式: (板书课题:同角的三角函数的基本关系) 1. 由三角函数的定义,我们可以得到以下关系: (1)商数关系:α ααcon sin tan = (2)平方关系:1sin 22=+ααcon 说明: ①注意“同角”,至于角的形式无关重要,如22sin 4cos 41αα+=等; ②注意这些关系式都是对于使它们有意义的角而言的,如 tan cot 1(,)2 k k Z πααα?=≠∈; ③对这些关系式不仅要牢固掌握,还要能灵活运用(正用、反用、 变形用),如: cos α= 22sin 1cos αα=-, sin cos tan ααα =等。 2.例题分析: 一、求值问题 例1.(1)已知12sin 13α= ,并且α是第二象限角,求cos ,tan ,cot ααα. (2)已知4 cos 5α=-,求sin ,tan αα. 解:(1)∵22sin cos 1αα+=, ∴2222125cos 1sin 1()()1313 αα=-=-= 又∵α是第二象限角, ∴cos 0α<,即有5cos 13 α=-,从而 sin 12tan cos 5ααα==-, 15cot tan 12αα==- (2)∵22sin cos 1αα+=, ∴222243sin 1cos 1()()55αα=-=--=, 又∵4cos 05α=-<, ∴α在第二或三象限角。 当α在第二象限时,即有sin 0α>,从而3sin 5 α=,sin 3tan cos 4 ααα==-; 当α在第四象限时,即有sin 0α<,从而3sin 5α=-,sin 3tan cos 4ααα==. 总结: 1. 已知一个角的某一个三角函数值,便可运用基本关系式求出其它 三角函数值。在求值中,确定角的终边位置是关键和必要的。有时,由于角的终边位置的不确定,因此解的情况不止一种。

(精心整理)同角三角函数基本关系式练习题

任意角的三角函数 1.已知sin α=45 ,且α为第二象限角,那么tan α的值等于 ( ) (A)3 4 (B)43 - (C)4 3 (D)4 3- 2.若θ是第三象限角,且02 cos <θ,则2 θ是 ( ) A .第一象限角 B .第二象限角 C .第三象限角 D .第四象限 3.设是第二象限角,则sin cos αα ( ) (A) 1 (B)tan 2α (C) - tan 2α (D) 1- 4.若tan θ=3 1,π<θ<32 π,则sin θ·cos θ的值为 ( ) (A)±3 10 (B) 3 10 5 若α 是三角形的一个内角,且sin α+cos α=3 2 ,则三角形为 ( ) (A) 钝角三角形 (B)锐角三角形 (C)直角三角形 (D)等腰三角形 6.已知α的终边经过P (ππ6 5cos ,6 5sin ),则α可能是 ( ) A .π6 5 B . 6 π C .3 π- D .3 π 7.如果).cos(|cos |π+-=x x 则x 的取值范围是 ( ) A .)(] 22 ,22 [Z k k k ∈++-ππππ B .)() 22 3,22 (Z k k k ∈++ππππ C .)(] 22 3,22 [Z k k k ∈++ππππ D .)()2,2(Z k k k ∈++-ππππ 8.1tan sin )(++=x b x a x f ,满足.7)5(=f 则)5(-f 的值为 ( ) A .5 B .-5 C .6 D .-6 9. 扇形的周期是16,圆心角是2弧度,则扇形面积是______________

《任意角的三角函数一》 教案苏教版

数学:1.2.1《任意角的三角函数(一)》教案(苏教版必修4) 第 3 课时:§1.2.1 任意角的三角函数(一) 【三维目标】: 一、知识与技能 1.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义; 2.掌握正弦、余弦、正切函数的定义域和这三种函数的值在各象限的符号。 3.树立映射观点,正确理解三角函数是以实数为自变量的函数; 二、过程与方法 1.通过网络载体,利用几何画板的直观演示,培养学生主动探索、善于发现的创新意识和创新精神; 2.在学习过程中通过相互讨论培养学生的团结协作精神; 3.通过学生积极参与知识的"发现"与"形成"的过程,培养合情猜测的能力,从中感悟数学概念的严谨性与科学性。 三、情感、态度与价值观 1.使学生认识到事物之间是有联系的,三角函数就是角度(自变量)与比值(函数值)的一种联系方式; 2.学习转化的思想,培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神;

3.让学生在任意角三角函数概念的形成过程中,体会函数思想,体会数形结合思想。 【教学重点与难点】: 重点:任意角三角函数的定义(包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号)。 难点:任意角的三角函数概念的建构过程 【学法与教学用具】: 1. 学法: 2. 教学用具:多媒体、实物投影仪. 3. 教学模式:启发、诱导发现教学. 【授课类型】:新授课 【课时安排】:1课时 【教学思路】: 一、创设情景,揭示课题 用与用坐标均可表示圆周上点,那么,这两种表示有什么内在的联系?确切地说, ● 用怎样的数学模型刻画与之间的关系? 二、研探新知 1.三角函数的定义 【提问】:初中锐角的三角函数是如何定义的? 在平面直角坐标系中,设的终边上任意一点的坐标是,它与原点的距离是。当为锐角时,过作轴,垂足为,在中,,,

苏教版必修四3.2《二倍角的三角函数》word学案

一、学习目标 1、让学生自己由和角公式而导出倍角公式,了解它们的内在联系; 2、会利用倍角公式进行求值运算,培养运算和逻辑推理能力; 3、领会从一般化归为特殊的数学思想,体会公式所蕴涵的和谐美,激发学生学数学的兴趣。 二、学习重点 倍角公式的形成,及公式的变形形式的运用。 三、学习难点 倍角公式的形成,及公式的变形形式的运用。 四、学习过程 问题1:两角和与差的正弦、余弦、正切公式是什么? 问题2:若β=α,结果会如何,你能得出什么结论? α2S : α2C : α2T : 问题3:你能利用同角三角函数公式对α2C 进行变形吗? 总结:公式α2S 、α2C 、α2T 叫做 ,简称 。 注意:(1)这里的“倍角”,实际上专指“二倍角”,遇到“三倍角”等名称时,“三”字等不能省去。 (2)倍角公式是和角公式的特例。 (3)倍角公式中的“倍角”的意义是相对的,如:4α是8α 的二倍角。 (4)倍角公式的公式特征:“倍角”与“二次”的关系。 试一试:不查表,求值: (1)sin 2230cos 2230''?= ; (2)=-π18cos 22 ; (3)=π-π8 cos 8sin 22 ;(4)= 40cos 20cos 10sin 。 例1:已知)0,2 (135cos παα-∈=且,求sin 2α,cos 2α,tan 2α的值。

例2:化简απ απ α222sin )3(cos )3(cos -++-。 例3:证明下列恒等式 (1)θθθθθtan 2cos 2sin 12cos 2sin 1=++-+; (2)1)10tan 3(40sin =- 。 例4:求函数2sin (sin cos )y x x x =+的最小正周期,以及最值。 例5:在半圆形钢板上截取一块矩形材料,怎样截取使这个矩形面积最大? 五、巩固练习 1、化简(1; (2; (3; (4。

同角三角函数的基本关系教案

同角三角函数的基本关系 东宁县绥阳中学 教学目的: 知识目标:1.能根据三角函数的定义导出同角三角函数的基本关 系式及它们之间的联系; 2.熟练掌握已知一个角的三角函数值求其它三角函 数值的方法。 能力目标: 牢固掌握同角三角函数的两个关系式,并能灵活运用 于解题,提高学生分析、解决三角的思维能力; 教学重点:同角三角函数的基本关系式 教学难点:三角函数值的符号的确定,同角三角函数的基本关系式的变式应用 教学过程: 一、复习引入: 1.任意角的三角函数定义: 设角α是一个任意角,α终边上任意一点(,)P x y ,它与原点的距离为 (0)r r ==>,那么:sin y r α=,cos x r α=,tan y x α=, 2.当角α分别在不同的象限时,sin α、cos α、tg α的符号分别是怎样的? 3.背景:如果5 3sin =A ,A 为第一象限的角,如何求角A 的其它三角函数值; 4.问题:由于α的三角函数都是由x 、y 、r 表示的,则角α的三个三角函数之间有什么关系? 二、讲解新课: (一)同角三角函数的基本关系式:

(板书课题:同角的三角函数的基本关系) 1. 由三角函数的定义,我们可以得到以下关系: (1)商数关系:α ααcon sin tan = (2)平方关系:1sin 22=+ααcon 说明: ①注意“同角”,至于角的形式无关重要,如22sin 4cos 41αα+=等; ②注意这些关系式都是对于使它们有意义的角而言的,如 tan cot 1(,)2 k k Z πααα?=≠∈; ③对这些关系式不仅要牢固掌握,还要能灵活运用(正用、反用、 变形用),如: cos α= 22sin 1cos αα=-, sin cos tan ααα =等。 2.例题分析: 一、求值问题 例1.(1)已知12sin 13α= ,并且α是第二象限角,求cos ,tan ,cot ααα. (2)已知4 cos 5α=-,求sin ,tan αα. 解:(1)∵22sin cos 1αα+=, ∴2222125cos 1sin 1()()1313 αα=-=-= 又∵α是第二象限角, ∴cos 0α<,即有5cos 13 α=- ,从而 sin 12tan cos 5ααα==-, 15cot tan 12αα==- (2)∵22sin cos 1αα+=, ∴222243sin 1cos 1()()55αα=-=--=, 又∵4cos 05α=-<, ∴α在第二或三象限角。 当α在第二象限时,即有sin 0α>,从而3sin 5 α=,sin 3tan cos 4 ααα==-; 当α在第四象限时,即有sin 0α<,从而3sin 5α=-,sin 3tan cos 4ααα==. 总结: 1. 已知一个角的某一个三角函数值,便可运用基本关系式求出其它三角函数值。在求值中,确定角的终边位置是关键和必要的。有时,由于角的终边位置的不确定,因此解的情况不止一种。 2. 解题时产生遗漏的主要原因是:①没有确定好或不去确定角的终边位置;②利用平方关系开平方时,漏掉了负的平方根。 例2.已知tan α为非零实数,用tan α表示sin ,cos αα.

任意角的三角函数教学设计

《任意角的三角函数》第一课时教学设计 会宁县第二中学数学教研组曹蕊 一、教学内容分析 本节课是三角函数这一章里最重要的一节课,它是本章的基础,主要是从通过问题引导学生自主探究任意角的三角函数的生成过程,从而很好理解任意角的三角函数的定义。在《课程标准》中:三角函数是基本初等函数,它是描述周期现象的重要数学模型,在数学和其他领域中具有重要的作用。《课程标准》还要求我们借助单位圆去理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义。二、学生情况分析 本课时研究的是任意角的三角函数,学生在初中阶段曾经研究过锐角三角函数,其研究范围是锐角;其研究方法是几何的,没有坐标系的参与;其研究目的是为解直角三角形服务。以上三点都是与本课时不同的,因此在教学过程中要发展学生的已有认知经验,发挥其正迁移。 三、教学目标 知识与技能目标:借助单位圆理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义;能根据任意角的三角函数的定义求出具体的角的各三角函数值;能根据定义探究出三角函数值在各个象限的符号。 方法与过程目标:在定义的学习及概念同化和精致的过程中培养学生类比、分析以及研究问题的能力。 情感态度与价值观: 在定义的学习过程中渗透数形结合的思想。 四、教学重、难点分析: 重点:理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义。 难点:引导学生将任意角的三角函数的定义同化,帮助学生真正理解定义。 五、教学方法与策略: 教学中注意用新课程理念处理教材,采用学生自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学,师生互动,教师发挥组织者、引导者、合作者的作用,引导学生主体参与、揭示本质、经历过程. 根据本节课内容、高一学生认知特点,本节课采用“启发探索、讲练结合”的方法组织教学. 六、教具、教学媒体准备: 为了加强学生对三角函数定义的理解,帮助学生克服在理解定义过程中可能遇到的障碍,本节课准备在计算机的支持下,利用几何画板动态地研究任意角与其终边和单位圆交点坐标的关系,构建有利于学生建立概念的“多元联系表示”的教学情境,使学生能够更好地数形结合地进行思维. 七、教学过程 (一)教学情景 1.复习锐角三角函数的定义 问题1:在初中,我们已经学过锐角三角函数.如图1(课件中)在直角△POM中,∠M是直角,那么根据锐角三角函数的定义,∠O的正弦、余弦和正切分别是什么?

《三角函数的诱导公式》(学案)

三角函数的诱导公式(第1课时)(学案) 一.教学目标 1.知识与技能 (1)能够借助三角函数的定义推导三角函数的诱导公式。 (2)能够运用诱导公式,把任意角的三角函数的化简、求值问题转化为锐角三角函数的化简、求值问题。 2.过程与方法 (1)经历由几何直观探讨数量关系式的过程,培养学生数学发现能力和概括能力。 (2)通过对诱导公式的探求和运用,提高学生分析问题和解决问题的能力。 3.情感、态度、价值观 (1)通过对诱导公式的探求,培养学生的探索能力、钻研精神和科学态度。 (2)在诱导公式的探求过程中,运用合作学习的方式进行,培养学生团结协作的精神。 二.教学重点与难点 教学重点:探求π-α的诱导公式。π+α与-α的诱导公式在小结π-α的诱导公式发现过程的基础上,教师引导学生推出。 教学难点:π+α,-α与角α终边位置的几何关系,发现由终边位置关系导致(与单位圆交点)的坐标关系,运用任意角三角函数的定义导出诱导公式的“研究路线图”。 三.教学方法与教学手段 问题教学法、合作学习法,结合多媒体课件 四.教学过程 角的概念已经由锐角扩充到了任意角,前面已经学习过任意角的三角函数,那么任意角的三角函数值.怎么求呢? (一)情境创设及问题提出 如何将任意角三角函数求值问题转化为0°~360°角三角函数 求值问题。 【情境创设】摩天轮旋转一周(比如如图30°角的位置)后又会 回到原位,你能否从数学角度或者用数学学语言来刻画一下什么是 “回到原位”?摩天轮旋转一周后,发生变化和没有变化的量分别 是什么?它们之间有何关系?从中你能得到什么结论? 一般地,由三角函数的定义可以知道,终边相同的角的同一三 角函数值__________,三角函数看重的就是终边位置关系。即有: (二)尝试推导 如何利用对称推导出角π-α与角α的三角函数之间的关系。 【问题2】你能找出和30°角正弦值相等,但终边不同的角吗? 角与角α的终边关于y轴对称,有:

《解直角三角形复习一》学案

《解直角三角形(一)》学案 学习目标: 1、 理解三角函数的有关概念,掌握特殊角的三角函数值; 2、 弄清解直角三角形的含义,掌握直角三角形中的边角关系,会应用这些关系解直角三角形; 3、 能够利用构造直角三角形的方法解决求角度和线段长度的问题; 4、 在弄清基本概念、基础知识、基本题型的同时,不断归纳数学思想和方法,进一步深刻理解数形结合、转化在数学学习中的作用。 一、知识点归纳 1、锐角α的三角函数定义: ∠α的正弦:sin α= ∠α的余弦:cos α= ∠α的正切:tan α= 思考:根据三角函数的定义,你能正确填空吗你是怎样得到的 ① <sin α< ② <cos α< “ ③ <tan α< ④sin α+ cos α 1 ⑤tan α sin α(填“<”或“>”) ②观察表格,猜想:随着∠α的增大,sin α ;cos α ; tan α 。(填增大或减小) 3、由直角三角形中的已知元素(边和角),求出其它所有未知元素的过程,叫 做 。其主要依据如下: ⑴边的关系: ; ⑵角的关系: ; ⑶边角之间的三角函数关系: SinA= cosA= tanA= SinB= cosB= tanB= 思考:解直角三角形有哪几种基本类型在练习本上列举出来,并进行口头解答。 二、热点示例与题组练习 目标1、特殊角三角函数值 题组一 1、已知∠A 为锐角,且sinA= 23,则sin 2 A = . 2、计算:0 030 60sin cos -tan450 的值是 。 3、若tan α= 3 1 tan600,则α的度数是 。 4、在△ABC 中,若-+A B cos 21 -(sin 2 3)2=0,则∠C 的度数是 。 目标2、解直角三角形 题组二 在Rt △ABC 中,∠C=90° ①已知 a=23,b=2,则∠A= ; ②已知a=10, ∠B=600,则C = 。 ③已知BC=6cm,sinA=5 3 ,则AB 的长是 cm 。 ④已知cosB=5 3 ,则tanA= ; 题组三 1、如图,在△ABC 中,∠C=90°,BD 是∠ABC 的平分线,BD=63,BC=9,求 AC 的长。 c b a C B A c a C B A D A B C

同角三角函数基本关系式与诱导公式教案

第11讲 同角三角函数基本关系式与诱导公式<■概述

理解同角三角函数的基本关系式:sin2x+ cos2x= 1, 沁二tan x;应用诱导公教学重点C0S X 式,重点是函数名称”与正负号”的正确判断 I I 理解同角三角函数的基本关系式:sin2x+ cos2x= 1, 沁二tan x;应用诱导公教学难点C0s x 式,重点是函数名称”与正负号”的正确判断 !■■■■■■ ■■■■■■■ 【教学建议】 本节课是在学生掌握了任意角的三角函数的定义单位圆及三角函数线,三角函数值在各象限的符号等 知识点的基础上进行的?同角三角函数的基本关系式是三角函数的模块的重点之一也是历年高考考查的热 点,为三角函数的求值、关系式的化简、恒等式的证明等提供了知识基础,同时也初步向学生渗透三角函 数与代数结合辩证分析的基本思想和方法? 【知识导图】

1—1 求値问题■教学过程 一、导入 [考情展望] 1?利用同角三角函数的基本关系求三角函数值? 2?借助诱导公式化简三角函数式,进而求三角函数值

、知识讲解 知识点1 ?同角三角函数关系 1 .平方关系:Sin2a+ COS2a= 1 sin a n 2.商数关系:tan a= COS—(a亏+ k n k€ Z) cos a 2 知识点2诱导公式 [方法技巧] 诱导公式记忆口诀 对于角k n±a^ k^ Z)的三角函数记忆口诀奇变偶不变,符号看象限”奇变偶不变”是指当k为奇数时,正 弦变余弦,余弦变正弦;当k为偶数时,函数名不变” ?符号看象限”是指在a的三角函数值前面加上当a 为锐角时,原函数值的符号”.

同角三角函数的基本关系式

同角三角函数的基本关系式 倒数关系: 商的关系: 平方关系: tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 sinα/cosα=tanα=secα/cscα cosα/sinα=cotα=cscα/secα sin2α+cos2α=1 1+tan2α=sec2α 1+cot2α=csc2α 诱导公式 sin(-α)=-sinα cos(-α)=cosαtan(-α)=-tanαcot(-α)=-cotα sin(π/2-α)=cosα cos(π/2-α)=sinα tan(π/2-α)=cotα cot(π/2-α)=tanα sin(π/2+α)=cosα cos(π/2+α)=-sinα tan(π/2+α)=-cotα cot(π/2+α)=-tanα sin(π-α)=sinα cos(π-α)=-cosα tan(π-α)=-tanα cot(π-α)=-cotα sin(π+α)=-sinα cos(π+α)=-cosα tan(π+α)=tanα cot(π+α)=cotα sin(3π/2-α)=-cosα cos(3π/2-α)=-sinα tan(3π/2-α)=cotα cot(3π/2-α)=tanα sin(3π/2+α)=-cosα

cos(3π/2+α)=sinα tan(3π/2+α)=-cotα cot(3π/2+α)=-tanα sin(2π-α)=-sinα cos(2π-α)=cosα tan(2π-α)=-tanα cot(2π-α)=-cotα sin(2kπ+α)=sinα cos(2kπ+α)=cosα tan(2kπ+α)=tanα cot(2kπ+α)=cotα (其中k∈Z) 两角和与差的三角函数公式 万能公式 sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβsin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβcos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβcos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ tanα+tanβ tan(α+β)=—————— 1-tanα·tanβ tanα-tanβ tan(α-β)=—————— 1+tanα·tanβ 2tan(α/2) sinα=—————— 1+tan2(α/2) 1-tan2(α/2) cosα=—————— 1+tan2(α/2) 2tan(α/2) tanα=—————— 1-tan2(α/2) 半角的正弦、余弦和正切公式 三角函数的降幂公式

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