《概率论与数理统计》习题及答案
第 三 章
1．掷一枚非均质的硬币，出现正面的概率为p (01)p <<，若以X 表示直至掷到正、反面都出现时为止所需投掷次数，求X 的分布列。
解 ()X k =表示事件：前1k -次出现正面，第k 次出现反面，或前1k -次出现反面，第k 次出现正面，所以 1
1
()(1)(1)
,
2,3,.k k P X k p
p p p k --==-+-=
2．袋中有b 个黑球a 个白球，从袋中任意取出r 个球，求r 个球中黑球个数X 的分布列。
解 从a b +个球中任取r 个球共有r
a b C +种取法，r 个球中有k 个黑球的取法有k
r k
b a
C C -，所以X 的分布列为
()k
r k
b a
r a b
C C P X k C -+==
，m a x (0,),m a x (0,)1,,m in (,)k r a r a b r =--+ ，
此乃因为，如果r a <，则r 个球中可以全是白球，没有黑球，即0k =；如果r a >则r 个球中至少有r a -个黑球，此时k 应从r a -开始。
3．一实习生用一台机器接连生产了三个同种零件，第i 个零件是不合格品的概率1(1,2,3)1
i p i i ==+，以X 表示三个零件中合格品的个数，求X 的分布
列。
解 设i A =‘第i 个零件是合格品’1,2,3i =。则 1231111
(0)()23424
P X P A A A ===
??=， 123123123(1)()P X P A A A A A A A A A ==++ 123123123()()()P A A A P A A A P A A A =++ 1111211136
23423423424
=
??+??+??=， 123123123(2)()P X P A A A A A A A A A ==++ 123123123()()()P A A A P A A A P A A A =++ 12111312311
23423423424
=
?
?+???+??=，
1231236(3)()2
3
4
24
P X P A A A ===?
?
=
.
即X 的分布列为
0123
1611624
24
24
24
X
P
. 4．一汽车沿一街道行驶，需通过三个设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立，且每一信号灯红绿两种信号显示的概率均为
12
，以X 表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数，求X 的概率
分布。
解 (0)P X P ==(第一个路口即为红灯)12
=
,
(1)P X P ==(第一个路口为绿灯，第二个路口为红灯)111224
=?=，
依此类推，得X 的分布列为
012311112
4
8
8
X
P
. 5．将一枚硬币连掷n 次，以X 表示这n 次中出现正面的次数，求X 的分布列。
解 X 为n 重贝努里试验中成功出现的次数，故1~(,)2
X B n ，X 的分布
列为
1()2n
k
n
P X k C ??
== ???
0,1,
,k n =
6．一电话交换台每分钟接到的呼叫次数服从参数为4的泊松分布，求（1）每分钟恰有8次呼叫的概率；（2）每分钟的呼叫次数大于10的概率。 解 设X 为每分钟接到的呼叫次数，则~(4)X P （1）8
4
4
4
84
4
4
(8)0.29778!
!
!
k k
k k q
P X e
e
e
k k ∞
∞
---====
=
-
=∑
∑
（2）4
11
4
(10)0.00284.!
k
k P X e
k ∞
-=>=
=∑
7．某商店每月销售某种商品的数量服从参数为5的泊松分布，问在月初至
少库存多少此种商品，才能保证当月不脱销的概率为0.99977以上。 解 设X 为该商品的销售量，N 为库存量，由题意
5
1
1
5
0.99977()1()1()1!
k
K N K N P X N P X N P X K e
k ∞
∞
-=+=+≤≤=->=-==-
∑
∑
即
5
1
5
0.00023
!
K
K N e
k ∞
-=+≤∑
查泊松分布表知115N +=，故月初要库存14件以上，才能保证当月不脱销的概率在0.99977以上。
8．已知离散型随机变量X 的分布列为：(1)0.2,(2)0.3P X P X ====，
(3)0.5P X ==，试写出X 的分布函数。
解 X 的分布列为
1230.2
0.3
0.5
X P
所以X 的分布函数为
0,1,0.2,
12,()0.5,23,1, 3.
x x F x x x
≤
≤
9．设随机变量X 的概率密度为 sin ,
0,()0
,
c x x f x π<
?其他.
求：（1）常数C ；（2）使()()P X a P X a >=<成立的a . 解 （1）0
1()sin co s 2f x d x c xd x c x
c π
π
+∞
-∞
=
==-=?
?
，12
c =；
（2）1111()sin c o s c o s 2222a
a P X a x d x x a π
π
>==-=+?， 0
1111()s in c o s c o s ,2
2
2
2
a a P X a x d x x
a <=
=-
=
-?
可见 co s 0a =， 2
a π
∴
=
。
10．设随机变量X 的分布函数为 ()a r c t a n F x A B x =+
，x -∞<+∞，
求：（1）系数A 与B ；（2）(11)P X -<≤；（3）X 的概率密度。
解 （1）由分布函数的性质
0()2
1()2
F A B F A B ππ?
=-∞=-?????=+∞=+???
于是 12
A =
，1
B π
=
，所以X 的分布函数为
11
()a rc ta n 2F x x π
=
+ x
-∞<<+∞， （2）11111(11)(1)(1)(
)24
24
2
P X F F π
π
ππ
-<≤=--=+?
--?
=
；
（3）X 的概率密度为
2
1
()()(1)
f x F x x π'==
+， x -∞<<+∞
. 11．已知随机变量X 的概率密度为
||
1()2x f x e
-=
，x -∞<<+∞.
求X 的分布函数. 解
00
1
,
0,
2
()()11,0,
2
2
x
u
x
x
x
u
e d u x F x
f u d u e d x e
d u x -∞
-∞
--∞
?≤??=
=?
?+
>??
?
?
??
1,0,
2
11,0.
2
x
x e x e x -?≤??=?
?->??
12．设随机变量X 的概率密度为
,
01,()2,
12,0,
x x f x x x ≤
=-≤
?其他.
求X 的分布函数.
解 ()f x 的图形为 X 的分布函数为
()()x
F x f u d u -∞
=
?
01
1
0,
0,,
01,
(2),
12,
1, 2.x
x
x u d u x x d x u d u x x
?+
-≤
?
??
22
0,0,,
01,
2
21,12,21,
2.
x x x x x x x
?-+-≤
≥?
13．设电子管寿命X 的概率密度为
2100,
100,()0,100.
x x
f x x ?>?=??≤?
若一架收音机上装有三个这种管子，求（1）使用的最初150小时内，至少有两个电了管被烧坏的概率；（2）在使用的最初150小时内烧坏的电子管数Y 的分布列；（3）Y 的分布函数。
解 Y 为在使用的最初150小时内烧坏的电子管数，~(3,)Y B p ，其中 150
2
100
1001(150)3
p P X d x x
=≤=
=
?
，
（1）所求概率为2
3
2
3121(2)(2)(3)333P Y P Y P Y C ????≥==+==?+ ? ?????
727
=
；
（2）Y 的分布列为3312()33k k
k
P Y k C -????== ? ?????
，0,1,2,3,k =
即
01238126127
27
27
27
Y
P
.
（3）Y 的分布函数为
0,0,8,
012720(),
12,2726,
23,27
1,
3.
x x F x x x x
=≤
??≤
14．设随机变量X 的概率密度为 2,01,()0,
.
x x f x <
?其他
现对X 进行n 次独立重复观测，以n V 表示观测值不大于0.1的观测次数，试求随机变量n V 的概率分布。
解 ~(,)n V B n p ，其中
0.1
(0.1)20.01p P X x d x =≤==?
，
所以n V 的概率分布列为
()(0.01)(0.99),0,
k k n k
n n P V k C k n -===
. 15．设随机变量~[1,6]X U ，求方程2
10x X x ++=有实根的概率. 解 设A =‘方程有实根’，则
A 发生2
40X ?-≥ 即 ||2X ≥，因~[1,6]X U ，所以 A 发生2,X ?> 所以
624()(2)0.861
5
P A P X -=>=
==-.
16．设随机变量~[2,5]X U ，现对X 进行3次独立观测，试求至少有两次观测值大于3的概率.
解 设Y 为三次观测中，观测值大于3的观测次数，则~(3,)Y B p ，其中 532(3)52
3
p P X -=>==
-，
所求概率为
2
3
2321220(2)(2)(3)33327P Y P Y P Y C ????
??≥==+==+=
? ? ???????
.
17．设顾客在某银行窗口等待服务的时间X （单位：分），服从参数为
15
的
指数分布。若等待时间超过10分钟，则他就离开。设他一个月内要来银行5次，以Y 表示一个月内他没有等到服务而离开窗口的次数，求Y 的分布列及
(1)P Y ≥。
解 由题意~(5,)Y B p ，其中 2
5
5
10
10
1(10)5
x x p P X e d x e e
+∞
-
-
+∞
-=>==-=?
，
于是Y 的分布为
2255()()(1)
0,1,2,3,4,5,
k k k P Y k C e e k ---==-=
2
5
(1)1(0)1(1)0.5167P Y P Y e -≥=-==--≈.
18．一大型设备在任何长为t 的时间内发生故障的次数()N t 服从参数为t λ的泊松分布。（1）求相继两次故障之间时间间隔T 的概率分布；（2）求在设备已经无故障工作了8小时的情况下，再无故障运行8小时的概率。 解 （1）设T 的分布函数为()T F t ，则 ()()1()T F t P T t P T t =≤=->
事件()T t >表示两次故障的间隔时间超过t ，也就是说在时间t 内没有发生故障，故()0N t =，于是
()()1()1(()0)11,00!
t
t
T t F t P T t P N t e
e
t λλλ--=->=-==-
=->，
可见，T 的分布函数为
1,0,()0
,
0.
t
T e t F t t λ-?->=?
≤?
即T 服从参数为λ的指数分布。 （2）所求概率为
1688{16,8}
(16)(16|8)(8)
(8)
P T T P T e
P T T e
P T P e
λλ
λ
--->>>>>=
=
=
=>>.
19．设随机变量2
~(108,3)X N 。求
（1）(101.1117.6)P X <<；（2）常数a ，使()0.90P X a <=； （3）常数a ，使(||)0.01P X a a ->=。 解 （1）117.6108
101.1108
(101.1117.6)(
)(
)3
3
P X --<<=Φ-Φ
(32)(23)(32)(23)1=Φ?-Φ-?=Φ?+Φ?-
0.99930.989310.9886=+-=； （2）108
0.90()()3
a P X a -=<=Φ，查表知
108
1.283
a -=，所以111.84a =；
（3）0.01(||)1(||)1(02)P X a a P X a a P X a =->=--≤=-<≤ 2108
1(),3
a -=-Φ
所以 2108
(
)0.993
a -Φ=， 查正态分布表知
2108
2.333
a -=，
故 57.495a =。
20．设随机变量2
~(2,)X N σ，且(24)0.3P X <<=，求(0)P X <。 解 42
0.3(24)()(0)P X σ
-=<<=Φ-Φ，
所以 2(
)0.8σ
Φ=
，
02
2
2
(0)(
)()1(
)0.2P X σσσ
-<=Φ=Φ-
=-Φ=。
21．某地抽样结果表明，考生的外语成绩X （百分制）近似服从正态分布，平均成绩（即参数μ之值）为72分，96分以上的占考生总数的2.3%，试求考生的外语成绩在60分至84分之间的概率。
解 9672
24
0.023(96)1
()1
(
)
P X σ
σ
-=
>=-Φ=
-Φ
24
24
12
(
)0.977,
2,
1.σ
σ
σ
∴Φ===
所求概率为
8472
60
721212
(6084)()
(
)
()
()
P X σ
σ
σ
σ
--<<
=Φ
-Φ=Φ-Φ-
12
2(
)120.841310.6826.σ
=Φ-=?-=
22．假设测量的随机误差2
~(0,10)X N ，试求在100次重复测量中，至少有三次测量误差的绝对值大于19.6的概率α，并利用泊松分布求出α的近似值。
解 设Y 为误差的绝对值大于19.6的测量次数，则~(100,)Y B p ，其中 (||19.6)1(19.619.6)1
(1.96)p P X P X =≥=--<≤=-Φ+Φ-
22(1.96)22
0.975=-Φ=-?=，
所求概率为
100
1001003
(3)(0.05)(0.95)
,k k k
k P Y C α-==≥=
∑
利用泊松定理
100
5
3
5
0.875!
k
k e
k α-=≈
=∑
.
23．在电源电压不超过200V ，在200240V -和超过240V 三种情况下，某种电子元件，损坏的概率分别为0.1，0.001和0.2，假设电源电压X 服从正态分布2
(220,25)N ，试求：（1）该电子元件损坏的概率α；（2）该电子元件损坏时，电源电压在200-240V 的概率β。
解 设A =‘电子元件损坏’，i B =‘电源电压在第i 档’，1,2,3i =，则 （1）112233()()(|)()(|)()(|)P A P B P A B P B P A B P B P A B α==++ (200)0.1(200240)0.001(240)0.2P X P X P X =≤?+<≤?+>? 200220
240220
200220
(
)0.1[(
)(
)]0.00125
25
25
---=Φ?+Φ-Φ?
240220
[1()]0.225
-+-Φ? 20202020()0.1[(
)()]0.001[(1(
)]0.225
2525
25
=Φ-
?+Φ-Φ-
?+-Φ?
(10.7881)0.1(20.78811)0.001(10.7881)0.2=-?+?-?+-? 0.0641= （2）222()(|)
0.005756(|)0.08980.0641
0.0641
P B P A B P B A β==
=
=.
24．假设随机变量X 的绝对值不大于1；11(1),(1)8
4
P X P X =-=
==
，
在事件{11}X -<<出现的条件下，X 在(1,1)-内任意子区间上取值的概率与该子区间的长度成正比。试求：（1）X 的分布函数；（2）X 取负值的概率P . 解1 设X 的分布函数为()F x ，则 当 1x <-时，()0F x =，且1(1)8
F -=，
当 1x ≥时，()1F x =，
115(11)18
4
8
P X -<<=-
-
=
，
当 11x -<<时，由题意
{1|11}(1)P X x X k x -<≤-<<=+， 而
1{11|11}2P X X k =-<<-<<=， 所以 12
k =
。于是
1{1|11},2
x P X x X +-<≤-<<=
此时
(){1}(1)F x P X x F =-<≤+- 1{1,11}8
P X x X =-<≤-<<+
1{11}(1|11}8
P X P X x X =-<
5115782
816
x x ++=
?+=，
故X 的分布函数为
0,1,57
(),
11,16
1
, 1.
x x F x x x <-??
+?=-≤
解2 设X 的分布函数为()F x ，则
当 1x <-时，()0F x = 且 1(1)8
F -=
当 1x ≥时，()1F x =，
当11x -<<时，设,(1,1)x x x +?∈-，且0x ?>，由题意 (|11)P x X x x X k x <≤+?-<<=?， 即 (,11)
,(11)
P x X x x X k x P X <≤+?-<<=?-<<
由此得
5()8P x X x x k x <≤+?=?，
两边同除以x ?得
()()
5,8
F x x F x k x +?-=
?
令0x ?→取极限得 5(),8
F x k '=
两边积分得 5()8
F x k x C =+，
由1(1)8
F -=
及10
3lim ()4
x F x →-=
得
1
588
354
8k C k C ?=-+????=+??
解之得 71,16
2
C k =
=
故
5757()16
16
16
x x F x +=
+
=
，11x -<<
综上所述，X 的分布函数为
0,1,57
(),
11,16
1
, 1.
x x F x x x <-?
?
+?=-≤
P X F P X <=-==
25．已知离散型随机变量X 的分布列为
210131111115
6
5
15
30
X
P
-- 求2
Y X =的分布列.
解
Y 的分布列为
0149171115
30
5
30
Y
P
. 26．设随机变量X 的概率密度为
,
0,()0,
0.
x
X e x f x x -?≥=?
求X
Y e =的概率密度()Y f y
解1 当0x >时函数x
y e =单调增，反函数为()ln x h y y ==，于是X
Y e =的概率密度为
ln 21
1
,1,,1,
()(())|()|0, 1.0, 1.
y Y X y e
y y y f y f h y h y y y -??≥?≥??'===?
???≤
?
解2 设Y 的分布函数为()Y F y ，则 0,1,()()()(ln ),
1
X
Y y F y P Y y P e
y P X y y
=≤=≤=?
≤≥?
ln 00
,1,
,1,y
x y e d x y -
?
=?
≥??
?ln 0
0,
1,,
1.
y x y e y -
ln 0
,1,0,1,
1
1, 1.
1, 1.y
y y y e
y y -
?==??-≥-≥??
?
21,
1,()()0, 1.
Y Y y y
f y F y y ?≥?'==??
27．设随机变量X 的概率密度为 2
1
(),
(1)
X f x x x π=-∞<<∞+
求随机变量1Y =-
()Y f y
解1 函数1y =-3
()(1)x h y y ==-，则
2
6
3(1)
()(())|()|,
.(1(1))
Y X y f y f h y h y y y π-'==
-∞<<+∞+-
解2 设Y 的分布函数为()Y F y ，则
3
()()(1)1)1((1))
Y F y P Y y P y P y P X y =≤=-
=≥-=-≤-
3
1{(1)}X F y =--， 所以
2
3
2
6
3(1)
()((1))3(1),
(1(1))
Y X y f y f y y y y π-=-?-=
-∞<<+∞+-。
28．设~(0,1)X U ，求（1）X
Y e =的概率密度；（2）2ln Y X =-的概率密度。
解 X 的密度为 1,01,()0,
X x f x <
?其它.
（1）x
y e =在(0,1)上单调增，反函数为()ln h y y =，所以Y 的密度为
1
,
1,
()0,.
Y y e y
f y ?<
其他
（2）2ln y x =-在(0,1)上单调减，反函数为2
()y h y e
-=，所以Y 的密度为
21,
0,()2
0,0.
y
Y e y f y y -?>?=??≤?
29．设~(0,1)X N ，求||Y X =的概率密度。
解1 函数||y x =在(,0)-∞上单调减，反函数为1()h y y =-， 在[0,)+∞上单调增，反函数为2()h y y =， 所以Y 的密度为 112
2(())|()|(
())|
()|,0,
()0
,
0.
X X Y f h y h y f h y h y y f y y ''?+>=?
≤?
即
2
2
,0,()0
,
0.
y
Y y f y y ->=≤?
30．设随机变量X 服从参数为2的指数分布，试证21X
Y e -=-在区间(0,1)
上服从均匀分布。
[证] 只须证明Y 的分布函数为
0,0(),
01,1, 1.
Y y F y y y y ≤??
=<
220,0()(){1}{1},
01,1,
1
X
x
Y y F y P Y y P e
y P e y y y --≤??=≤=-≤=≥-<
≥?
0,0,(2ln (1)),01,1, 1.y P X y y y ≤??=-≥-<
20,0,(ln (1)).01,0, 1.y P X y y y -
?≤???
≤-<<=??
?
≥?? 1
20,
0,
(ln (1)),
01,1, 1.
X y F y y y -
?≤???
-<<=???≥??1
22ln (1)0,01,011,1
y y e y y -
--≤???=-<
≥?? 0,0,,
01,1, 1.
y y y y ≤??
=<
31．设随机变量X 的概率密度为
22,
0,()0,.
x
x f x ππ
?<
其它
求sin Y X =的概率密度. 解1 函数s in y x =在(0,]2
π
上单调增，反函数为1()a rc s in h y y =
在(
,)2
π
π上单调减，反函数为2()a rc s in h y y π=-.
Y 的概率密度为：
()(a rc sin )(a rc sin )Y f y f y f y π=?
+-
22
2a rc s in 22a rc s in 01,
0,y
y
y πππ
-??+
?
<
=??
?其他.
01,
0,.
y <<=?
其他
解2 设Y 的分布函数为()Y F y ，则
()()(sin )(a rc sin a rc sin )Y F y P Y y P X y P X y X y π=≤=≤=≤>- (arcsin )1(arcsin )P X y P X y π=≤+-≤- (a rc s in )1(a rc s in )X X F y F y π=+-- 所以
11()(a rc sin )(a rc sin )
Y f y f y f y π=-
201,
0,y <<=?
其他.
32．设随机变量X 的分布函数()F x 连续，且严格单调增加，求()Y F X =的概率密度.
解 设Y 的分布函数为()Y F y ，则
1
()(){()}{()}Y F y P Y y P F X y P X F y y -=≤=≤=≤=，
当0y ≤时()0Y F y =，当1y ≥时()1Y F y =，故
0,0,(),
01,1, 1.
Y y F y y y y ≤??
=<
于是Y 的概率密度为 1,01,()0,
.
Y y f y <
习题三 1.将一硬币抛掷三次，以X 表示在三次中出现正面的次数，以Y 表示三次中出现正面次数与 出现反面次数之差的绝对值.试写出X 和Y 的联合分布律. 222??222 ??= 2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X 表示取到黑球的只数，以Y 表示取到红球的只数.求X 和Y 的联合分布律. 324 C 35= 32 4 C 35= 322 4 C 35= 11322 4 C C 12C 35=132 4 C 2C 35 = 21322 4 C C 6C 35 = 2324 C 3 C 35 = 3.设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数为 F （x ，y ）=?????≤ ≤≤≤., 020,20,sin sin 其他ππy x y x 求二维随机变量（X ，Y ）在长方形域? ?? ? ??≤<≤<36,40πππy x 内的概率. 【解】如图πππ {0,}(3.2)463 P X Y <≤ <≤公式 ππππππ(,)(,)(0,)(0,)434636 F F F F --+
ππππππ sin sin sin sin sin0sin sin0sin 434636 2 (31). 4 =--+ =- 题3图 说明：也可先求出密度函数，再求概率。 4.设随机变量（X，Y）的分布密度 f（x，y）= ? ? ?> > + - . ,0 ,0 ,0 ,)4 3( 其他 y x A y x e 求：（1）常数A； （2）随机变量（X，Y）的分布函数； （3）P{0≤X<1，0≤Y<2}. 【解】（1）由-(34) 00 (,)d d e d d1 12 x y A f x y x y A x y +∞+∞+∞+∞ + -∞-∞ === ???? 得A=12 （2）由定义，有 (,)(,)d d y x F x y f u v u v -∞-∞ =?? (34)34 00 12e d d(1e)(1e)0,0, 0, 0, y y u v x y u v y x -+-- ??-->> ? == ?? ? ?? ?? 其他 (3) {01,02} P X Y ≤<≤< 12 (34)38 00 {01,02} 12e d d(1e)(1e)0.9499. x y P X Y x y -+-- =<≤<≤ ==--≈ ?? 5.设随机变量（X，Y）的概率密度为 f（x，y）= ? ? ?< < < < - - . ,0 ,4 2,2 ), 6( 其他 y x y x k （1）确定常数k； （2）求P{X＜1，Y＜3}； （3）求P{X<1.5}； （4）求P{X+Y≤4}. 【解】（1）由性质有
一． 判断题部分 1 ： 对统计资料进行分组的目的就是为了区分各组单位之间质的不同。 （×） 2： 统计分组的关键问题是确定组距和组数。 （ × ） 3： 组中值是根据各组上限和下限计算的平均值，所以它代表了每一组的平 均分配次数。 （ × ） 3 ： 分配数列的实质是把总体单位总量按照总体所分的组进行分配。 （ ∨ ） 4： 次数分配数列中的次数，也称为频数。频数的大小反映了它所对应的标 志值在总体中所起的作用程度。 （ ∨ ） 5： 某企业职工按文化程度分组形成的分配数列是一个单项式分配数列。 （×） 6： 连续型变量和离散型变量在进行组距式分组时，均可采用相邻组组距重 叠的方法确定组限。 （ ∨ ） 7： 对资料进行组距式分组，是假定变量值在各组内部的分布是均匀的，所 以这种分组会使资料的真实性受到损害。 （ ∨ ） 8： 任何一个分布都必须满足：各组的频率大于零，各组的频数总和等于 或 100%。（ × ） 9： 按数量标志分组形成的分配数列和按品质标志分组形成的分配数列，都 可称为次数分布。 （ ∨ ） 10：按数量标志分组的目的，就是要区分各组在数量上的差异。 （ 11：统计分组以后，掩盖了各组内部各单位的差异，而突出了各组之间单位 的差异。（ ∨ ） 12：分组以后，各组的频数越大，则组的标志值对于全体标志水平所起的作第三章 统计资料整理 ×）
用也越大；而各组的频率越大，则组的标志值对全体标志水平所起的作用越 小。（ × ） ．单项选择题部分 2： 在组距分组时，对于连续型变量，相邻两组的组限（ A ）。 A 、 必须是重叠的 B 、必须是间断的 C 、可以是重叠的，也可以是间断的 D 、必须取整数 3： 下列分组中属于按 品质标志分组 的是（ B ）。 A 、学生按考试分数分组 B 、产品按品种分组 C 、企业按计划完成程度分组 D 、家庭按年收入分组 4 ： 有一个学生考试成绩为７０分，在统计分组中，这个变量值应归入 （ B ）。 A 、60---70 分这一组 B 、 70---80 分这一组 C 、60— 70或 70—80两组都可以 D 、作为上限的那一组 5： 某主管局将下属企业先按轻、重工业分类，再按企业规模分组，这样的 分组属于（ B ）。 A 、简单分组 B 、复合分组 C 、分析分组 D 、结构分组 6： 简单分组和复合分组的区别在于（ B ）。 A 、选择的分组标志的性质不同 B 、选择的分组标志多少不同 1： 统计整理的关键在（ B A 、对调查资料进行审核 C 、对调查资料进行汇总 ）。 B 、 对调查资料进行统计分组 D 、编制统计表
第三章连续型随机变量 3、1设随机变量 ξ 的分布函数为F(x),试以F(x)表示下列概率: 。 )()4();()3();()2();()1(a P a P a P a P >≥≤=ξξξξ 。 ）（解：)0(1)()4(); (1)()3(); 0()(P 2); ()0()()1(+-=>-=≥+=≤-+==a F a P a F a P a F a a F a F a P ξξξξ 3、2函数x 211 F(x)+=就是否可以作为某一随机变量的分布函数,如果 在其它场合恰当定义。 在其它场合恰当定义；）（,0)3(,0)2(1<<∞-∞<<∞ <<∞-x x x 解:(1)F(x)在),(∞-∞内不单调,因而不可能就是随机变量的分布函数; (2)F(x)在)0∞，（内单调下降,因而也不可能就是随机变量的分布函数; (3)F(x)在） ，（－0∞内单调上升、连续且,若定义 ???≥<<∞=01 0)()(~x x X F x F － 则)(~ x F 可以就是某一随机变量的分布函数。 3、3函数 sinx 就是不就是某个随机变量ξ的分布函数？如果ξ的取值范围为 []。，）；（，）；（，）（?? ??????????πππ230302201 解:(1)当?? ????∈2,0πx 时,sinx 0≥且1sin 20=?πxdx ,所以 sinx 可以就是某个随机变量的分布密度; (2) 因为12sin 0≠=?πxdx ,所以sinx 不就是随机变量的分布密度; (3) 当 ?????? ∈23, ππx 时,sinx<=0所以sinx 不就是随机变量的分布密度。 3、4设随机变量ξ具有对称的分布函数p(x),即p(x)=p(-x) 证明:对任意的a>0,有
统计资料整理第三章 判断题部分一．1：对统计资料进行分组的目的就是为了区分各组单位之间质的不同。） ×（ ）统计分组的关键问题是确定组距和组数。（×2： 3：组中值是根据各组上限和下限计算的平均值，所以它代表了每一组的平）（×均分配 次数。3：分配数列的实质是把总体单位总量按照总体所分的组进行分配。）∨（ 4：次数分配数列中的次数，也称为频数。频数的大小反映了它所对应的标）∨志值在 总体中所起的作用程度。（5：某企业职工按文化程度分组形成的分配数列是一个单项式分配数列。）×（ 6：连续型变量和离散型变量在进行组距式分组时，均可采用相邻组组距重）叠的方法确 定组限。（∨7：对资料进行组距式分组，是假定变量值在各组内部的分布是均匀的，所）（∨以这种分组会使资料的真实性受到损害。8：任何一个分布都必须满足：各组的频率大于零，各组的频数总和等于1 ）×或100%。（ 9：按数量标志分组形成的分配数列和按品质标志分组形成的分配数列，都 ) ∨( 可称为次 数分布。）×10：按数量标志分组的目的，就是要区分各组在数量上的差异。（ 11：统计分组以后，掩盖了各组内部各单位的差异，而突出了各组之间单位）∨（的差异。 ：分组以后，各组的频数越大，则组的标志值对于全体标志水平所起的作12． 用也越大；而各组的频率越大，则组的标志值对全体标志水平所起的作用越）×小。（二．单项选择题部分。 B ）1：统计整理的关键在（ A、对调查资料进行审核 B、 对调查资料进行统计分组 C、对调查资料进行汇总 D、编制统计表 ）。：在组距分组时，对于连续型变量，相邻两组的组限（ A 2A、必须是重叠的 B、必须是间断的 、必须取整数、可以是重叠的，也可以是间断的 C D。的是（ B ）3：下列 分组中属于按品质标志分组 A、学生按考试分数分组 B、产品按品种分组、家庭按年收入分组、企业按计划完成程度分组 D C4：有一个学生考试成绩为７ ０分，在统计分组中，这个变量值应归入）。（ B A、60---70分这一组 B、70---80分这一组 、作为上限的那一组两组都可以 D8060—70或70—C、5：某主管局将下属企业先按轻、重 工业分类，再按企业规模分组，这样的）。分组属于（ B A、简单分组 B、复合分组 C、分析分组 D、结构分组 。简单分组和复合分组的区别在于（ B ） 6：、选择的分组标志多少不同 B、选择的 分组标志的性质不同A． D、组数的多少不同、组距的大小不同答案：C7：有20 个工人看管机器台数资 料如下: 2,5,4,4,3,4,3,4,4,2,2,4, A ）3,4,6,3,4,5,2,4。如按以上资料编制分配数列,应采用（ B.等距分组A.单项式分组 D.以上几种分组均可以 C.不等距分组8：在分组时, 凡 遇到某单位的标志值刚好等于相邻两组上下限数值时,。一般是（ B ）将此值归入下限所 在组 A.将此值归入上限所在组 B.另立一组此值归入两组均可 D. C.）次数分配数列是（ D 9： 按数量标志分组形成的数列 A. B.按品质标志分组形成的数列 C. 按统计指标分组所形成的数列 D.按数量标志和品质标志分组所形成的数列。划分连
习题3-1 1. 而且12{P X X =. 求X 1和X 2的联合分布律. 解 由12 {0}1P X X ==知12{0}0P X X ≠=. 因此X 1和X 2的联合分布必形 于是根据边缘概率密度和联合概率分布的关系有X 1和X 2的联合分布律
(2) 注意到12{0,0}0P X X ===, 而121{0}{0}04 P X P X =?== ≠, 所以X 1和X 2 不独立. 2. 一盒子中有3只黑球、2只红球和2只白球, 在其中任取4只球. 以X 表示取到黑球的只数, 以Y 表示取到红球的只数. 求X 和Y 的联合分布律. 解 从7只球中取4球只有354 7 =C 种取法. 在4只球中, 黑球有i 只, 红 球有j 只(余下为白球4i j -- 只)的取法为 4322i j i j C C C --,0,1,2,3,0,1,2,i j i j ==+≤4. 于是有 022 322 1{0,2}35 35 P X Y C C C ====,111322 6{1,1}35 35 P X Y C C C ====, 121322 6 {1,2}35 35 P X Y C C C ====,202322 3 {2,0}35 35 P X Y C C C ==== , 211 322 12{2,1}35 35P X Y C C C ==== ,220 322 3{2,2}35 35P X Y C C C === = , 301 322 2 {3,0}3535P X Y C C C === =, 310 322 2 {3,1}3535 P X Y C C C ====, {0,0}{0,1}{1,0}{3,2}0P X Y P X Y P X Y P X Y ============. 3. (,)(6),02,24, 0,.f x y k x y x y =--<<<
统计学习题集答案 第一章统计总论 一、填空题 1.统计的三种涵义是：统计工作、统计资料和统计学. 2.统计工作必须涉及：为谁统计、由谁统计、统计什么和如何统计等基本问题. 3．统计工作具有：信息职能、咨询职能和监督职能，其中最基本的职能是信息职能. 4.统计资料按计量方法不同，分为计点资料和计量资料;按资料是否直接取得，分为原始资料和次级资料;按统计资料的时间属性不同，分为静态资料和动态资料;按统计资料所涵盖的范围不同，分为全面资料和抽样资料.统计资料具有时间、空间和数据三个要素。 5.统计学按照发展阶段和侧重点不同，可分为描述.统计学和推断统计学;按照理论与实践应用的关系，可分为理论统计学和应用统计学。 6. 统计学的性质可概括为：统计学是研究现象总体的数量表现和规律性的方法论科学。 7.统计学的研究方法主要有大量观察法、统计分组法、综合指标法和统计推断法。 8.统计学是一门方法论科学，而不是研究实质性问题的科学。 9.历史上“有统计学之名，无统计学之实”的统计学派是国势学派，“有统计学之实，无统计学之名”的统计学派是政治算术学派。 10.统计研究方法中的归纳法是一种从个别到一般的推理方法。 二、单选题 1.A 2. C 3. B 4. B 5. A 6.A 7.D 8.A 9.B 10.C 11.B 三、多选题 1.BCE 2.ABC 3. ABCD 4. ABCDE 5.ABC 四、判读改错题 1.√ 2.. √ 3. √ 4.×，统计学一词最早出自欧洲。 5.×，统计学作为一门独立的科学，始于17世纪末叶。 6.√ 7. √ 8.×，统计客体是统计研究的对象，是统计信息的承担者和信源地。 9.×，统计学既是一门方法论科学，不是一门实质性科学。 10.√ 11.√ 12. ×，统计运用大量观察法的目的是消除个别事物的差异，显现想象总体的数量特征。只要部分单位对总体有代表性，只要对足够多的总体单位进行观察，也能达到这个目的。 五、简答题 1、统计的含义及其相互之间的关系。 答：统计一词有三种含义，分别是统计工作、统计资料和统计学。其相互关
概率统计第三章答案 概率论与数理统计作业8 (§ 3.1?§ 3.3 ) 一、填空题 1.X,Y 独立同分布X L03 2：3，则P(X+YW1)=?E(XY)=4? 2.设X的密度函数为5= 2(10x) 0其它1，则 2 E(X) = 1/3,E(X ) = 1/6 . 3.随机变量X的分布率为P|0；00303，则E(X) = -0.2 ________ , 2 E(3X 5)= 13.4 ________________ 。 4.已知随机变量X的分布列为P ( X=m )= 1 , m = 2,4,…,18,20 ”则 E( X ) = ___________
5.对两台仪器进行独立测试，已知第一台仪器发生故障的概率为P I，第二台仪器发生故障的概率为P2 ?令X表示测试中发生故障的仪器数，则 E x A P1 P2 二、计算题 1.连续型随机变量X的概率密度为 a f(x)= kx穿",「0)又知 E(X)=0.75 ，求k 和 a 的值。 0 其它 解：由［3 (x dx = Jkx a dx = 1,得_^=1, . o a 1 又E(X)匚0.75，则有xf xdx 二：x kx a dx =0?75,得—= 0.75, 0 a 2 故由上两式解得k=3,a=2?
2.对某工厂的每批产品进行放回抽样检查。如果发现次品，则立即停止检查而认为这批产品不合格；如果连续检查5个产品，都是合格品，则也停止检查而认为这批产品合格。设每批产品的次品率为p,求每批产品抽查样品的平均数。解：设随机变量X表示每批产品抽查的样品数，则：P( X =m ) = pq m」(m =1,2,3,4); P( X = 5) = pq4 q5二q4 ( p q = 1) ???X的概率分布表如下: EX = p 2pq 3pq2 4 pq3 5q4 = 5 TO p 10 p2_5p3 p4 3 ?设二维随机变量X, Y的联合密度函数为I 21 2 2 . f(x，y)J匸x y X —y —1 [0其它 1)求EX，EY 及EXY ；
第三章 一、单项选择题 1．统计整理的中心工作是（） A．对原始资料进行审核B．编制统计表 C．统计汇总问题D．汇总资料的再审核 2．统计汇总要求资料具有（） A．及时性B．正确性 C．全面性D．系统性 3．某连续变量分为五组：第一组为40—50，第二组为50—60，第三组为60—70，第四组为70—80，第五组为80以上，依习惯上规定（） A．50在第一组，70在第四组B．60在第二组，80在第五组 C．70在第四组，80在第五组D．80在第四组，50在第二组 4．若数量标志的取值有限，且是为数不多的等差数值，宜编制（） A．等距式分布数列B．单项式分布数列 C．开口式数列D．异距式数列 5．组距式分布数列多适用于（） A．随机变量B．确定型变量 C．连续型变量D．离散型变量 6．向上累计次数表示截止到某一组为止（） A．上限以下的累计次数B．下限以上的累计次数 C．各组分布的次数D．各组分布的频率 7．次数分布有朝数量大的一边偏尾，曲线高峰偏向数量小的方向，该分布曲线属于（）A．正态分布曲线B．J型分布曲线 C．右偏分布曲线D．左偏分布曲线 8．划分连续变量的组限时，相临组的组限一般要（） A．交叉B．不等 C．重叠D．间断 二、多项选择题 1．统计整理的基本内容主要包括（） A．统计分组B．逻辑检查 C．数据录入D．统计汇总 E．制表打印 2．影响组距数列分布的要素有（） A．组类B．组限 C．组距D．组中值 E．组数据 3．常见的频率分布类型主要有（） A．钟型分布B．χ型分布 C．U型分布D．J型分布 E．F型分布 4．根据分组标志不同，分组数列可以分为（） A．组距数列B．品质数列 C．单项数列D．变量数列 E．开口数列 5．下列变量一般是钟型分布的有（）
概率论与数理统计第三章习题 率分布。 ，试写出命中次数的概标的命中率为目；设已知射手每次射击射击中命中目标的次数指示射手在这三次独立以本空间上定义一个函数验的样本空间；试在样作为试验，试写出此试察这些次射击是否命中三次独立射击，现将观一射手对某目标进行了7.0.1 。 出的废品数的概率分布前已取个，求在取得合格品之不再放回而再取来使用，若取得废品就个这批零件中任取个废品，安装机器时从个合格品、一批零件中有1139.2
11880 54 99101112123)3(132054 109112123)2(132 27 119123)1(12 9 )0(3 210191911011111121121311019111121121311119112131121 9= ???=???=== ??=??=== ?=?=== ==C C C C C C C C P C C C C C C P C C C C P C C P ξξξξξξ，，，可能取值为：代表废品数，则解：令 .1188054132054132271293210 ??? ? ??的分布列为 所以，ξ 废品数的概率分布。 况，求出取得）取后放回两种不同情）取后不放回；（个，试分别就（件，每次取个废品，现从中任取混有个同类型的一堆产品内设在2113210.3 .008.0096.0384.0512.03210 008.0)3(096.0)2(384.0)1(512.0)0(32102210)2()1()0(2 1013 1101 22 1101211018231101 22 1101 8133 1101831022183101228310383 10 2 2 18310122831038??? ? ??=??? ? ??===???? ?????? ??===??? ? ????? ? ??===???? ??==???? ? ?????==?====的分布列为 所以，，，，有 ，，，，则可能取值有：）设废品数为（的分布列为 所以，，，，，的可能值有：代表废品数，则）令解：（ηηηηηηξξξξξξC C P C C C C C P C C C C C P C C P C C C C C C C C C C C P C C C P C C P
概率论与数理统计作业 班级 姓名 学号 任课教师 第三章 多维随机变量及其分布 教学要求： 一、了解多维随机变量的概念，了解二维随机变量的分布函数； 二、了解二维离散型随机变量分布律的概念，理解二维连续型随机变量概率密度的概念； 三、理解二维随机变量的边缘概率分布； 四、理解随机变量的独立性概念； 五、会求两个独立随机变量的简单函数的分布（和、极大、极小）. 重点：二维离散型随机变量的联合分布律及二维连续型随机变量的边缘概率密度，随机变 量的独立性. 难点：边缘分布，随机变量的独立性，随机变量的函数的分布. 练习一 二维随机变量及其分布 1．填空题 (1)设二维随机变量),(Y X 的分布函数为),(y x F ，且d c b a <<,，则 =≤}{a X P ()+∞,a F ； =≥}{d Y P ()d F ,1∞+-； =≤<≤<},{d Y c b X a P ),(),(),(),(c a F c b F d a F d b F +--. (2)设二维连续型随机变量),(Y X 的概率密度为),(y x f ，则其分布函数),(y x F = ?? +∞∞-+∞ ∞ -dxdy y x f ),(；若G 是xoy 平面上的区域，则点),(Y X 落在G 内的概率，即 }),{(G Y X P ∈??=G dxdy y x f ),( （3）若二维随机变量),(Y X 的概率密度为 ) 1)(1(),(22y x A y x f ++= )0,0(>>y x ， 则系数A = ,4 2 π= <}1{X P 2 1. （4）设二维随机变量),(Y X 的分布函数(),3arctan 2arctan ,?? ? ??+??? ? ?+=y C x B A y x F
第三章统计资料整理 一．判断题部分 1：对统计资料进行分组的目的就是为了区分各组单位之间质的不同。（×） 2：统计分组的关键问题是确定组距和组数。（×） 3：组中值是根据各组上限和下限计算的平均值，所以它代表了每一组的平均分配次数。（×） 3：分配数列的实质是把总体单位总量按照总体所分的组进行分配。（∨） 4：次数分配数列中的次数，也称为频数。频数的大小反映了它所对应的标志值在总体中所起的作用程度。（∨） 5：某企业职工按文化程度分组形成的分配数列是一个单项式分配数列。（×） 6：连续型变量和离散型变量在进行组距式分组时，均可采用相邻组组距重叠的方法确定组限。（∨） 7：对资料进行组距式分组，是假定变量值在各组内部的分布是均匀的，所以这种分组会使资料的真实性受到损害。（∨） 8：任何一个分布都必须满足：各组的频率大于零，各组的频数总和等于1 或100%。（×） 9：按数量标志分组形成的分配数列和按品质标志分组形成的分配数列，都可称为次数分布。( ∨ ) 10：按数量标志分组的目的，就是要区分各组在数量上的差异。（×） 11：统计分组以后，掩盖了各组内部各单位的差异，而突出了各组之间单位的差异。（∨） 12：分组以后，各组的频数越大，则组的标志值对于全体标志水平所起的作
用也越大；而各组的频率越大，则组的标志值对全体标志水平所起的作用越小。（×） 二．单项选择题部分 1：统计整理的关键在（ B ）。 A、对调查资料进行审核 B、对调查资料进行统计分组 C、对调查资料进行汇总 D、编制统计表 2：在组距分组时，对于连续型变量，相邻两组的组限（ A ）。 A、必须是重叠的 B、必须是间断的 C、可以是重叠的，也可以是间断的 D、必须取整数 3：下列分组中属于按品质标志分组的是（ B ）。 A、学生按考试分数分组 B、产品按品种分组 C、企业按计划完成程度分组 D、家庭按年收入分组 4：有一个学生考试成绩为７０分，在统计分组中，这个变量值应归入（ B ）。 A、60---70分这一组 B、70---80分这一组 C、60—70或70—80两组都可以 D、作为上限的那一组 5：某主管局将下属企业先按轻、重工业分类，再按企业规模分组，这样的分组属于（ B ）。 A、简单分组 B、复合分组 C、分析分组 D、结构分组 6：简单分组和复合分组的区别在于（ B ）。 A、选择的分组标志的性质不同 B、选择的分组标志多少不同
第三章练习题 一、单项选择题 1．设二维随机变量（X ，Y ）的分布律为 Y X 1 2 3 1 2 101 103 102 101 102 101 则P{XY=2}=（ C ）A ．5 B ．10 C ．2 D ．5 2．设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为 ? ??≤≤≤≤=,,0; 10,10,4),(其他y x xy y x f 则当0≤y ≤1时，（X ，Y ）关于Y 的边缘概率密度为f Y ( y ) 1 =(,)4f x y dx xydx +∞ -∞ ==? ?= （ D ） A ．x 21 B ．2x C ．y 21 D ．2y 3．设随机变量X ，Y 相互独立，其联合分布为 1+9 α 12 1 +9 α 1+18β 116=+9918 α?? ??? 则有（ B ） A ．92 ,91==βα B ．91,92==βαC ．32,31==βα D ．3 1,32==βα 二、填空题 1.设随机变量X ，Y 相互独立，且P{X ≤1}=21，P{Y ≤1}=3 1 ， 则P{X ≤1,Y ≤1}=_ 1 6 __. 2.已知二维随机变量(X ,Y )的分布律为 0 2 5 0 0.1 0.1 0.3 Y X
1 0.25 0 0.25 则P (X ≤0,Y =2)＝___0.1___. 3．设二维随机变量（X ，Y ）的分布律为 Y X 1 2 3 1 2 61 121 81 81 41 4 1 则P{Y=2}=____ 4 _______. 4．设随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)=? ??≤≤≤≤其他02 y 0,1x 0xy ， 则X 的边缘概率密度f x (x)= 2 (,)f x y dy xydy +∞ -∞ ==? ?_____2x___________． 三、计算题 1．设二维随机变量(X ，Y )只能取下列数组中的值：(0，0)，（-1，1），（-1，3 1 ），（2，0）， 且取这些值的概率依次为61，31，121，12 5 .（1）写出(X ，Y )的分布律； （2）分别求(X ，Y )关于X ，Y 的边缘分布律. (1) {} {} 1351112 3 121166551212 71112 12 3 01-10 00020 1 j i X Y P Y y P X x == (2) 13711 12 12 3 1 X P 5 5112 6 12 10 2 Y P - 2．设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为?? ???>>=+.,0;0,0,e ),()-(其他y x y x f y x （1）分别求（X ，Y ）关于X 和Y 的边缘概率密度； f x (x)= ()0 (,),0x y x f x y dy e dy e x +∞ ∞ -+--∞ ==>? ? f Y ( y ) ()0 = (,),0x y y f x y dx e dx e y +∞ ∞ -+--∞ ==>? ? （2） 问：X 与Y 是否相互独立，为什么？ () ()()(,)x y x y X Y f x y e e e f x f y -+--==?=?,因此相互独立 3.设二维随机变量(X ，Y )的分布律为 0.7 0.4 0.2 0.4 （1）求(X ，Y )分别关于X ,Y 的边缘分布律；(2)试问X 与Y 是否相互独立，为什么？
3 %1%2%5.1++ 453025453025++++统计学第三章出题优课后习题答案 原多项选择第三题D 选项解释有误，现在已经重新更改。 一、单项选择题 1. 某商场某月商品销售额为1200万元，月末商品库存额为400万元，这两个总量指标（ ）。 A. 是时期指标 B. 前者是时期指标，后者是时点指标 C. 是时点指标 2. 国民总收入与国内生产总值之间相差一个( )。 A. 出口与进口的差额 B. 固定资产折旧 C. 来自国外的要素收入净额 3. 有三批产品，废品率分别为1.5%、2%、1%，相应的废品数量为25件、30件、45件，则这三批产品平均废品率的计算式应为（ ）。 A. B. C. D. 4. 下列各项中，超额完成计划的有（ ）。 A. 利润计划完成百分数103.5% B. 单位成本计划完成百分数103.5% C. 建筑预算成本计划完成百分数103.5% 5. 某厂某种产品生产量1月刚好完成计划，2月超额完成2%，3月超额完成4%，则该厂该年一季度各月平均超额完成计划的计算方法是（ ）。 A. 2%+4%=6% B. (2%+4%)÷2=3% C. (2%+4%)÷3=2% 453025%1%2%5.1++++3%1%2%5.1??
6. 甲、乙两组工人的平均日产量分别为18件和15件。若甲乙两组工人的平均日产量不变，但是甲组工人数占两组工人总数的比重下降，则两组工人总平均日产量（ ）。 A. 上升 B. 下降 C. 不变 D.可能上升，也可能下降 7. 当各个变量值的频数相等时，该变量的（ ）。 A. 众数不存在 B. 众数等于均值 C. 众数等于中位数 8. 如果你的业务是提供足球运动鞋的号码，那么哪一种平均指标对你更有用？（ ） A. 算术平均数 B. 几何平均数 9. 某年年末某地区城市和乡村平均每人居住面积分别为30.3和33.5平方米，标准差分别12.8和13.1平方米，则居住面积的差异程度（ ）。 A. 城市大 B. 乡村大 10. 下列数列的平均数都是50，在平均数附近散布程度最小的数列是（ ）。 A. 0 20 40 50 60 80 100 B. 0 48 49 50 51 52 100 B x f f f f x f f x f f f x f x x f x x 本题答案选；所以；表示工人数目。 量，表示某组工人平均日产均日产量，表示甲乙两组工人总平甲乙乙甲甲乙甲乙乙甲甲↓↓+=++=∑∑∑
习题三 1、将一硬币抛掷三次,以X 表示在三次中出现正面得次数,以Y 表示三次中出现正面次数与 出现反面次数之差得绝对值、试写出X 与Y 得联合分布律、 0 1 2 3 1 0 0 3 2、盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球,在其中任取4只球,以X 表示取到黑球得只数,以Y 表示取到红球得只数、求X 与Y 得联合分布律、 0 1 2 3 0 0 0 1 0 2 P (0黑,2红,2白)= 3、设二维随机变量(X ,Y )得联合分布函数为 F (x ,y )= 求二维随机变量(X ,Y )在长方形域内得概率、 【解】如图 题3图 说明:也可先求出密度函数,再求概率。 4、设随机变量(X ,Y )得分布密度 f (x ,y )= 求:(1) 常数A ; (2) 随机变量(X ,Y )得分布函数; (3) P {0≤X <1,0≤Y <2}、 【解】(1) 由 得 A =12 (2) 由定义,有 (3) 5、设随机变量(X ,Y )得概率密度为 f (x ,y )= (1) 确定常数k; (2) 求P {X ＜1,Y ＜3}; (3) 求P {X <1、5}; X Y X Y
(4) 求P{X+Y≤4}、 【解】(1) 由性质有 故 (2) (3) (4) 题5图 6、设X与Y就是两个相互独立得随机变量,X在(0,0、2)上服从均匀分布,Y得密度函数为 f Y(y)= 求:(1) X与Y得联合分布密度;(2) P{Y≤X}、 题6图 【解】(1) 因X在(0,0、2)上服从均匀分布,所以X得密度函数为 而 所以 (2) 7、设二维随机变量(X,Y)得联合分布函数为 F(x,y)= 求(X,Y)得联合分布密度、 【解】 8、设二维随机变量(X,Y)得概率密度为 f(x,y)= 求边缘概率密度、 【解】 题8图题9图 9、设二维随机变量(X,Y)得概率密度为 f(x,y)= 求边缘概率密度、 【解】
单选 问题：下列不属于相关关系的现象是（ 3 ）。 选项一：企业的投资与产出 选项二：居民的收入与存款 选项三：电视机产量与西红柿产量 选项四：商品销售额与商品销售价格 问题：抽样调查中的抽样误差是指（3 ） 选项一：在调查过程中由于观察、测量等差错所引起的误差 选项二：在调查中违反随机原则出现的系统误差 选项三：随机抽样而产生的代表性误差 选项四：人为原因所造成的误差 问题：企业职工工资水平比上年提高5%，职工人数增加2%，则企业工资总额增长（ 2 ）。 选项一：10.0% 选项二：7.1% 选项三：7.0% 选项四：7.2% 问题：在假设检验中，原假设与备择假设（ 3 ） 选项一：都有可能被接受 选项二：都有可能不被接受 选项三：只有一个被接受而且必有一个被接受 选项四：原假设一定被接受，备择假设不一定被接受 问题：小王收集了1978年以来历年我国人均GDP与人均消费额的资料，如果要反映这一时期我国生产与消费的关系，用什么图形最为合适？（2 ） 选项一：直方图 选项二：散点图 选项三：饼图 选项四：折线图 问题：若回归直线方程中的回归系数为0，则直线相关系数（ 3 ）。 选项一：r=1
选项二：r=-1 选项三：r=0 选项四：r 无法确定 问题：若消费者价格指数为95%，则表示（ 4 ）。 选项一：所有商品的价格都上涨了 选项二：所有商品的价格都下跌了 选项三：商品价格有涨有落，总体来说是上涨了 选项四：商品价格有涨有落，总体来说是下跌了 问题：某连续变量数列末位组为开口组,下限为200，相邻组组中值为170，则末位组中值为( 1 )。选项一：230 选项二：200 选项三：210 选项四：180 问题：若两变量的r=0.4，且知检验相关系数的临界值为，则下面说法正确的是（ 3 ）。 选项一：40%的点都密集分布在一条直线的周围 选项二：40%的点低度相关 选项三：两变量之间是正相关 选项四：两变量之间没有线性关系 问题：下列指标中包含有系统性误差的是（1 ） 选项一：SSA 选项二：SSE 选项三： 选项四： 问题：人口普查规定标准时间是为了( 1 )。 选项一：避免登记的重复与遗漏 选项二：将来资料具有可比性 选项三：确定调查单位 选项四：登记的方便 问题：SST的自由度是（4 ）。 选项一：r-1
概率论与数理统计习题 第三章 多维随机变量及其分布 习题3-1 盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球.以X 表示取到黑球的只数，以Y 表示取到红球的只数，求X 和Y 的联合分布律. （X ，Y ）的可能取值为(i , j )，i =0，1，2，3， j =0，12，i + j ≥2，联合分布律为 P {X=0, Y=2 }= 35147 2222=C C C P {X=1, Y=1 }=356 47 221213=C C C C P {X=1, Y=2 }= 3564 7 1 2 2213=C C C C P {X=2, Y=0 }=353 472 223=C C C P {X=2, Y=1 }= 35124 712 1223=C C C C P {X=2, Y=2 }=353 47 2 223=C C C P {X=3, Y=0 }= 35247 1233=C C C P {X=3, Y=1 }=352 47 1233=C C C P {X=3, Y=2 }=0 习题3-2 设随机变量),(Y X 的概率密度为 ?? ?<<<<--=其它 , 0, 42,20), 6(),(y x y x k y x f （1） 确定常数k ； （2） 求{}3,1< ?? ????????<<<<=42,20),(y x y x D o 解：（1）∵??? ? +∞∞-+∞ ∞ ---= = 20 12 )6(),(1dydx y x k dy dx y x f ，∴8 1= k （2）8 3 )6(8 1)3,1(32 1 ? ?= --= < 一.单项选择题 1.比较两组数据的离散程度最合适的统计量是（ D ）。 A.极差 B.平均差 C.标准差 D.离散系数 2.如果峰度系数k>3，表明该组数据是（ A ）。 A.尖峰分布 B.扁平分布 C.左偏分布 D.右偏分布 3.某大学经济管理学院有1200名学生，法学院有800名学生，医学院有320名学生，理学院有200名学生。上面的描述中，众数是（ B ）。 A.1200 B.经济管理学院 C.200 D.理学院 4.某班共有25名学生，期末统计学课程的考试分数分别为：68,73,66,76,86,74,61,89,65,90,69,67,76,62,81,63,68,81,70,73,60,87,75,64,56，该班考试分数下四分位数和上四分位数分别是（ A）。 A.64.5和78.5 B.67.5和71.5 C.64.5和71.5 D.64.5和67.5 5.对于右偏分布，平均数、中位数和众数之间的关系是（ A ）。 A.平均数>中位数>众数 B.中位数>平均数>众数 C.众数>中位数>平均数 D.众数>平均数>中位数 6.某班学生的统计学平均成绩是70分，最高分是96分，最低分是62分，根据这些信息，可以计算的测度离散程度的指标是（ B ）。 A.方差 B.极差 C.标准差 D.变异系数 7.在离散程度的测度中，最容易受极端值影响的是（ A ）。 A.极差 B.方差 C.标准差 D.平均差 8.在比较两组数据的离散程度时，不能直接比较它们的标准差，因为两组数据的（ D ）。 A.标准差不同 B.方差不同 C.数据个数不同 D.计量单位不同 9.总量指标按其反应的内容不同，可分为（ C ）。 A.总体指标和个体指标 B.时期指标和时点指标 C.总体单位总量指标和总体标识总量指标 D.总体单位总量指标和标识单位指标 10.反映同一总体在不同时间上的数量对比关系的是（ C ）。 《概率论与数理统计》习题及答案 第 三 章 1．掷一枚非均质的硬币，出现正面的概率为p (01)p <<，若以X 表示直至掷到正、反面都出现时为止所需投掷次数，求X 的分布列。 解 ()X k =表示事件：前1k -次出现正面，第k 次出现反面，或前1k -次出现反面，第k 次出现正面，所以 1 1()(1)(1),2,3,.k k P X k p p p p k --==-+-=L 2．袋中有b 个黑球a 个白球，从袋中任意取出r 个球，求r 个球中黑球个 数X 的分布列。 解 从a b +个球中任取r 个球共有r a b C +种取法，r 个球中有k 个黑球的取法有k r k b a C C -，所以X 的分布列为 ()k r k b a r a b C C P X k C -+==，max(0,),max(0,)1,,min(,)k r a r a b r =--+L ， 此乃因为，如果r a <，则r 个球中可以全是白球，没有黑球，即0k =；如果r a >则r 个球中至少有r a -个黑球，此时k 应从r a -开始。 3．一实习生用一台机器接连生产了三个同种零件，第i 个零件是不合格品的概率1 (1,2,3)1 i p i i ==+，以X 表示三个零件中合格品的个数，求X 的分布列。 解 设i A =‘第i 个零件是合格品’1,2,3i =。则 1231111 (0)()23424 P X P A A A === ??= ， 123123123(1)()P X P A A A A A A A A A ==++ 123123123()()()P A A A P A A A P A A A =++ 1111211136 23423423424 = ??+??+??= ， 123123123(2)()P X P A A A A A A A A A ==++ 123123123()()()P A A A P A A A P A A A =++ 1211131231123423423424 = ??+???+??=， 《统计学原理》第三章习题 一．判断题部分 1：对统计资料进行分组的目的就是为了区分各组单位之间质的不同。（×） 2：统计分组的关键问题是确定组距和组数。（×） 3：组中值是根据各组上限和下限计算的平均值，所以它代表了每一组的平均分配次数。（×） 3：分配数列的实质是把总体单位总量按照总体所分的组进行分配。（∨） 4：次数分配数列中的次数，也称为频数。频数的大小反映了它所对应的标志值在总体中所起的作用程度。（∨） 5：某企业职工按文化程度分组形成的分配数列是一个单项式分配数列。（×） 6：连续型变量和离散型变量在进行组距式分组时，均可采用相邻组组距重叠的方法确定组限。（∨） 7：对资料进行组距式分组，是假定变量值在各组内部的分布是均匀的，所以这种分组会使资料的真实性受到损害。（∨） 8：任何一个分布都必须满足：各组的频率大于零，各组的频数总和等于1 或100%。（×） 9：按数量标志分组形成的分配数列和按品质标志分组形成的分配数列，都可称为次数分布。( ∨ ) 10：按数量标志分组的目的，就是要区分各组在数量上的差异。（×） 11：统计分组以后，掩盖了各组内部各单位的差异，而突出了各组之间单位的差异。（∨） 12：分组以后，各组的频数越大，则组的标志值对于全体标志水平所起的作用也越大；而各组的频率越大，则组的标志值对全体标志水平所起的作用越小。（×） 二．单项选择题部分 1：统计整理的关键在（）。 A、对调查资料进行审核 B、对调查资料进行统计分组 C、对调查资料进行汇总 D、编制统计表 2：在组距分组时，对于连续型变量，相邻两组的组限（）。 A、必须是重叠的 B、必须是间断的 C、可以是重叠的，也可以是间断的 D、必须取整数 3：下列分组中属于按品质标志分组的是（）。 A、学生按考试分数分组 B、产品按品种分组 C、企业按计划完成程度分组 D、家庭按年收入分组 4：有一个学生考试成绩为７０分，在统计分组中，这个变量值应归入（）。 A、60---70分这一组 B、70---80分这一组 C、60—70或70—80两组都可以 D、作为上限的那一组 5：某主管局将下属企业先按轻、重工业分类，再按企业规模分组，这样的分组属于（）。 A、简单分组 B、复合分组 C、分析分组 D、结构分组 6：简单分组和复合分组的区别在于（）。 A、选择的分组标志的性质不同 B、选择的分组标志多少不同 C、组数的多少不同 D、组距的大小不同答案： 7：有20 个工人看管机器台数资料如下: 2,5,4,4,3,4,3,4,4,2,2,4, 3,4,6,3,4,5,2,4。如按以上资料编制分配数列,应采用（） A.单项式分组 B.等距分组 C.不等距分组 D.以上几种分组均可以 8：在分组时, 凡遇到某单位的标志值刚好等于相邻两组上下限数值时,一般是（）。 A.将此值归入上限所在组 B.将此值归入下限所在组 C.此值归入两组均可 D.另立一组 9：次数分配数列是（）统计学第三章练习题含答案
概率论与数理统计习题及答案 第三章
《统计学原理》第三章习题
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