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§3.2一元二次不等式教案 高中数学 必修五 苏教版(word版)

§3.2一元二次不等式教案 高中数学 必修五 苏教版(word版)
§3.2一元二次不等式教案 高中数学 必修五 苏教版(word版)

§3.2一元二次不等式

【教学目标】

知识与技能

理解三个“二次”的关系,掌握图像法解一元二次不等式;培养学生数形结合的能力。 过程与方法

经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过函数图像探究一元二次不 等式与相应函数、方程的联系,获得一元二次不等式的解法;

情感态度与价值观

激发学习数学的热情,培养勇于探索的精神,勇于创新精神,同时体会事物之间普遍联 系的辩证思想。

【教学重点】一元二次不等式的解法。

【教学难点】理解三个二次之间的关系。

【教学过程】

(一)课题导入

上网获取信息已经成为人们日常生活的重要组成部分,因特网服务公司(ISP )的任务就是负责将用户的计算机接入因特网,同时收取一定的费用。

某同学要把自己的计算机接入因特网,比如说在我们周围现有两家ISP 公司电信和网通可供选择。假如电信公司每小时收费1.5元(不足1小时按1小时计算);网通公司的收费原则如下图所示,即在用户上网的第1小时内(含恰好1小时,下同)收费1.7元,第2小时内收费1.6元,以后每小时减少0.1元(若用户一次上网时间超过17小时,按17小时计算)。

一般来说,一次上网时间不会超过17小时,所以,不妨设一次上网时间总小于17小时。那么,一次上网在多长时间以内能够保证选择电信公司的上网费用小于或等于选择网通公司所需费用? 分析问题:假设一次上网x 小时,则电信公司收取的费用为 1.5x (元),网通公司收取的费用为20)35(x x -(元),如果能够保证选择电信公司比选择网通公司所需费用少,则x x x 5.120)35(≥-,整理得:一元二次不等式模型:052

≤-x x ………… ①

设计意图:从实际情境中抽象出一元二次不等式模型(互联网的收费问题),引入新课。

(二)讲授新课

1、一元二次不等式的定义

象052≤-x x 这样,只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式。

2、探究一元二次不等式052≤-x x 的解集

怎样求不等式052≤-x x 的解集呢?

探究:

一元二次不等式不是我们熟悉的东西,但是大家看x x x f 5)(2-=和052=-x x 这是什么? 我们十分熟悉的二次函数和一元二次方程,那么这三者之间又有着怎样的关系呢?

容易知道:

二次方程的有两个实数根:120,5x x ==,二次函数有两个零点:120,5x x ==。

于是,我们得到:二次方程的根就是二次函数的零点。

(2)观察图象,获得解集

画出二次函数25y x x =-的图象,如图,观察函数图象,

可知:

当 x < 0,或x > 5时,函数图象位于x 轴上方,此时,y > 0,即250x x ->;

当0=x ,或5=x 时,函数图像与x 轴相交,此时,0=y ,即052

=-x x

当0 < x < 5时,函数图象位于x 轴下方,此时,y < 0,即250x x -<;

通过上述分析,我们可知,不等式052≤-x x 的解集是}50|{≤≤x x ,从而解决了开始时提出的问题,所以我们可知当一次上网在5个小时之内(含5个小时)的时候,选择电信比选择网通费用要少。当超过5个小时的时候,选择网通费用较少。因此,我们可以结合平时的上网时间合理的来进行选择。

设计意图:从一个特殊的不等式出发,通过图像分析给出,一元二次不等式可以通过结合其所对的二次函数图像来进行求解。

(3)探究一般的一元二次不等式的解法

任意的一元二次不等式,总可以化为以下两种形式:c bx ax ++2> 0(a > 0)或c bx ax ++2< 0(a > 0),怎样确定一元二次不等式c bx ax ++2>0与c bx ax ++2<0的解集呢?

组织讨论:

从上面的例子出发,综合学生的意见,可以归纳出确定一元二次不等式的解集,关键要考虑以下两点:

(1)二次函数=y c bx ax ++2与x 轴的相关位置的情况,也就是一元二次方程c bx ax ++2

= 0的根的情况;

(2)二次函数=y c bx ax ++2的开口方向,也就是a 的符号。

总结讨论结果:

(1)二次函数 =y c bx ax ++2(a > 0)与 x 轴的相关位置,分为三种情况,这可以由一元二次方程 c bx ax ++2= 0的判别式ac b 42-=?三种取值情况(Δ > 0,Δ = 0,Δ < 0)来确定,因此,要分三种情况讨论;

(2)a < 0可以转化为a > 0。

归纳总结:一元二次不等式()00022≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集:

设相应的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、,ac b 42-=?,则不等式的解的各种情况如下表: 判别式

ac b 42-=?

0>? 0=? 0

二次函数 c bx ax y ++=2

(0>a )的图象

c bx ax y ++=2 c bx ax y ++=2 c bx ax y ++=2

一元二次方程 ()的根

00

2>=++a c bx ax 有两相异实根

)(,2121x x x x < 有两相等实根 a b x x 221-== 无实根 的解集

)0(0

2>>++a c bx ax {}21x x x x x ><或 两根之外 ??????-≠a b x x 2 R 的解集

)0(0

2><++a c bx ax {}21x x x x << 两个之间

? ? 例题讲解: 例1、解下列关于x 的不等式

(1)062>--x x ;(2)01442>+-x x ;(3)解不等式0322>++-x x

解:(1)因为025)6(14)1(2>=-??--=?,方程062=--x x 的两根是2,321-==x x , 所以,原不等式的解集是{}23-<>x x x 或。

(2)因为210144,0212=

==+-=?x x x x 的解是方程, 所以,原不等式的解集是?

?????

≠21x x 。 (3)整理,得0322<--x x , 化标准

因为016)3(14)2(2>=-??--=?,

方程0322=--x x 的解是1,321-==x x 判Δ,求根 所以不等式0322<+-x x 的解集是{}31<<-x x ,

从而,原不等式的解集是{}31<<-x x 。 下结论

小结:解一元二次不等式的步骤:

(1)化标准:将不等式化成标准形式(右边为0、最高次的系数为正);

(2)判Δ,求根:计算判别式的值,若值为正,则求出相应方程的两根;

(3)下结论:注意结果要写成集合或者区间的形式

设计意图:通过三种不同形式的题目,让学生从各个面对一元二次不等式进行进一步了解,强调一些注意事项,让学生规范操作。(在第三个不等式上可以进行讨论)。

课堂练习:

1、解下列关于x 的不等式

(1)0942>+-x x

(2)10732≤-x x

(3)0322>-+-x x

设计意图:检验教学效果,学生黑板演练。

备选例题(根据学生程度和课堂时间情况进行调整)

例2、求函数)23(log 2)(23x x x x f -++-=的定义域

解:要使得函数有意义,则?

??>-+≥-023022x x x , 所以???<<-≥3

12x x , 即32<≤x , 故函数)(x f 的定义域是)3,2[。

设计意图:结合函数定义域,拓宽学生知识面,列出式子让学生黑板练习,检验教学效果。

(三)随堂练习:课本第80的练习1。

(四)课时小结

今天我们学习了一元二次不等式及其解法,同学下去可以再多看看三个二次之间的关系, 结合函数图像给出不等式的解集。同时要注意解决一元二次不等式的一些需要注意的地方;例如不等式的右边为0、最高次的系数为正等等。

同时请同学们下去思考:我们刚才提到的很多个不等式的左边实际上都可以进行因式分解,那么同学们又是否可以根据因式分解的结果来写出所对不等式的解集呢?

(五)作业:

课本80页习题3.2 A 组第1、2题。

人教版高中数学必修五教案1

第一章解三角形 1.1正弦定理和余弦定理 1.1.1正弦定理 知识结构梳理 几何法证明 正弦定理的证明 向量法证明 已知两角和任意一边 正弦定理正弦定理 正弦定理的两种应用 已知两边和其中一角的对角 解三角形 知识点1 正弦定理及其证明 1正弦定理: 2.正弦定理的证明: (1)向量法证明 (2)平面几何法证明 3.正弦定理的变形 知识点2 正弦定理的应用 1.利用正弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题: (1)已知两角和任意一边,求其他两边和另一角; (2)已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角,从而进一步求出其他的边和角。 2.应用正弦定理要注意以下三点: (1) (2) (3) 知识点3 解三角形

1.1.2余弦定理 知识点1 余弦定理 1. 余弦定理的概念 2. 余弦定理的推论 3. 余弦定理能解决的一些问题: 4. 理解应用余弦定理应注意以下四点: (1) (2) (3) (4) 知识点2 余弦定理的的证明 证法1: 证法2: 知识点3 余弦定理的简单应用 利用余弦定理可以解决以下两类解三角的问题: (1)已知三边求三角; (2)已知两边和它们的夹角,可以求第三边,进而求出其他角。 例1(山东高考)在△ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,tanC=73. (1) 求C cos ; (2) 若 =2 5 ,且a+b=9,求c.

1.2应用举例 知识点1 有关名词、术语 (1)仰角和俯角: (2)方位角: 知识点2 解三角形应用题的一般思路 (1)读懂题意,理解问题的实际背景,明确已知和所求,准确理解应用题中的有关术语、名称,如仰角、俯角、视角、方位角等,理清量与量之间的关系; (2)根据题意画出示意图,将实际问题抽象成解三角形模型; (3)合理选择正弦定理和余弦定理求解; (4)将三角形的解还原为实际问题,注意实际问题中的单位、结果要求近似等。 1.3实习作业 实习作业的方法步骤 (1)首先要准备皮尺、测角仪器,然后选定测量的现场(或模拟现场),再收集测量数据,最后解决问题,完成实习报告。要注意测量的数据应尽量做到准确,为此可多测量几次,取平均值。要有创新意识,创造性地设计实施方案,用不同的方法收集数据,整理信息。 (2)实习作业中的选取问题,一般有:○1距离问题,如从一个可到达点到一个不可到达点之间的距离,或两个不可到达点之间的距离;②高度问题,如求有关底部不可到达的建筑物的高度问题。一般的解决方法就是运用正弦定理、余弦定理解三角形。

高中数学必修5基本不等式知识点总结

高中数学必修5基本不等式知识点总结 一.算术平均数与几何平均数 1.算术平均数 设a 、b 是两个正数,则 2 a b +称为正数a 、b 的算术平均数 2.几何平均数 a 、 b 的几何平均数 二基本不等式 1.基本不等式: 若0a >,0b >,则a b +≥,即 2 a b +≥2.基本不等式适用的条件 一正:两个数都是正数 二定:若x y s +=(和为定值),则当x y =时,积xy 取得最大值2 4 s 若xy p =(积为定值),则当x y =时,和x y +取得最小值 三相等:必须有等号成立的条件 注:当题目中没有明显的定值时,要会凑定值 3.常用的基本不等式 (1)()22 2,a b ab a b R +≥∈ (2)()22 ,2 a b ab a b R +≤∈ (3)()20,02a b ab a b +??≤>> ??? (4)()222,22a b a b a b R ++??≥∈ ??? . 三.跟踪训练 1.下列各函数中,最小值为2的是 ( ) A .1y x x =+ B .1sin sin y x x =+,(0,)2x π∈ C .2 y = D .1y x =+ 2.当02x π <<时,函数21cos 28sin ()sin 2x x f x x ++=的最小值是( )。

A. 1 B. 2 C. 4 D. 3.x >0,当x 取什么值,x +1x 的值最小?最小值是多少? 4.用20cm长的铁丝折成一个面积最大的矩形,应该怎样折? 5.一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花园,墙长18m,这个矩形的长,宽各为多少时,花园的面积最大?最大面积是多少? 6.设0,0x y >>且21x y +=,求11x y +的最小值是多少? 7.设矩形ABCD(AB>AD)的周长是24,把?ABC沿AC向?ADC折叠,AB折过去后交CD与点P,设AB=x ,求?ADP的面积最大值及相应x 的值

新人教版高中数学必修5知识点总结(详细)

高中数学必修5知识点总结 第一章 解三角形 1、三角形三角关系:A+B+C=180°;C=180°-(A+B); 2、三角形三边关系:a+b>c; a-b,则90C <;③若 222a b c +<,则90C >. 注:正余弦定理的综合应用:如图所示:隔河看两目标

高中数学必修五基本不等式题型(精编)

高中数学必修五基本不等式题型(精编) 变 2.下列结论正确的是 ( ) A .若a b >,则ac bc > B .若a b >,则22a b > C .若a c b c +<+,0c <,则a b > D >a b > 3. 若m =(2a -1)(a +2),n =(a +2)(a -3),则m ,n 的大小关系正确的是 例2、解下列不等式 (1)2230x x --≥ (2)2280x x -++> (3) 405x x ->- (4)405 x x -≥- (5)112x ≥ (6)已知R a ∈,解关于x 的不等式()()01<--x x a .

变、若不等式02<--b ax x 的解集为{} 32<

例5、 1. 积为定值 (1)函数1y x x =+ (x >0)的最小值是 . (2)设2a >,12 p a a =+-的最大值是 . (3)函数1y x x =+ (x <0)的最小值是 . (4) 变、 (1 )2y = 的最小值是 . (2) . 2. 和为定值 (1) ,y=x(4-x) 的最大值是 . (2), 的最大值是 . 例6、“1”的妙用 1. 2.已知正数,x y 满足21x y +=,则 y x 11+的最小值为______

高中数学必修五-不等式知识点精炼总结

高中数学必修五-不等式知识点精炼总结 4.公式: 3.解不等式 (1)一元一次不等式 3.基 本不等式定理 ? ?? ? ? ??????? ? ?????????????????-≤+?<≥+?>≥+ ??? ????+≤+≥+?? ?? ???????? ?+≤??? ??+≤+≥+≥+2a 1a 0a 2a 1a 0a b ,a (2b a a b )b a (2b a ab 2 b a 2b a ab 2b a ab )b a (2 1b a ab 2b a 2 22222 2 222倒数形式同号)分式形式根式形式整式形 式11 22a b a b --+≤≤≤+???? ? <<>> ≠>)0a (a b x )0a (a b x )0a (b ax 2.不等式的性质:8条性质.

(2)一元二次不等式: +bx+c x 1 x 2 x y O y x O x 1 y x O

一元二次不等式的求 解流程: 一化:化二次项前的系数为正数. 二判:判断对应方程的根. 三求:求对应方程的根. 四画:画出对应函数的图象. 五解集:根据图象写出不等式的解集. (3)解分式不等式: 高次不等式: (4)解含参数的不等式:(1) (x – 2)(ax – 2)>0 (2)x 2 – (a +a 2)x +a 3>0; (3)2x 2 +ax +2 > 0; 注:解形如ax 2+bx+c>0的不等式时分类讨 论的标准有: 1、讨论a 与0的大小; 2、讨论⊿与0的大小; 3、讨论两根的大小; 二、运用的数学思想: 1、分类讨论的思想; 2、数形结合的思想; 3、等与不等的化归思想 (4)含参不等式恒成立的问题: ??????????≠≤??≤>??>0)x (g 0)x (g )x (f 0) x (g )x (f 0)x (g )x (f 0)x (g ) x (f 0 )())((21>---n a x a x a x Λ

人教新课标版数学高一必修5人教A版 第三章3.2第3课时一元二次不等式解法

第三章 不等式 3.2 一元二次不等式及其解法 第3课时 一元二次不等式解法(习题课) A 级 基础巩固 一、选择题 1.不等式(x -1)x +2≥0的解集是( ) A .{x |x >1} B .{x |x ≥1} C .{x |x ≥1或x =-2} D .{x |x ≤-2或x =1} 解析:(x -1)x +2≥0, 所以???x -1≥0,x +2≥0 或x =-2, ?x ≥1或x =-2,故选C. 答案:C 2.若集合A ={x |ax 2-ax +1<0}=?,则实数a 的值的集合是 ( ) A .{a |00,Δ≤0????a >0,a 2-4a ≤0 ?0≤a ≤4. 综上知,0≤a ≤4.选D. 答案:D

3.已知集合M =???? ??x ???x +3x -1<0,N ={x |x ≤-3},则集合{x |x ≥1}等于( ) A .M ∩N B .M ∪N C .?R(M ∩N ) D .?R(M ∪N ) 解析:因为M ={x |-33 C .12 解析:f (x )=x 2+(a -4)x +4-2a >0,a ∈[-1,1]恒成立?(x -2)a +x 2-4x +4>0,a ∈[-1,1]恒成立.

高中数学必修五基本不等式学案

高中数学必修五基本不等式:ab≤a+b 2(学案) 学习目标:1.了解基本不等式的证明过程.2.能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小(重点、难点).3.熟练掌握利用基本不等式求函数的最值问题(重点). [自主预习·探新知] 1.重要不等式 如果a,b∈R,那么a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时取“=”). 思考:如果a>0,b>0,用a,b分别代替不等式a2+b2≥2ab中的a,b,可得到怎样的不等式? [提示]a+b≥2ab. 2.基本不等式:ab≤a+b 2 (1)基本不等式成立的条件:a,b均为正实数; (2)等号成立的条件:当且仅当a=b时取等号. 思考:不等式a2+b2≥2ab与ab≤a+b 2成立的条件相同吗?如果不同各是 什么? [提示]不同,a2+b2≥2ab成立的条件是a,b∈R;ab≤a+b 2成立的条件 是a,b均为正实数. 3.算术平均数与几何平均数 (1)设a>0,b>0,则a,b的算术平均数为a+b 2,几何平均数为 (2)基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 思考:a+b 2≥ab与? ? ? ? ? a+b 2 2 ≥ab是等价的吗? [提示]不等价,前者条件是a>0,b>0,后者是a,b∈R. 4.用基本不等式求最值的结论 (1)设x,y为正实数,若x+y=s(和s为定值),则当x=y=s 2时,积xy有最

小值为2xy . (2)设x ,y 为正实数,若xy =p (积p 为定值),则当x =y =p 时,和x +y 有最大值为(x +y )2 4. 5.基本不等式求最值的条件 (1)x ,y 必须是正数. (2)求积xy 的最大值时,应看和x +y 是否为定值;求和x +y 的最小值时,应看积xy 是否为定值. (3)等号成立的条件是否满足. 思考:利用基本不等式求最值时应注意哪几个条件?若求和(积)的最值时,一般要确定哪个量为定值? [提示] 三个条件是:一正,二定,三相等.求和的最小值,要确定积为定值;求积的最大值,要确定和为定值. [基础自测] 1.思考辨析 (1)对任意a ,b ∈R ,a 2+b 2≥2ab ,a +b ≥2ab 均成立.( ) (2)对任意的a ,b ∈R ,若a 与b 的和为定值,则ab 有最大值.( ) (3)若xy =4,则x +y 的最小值为4.( ) (4)函数f (x )=x 2 +2 x 2+1 的最小值为22-1.( ) [答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√ 2.设x ,y 满足x +y =40,且x ,y 都是正数,则xy 的最大值为________. 400 [因为x ,y 都是正数, 且x +y =40,所以xy ≤? ???? x +y 22 =400,当且仅当x =y =20时取等号.] 3.把总长为16 m 的篱笆围成一个矩形场地,则矩形场地的最大面积是________ m 2. 16 [设一边长为x m ,则另一边长可表示为(8-x )m ,则面积S =x (8-x )≤? ???? x +8-x 22 =16,当且仅当x =4时取等号,故当矩形的长与宽相等,都为4 m 时面积取到最大值16 m 2.]

人教版高中数学必修5不等式练习题及答案

第三章 不等式 一、选择题 1.若a =20.5,b =log π3,c =log πsin 5 2π ,则( ). A .a >b >c B .b >a >c C .c >a >b D .b >c >a 2.设a ,b 是非零实数,且a <b ,则下列不等式成立的是( ). A .a 2<b 2 B .ab 2<a 2b C . 21ab <b a 21 D . a b <b a 3.若对任意实数x ∈R ,不等式|x |≥ax 恒成立,则实数a 的取值范围是( ). A .a <-1 B .|a |≤1 C .|a |<1 D .a ≥1 4.不等式x 3-x ≥0的解集为( ). A .(1,+∞) B .[1,+∞) C .[0,1)∪(1,+∞) D .[-1,0]∪[1,+∞) 5.已知f (x )在R 上是减函数,则满足f (11 -x )>f (1)的实数取值范围是( ). A .(-∞,1) B .(2,+∞) C .(-∞,1)∪(2,+∞) D .(1,2) 6.已知不等式f (x )=ax 2-x -c >0的解集为{x |-2<x <1},则函数y =f (-x )的图象为图中( ). A B C D 7.设变量x ,y 满足约束条件?? ? ??y x y x y x 2++- 则目标函数z =5x +y 的最大值是( ). A .2 B .3 C .4 D .5 8.设变量x ,y 满足?? ? ??5 --31+-3-+y x y x y x 设y =kx ,则k 的取值范围是( ). A .[ 21,3 4 ] B .[ 3 4 ,2] C .[ 2 1 ,2] D .[ 2 1 ,+∞) ≥0 ≤1 ≥1 ≥0 ≥1 ≤ 1 (第6题)

人教版高中数学必修5期末测试题

期末测试题 考试时间:90分钟 试卷满分:100分 一、选择题:本大题共14小题,每小题4分,共56分. 在每小题的4个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.在等差数列3,7,11…中,第5项为( ). A .15 B .18 C .19 D .23 2.数列{}n a 中,如果n a =3n (n =1,2,3,…) ,那么这个数列是( ). A .公差为2的等差数列 B .公差为3的等差数列 C .首项为3的等比数列 D .首项为1的等比数列 3.等差数列{a n }中,a 2+a 6=8,a 3+a 4=3,那么它的公差是( ). A .4 B .5 C .6 D .7 4.△ABC 中,∠A ,∠B ,∠C 所对的边分别为a ,b ,c .若a =3,b =4,∠C =60°, 则c 的值等于( ). A .5 B .13 C .13 D .37 5.数列{a n }满足a 1=1,a n +1=2a n +1(n ∈N +),那么a 4的值为( ). A .4 B .8 C .15 D .31 6.△ABC 中,如果A a tan =B b tan =C c tan ,那么△ABC 是( ). A .直角三角形 B .等边三角形 C .等腰直角三角形 D .钝角三角形 7.如果a >b >0,t >0,设M =b a ,N =t b t a ++,那么( ). A .M >N B .M <N C .M =N D .M 与N 的大小关系随t 的变化而变化 8.如果{a n }为递增数列,则{a n }的通项公式可以为( ). A .a n =-2n +3 B .a n =-n 2-3n +1 C .a n = n 21 D .a n =1+log 2n

人教A版高中数学必修五讲义及题型归纳:基本不等式

基本不等式 1.均值定理:如果a , b +∈R (+R 表示正实数),那么 2 a b +,当且仅当a b =时,有等号成立. 此结论又称均值不等式或基本不等式. 2 2a b +2 a b +需要前提条件,a b +∈R . 2 a b +叫做a ,b a ,b 3.可以认为基本元素为ab ,a b +,22a b +;其中任意一个为定值,都可以求其它两个的最值. 考点1:常规基本不等式问题 例1.(1)已知0x >,则1 82x x +的最小值为( ) A .2 B .3 C .4 D .5 【解答】解:0x >Q ,1842x x ∴+=… 当且仅当1 82x x =即14x =时取等号, 故选:C . (2)已知3 05 x <<,则(35)x x -取最大值时x 的值为( ) A . 310 B .910 C . 95 D . 12 【解答】解:305 x << Q , 则2115359 (35)5(35)()5 5220 x x x x x x +--=?-?= ?, 当且仅当535x x =-即3 10 x =时取最大值 故选:A . (3)已知函数9 4(1)1 y x x x =-+>-+,当x a =时,y 取得最小值b ,则23a b +等于( ) A .9 B .7 C .5 D .3 【解答】解:1x >-Q ,10x ∴+>,

99 41511 y x x x x ∴=-+ =++-++ 5… 1=, 当且仅当9 11 x x += +,即2x =时取等号, y ∴取得最小值1b =,此时2x a ==, 237a b ∴+=. 故选:B . (4)已知0a >,0b >,且22a b +=,则ab 的最大值为( ) A . 12 B C .1 D 【解答】解:0a >Q ,0b >,且22a b +=, 则21 121(2)()2 222 a b ab a b +=??=g ? , 当且仅当2a b =且22a b +=即12a =,1b =时取得最大值1 2 . 故选:A . 考点2:基本不等式易错点 例2.(1)已知1x y +=,0y >,0x ≠,则1||2||1 x x y ++的最小值是( ) A . 1 2 B . 14 C . 34 D . 54 【解答】解:由1x y +=,0y >得10y x =->, 解得1x <且0x ≠, ①当01x <<时,1||12||121 x x x y x y +=+++, 122242x x x x x x x x +-=+=+ --, 12115()2442424 x x x x -= +++?=-…, 当且仅当 242x x x x -= -即23x =时取等号; ②当0x <时, 1||1()2||121 x x x y x y +=-+++,

必修5一元二次不等式解法

一元二次不等式及其解法 [考点梳理] 1.解不等式的有关理论 (1)若两个不等式的解集相同,则称它们是; (2)一个不等式变形为另一个不等式时,若两个不等式是同解不等式,这种变形称为不等式的; (3)解不等式变形时应进行同解变形;解不等式的结果,一般用集合表示. 2.一元一次不等式解法 任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后,都可以化为ax >b (a ≠0)的形式.当a >0时,解集为_______;当a <0时,解集为.若关于x 的不等式ax >b 的解集是R ,则实数a ,b 满足的条件是_______. 3.一元二次不等式及其解法 (1)我们把只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为__________不等式. (2)使某个一元二次不等式成立的x 的值叫做这个一元二次不等式的解,一元二次不等式所有的解组成的集合叫做一元二次不等式的________. (3)若一元二次不等式经过同解变形后,化为一元二次不等式ax 2+bx +c >0(或ax 2+bx +c <0)(其中a >0)的形式,其对应的方程ax 2+bx +c =0有两个不相等的实根x 1,x 2,且x 1<x 2(此时Δ=b 2-4ac >0),则可根据“大于号取,小于号取”求解集. (4)一元二次不等式的解: 函数与不等式 Δ>0 Δ=0 Δ<0 二次函数y =ax 2+bx +c (a >0)的图象 一元二次方程ax 2+bx +c =0 (a >0)的根 有两相异实根 x 1,x 2(x 1<x 2) 有两相等实根 x 1=x 2=-b 2a 无实根 ax 2+bx +c >0(a >0)的解集 ① ② R ax 2+bx +c <0(a >0)的解集 {x |x 1<x <x 2} ? ③ (1)化分式不等式为标准型.方法:移项,通分,右边化为0,左边化为 f (x ) g (x ) 的形式. (2)将分式不等式转化为整式不等式求解,如: f (x ) g (x )>0 ? f (x )g (x )>0;f (x ) g (x ) <0 ? f (x )g (x )<0; f (x ) g (x )≥0 ? ???f (x )g (x )≥0,g (x )≠0;f (x )g (x )≤0 ? ???f (x )g (x )≤0,g (x )≠0.

高中数学必修5知识点总结归纳(人教版最全)

高中数学必修五知识点汇总 第一章 解三角形 一、知识点总结 正弦定理: 1.正弦定理:2sin sin sin a b c R A B C === (R 为三角形外接圆的半径). 步骤1. 证明:在锐角△ABC 中,设BC=a,AC=b,AB=c 。作CH ⊥AB 垂足为点H CH=a ·sinB CH=b ·sinA ∴a ·sinB=b ·sinA 得到b b a a s i n s i n = 同理,在△ABC 中, b b c c sin sin = 步骤2. 证明:2sin sin sin a b c R A B C === 如图,任意三角形ABC,作ABC 的外接圆O. 作直径BD 交⊙O 于D. 连接DA. 因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90° 因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D 等于∠C. 所以C R c D sin 2sin == 故2sin sin sin a b c R A B C === 2.正弦定理的一些变式: ()sin sin sin i a b c A B C ::=::;()sin ,sin ,sin 22a b ii A B C R R ==2c R =; ()2sin ,2sin ,2sin iii a R A b R B b R C ===; (4)R C B A c b a 2sin sin sin =++++ 3.两类正弦定理解三角形的问题: (1)已知两角和任意一边,求其他的两边及一角. (2)已知两边和其中一边的对角,求其他边角.(可能有一解,两解,无解) 4.在ABC ?中,已知a,b 及A 时,解得情况: 解法一:利用正弦定理计算 解法二:分析三角形解的情况,可用余弦定理做,已知a,b 和角A ,则由余弦定理得 即可得出关于c 的方程:0cos 2222=-+-a b Ac b c 分析该方程的解的情况即三角形解的情况 ①△=0,则三角形有一解 ②△>0则三角形有两解 ③△<0则三角形无解 余弦定理:

高中数学必修五《基本不等式》优秀教学设计

课题:基本不等式 一、教材分析: 本节课选自《普通高中课程标准实验教科书·数学5·必修》(人教A版)中第三章第四节。本节课主要研究基本不等式的几何背景、代数证明和实际生活中的应用。 基本不等式在现实生活中运用比较广泛。本节课通过从生活与几何背景中得到基本不等式、证明不等式与回归生活解决实际问题的思路,体现新课标“数学有用”的理念。同时,运用基本不等式求最值也是数列研究的基本问题。通过对本节的研究,培养学生数形结合的思想方法。 二、学情分析: 在本节课之前学生已经学习了不等关系与不等式和一元二次不等式及其解法,对不等关系的一般性质和不等式的求解证明有了一定的理解,为基本不等式的学习提供了基础。 授课班级为高一(1)班,我班学生整体基础知识一般、部分学生思维较活跃,能够较好的掌握教材上的内容,但处理、分析问题的能力还有待提高。 三、设计思想: 本课为新授课,积极践行新课程“数学有用”理念,倡导积极主动、勇于探索的学习精神和合作探究式的学习方式;注重提高数学思维能力,在教与学的和谐统一中体现数学思想和文化价值;注重信息技术与数学课程的整合。

四、教学目标: 1、知识与技能: (1) 师生共同探究基本不等式; (2) 了解基本不等式的代数、几何背景及基本不等式的证明; (3) 会简单运用基本不等式。 2、过程与方法: 通过基本不等式的探索、发现,在知识发生、发展以及形成过程中培养学生观察、联想、归纳、分析、综合和逻辑推理的能力;遵循从特殊到一般的认知规律,让学生在实践中通过观察、尝试、分析、类比的方法导出基本不等式,培养学生数形结合的思维能力。 3、情感、态度与价值观: (1)培养学生举一反三的逻辑推理能力,并通过不等式的几何解释,丰富学生数形结合的想象力; (2) 通过具体的现实问题提出、分析与解决,激发学生探究的兴趣和欲望,树立学生求真的勇气和自信心,增强学生学好数学的心理体验,产生热爱数学的情感,体验在学习中获得成功的快乐。 五、教学重点: (1)用数形结合的思想理解并探索基本不等式的证明; (2)运用基本不等式解决实际问题。 教学难点:基本不等式的运用。 重、难点解决的方法策略: 本课在设计上采用了由特殊到一般、从具体图形到抽象代数的教

高中数学必修5(人教A版)第三章不等式3.3知识点总结含同步练习及答案

描述:例题:高中数学必修5(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案 第三章 不等式 3.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 一、学习任务 1. 能从实际情景中抽象出二元一次不等式组;了解二元一次不等式组的集合意义,能用平面区 域表示二元一次不等式组. 2. 能从实际情景中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决. 二、知识清单 平面区域的表示 线性规划 非线性规划 三、知识讲解 1.平面区域的表示 二元一次不等式表示的平面区域 已知直线 :,它把坐标平面分为两部分,每个部分叫做开半平面,开半平面 与 的并集叫做闭半平面.以不等式解 为坐标的所有点构成的集合,叫做不等式表示的 区域或不等式的图象. 对于直线 : 同一侧的所有点 ,代数式 的符号相同,所 以只需在直线某一侧任取一点 代入 ,由 符号即可判断 出 (或)表示的是直线哪一侧的点集.直线 叫做这 两个区域的边界(boundary). 二元一次不等式组表示的平面区域 二元一次不等式组所表示区域的确定方法:①直线定界②由几个不等式组成的不等式组所表示的 平面区域,是各个不等式所表示的平面区域的公共部分. l Ax +By +C =0l (x ,y )l Ax +By +C =0(x ,y )Ax +By +C (,)x 0y 0Ax +By +C A +B +C x 0y 0A +B +C >0x 0y 0<0Ax +By +C =0画出下列二元一次不等式表示的平面区域. (1) ;(2). 解:(1)① 画出直线 ,因为这条直线上的点不满足 ,所以画 成虚线. ② 取原点 ,代入 ,所以原点在不等式 所表示的平 面区域内,不等式表示的区域如图. 3x +2y +6>0y ?3x 3x +2y +6=03x +2y +6>0(0,0)3x +2y +6=6>03x +2y +6>0

高中数学必修五教案-基本不等式

第一课时 3.4基本不等式 2a b +≤(一) 教学要求:通推导并掌握基本不等式,理解这个基本不等式的几何意义,并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是:当且仅当这两个数相等; 教学重点: 2 a b +≤的证明过程; 教学难点:理解“当且仅当a=b 时取等号”的数学内涵 教学过程: 一、复习准备: 1. 回顾:二元一次不等式(组)与简单的线形规划问题。 2. 提问:如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标,会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,颜色的明暗使它看上去象一个风车,代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗? 二、讲授新课: 1. 教学:基本不等式 2a b +≤ ①探究:图形中的不等关系,将图中的“风车”抽象成如图,在 正方形ABCD 中右个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边长为a,b 那么正方形的 4个直角三角形的面积的和是2ab ,正方形的面积为22a b +。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积,我们就得到了一个不等式:222a b ab +≥。当直角三角形变为等腰直角三角形,即a=b 时,正方形EFGH 缩为一个点,这时有222a b ab +=。(教师提问→学生思考→师生总结) ②思考:证明一般的,如果)""(2R,,2 2号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a ③基本不等式:如果a>0,b>0,我们用分别代替a 、b ,可得a b +≥, (a>0,b>0)2a b +≤ 2 a b +≤ : 用分析法证明:要证 2a b +≥, 只要证 a+b ≥ (2), 要证(2),只要证 a+b- ≥0(3)要证(3), 只要证( - )2(4), 显然,(4)是成立的。当且仅当a=b 时,(4)中的等号成立。 ⑤练习:已知x 、y 都是正数,求证:(1)y x x y +≥2;(2)(x +y )(x 2+y 2)(x 3+y 3)≥8 x 3y 3.

【数学】3.2《一元二次不等式及其解法》教案(新人教A版必修5)(2课时)

课题: §3.2一元二次不等式及其解法 第1课时 授课类型:新授课 【教学目标】 1.知识与技能:理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系,掌握图象法解一元二次不等式的方法;培养数形结合的能力,培养分类讨论的思想方法,培养抽象概括能力和逻辑思维能力; 2.过程与方法:经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过函数图象探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系,获得一元二次不等式的解法; 3.情态与价值:激发学习数学的热情,培养勇于探索的精神,勇于创新精神,同时体会事物之间普遍联系的辩证思想。 【教学重点】 从实际情境中抽象出一元二次不等式模型;一元二次不等式的解法。 【教学难点】 理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系。 【教学过程】 1.课题导入 从实际情境中抽象出一元二次不等式模型: 教材P84互联网的收费问题 教师引导学生分析问题、解决问题,最后得到一元二次不等式模型: 2 50x x -< (1) 2.讲授新课 1)一元二次不等式的定义 象250x x -<这样,只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式 2)探究一元二次不等式250x x -<的解集 怎样求不等式(1)的解集呢? 探究: (1)二次方程的根与二次函数的零点的关系 容易知道:二次方程的有两个实数根:120,5x x == 二次函数有两个零点:120,5x x == 于是,我们得到:二次方程的根就是二次函数的零点。 (2)观察图象,获得解集 画出二次函数2 5y x x =-的图象,如图,观察函数图象,可知: 当 x<0,或x>5时,函数图象位于x 轴上方,此时,y>0,即2 50x x ->; 当0

人教版高二数学必修五学案(全套)

加油吧,少年,拼一次,无怨无悔! 高二数学必修五全套学案 §1.1.1 正弦定理 学习目标 1. 掌握正弦定理的内容; 2. 掌握正弦定理的证明方法; 3. 会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题. 学习过程 一、课前准备 试验:固定?ABC的边CB及∠B,使边AC绕着顶点C转动. 思考:∠C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系? 显然,边AB的长度随着其对角∠C的大小的增大而.能否用一个等式把这种关系精确地表示出来? 二、新课导学 ※学习探究 探究1:在初中,我们已学过如何解直角三角形,下面就首先来探讨直 角三角形中,角与边的等式关系. 如图,在Rt?ABC中,设BC=a, AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义,

有 sin a A c =,sin b B c =,又sin 1c C c ==, 从而在直角三角形ABC 中,sin sin sin a b c A B C == . ( 探究2:那么对于任意的三角形,以上关系式是否仍然成立? 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况: 当?ABC 是锐角三角形时,设边AB 上的高是CD ,根据任意角三角函数的定义, 有CD =sin sin a B b A =,则sin sin a b A B = , 同理可得sin sin c b C B = , 从而sin sin a b A B = sin c C =. 类似可推出,当?ABC 是钝角三角形时,以上关系式仍然成立.请你试试导. 新知:正弦定理 在一个三角形中,各边和它所对角的 的比相等,即 sin sin a b A B = sin c C =. 试试: (1)在ABC ?中,一定成立的等式是( ). A .sin sin a A b B = B .cos cos a A b B =

必修五不等式知识点总结

不等式总结 一、不等式的主要性质: (1)对称性:a b b a (2)传递性:c a c b b a >?>>, (3)加法法则:c b c a b a +>+?>; d b c a d c b a +>+?>>, (4)乘法法则:bc ac c b a >?>>0,; bc ac c b a 0, bd ac d c b a >?>>>>0,0 (5)倒数法则:b a a b b a 110,> (6)乘方法则:)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 (7)开方法则:)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 二、一元二次不等式02>++c bx ax 和)0(02≠<++a c bx ax 及其解法 有两相异实根 有两相等实根注意:一般常用因式分解法、求根公式法求解一元二次不等式 顺口溜:在二次项系数为正的前提下:大于型取两边,小于型取中间

三、均值不等式 1.均值不等式:如果a,b 是正数,那么 ).""(2 号时取当且仅当==≥+b a ab b a 2、使用均值不等式的条件:一正、二定、三相等 3、平均不等式:平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均(a 、b 为正数),即 2 112a b a b ++(当a = b 时取等) 四、含有绝对值的不等式 1.绝对值的几何意义:||x 是指数轴上点x 到原点的距离;12||x x -是指数轴上12,x x 两点间的距离 2、则不等式:如果,0>a a x a x a x -<><=>>或|| a x a x a x -≤≥<=>≥或|| a x a a x <<-<=><|| a x a a x ≤≤-<=>≤|| 3.当0c >时, ||ax b c ax b c +>?+>或ax b c +<-, ||ax b c c ax b c +?∈,||ax b c x φ+?-<<,|| (0)x a a x a >>?>或x a <-. (2)定义法:零点分段法;(3)平方法:不等式两边都是非负时,两边同时平方. 五、其他常见不等式形式总结:

必修5数学不等式典型例题解析(整理)

不等式 一.不等式的性质: 1.同向不等式可以相加;异向不等式可以相减:若,a bc d >>,则a c b d +>+(若,a b c d ><,则a c b d ->-), 但异向不等式不可以相加;同向不等式不可以相减; 2.左右同正不等式:同向的不等式可以相乘,但不能相除;异向不等式可以相除,但不能相乘:若 0,0a b c d >>>>,则ac bd >(若0,0a b c d >><<,则 a b c d >); 3.左右同正不等式:两边可以同时乘方或开方:若0a b >>,则n n a b >> 4.若0ab >,a b >,则11a b <;若0ab <,a b >,则11 a b >。如 (1)对于实数c b a ,,中,给出下列命题: ①22,bc ac b a >>则若; ②b a bc ac >>则若,22; ③22,0b ab a b a >><<则若; ④b a b a 11,0<<<则若; ⑤b a a b b a ><<则 若,0; ⑥b a b a ><<则若,0; ⑦b c b a c a b a c ->->>>则若,0; ⑧11 ,a b a b >>若,则0,0a b ><。 其中正确的命题是______ (答:②③⑥⑦⑧); (2)已知11x y -≤+≤,13x y ≤-≤,则3x y -的取值范围是______ (答:137x y ≤-≤); (3)已知c b a >>,且,0=++c b a 则 a c 的取值范围是______ (答:12,2??-- ??? ) 二.不等式大小比较的常用方法: 1.作差:作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果; 2.作商(常用于分数指数幂的代数式); 3.分析法; 4.平方法; 5.分子(或分母)有理化; 6.利用函数的单调性; 7.寻找中间量或放缩法 ; 8.图象法。其中比较法(作差、作商)是最基本的方法。如 (1)设0,10>≠>t a a 且,比较 2 1log log 21+t t a a 和的大小 (答:当1a >时,11log log 22a a t t +≤(1t =时取等号);当01a <<时,11 log log 22 a a t t +≥(1t =时取等号)); (2)设2a >,12 p a a =+-,2 422-+-=a a q ,试比较q p ,的大小 (答:p q >); (3)比较1+3log x 与)10(2log 2≠>x x x 且的大小 (答:当01x <<或43x >时,1+3log x >2log 2x ;当413x <<时,1+3log x <2log 2x ;当4 3 x =时,1+3 log x =2log 2x ) 三.利用重要不等式求函数最值时,你是否注意到:“一正二定三相等,和定积最大,积定和最小”这17字方针。如

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