当前位置：文档之家› 概率论基础复习题及答案

概率论基础复习题及答案

《概率论基础》本科

填空题（含答案）

1．

设随机变量ξ的密度函数为p(x), 则 p(x) ≥0; ?∞

∞

-dx x p )(= 1 ；Eξ=?∞

∞

-dx x xp )(。

考查第三章

2．

设A,B,C 为三个事件，则A,B,C 至少有一个发生可表示为：C B A Y Y ；A,C 发生而B 不发生可表示 C B A ；A,B,C 恰有一个发生可表示为：C B A C B A C B A ++。考查第一章

3．

设随机变量)1,0(~N ξ，其概率密度函数为)(0x ?，分布函数为)(0x Φ，则)0(0?等于π

21，)0(0Φ等

于。考查第三章

4．设随机变量ξ具有分布P{ξ=k}=5

，k=1,2,3,4,5，则Eξ= 3 ，Dξ= 2 。考查第五章

5．

已知随机变量X ，Y 的相关系数为XY r ,若U=aX+b,V=cY+d, 其中ac>0. 则U ，V 的相关系数等于 XY r 。考查第五章

6．

设),(~2

σμN X ，用车贝晓夫不等式估计：≥<-)|(|σμk X P 211k

- 考查第五章

7．

设随机变量ξ的概率函数为P{ξ=i x }=i p ,...,2,1=i 则 i p ≥ 0 ；∑∞

i i

= 1 ；Eξ=

∑∞

i i

i p

x 。

考查第一章

8．

设A,B,C 为三个事件，则A,B,C 都发生可表示为：ABC ；A 发生而B,C 不发生可表示为：C B A ；A,B,C 恰有一个发生可表示为：C B A C B A C B A ++。考查第一章

9．

)4,5(~N X ，)()(c X P c X P <=>，则=c 5 。

考查第三章

10．设随机变量ξ在[1，6]上服从均匀分布，则方程012

=++x x ξ有实根的概率为

。考查第三章较难

11．若随机变量X ，Y 的相关系数为XY r ,U=2X+1,V=5Y+10 则U ，V 的相关系数=XY r 。考查第三章

12．若 θ服从[,]22ππ

-的均匀分布， 2?θ=，则 ?的密度函数 ()g y ＝ 1

()2g y y πππ

=-<<。

考查第五章

13．设4.0)(=A P ，7.0)(=+B A P ，若A 与B 互不相容，则=)(B P ；若A 与B 相互独立，则

=)(B P 。

考查第一章

14．将数字1，2，3，4，5写在5张卡片上，任意取出三张排列成三位数，这个数是奇数的概率P （A ）= 3

13P P C 。考查第一章

15．若)8.0,10(~B ξ，=ξE 8 ，=ξD ，最可能值=0k 8 。考查第二、五章

16．设随机变量X 的概率密度为0

()0

xe x f x x -?>=?

≤?，则(3)E X = 6 , 3()X E e =

116

考查第四、五章

17．任取三线段分别长为x,y,z 且均小于等于a ，则x,y,z 可构成一三角形的概率12

考查第一章（较难）

18．设随机变量X ，Y 的相关系数为1，若Z=,则Y 与Z 的相关系数为 1

考查第五章

19．若~(3,0.16)N ξ，=ξE 3 ，=ξD .

考查第五章

20. 若~(10,0.7)B ξ，(9)E ξ+= 16 ，(23)D ξ+= .

考查第五章

21. 某公司有A 、B 、C 三个生产基地生产同一种产品，产量分别占20%，45%和35%．三个基地的产品各有30%，20%，25%在北京市场销售．则该公司任取此产品一件，它可能在销往北京市场的概率为．

考查第二章

22. )(x f 为一维连续型随机变量X 的概率密度函数，则有=?

∞

-dx x f )( 1 ；若离散型随机变量Y 具有分布

列,)(k k p y Y P ==则

=∑k

1 ．

考查第三章

23. 若Y X ,是相互独立的随机变量，均服从二项分布，参数为p n ,1及p n ,2，则Y X +服从参数为参数为

p n n ,21+的二项分布分布．

考查第四章

24. 设随机变量X 服从参数为0和2的正态分布)2,0(N ,则EX =_____0____; DX =______2_____．

考查第五章

25．设A,B,C 为任意三个事件，则其中至少有两个事件发生应表示为 ABC BC A C B A C AB +++。

考查第一章

27．若二维随机向量（ηξ,）的联合密度函数 P(x,y)=

]})())((2)([)1(21

exp{121222221212121222

1σσσσσπσa y a y a x r a x r r

-+------- 则E ξ= 1a , D ξ= 21σ, E η=2a , D η=2

2σ Cov(ηξ,)=12r σσ.

考查第五章

28．两人相约7点到8点在某地会面，先到者等另一个人20分钟，过时就可离开，则两人能会面的概率为 5/9 。

考查第一三章

选择题(含答案)

1.一模一样的铁罐里都装有大量的红球和黑球，其中一罐（取名“甲罐”）内的红球数与黑球数之比为2：1，另一罐（取名“乙罐”）内的黑球数与红球数之比为2：1，今任取一罐并从中依次取出50只球，查得其中有30只红球和20只黑球，则该罐为“甲罐”的概率是该罐为“乙罐”的概率的( D ) （A ）2倍（B ）254倍（C ）798倍（D ）1024倍

2.在[0,1]线段上随机投掷两点，两点间距离大于的概率为( A ) （A ）（B ）（C ）（D ）1

3.设独立随机变量X ，Y 分别服从标准正态分布，则X + Y 服从( C )

（A ）N(2,0) （B ）自由度为2的2

χ分布（C ）N(0,2) （D ）不能确定 4.设P （X=n ）=a n

,...)2,1(=n 且EX=1，则a 为( B )

（A ）1 （B ）

253- （C ）3

（D ）215- 5．下列论述不正确的是 ( B )

（A ）若事件A 与B 独立则A 与B 独立（B ）事件A B 不相容则A 与B 独立（C ）n 个事件两两独立不一定相互独立（D ）随机变量ξ和η独立则二者不相关

6．甲乙两人各投掷n 枚硬币，理想状态下甲乙两人掷得正面数相同的概率为( C ) （A ）0 （B ）

n n

k C ∑

（C ）n n n C 22)21( （D ）n 2)2

7.设独立随机变量X ，Y 分别服从标准正态分布，则X + Y 服从( C ) （A ）二项分布（B ）2

χ分布（C ）N(0,2) （D ）不能确定 8.对于任意事件A 与B ，有=-)(B A P （ C ）。

（A ）)()(B P A P - （B ）)()()(AB P B P A P +- （C ）)()(AB P A P - （D ）)()(B A P A P - 9.在[0, a ]线段上随机投掷两点，两点间距离大于2

的概率为( D ) （A ）1 （B ）（C ）（D ） 10.设P （X=n ）=a n

,...)2,1(=n ，其中a 为

3-，则EX= ( B ) （A ）

5 （B ） 1 （C ）（D ） 3

11．下列论述不正确的是 ( C )

（A ）n 个事件两两独立不一定相互独立（B ）若事件A 与B 独立则A 与B 独立（C ）事件A B 不相容则A 与B 独立（D ）随机变量ξ和η独立则二者不相关

12．掷n 枚硬币，出现正面的概率为p ，至少出现一次正面的概率为( A )

（A ）1(1)n p -- （B ）1

1(1)n n

C p p -- （C ） 1 （

D ）1p -

13.设A ，B 为两个互斥事件，且P （A ）>0，P(B)>0，则下列结论正确的是（ C ）。（A ） P(B|A)>0, （B ） P(A|B)=P(A) （C ） P(A|B)=0 （D ） P(AB)=P(A)P(B) 考查第二章

14.事件A ，B 相互独立，)()(,9

)(B A P B A P B A P ==

，P （A ）=（ D ）

。（A ）13 （B ）12 （C ）0 （D ）32

15.随机变量X 服从（ D ）分布时，EX DX =。

（A ）正态（B ）指数

（C ）二项（D ）泊松（Poisson ）

16.设)5,(~),4,(~2

μμN Y N X ，记)5(),4(21+≥=-≤=μμY P p X P p ，则（ A ）。（A ）对任何实数μ，都有21p p = （B ）对任何实数μ，都有21p p < （C ）只对μ的个别值，才有21p p = （D ）对任何实数μ，都有21p p >

17．若有十道选择题，每题有A 、B 、C 、D 四个答案，只有一个正确答案，求随机作答恰好答对六道的概率为（ B ）（A ）

35 （B ）664

1013()()44

C （C ）6

1()4

（D ）66!e λλ- 18．某课程考试成绩),72(~2

σN X , 已知96分以上占%，则60~84分所占比例为（A ）（已知()20.977Φ=）

（A ）2(1)1Φ- （B ）1(2)-Φ （C ）2(2)1Φ- （D ）0.5

19. 设独立随机变量X ，Y 分别服从标准正态分布，则X -Y 服从( C ) （A ）泊松分布（B ）2

χ分布（C ）N(0,2) （D ）不能确定 20.对于任意事件A B ?，有=-)(B A P （ A ）。（A ）)()(B P A P - （B ）0 （C ）1 （D ）()P B

21. 设随机变量ξ的密度函数为

???

<≤-=其它0

22cos )(ππx x a x p

则常数a 为（ B ）

（A ）13 （B ）1

（C ）0 （D ）1

22．下列陈述不正确的是（D ）

（A ）两两独立不一定相互独立（B ）若事件A 与B 独立则A 与B 独立（C ）事件A B 独立则(|)()P A B P A = （D ）随机变量二者不相关则ξ和η独立 23. 下列数列可以构成分布列的是（C ）

（A ）1()1,2, (3)

n = （B ）21,2,...n

n = （C ）1

()1,2, (2)

n =0 （D ）11,2,...n

n =

24．下列陈述不正确的是（B ）

（A ）ξ和η不相关则()()()D D D ξηξη+=+ （B ）随机变量二者不相关则ξ和η独立（C ）ξ和η不相关则cov(,)0ξη= （D ）随机变量二者不相关则()E E E ξηξη= 25．事件C B A ,,中，A 发生且B 与C 不发生的事件为：( C )

（A ）C B A I Y ；（B ）C AB BC A C B A Y I ；（C ） C B A I I ；（D ）.C B A Y Y 26．设B A ,为相互独立的两事件，则下列式子中不正确的是：（ A ） (A) )()()(B P A P B A P =Y ；（B ）)()()(B P A P B A P =；（C ）)()|(B P A B P =；

（D ）).()()(B P A P AB P =

27．工厂每天从产品中随机地抽查50件产品，已知这种产品的次品率为%，，则在这一年内平均每天抽查到的次品数为：（ A ）

（A ）; （B ） ;（C ）5; （D ） .

28．,23),1,0(~-=X Y U X 则Y 服从分布：（ C ）

（A ）);3,2(U （B ）);1,1(-U （C ）);1,2(-U （D ）).0,1(-U 29．设随机变量Y X ,的联合概率密度为).,0(,2),()

2(+∞<<=+-y x e y x f y x 则：（ B ）

（A ） Y X ,不相关；（B ） Y X ,相互独立；（C ） Y X ,相关；

（D ） Y X ,不相互独立．

30．事件A ，B 互不相容，是指（ B ）

(A) P (AB)= P (A) P (B) (B) A B=Φ (C) A ?B=Ω (D) A B =Φ

计算题（含答案）

一．设随机变量ξ只取非负整数值，其概率为P{1

)

1(}++==k k

a a k ξ，a>0是常数，试求E ξ及D ξ 解：记t=

+1<1 ξE =∑∞

=++1

1)1(k k k a a k =

∑∞

=--++1

2)1()1(k k k a a k a a

=∑∞

=-+1

2)1(k k kt

a a =

∑∞

=+1

)()1(k k t

a a

'2)1()1(t t a a -+=2

)11()1(t

a a -+=a 2

ξE =∑∞

=++112

)1(k k k a a k =∑∞=++-11)1()1(k k k a a k k +∑∞

=++1

)1(k k k a a k =a t a a k k ++∑∞

'32

)()1( =a t

a a +-+33

2)11()1(2= a a +2

22)(ξξξE E D -==a a +2

二．炮战中，在距离目标250米，200米，150米处射击的概率分别为, , , 而在各处射击时命中目标的概率分别为, , 。任射一发炮弹，求目标被击中的概率。

若已知目标被击毁，求击毁目标的炮弹是由距目标250米处射出的概率。

解：1）设321,,A A A 分别表示炮弹从250米，200米，150米处射击的事件, B 表示目标被击中。则由全概率公式

)|()()|()()|()()(332211A B P A P A B P A P A B P A P B P ++=

=115.02.02.01.07.005.01.0=?+?+? 2) 由Bayes 公式

)

|()()|()()|()()

|()()|(332211111A B P A P A B P A P A B P A P A B P A P B A P ++=

＝

115.005.01.0?＝043.023

≈

三．某单位招聘2 500人，按考试成绩从高分到低分依次录用，共有10 000人报名，假设报名者的成绩X 服从分布N ),(2

σμ 已知90分以上有359人，60分以下有1151人，问被录用者中最低分为多少

X 的分布函数为2

22)(21)(σμσ

π--

x e

x f

{

1151

.010000

1151)60(9641

.01000359

1)90(

1000

359

)90(

1}90{

}90{)1,0(~),

,(~2==-Φ=-

=-Φ?=

-Φ-=-≥-=≥-σμσμ

σμ

σμX P X P N X N X 标准正态分布表可得到μ=72和2

σ=100的值，然后令录取的最低分为0x ，则

100002500

)(

}{

}{000=

-Φ=-≥

-=≥σ

x x X P x X P

从而得到

,790=x 即录取的最低分为79分。

四．从1到2000这2000个数字中任取一数，求 1）该数能被6整除的概率； 2）该数能被8整除的概率；

3）该数能被6和8整除的概率； 4）该数能被6或8整除的概率。解：利用古典概型的公式

()m A P A n A =

所含样本点数样本点总数

有利于的场合数样本点总数

1）

3332000；2）250120008=；3）83

2000

； 4）()()()33318320008200014

P P P =+-

=能被8整除＋能被6整除－既能被6整除又能被8整除五．空战中，从1A ，2A ，3A 处射击的概率分别为, , , 而在各处射击时命中敌机的概率分别为, , 。任射一发炮弹，求敌机被击中的概率。

若已知敌机被击中，求击中敌机的炮弹是由3A 处射出的概率。解：1）设B 表示目标被击中。则由全概率公式

)|()()|()()|()()(332211A B P A P A B P A P A B P A P B P ++=

=115.005.01.01.07.02.02.0=?+?+? 2) 由Bayes 公式

)

|()()|()()|()()

|()()|(332211333A B P A P A B P A P A B P A P A B P A P B A P ++=

＝

115.005.01.0?＝043.023

≈

六．一地区农民年均收入服从500=μ元，20=σ元的正态分布，求：该地区农民年均收入在500元~520元间的人数的百分比；

如果要使农民的年均收入在),(a a +-μμ内的概率不小于，则a 至少为多大 3个农民中至少有一个年均收入在500元~520元间的概率。

()220,500~N ξ

解：（1）

()()()0000520500500500500520100.84130.50.3413

2020P ξ--????

<<=Φ-Φ=Φ-Φ=-= ? ?????

（2）

()95.0≥+<<-a a P μξμ，

0.9520

20a P ξμ?-?<≥ ???，295.01200≥-???

??Φμ

可得，

96.120

≥a

，2.39≥a （3）考虑反面没有一个年收入在范围中的情形，其概率为：003

311()(1)C p p -，

300

3)3413.01()3413.0(1--C

七．设随机变量10

111

1424i X -?? ?

???

:（i=1,2）,且满足12{0}1P X X ==，则求概率12{}P X X =。解：由12{0}1P X X ==，得12{0}0P X X ≠=，即

12{1,1}P X X =-=12{1,1}P X X ===-12{1,1}P X X ===12{1,1}0P X X ==-=-=

再根据联合分布与边际分布的关系可以求得1X 和2X 的联合分布。

所以12{}P X X =＝0.

八、有一袋麦种，其中一等的占80%，二等的占18%，三等的占2%，已知一、二、三等麦种的发芽率分别为，，，现从袋中任取一粒麦种：

试求它发芽的概率；

若已知取出的麦种未发芽，问它是一等麦种的概率是多少

解：设事件=1A “取出来的种子是一等种子” =2A “取出来的种子是二等种子”

=3A “取出来的种子是三等种子”

=B “取出的种子发芽” =B “取出的种子未发芽”

由题： %2)(%18)(%80)(321===A P A P A P 1.0)|(2.0)|(8.0)|(321===A B P A B P A B P 9.0)|(8.0)|(2

.0)|(321===A B P A B P A B P

（1）全概率公式 )|()()|()()|()()(332211A B P A P A B P A P A B P A P B P ++= =%

（2）贝叶斯公式

)

|()()|()()|()()

|()()|(332211111A B P A P A B P A P A B P A P A B P A P B A P ++=

九、设随机变量ξ的分布列为

ξ 2

π-

0 2

求12

+=ξη的分布列。解：

12+=ξη 1)2

(2+-π

102+

1)2

(2+π

12+π p

整理得η的分布列

十、某师院的毕业生，其中优等生，中等生，下等生各占20%，65%，15%. 毕业后十年，这三类学生能成为优秀教师的概率各为80%，70%，55%. 求该学院毕业的学生十年后成为优秀教师的概率。解：记B={成为优秀教师}

112233()()(|)()(|)()(|)

8020706555156975

10010010010010010010000P B P A P B A P A P B A P A P B A =++=?+?+?=

十一、将一颗均匀的骰子连掷两次，以ξ表示两次所得点数之和。求1）ξ的分布列；2）Eξ。解：1）

2）12

{}k E kP k ξξ==

=∑

12123...12363636=?

+?++? ＝252

736

十二、设二维离散型随机向量（ξ，η）的联合分布列为：

1 4

21π+

1）求常数C;

2）求ξ，η的边缘分布列；

3）求ξ＝2的条件下，η的条件分布列； 4）判断ξ与η是否相互独立。解：1）C=1;

ξ和η的边沿分布列为：

4）因为{2,0}00.40.3{2}{0}P P P ξηξη===≠?=== 所以ξ与η不相互独立

十三、一个篮球运动员的投篮命中率为，以X 表示他首次命中时累计的投篮次数。写出X 的分布律．解：分布律为Λ,2,1)

6.0()4.0(}{1===-k k X P k

十四、已知连续型随机变量ξ有密度函数???≤≤+=其他0

01)(x kx x p

求系数k 及分布函数，并计算P{<ξ<}．

解：由密度函数的性质

??∞∞-+=+=+==

2202)2()1()(1k x x k dx kx dx x p 21

-=∴k ?∞

-=x

dt t p x F )()(

当0≤x 时，0)(=t p , 0)(=x F

当20≤

-=-=-

x x x t t dt t x F 0

224

0)41()211()( 当2>x 时，1)(=x F

?????>≤<-≤=∴2

2041

)(2

x x x x x x F 0625.0])5.1(4

5.1[1)5.1()5.2(}5.25.1{2=--=-=<

十五、设随机变量Y X ,的联合分布为

求x , 及Y X ,的边际分布（直接填写在表中），给出X 在2=Y 的条件下的条件分布．解：x =

十六、设二元连续型随机向量),(Y X 的联合密度函数为

?≤<<=.

0,||,10,

1),(其它x y x y x f

求Y X ,的数学期望、方差和相关系数．

解：当0

x 21)(==?-ξ 而,0≤x 或1≥x 时，0)(=x P ξ

当-1

当y dx y P y y -==<≤?11)(,101

η 而0)(,1=≥y P y η 3

=?=?

x xdx x E ξ，0)1()1(0

110=++-=??-dy y y dy y y E η， 18

1)32(21)32(2)(221

0222=-=-?=-=?xdx x E E D ξξξ =

-=22)(ηηηE E D 6

0)1(),(1

0=?=-=??-dx dy xy E E E Cov x

x ηξξηηξ

0),(=?=∴η

ξηξD D Cov r

综合应用题（含答案）

1.设二维连续型随机向量（ηξ,）的联合密度函数为

???≤≤≤≤+=其它02

0,103

),(2y x Axy x y x p 其中A 为常数，求：

1）常数;A

2） ηξ,的边沿密度函数);(),(21y p x p 3） ηξ,的条件密度函数);(),(x y p y x p 4）判断ξ与η是否相互独立；

解：1）由密度函数的性质：

??????????

? ?????

=??

? ??+

=???

??+

==∞∞-∞

∞-1020

2210202

10202633),(1dy Axy y x dy Axy x dx dxdy Axy x dxdy

y x p dx x A x ???? ?

?+=102322 33233

3A x A x +=??? ??+= 所以

13213=??

??-=A

2）由边沿密度的计算公式，及0),(≠y x p 的直观图形：

?∞

∞-=dy y x p x p ),()(1

当0x 时,0),(≡y x p 所以0)(1=x p 当10≤≤x 时，

0),(≠y x p

x xy y x dy xy x x p 3

263)(220

02221+=???? ??+=???

??+=? 所以

???≤≤+=其它01

2)(21x x x x p ?∞

∞-=dx y x p y p ),()(2

当0y 时，0),(≡y x p ，此时0)(2=y p ；当20≤≤y 时

316313)(10231

022y y x x dx xy x y p +=???? ?

?+=???

??+=?

所以：

?????≤≤+

=其它

31)(1y y x p

3）由条件密度的计算公式：

当20≤≤y 时0)(2≠y p ，此时条件密度存在，且

??≤≤++=???

???≤≤++==其它

其它

022601

061

313

)(),()(222x y xy x x y

xy x y p y x p y x p

当10≤

?????≤≤++=??

??≤≤++=???

????≤≤++==其它其它其它0

2026302

026302

)(),()(22221y x y x y x x xy x y x

x xy

x y p y x p x y p 4）显然：)()(),(21y p x p y x p ≠ 所以ξ与η不独立。

2.设 (X,Y) 服从单位圆上的均匀分布，概率密度为：

1,1

(,)0,

x y f x y π

?+≤?=???其它试求|(|)Y X f y x ，并讨论X ，Y 的独立性。解： (X,Y) 关于X 的边际密度为：

||1

()(,)0,

||1X x f x f x y dy x ∞

-∞

≤==?>??

当 | x | <1时,有

|(,)(|)()

Y X X f x y f y x f x =

y ≤≤即当 | x| <1时, 有

|(|)Y X f y

x 0,y y ≤=?

取其它值

|(,)

(|)()()

Y X Y X f x y f y x f y f x =

≠，

X ，Y 不独立。

3.设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为

22()1

(,)0A x y x y f x y ?+<<=?

?其它（1）求常数A ；

（2）求X 和Y 的边际密度；（3） X 和Y 是否相互独立（4）求概率()P Y X <。

解: (1) 211

161(,)[()]15

f x y dxdy A x y dy dx A ∞∞

-∞-∞

-==+=

?? 所以1516

A =

。（2）212

15()11()(,)16

0x X x y dy x f x f x y dy ∞

-∞

?+-<

=???

其它

15(123)11

()32

0X x x x f x ?+--<

)01()(,)0Y x y dy y f x f x y dx ∞

-∞

?+<

==????

其它 32

501()(,)2

0Y y y f x f x y dx ∞

-∞

其它

（3）X 和Y 不相互独立。（4）7()(,)64

x y

P Y X f x y dxdy <<=

4．某人有10万元资金决定进行投资，现有两个投资项目可供选择，设投资项目1的收益为ξ（万元），投资项目2的收益为η（万元），其分布列为分别为

若同期银行利率为5%，问应如何选择投资项目

解：10万元存入银行的无风险收益为

5.005.010=?（万元）

若投资项目1，则平均收益和方差为

9.15.043.012.02=?+?+?-=ξE （万元）

49.55.0)9.14(3.0)9.11(2.0)9.12(222=?-+?-+?--=ξD

若投资项目2，则平均收益和方左为

25.053.012.04=?+?+?-=ηE （万元）

125.0)25(3.0)21(2.0)24(222=?-+?-+?--=ηD

因为两个投资项目的平均收益都大于（万元），所以两个投资项目都是可取的选择，由计算结果，对于赌徒可选择投资项目2，对保守者可选择投资项目1，对理智的投资者来说，因为

433.012

5.025975.049

.55.09.1≈->

≈-

应选择投资项目1

5 . 设二元连续型随机向量),(Y X 的联合概率密度函数为

?≤+=.

0,1,

/1),(22其它y x y x f π

证明：Y X ,不相关但Y X ,不相互独立．

证明： 1||121

),()(22

112

1≤-=

=??

---

∞

-x x dy dy y x p x p x x ππ 1||121

),()(2

112

2≤-=

=??---

∞

∞-y y dx dx y x p y p y y π

所以

)()(),(21y p x p y x p ≠

即ξ与η不独立。

但

012)(1

1=-==??∞∞--dx x x

dx x xp E π

同理0=ηE

),())((22

111

===

==--??????---

-≤+∞

∞-∞

∞-dy xy

dx dxdy xy

dxdy y x xyp E E E E x x y x π

πξηηηξξ

从而得ξ与η的相关系数为0。

李贤平《概率论与数理统计》标准答案

————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 2

第5章极限定理 1、ξ为非负随机变量，若(0)a Ee a ξ <∞>，则对任意x o >，{}ax a P x e Ee ξξ-≥≤。 2、若()0h x ≥，ξ为随机变量，且()Eh ξ<∞，则关于任何0c >， 1{()}()P h c c Eh ξξ-≥≤。 4、{}k ξ各以 12 概率取值s k 和s k -，当s 为何值时，大数定律可用于随机变量序列1,,,n ξξL L 的算术平均值？ 6、验证概率分布如下给定的独立随机变量序列是否满足马尔可夫条件：（1）1{2}2 k k P X =±= ；（2）(21) 2{2}2 ,{0}12k k k k k P X P X -+-=±===-；（3）1 1 2 21{2},{0}12 k k k P X k P X k --=±===-。 7、若k ξ具有有限方差，服从同一分布，但各k 间，k ξ和1k ξ+有相关，而1,(||2)k k l ξξ-≥是独立的，证明这时对{}k ξ大数定律成立。 8、已知随机变量序列12,,ξξL 的方差有界，n D c ξ≤，并且当||i j -→∞时，相关系数0ij r →，证明对{}k ξ成立大数定律。 9、对随机变量序列{}i ξ，若记11()n n n ηξξ= ++L ，11 ()n n a E E n ξξ=++L ，则{}i ξ服从大数定律的充要条件是22()lim 01()n n n n n a E a ηη→∞?? -=??+-?? 。 10、用斯特灵公式证明：当,,n m n m →∞→∞-→∞，而 0m n →时， 2 2211~2n m n n e n m n π -???? ???-?? ??。 12、某计算机系统有120个终端，每个终端有5%时间在使用，若各个终端使用与否是相互独立的，试求有10个或更多终端在使用的概率。

华中师大《概率论基础》练习题库及答案

华中师范大学职业与继续教育学院《概率论基础》练习题库及答案填空题 1．设随机变量ξ的密度函数为p(x), 则 p(x) ≥0; ?∞ ∞ -dx x p )(= ； Eξ= 。考查第三章 2．设A,B,C 为三个事件，则A,B,C 至少有一个发生可表示为：；A,C 发生而B 不发生可表示；A,B,C 恰有一个发生可表示为：。考查第一章 3．设随机变量)1,0(~N ξ，其概率密度函数为)(0x ?，分布函数为)(0x Φ，则 )0(0?等于 π 21，)0(0Φ等于。考查第三章 4．设随机变量ξ具有分布P{ξ=k}=5 1 ，k=1,2,3,4,5，则Eξ= ，Dξ= 。考查第五章 5．已知随机变量X ，Y 的相关系数为XY r ,若U=aX+b,V=cY+d, 其中ac>0. 则U ，V 的相关系数等于。考查第五章 6．设),(~2 σμN X ，用车贝晓夫不等式估计：≥<-)|(|σμk X P 考查第五章 7．设随机变量ξ的概率函数为P{ξ=i x }=i p ,...,2,1=i 则 i p ≥ ； ∑∞ =1 i i p = ； Eξ= 。考查第一章 8．设A,B,C 为三个事件，则A,B,C 都发生可表示为：；A 发生而B,C 不发生可表示为：；A,B,C 恰有一个发生可表示为：。

9． )4,5(~N X ，)()(c X P c X P <=>，则=c 。考查第三章 10．设随机变量ξ在[1，6]上服从均匀分布，则方程012 =++x x ξ有实根的概率为。考查第三章较难 11．若随机变量X ，Y 的相关系数为XY r ,U=2X+1,V=5Y+10 则U ，V 的相关系数= 。考查第三章 12．若 θ服从[,]22 ππ - 的均匀分布， 2?θ=，则 ?的密度函数 ()g y ＝。考查第五章 13．设4.0)(=A P ，7.0)(=+B A P ，若A 与B 互不相容，则=)(B P ；若A 与B 相互独立，则=)(B P 。考查第一章 14．将数字1，2，3，4，5写在5张卡片上，任意取出三张排列成三位数，这个数是奇数的概率P （A ）= 。考查第一章 15．若)8.0,10(~B ξ，=ξE ，=ξD ，最可能值=0k 。考查第二、五章 16．设随机变量X 的概率密度为0()0 x xe x f x x -?>=? ≤?，则(3)E X = , 3()X E e = 考查第四、五章 17．任取三线段分别长为x,y,z 且均小于等于a ，则x,y,z 可构成一三角形的概率考查第一章（较难） 18．设随机变量X ，Y 的相关系数为1，若Z=X-0.4,则Y 与Z 的相关系数为

概率论基础-李贤平-试题+答案-期末复习

第一章随机事件及其概率一、选择题： 1．设A 、B 、C 是三个事件，与事件A 互斥的事件是：（） A ．A B A C + B ．()A B C + C ．ABC D ．A B C ++ 2．设B A ? 则（） A ．()P A B I =1-P （A ） B ．()()()P B A P B A -=- C ． P(B|A) = P(B) D ．(|)()P A B P A = 3．设A 、B 是两个事件，P （A ）> 0，P （B ）> 0,当下面的条件（）成立时，A 与B 一定独立 A ．()()()P A B P A P B =I B ．P （A|B ）=0 C ．P （A|B ）= P （B ） D ．P （A|B ）= ()P A 4．设P （A ）= a ，P （B ）= b, P （A+B ）= c, 则 ()P AB 为：（） A ．a-b B ．c-b C ．a(1-b) D ．b-a 5．设事件A 与B 的概率大于零，且A 与B 为对立事件，则不成立的是（） A ．A 与 B 互不相容 B ．A 与B 相互独立 C ．A 与B 互不独立 D ．A 与B 互不相容 6．设A 与B 为两个事件，P （A ）≠P （B ）> 0，且A B ?，则一定成立的关系式是（） A ．P （A| B ）=1 B ．P(B|A)=1 C ．(|A)1p B = D ．(A|)1p B = 7．设A 、B 为任意两个事件，则下列关系式成立的是（） A ．()A B B A -=U B ．()A B B A -?U C ．()A B B A -?U D ．()A B B A -=U 8．设事件A 与B 互不相容，则有（） A ．P （A B ）=p （A ）P （B ） B ．P （AB ）=0 C ．A 与B 互不相容 D ．A+B 是必然事件