单元二 简谐波 波动方程
一、选择题
1. 频率为100 Hz ，传播速度为300 m/s 的平面简谐波，波线上距离小于波长的两点振动的相位差为
π3
1
，则此两点相距 ［ C ］ (A) 2.86 m (B) 2.19 m
(C) 0.5 m (D) 0.25 m
2 . 一平面简谐波的表达式为:)/(2cos λνx t A y -π=．在t = 1 /ν 时刻，x 1 = 3λ /4与x 2 = λ /4二点处质元速度之比是 ［ A ］
(A) -1 (B)
3
1
(C) 1 (D) 3 3. 一平面简谐波，其振幅为A ，频率为v ，沿x 轴的正方向传播，设t t =0时刻波形如图所示，则x=0
处质点振动方程为： [ B ]
0000(A)y Acos[2v(t t )]
2(B)y Acos[2v(t t )]
2(C)y Acos[2v(t t )]
2
(D)y Acos[2v(t t )]
π
=π++π
=π-+π
=π--=π-+π
4. 某平面简谐波在t=0时的波形曲线和原点(x=0处)的振动曲线如图 (a)(b)所示，则该简谐波的波动方程(SI)为： [ C ]
3(A)y 2cos(t x );(B)y 2cos(t x )
2222
(C)y 2cos(t x );
(D)y 2cos(t x )
22
22
πππ=π+
+=π-
+πππ
ππ
=π-+=π+-
5. 在简谐波传播过程中，沿传播方向相距为/2λ，（λ为波长）的两点的振动速度必定： [ A ]
(A) 大小相同，而方向相反； (B) 大小和方向均相同；
(C) 大小不同，方向相同； (D) 大小不同，而方向相反 。
6. 当机械波在媒质中传播时，一媒质质元的最大变形量发生在(A 是振动振幅)： [ C ]
(A) 媒质质元离开其平衡位置最大位移处； (B) 媒质质元离开其平衡位置
)处； (C) 媒质质元在其平衡位置处； (D) 媒质质元离开其平衡位置
2
A
处。 7. 图示一平面简谐机械波在t 时刻的波形曲线．若此时A 点处媒质质元的振动动能在增大，则
［ B ］
(A) A 点处质元的弹性势能在减小
(B) 波沿x 轴负方向传播 (C) B 点处质元的振动动能在减小
(D) 各点的波的能量密度都不随时间变化
(4)题(3)
题
8. 一平面简谐波在弹性媒质中传播时，在传播方向上媒质中某质元在负的最大位移处，则它的能量是： [ B ]
(A) 动能为零，势能最大； (B) 动能为零，势能为零；
(C) 动能最大，势能最大； (D) 动能最大，势能为零。 二、填空题
9. 如图所示, 一平面简谐波在t=0时的波形图，则O 点的振动方程0y 0.04cos(0.4t 0.5)=-ππ，该波的波动方程y 0.04cos(0.4t 5x 0.5)=--πππ
10. 一平面简谐波沿X 轴正方向传播，波速u=100m/s ，t=0时刻的波形曲线如图所示，则简谐波的波长m 8.0=λ，振幅m 2.0A =， 频率Hz 125=ν 。
11. 如图所示， 一平面简谐波沿OX 轴正方向传播，波长为λ，若P 1点处质点的振动方程为1y Acos(2vt )=+π?，则P 2点处质点的振动方程为
12
2L L y Acos(2t 2)]+=πν-π
+?λ
；与P 1点处质点振动状态相同的那些点的位置是1L k x -=λ, k 1,2,3,=±±± 。
12. 一列强度为I （J/sm 2）的平面简谐波通过一面积为S 的平面，波速u 与该平面的法线0n
的夹角为
θ ，则通过该平面的能流是 I S cos θ （J/s ）。
13. . 余弦波x
y Acos (t )c
=ω-在介质中传播，介质密度为ρ0 ，波的传播过程也是能量传播过程，不
同位相的波阵面所携带的能量也不同，若在某一时刻去观察位相为2
π
处的波阵面，能量密度 为220ωρA ；波阵面位相为π处的能量密度为 0 。
三、判断题
14. 从动力学的角度看，波是各质元受到相邻质元的作用而产生的。 [ √ ] 15. 一平面简谐波的表达式为 )/(cos u x t A y -=ω)/cos(u x t A ωω-= 其中x / u 表示波从坐标原点传至x 处所需时间。 [ √ ] 16. 当一平面简谐机械波在弹性媒质中传播时，媒质质元的振动动能增大时，其弹性势能减小，总机械能守恒。 [ × ] 四、计算题
17. 如图所示，一平面简谐波沿OX 轴传播 ，波动方程为x
y Acos[2(vt )]=π-+?λ
，求:
10.题图
9.题图
11.题图
u
(1)P 处质点的振动方程；
(2)该质点的速度表达式与加速度表达式。
解：（1）P 处质点的振动方程：])L
vt (2cos[A y ?λ
π++
= （L x -=, P 处质点的振动位相超前）
（2）P 处质点的速度：])L
vt (2sin[v A 2y
v ?λππ++-== P 处质点的加速度：])L
vt (2cos[v A 4y a 22?λ
ππ++-==
18. 某质点作简谐振动，周期为2s ，振幅为0.06m ，开始计时( t=0 )，质点恰好处在负向最大位移处，求：
(1) 该质点的振动方程；
(2) 此振动以速度u=2 m/s 沿x 轴正方向传播时，形成的一维筒谐波的波动方程（以该质点的平
衡位置为坐标原点）；
(3) 该波的波长。
解： (1)该质点的初相位 πφ=
振动方程 )22cos(06.00π+π=t
y )cos(06.0π+π=t (SI) (2) 波动表达式 ])/(c o s
[06.0π+-π=u x t y ])2
1
(c o s [06.0π+-π
=x t (SI) (3) 波长 4==uT λ m
19. 图示一平面余弦波在t = 0 时刻与t = 2 s 时刻的波形图．波长米160=λ，
求 ： (1) 波速和周期；
(2) 坐标原点处介质质点的振动方程；
(3) 该波的波动表达式．
解：(1) 比较t = 0 时刻波形图与t = 2 s 时刻波形图， 可知此波向左传播．
u = 20 /2 m/s = 10 m/s s u
T 16==
λ
(19)
题
(2) 在t = 0时刻，O 处质点 φc o s 0A =， φωs i n 00A -= 故 π- =2 1 φ 振动方程为 )2 1 8/cos(0π-π=t A y (SI) (3) 波动表达式 ]2 1)16016(2cos[π-+π=x t A y (SI) 20. 如图所示，一简谐波向x 轴正向传播，波速u = 500 m/s ， x 0 = 1 m, P 点的振动方程为 )2 1 500cos(03.0π- π=t y (SI). (1) 按图所示坐标系，写出相应的波的表达式； (2) 在图上画出t = 0时刻的波形曲线． 解：(1) 2m )250/500(/ ===νλu m (2分) 波的表达式 ]/2)1(21500c o s [03.0),(λπ--π-π=x t t x y ]2/2)1(2 1500cos[03.0π--π-π=x t )2 1500cos(03.0x t π-π+π= (SI) (3分) (2) t = 0时刻的波形方程 x x x y π=π-π=sin 03.0)2 1cos(03.0)0,( (SI) (2分) t = 0时刻的波形曲线 (3分) §4-2平面简谐波的波动方程 振动与波动 最简单而又最基本的波动是简谐波！ ￥ 简谐波：波源以及介质中各质点的振动都是简谐振动。任何复杂的波都可看成是若干个简谐波的叠加。 对平面简谐波，各质点都在各自的平衡位置附近作简谐振动，但同一时刻各质点的振动状态不同。需要定量地描述出每个质点的振动状态。 波线是一组垂直于波面的平行射线，可选用其中一根波线为代表来研究平面简谐波的传播规律。 一、平面简谐波的波动方程 设平面简谐波在介质中沿 x 轴正向传播，在此波线上任取一参考点为坐标原点 参考点原点的振动方程为 ()00cos y A t ω?=+ 任取一点 P ，其坐标为 x ，P 点如何振动 A 和 ω 与原点的振动相同，相位呢 沿着波的传播方向，各质点的相位依次落后，波每向前传播 λ 的距离，相位落后 2π | 现在，O 点的振动要传到 P 点，需要向前传播的距离为 x ，因而 P 点的相 区别 联系 振动研究一个质点的运动。 波动研究大量有联系的质点振动的集体表现。 振动是波动的根源。 波动是振动的传播。 x " 位比 O 点落后 22x x π πλ λ = P 点的振动方程为 02cos P y A t x πω?λ? ?=+- ?? ? 由于 P 点的任意性，上式给出了任意时刻任意位置的质点的振动情况，将下标去掉 02cos y A t x πω?λ? ?=+- ?? ? 就是沿 x 轴正向传播的平面简谐波的波动方程。 如果波沿 x 轴的负向传播，P 点的相位将比 O 点的振动相位超前2x π λ 沿 x 轴负向传播的波动方程为 02cos y A t x πω?λ??=++ ??? 利用 2ωπν=， u λν= 沿 x 轴正向传播的平面简谐波的波动方程又可写为 : 02cos y A t x πω?λ??=-+ ??? 02cos A t x u πνω??? =-+ ??? 0cos x A t u ω??? ??=-+ ??????? 即 0cos x y A t u ω??? ??=-+ ??????? 原点的振动状态传到 P 点所需要的时间 x t u ?= x — §4-2平面简谐波的波动方程 振动与波动 最简单而又最基本的波动是简谐波！ 简谐波：波源以及介质中各质点的振动都是简谐振动。任何复杂的波都可看成是若干个简谐波的叠加。 对平面简谐波，各质点都在各自的平衡位置附近作简谐振动，但同一时刻各质点的振动状态不同。需要定量地描述出每个质点的振动状态。 波线是一组垂直于波面的平行射线，可选用其中一根波线为代表来研究平面简谐波的传播规律。 一、平面简谐波的波动方程 设平面简谐波在介质中沿 x 轴正向传播，在此波线上任取一参考点为坐标原点 参考点原点的振动方程为 x 区别 联系 振动研究一个质点的运动。 波动研究大量有联系的质点振动的集体表现。 振动是波动的根源。 波动是振动的传播。 ()00cos y A t ω?=+ 任取一点 P ，其坐标为 x ，P 点如何振动？ A 和 ω 与原点的振动相同，相位呢？ 沿着波的传播方向，各质点的相位依次落后，波每向前传播 λ 的距离，相位落后 2π 现在，O 点的振动要传到 P 点，需要向前传播的距离为 x ，因而 P 点的相位比 O 点落后 22x x π πλ λ = P 点的振动方程为 02cos P y A t x πω?λ? ?=+- ?? ? 由于 P 点的任意性，上式给出了任意时刻任意位置的质点的振动情况，将下标去掉 02cos y A t x πω?λ? ?=+- ?? ? 就是沿 x 轴正向传播的平面简谐波的波动方程。 如果波沿 x 轴的负向传播，P 点的相位将比 O 点的振动相位超前2x π λ 沿 x 轴负向传播的波动方程为 x 02cos y A t x πω?λ??=++ ??? 利用 2ωπν=， u λν= 沿 x 轴正向传播的平面简谐波的波动方程又可写为 02cos y A t x πω?λ??=-+ ??? 02cos A t x u πνω??? =-+ ??? 0cos x A t u ω??? ??=-+ ??????? 即 0cos x y A t u ω??? ??=-+ ??????? 原点的振动状态传到 P 点所需要的时间 x t u ?= P 点在 t 时刻重复原点在 x t u ?? - ??? 时刻的振动状态 波动方程也常写为 02cos y A t x πω?λ??=-+ ??? ()0cos A t kx ω?=-+ 其中 2k π λ = 波数，物理意义为 2π 长度所具有完整波的数目。 ☆ 波动方程的三个要素：参考点，参考点振动方程，传播方向 二、波动方程的物理意义 1、固定x ，如令0x x = ()002cos y t A t x πω?λ? ?=+- ?? ? 振动方程 练习九波动（一） 1．在简谐波传播过程中，沿传播方向相距为2/λ（λ 为波长）的两点的振动速度必定［ ］ (A)大小相同，方向相反．(B)大小和方向均相同．(C)大小不同，方向相同．(D)大小不同，而方向相反．2．一角频率为ω的简谐波沿x 轴的正方向传播，t =0时刻的波形如图所示．则t =0时刻，x 轴上各质点的振动速度v 与x 坐标的关系图应为：［］3．一平面简谐波沿x 轴负方向传播．已知x =-1m 处质点的振动方程为)cos(φω+=t A y ，若波速为u ，则此波的表达式为．4．一平面余弦波沿Ox 轴正方向传播，波动表达式为])x T t (2cos[A y φλ+-=π，则x =-λ 处质点的振动方程是_________________________；若以x =λ处为新的坐标轴原点，且此坐标轴指向与波的传播方向相反，则对此新的坐标轴，该波的波动表达式是：_________． 5.一平面简谐波某时刻的波形图如下，则OP之间的距离为厘米。 6.如图所示为一平面简谐波在t =0时刻的波形图，设此简谐波的频率为250Hz ，且此时质点P 的运动方向向下，求(1)该波的表达式； (2)在x=100m 处质点的振动方程与振动速度表达式． 7.一平面简谐波沿x 轴正向传播，其振幅为A ，频率为ν，波速为u ．设t =t ＇时刻的波形曲线如图所示．求(1)x =0处质点振动方程；(2)该波的表达式． x u O t =t ′y x (cm) 练习十波动（二） 1.一平面简谐波，其振幅为A ，频率为ν．波沿x 轴负方向传播．设t =t 0时刻波形如图所示．则x =0处质点的振动方程为［］ (A)]21)(2cos[0π++π=t t A y ν． (B)]21)(2cos[0π+-π=t t A y ν． (C)] 2 1)(2cos[0ππ--=t t A y ν(D) ])(2cos[0π+-π=t t A y ν． 2．一平面简谐波在弹性媒质中传播，某一时刻媒质中某质元在负的最大位移处，则它的能量是［] (A)动能为零，势能最大．(B)动能为零，势能为零．(C)动能最大，势能最大．(D)动能最大，势能为零． 3．如图所示,两相干波源S 1与S 2相距3λ/4，λ为波长．设两波在S 1S 2连线上传播时，它们的振幅都是A ，并且不随距离变化．已知在该直线上在S 1左侧各点的合成波强度 为其中一个波强度的4倍，则两波源应满足的相位条件是______________________． 4．一平面简谐波沿X 轴正向传播，已知坐标原点的振动方程为0.05cos(/2)()y t m ππ=+，设同一波线上A、B 两点之间的距离为0.02m，Ｂ点的相位比Ａ点落后/6π，则波长λ=______________，波速u=_______________，波动方程y=___________________.★ 5.（A1做，B1不做）设入射波的表达式为1cos 2()x y A t πνλ =+ ，波在x=0处发生反射，若反射点为 固定端，则反射波的波函数为y 2=_____________________________;若反射点为自由端，则反射波的波函数为y 2=_____________________________ 6．已知波长为λ 的平面简谐波沿x 轴负方向传播．x =λ/4处质点的振动方程为ut A y ?π =λ 2cos (SI) (1)写出该平面简谐波的表达式.. (2)画出t =T 时刻的波形图. 7．如图所示，S 1，S 2为两平面简谐波相干波源．S 2的相位比S 1的相位超前π/4，波长λ=8.00m ，r 1=12.0m ，r 2=14.0m ，S 1在P 点引起的振动振幅为0.30m ，S 2在P 点引起的振动振幅为0.20m ，求P 点的合振幅． x (3/4)λ P S S 大学物理振动波动例 题习题 振动波动 一、例题 （一）振动 1.证明单摆是简谐振动，给出振动周期及圆频率。 2.一质点沿x轴作简谐运动，振幅为12cm，周期为2s。当t = 0时, 位移为6cm，且向x轴正方向运动。 求: (1) 振动表达式； (2) t = 0.5s时，质点的位置、速度和加速度； (3)如果在某时刻质点位于x=-0.6cm，且向x轴负方向运动，求从该位置回到平衡位置所需要的时间。 3. 已知两同方向，同频率的简谐振动的方程分别为： x 1= 0.05cos (10 t + 0.75π) 20.06cos(100.25)(SI) x tπ =+ 求：(1)合振动的初相及振幅. (2)若有另一同方向、同频率的简谐振动x 3 = 0.07cos (10 t +? 3 ), 则当? 3为多少时x 1 + x3的振幅最大?又? 3为多少时 x 2 + x 3的振幅最小? （二）波动 1. 平面简谐波沿x轴正方向传播，振幅为2 cm，频率为 50 Hz，波速为 200 m/s。在t = 0时，x = 0处的质点正在平衡位置向y轴正方向运动， 求：(1)波动方程 (2)x = 4 m处媒质质点振动的表达式及该点在t = 2 s 时的振动速度。 2. 一平面简谐波以速度m/s 8.0 = u沿x轴负方向传播。已 知原点的振动曲线如图所示。求：（1）原点的振动表达 式； （2）波动表达式； （3）同一时刻相距m 1的两点之间的位相差。 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢2 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢3 x t O A/2 -A x 1 x 2 3. 两相干波源S 1和S 2的振动方程分别是1cos y A t ω=和2cos(/2)y A t ωπ=+。S 1距P 点3个波长，S 2距P 点21/4个波长。求：两波在P 点引起的合振动振幅。 4.沿X 轴传播的平面简谐波方程为： 310cos[200(t )]200x y π-=- ，隔开两种媒质的反射界面A 与坐标原点O 相距2.25m ，反射波振幅无变化，反射处为固 定端，求反射波的方程。 二、习题课 （一）振动 1. 一质点在x 轴上作简谐振动，振辐A = 4 cm ，周期T = 2 s ，其平衡位置取作坐标原点。若t = 0时刻质点第一次通过x = -2 cm 处，且向x 轴负方向运动，则质点第二次通过x = -2 cm 处的时刻为［ ］ (A) 1 s (B) (2/3) s (C) (4/3) s (D) 2 s 2.已知某简谐振动的振动曲线如图所示，则此简谐振动的振动方程为 (A) ??? ??+=3232cos 2ππt x ；(B) ??? ? ?-=332cos 2ππt x ； (C) ??? ??+=3234cos 2ππt x ；(D) ??? ? ?-=334cos 2ππt x 。 3.一质量为m 的物体挂在劲度系数为k 的轻弹簧下面，振动角频率为ω。若把此弹簧分割成二等份，将物体m 挂在分割后的一根弹簧上，则振动角频率［ ］ (A) 2ω (B) ω2 (C) 2/ω (D) ω /2 4.当质点以频率ν 作简谐振动时，它的动能的变化频率为［ ］ (A) 4 ν (B) 2 ν (C) ν (D) 1/2 ν 5.图中所画的是两个简谐振动的振动曲线。若这两个简谐振动可叠加，则合成的余弦振动的初相为［ ］ (A) π23 (B) π21 (C) π (D) 0 O 2.25m A 2 1 -2 o 1 x (m t ω ω πt x O t =0 t = t π/4 单元二 简谐波 波动方程 一、选择题 1. 频率为100 Hz ，传播速度为300 m/s 的平面简谐波，波线上距离小于波长的两点振动的相位差为 π3 1，则此两点相距 ［ C ］ (A) 2.86 m (B) 2.19 m (C) 0.5 m (D) 0.25 m 2 . 一平面简谐波的表达式为:)/(2cos λνx t A y -π=．在t = 1 /ν 时刻，x 1 = 3λ /4与x 2 = λ /4二点处质元速度之比是 ［ A ］ (A) -1 (B) 3 1 (C) 1 (D) 3 3. 一平面简谐波，其振幅为A ，频率为v ，沿x 轴的正方向传播，设t t =0时刻波形如图所示，则x=0处质点振动方程为： [ B ] 0000(A )y A cos[2v(t t )] 2(B)y A cos[2v(t t )] 2(C)y A cos[2v(t t )] 2(D )y A cos[2v(t t )] π=π++π=π-+π=π-- =π-+π 4. 某平面简谐波在t=0时的波形曲线和原点(x=0处)的振动曲线如图 (a)(b)所示，则该简谐波的波动方程(SI)为： [ C ] 3(A )y 2cos(t x );(B)y 2cos(t x ) 2222(C )y 2cos(t x ); (D )y 2cos(t x ) 2222πππ=π++=π-+πππππ=π- + =π+ - 5. 在简谐波传播过程中，沿传播方向相距为/2λ，（λ为波长）的两点的振动速度必定： [ A ] (A) 大小相同，而方向相反； (B) 大小和方向均相同； (C) 大小不同，方向相同； (D) 大小不同，而方向相反 。 6. 当机械波在媒质中传播时，一媒质质元的最大变形量发生在(A 是振动振幅)： [ C ] (A) 媒质质元离开其平衡位置最大位移处； (B) 媒质质元离开其平衡位置 2 )处； (C) 媒质质元在其平衡位置处； (D) 媒质质元离开其平衡位置 2 A 处。 7. 图示一平面简谐机械波在t 时刻的波形曲线．若此时A 点处媒质质元的振动动能在增大，则 ［ B ］ (A) A 点处质元的弹性势能在减小 (B) 波沿x 轴负方向传播 (C) B 点处质元的振动动能在减小 (D) 各点的波的能量密度都不随时间变化 (4) 题(3) 题 振动与波动题库 一、选择题（每题3分） 1、当质点以频率ν 作简谐振动时，它的动能的变化频率为（ ） （A ） 2v （B ）v （C ）v 2 （D ）v 4 2、一质点沿x 轴作简谐振动，振幅为cm 12，周期为s 2。当0=t 时, 位移为cm 6，且向x 轴正方向运动。则振动表达式为（ ） (A) ）（3 cos 12.0π π-=t x （B ） ）（3 cos 12.0π π+=t x （C ） ）（3 2cos 12.0π π-=t x （D ） ） （32cos 12.0π π+=t x 3、 有一弹簧振子，总能量为E ，如果简谐振动的振幅增加为原来的两倍，重物的质量增加为原来的四倍，则它的总能量变为 （ ） （A ）2E （B ）4E （C ）E /2 （D ）E /4 4、机械波的表达式为()()m π06.0π6cos 05.0x t y +=，则 （ ） （Ａ） 波长为100 ｍ （Ｂ） 波速为10 ｍ·ｓ-1 （Ｃ） 周期为1/3 ｓ （Ｄ） 波沿x 轴正方向传播 5、两分振动方程分别为x 1=3cos (50πt+π/4) ㎝ 和x 2=4cos (50πt+3π/4)㎝，则它们的合振动的振幅为（ ） (A) 1㎝ （B ）3㎝ （C ）5 ㎝ （D ）7 ㎝ 6、一平面简谐波，波速为μ=5 cm/s ，设t= 3 s 时刻 的波形如图所示，则x=0处的质点的振动方程为 （ ） (A) y=2×10－2 cos (πt/2－π/2) (m) (B) y=2×10－2 cos (πt + π) (m) (C) y=2×10－2 cos(πt/2+π/2) (m) (D) y=2×10－2 cos (πt－3π/2) (m) 7、一平面简谐波，沿X 轴负方向 传播。x=0处的质点的振动曲线如图所示，若波函数用余弦函数表示，则该波的初位相为（ ） （A ）0 （B ）π (C) π /2 (D) － π /2 8、有一单摆，摆长m 0.1=l ，小球质量g 100=m 。设小球的运动可看作筒谐振动，则该振动的周期为（ ） (A) 2π （B ）32π （C ）102π （D ）52π 9、一弹簧振子在光滑的水平面上做简谐振动时，弹性力在半个周期内所做的功为 [ ] (A) kA 2 （B ）kA 2 /2 （C ）kA 2 /4 （D ）0 大学物理平面简谐波波 动方程 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN §4-2平面简谐波的波动方程 振动与波动 最简单而又最基本的波动是简谐波！ 简谐波：波源以及介质中各质点的振动都是简谐振动。任何复杂的波都可看成是若干个简谐波的叠加。 对平面简谐波，各质点都在各自的平衡位置附近作简谐振动，但同一时刻各质点的振动状态不同。需要定量地描述出每个质点的振动状态。 波线是一组垂直于波面的平行射线，可选用其中一根波线为代表来研究平面简谐波的传播规律。 一、平面简谐波的波动方程 设平面简谐波在介质中沿 x 轴正向传播，在此波线上任取一参考点为坐标原点 参考点原点的振动方程为 ()00cos y A t ω?=+ 任取一点 P ，其坐标为 x ，P 点如何振动？ x 区别 联系 振动研究一个质点的运动。 波动研究大量有联系的质点振动的集体表现。 振动是波动的根源。 波动是振动的传播。 A 和 ω 与原点的振动相同，相位呢 沿着波的传播方向，各质点的相位依次落后，波每向前传播 λ 的距离，相位落后 2π 现在，O 点的振动要传到 P 点，需要向前传播的距离为 x ，因而 P 点的相位比 O 点落后 22x x π πλ λ = P 点的振动方程为 02cos P y A t x πω?λ? ?=+- ?? ? 由于 P 点的任意性，上式给出了任意时刻任意位置的质点的振动情况，将下标去掉 02cos y A t x πω?λ? ?=+- ?? ? 就是沿 x 轴正向传播的平面简谐波的波动方程。 如果波沿 x 轴的负向传播，P 点的相位将比 O 点的振动相位超前2x π λ 沿 x 轴负向传播的波动方程为 02cos y A t x πω?λ??=++ ??? 利用 2ωπν=， u λν= x §4—２平面简谐波得波动方程 振动与波动 最简单而又最基本得波动就是简谐波! 简谐波：波源以及介质中各质点得振动都就是简谐振动。任何复杂得波都可瞧成就是若干个简谐波得叠加。 对平面简谐波,各质点都在各自得平衡位置附近作简谐振动，但同一时刻各质点得振动状态不同.需要定量地描述出每个质点得振动状态。 波线就是一组垂直于波面得平行射线,可选用其中一根波线为代表来研究平面简谐波得传播规律. 一、平面简谐波得波动方程 设平面简谐波在介质中沿 轴正向传播，在此波线上任取一参考点为坐标原点 参考点原点得振动方程为 任取一点 ，其坐标为 ， 点如何振动? 与 与原点得振动相同，相位呢？ 沿着波得传播方向,各质点得相位依次落后,波每向前传播 得距离,相位落后 现在，点得振动要传到 点，需要向前传播得距离为 ,因而 点得相位比 点落后 点得振动方程为 由于 点得任意性，上式给出了任意时刻任意位置得质点得振动情况，将下标去掉 就就是沿 轴正向传播得平面简谐波得波动方程。 区别 联系 振动研究一个质点得运动。 波动研究大量有联系得质点振动得集体表现。 振动就是波动得根源。 波动就是振动得传播。 如果波沿轴得负向传播, 点得相位将比点得振动相位超前 沿轴负向传播得波动方程为 利用， 沿轴正向传播得平面简谐波得波动方程又可写为 即 原点得振动状态传到点所需要得时间 点在时刻重复原点在时刻得振动状态 波动方程也常写为 其中波数，物理意义为长度内所具有完整波得数目。☆波动方程得三个要素:参考点，参考点振动方程,传播方向 二、波动方程得物理意义 1、固定，如令 振动方程 处质点得振动方程 处得振动曲线 该质点在与两时刻得相位差 2、固定,如令 波形方程 时刻各质点离开各自平衡位置得位移分布情况,即时刻得波形方程。 一、选择题： 1．3147：一平面简谐波沿Ox正方向传播，波动表达式为 ] 2 ) 4 2 ( 2 cos[ 10 .0 π + - π = x t y (SI)，该波在t = 0.5 s时刻的波形图是 ［ B ］ 2．3407：横波以波速u沿x轴负方向传播。t时刻波形曲线如图。则该时刻 (A) A点振动速度大于零 ［ y= ［ 4．3413：下列函数f (x。t) 的常量。其中哪个函数表示沿x轴负向传播的行波 (A) ) cos( ), (bt ax A t x f+ =(B) ) cos( ), (bt ax A t x f- = (C) bt ax A t x f cos cos ), (? =(D) bt ax A t x f sin sin ), (? =［］5．3479：在简谐波传播过程中，沿传播方向相距为λ 2 1 （??为波长）的两点的振动速度必定 (A) 大小相同，而方向相反(B) 大小和方向均相同 (C) 大小不同，方向相同(D) 大小不同，而方向相反 ［］ 6．3483：一简谐横波沿Ox轴传播。若Ox轴上P1和P2两点相距? /8（其中?为该波的波长），则在波的传播过程中，这两点振动速度的 (A) 方向总是相同(B) 方向总是相反 (C) 方向有时相同，有时相反(D) 大小总是不相等 ［］ 7．3841：把一根十分长的绳子拉成水平，用手握其一端。维持拉力恒定，使绳端在垂直于绳子的方向上作简谐振动，则 (A) 振动频率越高，波长越长 (B) 振动频率越低，波长越长 (C) 振动频率越高，波速越大 (D) 振动频率越低，波速越大［］ 8．3847：图为沿x轴负方向传播的平面简谐波在t = 0时刻的波形。若波的表达式以余弦函数表示，则O点处质点振动的初相为： (A) 0 (B) π 2 1 (C) π(D) π 2 3 y (m)y (m) - y (m)y (m) 5193图 x y O u 3847图 简谐运动位移公式推导 问题：质量为m 的系于一端固定的轻弹簧（弹簧质量可不计）的自由端。如图（a ）所示， 将物体略向右移，在弹簧力作用下，若接触面光滑，m 物体将作往复运动，试求位移x 与时间t 的函数关系式。 图（a ） 分析：m 物体在弹力F 的作用下运动，显然位移X 与弹力F 有关，进而由弹簧联想起胡克定律，但结果只有位移与时间，故要把弹力F 替换成关于X 与t 的量，再求解该微分方程。 推导：取物体平衡位置O 为坐标原点,物体运动轨迹为X 轴，向右为正。设弹力为F, 由胡克定律 F =?kX ,K 为劲度系数，负号表示力与位移方向相反。 根据牛顿第二定律，m 物体加速度a=dv dt =d2X dt 2=F m =-k m x (1) 可令k m =ω2 (2) 代入（a ）,得 d2X dt 2=?ω2X 或d2X dt 2+ω2X=0 (3) 显然，想求出位移X 与时间t 的函数关系式，须解出此微分方程 求解：对于d2X dt 2+ω2X=0，即X ’’+ ω2X=0 (4) (4)式属可将阶的二阶微分方程， 若设X ’=u ，消去t,就要把把X ”转化为关于X 与t 的函数，那么 X ’’=dX"dt = du dx dx dt =u du dx , u du dx +ω2X=0, u du dx =?ω2X 下面分离变量再求解微分方程，然后两边积分，得 ∫udu =?ω2∫Xdx 得 12u 2=? 12 ω2 x 2+C ，即u 2=? ω2 x 2+C1 (5) u=x ’,x ’=√C1? ω2 x 2 =dx dt (6) 再次分离变量，dx √C1? ω=dt (7) 两边积分，右边=t ，但左边较为复杂， 经过仔细思考，笔者给出一种求解方法： 运用三角代换，令X=√C1ω cos z (7)式左边化为d cos z ωsin z =?sin zdz ωsin z =-dz ω, 两边积分，得 -–z ω =t+C2 由此可得， X=√C1ω cos (ωt+ωC2),大学物理平面简谐波波动方程
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