《导数及其应用》单元测试题(文科)
(满分:150分 时间:120分钟)
一、选择题(本大题共10小题,共50分,只有一个答案正确) 1.函数()2
2)(x x f π=的导数是( C )
(A) x x f π4)(=' (B) x x f 24)(π=' (C) x x f 2
8)(π=' (D) x x f π16)(=' 2.函数x
e x x
f -?=)(的一个单调递增区间是( A )
(A)[]0,1- (B) []8,2 (C) []2,1 (D) []2,0
3.已知对任意实数x ,有()()
()(f x f x g x g x
-=--=,,且0x >时,()0()f x g x ''>>,,则0x <时(B )
A .()0()0f x g x ''>>,
B .()0()0f x g x ''><,
C .()0()0f x g x ''<>,
D .()0()0f x g x ''<<,
4.若函数b bx x x f 33)(3
+-=在()1,0内有极小值,则( A ) (A ) 10<b (D ) 2
1<
b 5.直线y =kx +b 与曲线y =x 3+ax +1相切于点(2,3),则b 的值为(C ) A .3 B .9 C .-15
D .-7
6.曲线x
y e =在点2
(2)e ,处的切线与坐标轴所围三角形的面积为(D )
A.2
94
e
B.2
2e
C.2
e
D.2
2
e
7.设()f x '是函数()f x 的导函数,将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中,不可能正确的是( D )
8.已知二次函数2
()f x ax bx c =++的导数为'()f x ,'(0)0f >,对于任意实数x 都有
()0f x ≥,则
(1)
'(0)
f f 的最小值为( C ) A .3 B .
5 C .2 D .3
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
10. 函数)(x f 的图像如图所示,下列数值排序正确的是(B )
(A ))2()3()3()2(0/
/f f f f -<<< (B ) )2()2()3()3(0/
/f f f f <-<< (C ))2()3()2()3(0/
/f f f f -<<< (D ))3()2()2()3(0/
/f f f f <<-< 二.填空题(本大题共7小题,共35分)
11.函数()ln (0)f x x x x =>的单调递增区间是1,e ??+∞????
____.
12.已知函数3
()128f x x x =-+在区间[3,3]-上的最大值与最小值分别为,M m ,则
M m -=_32_.
13.点P 在曲线3
2
3
+
-=x x y 上移动,设在点P 处的切线的倾斜角为为α,则α的取值范围是 ?????????????πππ,432,0 14.已知函数53
123
-++=
ax x x y (1)若函数在()+∞∞-,总是单调函数,则a 的取值范围是 . (2)若函数在),1[+∞上总是单调函数,则a 的取值范围 . (3)若函数在区间(-3,1)上单调递减,则实数a 的取值范围是 .
.3)3(;3)2(;1-≤-≥≥a a a
15. 若曲线f (x )=ax 3+ln x 存在垂直于y 轴的切线,则实数a 的取值范围是__(-∞,0)______. 16. 已知函数f (x )=3x 3+2x 2-1在区间(m,0)上总有f ′(x )≤0成立,则m 的取值范围为__[-49
,
0)______.
17. 已知函数f (x )(x ∈R )满足f (1)=1,且f (x )的导函数f ′(x )<12,则f (x ) 2的解集为{x |x >1} 三.解答题(本大题共4小题,共12+12+14+14+14+14=80分) 18.用长为18 cm 的钢条围成一个长方体形状的框架,要求长方体的长与宽之比为2:1,问该长方体的长、宽、高各为多少时,其体积最大?最大体积是多少? 18解:设长方体的宽为x (m ),则长为2x (m),高为 ??? ? ? -=-= 230(m)35.44 1218<<x x x h . 故长方体的体积为 ).2 3 0() (m 69)35.4(2)(3322<<x x x x x x V -=-= 从而).1(18)35.4(1818)(2x x x x x x V -=--=' 令V ′(x )=0,解得x =0(舍去)或x =1,因此x =1. 当0<x <1时,V ′(x )>0;当1<x < 3 2 时,V ′(x )<0, 故在x =1处V (x )取得极大值,并且这个极大值就是V (x )的最大值。 从而最大体积V =V ′(x )=9×12-6×13(m 3),此时长方体的长为2 m ,高为1.5 m. 答:当长方体的长为2 m 时,宽为1 m ,高为1.5 m 时,体积最大,最大体积为3 m 3。 19.设函数3 2 ()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值. (1)求a 、b 的值; (2)若对于任意的[03]x ∈,,都有2 ()f x c <成立,求c 的取值范围. 解:(1)2 ()663f x x ax b '=++, 因为函数()f x 在1x =及2x =取得极值,则有(1)0f '=,(2)0f '=. 即6630241230a b a b ++=?? ++=?, . 解得3a =-,4b =. (2)由(Ⅰ)可知,3 2 ()29128f x x x x c =-++,2 ()618126(1)(2)f x x x x x '=-+=--. 当(01)x ∈,时,()0f x '>;当(12)x ∈,时,()0f x '<;当(23)x ∈,时,()0f x '>. 所以,当1x =时,()f x 取得极大值(1)58f c =+,又(0)8f c =,(3)98f c =+. 则当[]03x ∈, 时,()f x 的最大值为(3)98f c =+. 因为对于任意的[]03x ∈, ,有2 ()f x c <恒成立,所以 2 98c c +<, 解得 1c <-或9c >,因此c 的取值范围为(1)(9)-∞-+∞ ,,. 20. 已知函数3 2 ()23 3.f x x x =-+ (1)求曲线()y f x =在点2x =处的切线方程; (2)若关于x 的方程()0f x m +=有三个不同的实根,求实数m 的取值范围. 解(1)2 ()66,(2)12,(2)7,f x x x f f ''=-== ………………………2分 ∴曲线()y f x =在2x =处的切线方程为712(2)y x -=-,即12170x y --=;……4分 (2)记3 2 2 ()233,()666(1)g x x x m g x x x x x '=-++=-=- 令()0,0g x x '==或1. …………………………………………………………6分 则,(),()x g x g x '的变化情况如下表 ………………………10分 由()g x 的简图知,当且仅当(0)0,(1)0g g >?? ,3220 m m m +>?-<<-?+ 所以若过点A 可作曲线()y f x =的三条不同切线,m 的范围是(3,2)--.…………14分 21.已知()R a x x a ax x f ∈+++-=14)1(3 )(23 (1)当1-=a 时,求函数的单调区间。 (2)当R a ∈时,讨论函数的单调增区间。 (3)是否存在负实数a ,使[]0,1-∈x ,函数有最小值-3? 解:(1)(),2,-∞-∈x 或(),,2+∞∈x )(x f 递减; (),2,2-∈x )(x f 递增; (2)1、当,0=a (), 2,-∞-∈x )(x f 递增;2、当,0 ? ??∈a x )(x f 递增;3、当,10< ,,2?? ? ??+∞∈a x )(x f 递增; 当,1=a (),,+∞∞-∈x )(x f 递增;当,1>a ,2,?? ? ? ?∞-∈a x 或(),,2+∞∈x ) (x f 递增;