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《导数及其应用》单元测试题(文科)

《导数及其应用》单元测试题(文科)
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《导数及其应用》单元测试题(文科)

(满分:150分 时间:120分钟)

一、选择题(本大题共10小题,共50分,只有一个答案正确) 1.函数()2

2)(x x f π=的导数是( C )

(A) x x f π4)(=' (B) x x f 24)(π=' (C) x x f 2

8)(π=' (D) x x f π16)(=' 2.函数x

e x x

f -?=)(的一个单调递增区间是( A )

(A)[]0,1- (B) []8,2 (C) []2,1 (D) []2,0

3.已知对任意实数x ,有()()

()(f x f x g x g x

-=--=,,且0x >时,()0()f x g x ''>>,,则0x <时(B )

A .()0()0f x g x ''>>,

B .()0()0f x g x ''><,

C .()0()0f x g x ''<>,

D .()0()0f x g x ''<<,

4.若函数b bx x x f 33)(3

+-=在()1,0内有极小值,则( A ) (A ) 10<b (D ) 2

1<

b 5.直线y =kx +b 与曲线y =x 3+ax +1相切于点(2,3),则b 的值为(C ) A .3 B .9 C .-15

D .-7

6.曲线x

y e =在点2

(2)e ,处的切线与坐标轴所围三角形的面积为(D )

A.2

94

e

B.2

2e

C.2

e

D.2

2

e

7.设()f x '是函数()f x 的导函数,将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中,不可能正确的是( D )

8.已知二次函数2

()f x ax bx c =++的导数为'()f x ,'(0)0f >,对于任意实数x 都有

()0f x ≥,则

(1)

'(0)

f f 的最小值为( C ) A .3 B .

5 C .2 D .3

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

10. 函数)(x f 的图像如图所示,下列数值排序正确的是(B )

(A ))2()3()3()2(0/

/f f f f -<<< (B ) )2()2()3()3(0/

/f f f f <-<< (C ))2()3()2()3(0/

/f f f f -<<< (D ))3()2()2()3(0/

/f f f f <<-< 二.填空题(本大题共7小题,共35分)

11.函数()ln (0)f x x x x =>的单调递增区间是1,e ??+∞????

____.

12.已知函数3

()128f x x x =-+在区间[3,3]-上的最大值与最小值分别为,M m ,则

M m -=_32_.

13.点P 在曲线3

2

3

+

-=x x y 上移动,设在点P 处的切线的倾斜角为为α,则α的取值范围是 ?????????????πππ,432,0 14.已知函数53

123

-++=

ax x x y (1)若函数在()+∞∞-,总是单调函数,则a 的取值范围是 . (2)若函数在),1[+∞上总是单调函数,则a 的取值范围 . (3)若函数在区间(-3,1)上单调递减,则实数a 的取值范围是 .

.3)3(;3)2(;1-≤-≥≥a a a

15. 若曲线f (x )=ax 3+ln x 存在垂直于y 轴的切线,则实数a 的取值范围是__(-∞,0)______. 16. 已知函数f (x )=3x 3+2x 2-1在区间(m,0)上总有f ′(x )≤0成立,则m 的取值范围为__[-49

0)______.

17. 已知函数f (x )(x ∈R )满足f (1)=1,且f (x )的导函数f ′(x )<12,则f (x )

2的解集为{x |x >1}

三.解答题(本大题共4小题,共12+12+14+14+14+14=80分)

18.用长为18 cm 的钢条围成一个长方体形状的框架,要求长方体的长与宽之比为2:1,问该长方体的长、宽、高各为多少时,其体积最大?最大体积是多少? 18解:设长方体的宽为x (m ),则长为2x (m),高为

??? ?

?

-=-=

230(m)35.44

1218<<x x x

h .

故长方体的体积为

).2

3

0()

(m 69)35.4(2)(3322<<x x x x x x V -=-=

从而).1(18)35.4(1818)(2x x x x x x V -=--='

令V ′(x )=0,解得x =0(舍去)或x =1,因此x =1. 当0<x <1时,V ′(x )>0;当1<x <

3

2

时,V ′(x )<0, 故在x =1处V (x )取得极大值,并且这个极大值就是V (x )的最大值。

从而最大体积V =V ′(x )=9×12-6×13(m 3),此时长方体的长为2 m ,高为1.5 m. 答:当长方体的长为2 m 时,宽为1 m ,高为1.5 m 时,体积最大,最大体积为3 m 3。 19.设函数3

2

()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值.

(1)求a 、b 的值;

(2)若对于任意的[03]x ∈,,都有2

()f x c <成立,求c 的取值范围. 解:(1)2

()663f x x ax b '=++,

因为函数()f x 在1x =及2x =取得极值,则有(1)0f '=,(2)0f '=.

即6630241230a b a b ++=??

++=?,

解得3a =-,4b =.

(2)由(Ⅰ)可知,3

2

()29128f x x x x c =-++,2

()618126(1)(2)f x x x x x '=-+=--. 当(01)x ∈,时,()0f x '>;当(12)x ∈,时,()0f x '<;当(23)x ∈,时,()0f x '>. 所以,当1x =时,()f x 取得极大值(1)58f c =+,又(0)8f c =,(3)98f c =+.

则当[]03x ∈,

时,()f x 的最大值为(3)98f c =+.

因为对于任意的[]03x ∈,

,有2

()f x c <恒成立,所以 2

98c c +<, 解得 1c <-或9c >,因此c 的取值范围为(1)(9)-∞-+∞ ,,. 20. 已知函数3

2

()23 3.f x x x =-+ (1)求曲线()y f x =在点2x =处的切线方程;

(2)若关于x 的方程()0f x m +=有三个不同的实根,求实数m 的取值范围.

解(1)2

()66,(2)12,(2)7,f x x x f f ''=-== ………………………2分

∴曲线()y f x =在2x =处的切线方程为712(2)y x -=-,即12170x y --=;……4分 (2)记3

2

2

()233,()666(1)g x x x m g x x x x x '=-++=-=-

令()0,0g x x '==或1. …………………………………………………………6分 则,(),()x g x g x '的变化情况如下表

………………………10分

由()g x 的简图知,当且仅当(0)0,(1)0g g >??

,3220

m m m +>?-<<-?+

所以若过点A 可作曲线()y f x =的三条不同切线,m 的范围是(3,2)--.…………14分

21.已知()R a x x a ax x f ∈+++-=14)1(3

)(23

(1)当1-=a 时,求函数的单调区间。 (2)当R a ∈时,讨论函数的单调增区间。

(3)是否存在负实数a ,使[]0,1-∈x ,函数有最小值-3? 解:(1)(),2,-∞-∈x 或(),,2+∞∈x )(x f 递减; (),2,2-∈x )(x f 递增; (2)1、当,0=a (),

2,-∞-∈x )(x f 递增;2、当,0

? ??∈a

x )(x f 递增;3、当,10<

,,2??

?

??+∞∈a x )(x f 递增; 当,1=a (),,+∞∞-∈x )(x f 递增;当,1>a ,2,??

? ?

?∞-∈a x 或(),,2+∞∈x )

(x f 递增;

(3)因,0

1、当,2,12-≥?-≤a a [],2,20,1??? ???-∈a x )(x f 递增,3)1()(min -=-=f x f ,解得,243->-=a

2、当,2,12-≤?->a a

由单调性知:3)2

()(min -==a f x f ,化简得:01332=-+a a ,解得

,26

21

3->±-=

a 不合要求;综上,43-=a 为所求。

22.已知函数()2

a f x x x

=+,()ln g x x x =+,其中0a >.

(1)若1x =是函数()()()h x f x g x =+的极值点,求实数a 的值;

(2)若对任意的[]12,1

x x e ∈,(e 为自然对数的底数)都有()1f x ≥()2g x 成立,求实数a 的取值范围.

22.(1)解法1:∵()2

2ln a h x x x x

=++,其定义域为()0 +∞,

, ∴()221

2a h x x x

'=-+. ∵1x =是函数()h x 的极值点,∴()10h '=,即230a -=.

∵0a >,∴a = 经检验当a =1x =是函数()h x 的极值点,∴a =

解法2:∵()2

2ln a h x x x x

=++,其定义域为()0+∞,

, ∴()2212a h x x x '=-+. 令()0h x '=,即22120a x x -+=,整理,得22

20x x a +-=.

∵2

180a ?=+>,∴()0h x '=的两个实根114

x -=(舍去),

2x =,当x 变化时,()h x ,()h x '的变化情况如下表:

依题意,

114

-+=,即23a =,∵0a >,∴a = (2)解:对任意的[]12,1

x x e ∈,都有()1f x ≥()2g x 成立等价于对任意的[]12,1x x e ∈,都有()min f x ????≥()max

g x ????. 当x ∈[1,e ]时,()1

10g x x

'=+>. ∴函数()ln g x x x =+在[]1e ,上是增函数.∴()()max 1g x g e e ==+????. ∵()()()222

1x a x a a f x x x

+-'=-=,且[]1,x e ∈,0a >. ①当01a <<且x ∈[1,e ]时,()()()2

0x a x a f x x +-'=

>,

∴函数()2a f x x x

=+在[1,e ]上是增函数,∴()()2

min

11f x f a ==+????.

由2

1a +≥1e +,得a 01a <<,∴a 不合题意.

②当1≤a ≤e 时,

若1≤x <a ,则()()()2

0x a x a f x x +-'=

<,

若a <x ≤e ,则()()()

2

0x a x a f x x +-'=

>.

∴函数()2

a f x x x

=+在[)1,a 上是减函数,在(]a e ,上是增函数.

∴()()min

2f x f a a ==????.由2a ≥1e +,得a ≥1

2

e +, 又1≤a ≤e ,∴

1

2

e +≤a ≤e . ③当a e >且x ∈[1,e ]时,()()()2

0x a x a f x x +-'=

<,

∴函数()2

a f x x x

=+在[]1e ,上是减函数.

∴()()2min a f x f e e e ==+????.由2

a e e +≥1e +,得a ,

又a e >,∴a e >.综上所述,a 的取值范围为1,2e +??

+∞????

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