极化恒等式在数量积求值中的应用
【教学目标】
1．了解极化恒等式概念，理解极化恒等式的几何意义； 2．能利用极化恒等式解决数量积中的求值问题.
【教学过程】
1. 极化恒等式的概念：
极化恒等式最初出现于高等数学中的泛函分析，它表示数量积可以由它诱导出的范数来表示，把这个极化恒等式降维至二维平面即得：
极化恒等式：设b a ,是平面内的两个向量，则有()()
2214a b a b a b ?
??=+--????
极化恒等式的几何意义：在ABC ?中，AD 是BC 边上的中线，22AB AC AD BD ?=-. 我们从极化恒等式看到向量的数量积可转化为中线长与半底边长的平方差，此恒等式的精妙之处在于建立向量与几何长度（数量）之间的桥梁，实现向量与几何、代数的巧妙结合.
2.极化恒等式在数量积求值中的应用：
极化恒等式对研究数量积问题有着怎样的帮助呢？我们通过对比几道例题的解题思路来思考这个问题.
例1. （2016年江苏数学高考第13题）如图，在ABC ?中，D 是BC 的中点，,E F 是
,A D 上的两个三等分点，4BA CA ?=，1BF CF ?=- ，则BE CE ? 的值是 .
法一:(坐标法)
解：以直线BC 为x 轴，过点D 且垂直于BC 的直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系xOy ，
如图：设(3,3),(,0)A a b B c -,(,0)C c ，则有(2,2),(,)E a b F a b
A
E F
C
D x
y
B
()()2223,33,3994BA CA a c b a c b a c b ?=+?-=-+=
222(,)(,)1BF CF a c b a c b a c b ?=+-=-+=-，则222513
,88
a b c +==
()()22272,22,2448
BE CE a c b a c b a c b ?=+?-=-+=
法二:(基向量)
()()
2222
4364
44
AD BC FD BC
BA CA DA DB DA DC --?=-?-===解：
()()
22
414FD BC
BF CF DF DB DF DC -?=-?-==-, 因此22513,82
FD BC ==，
()()
2222
4167
448
ED BC FD BC BE CE DE DB DE DC --?=-?-===.
上面的解法采用基向量的思想，将平面内向量用,表示.而这样一个转化的过程可以用“极化恒等式”直接描述.如下： 设,BD x DF y ==
2294BA CA y x ?=-=，221BF CF y x ?=-=-，则有225
13,88
y x ==
22748
BE CE y x ?=-=
我们看到极化恒等式其实是一种基向量思想的公式化表达，当题目需要从中线与底边这两个方向寻找基向量时，运用极化恒等式可以更好，更快的达到解题的目的.
从前面的题目，我们看到极化恒等式对研究共起点（终点）向量数量积问题有很大的帮助，但是对于有些不共起点（终点）向量数量积问题，我们是否可以用极化恒等式来探索呢？比如：
例2（南通、泰州、扬州、连云港、淮安五市2013届高三三模第13题改编）
解：建立如图所示的平面直角坐标系
22(1,)BC OC OB x y =-=-
112212121(,)(1,)15AD BC x y x y x x y y x ∴?=-=+-= 11(1,)BD OD OB x y =-=-
22111212212(,)(1,)15AC BD x y x y x x y y x x x ∴?=-=+-=+-
2
2212121(
)()22222
x x y y EF +=-+-=， 则221212(1)()8x x y y --+-=，22121212()()2()18x x y y x x -+---+= 又
2
221212()()5CD x x y y =-+-=，121514AC BD x x ∴?=+-=
法二:（基向量） 解：
2EF AB DC =+
2
2
2
42EF AB DC AB DC ∴=++?
AB DC EF =又=1,1AB DC ?= 15()()15AD BC AC CD BD DC ?=∴++=
则2
15AC BD AC DC CD BD DC +?+-=
可化为()()
515AC BD AB BC DC CD BC CD ++?++-= 15,=14AC BD AB DC AC BD +?=故
法三（极化恒等式）
解：如图，取,,,AB AC CD BD 中点,,,H I J K . 四边形ABCD 中，易知,,EF KI HJ 三线共点于O
2215
154AD BC HK HI HO IO ?=??==-
又
()2
2
44AC BD HE HF HO FO
?=?=-
在EFI ?
中，12,2
EF EI FI ==
= 由中线长公式知21
4
IO =
,从而24HO = AC BD ?=1
4(4)142
-=.
A B C D
E
F
H
I
J K
O A
B C
D
E
F
本题对于学生来说思路较难发现，但从极化恒等式的角度对条件、目标进行探索，思路清晰，过程自然，很轻松就解决了问题。
3. 巩固练习：
1. (2012
浙
江
高
考
)在
ABC
?中，
M
是边
BC
的中点
3,AM =10,BC =AB AC = .
解：AB AC =2
2
92516AM BM -=-=-
2.（2017苏锡常镇一模）在△ABC 中，已知1AB =，2AC =，60A ∠=?，若点P 满足=+AP AB AC λ，且1?=BP CP ，则实数λ的值为 ．
解：取BC 的中点D,连接DP
由1AB =2AC =60A ∠=?知：
211421232BC =+-???
=
221BP CP OP BO ?==-,
则
OP =
,又BP AC λ=
故1
14
或-λ=
3.（2017南通二模）如图，在平面四边形ABCD 中，O 为BD 的中点，且3OA =，5OC =．若AB →·AD →=-7，则BC →·DC →
的值是 ． 解：AB →·AD →
22AO BO =-=-7,又3OA = 则有 4OB =,
BC →·DC →
2225169CO BO =-=-=
4.（自编）在梯形ABCD 中, 满足//AD BC , 1,3==AD BC ,2,=AB DC 则AC BD = 。 解：过A 点作AE 平行于DC,交BC 于E,取BE 中点F,连接AF,
过D 点作DH 平行于AC,交BC 延长线于H ，取BH 中点G ,连接DG, 22212,AB DC AB AE AF BF AF ==-=-=
2224AC BD DB DH BG DG DG =-=-=-
又1FG BG BF =-=,//AD BC ,则四边形ADGF 为平行四边形
AF DG =,1AC BD ∴=
极化恒等式在数量积求最值中的应用
【教学目标】
1．能利用极化恒等式解决数量积中的求最值问题：
2．思考使用极化恒等式解决数量积最值问题时，有何区别.
【教学过程】
例1 （2016届南通、扬州、泰州二模第12题）如图（2），在同一平面内，点A 位于两平行直线,m n 的同侧，且A 到,m n 的距离分别为1，3．点,B C 分别在,m n ，5AB AC +=，则AB AC ?的最大值是 ．
如图：则(0,3),(,0),(A C c B b 则(,AB b =-，(,AC c =-，又+3AB AC bc =)
解：连接BC ，取2AC =故4AB AC ?=
min ，所以m 4
ax 例2中我们注意到所求目标为共起点向量数量积的最大值，而条件告诉我们BC 边上的中线长为
5
2
，故易联系到极化恒等式，只需求底边BC 的最小值即可. 例2（2016届南京三模第13题）在半径为1的扇形AOB 中，∠AOB ＝60o ，C 为弧上C
如图：则11(,0),(,0)22
A O
B - 可得AB
直线方程为21x y =，设P
(2))x x -
1(2))2OP x x =--
，1(2))2BP x x =+- 22131
·4-3+=4(-)-2816OP BP x x x =
当3=8x 时，OP →·BP →的最小值是1
16
-.
法二：(基向量)
解：OP OB BP =+,,[0,1]BP x x =∈
则 (
)
2·· OP BP OB BP BP x =+=-所以当x
=
法三：（极化恒等式）
解：如图取OB 的中点D ,连接PD
2
2
2
1
4
OP BP PD OD PD ?=-=-
即求PD 的最小值.
由图可知：当PD AB ⊥时
min PD =
则OP →·BP →的最小值是116
- .
例1与例2通过将数量积的最值问题转化为几何线段的最值问题，极化恒等式从中起到重要的桥梁作用.但区别于例1，例2将数量积的最值问题转化为相应三角形的中线长最值问题.
例2中求PD 的最小值还可以看成“以D 为圆心的圆与线段AB 有公共点，求圆半径最小值”.从这种角度看较类似的还有2016届盐城市三模第11题：
例3.已知线段AB 的长为2，动点C 满足CA CB λ?=（λ为常数），且点C 总不在以点
B 为圆心，1
2
为半径的圆内，则负数λ的最大值是 .
解析：如图，取AB 的中点D ,连接CD
2
1CA CB CD λ?=-=
10CD λ=-≤<
又由点C 总不在以点B 圆心，
1
2
为半径的圆内， A
P
B
D O C
B
A
D
A
P
B
O
故112
λ+≤
，则负数λ的最大值是34-.
本题我们将条件“线段AB 的长为2，动点C 满足CA CB λ?=（λ为常数）”通过极化恒等式转化为C 点的轨迹为圆，题目就转化为圆与圆的位置关系问题，较易解决.
例 4.设O 是ABC ?外接圆的圆心，,,a b c 分别为角,,A B C 对应的边，已知
2220b b c -+=，则BC AO ?的范围是 .
解析一：设D 为BC 的中点，则AO AD DO =+
得())BC AO BC AD DO BC AD BC DO BC AD ?=?+=?+?=? 又由()
1
,2
BC AC AB AD AC AB =-=+ 则()()
()
()2222111
222
BC AD AC AB AC AB AC AB b c ?=
-?+=-=- ()2
221(2)2
b b b b b =
--=- 又因2
2
20c b b =->解得02b <<，结合2
BC AD b b ?=-可求得
1
<24
BC AD -≤?， 解
析
二
：
设
ABC
?外接圆的半径为
R
，则有
()BC AO CB OA OB OC OA OB OA OC OA ?=?=-?=?-?
2222cos cos cos 2cos 2R AOB R AOC R C R B =∠-∠=-
2222(12sin )(12sin )R C R B =---22222211
2sin 2sin 22
R B R C b c =-=-
又因为2
2
20b b c -+=，所以2
2
2002c b b b =->?<<
所以22221111
(2)()(02)2224BC AO b b b b b b b ?=
--=-=--<< 由221111102()(2)242424b b <
[,2)4
-.
解析三：设ABC ?外接圆的半径为R ，分别取AB 、AC 的中点E 、F ，则依题意可得
()BC AO CB OA OB OC OA OB OA OC OA ?=?=-?=?-?
因为222211
[()()](4)44
OB OA OB OA OB OA OE AB ?=
+--=-（极化恒等式） 22222222221111144442
OE c R AE c R c c R c =-=--=--=-
同理可得2222
11[()()](4)44
OC OA OC OA OC OA OF AC ?=+--=-
22222222221111144442
OF b R AF b R b b R b =-=--=--=-
所以222
2221111()2222
BC AO R c R b b c ?=---=-
又因为2220b b c -+=，所以22
2002c b b b =->?<<
所以22221111
(2)()(02)2224BC AO b b b b b b b ?=
--=-=--<< 由221111102()(2)242424b b <
[,2)4
-.
巩固练习：
1. 正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，MN 是它内切球的一条弦（把球面上任意两点之间
的线段称为球的弦），P 为正方体表面上的动点，当弦MN 最长时，PM PN 的最大值为 解：设球心为O,当弦MN 最长时,MN 过O,此时2221PM PN PO MO PO =-=- 又PO 3PM PN 的最大值为2
2.（2013北京市朝阳区二模）点P 是棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的底面1111A B C D 上一点，则PA PC 的取值范围是 解;取AC 中点O,连接PO
22212PA PC PO AO PO =-=-,又6PO ?∈???
PA PC 的取值范围是1
,12??
????
3. 设正方形ABCD 的边长为4，动点P 在以AB 为直径的圆弧APB 上（如图所示），则
PD PC 的取值范围是
解：取CD 的中点E,连接PE
222
4PD PC PE DE PE =-=-,又PE ?
∈?
[]0,1PD PC ∈
4.如图放置的边长为1的正方形ABCD 顶点分别在x 轴，y 轴正半轴（含原点）滑动，则
OB OC 的最大值为
解：取BC 中点E,连接OE
21
4OB OC OE =-
由条件知O 在以AD 为直径的半圆上， 取AD 中点F,连接OF,EF
13122
OE OF EF ≤+=
+= OB OC 的最大值为2
5.(自编）在平面直角坐标系xOy 中，,A B 分别在,x y 正半轴上移动， 2=AB ，若P 点满足2=PA PB ,则OP 的取值范围为 .
解：取AB 中点为C,连接PC
22221PA PB PC AC PC ==-=-
,PC =故P 在以C
由条件知O 在以AB 为直径的半圆上
则1OP ?∈+?
极化恒等式在数量积问题的综合应用
【教学目标】
3．能利用极化恒等式解决数量积中较复杂的综合问题：
4．反思使用极化恒等式解决数量积最值问题的好处.
【教学过程】
例1．（2015年盐城市高三数学调研14题）正方形ABCD 边长为1，中心为O ,直线l 经过中心O ，交AB 于M ，交CD 于N ，P 为平面上一点，且2(1)OP OB OC λλ=+-，则
PM PN ?的最小值为 .
2222111
(,),(,),[0,]222
M a N a a --∈
则PM PN ?=22(12)114416a λ---+
117
162
16≥-=- 当且仅当11
,24a λ==，取等号
法二.（极化恒等式）
D N
解：如图连接OP 并延长交BC 线段于H 因为,,B H C 三点共线
所以2(1)OP OB OC OH λλ=+-=
2
2
2
24
OH PM PN PO OM OM ?=-=-
22min
min max 117()()()416216
OH PM PN OM ?=-=-=-
练习：（2012南京模拟）在ABC ?中，点E ,F 分别是线段AB ,AC 的中点，点P 在直线EF 上，若ABC ?的面积为2，则2
PB PC BC +的最小值是 .
解：取BC 的中点D,连接PD
2
2224PB PC BC PD BD BD +=-+,又ABC ?的面积为2
设ABC ?中BC 边上的高为
h,2
2
24
3
PB PC BC h h
+≥+≥问题也可以从“已知向量数量积的最值求相关参数”的角度发问，比如：
例2（扬州市2015届高三上学期期末考试第14题）已知(0,1)A ，曲线:log a C y x =恒过点B ，若P 是曲线C 上的动点，且AB AP 的最小值为2，则a ＝ .
法一:（坐标法）
解：由条件知：当01a <<时，min ()0AB AP <，故1a > 又由(0,1),(1,0)A B ,设(,log )a P x x 则有：
(1,1)(,log 1)log 1a a AB AP x x x x =--=-+；
令()log 1a f x x x =-+
'1
1
1ln ()10,ln ln x a f x x x a
x a
-
=-
=== 因为'11
0,()0()0ln ln x f x f x a a
<<
<，故在（，）上减； '11,()0()ln ln x f x f x a a
>
>∞，故在（，+）上增； 所以1ln x a =
时，min 1
()+log ln 1=2ln a f x a
a
=+（） 令ln a t =，有ln 1=0t t -+，易知1t =，则a e =.
O
H
法二:（极化恒等式）
解：易知1a >, 如图(1,0)B
则AB =连接BP ,取BP 的中点C ,连接AC 因为AB AP 的最小值为2，
则有2222min ()2AC BC AB -=== 等价于222AB BC AC +≤,即090ABP ∠≥ 当且仅当P 与B 重合时，取等号 此时曲线C 在B 处的切线斜率为1，即
1
ln a
=1 a e =. 例2
需要抓住题目中隐含条件AB =通过极化恒等式将数量积的最值转化为角的最值，理清等号成立的条件，从而求出参数.
有的时候题目的条件会告诉数量积的最值对应的位置，然后求相关的量，比如： 例3．（2013年浙江高考第7题）在ABC ?中，0P 是边AB 上一定点，满足01
4
P B AB =
，且对于边AB 上任意一点P ，恒有00PB PC P B PC ≥则下列选项中正确的是( )
A .090ABC ∠=
B .0
90BAC ∠= C .AB AC =
D .AC BC =
法一:(坐标法)
解：以AB 所在直线为x 轴，以AB 中垂线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系xOy ，
不妨设4,(,),(,0)AB C a b P x =(22)x -≤≤ 则001,(2,0),(2,0),(1,0)BP A B P =-
∴0(1,0)P B =，(2,0)PB x =-，(,)PC a
x b =-，
∵对于边AB 上任意一点P,恒有00PB PC P B PC ≥ ∴(2)()1x a x a --≥-对22x -≤≤恒成立 整理可得2
(2)1x a x a -+++≥0恒成立
令2()(2)1f x x a x a =-+++
2<-，必有(2)930f a -=+≥，无解；
2>，必有(2)10f a =-≥，无解； 当2
222
a +-≤
≤，必有20a ?=≤，0a =；即C 在AB 的垂直平分线上. ∴AC BC =,故ABC ?为等腰三角形,故选D . 法二:（极化恒等式）
解：取BC 边中点D ,连接PD , 0P D
∵对于边AB 上任意一点P ,恒有00PB PC P B PC ≥ ∴2222
0PD DC P D DC -≥-对于边AB 上任意一点P 恒成立
即0PD P D ≥对于边AB 上任意一点P 恒成立
则有0P D AB ⊥,易知AB 边上的中线垂直于AB ,从而AC BC =, 故选D .
对比例3中坐标法与极化恒等式两种做法，我们发现极化恒等式处理的更简洁，故在解决数量积的类似问题，我们不妨尝试多从极化恒等式的角度加以思考。
练习：（2013浙江竞赛）已知直线AB 与抛物线2
4y x =交于点,,A B M 为AB 的中点，C 为抛物线上一个动点，若0C 满足00min{}C A C B CA CB =，则下列各式一定成立的是（ ）
A .0C M A
B ⊥ B .0
C M l ⊥其中l 为抛物线过0C 的切线 C .00C A C B ⊥
D . 01
2
C M AB =
解：由00min{}C A C B CA CB =知：(
)
2
2
22
0min
C M AM CM AM -=-
则0min C M CM =
故0C M l ⊥其中l 为抛物线过0C 的切线 ，选B
极化恒等式的反思：
（1）极化恒等式源于教材又高于教材，在ABC ?中，()
12
AD AB AC =+，
C
B
A
P
D
0P
()
12
BD AC AB =-是课本上出现的2个重要的向量三角关系，而极化恒等式无非就是这两个
公式的变用；
（2）具有三角几何背景的数学问题利用极化恒等式考虑尤为简单，让“秒杀”向量成
为另一种可能；
（3）向量是连接代数与几何的桥梁，由于向量的坐标运算引入，向量与代数的互换运
算可以说是深入人心，而与几何的运算联系略显单薄，而极化恒等式恰恰弥补了这个遗憾，可以说极化恒等式应该是把向量的数量积问题用形象的几何图形展示得淋漓尽致； 用极化恒等式“秒杀”向量试题，不论是平面还是空间，还有更多的案例，限于篇幅，
不再举例。最后，笔者要说的是，我们研究用极化恒等式“秒杀”一类高考向量试题，并不是追求高难度的解题技巧，而是着意于解题工具的选择，着意于数学问题的理解，揭示问题的本质，达到快速解题的目的.
极化恒等式 例1：（2014年高考全国新课标II 卷文（理）科第4（3）题）设向量b a ,满足6,10=-=+b a b a ，则 b a ?等于 （ ） A.1 B. 2 C. 3 例2:（2014江苏）在平行四边形 ABCD 中，已知 , 2,3,5,8=?===BP AP PD CP AD AB 的取值范围是 1111，p 为正方形表面上的动点，当弦MN 最长时，PN PM ?的最大值为 秒杀秘籍：极化恒等式：()( )[] .122 b a b a b a --+= ?
的最小值等 一、求数量积的值 1. （2016年高考江苏卷第13题）如图，在ABC ?中，D 是BC 的中点，F E ,是AD 的两 个三等分点， 1,4-=?=?，则=?CE BE . 则=?AC AB . 2. （2012年高考浙江卷理科第15题）在ABC ?中，M 是BC 的中点，,10,3==BC AM 则=? . 3. （2011年高考上海卷理科第11题）在正ABC ?中，D 是BC 上的点，,1,3==BD AB ,4,3==AD AB P 为矩形ABCD 4. （2015年全国高中数学联赛四川赛区预赛第11题）在矩形ABCD 中，所在平面上一点，满足,21,2==PC PA 则=? . 二、界定数量积的取值范围 5. （2015年郑州市高三第一次质量预测理科第11题）在ABC Rt ?中，N M CB CA ,,3==是斜边AB 上的两个动点，且,2=MN 则CN CM ?的取值 范围为 （ ） A. ?? ????25,2 B. []4,2 C. []6,3 D. []6,4 三、探求数量积的最值 6. （2017年高考全国II 卷理科第12题）已知ABC ?是边长为2的等边三角形，P 为平面内一点，则() +?的最小值是 （ ） A. 2- B. 23- C. 3 4 - D. 1- 7.（2018?天津）如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BAD=120°，AB=AD=1．若点E 为边CD 上的动点， 则的最小值为（ ） A ． B ． C ． D ．3
极化恒等式 例1：（2014年高考全国新课标II 卷文（理）科第4（3）题）设向量,a b 满足 a b a b +=-=，则a b ?等于 （ ） A.1 B. 2 C. 3 D. 5 例2：.设点P 是边长为2的△ABC 三边上的一动点，则()PA PB PC ?+u u u r u u u r u u u r 的取值范围是 例3：正方形1111ABCD A B C D -的棱长为2，MN 是它的内切球的一条弦（把球面上任意两点之间的 线段称为球的弦），P 为正方形表面上的动点，当弦MN 最长时，PM PN ?u u u u r u u u r 的最大值为
例4：△ABC 中，∠C=90?，AC=4，BC=3，D 是AB 的中点，E,F 分别是边BC ，AC 上的动点，且 EF=1，则DE DF ?u u u r u u u r 的最小值等 一、求数量积的值 1. （2016年高考江苏卷第13题）如图，在ABC ?中，D 是BC 的中点，,E F 是AD 的两个三等分 点，4,1BA CA BF CF ?=?=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，则BE CE ?=u u u r u u u r . 2. （2012年高考浙江卷理科第15题）在ABC ?中，M 是BC 的中点，3,10,AM BC ==则 AB AC ?=u u u r u u u r . 3. （2011年高考上海卷理科第11题）在正ABC ?中，D 是BC 上的点，3,1,AB BD ==则 AB AD ?=u u u r u u u r 4. （2015年全国高中数学联赛四川赛区预赛第11题）在矩形ABCD 中，3,4,AB AD ==P 为矩形 ABCD 所在平面上一点，满足2,PA PC ==则PB PD ?=u u u r u u u r .
极化恒等式 ()2 22 2 2 2C C b b a a b a A A +?+=+== （1） () 2 22 2 2 2b b a a b a DB DB +?-=-== （2） （1）（2）两式相加得：?? ? ??+=??? ??+=+22222 2 22C AD AB b a DB A 结论：平行四边形对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍. 思考1：如果将上面（1）（2）两式相减，能得到什么结论呢 b a ?＝()() ???? ??--+2241b a b a ————极化恒等式 对于上述恒等式，用向量运算显然容易证明。那么基于上面的引例，你觉得极化恒等式 的几何意义是什么 几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的 4 1. 即：[] 2 24 1DB AC b a -= ?（平行四边形模式） 思考：在图1的三角形ABD 中（M 为BD 的中点），此恒等式如何表示呢 因为AM AC 2=，所以2 2 4 1DB AM b a - =?（三角形模式） 例1.(2012年浙江文15)在ABC ?中，M 是BC 的中点，3,10AM BC ==，则AB AC ?= ____ . 目标检测 目标检测 例3.（2013浙江理7）在ABC ?中,0P 是边AB 上一定点，满足014 P B AB =，且对于边AB 上任一点P ，恒有00PB PC P B PC ?≥?。则( ) A . 90ABC ∠= B . 90BA C ∠= C . AB AC = D . AC BC = 例4. (2017全国2理科12)已知ABC ?是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ?+的最小是（ ） A.2- B.32- C. 4 3 - D.1- 课后检测 1.在ABC ?中，60BAC ∠=若2AB =，3BC = ，D 在线段AC 上运动，DA DB ?的 A B C M
课题：极化恒等式在向量问题中的应用 学 习 目 标 目标1：通过自主学习掌握极化恒等式两种模式，理解其几何意义； 目标2-1：通过对例1的自主学习掌握用极化恒等式求数量积的值； 目标2-2：通过对例2的自主学习掌握用极化恒等式求数量积的最值、范围； 目标2-3：通过小组合作学习掌握极化恒等式解决与数量积有关的综合问题。 重点 掌握极化恒等式，利用它解决一类与数量积有关的向量问题 难点 根据具体的问题情境，灵活运用极化恒等式 目标达成途径 学习自我评价 阅读以下材料： . 两倍等于两条邻边平方和的平方和 平行四边形的对角线的你能用向量方法证明：何模型。 示向量加法和减法的几引例：平行四边形是表,,b AD a AB ==证明：不妨设 ，，则b a DB b a A -=+=C ()222222C C b b a a b a A A +?+=+== （1） ()222222b b a a b a DB DB +?-=-== （2） （1）（2）两式相加得：?? ? ??+=??? ??+=+22222222C AD AB b a DB A 结论：平行四边形对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍. 思考1：如果将上面（1）（2）两式相减，能得到什么结论呢？ b a ?＝()() ??????--+2241b a b a ————极化恒等式 对于上述恒等式，用向量运算显然容易证明。那么基于上面的引例，你觉得 极化恒等式的几何意义是什么？ 几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角 线”与“差对角线”平方差的4 1. 目标1：阅读材料，了解极化恒等式的由来过程，掌握极化恒等式 的两种模式，并理解其几何意义 M 图1
专题34 极化恒等式 专题知识梳理 1.公式推导 ()( ) ()( ) 2 2222 2222142a b a ab b ab a b a b a b a a b b ? +=++????=+--??????-=-+? r r r r r r r r r r r r r r r r r r 在△ABC 中，D 是边BC 的中点，则22 AB AC AD DB =-u u u r u u u u r u u u r u u u r g . D C B A 如图，由 ()() 22222 2111222AB AC AB AC AB AC AD CB AD DB ?????? =+--=-=- ??????????? u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g 得证. 类比初中的“完全平方和”与“完全平方差公式”。 2.几何意义 向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的 14 。 考点探究 【例1】如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，BA →·CA →＝4，BF →·CF → ＝－1则BE →·CE →的值是____．
【例2】如图，在同一平面内，点A 位于两平行直线m ，n 的同侧，且A 到m ，n 的距离分别为1，3，点B ，C 分别在m ，n 上，|AB →＋AC →|＝5，则AB →·AC → 的最大值是___．
题组训练 1.如图，在平面四边形ABCD 中，O 为BD 的中点，且OA ＝3，OC ＝5，若AB →·AD →＝－7，则BC →·DC → 的值是____． 2.在△ABC 中，M 是边BC 的中点AM ＝3，BC ＝10，AB →·AC →＝__ __． 3.在△ABC 中，点E ，F 分别是线段AB ，AC 的中点，点P 在直线EF 上，若△ABC 的面积为2，则PB →·PC →＋BC → 2的最小值是____． 4.在△ABC 中，已知AB ＝1，AC ＝2，∠A ＝60°，若点P 满足AP →＝AB →＋λAC →，且BP →·CP → ＝1，则实数λ的值为__ _ 5.在半径为1的扇形AOB 中，∠AOB ＝60°，C 为弧上的动点，AB 与OC 交于点P ，则OP →·BP →的最小值是____． 6.已知AB 为圆O 的直径，M 为圆O 的弦CD 上一动点，8AB =， 6CD =，则MA MB ?u u u r u u u r 的取值范围是 ▲ ．
向量的极化恒等式与等和线的应用-学生版
结论：平行四边形对角线的平方和等于两条邻边 平方和的两倍? 思考1:如果将上面(1) (2)两式相减，能得 到什么结论呢？ 对于上述恒等式，用向量运算显然容易证 明。那么基于上面的引例，你觉得极化恒等式的 几何意义是什么？ 几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量 为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对 角线”平方差的丄. 4 即：；b = 4〔AC 2 -DB 2】(平行四边形模式) 极化恒等式 引例：平行四边形是表示向量加法和减法的几何模型。 你能用向量方法证明： 平行四边形的对角线的 平方和 等于两条邻边平方和的两倍? 证明：不妨设AB = a, AD = b, 贝V AC 二 a b,DB =a —b, ___ , 2 AC 二 AC 二 a b (1 ) .2 DB r 2 a ___ 2 ? ■ 2 =DB 二 a — b ? r r 2 -2a b + b (1) (2)两式相加得: ab = ;_a b 极化恒等式
思考：在图1的三角形ABD中（M为BD的中点），此恒等式如何表示呢？ 因为AC=2AM，所以ai=|AMp-1|DB|2（三角形模式） 例1. （2012年浙江文15）在ABC中川是BC的中点 AM =3,BC =10，则AB T AC = BMC
目标检测 （2012北京文 13改编）已知正方形 ABCD 的边长为 1, 点E 是AB 边上的动点，贝V DE DA 的值为 _______________________________________ . 例2.（自编）已知正三角形 ABC 内接于半径为2的圆O ,点P 是圆O 上的一个动点, 则PA PB 的取值范围是 _________________ . 目标检测 2 2 （2010福建文11）若点O 和点F 分别为椭圆 中 上 =1的中心和左焦点，点P 为椭圆 上的任意一点，则OP FP 的最大值为（） A2 B.3 C.6 D.8 例3. （2013浙江理7）在ABC 中,P o 是边AB 上一定 点，满足P ° B*AB ，且对于边AB 上任一点 4 7 PB 卩C HRB PC 。贝 ( ) A . NABC =90’ B . NBAC=90‘ C . AB = AC c
极化恒等式与矩形大法 一、 知识清单 1. 极化恒等式：如图，AB AC 2AD += ① A B A C CB -= ②,则： ①2 +②2 得：222 2 42++=AB AD BC AC ；①2-②2 得：22 44-=?AB AD BC AC 推广：222 2 +-=???=AB AB AC cosA AB AC BC AC 速记方法：22()() 4a b a b a b +--?==，22 22()()2 a b a b a b +-+=+= 2. 矩形大法：如图，由极化恒等式可得 222 2 4PD PB 2PO BD ++=①2222 4PA PC 2 PO AC ++= ② 因为BD=AC ，所以2222+=+PD PB PA PC ， 速记方法：矩形外一点到矩形对角顶点的平方和相等。 推广1：若ABCD 为平行四边形，则有22 2 2 2 2 BD ()2 AC -+-+=PA PC PD PB 推广2：若P 为平面外一点，上述性质仍成立。 二、 典型例题 1．（2012浙江文15）在ABC ?中，M 是BC 的中点，3AM =，10BC =，则A B A C ?= _________． 解析：由极化恒等式有：22 4AB 164 AM BC AC -= ?=- 2. （2013浙江理7）在ABC ?中,0P 是边AB 上一定点，满足01 4 P B AB =，且对于边AB 上任一点P ， 恒有00 PB PC P B PC ?≥?。则( ) A.90ABC ∠= B. 90BAC ∠= C.AB AC = D. AC BC = 解析：D 为BC 中点，由极化恒等式有：22 4PB 4 PD BC PC -?=则当PD 最小时，PB ????? ?PC ????? 最小， 所以过D 作AB 垂线，垂足即为P 0,作AB 中点E ，则CE ⊥AB ，即AC=BC 。 3. 已知向量,,a b e 是平面向量，e 是单位向量． 2,3,0,()1a b a b e a b ===?-++求a b -的范围？ 解析：由0,()1a b e a b =?-++得0()()a e b e =-?- 如图，,,OA a OB b OE e === ，构造矩形ACBE ，由矩形大法有 2222OE OC OA OB +=+，则OC = [,]1]a b AB CE OC OE OC OE -==∈-+=
极化恒等式作业详解 1. 在三角形ABC 中，D 为AB 中点，90,4,3C AC BC ?∠===，E,F 分别为BC,AC 上的动点，且EF=1，则DE DF ?u u u r u u u r 最小值为______ 【答案】154 【解析】 设EF 的中点为M ，连接CM ，则1||2CM = ，即点M 在如图所示的圆弧上， 则222211115||||||||4244 DE DF DM EM DM CD ?=-=---=u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u u r ≧ 2. 设三角形ABC ，P 0是边AB 上的一定点，满足P 0B= 14 AB,且对于边AB 上任一点P ，恒有00PB PC P B PC ?≥?u u u r u u u r u u u r u u u r ,则三角形ABC 形状为_______. 【答案】C 为顶角的等腰三角形. 【解析】 取BC 的中点D ，连接PD,P 0D.00PB PC P B PC ??u u u r u u u r u u u r u u u r Q … 2222011||||||44 PD BC P b BC ∴--u u u r u u u r u u r u u u r r …0||PD P D ∴u u u r r r … 0P D AB ∴⊥,设O 为BC 的中点，OC AB AC BC ∴⊥∴= 即三角形ABC 为以C 为顶角的等腰三角形. 3. 已知ABC ?是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一 点，则 ()PA PB PC ?+u u u r u u u r u u u r 的最小值是_____ 【答案】32 - 【解析】设BC 的中点为O ，OC 的中点为M,连接OP,PM, 222133()22||||2||222 PA PB PC PO PA PM AO PM ∴?+=?=-=-≥-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r 当且仅当M 与P 重合时取等号 4. 直线0ax by c ++=与圆22 0:16x y +=相交于两 点M,N,若222c a b =+，P 为圆O 上任意一点，则PM PN ?u u u u r u u u r 的取值范围为_______
活跃在高考中的一个恒等式——极化恒等式 01何谓极化恒等式 ()() 14? ??= +--? ???22a b a b a b 三角形模型： 在 ABC 中，D 为BC 的中点： .?=-=-=-2 2 2 2 2 21 4 AB AC AD BD AD CD AD BC 平行四边形模型 在平行四边形ABCD 中：() ?=-221 4 AB AD AC BD 02极化恒等式应用 例1，（2017全国II ，理12）已知 ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点， 则() ?+PA PB PC 的最小值是（ ） A. 2- B. 32- C. 4 3 - D. 1- 解法1（坐标法）： 以BC 所在直线为x 轴，BC 的中垂线y 轴建立平面直角坐标系，()()( 1,0,1,0,C A B -，设(),P x y ，则() ,x y =-PA ()1,x y =---PB ，()1,x y =--PC ()() () 2,2x y x y ?+=-?--=PA PB PC ∴ 2 222 32+222x y x y ?????=+- ?????? ， 当且仅当0,2x y == ，即0,2P ?? ? ??? ，() ?+PA PB PC 取得最小值32-.
解法2（极化恒等式）： 设BC 的重点为O ，OC 的中点为M ，连接OP ，PM ， () 22?+=?=-=2 212PA PB PC PO PA PM AO ∴33222 -≥-2PM ， 当且仅当M 与P 重合始去等号. 例2在 ABC 中，已知90,4,3,C AC BC D ∠===是AB 的中点，E ，F 分别是BC ，AC 上的 动点，且EF = 1，则?DE DF 的最小值为（ ） A. B. 154 C. 174 D. 解法1（坐标法） 以AC 所在直线为x 轴，BC 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，则()()34,0,0,3,2,,2A B D ?? ??? 设()()0,,,0,E b F a 则221a b +=，332,,2,22b a ??? ?=--=-- ? ???? ?DE DF ， ()253251 2434242 b DE DF a a b ∴?= --=-+，
向量的极化恒等式与等和线的应用学生版 Pleasure Group Office【T985AB-B866SYT-B182C-BS682T-STT18】
极化恒等式 ()2 22 2 2 2C C b b a a b a A A +?+=+== （1） () 2 22 2 2 2b b a a b a DB DB +?-=-== （2） （1）（2）两式相加得：?? ? ??+=??? ??+=+22222 2 22C AD AB b a DB A 结论：平行四边形对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍. 思考1：如果将上面（1）（2）两式相减，能得到什么结论呢 b a ?＝()() ???? ?? --+2241b a b a ————极化恒等式 对于上述恒等式，用向量运算显然容易证明。那么基于上面的引例，你觉得极化恒等式的几何意义是什么 几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的4 1. 即：[] 2 24 1DB AC b a -= ?（平行四边形模式） 思考：在图1的三角形ABD 中（M 为BD 的中点），此恒等式如何表示呢 因为AM AC 2=，所以2 2 4 1DB AM b a - =?（三角形模式） 例1.(2012年浙江文15)在ABC ?中，M 是BC 的中点，3,10AM BC ==，则 AB AC ?=____ . 目标检测 目标检测 例3.（2013浙江理7）在ABC ?中,0P 是边AB 上一定点，满足01 4 P B AB =，且对于边AB 上任一点P ，恒有00 PB PC P B PC ?≥?。则( ) A . 90ABC ∠= B . 90BAC ∠= C . AB AC = D . AC BC = A B C M
高中数学复习--极化恒等式及其应用极化恒等式表面平面向量的数量积运算可以转化为平面向量线性运算的模，如果将平面向量换成实数，那么上述公式也叫“广义平方差”公式。 1．平行四边形中的极化恒等式． 平面向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方的14，即221[]4 a b AC BD =- 2．三角形中的极化恒等式．在 ABC 中，若M 是线段BC 的中点，则214 AB AC AM BC =- 引例： 例 1：（2016年江苏） 如图，在 ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，BA CA 4 ， 1 ，则BF CF 的值是 ．B D C
训练1.(2017全国2理科12)已知ABC ?是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一 点，则()PA PB PC ?+ 的最小是 ． 训练2.已知AB 是圆O 的直径,AB 长为2,C 是圆O 上异于,A B 的一点,P 是圆O 所在平面 上任意一点,则() PA PB PC +? 的最小值为____________训练3.已知B A 、是单位圆上的两点，O 为圆心，且MN AOB o ,120=∠是圆O 的一条直径，点C 在圆内，且满足)10()1(<<-+=λλλ，则CM ?的取值范围是_________ 训练4. 在ABC ?中，3AB =，4AC =，60BAC ∠= ，若P 是ABC ?所在平面内一点，且2AP =，则PB PC ? 的最大值为_________ 训练5. 已知向量a ，b ，a =1，，b =2，若对任意单位向量e ，均有 a e b e ??+≤ a b ? 的最大值是 . 训练6. 在平面内，12AB AB ⊥ ，121OB OB == ,12AP AB AB =+ ,若 12OP < ,则OA 的取值范围是 . 训练7.在正 ABC 中，D 是BC 上的点， A B 3, BD 1，则AB AD = 训练8. 已知a ,b 是平面内2 个互相垂直的单位向量，若向量c 满足()()0a c b c --= ，则 c 的最大值是 训练9. （2012年江苏模拟）在 ABC 中，点E ，F 是线段AB,AC 的重点，点P 在直线 EF 上，若 ABC 的面积为2，则2PC PB BC -+ 的最小值是
极化恒等式（教师版） . 两倍等于两条邻边平方和的平方和平行四边形的对角线的你能用向量方法证明：何模型。 示向量加法和减法的几引例：平行四边形是表 ,,==证明：不妨设 ，，则b a DB b a A -=+=C ( )222A +?+=+== （1） ( )222?-=-== （2） （1）（2 ?? ?=???=+22 结论：平行四边形对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍. 思考1：如果将上面（1）（2）两式相减，能得到什么结论呢？ b a ?＝()() ??????--+2241————极化恒等式 对于上述恒等式，用向量运算显然容易证明。那么基于上面的引例，你觉得极化恒等式的几何意义是什么？ 几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的 41. 即：[]2241DB AC b a -= ?（平行四边形模式） 思考：在图1的三角形ABD 中（M 为BD 的中点），此恒等式如何表示呢？ 因为AM AC 2=，所以224 1DB AM -=?（三角形模式） M 图1
例 1.(2012年浙江文15)在ABC ?中，M 是BC 的中点，3,10AM BC ==，则 AB AC ?=____ . 解：因为M 是BC 的中点，由极化恒等式得： 22 41BC AM AC AB -=?=9-1004 1?= -16 【小结】在运用极化恒等式的三角形模式时，关键在于取第三边的中点，找到三角形的中线，再写出极化恒等式。 目标检测 .______1)132012(的值为边上的动点，则是点， 的边长为已知正方形改编北京文DA DE AB E ABCD ? . ________O O 2.2的取值范围是则上的一个动点，是圆，点的圆内接于半径为（自编）已知正三角形例PB PA P ABC ? 解：取AB 的中点D ，连结CD ,因为三角形ABC 为 正三角形，所以O 为三角形ABC 的重心，O 在CD 上， 且22==OD OC ，所以3=CD ，32=AB （也可用正弦定理求AB ） 又由极化恒等式得：34 1222 -=-=?PD AB PD 因为P 在圆O 上，所以当P 在点C 处时，3||max =PD 当P 在CO 的延长线与圆O 的交点处时，1||min =PD 1.掌握用极化恒等式求数量积的值 A B C M 2：掌握用极化恒等式求数量积的最值、范围
极化恒等式学生版修订 版 IBMT standardization office【IBMT5AB-IBMT08-IBMT2C-ZZT18】
课题：极化恒等式在向量问题中的应用 学 习 目 标 目标1：通过自主学习掌握极化恒等式两种模式，理解其几何意义； 目标2-1：通过对例1的自主学习掌握用极化恒等式求数量积的值； 目标2-2：通过对例2的自主学习掌握用极化恒等式求数量积的最值、范围； 目标2-3：通过小组合作学习掌握极化恒等式解决与数量积有关的综合问题。 重点 掌握极化恒等式，利用它解决一类与数量积有关的向量问题 难点 根据具体的问题情境，灵活运用极化恒等式 目标达成途径 学习自我评价 阅读以下材料： . 两倍等于两条邻边平方和的平方和 平行四边形的对角线的你能用向量方法证明：何模型。 示向量加法和减法的几引例：平行四边形是表,,b AD a AB ==证明：不妨设 ，，则b a DB b a A -=+=C ()2 22222C C b b a a b a A A +?+=+==（1） 目标1：阅读材料，了解极化恒等式的由来过程，掌握极化恒
3,10AM BC ==，则AB AC ?=____. 解：因为M 是BC 的中点，由极化恒等式得： 2241BC AM AC AB -=?=9-1004 1?=-16 【小结】在运用极化恒等式的三角形模式时，关键在于取第三边的中点，找到三角形的中线，再写出极化恒等式。 目标检测 . ________O O 2.2的取值范围是则上的一个动点，是圆，点的圆内接于半径为（自编）已知正三角形例PB PA P ABC ?解：取AB 的中点D ，连结CD ,因为三角形ABC 为 正三角形，所以O 为三角形ABC 的重心，O 在CD 上， 且22==OD OC ，所以3=CD ，32=AB （也可用正弦定理求AB ） 又由极化恒等式得： 因为P 在圆O 上，所以当P 在点C 处时，3||max =PD 当P 在CO 的延长线与圆O 的交点处时，1||min =PD 所以]6,2[-∈?PB PA
向量的不合常理性质的研究 向量以其既能体现“形”的直观的位置特征，又具有“数”的良好的运算性质，为广大师生所喜欢。但向量又不同于数量，也不同于线段，它是多方的综合体。 对于初学者来讲，向量的难度就在于它存在着多条与我们已经接受和应用了十几年的数量的运算及几何变换格格不入的法则，存在着一些不合学生以往逻辑的性质；对于使用向量时出现的各种错误也往往出现在这几条与我们固有的、想当然的不相一致的性质、定理上，不妨把这些性质、定理称为“不合常理的性质”。 不合常理1 向量不是有向线段，却用有向线段表示 根据向量的定义，向量是既有大小又有方向的量，它可以用有向线段来表示，但有向线段又不等同于向量，有向线段有起点、大小、方向三要素，而向量只有大小和方向，与起点无关。 一个向量可用多条有向线段表示，自由向量的可移动性决定了多条不同起点的有向线段表示的可能是同一个向量，从而有向线段与向量就如同“形”与“神”的关系，不管“形” 的位置如何变动，但“神”始终不变，使得利用向量在解题过程中可以有众多的选择机会。 在利用某个向量进行证明及运算时，可使用它的多个不同“外壳”，以达到解题目的，当然就更需要学生有较强的转化思想和化归能力。 向量与有向线段的区别还体现在平行（共线）的关系上，有向线段有平行和共线之分，这符合学生的平面几何中对直线的理解。
不合常理2 向量有大小，却不可比较大小 不合常理3 零向量方向任意，却可平行不可垂直 不合常理4 向量运算满足交换律，分配律却不满足结合律、消去律
错误分析： 不合常理5 向量有坐标，但坐标却与向量无关
如上文常见错误2就是对向量与坐标的关系认识不清，而所谓自由向量的可移 动性，这使得向量要过原点有点可遇而不可求，这就增添了已知条件作图的难度，当然我们可以不顾一切把向量的起点都放在原点。 不合常理6 不合常理7 书上写a、b、c，我却不可写a、b、c
极化恒等式在向量问题中的应用 目标1：阅读材料，了解极化恒等式的由来过程，掌握极化恒等式的两种模式，并理解其几何意义 阅读以下材料： . 两倍等于两条邻边平方和的平方和平行四边形的对角线的你能用向量方法证明：何模型。 示向量加法和减法的几引例：平行四边形是表 ,,==证明：不妨设则A -=+= ( )222C b a b a A ?+=+== （1） ( ) 222+?-=-== （2） （1）（2 ?? ?=???=22 结论：定理：平行四边形对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍. 思考1：如果将上面（1）（2）两式相减，能得到什么结论呢？ ?＝()() ??????--+2241————极化恒等式 几何意义：向量的数量积表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的41. 即：[]2241DB AC -=?（平行四边形模式） 思考：在图1的三角形ABD 中（M 为BD 的中点），此恒等式如何表示呢？ 因为AM AC 2=，所以2241DB AM b a -=?（三角形模式） 目标2-1：掌握用极化恒等式求数量积的值 例1.(2012年浙江文15)在ABC ?中，M 是BC 的中点，3,10AM BC ==，则AB AC ?= ____ . 解：因为M 是BC 的中点，由极化恒等式得：2241BC AM -=?=9-1004 1?= -16 【小结】运用极化恒等式的三角形模式，关键在于取第三边的中点，找到三角形的中线，再写出极化恒等式。 目标检测 .______1)132012(的值为边上的动点，则是点， 的边长为已知正方形改编北京文DA DE AB E ABCD ? 目标2-2：掌握用极化恒等式求数量积的最值、范围 . ________O O 2.2则上的一个动点，是圆，点的圆内接于半径为（自编）已知正三角形例P ABC ? 解：取AB 的中点D ，连结CD ,因为三角形ABC 为正三角形，所以O 为三角形ABC 的重心，O 在CD 上，且22==OD OC ，所以3=CD ，32=AB 又由极化恒等式得：34 1222-=- =?PD AB PD PB PA 因为P 在圆O 上，所以当P 在点C 处时，3||max =PD 当P 在CO 的延长线与圆O 的交点处时，1||min =PD 所以]6,2[-∈? 【小结】涉及数量积的范围或最值时，可以利用极化恒等式将多变量转变为单变量，再用数形结合等方法求出单变量的范围、最值即可。 M 图1 A B C M
极化恒等式（源于冷世平老师PDF ） 1极化恒等式：()() 2214a b a b a b ???=+--???? 极化恒等式的几何意义是：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的14，即222214a b AD BC AM BM ???=-=-? ? 2极化恒等式的应用 例1ABC M BC AM=3BC=10AB AC=??在中，是的中点，，，则 解析：22 1925162AB AC AM BC ?=-=-=- 00001ABC P AB P B=AB AB P 4PB PC P B P C ??≥?例2：设，是边上一定点，满足，且对于边上任意一点，恒有，则 0.90A ABC ∠= 0.90B BAC ∠= .C AB AC = .D A C B C = 22022000000BC D PD P D PBC PB PC=PD BD P BC P B P C=P D ,PD P D P D AB AC=BC BD ?? - ??-≥⊥解析：取中点，连接，，在内使用极化恒等式得在内使用极化恒等式得由条件知， 即，故
3ABCD P AB APB PC PD f ?例：设正方形的边长为4,动点在以为直径的圆弧上，则 第三题图 第四题图 解析：[]24,225016.PC PD PE PE PC PD ???=-∈?∈?由图知，，，故， 2 min ABC 4ABC E F AB AC P EF S =2PC PB+BC =??例：在中，点，分别是线段，的中点，点在直线上， 若，则 222222221322,,,4443+BC 2PD BC .4BC PBC PC PB PD BC PC PB BC PD BC h PD BC BC PC PB BC ?=-?+=+=≥?+≥≥⊥解析：因此， 051AOB AOB=60C AB OC P OP BP ∠?例：如图，在半径为的扇形中，，为弧上的动点，与交于点，则的最小值为 解析：如上图所示，213311,PD ,4162OP BP PD OP BP ?????=-∈?∈-???????? 易知，，则
课题：极化恒等式在向量问题中的应用 学 习 目 标 目标1：通过自主学习掌握极化恒等式两种模式，理解其几何意义； 目标2-1：通过对例1的自主学习掌握用极化恒等式求数量积的值； 目标2-2：通过对例2的自主学习掌握用极化恒等式求数量积的最值、范围； 目标2-3：通过小组合作学习掌握极化恒等式解决与数量积有关的综合问题。 重点 掌握极化恒等式，利用它解决一类与数量积有关的向量问题 难点 根据具体的问题情境，灵活运用极化恒等式 目标达成途径 学习自我评价 阅读以下材料： . 两倍等于两条邻边平方和的平方和平行四边形的对角线的你能用向量方法证明：何模型。示向量加法和减法的几引例：平行四边形是表,,b AD a AB ==证明：不妨设 ，，则b a DB b a A -=+=C () 2 22 2 2 2C C b b a a b a A A +?+=+== （1） () 2 22 2 2 2b b a a b a DB DB +?-=-== （2） （1）（2）两式相加得：?? ? ??+=??? ??+=+22222 2 22C AD AB b a DB A 结论：平行四边形对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍. 思考1：如果将上面（1）（2）两式相减，能得到什么结论呢？ b a ?＝ ()() ???? ?? --+2241b a b a ————极化恒等式 对于上述恒等式，用向量运算显然容易证明。那么基于上面的引例，你觉得 极化恒等式的几何意义是什么？ 几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角 目标1：阅读材料，了解极化恒等式的由来过程，掌握极化恒等式 的两种模式，并理解其几何意义 M 图1
极化恒等式 . 两倍等于两条邻边平方和的平方和平行四边形的对角线的你能用向量方法证明：何模型。示向量加法和减法的几引例：平行四边形是表,,b AD a AB ==证明：不妨设 ，，则b a DB b a A -=+=C () 2 22 2 2 2C C b b a a b a A A +?+=+== （1） () 2 22 2 2 2b b a a b a DB DB +?-=-== （2） （1）（2）两式相加得：?? ? ??+=??? ??+=+22222 2 22C AD AB b a DB A 结论：平行四边形对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍. 思考1：如果将上面（1）（2）两式相减，能得到什么结论呢？ b a ?＝()() ???? ??--+2241b a b a ————极化恒等式 对于上述恒等式，用向量运算显然容易证明。那么基于上面的引例，你觉得极化恒等式 的几何意义是什么？ 几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的 4 1. 即：[] 2 24 1DB AC b a -= ?（平行四边形模式） 思考：在图1的三角形ABD 中（M 为BD 的中点），此恒等式如何表示呢？ 因为AM AC 2=，所以2 2 4 1DB AM b a - =?（三角形模式） 例1.(2012年浙江文15)在ABC ?中，M 是BC 的中点，3,10AM BC ==，则AB AC ?= u u u r u u u r ____ . A B C M
. ______1)132012(的值为边上的动点，则是点，的边长为已知正方形改编北京文DA DE AB E ABCD ? . ________O O 2.2的取值范围是则上的一个动点， 是圆，点的圆内接于半径为（自编）已知正三角形例PB PA P ABC ? 目标检测 8 .6.3.2.) (134)112010(2 2D C B A FP OP P y x F O 的最大值为则为椭圆上的任意一点，的中心和左焦点，点分别为椭圆和点若点福建文?=+ 例3.（2013浙江理7）在ABC ?中,0P 是边AB 上一定点，满足01 4 P B AB = ， 且对于边AB 上任一点P ，恒有00PB PC P B PC ?≥?u u u r u u u r u u u r u u u r 。则( ) A . 90ABC ∠=o B . 90BA C ∠=o C . AB AC = D . AC BC = 例4. (2017全国2理科12)已知是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点， 则的最小是（ ） A. B. C. D. ABC ?()PA PB PC ?+u u u r u u u r u u u r 2-32-4 3 -1-
极化恒等式（教师版） .两倍等于两条邻边平方和的平方和平行四边形的对角线的你能用向量方法证明：何模型。示向量加法和减法的几引例：平行四边形是表 ,,b AD a AB ==证明：不妨设 ，，则b a DB b a A -=+=C ~ ()222222C C b b a a b a A A +?+=+== （1） ()222222b b a a b a DB DB +?-=-== （2） （1）（2）两式相加得：?? ? ??+=??? ??+=+22222222C AD AB b a DB A 结论：平行四边形对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍. 思考1：如果将上面（1）（2）两式相减，能得到什么结论呢 b a ?＝()() ??????--+2241b a b a ————极化恒等式 对于上述恒等式，用向量运算显然容易证明。那么基于上面的引例，你觉得极化恒等式的几何意义是什么 ： 几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的 41. 即：[]2241DB AC b a -= ?（平行四边形模式） 思考：在图1的三角形ABD 中（M 为BD 的中点），此恒等式如何表示呢 因为AM AC 2=，所以224 1DB AM b a -=?（三角形模式） M 图1
例 1.(2012年浙江文15)在ABC ?中，M 是BC 的中点，3,10AM BC ==，则 AB AC ?=____ . ） 解：因为M 是BC 的中点，由极化恒等式得： 2241BC AM AC AB -=?=9-1004 1?= -16 【小结】在运用极化恒等式的三角形模式时，关键在于取第三边的中点，找到三角形的中线，再写出极化恒等式。 { 目标检测 . ______1)132012(的值为边上的动点，则是点， 的边长为已知正方形改编北京文DA DE AB E ABCD ? ！ . ________O O 2.2的取值范围是则上的一个动点，是圆，点的圆内接于半径为（自编）已知正三角形例PB PA P ABC ? ` 解：取AB 的中点D ，连结CD ,因为三角形ABC 为 正三角形，所以O 为三角形ABC 的重心，O 在CD 上， 且22==OD OC ，所以3=CD ，32=AB （也可用正弦定理求AB ） 1.掌握用极化恒等式求数量积的值 A B C M 2：掌握用极化恒等式求数量积的最值、范围