趣味数学：兔子繁殖与斐波纳奇数列
（适合四、五、六年级）
公元13世纪，在意大利有一位天才的数学家名字叫斐波纳奇，他在一本《算盘之书》的著作里记载了这样一道数学题：
有一对兔子，每一个月可以生下一对小兔子，而且假定小兔子在出生的第二个月便有生育能力，那么过一年后，问一共能有多少对兔子？假设每产一对必须是一雌兔一雄兔，并且所有的兔子都能进行相互交配，所生下来的兔子都能保证成活率。
究竟有多少对呢？我们不妨计算一下，一对兔子，在一个月后生出了一对，总数是两对。而在这两对当中，只有第一对兔子有生育能力，因而两个月后一共有三对兔子，三个月后第一第二对兔子都有生育能力，因此又新出生两对兔子，总共有五对兔子，这样依此类推，经过一年（十二个月）后，兔子总数为233对。
即兔子的对数依次为：
1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，研究一下这个数列，我们会惊奇地发现它有许多有趣的性质：从第三项起，每一项的数都是紧挨着它前面的两项的数字之和。即
3＝2＋1；5＝2＋3；8＝3＋5；……233＝89+144，
这个数列的发现对人类数学及自然科学的发展具有重大的意义，人们为了纪念大数学家斐波纳奇，因而把此数列命名为斐波纳奇数列。斐波纳奇数列在生活中有着广泛的运用。试举一例：一个人上楼梯，可以一步上
一级台阶，也可以一步上两级台阶。现在假设某层楼梯有10级台阶。那么从这层楼的下面走到上面，共有多少种不同的走法？
解：根据题意列出各级楼梯的走法如下：括号里面的数字表示每次上楼梯走的级数，1个算式或数表示一种走法）
第一级：1种（1）
第二级：2种（1+1，2）
第三级：3种（1+1+1，2+1，1+2）
第四级：5种（1+1+1+1，1+1+2，1+2+1，2+1+1，2+2）
第五级：8种（1+1+1+1+1，1+1+1+2，1+1+2+1，1+2+1+1，2+1+1+1，1+2+2，2+1+2，2+2+1）
第六级：……
其规律为：从第三项起，每一项的数都是紧挨着它前面的两项的数字之和。列表如下：
级数12345678910
走法123581321345589
所以到第十级楼梯一共有89种不同的走法。
思考：从一楼教室到二楼的微机室一共有13级台阶，如果每一步只登上一级或两级台阶，那么从一楼教室到微机室一共有多少种不同的走法？（答案：377种）
第四节 数列求和 授课提示：对应学生用书第98页 [基础梳理] 1．等差数列的前n 项和公式 S n ＝n （a 1＋a n ）2＝na 1 ＋n （n －1）2 d ． 2．等比数列的前n 项和公式 S n ＝??? na 1，q ＝1， a 1－a n q 1－q ＝a 1（1－q n ）1－q ，q ≠1. 3．数列求和方法 (1)公式法求和： 使用已知求和公式求和的方法，即等差、等比数列或可化为等差、等比数列的求和方法． (2)错位相减法： 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可用此法来求，如等比数列的前n 项和就是用此法推导的． (3)倒序相加法： 如果一个数列{a n }的前n 项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n 项和即是用此法推导的． (4)分组求和法： 一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后再相加减． (5)并项求和法： 一个数列的前n 项和，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解． 1．先看数列通项特点，再想求和方法． 2．常见的拆项公式 (1)若{a n }为各项都不为0的等差数列，公差为d (d ≠0)， 则1a n ·a n ＋1＝1d (1a n －1a n ＋1 )； (2)1n （n ＋k ）＝1k (1n －1 n ＋k )； (3)1 n ＋n ＋1 ＝n ＋1－n ； (4)log a (1＋1 n )＝log a (n ＋1)－log a n (a ＞0且a ≠1)． 3．一些常见数列的前n 项和公式
数列的通项公式与求和 112342421 {},1(1,2,3,)3 (1),,{}.(2)n n n n n n a n S a a S n a a a a a a a +===+++L L 数列的前项为且，求的值及数列的通项公式求 1112 {},1(1,2,).:(1){ };(2)4n n n n n n n n a n S a a S n n S n S a +++== ==L 数列的前项和记为已知，证明数列是等比数列 *121 {}(1)()3 (1),; (2):{}. n n n n n a n S S a n N a a a =-∈ 已知数列的前项为，求求证数列是等比数列 11211 {},,.2n n n n a a a a a n n +==++ 已知数列满足求 练习1 练习2 练习3 练习4
112{},,,.31n n n n n a a a a a n += =+ 已知数列满足求 1 11511{},,().632n n n n n a a a a a ++==+ 已知数列中,求 1 11{}:1,{}. 31n n n n n a a a a a a --==?+ 已知数列满足，求数列的通项公式 练习8 等比数列 {}n a 的前n 项和S ｎ ＝2ｎ －１，则 2 232221n a a a a ++++Λ 练习9 求和：5，55，555，5555，…，5(101)9n -，…； 练习5 练习6 练习7
练习10 求和： 111 1447(32)(31) n n +++ ??-?+ L 练习11 求和： 111 1 12123123n ++++= +++++++ L L 练习12 设{} n a 是等差数列， {} n b 是各项都为正数的等比数列，且11 1 a b == ，35 21 a b += ， 5313 a b += （Ⅰ）求{} n a ， {} n b 的通项公式；（Ⅱ）求数列 n n a b ?? ?? ??的前n项和n S．
兔兔发情期要小心对待哟,兔兔发情后的注 意事项 兔兔发情后的注意事项 塔里木兔 对于兔兔来说，春季母兔和公兔都是繁殖的黄金季节，如果你想要让自家的兔兔繁衍后代的话，千万不要错过这个时机。在兔兔发情后，作为主人应该做些什么呢？ 在兔子发情后，就可以进行配种了。在给家兔配种的时候，一定要避免近亲交配。在母兔发情中期是交配的最佳时期，同时主人还可以采取重复交配或者双重陪的方式，以提高母兔的受孕率和产仔率。在兔子繁殖期间，主人还应该定期清洁打扫兔子生活的环境卫生，给兔子提供舒适温暖的居住环境，保证兔子身体健康，促进交配的成功。 提前选择种兔是进行兔子繁殖的第一步，而选择回来的种兔也需要进行合理的饲养和管理。主人每日可以用以青饲料为主、精料为辅、根据膘情酌情补料，来给兔子喂食。准备的食物应该增加饲料中粗纤维含量，减少能量和蛋白质，以促进种兔有一个健康合理的饮食，维持身体的平衡，促进繁殖的成功。 兔兔发情期要小心对待哟 春天是大部分动物发情的季节，兔子也不例外，发情期的兔
兔性格会变的焦躁，食欲下降，变成不一样的兔兔哦。它的行为习惯和生活习惯都会发生明显的改变。作为主人，在兔子发情的时候更应该注意些什么哦。 垂耳兔 首先，如果不打算让兔子交配繁殖后代，那么家里饲养的多只兔子一定要分笼饲养。特别是异性兔兔一定要分开哦。此外，同性的兔兔也要分开饲养，因为发情时期的兔兔性格更加的焦躁，可能会为了争夺异性而“大打出手”，要避免宠物兔“自相残杀”，分笼饲养是最好的选择。（如果家里原本就只养了一只兔兔，那这些烦恼就省去咯。） 其次，在兔子发情的时候，家人也不要无缘无故的去挑逗、骚扰它们。因为发情时候的兔兔，脾气性格总会差很多，要想让兔兔保持安静，不要出现意外，最好的方法就是“冷却对待”它们，家人不要随意的骚扰兔兔，同时也要避免陌生人去招惹它们哦。 照顾发情的兔子还需要注意。此时的兔兔饮食会下降，但性格会变的更容易焦躁不安。在这给阶段，给兔兔准备的食物，要是清淡可口的，而且每天都要准备足够、新鲜的饮水，让兔子可以随时饮用。此外，还要定期打扫兔笼，保持环境干净，以确保兔兔能安全顺利的度过发情期哦。 兔兔在发情后的注意事项 春季是兔兔发情的大好时节，春天里母兔发情明显、公兔性
§ 数列求和 （ ： 45 分 分： 100 分） 一、 ( 每小 7 分，共 35 分 ) * 1 1．在等比数列 {a n } ( n ∈ N ) 中，若 a 1＝ 1， a 4＝ 8， 数列的前 10 和 ( ) A ． 2－ 18 B ． 2－ 19 2 2 C ． 2－ 1 10 D ． 2－ 1 11 2 2 2．若数列 {a n } 的通 公式 a n ＝2n ＋ 2n － 1， 数列 {a n } 的前 n 和 ( ) n 2 n ＋ 1 2 A ． 2 ＋ n －1 B ． 2 ＋ n － 1 C ． 2n ＋ 1＋ n 2－ 2 D ． 2n ＋ n － 2 3．已知等比数列 {a n } 的各 均 不等于 1 的正数， 数列 {b } 足 b ＝ lg a ， b ＝ 18，b ＝ 12， n n n 3 6 数列 {b n } 的前 n 和的最大 等于 ( ) A ． 126 B ． 130 C ． 132 D ． 134 4．数列 {a } 的通 公式 n － 1 ·(4 n － 3) ， 它的前 100 之和 S 等于 ( ) n a ＝ ( － 1) n 100 A ． 200 B ．－ 200 C ． 400 D ．－ 400 5．数列 1·n , 2(n －1),3(n －2) ，?， n ·1的和 ( ) n(n ＋ 1)(n ＋ 2) n(n ＋ 1)(2n ＋ 1) n(n ＋ 2)(n ＋ 3) n(n ＋ 1)(n ＋ 2) 二、填空 ( 每小 6 分，共 24 分 ) 6．等比数列 {a } 的前 n 和 n 2 2 2 S ＝2 － 1， a ＋ a ＋?＋ a ＝ ________. n n 1 2 n 7．已知数列 {a } 的通 a 与前 n 和 S 之 足关系式 S ＝ 2－ 3a ， a ＝ __________. n n n n n n 8．已知等比数列 {a } 中， a 1＝ 3，a 4＝ 81，若数列 {b } 足 b ＝log 3a ， 数列 的前 n n n n n 1 b b n ＋ 1 n 和 S ＝ ________. n 9． 关于 x 的不等式 x 2－ x<2nx (n ∈ N * ) 的解集中整数的个数 a n ，数列 {a n } 的前 n 和 S n ， S 100 的 ________． 三、解答 ( 共 41 分 ) 10． (13 分 ) 已知数列 n n 和， 于任意的 * {a } 的各 均 正数， S 其前 n n ∈N 足关系式 2S n ＝ 3a n －3. (1) 求数列 {a } 的通 公式； n (2) 数列 {b } 的通 公式是 b ＝ 1 ，前 n 和 T ，求 ： 于任意的 n n n log 3a n ·log 3a n ＋ 1 正数 n ， 有 T n <1. } 足 a ＋ a ＋ a ＝ 28，且 a ＋ 2 是 a ， a 的等差 11． (14 分) 已知 增的等比数列 {a n 2 3 4 3 2 4
2．(教材改编)数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＝1 n (n ＋1) ，则S 5等于( ) A ．1 B.5 6 C.16 D.130 B [∵a n ＝1n (n ＋1)＝1n －1 n ＋1 ， ∴S 5＝a 1＋a 2＋…＋a 5＝1－12＋12－13＋…－16＝5 6.] 3．(2016·广东中山华侨中学3月模拟)已知等比数列{a n }中，a 2·a 8＝4a 5，等差数列{b n }中，b 4＋b 6＝a 5，则数列{b n }的前9项和S 9等于( ) A ．9 B ．18 C ．36 D ．72 B [∵a 2·a 8＝4a 5，即a 25＝4a 5，∴a 5＝4， ∴a 5＝b 4＋b 6＝2b 5＝4，∴b 5＝2， ∴S 9＝9b 5＝18，故选B.] 已知等差数列{a n }中，2a 2＋a 3＋a 5＝20，且前10项和S 10＝100. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)若b n ＝ 1 a n a n ＋1 ，求数列{b n }的前n 项和． [解] (1)由已知得???? ? 2a 2＋a 3＋a 5＝4a 1＋8d ＝20，10a 1＋10×9 2d ＝10a 1＋45d ＝100， 解得??? a 1＝1， d ＝2， 3分 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1.5分 (2)b n ＝ 1(2n －1)(2n ＋1)＝12? ?? ??1 2n －1－12n ＋1，8分 所以T n ＝12? ? ???1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1 ＝12? ????1－12n ＋1＝n 2n ＋1 .12分
数列通项及求和 一．选择题： 2.已知数列{a n} 满足a1=1, 且, 且n∈N） , 则数列{ a n} 的通项公式为（?? ） A． ?? B．C．a n=n+2 ??? D．a n=（ n+2）·3 n 3.数列的前项和记为，，则数列的通项公式是（?） A.???? B.????? C.???? D. 4.数列满足，且，则=??（??? ） A.10????????? B．11 C．12 ?? D．13 6.设各项均不为0的数列满足，若，则(?? ) A.??? B.2??? C.??? D.4 二．填空题： 8.已知数列的前项和为，，且满足，则_________． 9.若数列的前n项和，则数列的通项公式???????? ? 10.如果数列满足，则=_______. 11.若数列的前项和为，则该数列的通项公式????????? . 12.若数列的前项和为，则该数列的通项公式???????? . 13.已知数列的前项和为，且，则=?????? . 15.在数列中，=____________. 16.已知数列的前n项和，则的通项公式???????? ? 17.若数列的前n项和，则???? 。 18.已知数列满足，，则的最小值为________. 19.已知数列的前n项和为，且，则=___． 20.已知数列中，，前n项和为，且，则=_______
三．解答题： 25.已知等差数列的前n项和 （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前n项和。 30.等差数列中， ? (1)求的通项公式 ? (2)设，求的前n项和 40.公差不为零的等差数列中，且成等比数列。 （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的通项公式 44.已知等差数列满足：，，的前n项和为． （1）求及； （2）令bn=()，求数列的前n项和． 36.已知数列的前项和为，且；数列满足，．. （Ⅰ）求数列和的通项公式； （Ⅱ）记，.求数列的前项和． 28.已知数列的前项和为，且， （1）求数列的通项公式 （Ⅱ）数列的通项公式,求其前项和为。 29.已知等比数列的公比且成等差数列. 数列的前项和为,且 . （Ⅰ）分别求出数列和数列的通项公式； （Ⅱ）设，求其前项和为。 32.设数列的前项和为，，且对任意正整数，点在直线上． 求数列的通项公式；
兔子养殖技术大全 １、种兔的选择 优良品种的种兔能生产出更多的幼兔。种兔的可繁期为４～５年，而最佳利用年限为１～２年。在当今农村饲养条件下，７月龄进入繁殖期，母兔７～８月龄、体重3.5千克以上，公兔８～９月龄，体重可达 3.5千克。第一个繁殖年内生产力最强，以后逐年下降15%～20%，一般利用年限2～3年为宜。 ２、免舍的设计及建造 为了提高种兔的生产性能，必须为兔创造一个良好的生活环境。兔舍应建在地势较高，通风、采光好，清洁干燥，环境安静的地方。兔舍离地面20～30厘米，一般用木制门砖垒隔墙，隔成62×70厘米或70×80厘米的小间，并设有托粪板。经常洗刷兔舍，保持清洁卫生，减少疾病发生。 ３、不同季节的家兔饲养管理 春秋两季气候温暖、干燥，阳光充足，母兔发情正常，雄兔性欲旺盛，是家兔繁殖的黄金季节。春天天气由寒变暖，昼夜温差较大，应切实做好幼兔的保暖工作。每只家兔可服1片土霉素以防止感冒和肺炎的发生。适当控制饲料数量，防止贪食拉稀，收刈的青草要晾干，合理储存，保持绿色。秋天家兔换毛，营养消耗大，应调整饲料营养，精心饲喂，尽快恢复体质。 夏季气温高，兔子汁腺不发达，要做好防暑降温工作。保持兔舍的清洁卫生，不要喂露水草和雨后堆放发热的草料。避开高温时段饲
喂，建议早上５时以前开喂，晚上９时后再喂。要供足饮水，并在水中加入少许食盐或0.1%的碘酊。 家兔一般耐寒，但当气温低于0℃时要关闭门窗，同时注意舍内通风换气，减少粪便产生的氨气对兔的刺激。 ４、疾病防治 家兔疾病较多，但只要做好预防，就可减少因疾病造成的损失。 ⑴定期免疫。仔兔断奶时应注射免疫疫苗，每兔１毫升，隔10天后再注射１次兔瘟、巴氏杆菌、魏氏梭菌三联苗，每兔２毫升。以后每隔４个月注射１次三联苗。注射疫苗要做好消毒工作，一兔一针，严禁混用，以免人为传染。 ⑵定期投喂预防。预防用药要有计划地科学地定期投喂。预防球虫病的仔兔断奶后，每兔每天投喂氯苯胍１片，可连喂４５天。预防胃肠炎、腹泻可在饲料中拌入止痢灵，每天每兔１克，持续使用15～20天。兔饲料中每隔２天拌入喹乙醇，每兔１片，连用15～20天，可预防兔巴氏杆菌病，尚可促进生长。另外在夏天每隔10～20天投喂１次敌菌净。 ⑶定期消毒。每年开春后，兔场内外都要彻底消毒1次，以后每隔10天1次。消毒次数视季节而异，一般秋季半个月1次，冬季每月１次。消毒药剂可选择百毒杀、菌毒敌、消毒灵、生石灰、氢氧化钠、来苏儿等交替使用。 肉兔养殖技术光盘和书籍： 《肉兔品种及饲养》本片主要介绍了：1.肉兔的生活习性；2.伊普吕
“兔子数列”和黄金分割点 赵子尧 假定一对刚出生的小兔一个月能长成大兔，再过一个月便能生下一对小兔，并且此后每个月都生一对小兔。如果一切正常没有死亡，公母兔也比例适调，那么一对刚出生的兔子，一年可以繁殖成（）对兔子。 A.144 B.233 C.288 D.466 【答案】B。按照题干的条件，就是说兔子在出生两个月后，就有繁殖能力，一对兔子每个月能生出一对小兔子。如果所有兔都不死，那么一年以后可以繁殖成多少对兔子？我们拿新出生的一对小兔子来推导一下： 1个月后，小兔子仍没有繁殖能力，所以还是1对，但变成了大兔子；2个月后，生下一对小兔子，所以共有2对；3个月后，大兔子又继续生下1对小兔子，而此时小兔子变成大兔子，但还没有繁殖能力，所以一共是3对； 依次类推我们可以列出下表： 从上表中找寻数据之间的规律：
小兔子对数=上个月大兔子对数 大兔子对数=上个月大兔子对数+上个月小兔子对数 总体对数=本月大兔子对数+本月小兔子对数 通过上表，我们发现，经过0，1，2，3，……11，12个月后兔子的总数目，构成了这样一个数列： 1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233... 这个数列的特点非常明显，它的递推特征是从第三项开始，每项等于前两项数字之和，即2=1+1，3=1+2，5=2+3……以此类推。这个数列就是意大利数学家斐波那契提出的著名的“斐波那契数列”，也就是传说中的“兔子数列”。它的通项公式为：(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}【√5表示根号5】很有趣的是：这样一个完全是自然数的数列，通项公式居然是用无理数来表达的。 兔子数列有很多奇妙的属性,比如：从第二项开始，每个奇数项的平方都比前后两项之积多1，每个偶数项的平方都比前后两项之积少1;随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越逼近0.6180339887……，这不是一个循环小数，它是一个无理数，我们称之为黄金分割点，也叫黄金比。
计算（三）等差数列求和 知识精讲 一、定义：一个数列的前n 项的和为这个数列的和。 二、表达方式：常用n S 来表示 。 三：求和公式：和=(首项+末项)?项数2÷，1()2n n s a a n =+?÷。 对于这个公式的得到可以从两个方面入手： (思路1)1239899100++++++L 11002993985051=++++++++L 1444444442444444443 共50个101 （）（）（）（） 101505050=?= (思路2)这道题目，还可以这样理解： 2349899100 1009998973212101101101101101101101 +++++++=+++++++=+++++++L L L 和=1+和倍和 即，和 (1001)100 2 10150 5050=+?÷=?=。 四、中项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均 数，也等于首项与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数。 譬如：① 48123236436922091800+++++=+?÷=?=L （）， 题中的等差数列有9项，中间一项即第5项的值是20，而和恰等于209?； ② 65636153116533233331089++++++=+?÷=?=L （）， 题中的等差数列有33项，中间一项即第17项的值是33，而和恰等于3333?。 例题精讲： 例1：求和： （1）1+2+3+4+5+6 = （2）1+4+7+11+13= （3）1+4+7+11+13＋ (85) 分析：弄清楚一个数列的首项，末项和公差，从而先根据项数公式求项数，再根据求和公式求和。 例如（3）式项数=（85-1）÷3+1=29 和=（1+85）×29÷2=1247 答案：（1）21 （2）36 （3）1247 例2：求下列各等差数列的和。 （1）1+2+3+4+…+199 （2）2+4+6+…+78 （3）3+7+11+15+…+207 分析：弄清楚一个数列的首项，末项和公差，从而先根据项数公式求项数，再根据求和公式求和。 例如（1）式=（1+199）×199÷2=19900
§6.4 数列求和 （时间：45分钟 满分：100分） 一、选择题(每小题7分，共35分) 1．在等比数列{a n } (n ∈N * )中，若a 1＝1，a 4＝18 ，则该数列的前10项和为( ) A ．2－128 B ．2－1 29 C ．2－1210 D ．2－1 211 2．若数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋2n －1，则数列{a n }的前n 项和为( ) A ．2n ＋n 2 －1 B ．2 n ＋1＋n 2 －1 C ．2 n ＋1＋n 2 －2 D ．2n ＋n －2 3．已知等比数列{a n }的各项均为不等于1的正数，数列{b n }满足b n ＝lg a n ，b 3＝18，b 6＝12，则数列{b n }的前n 项和的最大值等于( ) A ．126 B ．130 C ．132 D ．134 4．数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1) n －1 ·(4n －3)，则它的前100项之和S 100等于( ) A ．200 B ．－200 C ．400 D ．－400 5．数列1·n ,2(n －1),3(n －2)，…，n ·1的和为( ) A.16n (n ＋1)(n ＋2) B.1 6n (n ＋1)(2n ＋1) C.13n (n ＋2)(n ＋3) D.1 3n (n ＋1)(n ＋2) 二、填空题(每小题6分，共24分) 6．等比数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －1，则a 2 1＋a 2 2＋…＋a 2 n ＝________. 7．已知数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n 之间满足关系式S n ＝2－3a n ，则a n ＝__________. 8．已知等比数列{a n }中，a 1＝3，a 4＝81，若数列{b n }满足b n ＝log 3a n ，则数列?? ?? ?? 1b n b n ＋1的前n 项和S n ＝________. 9．设关于x 的不等式x 2 －x <2nx (n ∈N * )的解集中整数的个数为a n ，数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 100的值为________． 三、解答题(共41分) 10．(13分)已知数列{a n }的各项均为正数，S n 为其前n 项和，对于任意的n ∈N * 满足关系式 2S n ＝3a n －3. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设数列{b n }的通项公式是b n ＝1 log 3a n ·log 3a n ＋1，前n 项和为T n ，求证：对于任意的 正数n ，总有T n <1.
斐波那契数列 一、简介 斐波那契数列（Fibonacci），又称黄金分割数列，由数学家斐波那契最早以“兔子繁殖问题”引入，推动了数学的发展。故斐波那契数列又称“兔子数列”。 斐波那契数列指这样的数列：1,1,2,3,5,8,13,……，前两个数的和等于后面一个数字。这样我们可以得到一个递推式，记斐波那契数列的第i项为F i，则F i=F i-1+F i-2. 兔子繁殖问题指设有一对新生的兔子，从第三个月开始他们每个月都生一对兔子，新生的兔子从第三个月开始又每个月生一对兔子。按此规律，并假定兔子没有死亡，10个月后共有多少个兔子？ 这道题目通过找规律发现答案就是斐波那契数列，第n个月兔子的数量是斐波那契数列的第n项。 二、性质 如果要了解斐波那契数列的性质，必然要先知道它的通项公式才能更简单的推导出一些定理。那么下面我们就通过初等代数的待定系数法计算出通项公式。 令常数p,q满足F n-pF n-1=q(F n-1-pF n-2)。则可得： F n-pF n-1=q(F n-1-pF n-2) =q2(F n-2-pF n-3) =…=q n-2(F2-pF1) 又∵F n-pF n-1=q(F n-1-pF n-2) ∴F n-pF n-1=qF n-1-pqF n-2 F n-1+F n-2-pF n-1-qF n-1+pqF n-2=0 (1-p-q)F n-1+(1+pq)F n-2=0 ∴p+q=1,pq=-1是其中的一种方程组 ∴F n-pF n-1= q n-2(F2-pF1)=q n-2(1-p)=q n-1 F n=q n-1+pF n-1=q n-1+p(q n-2+p(q n-3+…))=q n-1+pq n-2+p2q n-3+…+p n-1 不难看出，上式是一个以p/q为公比的等比数列。将它用求和公式求和可以得到： 而上面出现了方程组p+q=1,pq=-1，可以得到p(1-p)=-1,p2-p-1=0，这样就得到了一个标准的一元二次方程，配方得p2-p+0.25=1.25,(p-0.5)2=1.25,p=±√1.25+0.5。随意取出一组解即可： 这就是著名的斐波那契数列通项公式。有了它，斐波那契数列的一些性质也不难得出了。 比如斐波那契数列相邻两项的比值趋向于黄金分割比，即：
1、数列{an}的前n项和记为Sn，a1=t，点在直线y=2x+1上，。（1）若数列{an}是等比数列，求实数t的值； （2）设bn=nan，在（1）的条件下，求数列{bn}的前n项和Tn； （3）设各项均不为0的数列{cn}中，所有满足的整数的个数称为这个数列的”，令（），在（2）的条件下，求数列的“积异号数”。 解：（1）由题意，当时，有 两式相减，得即：（） 当时，是等比数列，要使时是等比数列， 则只需，从而得出 （2）由（1）得，等比数列的首项为，公比， ① 可得② 得 （3）由（2）知， ，， ，数列递增
由，得当时，数列的“积异号数”为1。 2、已知数列{an}的前n项和为Sn，满足． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式an； （Ⅱ）令，且数列{bn}的前n项和为Tn满足，求n的最小值；（Ⅲ）若正整数m，r，k成等差数列，且，试探究：am，ar，ak能否成等比数列证明你的结论． 解：（Ⅰ）∵， 由，∴， 又，∴数列是以为首项，为公比的等比数列， ∴，即； （Ⅱ）， ∴ ， ∴，即n的最小值为5； （Ⅲ）∵， 若，，成等比数列， 即 由已知条件得，∴， ∴， ∴上式可化为，
∵，∴， ∴， ∴为奇数，为偶数， 因此不可能成立， ∴，，不可能成等比数列． 3、设等差数列{an}的前n项和为Sn，公比是正数的等比数列{bn}的前n项和为Tn，已知a1=1，b1=3，a2+b2=8，T3-S3=15 （1）求{an}，{bn}的通项公式。 （2）若数列{cn}满足求数列{cn}的前n项和Wn。 设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q ∵a1=1，b1=3由a2+b2=8，得1+d+3q=8 ① 由T3-S3=15得3（q2+q+1）-（3+3d)=15 ② 化简①②∴消去d得q2+4q-12=0 ∴q=2或q=-6 ∵q＞0∴q=2则d=1∴an=n bn=3·2n-1 ⑵∵an=n∴① 当时，…② 由①-②得∴cn=3n+3 又由⑴得c1=7 ∴ ∴{an}的前n项和…
兔子繁殖问题教案 姓名：简舒曼学院：数学与信息科学学院 一【教学目标】 1.知识目标：要求学生在理解的基础上掌握不同的方法来解决兔子的繁殖问题，进一步思考斐波那契数列，并能理解兔子繁殖问题与上楼梯之间的联系。 2.能力目标：通过探索兔子繁殖问题的教学过程，并用同一类比：上楼梯，使学生经历观察，从用小学方法解决该问题，到高中，再进一步深化，进一步培养学生的创新精神。 3.情感目标：通过情境教学过程，激发学生的求知欲望，培养学生积极学习数学的态度。体验数学活动中充满着探索与创造，体验数学活动中的成功感，建立自信心。 二【教学重点与难点】 教学重点：兔子繁殖问题的规律 教学难点：兔子繁殖问题类比于上楼梯这一问题，通过对上楼梯这一问题的探讨，进一步了解兔子繁殖问题的本质：斐波那契数列。 三【教学媒体】黑板，多媒体 四【课前准备】预习 五【具体教学过程】 （一）故事引入 在一年之初把一对兔子（雌雄各一）放入围墙内，从第二个月起，雌兔每月生一对兔子（雌雄各一），而雌小兔长满两个月后开始生兔子，也是每个月生一对兔子（雌雄各一），问到了第十个月围墙内共有多少对兔子？ （二）探究新知 1.初步分析引导学生尝试用列表法解决该问题，先简单的算到第五个月，如表
格所示列出。 第一个月，刚放进第一对大兔，具有生育能力的。 第二个月，这对兔子生了一对小兔，于是这个月共有2对（1+1=2）兔子。 第三个月，第一对兔子又生了一对兔子，第二对兔子还没有生育能力，因此共有3对（1+2=3）兔子。 到第四个月，第一对兔子又生了一对小兔而在第二个月出生的小兔也生下了一对小兔。所以，这个月共有5对（2+3=5）兔子。 到第五个月，第一对兔子以及第二，三两个月生下的兔子也都各生下了一对小兔。因此，这个月连原先的5对兔子共有8对（3+5=8）兔子。（辅助于树状图帮助理解，直观的求得兔子繁殖的数字解） （1）树状图分析 （2）表格分析（把长了一个月的幼兔叫做中兔，长了两个月以上（含2个月）的幼兔叫做成兔）
龙源期刊网 https://www.doczj.com/doc/bf13737664.html, 家兔的繁殖技术 作者：李德明 来源：《科学种养》2009年第03期 一、家兔的纯种繁育 1. 品种选育。为了达到育种要求，使经过鉴定的家兔品种能保持原有的特征和优点，并以扩繁来增加优秀个体数量的繁殖为纯种繁育。家兔的纯种繁育可分3个层次进行：①建设原种兔场。原种兔场应建立在养兔业发展较好的地区，技术力量要强，并具有经济实力。设备要先进，并具有相当规模。优质饲料供应要充足，并可加工全价颗粒饲料。自然气候或人为小气候环境适于兔的生活，以促进其充分的发育和生长。②建立良种兔场。良种兔场要建立在养兔比较普遍的地区，可根据当地、周边市县及种兔市场确定其品种和规模。种兔要来源于原种兔场，严格制定出繁育纯种兔的标准和供应个体户种兔的质量保证措施，及时淘汰品质差的兔，以确保和提高良种兔的质量。③确定良种兔示范户。良种兔示范户需具有丰富的实践经验、责任心强和经济基础良好，种兔来源于良种兔场，饲养300只基础母兔，以表现突出的1只公兔配30只母兔进行人工授精，连续3～4代后形成一个扩繁兔群，选出其中最优秀的3个近交系兔群。 2. 品系繁育。按照预定的目标，进行选种选配，在一个品种内形成若干个品系，这些品系将其优点稳定地遗传给后代。品系的表现形式有地方品系和专门化品系，地方品系是由地区差异，以及人们的选择不同，在地方品种内又出现的一些小的地方性群体，既有本品种的特性，又具有独自特点。专门化品系不仅各有特点，还表现出突出的生产性能，以达到最佳的饲养效率和产品加工的质量要求。 二、家兔的杂交繁育 1. 育成杂交。以两个或多个品种兔的杂交而培育出一个新的家兔品种（品系），通过杂交、定型及扩群三阶段完成。 2. 级进杂交。两个品种兔杂交而获得的杂种。这种繁殖进行2～3代后，选出优秀的个体，再与良种横交固定进行自群繁殖，达到横交固定后的兔群基本与改良者相同。 3. 经济杂交。为了达到良好的经济利用效果，使用两个品种或品系进行杂交。两个或两个以上品种的公兔轮回与部分杂交母兔交配，来获取杂交优势为轮回杂交；用4个品种或品系两两杂交，然后再在两种杂交间进行交配为双杂交。 4. 导入杂交。为了改变原有品种的某些缺点，通过外来血缘改进当地品种兔。可选择外来良种公兔与本地品种母兔杂交（引入一次外来血缘），以后各代杂种都与本品种回交，可在回交二代的后代（1/8外来血缘）中选择优秀的个体进行自群横交固定繁殖。肉用品种兔可通过
兔子的繁殖Ⅲ 『摘要』 在700多年前，意大利著名数学家斐波那契在他的《算盘全集》一书中提出了这样一道有趣的兔子繁殖问题。在中学数学教学中，尽管兔子繁殖问题原本是一个算术问题（小学生对此也有一定了解），但人们热衷的是从中抽象出一般的数量关系。在我国中学数学教学的有关文献中，也经常可以看到对此问题的介绍。并且兔子繁殖同题也是一个很典型的数学建模案例，建立它的数学模型，可以从诸如用图式直接计数、建立递推关系式、矩阵表达式和组合表达式等多个角度入手。 关键词：兔子 繁殖 斐波那契 矩阵表达式 1 问题重述 由一对兔子开始，一年可以繁殖成多少对兔子？ 假设兔子的生殖力是这样的：一对兔子每月可生一对幼兔，幼兔出生二个月后就具有繁殖能力，三个月后就离开群体。问一对幼兔一年后繁殖的群体多大？求这个种群的稳定分布。 2 问题分析 题目中所说的兔子从生物学行为上可以区分为不同的三类：寿命很长不具繁殖能力的老兔，寿命较长具有繁殖能力的成兔和寿命尚短还不具有繁殖能力的幼兔。根据问题的论述，可以知道在这个问题中的兔子群体的繁殖和发育过程中幼兔，成兔与老兔之间存在如下的依赖关系： 本月初的幼兔是上月成兔、老兔繁殖的后代。本月初的成兔是上月幼兔发育的结果。本月初的老兔是上月成兔发育的结果。 3 模型假设： 1、在每个月的月初统计兔子数量； 2、每对具有繁殖能力的兔子每一个月定生一对兔子。 3、兔子出生两个月后都具有繁殖能力。 4、兔子每经过一个月底就增加一个月齢。 5、兔子在三个月后生完一对幼兔就离开群体。 4 参量、变量 月份： n, 幼兔数量： a0(n), 成兔数量： a1(n), 老兔数量：a2(n) 5 平衡关系 本月初的幼兔数量=上月成兔繁殖的幼兔数量+上月的老兔繁殖的幼兔数量 本月初的成兔数量=上月幼兔数量的发育结果。 本月初的老兔数量=上月成兔数量的发育结果。 6 模型的建立及分析 a0(n+1)=a1(n)+a2(n) a1(n+1)=a0(n) a2(n+1)=a1(n) 令 a (n) = (a0(n), a1(n), a2(n))’, 则 a (n) = A a (n-1) 其中 ???? ? ??=010001110A
求数列前n项和题型方法总结 1、考纲解读 （1）了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图像、通项公式）。 （2）了解数列是自变量为正整数的一类函数。 （3）理解等差数列、等比数列的概念。 （4）掌握等差数列、等比数列通项公式和前n项和公式。 （5）能在具体的问题情境中识别等差关系或等比关系，并能利用有关知识解决问题。（6）了解等车数列与一次函数，等比数列与指数函数的关系。 常考题型：填空题，选择题，解答题 占分比重：10~17分 二、考点梳理（命题特点）&考试趋势 2.1.数列的概念与简单表示法 2.2.等差数列 2.3.等比数列 2.4.数列求和、数列的综合应用 三、题型讲解 3.1解题技巧归纳（提分秘笈） 3.1.1公式法 公式法：直接利用等差等比数列的前n项和公式.
q q a a q q a S q na S q n d n n na a a n S n n n n n n n n --= --=≠==-+=+= 11)1(,1.b 1.a 2 )1(2)(11111时当； 时，当项和公式②等比数列的前项和公式①等差数列的前 例1 {}.6-3942的值，求项和，且为其前为等差数列，若数列s a a n s a n n = 答案 27 解析: {}()272 292)(9,346-3359195111=?=+= ==++=+a a a S a d a d a d a d a n ，得，有的公差为设数列 【注意事项】 （1）善于识别题目类型，确定是等差数列还是等比数列. （2）等比数列中要注意公比为1的情况. 3.1.2分组求和 分组求和法：把一个数列分成几个可以直接求和的数列 例2 {}{}{}. )2(2)1(. 4-2n n n n n n n T n s n s n a s n a s 项和的前求数列为等比数列；证明： 项和，且满足的前是数列已知+-=-
第一章兔子数列和极端分析（习题） 1.按规律填空： 1、1、 2、 3、5、8、13、21、、、。 2.一个各个数位互不相同的四位数能被1、2、3、4、5、6、7整除，那么这个数最大是。 3.一个各个数位互不相同的六位数能被9整除，这个数最大是多少？最小是多少？ 4.一个六位数能被7整除，这个数最大是多少？最小是多少？ 5.一个五位数是3、4、5、6的倍数，这个数最大是多少？
*6.一楼梯共8级，小嘉每步只能跨上一级、两级、三级或四级，要登上第8级，共有多少种不同走法？ *7.小青蛙有十块糖，妈妈要求小青蛙每天最多吃三块糖，那么小青蛙把糖吃完有多少种办法？ *8.如下图，小方和小张在玩跳格子游戏，小方从A跳到B，每次可跳一步或者两步，小张从C跳到D，每次可跳一步、两步或三步，试比较谁跳到目标处的不同跳法多？多多少？
*9.有一种树，它的每个新枝在一年后会长成老枝，而每个老枝一年后会长出一个新枝，小嘉在家门口种了一个老枝，他知道一年后会长出一个新枝，那么八年后会有多少个树枝？ *10.N是一个各位数字互不相等的三位数，它能被它的每个数字整除，N的最大值是多少？ 【参考答案】 1.34、55、89 2.9240 3.987651、102348
4.999999、100002 5.99960 *6. 108 *7. 89 *8. 小张多，多5 *9. 34 *10.936 1.在628后面补上3个数字，组成一个六位数，使它能分别被2，4，9整除，且使这个数尽可能大。则这个六位数是多少？ 2.一个各位数字互不相同的三位数能被2、3、5整除，这个数最大是多少？ 3.一楼梯共10级，小嘉每步只能跨上一级或两级，要登上第10级，共有多少种不同走法？
数列求和合集例题与答案)
————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 2
3 数列求和汇总答案 一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2 )1(2)(11-+=+= 2、等比数列求和公式：?????≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a q q a q na S n n n 例1、已知3 log 1log 23-=x ，求???++???+++n x x x x 32的前n 项和. 解：由212log log 3log 1log 3323=?-=?-=x x x 由等比数列求和公式得n n x x x x S +???+++=32（利用常用公式） ＝x x x n --1)1(＝2 11)211(21--n ＝1－n 21 练习：求22222222123456...99100-+-+-+--+的和。 解：2222222212345699100-+-+-+--+L ()()()()2222222221436510099=-+-+-++-L ()()()()()()()()2121434365651009910099=-++-++-++-+L 3711199=+++L ＋ 由等差数列的求和公式得 ()50503199S 50502 ＋＝＝ 二、错位相减法求和 这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{a n }、{b n }分别是等差数列和等比数列. 例2求和：132)12(7531--+???++++=n n x n x x x S ………………………① 解：由题可知，{1)12(--n x n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1-n x }的通项之积 设n n x n x x x x xS )12(7531432-+???++++=……………………….②（设制错位） ①－②得n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+???+++++=--（错位相减） 再利用等比数列的求和公式得：n n n x n x x x S x )12(1121)1(1 ----?+=-- ∴21) 1()1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+
数列求和精选难题易错题 含答案 Modified by JEEP on December 26th, 2020.
1、数列{an}的前n项和记为Sn，a1=t，点在直线y=2x+1上，。 （1）若数列{an}是等比数列，求实数t的值； （2）设bn=nan，在（1）的条件下，求数列{bn}的前n项和Tn； （3）设各项均不为0的数列{cn}中，所有满足的整数的个数称为这个数列的”，令（），在（2）的条件下，求数列的“积异号数”。解：（1）由题意，当时，有 两式相减，得即：（） 当时，是等比数列，要使时是等比数列， 则只需，从而得出 （2）由（1）得，等比数列的首项为，公比， ① 可得② 得 （3）由（2）知， ，， ，数列递增 由，得当时，数列的“积异号数”为1。 2、已知数列{an}的前n项和为Sn，满足． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式an；
（Ⅱ）令，且数列{bn}的前n项和为Tn满足，求n的最小 值； （Ⅲ）若正整数m，r，k成等差数列，且，试探究：am，ar，ak能否成等比数列证明你的结论． 解：（Ⅰ）∵， 由，∴， 又，∴数列是以为首项，为公比的等比数列， ∴，即； （Ⅱ）， ∴ ， ∴，即n的最小值为5； （Ⅲ）∵， 若，，成等比数列， 即 由已知条件得，∴， ∴， ∴上式可化为， ∵，∴， ∴， ∴为奇数，为偶数， 因此不可能成立， ∴，，不可能成等比数列． 3、设等差数列{an}的前n项和为Sn，公比是正数的等比数列{bn}的前n项和为Tn，已知a1=1，b1=3，a2+b2=8，T3-S3=15 （1）求{an}，{bn}的通项公式。 （2）若数列{cn}满足求数列{cn}
斐波那契数列 斐波那契数列的发明者，是意大利数学家列昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci，生于公元1170年，卒于1240年，籍贯大概是比萨）。他被人称作―比萨的列昂纳多‖。1202年，他撰写了《珠算原理》(Liber Abacci)一书。他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事，派驻地点相当于今日的阿尔及利亚地区，列昂纳多因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学。他还曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯研究数学。 斐波那契数列指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、…… 这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和。 斐波那契数列通项公式 通项公式 (见图)（又叫―比内公式‖，是用无理数表示有理数的一个范例。） 注：此时a1=1，a2=1，an=a(n-1)+a(n-2)（n>=3,n∈N*） 通项公式的推导 斐波那契数列：1、1、2、3、5、8、13、21、…… 如果设F(n)为该数列的第n项(n∈N+)。那么这句话可以写成如下形式： F(0) = 0，F(1)=1，F(n)=F(n-1)+F(n-2) (n≥2)， 显然这是一个线性递推数列。 方法一：利用特征方程（线性代数解法） 线性递推数列的特征方程为： X^2=X+1 解得 X1=(1+√5)/2,，X2=(1-√5)/2。 则F(n)=C1*X1^n + C2*X2^n。 ∵F(1)=F(2)=1。 ∴C1*X1 + C2*X2。 C1*X1^2 + C2*X2^2。 解得C1=1/√5，C2=-1/√5。 ∴F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^(n+1) - [(1-√5)/2]^(n+1)}（√5表示根号5）。 方法二：待定系数法构造等比数列1（初等待数解法） 设常数r，s。 使得F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]。 则r+s=1，-rs=1。 n≥3时，有。 F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]。