第3讲 自由落体运动
一、自由落体运动
1．条件：物体只受重力，从静止开始下落． 2．基本规律 (1)速度公式：v ＝gt . (2)位移公式：x ＝1
2gt 2.
(3)速度位移关系式：v 2＝2gx . 3．自由落体运动的推论
(1)连续相等的时间T 内的位移之差：Δx ＝gT 2. (2)平均速度：v ＝v
2
.
(3)若从开始运动时刻计时，划分为连续相等的时间间隔T ，则有如下比例关系： ①T 末、2T 末、3T 末……瞬时速度之比 v 1∶v 2∶v 3∶……＝1∶2∶3∶…… ②T 内、2T 内、3T 内……位移之比 x 1∶x 2∶x 3∶……＝1∶4∶9∶……
③第一个T 内、第二个T 内、第三个T 内……位移之比 x Ⅰ∶x Ⅱ∶x Ⅲ∶……＝1∶3∶5∶……
(4)若从运动起点(初位置)开始，划分为连续相等的位移x ，则有如下比例关系： ①连续相等的位移末的瞬时速度 v 1∶v 2∶v 3∶……＝1∶2∶3∶…… 推证：由v 2－v 02＝2ax 可直接得到． ②通过连续相等的位移所用时间之比
t 1∶t 2∶t 3∶……＝1∶(2－1)∶(3－2)∶…… 4．伽利略对自由落体运动的研究
(1)伽利略通过逻辑推理的方法推翻了亚里士多德的“重的物体比轻的物体下落快”的结论． (2)伽利略对自由落体运动的研究方法是逻辑推理―→猜想与假设―→实验验证―→合理外推．这种方法的核心是把实验和逻辑推理(包括数学演算)和谐地结合起来．
自测1 (多选)甲物体的重量比乙物体大5倍，甲从H ＝10 m 高处自由落下，乙从2H 高处与甲物体同时自由落下，在它们落地之前，下列说法中正确的是( )
A ．两物体下落过程中，在同一时刻甲的速度比乙的速度大
B ．下落1 s 末，它们的速度相同
C ．各自下落1 m 时，它们的速度相同
D ．下落过程中甲的加速度比乙的加速度大 答案 BC 二、竖直上抛运动
1．运动特点：加速度大小为g ，方向竖直向下．上升阶段做匀减速运动，下降阶段做自由落体运动．
2．运动性质：匀变速直线运动． 3．基本规律
(1)速度公式：v ＝v 0－gt ； (2)位移公式：x ＝v 0t －1
2
gt 2.
自测2 (多选)物体做竖直上抛运动后又落回到原出发点的过程中，下列说法正确的是( ) A ．上升过程中，加速度方向向上，速度方向向上 B ．下落过程中，加速度方向向下，速度方向向下 C ．在最高点时，加速度大小为零，速度大小为零 D ．到最高点后，加速度方向不变，速度方向改变 答案 BD
命题点一 自由落体运动规律的应用
自由落体运动是v 0＝0、a ＝g 的匀加速直线运动，下落时间t 、末速度v 、下落高度h 三个物理量中有一个确定，其余两个物理量也就确定了．
例1 (2017·南通一中期中)如图1所示，某学习小组利用直尺估测反应时间：甲同学捏住直尺上端，使直尺保持竖直，直尺零刻度线位于乙同学的两指之间．当乙看见甲放开直尺时，立即用手指捏住直尺，根据乙手指所在位置计算反应时间．为简化计算，某同学将直尺刻度进行了改进，以相等时间间隔在直尺的反面标记反应时间的刻度线，制作了“反应时间测量仪”，下列四幅图中刻度线标度正确的是( )
图1
答案 B
解析 由题可知，手的位置在开始时应放在0刻度处，所以0刻度要在下边．直尺做自由落体运动的位移：h ＝1
2gt 2，位移与时间的平方成正比，所以随时间的增大，直尺上刻度线的间
距增大，由以上的分析可知，只有图B 是正确的．
例2 (2017·丹阳中学模拟)在高11.25 m 屋檐上，每隔一定的时间有一滴水落下，已知第一滴水落到地面时，第四滴水刚好离开屋檐，设水滴的运动是自由落体运动，g 取10 m/s 2，求： (1)第一滴水落地时的速度大小； (2)水滴落下的时间间隔；
(3)第一滴水落地时，第二滴水和第三滴水间的距离． 答案 (1)15 m/s (2)0.5 s (3)3.75 m
解析 (1)根据自由落体与运动学公式得：v 12＝2gh 解得：v 1＝2gh ＝2×10×11.25 m /s ＝15 m /s ； (2)第一滴水运动的时间 t ＝
2h
g
＝ 2×11.25
10
s ＝1.5 s ； 所以水滴落下的时间间隔T ＝t
4－1＝0.5 s ；
(3)第1滴水落地时，第2滴水的下落位移为： h ′＝12gt ′2＝1
2
×10×12 m ＝5 m ；
第三滴水下落的高度h ″＝1
2×10×0.52 m ＝1.25 m ；
第二滴水和第三滴水间的距离为 Δh ＝h ′－h ″＝3.75 m. 命题点二 竖直上抛运动
1．竖直上抛运动的两种研究方法
(1)分段法：将全程分为两个阶段，即上升过程的匀减速阶段和下落过程的自由落体阶段． (2)全程法：将全过程视为初速度为v 0、加速度为a ＝－g 的匀变速直线运动，必须注意物理量的矢量性．习惯上取v 0的方向为正方向，则v >0时，物体正在上升；v <0时，物体正在下降；h >0时，物体在抛出点上方；h <0时，物体在抛出点下方．
2．竖直上抛运动的三种对称性 (1)时间的对称性
①物体上升到最高点所用时间与物体从最高点落回到原抛出点所用时间相等，即t 上＝t 下＝v 0
g .
②物体在上升过程中某两点之间所用的时间与下降过程中该两点之间所用的时间相等． (2)速度的对称性
①物体上抛时的初速度与物体又落回原抛出点的速度大小相等、方向相反． ②物体在上升阶段和下降阶段经过同一个位置时的速度大小相等、方向相反． (3)能量的对称性
竖直上抛运动物体在上升和下降过程中经过同一位置时的动能、重力势能及机械能分别相等． 例3 (2018·盐城中学阶段性测试)气球以10 m/s 的速度匀速上升，当它上升到离地175 m 的高处时，一重物从气球上脱落，则重物需要经过多长时间才能落到地面？到达地面时的速度是多大？(g 取10 m/s 2，不计空气阻力) 答案 7 s 60 m/s
解析 解法一：把竖直上抛运动过程分段研究． 设重物离开气球后，经过t 1时间上升到最高点， 则t 1＝v 0g ＝10
10 s ＝1 s.
上升的最大高度 h 1＝v 022g ＝1022×10 m ＝5 m.
故重物离地面的最大高度为 H ＝h 1＋h ＝5 m ＋175 m ＝180 m.
重物从最高处自由下落，落地时间和落地速度分别为 t 2＝
2H g
＝ 2×180
10
s ＝6 s. v ＝gt 2＝10×6 m/s ＝60 m/s.
所以重物从气球上脱落至落地共历时t ＝t 1＋t 2＝7 s.
解法二：取全过程作为一个整体进行研究，从重物自气球上脱落计时，经时间t 落地，规定初速度方向为正方向，画出运动草图如图所示，则重物在时间t 内的位移
h ＝－175 m.
由位移公式h ＝v 0t －1
2gt 2
有－175＝10t －1
2×10t 2，
解得t ＝7 s 和t ＝－5 s(舍去)， 所以重物落地速度为
v 1＝v 0－gt ＝10 m/s －10×7 m/s ＝－60 m/s. 其中负号表示方向向下，与初速度方向相反． 解法三：对称法
根据速度对称，重物返回脱落点时，具有向下的速度v 0＝10 m/s ，设落地速度为v ，则v 2－v 02＝2gh .
解得v ＝60 m/s ，方向竖直向下． 经过h 历时Δt ＝v －v 0g ＝5 s.
从最高点到落地历时t 1＝v
g
＝6 s.
由时间对称可知，重物脱落后至落地历时 t ＝2t 1－Δt ＝7 s.
变式1 在竖直的井底，将一物体以11 m/s 的速度竖直向上抛出，物体在井口处被人接住，在被人接住前1 s 内物体的位移是4 m ，位移方向向上，不计空气阻力，g 取10 m/s 2，求： (1)物体从抛出到被人接住所经历的时间； (2)此竖直井的深度． 答案 (1)1.2 s (2)6 m
解析 (1)被人接住前1 s 内物体的位移是4 m ，由于自由落体的物体第1 s 内的位移h 1＝1
2gt 2
＝5 m
故而一定是在物体通过最高点后返回过程中被接住，设接住前1 s 时的初速度为v 1， 则h ＝v 1t －1
2gt 2
解得v 1＝9 m/s ，t 1＝
v 0－v 1g ＝11－9
10
s ＝0.2 s 从抛出到被人接住所经历的时间 t ′＝t 1＋1 s ＝1.2 s
(2)设竖直井的深度为H ，则
H ＝v 0t ′－12gt ′2＝11×1.2 m －1
2
×10×1.22 m ＝6 m.
命题点三 落体法测重力加速度
例4 某同学用如图2a 所示的装置测定重力加速度：
(1)电磁打点计时器的工作电压为________V ，为交流，频率为50 Hz.
(2)打出的纸带如图b 所示，实验时纸带的________(选填“甲”或“乙”)端应和重物相连接． (3)实验中在纸带上连续打出点1、2、3、4、……、9，如图b 所示，由纸带所示数据可算出实验时的加速度为________m/s 2(保留两位有效数字)．
图2
答案 (1)4～6 (2)乙 (3)9.4
变式2 频闪摄影是研究变速运动常用的实验手段．在暗室中，照相机的快门处于常开状态，频闪仪每隔一定时间发出一次短暂的强烈闪光，照亮运动的物体，于是胶片上记录了物体在几个闪光时刻的位置．如图3是小球自由下落时的频闪照片示意图，频闪仪每隔0.04 s 闪光一次．如果要通过这幅照片测量自由落体加速度，可以采用哪几种方法？试一试． 照片中的数字是小球落下的距离，单位是厘米．
图3
答案 见解析
解析 方法一 根据公式x ＝12gt 2
x ＝19.6 cm ＝0.196 m.
t ＝5T ＝0.2 s
g ＝2x t 2＝0.196×24×102 m/s 2＝9.8 m/s 2 方法二 根据公式Δx ＝gT 2 x 5－x 3＝2gT 2，x 4－x 2＝2gT 2，则 g ＝x 5＋x 4－(x 2＋x 3)4T 2
＝
(19.6－7.1)－(7.1－0.8)4×(0.04)
2
×10－
2 m/s 2＝9.69 m/s 2 方法三 根据v ＝gt 和v ＝v 0＋v 2＝x
t
＝2
t v
v ＝(19.6－7.1)×10－
2
2×0.04
m/s ≈1.56 m/s
g ＝
v
t ＝1.560.16
m/s 2＝9.75 m/s 2.
1．关于自由落体运动(g ＝10 m/s 2)，下列说法中不正确的是( ) A ．它是竖直向下，v 0＝0、a ＝g 的匀加速直线运动 B ．在开始连续的三个1 s 内通过的位移之比是1∶3∶5 C ．在开始连续的三个1 s 末的速度大小之比是1∶2∶3
D ．从开始运动到距下落点5 m 、10 m 、15 m 所经历的时间之比为1∶2∶3 答案 D
2．一小石块从空中a 点自由落下，先后经过b 点和c 点，经过b 点时速度为v ，经过c 点时速度为3v ，不计空气阻力，则ab 段与ac 段位移之比为( ) A ．1∶3 B ．1∶5 C ．1∶8 D ．1∶9 答案 D
解析 石块做自由落体运动，2gh ab ＝v 2① 2gh ac ＝(3v )2②
由①②得h ab h ac ＝1
9
，选项D 正确．
3．(多选)某物体以30 m/s 的初速度竖直上抛，不计空气阻力，g 取10 m/s 2，4 s 内物体的( ) A ．位移大小为50 m B ．路程为50 m
C ．速度改变量的大小为20 m/s