第十一章 机械振动
一、基本要求
1．掌握简谐振动的基本特征，学会由牛顿定律建立一维简谐振动的微分方程，并判断其是否谐振动。
2. 掌握描述简谐运动的运动方程)cos(0?ω+=t A x ，理解振动位移，振幅，初位相，位相，圆频率，频率，周期的物理意义。能根据给出的初始条件求振幅和初位相。
3. 掌握旋转矢量法。
4. 理解同方向、同频率两个简谐振动的合成规律，以及合振动振幅极大和极小的条件。
二、基本内容
1. 振动 物体在某一平衡位置附近的往复运动叫做机械振动。如果物体振动的位置满足)()(T t x t x +=，则该物体的运动称为周期性运动。否则称为非周期运动。但是一切复杂的非周期性的运动，都可以分解成许多不同频率的简谐振动（周期性运动）的叠加。振动不仅限于机械运动中的振动过程，分子热运动，电磁运动，晶体中原子的运动等虽属不同运动形式，各自遵循不同的运动规律，但是就其中的振动过程讲，都具有共同的物理特征。
一个物理量，例如电量、电流、电压等围绕平衡值随时间作周期性（或准周期性）的变化，也是一种振动。
2. 简谐振动 简谐振动是一种周期性的振动过程。它可以是机械振动中的位移、速度、加速度，也可以是电流、电量、电压等其它物理量。简谐振动是最简单，最基本的周期性运动，它是组成复杂运动的基本要素，所以简谐运动的研究是本章一个重点。
（1）简谐振动表达式)cos(0?ω+=t A x 反映了作简谐振动的物体位移随时间的变化遵循余弦规律，这也是简谐振动的定义，即判断一个物体是否作简谐振动的运动学根据。但是简谐振动表达式更多地用来揭示描述一个简谐运动必须
涉及到的物理量A 、ω、0?（或称描述简谐运动的三个参量），显然三个参量确定后，任一时刻作简谐振动的物体的位移、速度、加速度都可以由t 对应地得到。
)2
cos()sin(00π
?ωω?ωω+
+=+-=t A t A v
)cos()cos(0202π?ωω?ωω±+=+-=t A t A a
（2）简谐运动的动力学特征为：物体受到的力的大小总是与物体对其平衡位置的位移成正比、而方向相反，即kx F -=，它是判定一个系统的运动过程是否作简谐运动的动力学根据，只要受力分析满足动力学特征的，毫无疑问地系统的运动是简谐运动。这里应该注意，F 系指合力，它可以是弹性力或准弹性力。
（3）和简谐运动的动力学特征相一致的是简谐运动的运动学特征：作简谐
运动物体的加速度大小总是与其位移大小成正比、而方向相反，即x dt
x d 222ω-=，
它也是物体是否作简谐运动的判据之一。只要加速度与位移大小成正比、而方向恒相反，则该物理量的变化过程就是一个简谐运动的过程。在非力学量，例如电量、电流和电压等电学量，就不易用简谐振动的动力学特征去判定，而LC
电路中的电量q 就满足q LC dt
q d 1
22-=，故电量q 的变化过程就是一个简谐振荡的过程，显然用运动学的特征来判定简谐运动更具有广泛的意义。
3. 简谐振动的振幅、周期、频率和相位
（1）振幅A 是指最大位移的绝对值。A 是由初始条件来决定的，即
2
20
2
ω
v +
=x A 。
（2）周期T 是指完成一次完整的振动所用时间。ω
π
2=T ，式中ω是简谐振
动的圆频率，它是由谐振动系统的构造来决定的，即m
k
=ω,ω也称为固有圆频率。对应的T 称为固有周期。v
T 1
=
，式中v 称为频率（即固有频率），它与圆频率的关系2v ωπ=，是由系统本身决定的。
（3）相位)(0?ω+t 和初相位0?是决定简谐振动的物体t 时刻和0=t 时刻运动状态的物理量。即在A 、ω确定后，任一时刻的x 、v 、a 都是由)(0?ω+t 来确定的。一个周期内，每一时刻的相位)(0?ω+t 不同，则对应的运动状态也不相同。对不同的两个或更多的几个简谐振动，相位还用来区分它们之间“步调”的一致与否。
初相位0?决定于初始条件：即由???-==0
00
0sin cos ?ω?A A x v 共同决定。或由
)arctan(0
0x ω?v -
=计算，但由此式算得的0?在[]π2,0或[]ππ,-范围内有两个可能的取值，必须根据0=t 时刻的速度方向进行合理的取舍。如能配合使用旋转矢量图示法，则会使0?的确定更加简捷、方便。
4. 旋转矢量法 简谐运动的表达式)cos(0?ω+=t A x 中有三个特征量A 、
ω、0?，旋转矢量法把描述简谐运动的三个物理量更直观、更形象地表示在图示中。作匀速转动的矢量，其长度等于谐振动的振幅A ，其角速度等于谐振动的角频率ω，且0=t 时，它与X 轴正向的夹角为谐振动的初位相0?，t t =时
刻它与X 轴正向的夹角为谐振动的位相（0?ω+t ）。旋转矢量A
的末端在X 轴
上的投影点的运动代表质点的谐振动。
5. 简谐振动的能量
动能 )(sin 21
0222?ωω+=
t A m E k 势能 )(cos 2
1
022?ω+=t kA E p
机械能 221
kA E E E p k =+=
6. 同方向同频率简谐振动的合成
()1011cos ?ω+=t A x 和()2022cos ?ω+=t A x 合成后仍为简谐振动
()021cos ?ω+=+=t A x x x 其中)cos(21020212
221??-++=
A A A A A (合振幅)
20
210120
21010cos cos sin sin ?????A A A A tg ++=
（合振动的初相）
三、习题选解
11-1 质量为g 10的小球与轻弹簧组成的系统，按)3
8cos(5.0π
π+=t x m
的规律振动（式中 x 以m 计，t 以s 计），试求：
（1）振动的角频率、周期、振幅、初相、速度和加速度的最大值； （2）s t 1=、s 2、s 10各时刻的相位；
（3）分别画出位移、速度、加速度与时间t 的关系曲线。 解：（1）)3
8cos(5.0π
π+=t x m 与振动的标准形式cos(A x =0?ω+t )相比可
知：
圆频率 πω8=1-s 振幅 m A 5.0= 初相位 3
0π
?= 周期 ω
π
2=
T =s 25.0
最大速度 5.08max ?==πωA v 1156.12--?=?s m s m
最大加速度 5.0)8(22max ?==πωA a 2211016.3--??=?s m s m （2）相位为)3
8(π
π+
t ,将s t 1=、s 2、s 10代入相位分别为
π318、π3116、π3
180 （3）由)3
8cos(5.0π
π+
=t x m 有
)38sin(4π
ππ+==
t dt dx v 1-?s m )3
8cos(322π
ππ+-==t dt d a v 2-?s m 11-2 有一个和轻弹簧相连的小球，沿x 轴作振幅为A 的简谐振动，其表达式用余弦函数表示。若0=t 时，球的运动状态为（1）A x -=0；（2）过平衡
位置向x 轴正向运动；（3）2A
x =
处向x 轴负方向运动；（4）2
A x =处向x 轴正方向运动；试用矢量图示法确定相应的初相的值，并写出振动表达式。
解：四种情况对应的旋转矢量 图如图所示：
（1） 初相位π?=0，振动 方程为)cos(πω+=t A x
（2） 初相位2
0π
?-=，振动
方程为)2
cos(π
ω-=t A x
（3） 初相位为3
0π?=，
振动方程为 )3
cos(π
ω+
=t A x 题11-2图
（4）初相位40π?-
=，振动方程为)4
cos(π
ω-=t A x
11-3 质点作简谐振动的曲线x-t 如图所示，求质点的振动方程式
解：t=0时， 00cos 2
?A A
x ==
所以 21cos 0=?， 3
0π
?±=，
再由0sin 0>-=?ωA 0v ， 0sin 0?< 取3
0π
?-=
t=1s 时，11cos 2
?A A
x == （注意01?ω?+=）
11
cos 2?= ， 3
1π?±=
再由0sin 1<-=?ωA 1v ， 0sin 1>? 所以 3
1π
?=
102
3
ω??π=-=
振动方程为 ()m t t A x ??? ??-=+=33
2
cos 04.0cos 0ππ?ω
11-4 两质点沿同一直线作同频率、同振幅的简谐振动，当它们每次沿相反方向互相通过时，它们的位移均为其振幅的一半，求这两个质点振动的相位差。
解：设两个质点振动方程为
)cos(11?ω+=t A x )cos(22?ω+=t A x
速度为 )sin(11
1?ωω+-==
t A dt
dx v )sin(22
2?ωω+-==
t A dt
dx v 依题意，两质点在t t '=相遇时
2
)()(21A t x t x =
'=' )cos(1?ω+'t )cos(2?ω+'=t 2
1=
1?ω+'t 2?ω+'=t 3
2π
π±
=n
此时两质点运动方向相反，这分两种情况。
（1）质点1向x 轴正向运动，质点2向x 轴负向运动，这时
3
21π
π?ω-
=+'n t 3
22π
π?ω+
=+'n t
位相差=??-+')(1?ωt 3
2)(2π?ω-
=+'t （2）质点1向x 轴负向运动，质点2向x 轴正向运动，这时
3
21π
π?ω+
=+'n t 3
22π
π?ω-
=+'n t
位相差=??-+')(1?ωt 3
2)(2π?ω=
+'t 两种情况都说明其中一个质点的运动比另处一个质点的运动超前或落后
32π。两质点在2A -处相向相遇时有同样的结论。
11-5 在一平板上放质量kg m 0.1=的物体，平板在竖直方向上下作简谐振动，周期为s T 5.0=，振幅02.0=A m ，试求： （1）在位移最大时，物体对平板的压力； （2）平板应以多大振幅作振动，才能使重物开始跳离木板。
解：（1）选择物体平衡位置为坐标原点，向
上的方向为x 轴正向。由牛顿第二定律有
ma mg N =-
当系统运动到最高位置时，加速度为负的最大值。即 2max ωA a a -=-=
此时 N A T g m A g m ma mg N 6.6)2()(22max =??
?
???-=-=-=πω
当系统运动到最低位置时 2max ωA a a ==
此时 N N A g m ma mg N 13)2.38.9(0.1)(2max =+?=+=+=ω
（2）物体跳离木板，应在最高位置时受木板的力
0)(2max =-=-=ωA g m ma mg N
m gT g
A 062.042
2
2===πω
11-6 如图所示，一质量为M 的盘子系于竖直悬挂的 轻弹簧的下端，弹簧的倔强系数为k 。现有一质量m 的物体自离盘h 高处自由落下 掉在盘中，没有反弹，以物体掉在盘上的 瞬时作为计时起点。求盘子的振动表达式。 （取物体掉在盘子后的平衡位置作为坐标原点，位移取向下为正）。
解：取物体掉在盘子里的平衡位置为坐标原点，y 轴向下建立坐标系。 这时弹簧伸长2λ为
2)(λk g M m =+
g k
M
m +=
2λ 当0=t 时，弹簧伸长1λ为
1λk Mg = k
Mg
=
1λ 所以，0=t 时系统的位移为
题11-5图
题11-6图
题11-6图
k
mg
k mg k g m M y -
=-+-=--=])([
)(120λλ 设此时系统的速度为0v ，由动量守恒定律有
0)(2v m M gh m += m
M gh
m +=
20v
且速度向下与y 轴方向相同，0v 取正值。
当物体落入盘中，且系统运动至坐标y 处时，系统运动方程为
22)()(dt
y
d m M T g m M +=-+
此时弹簧伸长为2λ+y ，因而)(2λ+=y k T
则 222)()()(dt
y
d m M y k g m M +=+-+λ
由于 g m M k )(2+=λ有
022=++y m
M k
dt y d 方程解为 )cos(0?ω+=t A y m
M k
+=
ω 由初始条件0=k
时，00,mg
y k =-
=v 有
A ==
=
g
m M kh
k mg )(21++
)(2arctan )(2arctan )arctan(0
0m M g kh k
mg
m M k gh
M m m
y +=-++-
=-
=ω?v 所以盘子的振动表达式为
))
(2arctan cos()(21m M g kh
t m M k g m M kh k mg y ++?+++=
11-7 如图所示，一弹簧振子由倔强系数k 的弹簧和质量
M 的物块组成，将弹簧一端与顶板相连。开始时物块静止，一颗质量为m ，速度0u 的子弹由下而上射入物块，并留在物块中。求：
（1）振子以后的振幅和周期；
（2）物体从初始位置运动到最高点所需的时间。
题11-7图
解：（1）以子弹射入物块后的平衡 位置为原点，y 轴向下，建立坐标系，这时 弹簧伸长
g k
m
M y +=
2 子弹未射入物块时，弹簧伸长为
k
Mg
y =1。此时物体在坐标系中的位置
题11-7图 k mg
k Mg g k m M y y y -
=-+-=--=)()(120 物块和子弹共同运动的速度0v 00)(mu m M -=+v
00u m
M m
+-=
v （负号表示方向向上） 当子弹射入物块，并且运动到y 处时，系统的运动方程为
22()()d y
M m g T M m dt
+-=+
此时弹簧伸长为y y +2，故)(2y y k T +=
于是有 222)()()(dt
y
d m M y y k g m M +=+-+
由于 g m M ky )(2+=
有 22)(dt
y
d m M ky +=-
022=++y m
M k
dt y d 系统的振动方程为 )cos(0?ω+=t A y m
M k
+=ω 由初始条件0=t 时，k mg y y -
==0 ， 00u m
M m +-=v 有 202
0)(ωv +=
y A =2
02)(????
?
?
??????++-+-m M k
u m M m k mg
=k
m M u m k mg )()(2
022
++
))(arctan()arctan(00
0k mg
m M k m M mu y -++-
-=-
=ω?v )arctan(0g
u m M k
?+-
=
故系统振幅为 k
m M u m k mg A )()(2
022
++=
周期为 k
m
M T +=π
2 （2） 系统的振动方程为
???????+-+?+++=)arctan(cos )()(02
022g u m M k
t m
M k k m M u m k mg y
物块从初始位置运动到最高点时，A y -=
1)arctan(cos 0-=???????+-+?+g u m M k t m
M k
第一次到达最高点时
π=?+-+?+)arctan(0g
u m M k
t m M k )]arctan([0g
u m M k
k m M t ?+--+=
π 11-8 一水平放置的弹簧振子，已知物体经过平衡位置向右运动时速度
11.0m s -=?v ，周期s T 0.1=，求再经过s 31
时间，物体的动能是原来的多少倍，
设弹簧的质量不计。
解：取向右的方向为x 轴的正向，设物体平衡位置为坐标原点，物体的振动方程为
)cos(0?ω+=t A x
由于 ππ
ω22,0.1==
=T
s T 故 )2cos(0?π+=t A x 将物体经过平衡位置向右运动时取为0=t 时刻
则 00cos 0x A ?== A A s m πω20.110==?=-v
有 0cos ,210==
?πA 2
0π?-= 因而物体振动方程为 )2
2cos(21π
ππ-=t x
物体的振动速度为)2
2sin(π
π--==t dt dx v
当s t 31=时， 12
1)61sin()232sin(-?-=-=--=s m πππv
此时物体动能为 m m E 81
212=='v J
初始时刻物体动能为 m m E 2
1212
0==v J
41='E E 即31秒后物体动能是原来的41。
11-9 一质量g 10的物体作简谐振动，其振幅为cm 24，周期为s 0.4，当0=t 时，位移为cm 24+，求：
（1）s t 5.0=时，物体所在的位置；
（2）s t 5.0=时，物体所受力的大小与方向； （3）由起始位置运动到cm x 12=处所需的最少时间；
（4）在cm x 12=处，物体的速度、动能以及系统的势能与总能量。 解：令振动方程为 )cos(0?ω+=t A x 由题意有 24=A cm ，0.4=T s ，2
2ππω==T 且0=t 时，00,cos 1x A ?==初相位00=? 振动方程为 (24cos
)2
x t π
=cm
所以（1）s t 5.0=时，212)4
cos(24==π
x cm =0.17cm
（2）)cos(0222?ωω+-===t A m dt
x
d m ma F
s t 5.0=时，4
cos )2(10241010223π
π?????-=--F N N 31019.4-?-=
负号表示力的方向沿x 轴负向。
（3）当cm x 12=时，21)2cos(=t π，位相t 2π取值为,...)2,1,0(,3
2=±n n π
π。
最少的时间 t 2π=3
2
,3=t πs
（4）cm x 12=时，2
3
122sin 12πππ±=-==
t dt dx v 116.32--?±=?s cm s cm 正负号表示物体可能向x 轴正向或负向运动。 此时动能：2232)106.32(10102
1
21--????==v m E k J =33.5410-?J 势能：2
2
1kx E p =
，由m
k
=ω，有2ωm k = 222322)1012()2
(10102121--?????==
π
ωx m E p J =78.1410-?J 总能量：41011.7-?=+=k p E E E J
11-10 如图所示，一个水平面上的弹簧振子，弹簧的倔强系数为k ，所系物体的质量为M ，振幅为A ，有一质量m 的物体从高度h 处自 由下落。当振子在最大位移处，物体正好题
落在M 上并粘在一起，这时振动系统的
振动周期、振幅和振动能量有何变化如 题 11-10图 果物体m 是在振子到达平衡位置时落在M 上，这些量又如何
解：粘土未落在M 上时系统的振动周期为
k
M
T π
20= 粘土落在M 上时，系统的振动周期为
k
m
M T +=π
2 , 0T T > 当M 正好处于最大位移处，即A x ±=时，此时0=v ，粘土落下后，x 方向速度仍为零，此时振子仍处于最大位移处，振幅不变。系统能量为2kA 也不变。
当M 处于平衡位置时，系统在平衡位置0=x ，此时
A M
k
A
A ,0max ±=±=±=ωv v 为系统原来的振幅。 粘土落下与M 碰撞后的速度'v ，可由动量守恒定律求出
v v M m M ='+)( A m
M kM
M k m
M MA
m M M +±=+±=+=
'v v 若粘土落下后M 的振幅A '，由初始条件'==v v 00,0x
有 A m
M M
m
M k
A
m
M kM x A +=
++=+='200)(ωv A A <'
此时系统能量为 E m
M M kA m M M A m M M k A k E +=+=+='=
'22212121 2
2
1kA E =
为粘土未落下时系统的能量，
11-11 在光滑的桌面上，有倔强系数分别为1k 与2k 的两个弹簧以及质量为
m 的物体，构成两种弹簧振子，如图所示，试求这两种系统的固有角频率。
题11—11图
解：（1）由图)(b 所示，设弹簧原长分别为1l 、2l ，平衡时弹簧的伸长量分别为1l ?和2l ?，如不计物体尺寸。则
L l l l l =?++?+2211 2211l k l k ?=?
以平衡点O 为坐标原点，x 轴向右建立坐标系，当小球向x 轴正向移动x 时， 物体受力
)()(221121x l k x l k f f f -?++?-=+=
由于221l k l k ?=?， 因而=f x k k )(21+-
物体运动方程为 2221)(dt
x
d m x k k =+-
题11-11图
02
12
2=++x m k k dt
x d 物体作简谐振动，振动角频率为 m
k k 2
1+=
ω 其周期为 2
122k k m
T +==
π
ω
π
（2）由图)(c 所示，以物体不受力，弹簧自然伸长时，物体位置为原点建立坐标系。当物体在位移x 处时，若弹簧1k 的伸长为1x ?，弹簧2k 的伸长为2x ?，
则
x x x =?+?21 2211x k x k ?=?
解得 x k k k x 2121+=
? x k k k x 2
11
2+=?
物体受力 x k k k k x k f 2
12
122+-
=?-= 物体的运动方程为 222121)(dt
x
d m x k k k k =+-
0)
(212122=++x k k m k k dt x d 物体同样作简谐振动，振动角频率为
)
(212
1k k m k k +=
ω
振动周期为2
121)
(22k k k k m T +==
π
ω
π
11-12 如图所示，轻质弹簧的一端固定，另一端系一轻绳，轻绳绕过滑轮连接一质量m 的物体，绳在轮上不打滑，使物体上下自由振动，已知弹簧的倔强系数为k ，滑轮的半径为R ，转动惯量为J （1）证明物体作简谐振动 （2）求物体的振动周期题
（3）设0=t ，弹簧无伸缩，物体也无初速度，写出物体的振动表达式。
解：（1）以系统静止时，物体m 的位置为坐标原点，坐标轴垂直向下建立坐标系，设此时弹簧伸长为1x ,由牛顿运动定律有
01=-T mg 021=-R T R T 12kx T =
可得 1kx mg =
11-12图
k
mg
x =
1 题11-12图 当物体在x 处时，物体和滑轮的运动方程为
221dt
x
d m T mg =- ①
βJ R T R T =-21 ② )(12x x k T += ③ βR dt
x
d =2
2 ④ 解方程①-②，可得)()(1222x x k mg dt
x
d m R J +-=+
由于1kx mg =
kx dt
x
d m R J -=+222)( 0222=++x R
J m k dt x d 由此证明物体做简谐振动。 （2） 振动圆频率为 2
R J m k
+=
ω
物体振动周期为 k
R J m T 2
22+==π
ωπ
（3） 设振动方程为 )cos(0?ω+=t A x 其中 2
R
J m k
+=
ω 由初始条件，0=t 时，k
mg
x x -=-==100,0v 有 k
mg
x x x A =
==+
=1020
20
ω
v 1cos 0-=? π?=0
物体振动表达式为 )cos(2π++=
t R
J m k k mg x 11-13 如图所示，一长为l 、质量为m 的均匀细棒，用两根长L 的细绳分别拴在棒的两端，把棒悬挂起来，若棒绕通过中心的竖直轴O O '作小角度的摆动，试确定其周期。
解：细棒受力分析如图所示。将绳中张力分解，在竖直方向上有
mg F =θcos 2 ①
在水平方向上的分力构成一对力偶，力矩的大小为
θsin Fl M = ②
结合①式有 θtan 2
1
mgl M =
③
题11-13图
力矩的方向与细棒角位移方向相反，由定轴转动定律
βJ M = ④
有 22tan 21dt
d J mgl ?
θ=- ⑤
在小角度近似下有θθ≈tan ?θ2
l
L ≈
代入⑤式有 22221dt
d J L l mgl ?
?=?-
细棒绕中心轴转动惯量 212
1
ml J =
0411212
22
2=+??mgl L dt
d ml 0322=+??L g
t
d d
振动角频率为 L
g 3=
ω 振动周期为g
L T 322π
ω
π
==
11-14 在简谐振动中，当位移为振幅的一半时，总能量中有多大一部分为动能，多大一部分为势能在多大位移处动能与势能相等
解：在简谐振动中物体总能量
2222
1
2121kA kx m E =+=
v 其中A 为振幅 当2A x =
时 E kA A k E p 4
1
2141)2(2122=?== p k E E E -=E kA kA kA 4
3
21434121222=?=-=
即总能量中有43为动能，41为势能。 若p k E E =，由于E E E p k =+ 故 22
1
2121kA E E E k p ?==
= 这时若物体位移为1x ，则2212
1
2121kA kx ?=，
12x A =±
即在位移±
11-15 两个同方向的简谐振动，周期相同，振幅分别为m A 05.01=，
m A 07.02=，合成后组成一个振幅为m 09.0的简谐振动，求两个分振动的相位
差。
解：由同方向、同频率振动合成公式
??++=cos 2212
221A A A A A
有 1.007
.005.02)07.0()05.0()09.0(2cos 2
222122212=??--=--=?A A A A A ?
6184'±=? ?
11-16 一质点同时参与两个在同一直线上的简谐振动：
)62cos(04.01π+=t x )6
52cos(03.02π
-=t x
试求合振动的振幅与初相位（式中x 以m 计，t 以s 计）。
解：由 m t x )6
2cos(04.01π
+
=
m t x )6
52cos(03.02π
-
= 从矢量旋转图上可以看出，两个振动相位相反，合振幅
m m A A A 01.0)03.004.0(21=-=-=
初相位 6
10π
??=
=
合振动方程为 m t x )6
2cos(01.0π
+= （SI ）
11-17 一质点同时参与了两个同方向一维简谐振动：t ωcos 与
)2
cos(3π
ω+
t ，试求该质点合振动的振幅与初相0?。
解：由 t x ωcos 1=
)2
cos(32π
ω+=t x
有2
,3,0,12211π
??====A A
因而合振幅
题11-17图
=-++=)cos(212212
221??A A A A A 2)3(122=+
3tan 120==
A A ? 3
0π
?= 11-18 设有下列两对相互垂直的振动：
(1)t a x ωsin = t b y ωcos = (2)t a x ωcos = t b y ωsin = 试问它们的合成分别代表什么运动二者有何区别
解：由 (1)t a x ωsin = t b y ωcos = (2) t a x ωcos = t b y ωsin =
均
有
12
2
22=+b y a x
题11-19图
这代表质点是沿椭圆轨道的旋转运动。 对于（1） t a x ωsin = t b y ωcos =
当0=t 时，质点在B 点，当4T t =时，质点在A 点，质点是沿顺时针方向旋转的。
对于（2） t a x ωcos = t b y ωsin =
当0=t 时，质点在A 点，当4T t =时，质点在B 点，质点是沿逆时针方向旋转的。
11-19 质量为0.4kg 的质点同时参与互相垂直的两个振动，
0.08cos 3
6x t π
π??=+ ???
?
?? ??-=33
cos 06.0ππ
t y 式中x ，y 以m 计，t 以s 计。求： （1） 运动轨道方程
（2） 质点在任一位置所受的力
解：(1) 由 ??? ??+=63
cos 08.0ππ
t x
??? ??-=33
cos 06.0ππ
t y
消去参量t 后，可得轨道的直角坐标方程
第11章 稳恒磁场 习 题 一 选择题 11-1 边长为l 的正方形线圈，分别用图11-1中所示的两种方式通以电流I （其中ab 、cd 与正方形共面），在这两种情况下，线圈在其中心产生的磁感应强度的大小分别为：[ ] （A ）10B =，20B = （B ）10B = ，02I B l π= （C ）01I B l π= ，20B = （D ）01I B l π= ，02I B l π= 答案：C 解析：有限长直导线在空间激发的磁感应强度大小为012(cos cos )4I B d μθθπ= -，并结合右手螺旋定则判断磁感应强度方向，按照磁场的叠加原理，可计 算 01I B l π= ，20B =。故正确答案为（C ）。 11-2 两个载有相等电流I 的半径为R 的圆线圈一个处于水平位置，一个处于竖直位置，两个线圈的圆心重合，如图11-2所示，则在圆心O 处的磁感应强度大小为多少? [ ] （A ）0 （B ）R I 2/0μ （C ）R I 2/20μ （D ）R I /0μ 答案：C 解析：圆线圈在圆心处的磁感应强度大小为120/2B B I R μ==，按照右手螺旋定 习题11-1图 习题11-2图
则判断知1B 和2B 的方向相互垂直，依照磁场的矢量叠加原理，计算可得圆心O 处的磁感应强度大小为0/2B I R =。 11-3 如图11-3所示，在均匀磁场B 中，有一个半径为R 的半球面S ，S 边线所在平面的单位法线矢量n 与磁感应强度B 的夹角为α，则通过该半球面的磁通量的大小为[ ] （A ）B R 2π （B ）B R 22π （C ）2cos R B πα （D ）2sin R B πα 答案：C 解析：通过半球面的磁感应线线必通过底面，因此2cos m B S R B παΦ=?= 。故正 确答案为（C ）。 11-4 如图11-4所示，在无限长载流直导线附近作一球形闭合曲面S ，当曲面S 向长直导线靠近时，穿过曲面S 的磁通量Φ B 将如何变化？[ ] （ A ）Φ增大， B 也增大 （B ）Φ不变，B 也不变 （ C ）Φ增大，B 不变 （ D ）Φ不变，B 增大 答案：D 解析：根据磁场的高斯定理0S BdS Φ==? ，通过闭合曲面S 的磁感应强度始终为0，保持不变。无限长载流直导线在空间中激发的磁感应强度大小为02I B d μπ= ，曲面S 靠近长直导线时，距离d 减小，从而B 增大。故正确答案为（D ）。 11-5下列说法正确的是[ ] (A) 闭合回路上各点磁感应强度都为零时，回路内一定没有电流穿过 (B) 闭合回路上各点磁感应强度都为零时，回路内穿过电流的代数和必定为零 (C) 磁感应强度沿闭合回路的积分为零时，回路上各点的磁感应强度必定为零 (D) 磁感应强度沿闭合回路的积分不为零时，回路上任意一点的磁感应强度 I 习题11-4图 习题11-3图
第16章 原子核物理 一、选择题 1. C 2. B 3. D 4. C 5. C 6. D 7. A 8. D 二、填空题 1. 171076.1?，13 1098.1? 2. 2321)(c m m m -+ 3. 1.35放能 4. 9102.4? 5. 117.8 6. 2321`c h m m m -+ 7 . 67.5MeV ，67.5MeV/c ，22 1036.1?Hz 8. 121042.2-? 9. 1.49MeV 10. 115kg 三、填空题 1. 解：设从t =0开始做实验，总核子数为N 0，到刻核子数为N 由于实验1.5年只有3个铁核衰变，所以 1<<τt ，)1(0τ t N N -≈ t =0时，铁核总数为 31274 0106.310 66.1104.6?=??=-N t =1.5年时，铁核总数为 )1(300τ t N N N -≈-=由此解得 3131 00108.15.13 106.3?=??=-=t N N N τ年
设半衰期为T ，则当t =T 时有2/0N N =，由τ/0e t N N =得τ/e 2 1T = 所以， 31 311025.1693.0108.12ln ?=??==τT 年 2. 解：设氢核和氮核的质量分别为N H m m 、，被未知粒子碰撞后速度分别为v H 和v N ； 未知粒子的质量为m , 碰撞前速度为v ，与氢核碰撞后为v 1，与氮核碰撞后为v 2 未知粒子与氢核完全弹性碰撞过程满足关系 H H 1v m mv mv += 2H H 2122 12121v m mv mv += 未知粒子与氮核完全弹性碰撞过程满足关系 N N 2v m mv mv += ● 2N N 2122 12121v m mv mv += ? 联立 ~?得 2 N N 2 H H N H )()(m m m m m m E E ++= 带入数据，可解得 03.1H =m m 由其质量比值可知，未知粒子的质量与氢核的质量十分接近，另由于它在任意方向的磁场中都不偏转，说明它不带电．由此判断该新粒子是中子． 3. 解：与第一组α粒子相对应的衰变能为 α1α12264.793MeV 4.879MeV 4222 A E K A ==?=- 与第二组α粒子相对应的衰变能为 α2α2 2264.612MeV 4.695MeV 4222A E K A ==?=- 226 86Rn 的两能级差为 ()α1α2 4.879 4.695MeV 0.184MeV E E E ?=-=-= 光子的能量与此两能级差相对应，所以光子的频率为 619 19340.18410 1.60218910Hz 4.4510Hz 6.62610 E h ν--????===??
一牛顿环的各环是否等宽?密度是否均匀?解释原因? 因为环是由空气劈上下表面反射的两束光叠加干涉形成的。劈的上表面变化在横向是不均匀的，故光程差也不是均匀变化的。所以各环是不等宽的环的密度也不是均匀的。各环不等宽，半径小的环宽，越到外边越窄，密度是不均匀的,牛顿环的半径公式是：半径r等于根号下(m+1/2)λR，其中m为环的级数。从公式可以看出，半径和环数并不是线性关系，这样环自然不均匀。计算可以知道，越往外环越密。 二牛顿环的干涉圆环是由哪两束相干光干涉产生的? 半凸透镜下表面和下底面上表面的两束反射光 三电桥由哪几部分组成?电桥平衡的条件? 由电源、开关、检流计桥臂电阻组成。 平衡条件是Rx=(R1/R2)R3 四接通电源后,检流计指针始终向一边偏转,试分析出现这种情况的原因? 指针向一侧偏转就说明发生了电子的定向移动了，这个应该没问题。 指针不偏转，有2种情况吧，其1呢是整个电路发生了断路或其他故障，还1种情况则是流过的电流太小，不足于使电表发生偏转或其偏转的角度肉眼根本看不到。 无论如何调节，检流计指针都不动，电路中可能出现故障是调节臂电阻断路或短路。。无论如何调节，检流计指针始终像一边偏而无法平衡，电路中有可能出现故障是有一个臂（非调节臂）的电阻坏了。（断路或短路） 五什么叫铁磁材料的磁滞现象? 铁磁物质经外磁场磁化到饱和以后，把磁场去掉。这些物质仍保留有剩余磁化强度。需要反方向加磁场才能把这剩余磁化强度变为零。这种现象称为铁磁的磁滞现象。也是说，铁磁材料的磁状态，不仅要看它现在所处的磁场条件；而且还要看它过去的状态。 六如何判断铁磁材料属于软.硬材料? 软磁材料的特点是：磁导率大，矫顽力小，磁滞损耗小，磁滞回线呈长条状；硬磁材料的特点是：剩磁大，矫顽力也大 用光栅方程进行测量的条件是什么? 条件是一束平行光垂直射入光栅平面上，光波发生衍射，即可用光栅方程进行计算。如何实现：使用分光计，光线通过平行光管射入，当狭缝位于透镜的焦平面上时，就能使射在狭缝上的光经过透镜后成为平行光 用光栅方程进行测量,当狭缝太窄或者太宽会怎么样?为什么? 缝太窄，入射光的光强太弱，缝太宽，根据光的空间相干性可以知道，条纹的明暗对比度会下降！ 区别是，太窄了，亮纹会越来越暗，暗纹不变，直到一片黑暗！ 太宽，暗条纹会逐渐加强，明纹不变，直到一片光明！
习题八 8-1 电量都是q的三个点电荷，分别放在正三角形的三个顶点．试问：(1)在这三角形的中心放一个什么样的电荷，就可以使这四个电荷都达到平衡(即每个电荷受其他三个电荷的库仑力之和都为零)?(2)这种平衡与三角形的边长有无关系? 解: 如题8-1图示 (1) 以A处点电荷为研究对象，由力平衡知：q'为负电荷 2 2 2 0) 3 3 ( π4 1 30 cos π4 1 2 a q q a q' = ? ε ε 解得q q 3 3 - =' (2)与三角形边长无关． 题8-1图题8-2图 8-7 一个半径为R的均匀带电半圆环，电荷线密度为λ,求环心处O点的场强． 解: 如8-7图在圆上取? Rd dl= 题8-7图 ? λ λd d d R l q= =，它在O点产生场强大小为
2 0π4d d R R E ε? λ= 方向沿半径向外 则 ??ελ ?d sin π4sin d d 0R E E x = = ??ελ ?πd cos π4)cos(d d 0R E E y -= -= 积分R R E x 000 π2d sin π4ελ ??ελπ == ? 0d cos π400 =-=? ??ελ π R E y ∴ R E E x 0π2ελ = =，方向沿x 轴正向． 8-11 半径为1R 和2R (2R ＞1R )的两无限长同轴圆柱面，单位长度上分别带有电量λ和-λ,试求:(1)r ＜1R ；(2) 1R ＜r ＜2R ；(3) r ＞2R 处各点的场强． 解: 高斯定理0 d ε∑? = ?q S E s 取同轴圆柱形高斯面，侧面积rl S π2= 则 rl E S E S π2d =?? 对(1) 1R r < 0,0==∑E q (2) 21R r R << λl q =∑ ∴ r E 0π2ελ = 沿径向向外
第十章 静电场中的导体与电介质 10－1将一个带正电的带电体A 从远处移到一个不带电的导体B 附近，则导体B 的电势将（ ） （A ）升高 （B ）降低（C ）不会发生变化 （D ）无法确定 分析与解不带电的导体B 相对无穷远处为零电势.由于带正电的带电体A 移到不带电的导体B 附近时，在导体B 的近端感应负电荷；在远端感应正电荷，不带电导体的电势将高于无穷远处，因而正确答案为（A ）. 10－2将一带负电的物体M 靠近一不带电的导体N ，在N 的左端感应出正电荷，右端感应出负电荷.若将导体N 的左端接地（如图所示），则（ ） （A ）N 上的负电荷入地 （B ）N 上的正电荷入地 （C ）N 上的所有电荷入地（D ）N 上所有的感应电荷入地 题 10-2 图 分析与解导体N 接地表明导体N 为零电势，即与无穷远处等电势，这与导体N 在哪一端接地无关.因而正确答案为（A ）. 10－3如图所示将一个电量为q 的点电荷放在一个半径为R 的不带电的导体球附近，点电荷距导体球球心为d ，参见附图.设无穷远处为零电势，则在导体球球心O 点有（ ） （A ）d εq V E 0π4,0= =（B ）d εq V d εq E 02 0π4,π4== （C ）0,0==V E （D ）R εq V d εq E 020π4,π4== 题 10-3 图
分析与解达到静电平衡时导体内处处各点电场强度为零.点电荷q 在导 体球表面感应等量异号的感应电荷±q′，导体球表面的感应电荷±q′在球心O 点激发的电势为零，O 点的电势等于点电荷q 在该处激发的电势.因而正确答案为（A ）. 10－4根据电介质中的高斯定理，在电介质中电位移矢量沿任意一个闭合曲面的积分等于这个曲面所包围自由电荷的代数和.下列推论正确的是( ) （A ）若电位移矢量沿任意一个闭合曲面的积分等于零，曲面内一定没有自由电荷 （B ）若电位移矢量沿任意一个闭合曲面的积分等于零，曲面内电荷的代数和一定等于零 （C ）若电位移矢量沿任意一个闭合曲面的积分不等于零，曲面内一定有极化电荷 （D ）介质中的高斯定律表明电位移矢量仅仅与自由电荷的分布有关 （E ）介质中的电位移矢量与自由电荷和极化电荷的分布有关 分析与解电位移矢量沿任意一个闭合曲面的通量积分等于零，表明曲面 内自由电荷的代数和等于零；由于电介质会改变自由电荷的空间分布，介质中的电位移矢量与自由电荷与位移电荷的分布有关.因而正确答案为（E ）. 10－5对于各向同性的均匀电介质，下列概念正确的是（ ） （A ）电介质充满整个电场并且自由电荷的分布不发生变化时，电介质中的电场强度一定等于没有电介质时该点电场强度的1/εｒ倍 （B ）电介质中的电场强度一定等于没有介质时该点电场强度的1/εｒ倍 （C ）在电介质充满整个电场时，电介质中的电场强度一定等于没有电介质时该点电场强度的1/εｒ倍 （D ）电介质中的电场强度一定等于没有介质时该点电场强度的εｒ倍 分析与解电介质中的电场由自由电荷激发的电场与极化电荷激发的电场迭加而成，由于极化电荷可能会改变电场中导体表面自由电荷的分布，由电介质中的高斯定理，仅当电介质充满整个电场并且自由电荷的分布不发生变化时，在电介质中任意高斯面S 有 ()∑??=?=?+i i S S ε χq 0 1 d d 1S E S E 即E ＝E ０/εｒ，因而正确答案为（A ）. 10－6不带电的导体球A 含有两个球形空腔，两空腔中心分别有一点电荷q b 、q c ，导体球外距导体球较远的r 处还有一个点电荷q d （如图所示）.试求点电荷q b 、q c 、q d 各受多大的电场力.
实验一霍尔效应及其应用 【预习思考题】 1．列出计算霍尔系数、载流子浓度n、电导率σ及迁移率μ的计算公式，并注明单位。 霍尔系数，载流子浓度，电导率，迁移率。 2．如已知霍尔样品的工作电流及磁感应强度B的方向，如何判断样品的导电类型？ 以根据右手螺旋定则，从工作电流旋到磁感应强度B确定的方向为正向，若测得的霍尔电压为正，则样品为P型，反之则为N型。 3．本实验为什么要用3个换向开关？ 为了在测量时消除一些霍尔效应的副效应的影响，需要在测量时改变工作电 流及磁感应强度B的方向，因此就需要2个换向开关；除了测量霍尔电压，还要测量A、C间的电位差，这是两个不同的测量位置，又需要1个换向开关。总之，一共需要3个换向开关。 【分析讨论题】 1．若磁感应强度B和霍尔器件平面不完全正交，按式（5.2-5）测出的霍尔系数比实际值大还是小？要准确测定值应怎样进行？ 若磁感应强度B和霍尔器件平面不完全正交，则测出的霍尔系数比实际值偏小。要想准确测定，就需要保证磁感应强度B和霍尔器件平面完全正交，或者设法测量出磁感应强度B和霍尔器件平面的夹角。 2．若已知霍尔器件的性能参数，采用霍尔效应法测量一个未知磁场时，测量误差有哪些来源？ 误差来源有：测量工作电流的电流表的测量误差，测量霍尔器件厚度d的长度测量仪器的测量误差，测量霍尔电压的电压表的测量误差，磁场方向与霍尔器件平面的夹角影响等。 实验二声速的测量 【预习思考题】 1. 如何调节和判断测量系统是否处于共振状态？为什么要在系统处于共振的条件下进行声速测定？ 答：缓慢调节声速测试仪信号源面板上的“信号频率”旋钮，使交流毫伏表指针指示达到最大（或晶体管电压表的示值达到最大），此时系统处于共振状态，显示共振发生的信号指示灯亮，信号源面板上频率显示窗口显示共振频率。在进行声速测定时需要测定驻波波节的位置，当发射换能器S1处于共振状态时，发射的超声波能量最大。若在这样一个最佳状态移动S1至每一个波节处，媒质压缩形变最大，则产生的声压最大，接收换能器S2接收到的声压为最大，转变成电信号，晶体管电压表会显示出最大值。由数显表头读出每一个电压最大值时的位置，即对应的波节位置。因此在系统处于共振的条件下进行声速测定，可以容易和准确地测定波节的位置，提高测量的准确度。 2. 压电陶瓷超声换能器是怎样实现机械信号和电信号之间的相互转换的？ 答：压电陶瓷超声换能器的重要组成部分是压电陶瓷环。压电陶瓷环由多晶结构的压电材料制成。这种材料在受到机械应力，发生机械形变时，会发生极化，同时在极化方向产生电场，这种特性称为压电效应。反之，如果在压电材料上加交
习题11 1. 选择题 (1) 一圆形线圈在均匀磁场中作下列运动时, 哪些情况会产生感应电流( ) A. 沿垂直磁场方向平移 B. 以直径为轴转动, 轴跟磁场垂直 C. 沿平行磁场方向平移 D. 以直径为轴转动, 轴跟磁场平行 (2) 尺寸相同的铁环与铜环所包围的面积中, 通以相同变化率的磁通量, 环中( ) A. 感应电动势相同, 感应电流不同. B. 感应电动势相同, 感应电流相同. C. 感应电动势不同, 感应电流相同. D. 感应电动势不同. (3) 对于涡旋电场, 下列说法不正确的是( ) A. 涡旋电场对电荷有作用力. B. 涡旋电场由变化的磁场产生. C. 涡旋电场由电荷激发. D. 涡旋电场的电场线是闭合的. (4) 用线圈的自感系数L 来表示载流线圈磁场能量的公式2 12 m W LI =( ) A. 只适用于单匝圆线圈. B. 只适用于一个匝数很多, 且密绕的螺线环. C. 适用于自感系数L 一定的任意线圈. D. 只适用于无限长密绕螺线管. (5) 有两个长直密绕螺线管, 长度及线圈匝数均相同, 半径分别为1r 和2r . 管内充满均匀介质, 其磁导率分别为1μ和2μ. 设1212r r =, 1221μμ=, 当将两只螺线管串联在电路中通电稳定后, 其自感系数之比12L L 与磁能之比12m m W W 分别为( ) A. 1211L L =, 1211m m W W =. B. 1212L L =, 1211m m W W =. C. 1212L L =, 1212m m W W =. D. 1221L L =, 1221m m W W =. 答案：B A C D C 2. 填空题 (1) 电阻2R =Ω的闭合导体回路置于变化磁场中, 通过回路包围面的磁通量与时间的关系 为23 (582)10()m t t Wb -Φ=+-?, 则在2t s =至3t s =的时间内, 流过回路导体横截面 的感应电荷等于______________C .
第十章 静电场中的导体与电介质 10－1 将一个带正电的带电体A 从远处移到一个不带电的导体B 附近，则导体B 的电势将（ ） （A ） 升高 （B ） 降低 （C ） 不会发生变化 （D ） 无法确定 分析与解 不带电的导体B 相对无穷远处为零电势.由于带正电的带电体A 移到不带电的导体B 附近时，在导体B 的近端感应负电荷；在远端感应正电荷，不带电导体的电势将高于无穷远处，因而正确答案为（A ）. 10－2 将一带负电的物体M 靠近一不带电的导体N ，在N 的左端感应出正电荷，右端感应出负电荷.若将导体N 的左端接地（如图所示），则（ ） （A ） N 上的负电荷入地 （B ）N 上的正电荷入地 （C ） N 上的所有电荷入地 （D ）N 上所有的感应电荷入地 题 10-2 图 分析与解 导体N 接地表明导体N 为零电势，即与无穷远处等电势，这与导体N 在哪一端接地无关.因而正确答案为（A ）. 10－3 如图所示将一个电量为q 的点电荷放在一个半径为R 的不带电的导体球附近，点电荷距导体球球心为d ，参见附图.设无穷远处为零电势，则在导体球球心O 点有（ ） （A ）d εq V E 0π4,0= = （B ）d εq V d εq E 02 0π4,π4== （C ）0,0==V E （D ）R εq V d εq E 020π4,π4= = 题 10-3 图
分析与解 达到静电平衡时导体内处处各点电场强度为零.点电荷q 在导 体球表面感应等量异号的感应电荷±q′，导体球表面的感应电荷±q′在球心O 点激发的电势为零，O 点的电势等于点电荷q 在该处激发的电势.因而正确答案为（A ）. 10－4 根据电介质中的高斯定理，在电介质中电位移矢量沿任意一个闭合曲面的积分等于这个曲面所包围自由电荷的代数和.下列推论正确的是( ) （A ） 若电位移矢量沿任意一个闭合曲面的积分等于零，曲面内一定没有自由电荷 （B ） 若电位移矢量沿任意一个闭合曲面的积分等于零，曲面内电荷的代数和一定等于零 （C ） 若电位移矢量沿任意一个闭合曲面的积分不等于零，曲面内一定有极化电荷 （D ） 介质中的高斯定律表明电位移矢量仅仅与自由电荷的分布有关 （E ） 介质中的电位移矢量与自由电荷和极化电荷的分布有关 分析与解 电位移矢量沿任意一个闭合曲面的通量积分等于零，表明曲面 内自由电荷的代数和等于零；由于电介质会改变自由电荷的空间分布，介质中的电位移矢量与自由电荷与位移电荷的分布有关.因而正确答案为（E ）. 10－5 对于各向同性的均匀电介质，下列概念正确的是（ ） （A ） 电介质充满整个电场并且自由电荷的分布不发生变化时，电介质中的电场强度一定等于没有电介质时该点电场强度的1/εｒ倍 （B ） 电介质中的电场强度一定等于没有介质时该点电场强度的1/εｒ倍 （C ） 在电介质充满整个电场时，电介质中的电场强度一定等于没有电介质时该点电场强度的1/εｒ倍 （D ） 电介质中的电场强度一定等于没有介质时该点电场强度的εｒ倍 分析与解 电介质中的电场由自由电荷激发的电场与极化电荷激发的电场迭加而成，由于极化电荷可能会改变电场中导体表面自由电荷的分布，由电介质中的高斯定理，仅当电介质充满整个电场并且自由电荷的分布不发生变化时，在电介质中任意高斯面S 有 ()∑??=?=?+i i S S ε χq 0 1 d d 1S E S E 即E ＝E ０/εｒ，因而正确答案为（A ）. 10－6 不带电的导体球A 含有两个球形空腔，两空腔中心分别有一点电荷q b 、q c ，导体球外距导体球较远的r 处还有一个点电荷q d （如图所示）.试求点电荷q b 、q c 、q d 各受多大的电场力.
（1）利用f=(D+d)(D-d)/4D 测量凸透镜焦距有什么优点？ 答这种方法可以避免透镜光心位置得不确定而带来得测量物距与像距得误差。 （2）为什么在本实验中利用1/u+1/v=1/f 测焦距时，测量u与v都用毫米刻度得米尺就可以满足要求？设透镜由于色差与非近轴光线引起得误差就是1％。 答设物距为20cm，毫米刻度尺带来得最大误差为0、5mm，其相对误差为 0、25％，故没必要用更高精度得仪器。 （3）如果测得多组u，v值，然后以u+v为纵轴，以uv为横轴，作出实验得曲线属于什么类型，如何利用曲线求出透镜得焦距f。 答直线；1/f为直线得斜率。 （4）试证：在位移法中，为什么物屏与像屏得间距D要略大于4f？ 由f=(D+d)(D-d)/4D →D2-4Df=d2→D(D-4f)=d2 因为d>0 and D>0 故 D>4f 1、避免测量u、ν得值时，难于找准透镜光心位置所造成得误差。 2、因为实验中，侧得值u、ν、f都相对较大，为十几厘米到几十厘米左右，而误差为1%，即一毫米到几毫米之间，所以可以满足要求。 3、曲线为曲线型曲线。透镜得焦距为基斜率得倒数。 ①当缝宽增加一倍时,衍射光样得光强与条纹宽度将会怎样变化?如缝宽减半,又怎样改变? 答: a增大一倍时, 光强度↑；由a=Lλ/b ，b减小一半 a减小一半时, 光强度↓；由a=Lλ/b ，b增大一倍。 ②激光输出得光强如有变动,对单缝衍射图象与光强分布曲线有无影响?有何影响? 答:由b=Lλ/a、无论光强如何变化,只要缝宽不变,L不变,则衍射图象得光强分布曲线不变(条纹间距b不变)；整体光强度↑或者↓。
③用实验中所应用得方法就是否可测量细丝直径？其原理与方法如何？ 答：可以，原理与方法与测单狭缝同。 ④本实验中，λ=632。8nm ,缝宽约为5*10^-3㎝,屏距L 为50㎝。试验证： 就是否满足夫朗与费衍射条件？ 答：依题意： L λ=（50*10^-2）*（632、8*10^-9）=3、164*10^-7 a^2/8=(5*10^-5)^2/8=3、1*10^-10 所以L λ<
第11章 电磁感应 11.１ 基本要求 １理解电动势的概念。 ２掌握法拉第电磁感应定律和楞次定律，能熟练地应用它们来计算感应电动势的大小，判别感应电动势的方向。 ３理解动生电动势的概念及规律，会计算一些简单问题中的动生电动势。 ４理解感生电场、感生电动势的概念及规律，会计算一些简单问题中的感生电动势。 ５理解自感现象和自感系数的定义及物理意义，会计算简单回路中的自感系数。 ６理解互感现象和互感系数的定义及物理意义，能计算简单导体回路间的互感系数。 ７理解磁能（磁场能量）和磁能密度的概念，能计算一些简单情况下的磁场能量。 ８了解位移电流的概念以及麦克斯韦方程组（积分形式）的物理意义。 11.２ 基本概念 １电动势ε：把单位正电荷从负极通过电源内部移到正极时，非静电力所作的功，即 W q ε= ２动生电动势：仅由导体或导体回路在磁场中的运动而产生的感应电动势。 ３感生电场k E ：变化的磁场在其周围所激发的电场。与静电场不同，感生电场的电 场线是闭合的，所以感生电场也称有旋电场。 ４感生电动势：仅由磁场变化而产生的感应电动势。 ５自感：有使回路保持原有电流不变的性质，是回路本身的“电磁惯性”的量度。 自感系数L ：//m L I N I =ψ=Φ ６自感电动势L ε：当通过回路的电流发生变化时，在自身回路中所产生的感应电动势。
７互感系数M ：2112 12 M I I ψψ= = ８互感电动势12ε：当线圈２的电流2I 发生变化时，在线圈１中所产生的感应电动势。 ９磁场能量m W ：贮存在磁场中的能量。 自感贮存磁能：212 m W LI = 磁能密度m w ：单位体积中贮存的磁场能量22111 222 m B w μH HB μ=== １０位移电流：D d d I dt Φ= s d t ?=??D S ，位移电流并不表示有真实的电荷在空 间移动。但是，位移电流的量纲和在激发磁场方面的作用与传导电流是一致的。 １１位移电流密度：d t ?=?D j 11.３ 基本规律 １电磁感应的基本定律：描述电磁感应现象的基本规律有两条。 （１）楞次定律：感生电流的磁场所产生的磁通量总是反抗回路中原磁通量的改变。楞 次定律是判断感应电流方向的普适定则。 （２）法拉第电磁感应定律：不论什么原因使通过回路的磁通量（或磁链）发生变化，回路 中均有感应电动势产生，其大小与通过该回路的磁通量（或磁链）随时间的变化成正比，即 m i d dt εΦ=- ２动生电动势：()B B K A A i εd d ==???E l v B l ，若0i ε>,则表示电动势方向由A B →;若 0i ε<,则表示电动势方向B A → ３感生电动势：m K l s i d Φd εd d dt dt = ?=- =-? ?B E l S （对于导体回路） B K A i εd =?E l （对于一段导体） ４自感电动势：L dI εL dt =- ５互感电动势：12212d ΨdI εM dt dt =-=- ６麦克斯韦方程组
第十章 10-1 无限长直线电流的磁感应强度公式为B ＝μ0I 2πa ，当场点无限接近于导线时(即 a →0)，磁感应强度B →∞，这个结论正确吗？如何解释？ 答：结论不正确。公式a I B πμ20=只对理想线电流适用，忽略了导线粗细，当a →0， 导线的尺寸不能忽略，电流就不能称为线电流，此公式不适用。 10-2 如图所示，过一个圆形电流I 附近的P 点，作一个同心共面圆形环路L ，由于电流分布的轴对称，L 上各点的B 大小相等，应用安培环路定理，可得∮L B ·d l ＝0，是否可由此得出结论，L 上各点的B 均为零？为什么？ 答：L 上各点的B 不为零. 由安培环路定理 ∑?=?i i I l d B 0μρ ρ 得 0=??l d B ρ ρ，说明圆形环路L 内的电流代数和为零， 并不是说圆形环路L 上B 一定为零。 10-3 设题10-3图中两导线中的电流均为8A ，对图示的三条闭合曲线a ,b ,c ，分别写出安培环路定理等式右边电流的代数和．并讨论： (1)在各条闭合曲线上，各点的磁感应强度B ? 的大小是否相等? (2)在闭合曲线c 上各点的B ? 是否为零?为什么? 解： ?μ=?a l B 08d ? ? ? μ=?ba l B 08d ? ? ?=?c l B 0d ?? (1)在各条闭合曲线上，各点B ? 的大小不相等． (2)在闭合曲线C 上各点B ?不为零．只是B ? 的环路积分为零而非每点0=B ?． 习题10-2图
题10-3图 10-4 图示为相互垂直的两个电流元，它们之间的相互作用力是否等值、反向？由此可得出什么结论？ 答：两个垂直的电流元之间相互作用力不是等值、反向的。 B l Id F d ρρρ ?= 2 0?4r r l Id B d ?=? ?πμ 2 21 2122110221212201112)?(4?4r r l d I l d I r r l d I l d I F d ??=??=? ρ?ρρπμπμ 2 12 12112 20212121102212)?(4?4r r l d I l d I r r l d I l d I F d ??=??=? ρ?ρρπμπμ ))?()?((42 12 121221************r r l d l d r r l d l d I I F d F d ??+??-=+? ρ?ρρρπμ 2 122112 210212112221212102112) (?4))?()?((4r l d l d r I I r l d r l d l d r l d I I F d F d ?ρ? ρ?ρρρ??=?-?=+πμπμ 一般情况下 02112≠+F d F d ρ ρ 由此可得出两电流元（运动电荷）之间相互作用力一般不满足牛顿第三定律。 10-5 把一根柔软的螺旋形弹簧挂起来，使它的下端和盛在杯里的水银刚好接触，形成串联电路，再把它们接到直流电源上通以电流，如图所示，问弹簧会发生什么现象？怎样解释？ 答：弹簧会作机械振动。 当弹簧通电后，弹簧内的线圈电流可看成是同向平行 的，而同向平行电流会互相吸引，因此弹簧被压缩，下端 会离开水银而电流被断开，磁力消失，而弹簧会伸长，于是电源又接通，弹簧通电以后又被压缩……，这样不断重复，弹簧不停振动。 10-6 如图所示为两根垂直于xy 平面放置的导线俯视图，它们各载有大小为I 但方向相反的电流.求：(1)x 轴上任意一点的磁感应强 度；(2)x 为何值时，B 值最大，并给出最大值B max . 习题10-4图 r 12 r 21 习题10-5图 y
第十一章 机械振动 一、基本要求 1．掌握简谐振动的基本特征，学会由牛顿定律建立一维简谐振动的微分方程，并判断其是否谐振动。 2. 掌握描述简谐运动的运动方程)cos( 0?ω+=t A x ，理解振动位移，振幅，初位相，位相，圆频率，频率，周期的物理意义。能根据给出的初始条件求振幅和初位相。 3. 掌握旋转矢量法。 4. 理解同方向、同频率两个简谐振动的合成规律，以及合振动振幅极大和极小的条件。 二、基本内容 1. 振动 物体在某一平衡位置附近的往复运动叫做机械振动。如果物体振动的位置满足)()(T t x t x +=，则该物体的运动称为周期性运动。否则称为非周期运动。但是一切复杂的非周期性的运动，都可以分解成许多不同频率的简谐振动（周期性运动）的叠加。振动不仅限于机械运动中的振动过程，分子热运动，电磁运动，晶体中原子的运动等虽属不同运动形式，各自遵循不同的运动规律，但是就其中的振动过程讲，都具有共同的物理特征。 一个物理量，例如电量、电流、电压等围绕平衡值随时间作周期性（或准周期性）的变化，也是一种振动。 2. 简谐振动 简谐振动是一种周期性的振动过程。它可以是机械振动中的位移、速度、加速度，也可以是电流、电量、电压等其它物理量。简谐振动是最简单，最基本的周期性运动，它是组成复杂运动的基本要素，所以简谐运动的研究是本章一个重点。 （1）简谐振动表达式)cos(0?ω+=t A x 反映了作简谐振动的物体位移随时间的变化遵循余弦规律，这也是简谐振动的定义，即判断一个物体是否作简谐振动的运动学根据。但是简谐振动表达式更多地用来揭示描述一个简谐运动必须
涉及到的物理量A 、ω、0?（或称描述简谐运动的三个参量），显然三个参量确定后，任一时刻作简谐振动的物体的位移、速度、加速度都可以由t 对应地得到。 )2 cos()sin(00π ?ωω?ωω+ +=+-=t A t A v )c o s ()c o s (0202π?ωω?ωω±+=+-=t A t A a （2）简谐运动的动力学特征为：物体受到的力的大小总是与物体对其平衡位置的位移成正比、而方向相反，即kx F -=，它是判定一个系统的运动过程是否作简谐运动的动力学根据，只要受力分析满足动力学特征的，毫无疑问地系统的运动是简谐运动。这里应该注意，F 系指合力，它可以是弹性力或准弹性力。 （3）和简谐运动的动力学特征相一致的是简谐运动的运动学特征：作简谐 运动物体的加速度大小总是与其位移大小成正比、而方向相反，即x dt x d 222ω-=， 它也是物体是否作简谐运动的判据之一。只要加速度与位移大小成正比、而方向恒相反，则该物理量的变化过程就是一个简谐运动的过程。在非力学量，例如电量、电流和电压等电学量，就不易用简谐振动的动力学特征去判定，而LC 电路中的电量q 就满足q LC dt q d 1 22-=，故电量q 的变化过程就是一个简谐振荡的过程，显然用运动学的特征来判定简谐运动更具有广泛的意义。 3. 简谐振动的振幅、周期、频率和相位 （1）振幅A 是指最大位移的绝对值。A 是由初始条件来决定的，即 2 20 2 ω v + = x A 。 （2）周期T 是指完成一次完整的振动所用时间。ω π 2=T ，式中ω是简谐振 动的圆频率，它是由谐振动系统的构造来决定的，即m k =ω,ω也称为固有圆频率。对应的T 称为固有周期。v T 1 = ，式中v 称为频率（即固有频率），它与圆频率的关系2v ωπ=，是由系统本身决定的。
大学物理学下册 吴柳 第12章 12.1 一个封闭的立方体形的容器,内部空间被一导热的、不漏气的、可移动的隔板分为两部分,开始其内为真空,隔板位于容器的正中间(即隔板两侧的长度都为l 0),如图12-30所示.当两侧各充以p 1,T 1与 p 2,T 2的相同气体后, 长度之比是多少)? 解: 活塞两侧气体的始末状态满足各自的理想气体状态方程 左侧: T pV T V p 111= 得, T pT V p V 1 11= 右侧: T pV T V p 222= 得, T pT V p V 2 22= 122121T p T p V V = 即隔板两侧的长度之比 1 22121T p T p l l = 12.2 已知容器内有某种理想气体,其温度和压强分别为T =273K,p =1.0×10-2 atm ,密度32kg/m 1024.1-?=ρ.求该气体的摩尔质量. 解: nkT p = (1) nm =ρ (2) A mN M = (3) 由以上三式联立得: 1235 2232028.010022.610 013.1100.12731038.11024.1----?=?????????==mol kg N p kT M A ρ 12.3 可用下述方法测定气体的摩尔质量:容积为V 的容器内装满被试验的气体,测出其压力为p 1,温度为T ,并测出容器连同气体的质量为M 1,然后除去一部分气体,使其压力降为p 2,温度不变,容器连同气体的质量为M 2,试求该气体的摩尔质量. 解： () V V -2 2p T )(21M M - V 1p T 1M V 2p T 2M 221V p V p = (1) ( )()RT M M M V V p 21 22-=- (2)
大学物理实验课后答案 Final revision by standardization team on December 10, 2020.
（1）利用f=(D+d)(D-d)/4D 测量凸透镜焦距有什么优点 答这种方法可以避免透镜光心位置的不确定而带来的测量物距和像距的误差。（2）为什么在本实验中利用1/u+1/v=1/f 测焦距时，测量u和v都用毫米刻度的米尺就可以满足要求设透镜由于色差和非近轴光线引起的误差是1％。 答设物距为20cm，毫米刻度尺带来的最大误差为，其相对误差为％，故没必要用更高精度的仪器。 （3）如果测得多组u，v值，然后以u+v为纵轴，以uv为横轴，作出实验的曲线属于什么类型，如何利用曲线求出透镜的焦距f。 答直线；1/f为直线的斜率。 （4）试证：在位移法中，为什么物屏与像屏的间距D要略大于4f 由f=(D+d)(D-d)/4D → D2-4Df=d2→ D(D-4f)=d2 因为d>0 and D>0 故D>4f 1.避免测量u、ν的值时，难于找准透镜光心位置所造成的误差。 2.因为实验中，侧的值u、ν、f都相对较大，为十几厘米到几十厘米左右，而误差为1%，即一毫米到几毫米之间，所以可以满足要求。 3.曲线为曲线型曲线。透镜的焦距为基斜率的倒数。 ①当缝宽增加一倍时,衍射光样的光强和条纹宽度将会怎样变化如缝宽减半,又怎样改变 答: a增大一倍时, 光强度↑；由a=Lλ/b ，b减小一半 a减小一半时, 光强度↓；由a=Lλ/b ，b增大一倍。 ②激光输出的光强如有变动,对单缝衍射图象和光强分布曲线有无影响有何影响 答:由b=Lλ/a.无论光强如何变化,只要缝宽不变,L不变,则衍射图象的光强分布曲线不变 (条纹间距b不变)；整体光强度↑或者↓。 ③用实验中所应用的方法是否可测量细丝直径其原理和方法如何 答：可以，原理和方法与测单狭缝同。 ④本实验中，λ=632。8nm,缝宽约为5*10^-3㎝,屏距L为50㎝。试验证： 是否满足夫朗和费衍射条件 答：依题意： Lλ=（50*10^-2）*（*10^-9）=*10^-7 a^2/8=(5*10^-5)^2/8=*10^-10 所以Lλ< 习 题 11-1 面积很大的导体平板A 与均匀带电平面B 平行放置，如习题11-1图所示。已知A 与B 相距d ，两者相对的部分的面积为S 。(1)设B 面带电量为q ，A 板的面电荷密度为1s 及2s ，求A 板与B 面之电势差。(2)若A 板带电量为Q ，求1s 及2s 。 (1)d S q U 0 212/εσσ-+= ； （2）S q Q 21+=σ，S q Q 22-=σ 习题11-1图 习题11-2图 习题11-3图 11-2 如习题11-2图所示，有三块互相平行的导体板，外面的两块用导线连接，原来不带电。中间一块上所带总面电荷密度为521310.C m --醋。求每块板的两个表面的面电荷密度各 是多少？ （忽略边缘效应。） 解：从上到下6个面一次为面1、2、3、4、5、6. 2 61σ σσ= =，8323σσσ= -=，8 554σ σσ=-= 11-3 如习题11-3图所示，半径为1R 的导体球带有电荷q ，球外有一个内、外半径为2R 、3R 的同心导体球壳，壳上带有电荷Q 。求：(1)两球的电势1j 及2j ；(2)两球的电势差j D ；(3)用导线把球和壳连接在一起后，1j ，2j 及j D 分别为多少？ (4)在情形(1)、(2)中，若外球接地，1j ，2j 和j D 为多少？(5)设外球离地面很远，若内球接地，情况如何？ 解：（1）3 024R Q q πε?+= ，2010301444R q R q R Q q πεπεπε?- ++=； (2)两球的电势差2 01 044R q R q U πεπε- = ； (3) 3 0214R Q q πε??+= =，0=U ； 习题9 9.1选择题 (1)正方形的两对角线处各放置电荷Q，另两对角线各放置电荷q，若Q所受到合力为零， 则Q与q的关系为：（） （A）Q=-23/2q (B) Q=23/2q (C) Q=-2q (D) Q=2q [答案：A] (2)下面说法正确的是：（） （A）若高斯面上的电场强度处处为零，则该面内必定没有净电荷； （B）若高斯面内没有电荷，则该面上的电场强度必定处处为零； （C）若高斯面上的电场强度处处不为零，则该面内必定有电荷； （D）若高斯面内有电荷，则该面上的电场强度必定处处不为零。 [答案：A] (3)一半径为R的导体球表面的面点荷密度为σ，则在距球面R处的电场强度（） （A）σ/ε0 （B）σ/2ε0 （C）σ/4ε0 （D）σ/8ε0 [答案：C] (4)在电场中的导体内部的（） （A）电场和电势均为零；（B）电场不为零，电势均为零； （C）电势和表面电势相等；（D）电势低于表面电势。 [答案：C] 9.2填空题 (1)在静电场中，电势梯度不变的区域，电场强度必定为。 [答案：零] (2)一个点电荷q放在立方体中心，则穿过某一表面的电通量为，若将点电荷由中 心向外移动至无限远，则总通量将。 [答案：q/6ε0, 将为零] (3)电介质在电容器中作用（a）——（b）——。 [答案：(a)提高电容器的容量;(b) 延长电容器的使用寿命] (4)电量Q均匀分布在半径为R的球体内，则球内球外的静电能之比。 [答案：1：5] 9.3 电量都是q的三个点电荷，分别放在正三角形的三个顶点．试问：(1)在这三角形的中心放一个什么样的电荷，就可以使这四个电荷都达到平衡(即每个电荷受其他三个电荷的库仑力之和都为零)?(2)这种平衡与三角形的边长有无关系? 解: 如题9.3图示 (1) 以A处点电荷为研究对象，由力平衡知：q 为负电荷河北科技大学大学物理答案11章分解
大学物理D下册习题答案
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