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第六章1 基于MATLAB的科学计算—函数逼近1

第六章1 基于MATLAB的科学计算—函数逼近1
第六章1 基于MATLAB的科学计算—函数逼近1

科学计算—理论、方法 及其基于MATLAB 的实现与分析

最佳一致逼近

§1 引 言

所谓函数最佳逼近就是从指定的一类简单的函数中寻找一个和给定的函数“最贴近”的函数,从几何(空间)的角度看,函数最佳逼近就是从指定的一类简单的函数(点的集合)中寻找一个与给定的函数(定点)距离最短的函数(点)。

由于在函数空间中可以定义不同的距离,不同意义下的距离度量定义了不同的逼近准则。 令P 表示指定的一类简单的函数集合 1、函数最佳一致逼近: 基于的距离度量如下

()[]

()()d f P f x P x x a b ,,=-∈max (1)

逼近准则:

()[]

()()x P x f P f d b a x P P -=∈P ∈P ∈,max min ,min (2)

2、函数最均方逼近: 基于的距离度量如下

()()()[][

]

d f P f x P x dx a b

,=

-?2

1

2

(3)

逼近准则

()=P

∈P f d P ,min min

P ∈P

()()[][]

f x P x dx a

b

-?2

12

(4)

如果给定的是函数在若干点处的函数值:()(

)

x f x i i ,,i =0,1,, n ,那么还有称为: 3、最小二乘逼近: 基于的距离度量如下

()()()[]

d f P f x P x i i i n ,=-????

?

?=∑01

2

(5)

逼近准则

()=P

∈P f d P ,min min P ∈P ()()[]f x P x i i i n

-?????

?=∑012

(6) 4、插值逼近,其逼近准则为:

()()i i x f x P =, ()n i x P ,,,, 10=P ∈ (7)

对于函数最佳逼近问题而言,用于逼近的简单的函数集合一般选取次数不超过n 次的多项式函数全体

()()()(){}

P n k k x P x P x k n ==≤deg (8)

即用多项式函数逼近给定的函数,其原因在于只需对自变量做加法、减法和乘法运算就能得到函数值是多项式函数显著的特点之一,因此,从计算的角度来说多项式函数是最简单的。

1、函数最佳一致逼近(Uniformity Optimal Approximation )

基于的距离度量如下

()[]

()()d f P f x P x x a b ,,=-∈max (1)

逼近准则:

()[]

()()x P x f P f d b a x P P -=∈P ∈P ∈,max min ,min (2)

求一函数在给定区间[]b a ,上的最佳逼近多项式,指定用于逼近多项式的次数,如次数不超过n 次的多项式函数全体

()()()(){}

P n k k x P x P x k n ==≤deg (3)

关于函数最佳一致逼近,有著名的

定理1(Weierstrass) 任意给定闭区间[]a b ,上的连续函数()f x ,必存在多项式函数序列()P x n ,

n =01,, ,使得

[]

()()lim max n x a b n f x P x →+∞∈-=,0 (4) 以及

定理2 任意给定闭区间[]a b ,上的连续函数()f x ,在次数不超过n 次的多项式函数全体

()()()(){}

P n k k x P x P x k n ==≤deg (5)

中最佳一致逼近多项式函数()P x n *必存在。

定义1 设()[]b a C x g ,∈,如果存在点集{}n k x k ≤≤1,满足

b x x x a n ≤<<<≤ 21 (6)

使得函数()x g 在该点集上取值为

()()()x g x g b

x a k k ≤≤-=max 1 (7)

()()()x g x g b

x a k k ≤≤+-=max 11

则称点集{}n k x k ≤≤1,是函数()x g 在区间[]b a ,的一个交错点组。 例1 考虑函数

??? ?

?

+=25sin ππx y

在区间[]1,1-上的情况,容易验证

()??? ?

?+-=?

?? ?

?

+=??? ??≤≤-25sin max 12sin 511ππππx k k y x k

(8)

即5

k x k =,5,4,3,2,1,0,1,2,3,4,5-=k ,是该函数在区间[]1,1-上的交错点组. 最佳一致逼近问题同时存在正偏差点和负偏差点. 通过具体求解下面的零次、一次最佳一致逼近来理解.

一、零次最佳一致逼近

设A x P =)(0(A 为某常数)为)(x f 的最佳一致逼近多项式.因为

],[)(b a C x f ∈,因而有最大值M 和最小值m ,即有点21x x 和,使

M x f m x f ==)(,)(21.显然,2

m

M A +=

,见右图. 事实上,由于2

)(,2)(21m

M x f A m M x f A --

=--=

-,而对任何],[b a x ∈, 2)(2m M x f A m M -≤

-≤--

,即2

m M -为最小偏差,21,x x 为正、负偏差点. 二、一次最佳一致逼近

设],[)(2b a C x f ∈且)(x f ''不变号.不妨设0)(>''x f ,此时根据右图,所求)(1x P 即为平行于弦MN 的直线,且满足)()(max min 101x a a x f E b

x a a

i

+-=≤≤. 由于0>''f ,f '必单调增加,而偏差点必在)()(1x P x f -的最大、最小值点达到,因此,两端点和使01='-'P f 的点都是偏差点.即有

??

?

??='-+=-=+-+-==+-)

3.

)()2),()()()

1),

()()()(12221011010110a x f x f x a a E a a a a f b a a b f E a a a a f 由方程1)解出a

b a f b f a --=

)

()(1.由方程2)解出22)()(2120x a a x f a f a +-+=,其中2x 由12)(a x f ='求出.从而x a a x P 101)(+=为所求一次最佳一致逼近多项式,其几何意义如上图.所示.直线x a a x P 101)(+=与弦MN 平

行,且通过MQ 的中点.

【注】 0=n 时,零次多项式逼近有两个偏差点;1=n 时,一次逼近有三个偏差点,且偏差点正、负交替出现.切比雪夫发现了最佳一致逼近多项式存在的条件.

定理3(Chebyshev ) n 次多项式()x n P 是函数()[]b a C x f ,∈在[]b a ,上的最佳一致逼近多项式当且仅当

()()x f x n -P 在[]b a ,上有2+n 个点组成的交错点组。

充分性证明:设()()x f x n -P 在[]b a ,上有2+n 个点组成的交错点组:

1210+<<<<

不妨假设式如下情形

()()()()()x f x P x f x P n b

x a k k k n --=-≤≤max 1

设()x Q n 是异于()x n P 的一个n 次多项式,且

()()()()x f x Q x f x P n b

x a n b

x a ->-≤≤≤≤max max (10)

由于

()()()()()x f x P x f x P n b

x a k k k n --=-≤≤max 1 (11)

所以

()()()()

()()()()()()

000000max max x Q x P x f x P x f x P x f x Q x f x Q n n n n b

x a n b

x a n >?-=-<-≤-≤≤≤≤ (12) 进一步地

()()()()

()()()()()()

111111max max x Q x P x f x P x f x P x f x Q x f x Q n n n n b

x a n b

x a n <-=-->--≥-≤≤≤≤ (13) 一般地

()()[]()k k n k n x Q x P sign 1-=-, 1,,2,1,0+=n k (14)

这表明至多是n 次的多项式()()x P x Q n n -至少有1+n 个根,根据代数基本定理这是不可能的.

为了讨论函数的最佳一致逼近问题,需要了解在其中起重要作用的Chebyshev 多项式及其性质.

§2 Chebyshev 多项式及其若干性质:

首先介绍正交多项式(Orthogonal Polynomials)的基本概念. §2.1 正交多项式

【定义2】 若非负函数)(x ρ在],[b a 上满足条件 (1) 对一切0≥n ,?b

a n dx x x )(ρ存在;

(2) 对非负连续函数)(x f ,若0)()(=?b

a dx x f x ρ,则在],[

b a 上0)(=x f . 那么,称)(x ρ为],[b a 上的权函数.

【定义3】 给定],[)(),(b a C x g x f ∈,)(x ρ是),(b a 上的权函数,称

?=b

a dx x g x f x g f )()()(),(ρ

为f 与g 在),(b a 上的内积.

内积的性质: (1) ),(),(f g g f =;

(2) ),(),(),(g f k kg f g kf ==,k 为常数; (3) ),(),(),(2121g f g f g f f +=+; (4) 当0)(≠x f 时,0),(>f f .

【定义4】 若f 与g 的内积?=b

a dx x g x f x g f )()()(),(ρ=0,则称)(x f 与)(x g 在区间],[

b a 上带权)(x ρ正交.

【注】(1) 若函数序列}),(),(),({10 x x x n ???满足

????=>≠==b a

i j i j i j i a j i dx x x x .

,0,,

0)()()(),(??ρ?? 则称}{i ?是],[b a 上关于权)(x ρ的正交函数序列(Orthogonal Set of Functions).

(2) 当正交函数序列的)(x i ?是i ( ,2,1,0=i )次多项式时,则称{})(x i ?是],[b a 上关于权函数)(x ρ的正交多项式序列.

(3)正交多项式序列一定是线性无关序列. §2.2 切比雪夫多项式及其性质 n 次Chebyshev 多项式由下式定义:

[]()()?

??=-∈=θθn x T x x n cos 11arccos ,

,, ,2,1,0=n (15)

()()10cos 0==x T

()()()x x x T ===arccos cos cos 1θ ()()121cos 22cos 222-=-==x x T θθ

一般地有

性质1 Chebyshev 多项式的三项递推关系:

()()()()()T x T x x T x xT x T x n n n n 01211223===-=??

?++,,

,,,

(16) 简单的推导:

()θθθθθn n n sin sin cos cos 1cos -=+ ()θθθθθn n n sin sin cos cos 1cos +=-

()()()()()

x T x xT x T n n n n n n -=?=-++?+2cos cos 21cos 1cos 1θ

θθθ

性质2 在区间[]-11,上关于权函数()ρx x

=

-112

的正交性:

()()110200

21

1

-=≠=≠==????

?-?

x T x T x dx m n

m m m n n

m ,,,π

π (17) ()()()()[]??

?

??==≠=≠=-++=-=-???

-0020cos cos 21cos cos cos 11

1

1

2n m n m n m d m n m n d m n x dx x T x T x

m n

,,,ππθθθθ

θθθπ

π

(18)

性质3 Chebyshev 多项式的最高次幂的系数是21n -.

简单的推导: 显然当1,0=n 是对的,以数学归纳法,假设当n k <是命题成立,利用Chebyshev 多项式的三项递推关系

()()()()()??

?=-===-- ,,,,

,32212110n x T x xT x T x x T x T n n n

当n k =时,()x T n 的最高次幂的系数等于()x xT n 12-的最高次幂的系数:222-?n . 性质4 在区间[]-11,上,()T x n ≤1。 性质5 n 次Chebyshev 多项式的n 个零点为

()x k n

k n k =-=cos

21212π

,,,, (9)

π

πθπθπθn k x n

k k n k 21

2cos 0,21221

2-=?≤≤-=?-=

,n k ,,2,1 =

性质6 在区间[]-11,上,n 次Chebyshev 多项式在n +1个点

x k n

k n k ==cos π

,,,,01 (10)

轮流取最大值1和最小值-1。 简单的推导;

π

πθπθπθn

k

x n

k

k n k cos 0,=?≤≤=?

=, n k ,,2,1,0 =

例2 Plot_Chebyshev.m

性质7 在区间[]-11,上,所有n 次的首一多项式中与零的偏差最小的多项式是()x T n n -12,即对任意的

n 次的首一多项式()x P n ,有

()()n n n x n x x T x P --≤≤-≤≤-=-≥-111

11

1202max 0max

证明:利用反正法,设存在n 次的首一多项式()x P n 满足不等式

()()x P x T n x n n x 1

111

1max 2max ≤≤--≤≤->

那么,对于1-n 次多项式()()x P x T n n n --12来说,在()x T n 轮流取最大值1和最小值-1的n +1个点

n k n

k x k ,,,, 10cos

==π

有 ()()()

()k n n n x P x T sign 121-=--, n k ,,, 10=

根据闭区间上连续函数的介值定理,该1-n 次多项式在闭区间[]-11,上至少有n 个根,与代数基本定理相悖。

例3 Chebyshev 的简单(重要的)应用:求多项式函数

()15322345+-++-=x x x x x x f

在区间[]1,1-上的四次一致最佳逼近多项式。

设()x P 4所求的一致最佳逼近多项式,那么根据一致最佳逼近的定义和Chebyshev 多项式的极性(性质7):

()()()()()()()x T x f x P x T x P x f 5345514222

1

---=?=- ()

1

8

13

52735201681

1532234352345+-++-=+--+-++-=x x x x x

x x x x x x x

§3 近似最佳一致逼近及其算法

上述的定理2保证了连续函数一致最佳逼近多项式的存在性和唯一性;Chebyshev 定理揭示了一致最佳逼近多项式的特征,但是在一般情况下,求函数的一致最佳逼近多项式仍然是很困难的,面对这样的理论上的现实,人们转而探索相对容易实现的、能够满足广泛科学研究和工程需求的“次最佳一致逼近多项式”的方法。

我们知道 1

n 次多项式()x P n 可以写成不同的形式;

2 任何n 次多项式()x P n 可以由其在不同的1+n 个节点处的值完全确定;

基于上述两点,我们可以把待求的近似最佳一致逼近多项式写成Lagrange 插值多项式的形式。

对在区间[]-11,上具有n +1连续导数的函数()f x ,利用1+n 个节点做插值,并利用 Lagrange 插值公式得到插值余项:

()()()()()()()()()()()

x W n M x W n f x x n f x L x f x R n n n

k k n n n !

1!1!1110

1+≤+=-+=-=++=+∏ηη (11) 其中()()∏=-=n

k k x x x W 0,[]

()M f

x n n +-+=1111

max ,。

如果以任意节点做插值,)(x L n 不可能一致逼近)(x f .但经适当的安排节点,再利用切比雪夫多项式使余项达极小,就能近似地得到最佳一致逼近多项式的插值算法.由定理可知,区间[-1,1]上使余项极小化(即与零有最小偏差)的多项式为

n 2

1

)(1x T n +,取 ()()=

-=∏=n

k k x x x W 0

n 2

1

)(1x T n + 插值节点为切比雪夫多项式的零点,即)1,,2,1()

1(21

2cos

+=+-=n k n k x k π,因此, ()n

n n x n M x L x f 21

!1)()(max 11

1+≤

-+≤≤-,

其中)(max )(1

1x f M n x n ≤≤-=.

【注】 在区间[-1,1]上,取切比雪夫多项式的零点为插值节点,得到的)(1x L n -是)(x f 的近似最佳一致逼近多项式.

对于一般的区间[]b a ,上的近似最佳一致逼近问题,可以通过区间的平移和伸缩变换

()b a x a

b t ---=

21

(17) 2

2a

b t a b x ++

-=

(18) 将问题转化为[]1,1-上的近似最佳一致逼近:其中n 次Chebyshev 多项式的n 个零点为

()2

212cos 2a b n k a b x k ++--=

π, n k ,,, 21= (19) 例3 求函数4/)(x e x f =在[0,1]上的近似最佳一致逼近多项式,使其误差不超过4105-?. 解 1)确定多项式的次数:因为n h n n x n e M e x f 4/2840.14/,4/)(4/14/)(===,

n

n n x n n x L x f x R 42!2840

.1)()(max )(1211

01?≤

-≤--≤≤-,

所以只要取3=n ,则满足4121105)42!/(2840.1)(---?

2)确定插值节点:由3,2,1),6

1

2cos

1(2

1=-+=k k x k π,得插值节点为 06699.0,5000.0,93301.0321===x x x .

3)用Lagrange 插值公式得到4/x e 的近似最佳一致逼近多项式

001.12484.003544.0)(22++=x x x L .

例4 在区间[]-13,上求函数

()()f x x e x =+-12

(21)

的近似最佳一致逼近多项式。 例5 在区间[]-23,上求函数

()()f x x xe x =+-12

sin (20)

的最佳一致逼近多项式。

附程序1:Plot_Chebyshev.m

%plot Chebyshev polynomiales clear clf

x=-1:0.01:1;

n=input('Input the Number of Chebyshev polynomiales Ploted: n = ') Tn=[];

Tn(1,:)=x.^0; Tn(2,:)=x; if n<=2

error('the degree n of Chebyshev polynomiales must be higher than 1') else

for k=3:n;

Tn(k,:)=2*x.*Tn(k-1,:)-Tn(k-2,:); end end

for k=1:n;

plot(x,0.*x,0.*x,x)

hold on

plot(x,Tn(k,:),'r')

title('The Curves of Chebyshev polynomiales')

pause

hold off

end

附程序Uniformopt01.m:

% Uniformity Optimal Approximation f=(1+x).*exp(-x.^2).*sin(x);

clear all

%n=input('Input the degree of approximation polynomial: n = ')

%a=input('Input the end point of interval a = ')

%b=input('Input the end point of interval b = ')

n=15;a=-2;b=3;

x=a:0.001*(b-a):b;

f=(1+x).*exp(-x.^2).*sin(x);

for i=0:n+1;

xk(i+1)=(2.\(a+b+(b-a)).*cos((n+1).\(n-i+1)*pi));

end

xk=fliplr(xk);

y=feval('Uniformfun01',xk);

L=ones(length(y),length(x));

for i=1:n+1;

for j=1:n+1;

if j~=i

L(i,:)=(xk(i)-xk(j)).\(x-xk(j)).*L(i,:);

else

L(i,:)=L(i,:);

end

end

end

PN=y*L;

plot(x,f,x,PN,'r')

axis equal

title('Uniformity Suboptimal Approximation of Functions')

title('Suboptimal Uniformity Approximation')

legend('f(x) = sinx(1+x)exp(-x^2)','Optimal Uniformity Approximation Polynomial') 附程序UniforFun01.m

function f=Uniformfun01(x)

f=(1+x).*exp(-x.^2).*sin(x);

科学计算与MATLAB语言考试答案

1 单选(2分) 利用MATLAB求解科学计算问题的优势是()。 得分/总分 ? A. 算法最优 ? B. 不需要编写程序 ? C. 程序执行效率高 ? D. 编程效率高 正确答案:D你没选择任何选项 2 单选(2分) 在MATLAB命令行窗口输入命令时,可使用续行符,其写法是()。 得分/总分 ? A. 省略号(…) ? B. 分号(;) ? C. 三个小数点(…) ? D. 百分号(%) 正确答案:C你没选择任何选项 3

下列语句执行后,D的值为()。 1.A=[1:3;4:6]; 2.D=sub2ind(size(A),[1,1],[2,3]) 得分/总分 ? A. 3 6 ? B. 2 5 ? C. 3 5 ? D. 4 5 正确答案:C你没选择任何选项 4 单选(2分) ceil(-2.1)+floor(-2.1)+fix(-2.1)的结果为()。 得分/总分 ? A. -7 ? B. -6 ? C. -5 ? D. -9 正确答案:A你没选择任何选项 5

下列语句执行后,x的值是()。 1.log=1:5; 2.x=log(1) 得分/总分 ? A. ? B. 1 ? C. 数学常数e ? D. 报错 正确答案:B你没选择任何选项 6 单选(2分) 下列语句执行后,c的值是()。 1.ch=['abcdef';'123456']; 2.c=char(ch(2,4)-1) 得分/总分 ? A. '4' ? B. 4 ? C. '3' ? D. 3

7 单选(2分) 产生和A同样大小的全0矩阵的函数是()。 得分/总分 ? A. zero(size(A)) ? B. zeros(size(A)) ? C. size(zero(A)) ? D. size(zeros(A)) 正确答案:B你没选择任何选项 8 单选(2分) 语句x=speye(5)==eye(5)执行后,则下列说法中正确的是()。 得分/总分 ? A. x是5阶全1矩阵,且采用稀疏存储方式 ? B. x是5阶全1矩阵,且采用完全存储方式 ? C. x是5阶单位矩阵,且采用稀疏存储方式 ? D. x是5阶单位矩阵,且采用完全存储方式

MATLAB精通科学计算_偏微分方程求解

一、Maple V 系统 Maple V是由Waterloo大学开发的数学系统软件,它不但具有精确的数值处理功能,而且具有无以伦比的符号计算功能。Maple V的符号计算能力还是MathCAD和MATLAB等软件的符号处理的核心。Maple提供了2000余种数学函数,涉及范围包括:普通数学、高等数学、线性代数、数论、离散数学、图形学。它还提供了一套内置的编程语言,用户可以开发自己的应用程序,而且Maple自身的2000多种函数,基本上是用此语言开发的。 Maple采用字符行输入方式,输入时需要按照规定的格式输入,虽然与一般常见的数学格式不同,但灵活方便,也很容易理解。输出则可以选择字符方式和图形方式,产生的图形结果可以很方便地剪贴到Windows应用程序内。 二、MATLAB 系统 MATLAB原是矩阵实验室(Matrix Laboratory)在70年代用来提供Linpack和Eispac k软件包的接口程序,采用C语言编写。从80年代出现3.0的DOS版本,逐渐成为科技计算、视图交互系统和程序语言。MATLAB可以运行在十几个操作平台上,比较常见的有基于W indows 9X/NT、OS/2、Macintosh、Sun、Unix、Linux等平台的系统。 MATLAB程序主要由主程序和各种工具包组成,其中主程序包含数百个内部核心函数,工具包则包括复杂系统仿真、信号处理工具包、系统识别工具包、优化工具包、神经网络工具包、控制系统工具包、μ分析和综合工具包、样条工具包、符号数学工具包、图像处理工具包、统计工具包等。而且5.x版本还包含一套几十个的PDF文件,从MATLAB的使用入门到其他专题应用均有详细的介绍。 MATLAB是数值计算的先锋,它以矩阵作为基本数据单位,在应用线性代数、数理统计、自动控制、数字信号处理、动态系统仿真方面已经成为首选工具,同时也是科研工作人员和大学生、研究生进行科学研究的得力工具。MATLAB在输入方面也很方便,可以使用内部的E ditor或者其他任何字符处理器,同时它还可以与Word6.0/7.0结合在一起,在Word的页面里直接调用MATLAB的大部分功能,使Word具有特殊的计算能力。 三、MathCAD 系统 MathCAD是美国Mathsoft公司推出的一个交互式的数学系统软件。从早期的DOS下的1. 0和Windows下的4.0版本,到今日的8.0版本,功能也从简单的数值计算,直至引用Map le强大的符号计算能力,使得它发生了一个质的飞跃。 MathCAD是集文本编辑、数学计算、程序编辑和仿真于一体的软件。MathCAD7.0 Profe ssional(专业版)运行在Win9X/NT下,它的主要特点是输入格式与人们习惯的数学书写格式很近似,采用WYSWYG(所见所得)界面,特别适合一般无须进行复杂编程或要求比较特殊的计算。MathCAD 7.0 Professional 还带有一个程序编辑器,对于一般比较短小,或者要求计算速度比较低时,采用它也是可以的。这个程序编辑器的优点是语法特别简单。 MathCAD可以看作是一个功能强大的计算器,没有很复杂的规则;同时它也可以和Wor d、Lotus、WPS2000等字处理软件很好地配合使用,可以把它当作一个出色的全屏幕数学公式编辑器。 四、Mathematica 系统 Mathematica是由美国物理学家Stephen Wolfram领导的Wolfram Research开发的数学系统软件。它拥有强大的数值计算和符号计算能力,在这一方面与Maple类似,但它的符

数值分析第三章函数逼近与曲线拟合习题答案

第三章 函数逼近与曲线拟合 1. ()sin 2 f x x π =,给出[0,1]上的伯恩斯坦多项式1(,)B f x 及3(,)B f x 。 解: ()sin ,2 f x π = [0,1]x ∈ 伯恩斯坦多项式为 (,)()()n n k k k B f x f P x n ==∑ 其中()(1)k n k k n P x x x k -??=- ??? 当1n =时, 01()(1)0P x x ?? =- ??? 1101()(,)(0)()(1)()1(1)sin(0)sin 022P x x B f x f P x f P x x x x ππ=∴=+??=-?+ ??? = 当3n =时, 3 022 122233 31()(1)01()(1)3(1) 03()(1)3(1) 13()3P x x P x x x x x P x x x x x P x x x ?? =- ?????=-=- ????? =-=- ????? == ???

3 3022322 33223 (,)()() 03(1)sin 3(1)sin sin 6 3 2 3(1)(1)25632221.50.4020.098k k k B f x f P x n x x x x x x x x x x x x x x x π π π =∴==+-+-+= --+-=++≈--∑ 2. 当()f x x =时,求证(,)n B f x x = 证明: 若()f x x =,则 (,)()()n n k k k B f x f P x n ==∑ 001 11(1)(1) 11(1)(1)(1)(1)!(1)[(1)(1)1](1)(1)!1(1) 11(1)1[(1)]n k n k k n k n k k n k n k k n k n k k n k n k k n n k x x k n k n n n k x x n k n n k x x k n x x k n x x x k x x x x -=-=-=-=----=-?? =- ???--+=-----+=---??=- ?-??-??=- ?-?? =+-=∑∑∑∑∑ 3.证明函数1,,,n x x 线性无关 证明: 若20120,n n a a x a x a x x R ++++=?∈ 分别取(0,1,2,,)k x k n = ,对上式两端在[0,1]上作带权()1x ρ≡的内积,得

科学计算与MATLAB语言(第四课)

第四讲绘图功能

作为一个功能强大的工具软件,Matlab 具有很强的图形处理功能,提供了大量的二维、三维图形函数。由于系统采用面向对象的技术和丰富的矩阵运算,所以在图形处理方面即常方便又高效。

4.1 二维图形 一、plot函数 函数格式:plot(x,y)其中x和y为坐标向量函数功能:以向量x、y为轴,绘制曲线。【例1】在区间0≤X≤2 内,绘制正弦曲线Y=SIN(X),其程序为: x=0:pi/100:2*pi; y=sin(x); plot(x,y)

一、plot函数 【例2】同时绘制正、余弦两条曲线Y1=SIN(X)和Y2=COS(X),其程序为: x=0:pi/100:2*pi; y1=sin(x); y2=cos(x); plot(x,y1,x,y2) plot函数还可以为plot(x,y1,x,y2,x,y3,…)形式,其功能是以公共向量x为X轴,分别以y1,y2,y3,…为Y轴,在同一幅图内绘制出多条曲线。

一、plot函数 (一)线型与颜色 格式:plot(x,y1,’cs’,...) 其中c表示颜色,s表示线型。 【例3】用不同线型和颜色重新绘制例4.2图形,其程序为:x=0:pi/100:2*pi; y1=sin(x); y2=cos(x); plot(x,y1,'go',x,y2,'b-.') 其中参数'go'和'b-.'表示图形的颜色和线型。g表示绿色,o表示图形线型为圆圈;b表示蓝色,-.表示图形线型为点划线。

一、plot函数 (二)图形标记 在绘制图形的同时,可以对图形加上一些说明,如图形名称、图形某一部分的含义、坐标说明等,将这些操作称为添加图形标记。 title(‘加图形标题'); xlabel('加X轴标记'); ylabel('加Y轴标记'); text(X,Y,'添加文本');

中南大学材料学院科学计算与MATLAB考试题库

练习题 1.求函数在指定点的数值导数 x=sym('x'); >> y=[x x.^2 x.^3;1 2*x 3*x.^2;0 2 6*x]; >> x=1; >> eval(diff(y)) ans = 1 2 3 0 2 6 0 0 6 >> x=2; >> eval(diff(y)) ans = 1 4 12 0 2 12 0 0 6 >> x=3; >> eval(diff(y)) ans = 1 6 27 0 2 18 0 0 6 2.求下列函数导数 (1) x=sym('x'); >> y=x^10+10^x+(log(10))/log(x); >> diff(y) ans = 10*x^9+10^x*log(10)-2592480341699211/1125899906842624/log(x)^2/x (2) x=sym('x');

>> y=log(1+x); >> x=1; >> eval(diff(y,2)) %在x=1的条件下对y表达式求两次导数后导函数的值 ans = -0.2500 3.用数值方法求下列积分 首先先讲一下trapz的用法,如下题 t=0:0.001:1; >> y=t; >> trapz(t,y) ans = 0.5000 (1) >> x=1:0.01:5; >> y=(x.^2).*sqrt(2*x.^2+3); >> trapz(x,y) ans = 232.8066 (2) x=pi/4:0.01:pi/3; >> y=x./(sin(x).^2); >> trapz(x,y) ans = 0.3810 第三题拟合曲线题 x=[0:0.1:1]; >> y=[-0.447 1.978 3.28 6.16 7.08 7.34 7.66 9.56 9.48 9.30 11.2]; >> a=polyfit(x,y,2); >> x=[0.05:0.2:1.05]; >> y=a(3)+a(2)*x+a(1)*x.^2 %注意x要在y前先赋值,不然y不会运行为最新的x对呀的y值 y =

《Matlab与科学计算》作业 2010010099

《Matlab与科学计算》作业 第一章MATLAB环境 1、MATLAB通用操作界面窗口包括哪些?命令窗口、历史命令窗口、当前目录窗口、工作空间窗口各有哪些功能? 答:MATLAB通用操作界面窗口包括:命令窗口、历史命令窗口、当前目录浏览器窗口、工作空间窗口、变量编辑器窗口、M文件编辑/调试器窗口、程序性能剖析窗口、MATLAB帮助。 命令窗口是MATLAB命令操作的最主要窗口,可以把命令窗口当做高级的“草稿纸”。在命令窗口中可以输入各种MATLAB的命令、函数和表达式,并显示除图形外的所有运算结果。 历史命令窗口用来记录并显示已经运行过的命令、函数和表达式,并允许用户对它们进行选择、复制和重运行,用户可以方便地输入和修改命令,选择多行命令以产生M文件。 当前目录窗口用来设置当前目录,可以随时显示当前目录下的M、MKL等文件的信息,扬文件类型、文件名、最后个修改时间和文件的说明信息等,并可以复制、编辑和运行M文件及装载MAT数据文件。 工作空间窗口用来显示所有MATLAB工作空间中的变量名、数据结构、类型、大小和字节数。 2、熟悉课本中表格1.4、1.5、1.6、1.7、1.8的内容。 3、如何生成数据文件?如何把数据文件中的相关内容输入到工作空间中,用实例进行操作。 生成数据文件:

把数据文件中的相关内容输入到工作空间中: 结果: 4、在工作空间中可以通过哪些命令管理变量,写出每种语法的具体操作过程。答:(1)把工作空间中的数据存放到MAT数据文件。 语法:save filename 变量1 变量2 ……参数。 (2)从数据文件中取出变量存放到工作空间。 语法:load filename 变量1 变量2 ……。

《MATLAB与科学计算》期末论文

盐城师范学院《MATLAB与科学计算》期末论文 2016-2017学年度第一学期 用MATLAB解决解析几何的图形问题 学生姓名吴梦成 学院数学与统计学院 专业信息与计算科学 班级数15(5)信计 学号 15213542

用MATLAB 解决解析几何的图形问题 摘 要 将 MATLAB 的图形和动画功能都用于解析几何教学,可使教学形象生动。以图形问题为例,详细给出了实例的程序编写和动画实现过程 。在解析几何教学中有一定的应用价值。 【关键词】: MATLAB ; 解析几何 ;图形 ; 动 画;编程 1 引 言 在解析几何的教学中,使用传统的教学方法。许多曲线及曲面的形成过程与变换过程只通过传统的教师讲授静态图示就很难形象生动地表示出来 。在解析几何教学中使用MATLAB 软件辅助教学,不仅可以很容易绘制出复杂的立体图形。把曲线、曲面的形成和变化过程准确地模拟出来 ,而且还能够对它们进行翻转 、旋转 ,甚 至还能够轻而易举地实现图形的动画效果!这对提高教学效率和培养学生的空间想象能力可起到事半功倍的效果。下面结合实例从几个方面说明MATLAB 在解析几何画图方面的应用。 2 利用 MATLAB 绘制三维曲线 在空间解析几何中,各种曲线和曲面方程的建立都离不开图形 ,而空间曲线和曲面图形既难画又费时。借助MATLAB 的绘图功能 ,可以快捷 、 准确地绘出图形,使教学变得形象 、生动 。有利于学生观察三维空间图形的形状 , 掌握图形的性质 。 一 般地 ,MATLAB 可用plot3,ezplot3,comet3等函数来各种三维曲线 。 例如画螺旋曲线的图形,其参数方程设为 :t at cos x =,t b sin t y -=,ct =z 。使用 plot3语句画螺旋曲线图形的方法如下( 设a =2 ,b=4,c=3): );*3),sin(*.*4),cos(*.*2(3;*10:50/:0t t t t t plot pi pi t -= MATLAB 用两条简单的语句就可以画出螺旋 曲线(图1),但上述方法是静态的 ,为了体

科学计算与MATLAB 1.5

单元测验已完成成绩:100.0分 1 【单选题】 MATLAB一词来自()的缩写。 ?A、 Mathematica Laboratory ?B、 Matrix Laboratory ?C、 MathWorks Lab ?D、 Matrices Lab 我的答案:B得分:50.0分 2 【单选题】 下列选项中能反应MATLAB特点的是()。?A、 算法最优 ?B、 不需要写程序 ?C、 程序执行效率高 ?D、 编程效率高

我的答案:D得分:50.0分 单元测验已完成成绩:96.4分 1 【单选题】 当在命令行窗口执行命令时,如果不想立即在命令行窗口中输出结果,可以在命令后加上()。 ?A、 冒号(:) ?B、 逗号(,) ?C、 分号(;) ?D、 百分号(%) 我的答案:C得分:7.1分 2 【单选题】 fix(264/100)+mod(264,10)*10的值是()。 ?A、 86 ?B、 62 ?C、 423

?D、 42 我的答案:D得分:7.1分 3 【单选题】 在命令行窗口输入下列命令后,x的值是()。 >> clear >> x=i*j ?A、 不确定 ?B、 -1 ?C、 1 ?D、 i*j 我的答案:B得分:7.1分 4 【单选题】 使用语句x=linspace(0,pi,6)生成的是()个元素的向量。?A、 8 ?B、 7

?C、 6 ?D、 5 我的答案:C得分:7.1分 5 【单选题】 ceil(-2.1)的结果为()。?A、 -2 ?B、 -3 ?C、 1 ?D、 2 我的答案:A得分:7.1分 6 【单选题】 eval('sqrt(4)+2')的值是()。?A、 sqrt(4)+2 ?B、

科学计算与matlab1.5

单元测验已完成成绩:分 1 【单选题】 MATLAB一词来自()的缩写。 A、 Mathematica Laboratory B、 Matrix Laboratory C、 MathWorks Lab D、 Matrices Lab 我的答案:B得分:分 2 【单选题】 下列选项中能反应MATLAB特点的是()。 A、 算法最优 B、 不需要写程序 C、 程序执行效率高 D、 编程效率高

我的答案:D得分:分 单元测验已完成成绩:分 1 【单选题】 当在命令行窗口执行命令时,如果不想立即在命令行窗口中输出结果,可以在命令后加上()。 A、 冒号(:) B、 逗号(,) C、 分号(;) D、 百分号(%) 我的答案:C得分:分 2 【单选题】 fix(264/100)+mod(264,10)*10的值是()。 A、 86 B、 62 C、 423 D、

42 我的答案:D得分:分 3 【单选题】 在命令行窗口输入下列命令后,x的值是()。 >> clear >> x=i*j A、 不确定 B、 -1 C、 1 D、 i*j 我的答案:B得分:分 4 【单选题】 使用语句x=linspace(0,pi,6)生成的是()个元素的向量。 A、 8 B、 7 C、 6

D、 5 我的答案:C得分:分 5 【单选题】 ceil的结果为()。 A、 -2 B、 -3 C、 1 D、 2 我的答案:A得分:分 6 【单选题】 eval('sqrt(4)+2')的值是()。 A、 sqrt(4)+2 B、 4 C、 2 D、

2+2 我的答案:B得分:分 7 【单选题】 已知a为3×5矩阵,则执行完a(:,[2,4])=[]后()。 A、 a变成行向量 B、 a变为3行2列 C、 a变为3行3列 D、 a变为2行3列 我的答案:C得分:分 8 【单选题】 在命令行窗口输入以下命令 >> A=[1:3;4:6]; >> D=sub2ind(size(A),[1,1],[2,3]) D的值为()。 A、 3 6 B、 2 5 C、 4 5

Matlab与科学计算样题(加主观题答案)

Matlab 与科学计算考试样题(客观题) 1 下面的MATLAB 语句中正确的有: a) 2a =pi 。 b) record_1=3+4i c) a=2.0, d) c=1+6j 2. 已知水的黏度随温度的变化公式如下,其中a=0.03368,b=0.000221,计算温度t 为20,30,40度时的粘度分别是: 2 1at bt μμ=++0μ为0℃水的黏度,值为31.78510-?;a 、b 为常数,分别为0.03368、0.000221。 3. 请补充语句以画出如图所示的图形: [x,y]=meshgrid(-2:0.1:2, -2:0.1:2)。 Z=x.*exp(-x.^2-y.^2)。 。 a) Plot3(x,y,Z) b) plot3(x,y,Z) c) mesh(x,y,Z) d) plot3(x,y,z) 2 a) 0.4900 1.2501 0.8560 b) 0.8560 1.2501 0.4900 c) -0.6341 3.8189 -3.7749 d) 3.8189 -3.7749 2.8533 解释说明:

>> x=0.5:0.5:3.0。 >> y=[1.75,2.45,3.81,4.80,8.00,8.60]。 >> a=polyfit(x,y,2) a = 0.4900 1.2501 0.8560 >> x1=[0.5:0.25:3.0]。 >> y1=a(1)*x1.^2+a(2)*x1+a(3) >> plot(x,y,'*') >> hold on >> plot(x1,y1,'--r') 5. 求方程在 x=0.5附近的根. 21 x x += a) 0.6180 b) -1.1719e-25 c) -1 d) -1.6180 6. 用Newton-Cotes方法计算如下积分 1 5 x? (a)133.6625 (b)23.8600 (c) 87.9027 (d) -1.6180 7. y=ln(1+x),求x=1时y" a) -0.25 b) 0.5 c) -0.6137 d) -1.6137 8.某公司用3台轧机来生产规格相同的铝合金薄板。取样测量薄板的 厚度,精确至‰厘M。得结果如下: 轧机1:0.236 0.238 0.248 0.245 0.243 轧机2:0.257 0.253 0.255 0.254 0.261 轧机3:0.258 0.264 0.259 0.267 0.262 计算方差分析结果,并判定各台轧机所生产的薄板的厚度有无显著的差异? a) p=1.3431e-005,没有显著差异。

函数逼近

第七章 函数逼近 用简单的函数p (x )近似地代替函数f (x ),是计算数学中最基本的概念和方法之一。近似代替又称为逼近,函数f (x )称为被逼近的函数,p (x )称为逼近函数,两者之差 )()()(x p x f x R -= 称为逼近的误差或余项 在计算数学里,所谓简单的函数主要是指可以用加、减、乘、除四则运算进行计算的函数,如有理分式函数、多项式等。由于多项式最简单,计算其值只需用到加、减与乘三种运算,且求其微分和积分都很方便,所以常用它来作为逼近函数,而被逼近的函数f (x )一般是一个比较复杂的不易计算的函数或以表格形式给出的函数。 第六章介绍的插值法实际上也是函数逼近的一种方法。不过,它要求函数p (x )与f (x )在节点处具有相同的函数值 (甚至要求有相同的导数值),但在非节点处,p (x ) 虽然有可能很好地逼f (x ),但也可能使逼近f (x ) 的误差很大,如果实际问题要求p (x )在区间[a , b ] 上每一点都“很好”地逼近的话,用插值多项式p (x ) 去逼近f (x )有时就要失败,所谓龙格现象,就是典型一例。 大家知道,用f (x )的泰勒(Taylor)展开式 )()()! 1()()(! )()(!2)() )(()()(010)1(00)(200000之间与在x x x x n f x x n x f x x x f x x x f x f x f n n n n ξξ++-++-++-''+-'+=Λ 的部分和去逼近函数f (x ),也是常用的方法。这种方法的特点是:x 越接近于x 0,误差就越小,x 越偏离x 0,误差就越大。若要使这种逼近在整个所讨论的区间上都达到精度要求,则需取很多项,这样,计算工作量就大大增加。因此,如何在给定精度下,求出计算量最小的近似式,这就是函数逼近要解决的问题,这个问题的一般提法是: 对于函数类A 中给定的函数f (x ),要求在另一类较简单的且便于计算的函数类B (? A )中寻找一个函数p (x ),使p (x )与f (x )之差在某种度量意义下最小。 一般,最常见的函数A 是区间[a , b ]上的连续函数,记作C [a , b ]。 最常用的函数类B 有代数多项式、三角多项式以及有理分式函数等。 最常用的度量标准有两种:

第3章函数逼近与曲线拟合(演示)讲解

第三章 函数逼近与曲线拟合 1 函数的逼近与基本概念 1.1问题的提出 多数计算机的硬件系统只提供加、减、乘、除四种算术运算指令,因此为了计算大多数有解析表达式的函数的值,必须产生可用四则运算进行计算的近似式,一般为多项式和有理分式函数.实际上,我们已经接触到两种逼近多项式,一种是泰乐多项式,一种是插值多项式.泰乐多项式是一种局部方法,误差分布不均匀,满足一定精度要求的泰乐多项式次数太高,不宜在计算机上直接使用.例如,设 ()f x 是[1,1]-上的光滑函数, 它的Taylor 级数0 ()k k k f x a x ∞ == ∑, ()(0)! k k f a k = 在[1,1]-上收敛。当此级数收敛比较快时,11 ()()()n n n n e x f x s x a x ++=-≈。这个误差分 布是不均匀的。当0x =时,(0)0n e =,而 x 离开零点增加时,()n e x 单调增加,在1 x =±误差最大。为了使[1,1]-的所有x 满足 ()()n f x s x ε-<,必须选取足够大的n ,这显然是不经 济的。插值函数出现的龙格现象表明,非节点处函数和它的插值多项式相差太大。更重要的是,实际中通过观测得到的节点数据往往有各种误差,此时如果要求逼近函数过全部节点,相当于保留全部数据误差,这是不适宜的。如图1所示,给出五个点上的实验测量数据,理论上的结果应该满足线性关系,即图1中的实线。由于实验数据的误差太大,不能用过任意两点的直线逼近函数。如果用过5个点的4次多项式逼近线性函数,显然误差会很大。 实验数据 真函数 插值多项式逼近 精确的线性逼近 图1

《科学计算与MATLAB》期末大作业

杭州电子科技大学信息工程学院《科学计算与MATLAB》期末大作业

给出程序、图、作业分析,程序需加注释。 1. 试编写名为fun.m 的MATLAB 函数,用以计算下述的值: ?? ? ??-<->=t t n t t t n t f 的)4/sin()(si 对所有)4/sin(其他情况)sin(的)4/sin()(si 对所有)4/sin()(ππππ 绘制t 关于函数f(t)的图形,其中t 的取值范围为ππ66≤≤-t ,间距为10/π。 function y=fun()%定义函数 % t=-6*pi:pi/10:6*pi; %定义变量范围 y = (sin(pi/4)).*(sin(t)>sin(pi/4))+(sin(-pi/4)).*(sin(t)=sin(-pi/4)));%函数表示 plot(t,y); %画图 end

2.解以下线性方程组 ??? ??=+=++=--3 530 42231 321321x x x x x x x x A=[2 -1 -1;1 1 4;3 0 5];%输入矩阵 B=[2;0;3]; %输入矩阵 X = A\B %计算结果 3.已知矩阵? ? ??? ???? ???=44434241 3433323124232221 14131211A 求: (1)A(2:3,2:3) (2)A(:,1:2) (3)A(2:3,[1,3]) (4)[A,[ones(2,2);eye(2)]]

A=[11 12 13 14;21 22 23 24;31 32 33 34;41 42 43 44];%输入矩阵A(2:3,2:3) %输出矩阵 A(:,1:2) %输出矩阵 A(2:3,[1,3]) %输出矩阵 [A,[ones(2,2);eye(2)]] %输出矩阵

基于MATLAB科学计算器

目录 计算器得效果图 ........................................................................... 错误!未定义书签。 一、GUI设计界面: (3) 1。打开GUI (3) 2。添加按钮 (3) 3。根据按钮得作用及视觉效果做一定得修改: (4) 4。保存、添加功能函数 (4) (1)数字键编写 (4) (2)符号键得编写 (4) (3)运算符“=”得编写 (5) (4)按键“←back"得编写 (5) (5)按键“清空”得编写 (5) (6)按键“退出”得编写 (5) (7)按键“二进制数转十进制数"得编写 (5) (8)按键“十进制数转二进制数”得编写 (5) 二、计算器得使用 (5) 除法运算(÷) (5) 平方运算(^2) (6) 函数cos (∏/3)得计算 (6) 函数arctan (∏/3)得计算 (7) 以2为底得对数得计算(log 2) (7) 十进制数转二进制数得计算(调用dec2bin函数) (8) 二进制数转十进制数得计算(调用bin2dec函数) (8) 三、附各按键得程序源代码 (9) 四、问题与解决方法 (14) 五、心得体会 (14) 参考文献 (15) 计算器得效果图:

一、GUI设计界面: 1。打开GUI 输入Guide 回车或者在工具栏上点击图标打开Guide 窗口: 2。添加按钮

3、根据按钮得作用及视觉效果做一定得修改: 双击按钮(Puch Button)进入按键属性修改显示字符串大小、字体与颜色,然后对按钮得位置进行排布,尽量使按钮集中在静态文本框下面、 4、保存、添加功能函数 把做好得按钮及静态文本框保存后自动弹出Editor得M文本,对然后对相应得pushbutton添加功能函数。以下就是相应按钮得功能函数。 (1)数字键编写 在function pushbutton1_Callback(hObject, eventdata, handles)下输入: textString = get(handles。text1,’String'); textString =strcat(textString,'0'); set(handles、text1,’String',textString) 这就是使用句柄handles指向对象text1,并以字符串形式来存储数据文本框text1得内容,并存储数个“0”, 然后由set(handles。text1,'String','textString’在text1中输出。 同理,分别在function pushbutton2~10_Callback(hObject, eventdata, handles)下给1~9数字按键下编写此类程序、 (2)符号键得编写 function pushbutton12_Callback(hObject, eventdata, handles) textString = get(handles、text1,'String’); textString =strcat(textString,’÷’); set(handles。text1,'String',textString) strcat得作用就是将两个字符串连接起来,就就是在已输入得存储数据textString后添加“÷"进行运算。 然后执行set(handles、text1,’String’,textString)。符号键‘—’、‘*’、‘/’与‘÷'得运算函数类似。“平方运算”,主要就是由“^2”功能实现。

第6章 函数逼近与函数插值

第六章 函数逼近与函数插值 本章介绍函数逼近与插值的有关理论和算法. 函数逼近问题与插值问题两者既有联系又有区别,它们都是用较简单的函数来近似未知的、或表达式较复杂的函数. 一般来说,函数逼近是要在整个区间、或一系列离散点上整体逼近被近似函数,而在进行插值时,则须保证在若干自变量点上的函数值与被近似函数相等. 6.1 函数逼近的基本概念 进行函数逼近一般是在较简单的函数类Φ中找一个函数p(x)来近似给定的函数f(x),以使得在某种度量意义下误差函数p (x )?f(x)最小. 被逼近函数f(x)可能是较复杂的连续函数,也可能是只在一些离散点上定义的表格函数,而函数类Φ可以是多项式、分段多项式、三角函数、有理函数,等等. 函数逼近问题中度量误差的手段主要是函数空间的范数,下面先介绍函数空间的范数、内积等有关概念,然后讨论函数逼近问题的不同类型. 6.1.1 函数空间 线性空间的概念大家都很熟悉,其定义中包括一个元素集合和一个数域,以及满足一定运算规则的“加法”和“数乘”运算. 简单说,若这个元素集合对于“加法”和“数乘”运算封闭,则为一线性空间. 线性空间的元素之间存在线性相关和线性无关两种关系,进而又有空间的基和维数的概念. 在这里我们先考虑连续函数形成的线性空间. 例如C [a,b ]按函数加法、以及函数与实数乘法,构成一个线性空间. 对于[a,b]区间上所有k 阶导数连续的函数全体C k [a,b ],也类似地构成一个线性空间. 我们一般讨论实数函数,因此对应的是实数域?,若讨论复数函数,则相应的是复数域?. 另外,与线性代数中讨论的向量空间?n 不同,连续函数空间是无限维的. 对线性空间可以定义范数的概念(见3.1.2节). 针对实连续函数空间C [a,b ],与向量空间类似,可定义如下三种函数的范数(function norm): 1) ∞-范数 设f (x )∈C [a,b ],则‖f (x )‖∞=max x∈[a,b ]|f (x )| . 其几何意义如图6-1所示,即函数值绝 对值的最大值. 2) 1-范数 ‖f (x )‖1=∫|f (x )|dx b a . 其几何意义如图6-2所示,即函数曲线 与横轴之间的面积总和. 3) 2-范数 ‖f (x )‖2=[∫f 2(x )dx b a ]1/2. 2-范数也常称为平方范数,其几何意义 与1-范数类似. 线性空间还有一个重要概念是内积,它 定义了空间中两个元素的一种运算. 下面给出一般的复数域上线性空间内积的定义.

第三章函数逼近

第七章 函数逼近 用简单的函数p (x )近似地代替函数f (x ),是计算数学中最基本的概念和方法之一。近 似代替又称为逼近,函数f (x )称为被逼近的函数,p (x )称为逼近函数,两者之差 )()()(x p x f x R -= 称为逼近的误差或余项 在计算数学里,所谓简单的函数主要是指可以用加、减、乘、除四则运算进行计算的函 数,如有理分式函数、多项式等。由于多项式最简单,计算其值只需用到加、减与乘三种运算,且求其微分和积分都很方便,所以常用它来作为逼近函数,而被逼近的函数f (x )一般是一个比较复杂的不易计算的函数或以表格形式给出的函数。 第六章介绍的插值法实际上也是函数逼近的一种方法。不过,它要求函数p (x )与f (x ) 在节点处具有相同的函数值 (甚至要求有相同的导数值),但在非节点处,p (x ) 虽然有可能很好地逼f (x ),但也可能使逼近f (x ) 的误差很大,如果实际问题要求p (x )在区间[a , b ] 上每一点都“很好”地逼近的话,用插值多项式p (x ) 去逼近f (x )有时就要失败,所谓龙格现象,就是典型一例。 大家知道,用f (x )的泰勒(Taylor)展开式 )()()! 1()()(!)()(!2)() )(()()(010)1(00)(200000之间与在x x x x n f x x n x f x x x f x x x f x f x f n n n n ξξ++-++-++-''+-'+= 的部分和去逼近函数f (x ),也是常用的方法。这种方法的特点是:x 越接近于x 0,误差就越小,x 越偏离x 0,误差就越大。若要使这种逼近在整个所讨论的区间上都达到精度要求,则需取很多项,这样,计算工作量就大大增加。因此,如何在给定精度下,求出计算量最小的

3.7-数值计算方法教案-曲线拟合与函数逼近

第三章 插值法与最小二乘法 3.7 最小二乘法 一、教学目标及基本要求 通过对本节课的学习,使学生掌握数值逼近的拟合方法。 二、教学内容及学时分配 本章主要介绍数值分析的最小二乘法。具体内容如下:曲线拟合原理,最小二乘法。 三、教学重点难点 1.教学重点:曲线拟合。 2. 教学难点:最小二乘法。 四、教学中应注意的问题 多媒体课堂教学为主。适当提问,加深学生对概念的理解。 一.曲线拟合 1.问题提出: 已知多组数据(),,1,2,,i i x y i N =L ,由此预测函数()y f x =的表达式。 数据特点:(1)点数较多。(2)所给数据存在误差。 解决方法:构造一条曲线反映所给数据点的变化总趋势,即所谓的“曲线拟合”。 2.直线拟合的概念 设直线方程为y=a+bx 。 则残差为:?i i i e y y =-,1,2,,i N =L ,其中?i i y a bx =+。 残差i e 是衡量拟合好坏的重要标志。 可以用MATLAB 软件绘制残差的概念。 x=1:6; y=[3,4.5,8,10,16,20]; p=polyfit(x,y,1); xi=0:0.01:7; yi=polyval(p,xi); plot(xi,yi,x,y, 'o');

y1=polyval(p,x); hold on for i=1:6 plot([i,i],[y(i),y1(i)], 'r'); end 可以绘制出如下图形: 三个准则: (1)max i e 最小 (2)1n i i e =∑最小 (3)21 N i i e =∑最小 3.最小二乘法的直线拟合

第六章 函数逼近

第六章函数逼近https://www.doczj.com/doc/b818942983.html,/shuzhifenxi/index.htm 第一节曲线拟合的最小二乘法 问题的背景 通过观测、测量或试验得到某一函数在x1 ,x2,…,x n的函数值. 我们可以用插值的方法对这一函数进行近似,而插值方法要求所得到的插值多项式经过已知的这n个插值结点;在n比较大的情况下, 插值多项式往往是高次多项式, 这也就容易出现振荡现象:虽然在插值结点上没有误差,但在插值结点之外插值误差变得很,从“整体”上看,插值逼近效果将变得“很差”. 于是, 我们采用数据拟合的方法. 定义1 数据拟合就是求一个简单的函数φ(x), 例如是一个低次多项式,不要求通过已知的这n个点,而是要求在整体上“尽量好”的逼近原函数,这时在每个已知点上就会有误差y k -φ(x k),(k=1,2,…,n),数据拟合就是从整体上使误差 y k -φ(x k),(k=1,2,…,n), 尽量的小一些. 如果要求: 达到最小,因误差y k -φ(x k)可正可负 本来很大的误差可能会正负抵消,这样的提法不合理,为防止正负抵消,可以要求:达到最小,但是由于绝对值函数不可以求导,分析起来不方便,求解也很难. 为了既能防止正负抵消,又能便于我们分析、求解,提出如下问题: 求一个低次多项式φ(x) ,使得: 达到最小,此问题便是一个数据拟合的最小二乘问题.

一、直线拟合(一次函数) 通过观测、测量或试验得到某一函数在x1 ,x2,…,x n的函数值:y1 ,y2,…,y n ,即得到n组数据(x1 ,y1 ),(x2 ,y2),…,(x n ,y n ),如果这些数据在直角坐标系中近似地分布在一条直线上,我们可以用直线拟合的方法. 已知数据(x1 ,y1 ),(x2 ,y2),…,(x n ,y n ),求一次多项式φ(x)=a+bx(实际上,就是求a,b), 使得: (1) 达到最小. 注意到Q(a,b)中,x k ,y k均是已知的,而a,b是未知量,Q(a,b)是未知 量a,b的二元函数,利用高等数学求二元函数极 小值(最小值)的方法,上述问题转化为求解下 列方程组: 的解.

基于Matlab的简易计算器

工程设计报告 设计题目:基于Matlab的简易计算器 学院: 专业: 班级: 学号: 姓名: 电子邮件: 日期:2015年12 月 成绩: 指导教师:

西安电子科技大学 电子工程学院 工 程设计 任务书 学生姓名指导教师职称 学生学号专业 题目基于Matlab 的简易计算器 任务与要求 任务如下: 利用MATLAB GUI 设计实现一个图形用户界面的计算器程序,实现: A.实现十进制数的加、减、乘、除、简单计算。 B. 科学计算函数,包括正弦、余弦、正切、余切、开方、指数等函数运行。 C. 有清除键,能清除操作。 要求如下: A .熟练掌握MatlabGUI 界面的设计与应用 B .最终计算器能够实现预期的相关功能 开始日期2015年 11月日完成日期2016年1月日 课程设计所在单位 本表格由电子工程学院网络信息中心编辑录入 https://www.doczj.com/doc/b818942983.html,. …………………………装…………………… … … … … 订 … … … … … … … … … … … …线 … …… …… …… …… …… … …… …… …… …… …… … …

摘要 基于Matlab GUI计算器设计时利用GUI的创建图像用户界面进行计算器设计。设计计算器时,主要是考虑到计算器的易用性、功能的常用程度进行计算器界面与功能的设计。通过调整控件和文本的布局及颜色,使界面简单大方、布局合理,达到界面友好的效果。 计算器设计时主要利用到get和set两个函数进行各个控件属性值的传递和设置。计算器实现的功能有:数字0~9和小数点的输入显示,平方开方和对数的输入显示。进行四则运算、正弦函数、余弦函数、正切函数以及反正弦函数、反余弦函数、反正切函数的计算等等。最后运行调试,实现基于MatlabGUI的计算器的设计。 关键词:MatlabGUI计算器 Abstracts Based on Matlab GUI calculator design using the user interface to create images of GUI calculator design.Design calculator, mainly considering the ease of use, function calculators calculator interface and function of the common level of design.By adjusting the control and the layout of the text and color, make the interface simple and easy, rational layout, to achieve the effect of friendly interface. Calculator design used to get and set two main function for each attribute value transfer and control Settings.Calculator the functions are: 0 ~ 9, according to input and decimal square root and logarithm of input.Arithmetic, sine function and cosine function, tangent function and the arcsine function,arccosine function, the calculation of the arctangent function and so on.Finally running debugging, implementation design based on Matlab GUI calculator. Keywords: Matlab GUI calculator

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