代数部分
第三章：方程和方程组
基础知识点：
一、方程有关概念
1、方程：含有未知数的等式叫做方程。
2、方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值叫方程的解，含有一个未知数的方程的解也叫做方程的根。
3、解方程：求方程的解或方判断方程无解的过程叫做解方程。
4、方程的增根：在方程变形时，产生的不适合原方程的根叫做原方程的增根。 二、一元方程 1、一元一次方程
（1）一元一次方程的标准形式：ax+b=0（其中x 是未知数，a 、b 是已知数，a ≠0） （2）一元一次方程的最简形式：ax=b （其中x 是未知数，a 、b 是已知数，a ≠0） （3）解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项和系数化为1。
（4）一元一次方程有唯一的一个解。 例题：.解方程：（1）3131=+-
x x （2）x x x -=--+22
1
32 解：解：
（3）【05湘潭】关于x 的方程mx+4=3x+5的解是x=1，则m=。 2、一元二次方程
（1） 一般形式：()002
≠=++a c bx ax
（2） 解法：直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法
求根公式()002
≠=++a c bx ax ()
04242
2≥--±-=
ac b a
ac b b x
①、解下列方程：
（1）x 2－2x ＝0； （2）45－x 2＝0； （3）(1－3x )2＝1；（4）(2x ＋3)2－25＝0. （5）（t －2）（t +1）=0；（6）x 2＋8x －2＝0 (7)2x 2－6x －3＝0；（8）3（x －5）2＝2（5－x ）
解： ②填空：
（1）x 2＋6x ＋（）＝（x ＋）2； （2）x 2－8x ＋（）＝（x －）2；
（3）x 2＋2
3
x ＋（）＝（x ＋）2
（3）判别式△＝b2－4ac 的三种情况与根的关系
当0>?
当0=? 当0
例题．一、一元二次方程的解法 例1、解下列方程：
（1）2)3(2
12=+x ；（2）1322=+x x ；（3）22)2(25)3(4-=+x x 例2、解下列方程：
（1）)(0)23(2为未知数x b a x a x =+--；（2）08222=-+a ax x
3．（无锡市）若关于x 的方程x 2＋2x ＋k ＝0有两个相等的实数根，则k 满足()
A.k ＞1
B.k ≥1
C.k ＝1
D.k ＜1
4.（常州市）关于x 的一元二次方程01)12(2=-+++k x k x 根的情况是（）
（A ）有两个不相等实数根（B ）有两个相等实数根（C ）没有实数根（D ）根的情况无法判定
5．（浙江）已知方程022=++q px x 有两个不相等的实数根，则p 、q 满足的关系式（） A 、042>-q p B 、02>-q p C 、042
≥-q p D 、02≥-q p
6.根与系数的关系：x 1＋x 2=a b -，x 1x 2=a
c
例题：（浙江富阳市）已知方程011232=-+x x 的两根分别为1x 、2x ，则
2
111x x +的值是（ ） A 、
11
2
B 、211
C 、11
2-
D 、2
11-
例3、求作一个一元二次方程，使它的两个根分别比方程052=--x x 的两个根小3
根的判别式及根与系数的关系
例4、已知关于x 的方程：032)1(2=+++-p px x p 有两个相等的实数根，求p 的值。 例5、已知a 、b 是方程0122=--x x 的两个根，求下列各式的值： （1）22b a +；（2）b
a 11
+
分式方程的解法步骤： （1） 一般方法：选择最简公分母、去分母、解整式方程，检验 （2） 换元法
例题：①、解方程：21
14
42-=
+-x x 的解为065422=++-x x x 根为 ②、【北京市海淀区】当使用换元法解方程03)1
(2)1(
2=-+-+x x
x x 时，若设1+=x x y ，则原方程
可变形为（）A ．y 2＋2y ＋3＝0B ．y 2－2y ＋3＝0C ．y 2＋2y －3＝0D ．y 2－2y －3＝0 （3）、用换元法解方程43332
2=-+-x
x x x 时，设x x y 32
-=，则原方程可化为（） （A ）043=-+
y y （B ）043=+-y y （C ）0431=-+y y （D ）0431=++y
y 例、解下列方程：
（2）11
1
122-+=-x x ；（2）526222=+++x x x x 6、应用：
（1）分式方程（行程、工作问题、顺逆流问题）（2）一元二次方程（增长率、面积问题）（3）方程组实际中的运用
例题：①轮船在顺水中航行80千米所需的时间和逆水航行60千米所需的时间相同.已知水流的速度是3千米/时，求轮船在静水中的速度.（提示：顺水速度=静水速度+水流速度，逆水速度=静水速度-水流速度） 解：
②乙两辆汽车同时分别从A 、B 两城沿同一条高速公路驶向C 城.已知A 、C 两城的距离为450千米，B 、C 两城的距离为400千米，甲车比乙车的速度快10 千米/时，结果两辆车同时到达C 城.求两车的速度 解
③某药品经两次降价，零售价降为原来的一半.已知两次降价的百分率一样，求每次降价的百分率.（精确到0.1%） 解
④【05绵阳】已知等式(2A -7B )x +(3A -8B )=8x +10对一切实数x 都成立，求A 、B 的值
解
⑤【05南通】某校初三（2）班40名同学为“希望工程”捐款,共捐款100元.捐款
情况如下表：
捐款（元） 1 2 3 4 人数
6
7
表格中捐款2元和3元的人数不小心被墨水污染已看不清楚.
若设捐款2元的有x 名同学,捐款3元的有y 名同学,根据题意,可得方程组 A 、27
2366x y x y +=??+=?
B 、27
23100x y x y +=??
+=?
C 、27
3266x y x y +=??
+=?
D 、27
32100x y x y +=??
+=?
解
⑥已知三个连续奇数的平方和是371，求这三个奇数. ⑦一块长和宽分别为60厘米和40厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体水槽，使它的底面积为800平方米.求截去正方形的边长.
解：
四、方程组
4、
方
程
组
：
????→????→代入消元代入消元
加减消元加减消元
三元一次方程组二元一次方程组一元一次方程 二元(三元)一次方程组的解法：代入消元、加减消元
例题：解方程组??
?=-=+.
82,
7y x y x 20328x y x y -=??+=?1
12
33210
x y x y +?-
=???+=?
例7、解下列方程组：
（1）???=-=+52332y x y x ；（2）??
?
??=++=--=-+4
3521
2z y x z y x z y x
例8、解下列方程组：
（1）???==+127xy y x ；（2）?????=+=+---25
43432222y x y x y xy x
列方程（组）解应用题
知识点：
一、列方程（组）解应用题的一般步骤 1、审题： 2、设未知数；
3、找出相等关系，列方程（组）；
4、解方程（组）；
5、检验，作答；
二、列方程（组）解应用题常见类型题及其等量关系；
1、工程问题
（1）基本工作量的关系：工作量=工作效率×工作时间
（2）常见的等量关系：甲的工作量+乙的工作量=甲、乙合作的工作总量
（3）注意：工程问题常把总工程看作“1”，水池注水问题属于工程问题
2、行程问题
（1）基本量之间的关系：路程=速度×时间
（2）常见等量关系：
相遇问题：甲走的路程+乙走的路程=全路程
追及问题（设甲速度快）：
同时不同地：甲的时间=乙的时间；甲走的路程–乙走的路程=原来甲、乙相距路程同地不同时：甲的时间=乙的时间–时间差；甲的路程=乙的路程
3、水中航行问题：
顺流速度=船在静水中的速度+水流速度；
逆流速度=船在静水中的速度–水流速度
4、增长率问题：
常见等量关系：增长后的量=原来的量+增长的量；增长的量=原来的量×（1+增长率）；
5、数字问题：
基本量之间的关系：三位数=个位上的数+十位上的数×10+百位上的数×100
三、列方程解应用题的常用方法
1、译式法：就是将题目中的关键性语言或数量及各数量间的关系译成代数式，然后根据代数之间的内在联系找出等量关系。
2、线示法：就是用同一直线上的线段表示应用题中的数量关系，然后根据线段长度的内在联系，找出等量关系。
3、列表法：就是把已知条件和所求的未知量纳入表格，从而找出各种量之间的关系。
4、图示法：就是利用图表示题中的数量关系，它可以使量与量之间的关系更为直观，这种方法能帮助我们更好地理解题意。
例题：
例1、甲、乙两组工人合作完成一项工程，合作5天后，甲组另有任务，由乙组再单独工作1天就可完成，若单独完成这项工程乙组比甲组多用2天，求甲、乙两组单独完成这项工程各需几天？
例2、某部队奉命派甲连跑步前往90千米外的A地，1小时45分后，因任务需
1处要，又增派乙连乘车前往支援，已知乙连比甲连每小时快28千米，恰好在全程的
3
追上甲连。求乙连的行进速度及追上甲连的时间
例3、某工厂原计划在规定期限内生产通讯设备60台支援抗洪，由于改进了操作技术；每天生产的台数比原计划多50%，结果提前2天完成任务，求改进操作技术后每天生产通讯设备多少台？
例4、某商厦今年一月份销售额为60万元，二月份由于种种原因，经营不善，销售额下降10%，以后经加强管理，又使月销售额上升，到四月份销售额增加到96万元，求三、四月份平均每月增长的百分率是多少？
例5、一年期定期储蓄年利率为2.25%，所得利息要交纳20%的利息税，例如存入一年期100元，到期储户纳税后所得到利息的计算公式为：
税后利息=%)
100-
.2
?
%
25
=
?
-
?
?
100
25
25
%(
1
20
.2
100
%
20
%
.2
已知某储户存下一笔一年期定期储蓄到期纳税后得到利息是450元，问该储户存入了多少本金？
例6、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，减少库存，商场决定采取适当的降低成本措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件。若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
代数部分 第三章：方程和方程组 基础知识点： 一、方程有关概念 1、方程：含有未知数的等式叫做方程。 2、方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值叫方程的解，含有一个未知数的方程的解也叫做方程的根。 3、解方程：求方程的解或方判断方程无解的过程叫做解方程。 4、方程的增根：在方程变形时，产生的不适合原方程的根叫做原方程的增根。 二、一元方程 1、一元一次方程 （ 1）一元一次方程的标准形式： ax+b=0 （其中 x 是未知数， a 、b 是已知数， a ≠ 0） （ 2）一元一次方程的最简形式： ax=b （其中 x 是未知数， a 、 b 是已知数， a ≠ 0） （ 3）解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项和系数化为 1。 （ 4）一元一次方程有唯一的一个解。 例题 ：.解方程： （ 1） 1 x 1 x 2 x 1 x x 3 3 （ 2） 3 2 2 解： 解： （ 3）【05 湘潭】 关于 x 的方程 mx+4=3x+5 的解是 x=1 ，则 m= 。 2、一元二次方程 （ ） 一般形式： 2 bx c 0 a 1 ax （ 2） 解法：直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法 求根公式 ax 2 bx c 0 a 0 x bb 2 4ac b 2 4ac 0 2a 错误 !未找到引用源。 、 解下列方程： （ 1） x 2 －2x ＝ 0； （2）45－x 2＝0； （ 3） (1－3x)2＝1； （ 4） (2x ＋ 3)2－25＝0. （ 5）（t －2）（t+1） =0； （6）x 2＋8x －2＝0 (7 )2x 2 －6x －3＝0； （8）3（x － 5） 2 ＝2（5－x ） 解： 错误 !未找到引用源。 填空： （ 1） x 2 ＋6x ＋（ ）＝（ x ＋ ）2 ； （ 2） x 2 －8x ＋（ ）＝（ x － ）2 ； （ 3） x 2 ＋ 3 x ＋（ ）＝（ ＋ ）2 x 2
【关键字】初中 第7讲方程组的解法及应用 ◆考点链接 1．理解二元一次方程（组）的定义；二元一次方程（组）的解的定义． 2．能灵活地运用代入消元法、加减消元法解二元一次方程组． 3．会解简单的三元一次方程组． ＊4．会解简单的二元二次方程组． 5．能利用方程组解应用题． 注：标有“＊”号的是选讲内容． ◆典例精析 【例题1】已知的解，求a，b的值． 解题思路：根据解的定义可得到关于a，b的方程组． 答案：a=2，b=－3 【例题2】解方程组： （1） 解题思路：（1）题可先将方程组中的各方程化简，再用代入法或加减法解二元一次方程组．也可设x+y=a，x－y=b用换元法解．（2）题应首先由一次方程得x=2y再代入二次方程消去x． 答案：（1） 【例题3】求使方程组的解x、y都是正数m的取值范围． 解：由原方程组得，解得 4 000元．公司第一次改装了部分车辆后核算：?已改装后的车辆每天的燃料费占剩下未改装车辆每天燃料费的，公司第二次再改造同样多的车辆后，所有改造后的车辆每天的燃料费占剩下未改装车辆每天燃料费的． 问：（1）公司共改装了多少辆出租车？?改装后的每辆出租车平均每天的燃料费比改装前的燃料费下降了多少？ （2）若公司一次性将全部出租车改装，多少天后就可以从节约的燃料费中收回成本？ 解题思路：抓住改装后的车辆每天的燃料费占未改装车辆每天燃料费的分率，建立方程组是解此题的关键． 解：设公司第一次改装了y辆出租车，?改装后的每辆出租车平均每天的燃料费比改装前的燃料费下降的百分数为x． 答：公司第一次改装了20辆出租车，改装后的每辆出租车平均每天的燃料费比改装前的燃料费下降了40%． （2）设公司一次性将全部出租车改装，m天后就可以从节约的燃料费中收回成本．则100×80×40%×m=4000×100，解得m=125． 答：125天后，就可以从节省的燃料费中收回成本． 【问题2】（枣庄）某水果批发市场香蕉的价格如下表： 张强两次共购买香蕉（第二次多于第一次），共付款264元，?请问张强第一次、第二次各购买香蕉多少千克？ 解：设张强第一次购买香蕉x（kg），第二次购买香蕉y（kg），由题意，得0 基础知识点： 一、方程有关概念 1、方程：含有未知数的等式叫做方程。 2、方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值叫方程的解，含有一个未知数的方程的解也叫做方程的根。 3、解方程：求方程的解或方判断方程无解的过程叫做解方程。 4、方程的增根：在方程变形时，产生的不适合原方程的根叫做原方程的增根。 二、一元方程 1、一元一次方程 （1）一元一次方程的标准形式：ax+b=0（其中x是未知数，a、b是已知数，a≠0）（2）一元一次方程的最简形式：ax=b（其中x是未知数，a、b是已知数，a≠0） （3）解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项和系数化为1。 （4）一元一次方程有唯一的一个解。 例题：.解方程：（1）（2） （3）关于x的方程mx+4=3x+5的解是x=1，则m= 。 2、一元二次方程 （1）一般形式： （2）解法：直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法、十字相乘法求根公式 、解下列方程： （1）x2－2x＝0；（2）45－x2＝0； （3）(1－3x)2＝1；（4）(2x＋3)2－25＝0. （5）（t－2）（t+1）=0；（6）x2＋8x－2＝0 (7 )2x2－6x－3＝0；（8）3（x－5）2＝2（5－x）（3）判别式△＝b2－4ac的三种情况与根的关系 当时有两个不相等的实数根， 当时有两个相等的实数根 当时没有实数根。 当△≥0时有两个实数根 1、解下列方程： （1）；（2）；（3） 2、解下列方程： （1）；（2） 3．若关于x的方程x2＋2x＋k＝0有两个相等的实数根，则k满足 ( ) A.k＞1 B.k≥1 C.k＝1 D.k＜1 4.关于的一元二次方程根的情况是（） （A）有两个不相等实数根（B）有两个相等实数根 （C）没有实数根（D）根的情况无法判定 5.已知关于x的方程：有两个相等的实数根，求p的值。 小学五年级数学上册简易方程知识点归纳总结 1、小数乘整数的意义——求几个相同加数的和的简便运算。 如：3χ表示χ的3倍是多少或3个χ的和的简便运算。 如：1.5χ表示χ的1.5倍是多少或1.5个χ的和的简便运算。 2、?在乘法里：一个因数扩大几倍，另一个因数缩小相同的倍数，积不变。（这叫做积不变性质） 3、在除法里：被除数和除数同时扩大（或缩小）相同的倍数，商的大小不变。（这叫做商不变性质） 4.乘法分配律：a×(b±c)=a×b±a×c 5、（P45）在含有字母的式子里，字母中间的乘号可以简记“·”，也可以省略不写。（注意：加号、减号、除号以及数与数之间的乘号不能省略。字母与数字相乘简写时，数字写在字母前面。） 6、（P46）a×a可以写作a·a或a2，a2读作a的平方或a的二次方。??2a表示a+a 7、（P54）方程：含有未知数的等式称为方程。（所有的方程都是等式，但等式不一定都是等式。） 使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。 求方程的解的过程叫做解方程。 （方程的解是一个数；解方程是一个计算过程。） 8、（P55、56）解方程原理：天平平衡。 等式左右两边同时加、减、乘、除相同的数（0除外），等式依然成立。9、加、减、乘、除运算数量关系式： 加法：和=加数+加数??一个加数=和-两一个加数 减法：差=被减数-减数??被减数=差+减数??减数=被减数-差 乘法：积=因数×因数?一个因数=积÷另一个因数 除法：商=被除数÷除数?被除数=商×除数?除数=被除数÷商 10、解方程的方法： 方法一：利用天平平衡原理（即等式的性质）解方程； 方法二：利用加、减、乘、除运算数量关系解方程。 11、常用数量关系式： 路程＝(速度)×(时间)??速度＝(路程)÷(时间)时间＝(路程)÷(速度) 总价＝(单价)×(数量)??单价＝(总价)÷(数量)?数量＝(总价)÷(单价) 总产量＝(单产量)×(数量)单产量＝(总产量)÷(数量)数量＝(总产量)÷(单价) 大数－小数=相差数大数－相差数=小数小数＋相差数=大数 一倍量×倍数＝几倍量几倍量÷倍数＝一倍量?几倍量÷一倍量＝倍数 工作总量＝(工作效率)×(工作时间)工作效率＝(工作总量)÷(工作时间) 中考数学解方程（组）测试题 1．已知3是关于x 的方程12=-a x 的解，则a 的值是（ ） A ．5- B ．5 C ．7 D ．2 【答案】B 2．下列方程组中是二元一次方程组的是（ ） A ．???=+=21y x xy B ．?????=+=-31325y x y x C ．?????=-=-51302y x z x D ．?????=+=+73 25 y x y x 【答案】D 3．二元一次方程12=-y x 有无数多个解，下列四组值中不是．． 该方程的解的是（ ） A ．?? ? ??-==210 y x B ．?? ?==11y x C ．???==01y x D ．???-=-=11y x 【答案】B 4．若? ? ?==21 y x 是关于x 、y 的二元一次方程13=-y ax 的解，则a 的值为（ ） A ．5- B ．1- C ．2 D ．7 【答案】D 5．方程组? ? ?=+=-422 y x y x 的解是（ ） A ．???==21y x B ．???==13y x C ．? ??-==20y x D ．???==02y x 【答案】D 6．下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ） A ．2 21 0x x += B ．20ax bx c ++= C ．(1)(2)1x x -+= D ．223250x xy y --= 【答案】C 7．用配方法解方程0522 =--x x 时，原方程应变形为（ ） A ．()612 =+x B ．()922 =+x C ．()612 =-x D ．()922 =-x 【答案】C 8．一元二次方程21 04 x x -+ =的根（ ） A ．121122x x ==-， B ．1222x x ==-， C ．1212x x ==- D ．1212 x x == 【答案】D 9．关于x 的方程2220x mx m +-=的一个根为1，则m 的值为（ ） A ．1 B ．21 C ．1或21 D ．1或2 1- 【答案】D 10．下列关于x 的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ） A ．210x += B ．2210x x -+= C ．210x x ++= D ．2 210x x +-= 【答案】D 11．若关于x 的方程022=+-m x x 的一个根为1-，则另一个根为（ ） A ．3- B ．1- C ．1 D ．3 【答案】D 12．已知12x x 、是方程2 630x x ++=的两个实数根，则 21 12 x x x x +的值等于（ ） A ．6- B ．6 C ．10 D ．10- 【答案】C 13．二次函数2 2y x x k =-++的部分图象如图所示，则关于x 的一元 二次方程220x x k -++=的一个解13x =，另一个解=2x （ ） A ．1 B ．1- C ．2- D ．0 【答案】B 14．下面是四位同学解方程 1112=-+-x x x 过程中去分母的一步，其中正确的是（ ） A ．12-=+x x B ．12=-x C ．x x -=+12 D ．12-=-x x 【答案】D 15．对于非零的两个实数a 、b ，规定11 a b b a ?= -.若1(1)1x ?+=，则x 的值为（ ） A ． 23 B ．31 C ．21 D ．2 1- 【答案】D 初中方程的知识总结 方程的定义：是表示两个数学式（如两个数、函数、量、运算）之间相等关系的一种等式，通常在两者之间有一等号“=”。方程不用按逆向思维思考，可直接列出等式并含有未知数。它具有多种形式，如一元一次方程、二元一次方程等。广泛应用于数学、物理等理科应用题的运算。即：还有未知数的等式叫做方程 例如：2x+3=0 初中方程有：一元一次方程，一元二次方程，二元一次方程等等 一元一次方程：ax+b=0 一元二次方程:ax+by+c=0 二元一次方程:ax２+by+c=0 一般解法 1.去分母：在方程两边都乘以各分母的最小公倍数（不含分母的项也要乘）； 2.去括号：先去小括号，再去中括号，最后去大括号；(记住如括号外有减号的话一定要变号） 3.移项：把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边；移项要变号 4.合并同类项：把方程化成ax=b(a≠0)的形式； 5.系数化为1：在方程两边都除以未知数的系数a， 得到方程的解x=b/a. 一元二次方程的解法步骤： 一般解法 1.配方法 （可解全部一元二次方程） 如：解方程：x^2+2x－3=0 解：把常数项移项得：x^2+2x=3 等式两边同时加1（构成完全平方式）得：x^2+2x+1=4 因式分解得：（x+1)^2=4 解得：x1=-3,x2=1 用配方法解一元二次方程小口诀 二次系数化为一 常数要往右边移 一次系数一半方 两边加上最相当 2.公式法 （可解全部一元二次方程） 首先要通过Δ=b^2-4ac的根的判别式来判断一元二次方程有几个根 1.当Δ=b^2-4ac<0时x无实数根（初中） 2.当Δ=b^2-4ac=0时x有两个相同的实数根即x1=x2 初一数学解方程 行船问题：流水问题是研究船在流水中的行程问题，因此，又叫行船问题。 流水问题有如下两个基本公式：顺水速度=船速+水速 （1）逆水速度=船速-水速 （2）水速=船速-逆水速度 （3）船速=逆水速度+水速 (4) 船速=（顺水速度+逆水速度）÷2 (5) 水速=（顺水速度-逆水速度）÷2 练习： 1. 一艘船在两个码头之间航行，水流速度是3千米每小时，顺水航行 需要2小时，逆水航行需要3小时，求两码头的之间的距离？ 2.一艘船从A港到B港顺流行驶，用了5小时；从B港返回A港逆流而行，用 了7.5小时，已知水流的速度是3千米/时，求船在静水中的速度。 3.某人乘船由A地顺流而下到B地，然后又逆流而上到C地，共乘船3小时， 已知船在静水中的速度是每小时8千米，水流速度是每小时2千米，若A、C两 地距离为2千米，求A、B两地之间的距离。 4.一架飞机飞行在两个城市之间，风速为每小时24千米，顺风飞行需要2小时 50分钟，逆风飞行需要3小时，求两城市间距离。 5.一架飞机在两城之间飞行，风速为24千米/小时。顺风飞行需要2小时50 分，逆风飞行需要3小时，求无风时飞机的航速和两城之间的航程。 数字问题数字问题是常见的数学问题。 一元一次方程应用题中的数字问题多是整数，要注意数位、数位上的数字、数 值三者间的关系：任何数=∑（数位上的数字×位权），如两位数ab=10a+b； 三位数abc=100a+10b+c。在求解数字问题时要注意整体设元思想的运用。 例. 一个三位数，三个数位上的和是17，百位上的数比十位上的数大7，个位 上的数是十位上的数的3倍。求这个数。 例13. 一个六位数的最高位上的数字是1，如果把这个数字移到个位数的右 边，那么所得的数等于原数的3倍，求原数。讲评：这个六位数最高位上 的数移到个位后，后五位数则相应整体前移1位，即每个数位上的数字被扩大 10倍，可将后五位数看成一个整体设未知数。设除去最高位上数字1后的5位 数为x，则原数为10+x，移动后的数为10x+1，依题意有 10x+1=10+x ∴x = 42857 则原数为142857 知识点1：一元二次方程的基本概念 1．一元二次方程3x 2 +5x-2=0的常数项是-2. 2．一元二次方程3x 2 +4x-2=0的一次项系数为4，常数项是-2. 3．一元二次方程3x 2 -5x-7=0的二次项系数为3，常数项是-7. 4．把方程3x(x-1)-2=-4x 化为一般式为3x 2 -x-2=0. 知识点2：直角坐标系与点的位置 1．直角坐标系中，点A （3，0）在y 轴上。 2．直角坐标系中，x 轴上的任意点的横坐标为0. 3．直角坐标系中，点A （1，1）在第一象限. 4．直角坐标系中，点A （-2，3）在第四象限. 5．直角坐标系中，点A （-2，1）在第二象限. 知识点3：已知自变量的值求函数值 1．当x=2时,函数y=32-x 的值为1. 2．当x=3时,函数y=2 1-x 的值为1. 3．当x=-1时,函数y= 3 21-x 的值为1. 知识点4：基本函数的概念及性质 1．函数y=-8x 是一次函数. 2．函数y=4x+1是正比例函数. 3．函数x y 2 1-=是反比例函数. 4．抛物线y=-3(x-2)2 -5的开口向下. 5．抛物线y=4(x-3)2 -10的对称轴是x=3. 6．抛物线2)1(2 12+-=x y 的顶点坐标是(1,2). 7．反比例函数x y 2 = 的图象在第一、三象限. 知识点5：数据的平均数中位数与众数 1．数据13,10,12,8,7的平均数是10. 2．数据3,4,2,4,4的众数是4. 3．数据1，2，3，4，5的中位数是3. 知识点6：特殊三角函数值 1．cos30°= 2 3. 2．sin 2 60°+ cos 2 60°= 1. 3．2sin30°+ tan45°= 2. 4．tan45°= 1. 5．cos60°+ sin30°= 1. 代数部分 第三章:方程与方程组 基础知识点: 一、方程有关概念 1、方程:含有未知数的等式叫做方程。 2、方程的解:使方程左右两边的值相等的未知数的值叫方程的解,含有一个未知数的方程的解也叫做方程的根。 3、解方程:求方程的解或方判断方程无解的过程叫做解方程。 4、方程的增根:在方程变形时,产生的不适合原方程的根叫做原方程的增根。 二、一元方程 1、一元一次方程 (1)一元一次方程的标准形式:ax+b=0(其中x 就是未知数,a 、b 就是已知数,a ≠0) (2)一元一次方程的最简形式:ax=b(其中x 就是未知数,a 、b 就是已知数,a ≠0) (3)解一元一次方程的一般步骤:去分母、去括号、移项、合并同类项与系数化为1。 (4)一元一次方程有唯一的一个解。 例题:、解方程: (1) 3131=+- x x (2)x x x -=--+22 1 32 解: 解: (3)【05湘潭】 关于x 的方程mx+4=3x+5的解就是x=1,则m= 。 2、一元二次方程 （1） 一般形式:()002 ≠=++a c bx ax （2） 解法:直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法 求根公式()002 ≠=++a c bx ax () 042422 ≥--±-= ac b a ac b b x ①、解下列方程: (1)x 2－2x ＝0; (2)45－x 2＝0; (3)(1－3x )2＝1; (4)(2x ＋3)2－25＝0、 (5)(t －2)(t +1)=0; (6)x 2＋8x －2＝0 (7 )2x 2－6x －3＝0; (8)3(x －5)2＝2(5－x ) 解: ② 填空: (1)x 2＋6x ＋( )＝(x ＋ )2; (2)x 2－8x ＋( )＝(x － )2; (3)x 2＋2 3 x ＋( )＝(x ＋ )2 (3)判别式△＝b 2－4ac 的三种情况与根的关系 当0>?时有两个不相等的实数根 , 当0=?时有两个相等的实数根 当0 解方程知识点归纳总结 归纳 集团标准化办公室：[VV986T-J682P28-JP266L8-68PNN] 小学五年级数学上册简易方程知识点归纳总结 1、小数乘整数的意义——求几个相同加数的和的简便运算。 如：3χ表示χ的3倍是多少或3个χ的和的简便运算。 如：1.5χ表示χ的1.5倍是多少或1.5个χ的和的简便运算。 2、?在乘法里：一个因数扩大几倍，另一个因数缩小相同的倍数，积不变。（这叫做积不变性质） 3、在除法里：被除数和除数同时扩大（或缩小）相同的倍数，商的大小不变。（这叫做商不变性质） 4.乘法分配律：a×(b±c)=a×b±a×c 5、（P45）在含有字母的式子里，字母中间的乘号可以简记“·”，也可以省略不写。（注意：加号、减号、除号以及数与数之间的乘号不能省略。字母与数字相乘简写时，数字写在字母前面。） 6、（P46）a×a可以写作a·a或a2，a2读作a的平方或a的二次方。??2a表示a+a 7、（P54）方程：含有未知数的等式称为方程。（所有的方程都是等式，但等式不一定都是等式。） 使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。 求方程的解的过程叫做解方程。 （方程的解是一个数；解方程是一个计算过程。） 8、（P55、56）解方程原理：天平平衡。 等式左右两边同时加、减、乘、除相同的数（0除外），等式依然成立。 9、加、减、乘、除运算数量关系式： 加法：和=加数+加数??一个加数=和-两一个加数 减法：差=被减数-减数??被减数=差+减数??减数=被减数-差 乘法：积=因数×因数?一个因数=积÷另一个因数 除法：商=被除数÷除数?被除数=商×除数?除数=被除数÷商 10、解方程的方法： 方法一：利用天平平衡原理（即等式的性质）解方程； 方法二：利用加、减、乘、除运算数量关系解方程。 11、常用数量关系式： 路程＝(速度)×(时间)??速度＝(路程)÷(时间)时间＝(路程)÷(速度) 总价＝(单价)×(数量)??单价＝(总价)÷(数量)?数量＝(总价)÷(单价) 总产量＝(单产量)×(数量)单产量＝(总产量)÷(数量)数量＝(总产量)÷(单价) 大数－小数=相差数大数－相差数=小数小数＋相差数=大数 一倍量×倍数＝几倍量几倍量÷倍数＝一倍量?几倍量÷一倍量＝倍数 初中数学竞赛题中方程解的讨论问题解题策略（一） 方程是一种重要的数学模型，也是重要的数学思想之一。有关方程的解的讨论问题一直是初中数学竞赛试题的热点与难点。解决有关方程的解的讨论问题往往涉及到分类讨论、数形结合等数学思想。 一、知识要点 1.形如方程的解的讨论： ⑴若=0，①当=0时，方程有无数个解； ②当≠0时，方程无解； ⑵若≠0，方程的解为=。 2.关于一元二次方程(≠0)根的讨论，一般需应用到根的判别式、根与系数的关系等相关知识。 ⑴若，则它有一个实数根＝1；若，则它有一个实数根＝－1。 ⑵运用数形结合思想将方程(≠0)根的讨论与二次函数( ≠0)的图象结合起来考虑是常用方法。 3.涉及分式方程根的讨论，一般考虑使公分母为零的整式方程的根(即原分式方程的增根)。 4.关于含绝对值的方程解的讨论，一般使用分类讨论的方法去掉绝对值符号，有时也应用到数形结合思想与绝对值的几何意义。 5.解决有关方程整数根的问题时，一般要应用到整数的知识，要理解整除、质数等相关概念。 二、例题选讲 1.方程整数根的讨论 例 1.已知，且方程的两个实数根都是整数，则其最大的根 是。 解：设方程的两个实数根为、，则，所以。因为、都是整数，且97是质数，若设＜，则，，或，，因此最大的根是98。 评注：此题解答应用了一元二次方程根与系数的关系，分解质因数的知识等方法与技能。这种方法在有关一元二次方程整数根的讨论问题中经常用到，如： 类题.(2004年四川)已知，为整数，关于的方程有两个相同的实数根，则－等于( ) A.1； B.2； C.±1； D.±2. 分析：依题意得⊿=，所以，由，为整数得 ，或，或，或，所以－=±1。 例2.(2000年全国竞赛)已知关于的方程的根都是整数，那么符合条件的整数有______个。 解：上述方程没有说明是一次方程还是二次方程，因此需要分类讨论。 ①当时，，符合题意； ②当时，原方程是一元二次方程，易知是方程的一个整数根。设是方程的另一个整数根，由一元二次方程根与系数的关系得。因为是整数，所以 ±1，或±2，∴=－1，0，2，3。 结合①、②得，本题符合条件的整数有5个。 评注：本例首先对项的系数是否为零进行了分类讨论。对于时方程解的讨论方法具有一般性，即由是整数判断得±1，或±2。 延伸拓展：例2关于一元二次方程整数解的讨论方法应用到整除知识与分解变形技巧，是初中数学竞赛常考的内容，如： (2004年信利杯)已知、是实数，关于、的方程组有整数解(，)，求、满足的关系式。 解：原方程组可化为，所以，显然方程中≠－1， 因此。因为、是整数，所以，即=0，或－2。 0.5x-0.7=6.5-1.3x 1－2（2x+3）= －3（2x+1）2(x-2)-3(4x-1)=9(1-x) 11x+64-2x=100-9x 15-(8-5x)=7x+(4-3x) 3(x-7)-2[9-4(2-x)]=22 3/2[2/3(1/4x-1)-2]-x=2 2(x-2)+2=x+1 5x^2+3x+1=0 7x^2+x+12=0 2x^2+4x+4=0 8x^2+3x+1=0 5x^2+3x+2=0 2(x-2)-3(4x-1)=9(1-x) 11x+64-2x=100-9x 15-(8-5x)=7x+(4-3x) 3(x-7)-2[9-4(2-x)]=22 3/2[2/3(1/4x-1)-2]-x=2 2(x-2)+2=x+1 5x^2+3x+1=0 7x^2+x+12=0 2x^2+4x+4=0 8x^2+3x+1=0 5x^2+3x+2=0 45x^2+3x+100=0 89x^2+335x+1=0 x+1=3 2x+3=5 3x+5=8 4x+8=12 5x-6=9 2x-x=1 x+3=0 5x+3x=8 3x+1=2x x-7=6x+2 5x+1=9 9x+8=24 55x+54=-1 23+58x=99 29x-66=21 0.4(x-0.2)+1.5=0.7x-0.38 x=6 30x-10(10-x)=100 x=5 4(x+2)=5(x-2) x=18 120-4(x+5)=25 x=18.75 15x+863-65x=54 x=16.18 3(x-2)+1=x-(2x-1) x=3/2 11x+64-2x=100-9x x=2 x/3 -5 = (5-x)/2 2(x+1) /3=5(x+1) /6 -1 (1/5)x +1 =(2x+1)/4 (5-2)/2 - (4+x)/3 =1 x/3 -1 = (1-x)/2 (x-2)/2 - (3x-2)/4 =-1 简易方程单元的知识点梳理 一、 本单元知识点 （一） 用字母表示数 优点:简单、明了 1、 用字母表示数的一些简写规则：在含有字母的乘法式子中 （1） 乘号省略、数字在字母前面。 （2） 1与字母相乘时1不写。 （3） 相同的数相乘写成a 2 。 2、 用字母表示运算定律 加法：交换律：a+b=b+a 结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 乘法：交换律：ab=ba 结合律：(ab)c=a(bc) 分配律：(a+b)c=ac+bc 减法性质：a-b-c=a-（b+c ） 3、 用字母表示图形的面积和周长公式 S 长=ab C 长=2（a+b ） S 正 =a 2 C 正=4 a S 平行四边形=ah S 三角形=ah ÷2 S 梯=（a+b ）h ÷2 4、 用含有字母的式子表示数量关系 （1）代入求值 （2）利用字母公式计算 [利用字母公式计算后结果不写单位名称] （二）、简易方程 1、概念：方程 等式与方程的区别 等式性质： 方程两边同时加（或减）一个相同的数，等式成立。 方程两边同时乘一个相同的数，等式成立。 方程两边同时除以一个相同的数（0除外），等式成立 方程的解解方程 2、解方程：注意方程的正确格式：等号对齐，千万写“解”，并写对位置。 x在减数和除数的位置上时，学生问题大，可以用四则运算间的 关系解方程，也可以先转化成加法、乘法方程再解。 无论题目要求是否验算，学生一定养成验算的习惯； 3、找等量关系式 （1）抓住表示关系的句子找等量关系 （2）根据常见的数量关系找等量关系 （3）根据常用的计算公式找等量关系 （4）抓住“不变量”确定等量关系 4、列方程解简单应用题 步骤：（1）弄清题意，确定未知数，并用x表示。 （2）找出问题中数量相等的数量关系。 (3)列方程，解方程。 (4)检验，写出答案 （三）稍复杂方程 1、倍带量的题目 2、列方程解三步应用题 3、含有两个未知数的应用题 解方程综合练习 一．一元一次方程 1．17(2-3y)-5(12-y)＝8(1-7y)； 2．5(z-4)-7(7-z)-9＝12-3(9-z)； 3．3(x-7)-2［9-4(2-x)］=22； 4．3{2x-1-［3(2x-1)+3］}=5； (3)2(3y-4)+7(4-y)=4y ； (4)4x-3(20-x)=6x-7(9-x)； (5)3(2y+1)=2(1+y)+3(y+3)． 二．二元一次方程组 1．（1）?? ?=+=-13y x y x （2）?? ?=+=-83120 34y x y x （3）?? ?=+=-14645 34y x y x （4）?? ?=-=+1 235 4y x y x （5）?? ?=+=+132645y x y x （6）?? ?=+=-17327 23y x y x （1）23321y x x y =-?? +=? （2）?? ?-=-=+4 23 57y x y x （3） 23 3418x y x y ?=? ??+=? （4）56 3640x y x y +=?? --=? .（1）?? ?-=-+=-8 5)1(21 )2(3y x x y （2）?????=+= 18 433 2y x y x （3）?? ?=--=--0232560 17154y x y x （4）???? ?=-=+2 3432 1332y x y x （5）?????=-+= +1 323 241y x x y （6）?? ?=+=+241 2123243 2321y x y x （7）???? ?=+-+=-+-0 4235 132423512y x y x （8）???? ?=+--=++-5 7326 231 732623y x y x y x y x 三．分式方程 1. 423-x -2-x x =21 。 2. 31144x x x -=--- 列方程解应用题 一元一次方程应用题： 1．列一元一次方程解应用题的一般步骤 （1）审题：弄清题意．（2）找出等量关系：找出能够表示本题含义的相等关系．（3）设出未知数，列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，?然后利用已找出的等量关系列出方程．（4）解方程：解所列的方程，求出未知数的值．（5）检验，写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，?是否符合实际，检验后写出答案． 2.和差倍分问题 增长量＝原有量×增长率现在量＝原有量＋增长量 3.等积变形问题 常见几何图形的面积、体积、周长计算公式，依据形虽变，但体积不变． ①圆柱体的体积公式 V=底面积×高＝S·h＝r2h ②长方体的体积 V＝长×宽×高＝abc 4．数字问题 一般可设个位数字为a，十位数字为b，百位数字为c． 十位数可表示为10b+a，百位数可表示为100c+10b+a． 然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程． 5．市场经济问题 （1）商品利润＝商品售价－商品成本价（2）商品利润率＝ 商品利润 商品成本价 ×100% （3）商品销售额＝商品销售价×商品销售量 （4）商品的销售利润＝（销售价－成本价）×销售量 （5）商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如商品打8折出售，即按原标价的80%出售． 6．行程问题：路程＝速度×时间时间＝路程÷速度速度＝路程÷时间 （1）相遇问题：快行距＋慢行距＝原距 （2）追及问题：快行距－慢行距＝原距 （3）航行问题：顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度 逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度 抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静不速）不变的特点考虑相等关系． 7．工程问题：工作量＝工作效率×工作时间 完成某项任务的各工作量的和＝总工作量＝ 1 8．储蓄问题 利润＝每个期数内的利息 本金 ×100% 利息＝本金×利率×期数 1．将一批工业最新动态信息输入管理储存网络，甲独做需6小时，乙独做需4小时，甲先做30分钟，然后甲、乙一起做，则甲、乙一起做还需多少小时才能完成工作？ :2．兄弟二人今年分别为15岁和9岁，多少年后兄的年龄是弟的年龄的2倍？ 初中解方程全解知识点 ————————————————————————————————作者: ————————————————————————————————日期: 知识点一、解一元一次方程的一般步骤 变形名称 具体做法 注意事项 去分母 在方程两边都乘以各分母的最小公倍数 (1)不要漏乘不含分母的项 （２)分子是一个整体的，去分母后应加上括号 去括号 先去小括号,再去中括号，最后去大括号 （1)不要漏乘括号里的项 (2）不要弄错符号 移项 把含有未知数的项都移到方程的一边， 其他项都移到方程的另一边（记住移项 要变号) (１)移项要变号 (２)不要丢项 合并同类项 把方程化成ax ＝b (ａ≠0)的形式 字母及其指数不变 系数化成 1 在方程两边都除以未知数的系数a,得到方程的解b x a = . 不要把分子、分母写颠倒 要点诠释： （1）解方程时,表中有些变形步骤可能用不到，而且也不一定要按照自上而下的顺序，有些步骤可以合并简化． (2) 去括号一般按由内向外的顺序进行,也可以根据方程的特点按由外向内的顺序进行． (3）当方程中含有小数或分数形式的分母时,一般先利用分数的性质将分母变为整数后再去分母，注意去分母的依据是等式的性质,而分母化整的依据是分数的性质,两者不要混淆. 要点二、二元一次方程组的解法 １.解二元一次方程组的思想 2.解二元一次方程组的基本方法：代入消元法、加减消元法和图像法 （1）用代入消元法解二元一次方程组的一般过程： ①从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形,用含有x （或y )的代数式表示 y （或x ),即变成b ax y +=（或b ay x +=）的形式； ②将b ax y +=(或b ay x +=)代入另一个方程（不能代入原变形方程)中,消去y （或 x ),得到一个关于x (或y )的一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出x （或y ）的值; ④把x (或y )的值代入b ax y +=（或b ay x +=）中，求y （或x )的值; ⑤用“{”联立两个未知数的值,就是方程组的解. （２)用加减消元法解二元一次方程组的一般过程: ①根据“等式的两边都乘以（或除以)同一个不等于０的数,等式仍然成立”的性质,将原方程组化成有一个未知数的系数绝对值相等的形式； ②根据“等式两边加上（或减去）同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程”的性质，将变形后的两个方程相加（或相减）,消去一个未知数，得到一个一元一次方程; 转化 消元一元一次方程 二元一次方程组 初一下册青岛版数学解方程练习题 1．（每题5分，共10分）解方程组： （1）? ? ?=+=-17326 23y x y x ； （2 2．解方程组 ?? ? ??=-+=++=++1232721323z y x z y x z y x 3．解方程组： （1）3 3(1)0 22(3)2(1)10x y x y -?--=?? ?---=? （2）04239328a b c a b c a b c -+=??++=??-+=? 4．解方程(组) （1）3221+= --x x x （2）? ??-=+=+12332)13(2y x y x 5．???????=++-=+--3423 174 2 31y x y x 6．已知x ，y 是有理数，且（│x │－1）2+（2y+1）2 =0，则x －y 的值是多少？ 7．二元一次方程组437 (1)3 x y kx k y +=?? +-=?的解x ，y 的值相 等，求k ． 8．．当y=－3时，二元一次方程3x+5y=－3和3y －2ax=a+2（关于x ，y 的方程）?有相同的解，求a 的值． 9．?? ? ??=---=+-=+-．441454y x z x z y z y x 10．若42x y =?? =? 是二元一次方程ax －by=8和ax+2by=－4 的公共解，求2a －b 的值． 11．解下列方程： （1）． （2） （3） （4）?? ? ??=-+=+-=+321236z -y x z y x z y x 12．（开放题）是否存在整数m ，使关于x 的方程2x+9=2－（m －2）x 在整数范围内有解，你能找到几个m 的值？你能求出相应的x 的解吗？ 13．方程组25 28 x y x y +=?? -=?的解是否满足2x －y=8？满足2x －y=8的一对x ，y 的值是否是方程组25 28x y x y +=??-=? 的解？ 14．甲乙两车间生产一种产品，原计划两车间共生产300 件产品，实际甲车间比原计划多生产10%，乙车间比原计划多生产20%，结果共生产了340件产品，问原计划甲、乙两车间各生产了多少件产品？ 15．（本题满分14分） （1）解方程组25211x y x y -=-??+=? ， （2） 解方程组 ? ??=-=+)2.(633) 1(,844y x y x 16．??? ??=++-=+--． 6)(2)(315 2y x y x y x y x 第一讲行程问题 1行程问题中的三个基本量及其关系路程=速度×时间 2基本类型 ①相遇问题+慢行距=原距 ②追及问题快行距-慢行距=原距 ③航行问题=静水（风）速度+水流（风）速度 逆水（风）速度=静水（风）速度+水流（风）速度 顺速–逆速 = 2水速顺速 + 逆速 = 2船速 【经典例题】例1480公里90公里140公里。 11小时 2600公里 3600公里 4 51小时后两车同向而行 1.两车站相距275km50km/一小时的速度从甲站开往乙站1h时后75km的速度从乙站 开往甲站时后与快车相遇 2.一辆汽车以每小时40km的速度由甲地开往乙地3h后平均速度被迫每小时减少10km 乙地比预计的时间晚了45min 3.甲乙两人在同一道路上从相距5千米的A、B两地同向而行5千米/小时3千米/小时 已知狗的速度为15千米/小时 4.已知甲、乙两地相距120千米1千米A地出发2小时后B地出发 甲相向而行经过10小时后相遇 5. 一架飞机飞行于甲、乙两城之间5小时30分钟6小时24公里 6. 一队学生去军事训练18米/分的速度从队头至队尾又返回14米/分。问320米25分钟少米 7 一架飞机在两个城市之间飞行24千米/小时要2小时50分3小时 8. 一轮船在甲、乙两码头之间航行4小时5小时2千米/时 乙两码头之间的距离 盈利问题 1.一件商品的售价是30元， （1）如果卖出后盈利25％，那么这件商品的进价是多少？ （2）若卖出后亏损25％，那么进价又是多少？ 2.某商品标价110元，八折出售后，仍获利10%, 则该商品的进价为多少元？ 3.某商场把进价为80元的商品按标价的八折出售，仍获利10%, 则该商品的标价为多少元？ 4.某商场把进价为80元的商品按标价110元折价出售后，仍获利10%, 则商品打了几折？ 5. 某大型服装商场内，一件新款服装的进价是400元。为了吸引顾客，提高销售量，老板向员工征集销售方案，要求保证50%的利润率。员工甲的方案是：把这件服装按进价提高1倍进行标价，然后打出“新款8折优惠”的广告。如果你是这家大商场的老板，你觉得甲的方案符合你的利润要求吗？ 解方程综合练习 二元一次方程组 1． （1）?? ?=+=+1326 45y x y x （2） 23 3418 x y x y ?=? ??+=? （3）56 3640 x y x y +=?? --=? 2． .（1）?? ?-=-+=-85)1(21 )2(3y x x y （2）?????=+= 18 433 2y x y x （3）?? ?=--=--0 232560 17154y x y x （4）???? ?=-=+2 3432 1332y x y x 3． （1）?????=-+= +1 323 241y x x y （2）?? ?? ?=+--=++-5 7326231 732623y x y x y x y x 分式方程 1. 423-x -2-x x =2 1。 2. 31144x x x -=--- 3. 3212x x =-- 4. ()523111 x x x x +-=++ 5. 233x x =+ 6. 144222=-++-x x x 7.2 641313-=-- x x 8. x x ─ 1 ─ 2 x ─ 2 x ─ 1 = 0 一元二次方程 1、)4(5)4(2+=+x x 2、22)21()3(x x -=+ 3、31022 =-x x 6、2（2x －1）－x （1－2x ）=0 7、7x 2－4x －3 =0 8、 -x 2 -x+12 =0 10、22 (32)(23)x x -=- 11、x 2 -2x-4=0 13、2 631350x x -+= 14、()2 231210x --= 16、()()2 116x x ---= 17、()()323212x x -+= 解方程知识点归纳总结 This manuscript was revised by the office on December 22, 2012 小学五年级数学上册简易方程知识点归纳总结 1、小数乘整数的意义——求几个相同加数的和的简便运算。 如：3χ表示χ的3倍是多少或3个χ的和的简便运算。 如：1.5χ表示χ的1.5倍是多少或1.5个χ的和的简便运算。 2、在乘法里：一个因数扩大几倍，另一个因数缩小相同的倍数，积不变。（这叫做积不变性质） 3、在除法里：被除数和除数同时扩大（或缩小）相同的倍数，商的大小不变。（这叫做商不变性质） 4. 乘法分配律：a×(b ± c) = a×b ± a×c 5、（P45）在含有字母的式子里，字母中间的乘号可以简记“·”，也可以省略不写。（注意：加号、减号、除号以及数与数之间的乘号不能省略。字母与数字相乘简写时，数字写在字母前面。） 6、（P46）a×a可以写作a·a或a2 ，a2读作a的平方或a的二次方。 2a表示a+a 7、（P54）方程：含有未知数的等式称为方程。（所有的方程都是等式，但等式不一定都是等式。） 使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。 求方程的解的过程叫做解方程。 （方程的解是一个数；解方程是一个计算过程。） 8、（P55、56）解方程原理：天平平衡。 等式左右两边同时加、减、乘、除相同的数（0除外），等式依然成立。 9、加、减、乘、除运算数量关系式： 加法：和=加数+加数一个加数=和-两一个加数 减法：差=被减数-减数被减数=差+减数? 减数=被减数-差 乘法：积=因数×因数 一个因数=积÷另一个因数 除法：商=被除数÷除数 被除数=商×除数 除数=被除数÷商 10、解方程的方法： 方法一：利用天平平衡原理（即等式的性质）解方程； 方法二：利用加、减、乘、除运算数量关系解方程。 11、常用数量关系式： 路程＝(速度)×(时间) 速度＝(路程)÷(时间) 时间＝(路程)÷(速度) 总价＝(单价)×(数量) 单价＝(总价)÷(数量) 数量＝(总价)÷(单价) 总产量＝(单产量)×(数量) 单产量＝(总产量)÷(数量) 数量＝(总产量)÷(单价 ) 大数－小数=相差数大数－相差数=小数小数＋相差数=大数 一倍量×倍数＝几倍量几倍量÷倍数＝一倍量 几倍量÷一倍量＝倍数 工作总量＝(工作效率)×(工作时间) 工作效率＝(工作总量)÷(工作时间)初中数学中的解方程
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