第六章不定积分习题解答
练习 6.1
1. 若)(x F '=)(x f ,则)(x F 是)(x f 的原函数,)(x f 的原函数全体称为)
(x f 的不定积分。
区别是:)(x f 的不定积分描述了所有满足导数是)(x f 的函数,而原函数只是任一个满足导数是)(x f 的函数。 2. (1)3
x e - (2)c x +cos (3)a
1 (4)
2 (5)-1
(6)21-
(7)2
1
-
3.(1)(10)10x c '+= ?+=c x dx 1010 (2)x c x sin )cos 2(='+- ?+-=c x xdx cos 2sin 2 (3)dx x c x d 455)(=+ c x dx x +=?545
4.解:由题意3
22()3
f x x c ==+,又由 1)1(=f ,知 13c =,
因此 3221
()33
f x x =+。
5.解:由题意x x x f 1
)(ln )(='=,所以 2
1)(x x f -='
1.(1)21
ln 2x x c x
=+-+原式
(2)43
32arcsin 3cos x x x c =+++原式 (3) 111
e x
e x e e x c e +-+++原式=
(4)(4269)x x x dx -?+?原式=
=
c x
x x ++-99
ln 166ln 244ln 1 (5)715
111888248()15
x x x dx x dx x c ==+??原式=
(6)5
14445
x dx x c =+?原式=
(7)432
2
2111(1arctan 113
x x dx x dx x x c x x -+=-+=-++++??原式=) (8)2222221111
arctan (1)1x x dx dx dx x c x x x x x ++=+=-++++???原式=
(9)21cos sin cos 2222x x x x
dx dx c +==++??
原式=
(10)2211
()tan cot sin cos dx x x c x x
+=-+?原式=
(11)2(csc 1)cot x dx x x c -=--+?原式= 2. 解:由题意知()()7C x C x dx x '==+?c x +50
由固定成本为 1000 知 c=1000
因此 ()71000C x x =+
89
3
2221153(53)(53)(53)54511
(2)(21)(21)46
x dx x d x x c x x c
-=--=-+=-=-+?
??8
(1)()
3
22
(3)(1ln )(1ln )3
(4)x x x x x c
e dx de e c
---=+=++=-=-+?? 2csc csc cot (csc cot )
(5)csc ln |csc cot |csc cot csc cot x x x d x x xdx dx x x c
x x x x
--===-+--???24222
2222
31(6)sin cos 4sin cos cos 4
11cos 21sin 2(sin 2sin 2cos 2)428
11cos 41sin 2sin 28216111
(sin 4)sin 216448
x xdx x x xdx x x dx x x x dx x dx xd x x x x c ?=
??+=?=+-=+=-++?????? 222111(7)(1)ln |1|111
x x dx dx x dx dx x x x c x x x -+==-+=-++++++????
2222111(8)ln(1)1212
x dx dx x c c x x ==++=++?
? 22
2111
(9)(1)21(1)1
dx d x c x x x x =+=-+++++?
? 211111111
(10)ln 23(3)(1)414343
x dx dx dx dx c x x x x x x x -==-=++-+--++?
??? 222
1111(11)(1)arctan 25(1)222
x dx d x c x x x +=+=+++++?
? 11
(12)()()()()f ax b dx f ax b d ax b F ax b c a a
+=
++=++?? 2.用第二换元积分法求下列不定积分
22
(1)222ln 12ln(111t t dt dt dt t t c c
t t =-=-++=+++??
3
24
22
43
1133(2)(1)(ln |1|)441433(1)ln |144
t t x dt t t t c t x c =+=-++++=++?
2222(4) sec cos 1
3tan 3sin 3sin 11
(5)3ln 333(6)sin =cos t x t dx dt t t dt c t t t
c
x x c
x a t dx a ====-+=+==+=?
?解:令原式
令2
222222
22
2sin cos = =sin cos 1cos 21
(sin 2)222
sin cos 221
arcsin 22
(7)(2)ln 2ln 2dt a t a tdt dx a tdt
a t t a a dt t t c
a a t t t c a x c a x x c x c
?-==-+=-+=-=+=++=+++???
练习6.4
1. (1) 2
22111ln ln ln ln 222x xdx xdx x x x d x =
=-???
2
22111ln ln 2224
x x x xdx x x c =-=-+? (2) 222sin cos cos 2cos x xdx x d x x x x xdx =-=-+???
222
cos 2sin cos 2sin 2sin cos 2sin 2cos x x xd x x x x x xdx x x x x x c
=-+=-+-=-+++??
(3)(1)2223cos 11
csc csc csc sin 222
x x x dx xd x x xdx x -=-+=???
21
csc cot 22
x x x c =--+ (2)22
23cos 11cot cot cot sin 222
x x x dx xd x x xdx x -=-+=??? 221cot (csc 1)22x x x dx =-+-?21cot cot 222
x x
x x c =---+ (4)2222221211
(1)2(1)21x x x dx dx xd x x x
?==-+++??? 2221111
arctan 2121222
x x dx x c x x x =-?+=-+++++? (5)3sec sec tan sec tan tan sec xdx xd x x x xd x ==-???
223
3sec tan sec tan sec tan sec (sec 1)sec tan sec sec sec tan sec ln sec tan x x x xdx x x x x dx x x xdx xdx x x xdx x x
=-=--=-+=-++?????
因此 31
sec (sec tan ln sec tan )2
xdx x x x x c =
+++? (6)
?=
?
=+t
a t a dx
x a x t
a x sec tan 22tan 2
22设tdt a 2sec
222tan sec tan sec a t tdt a td t ==??
223(tan sec sec tan )(tan sec sec )a t t td t a t t tdt =-=-??
2
1[sec tan ln(sec tan )]2
a t t t t c =-++
221()ln 22
a x x a c x c a a a =-+=+ (7
)arcsin arcsin xdx x x =-?
2
1arcsin (1)2arcsin x x x x x c
=+
-=
(8)cos cos cos cos x x x x e xdx xde e x e d x ==-???
cos sin cos sin cos sin cos x x x x x
x
x
e x e xdx e x xde e x e x e xdx
=+=+=+-???
因此 1cos (cos sin )2
x x e xdx e x x c =++? (9)
2
cos 2cos t tdt t tdt =??设
2sin 2sin 2sin 2sin 2cos td t t t tdt t t t c c
==-=++=??
(10) 2arctan arctan arctan 1
ln arctan ()x
x e u x e u u dx d u du ud e u u u
====-????设 222
211111
arctan arctan arctan 11111arctan ()arctan ln ln(1)1211
arctan ln(1)2
x x x u d u u du
u u u u u u u du u u u c u u u u e x e c
e =-+=-++=-+-=-+-+++=-+-++??? 2.解: 由已知得
)sin ()(sin )('=+=
?x
x
x f c x x dx x f 或 ()()()()xf x dx xdf x xf x f x dx '==-???sin sin ()x x
x c x x
'=-+ 2
cos sin sin sin cos 2x x x x x x c x c x x x
-=-+=-?+
习题六
1.单选题
(1) C (2)A (3)C (4) D (5)B (6)C (7)B (8)B (9)A ①ln (ln )1
(),(ln )ln x x f x f x e dx f x d x e c c x x
--''===+=+?
? ②ln 1
(),(ln )x x f x e f x e x
--''=-=-=-,2(ln )11
f x dx dx c x x x
'=-=+?
? (10)D (11)C (12)A (13)C (14)D
(15)B 2
(1)11
x x x
xe e e dx d c x x x ==++++?? (16)C (17)B (18)C (19)C (20)D 2.已知曲线()y f x =的切线斜率为,x xe -且通过原点,求曲线方程。 解:已知 ()x f x xe -'=
()f x x x x x x x xe dx xde xe e dx xe e c ------==-=-+=--+???
由曲线过(0,0)知(0)0.f =即c=1,于是 ()1x x f x xe e --=--+
3.设边际收益为()202f x x =-,其中x 为产量,且当产量为零时,收益为零,求收益函数。
解:由边际收益函数为 ()202f x x =-
知收益函数 2
()(202)20R x x d x x x C
=-
=-+? 又(0)0R = 知C=0,于是 2()20R x x x
=- 4.某商品的边际需求函数为()5Q p '=-,最大需求量为100,生产这种产品的边际成本函数为()150.05C Q Q '=-,固定成本为12.5元,其中
P 为价格,Q 为需求量,C 为总成本,若供销量相等,求价格P 定为
多少时,利润最大。
解: ()(5)5Q p dp p c =-=-+? (0)100100Q c =∴= ,
需求函数为()1005Q p p =-
成本为2()(150.05)150.025C Q Q dQ Q Q c =-=-+?
0(0)12.5,12.5C C c ==∴= 2
()150.02512.5
C Q Q Q =-+
①利润关于P 的函数为:
2()()()(1005)15(1005)0.025(1005)12.5L P R P C P P P P P =-=-?--+--
令()0L P '=得 120
7
P =
120()07L ''<
即当P 为120/7时利润最大
②21()()()(20)150.02512.55
L Q R Q C Q Q Q Q Q =-=-?-+- 令()0L Q '=得1007Q =
100()07L ''< 此时120
7
P =
即当P 为120/7时利润最大 5.函数()f x 的弹性函数为1
()
f x ,且(1)0f =,求()f x 解:由已知得
1()()()
Ef x f x Ex f x f x '==即1()f x x '=
1
()ln ||f x dx x c x
==+? 又(1)0f = 0c = 得()ln f x x =
6.求下列不定积分
(1) =?c x x x d +-=--?32
31
)23(21
)23()23(3
1 (2) 222211
sin sin cos 22
x x dx x dx x c ==-+??
(3)
?
?
+-=-=c x x
x d dx x
x cos 2cos cos cos sin
(4) c e de e dx e e x x x x x +==??sin cos cos
(5)
c x x x
d dx x x
+--=---=-??
22
22252125)25(4125
(6) 222
221(45)1ln |45|452452
x d x x dx x x c x x x x --+==-++-+-+?? (7) ??+-=-=c x
x dx x xdx 12
6sin 226cos 13sin 2 (8) 1ln ln ln ln[ln(ln )]ln ln(ln )ln ln ln ln ln d x d x dx x c x x x x x x ===+???
(9)
dx =
ln 1ln(1x c x c =++=++
(10) ??+-=-=?c e x d e xdx e x x x cos cos cos cos sin (11) 5422sin sin sin (1cos )cos xdx x xdx x d x ==--???
2
4
(12cos cos )cos x x d x =--+?53
2cos cos cos 35
x x x c =-+-+
(12) ??
+=-=-c x x x d dx x
x
3
ln arcsin
ln 3ln ln 312
2
(13)
c x
x x d x x dx
+-=---=--?
?arcsin 11)arcsin 1()arcsin 1(1)
arcsin 1(22
2
(14) 222
11sin cos sin 2(1cos 4)48x xdx xdx x dx ==-???11sin 4832
x x c =-+
(15)
113
334
arcsin x c =
=+ (16)
?
?++--=+---=-+c x x x x x d dx x x arcsin 1arcsin 1)
1(2111
2222
(17) c e e de e e dx x x x
x x +=+=+??-arctan 1
2
(18) 42222tan tan (sec 1)tan tan tan xdx x x dx xd x xdx =-=-????
32
2
tan tan tan (sec 1)tan 3
x
xd x x dx x x c =--=-++??
(19)
422
41csc csc cot (1cot )cot sin dx xdx xd x x d x x ==-=-+????
3cot cot 3
x
x c =--+
(20) 35258611sin cos (1cos )cos cos cos cos 86
x xdx x xd x x x c =--=-+??
332285
32
2
3
2
2
85(21)1,(1)85
85
t x t x dx t dt
t t x
x x dx t t t dt c c
=-===-??=-+=-+???解:令
2
212(22)ln(1)1111(
)ln ln 111t d t dt
t t t dt c c
t t t -=--=-=+=+-++??
385
2242442222242
264227537/66(23)611()11(1)(1)166()111(1)(1)(1)16()111
6((1))
1
661263ln ||751
6675t t t t dt dt t t t t t dt dt dt t t t
t t t dt dt t t t t t dt dt t t t t t t c
t x =---+-+==+----++=+--=-+++---=-----++=--???????
?5/61/21/6
263ln ||x x x c
---+
3sec 23sec tan (24)9sec 3tan x t
t t
dt t t ==?
?11cos sin 99tdt t c c ==+=+?
22tan 3322
1
2sec 11(25)cos sin 8sec 44(4)x t
t dx dt tdt t c c t x ====+=++???
2
tan sec
(26)
tan sec
csc ln|csc cot|
1
ln|ln||
x
x u e u t tdt
t t
tdt t t c
c c
u
==
=
==-+
=+=+
==?
?
323233
111
(27)(21)(2)(2)(41)
333
x x x x
x e xdx x x de x x e e x dx
+=+=+-+???
233
11
(2)(41)
39
x x
x x e x de
=+-+
?2333
1411
(2)(41)
399
x x x
x
x x e e e d x
+
=+-?++
?
2333
1414
(2)
3927
x x x
x
x x e e e c
+
=+-?++
(28)ln x x x x x
e dx e xdx xe e c
+==-+
??
(29)cos sin sin sin
x x x x
e xdx e d x e x xde
----
==-
???
sin sin sin cos
sin(cos cos)sin cos cos
x x x x
x x x x x x
e x e xdx e x e d x
e x e x xde e x e x e xdx
----
------=+=-
=--=--
??
??
因此1
cos(sin cos)
2
x x
e xdx x x e c
--
=-+
?
(30) 解①22
ln
2222
22
(ln)x t
t t t t t
t
x t
dx e dt t e dt t de t e e dt
x e
=
----
===-=-+
?????
22
22
222
1
22((ln)2ln2)
t t t t t
t t t
t e te dt t e te e dt
t e te e c x x c
x
-----
---
=-+=--+
=---+=-+++
??
解②222
22
22 (ln)1(ln)1(ln)1
(ln)(ln)2ln x x x
dx x d d x x dx x x x x x x
=-=-+=-+????222
(ln)1(ln)ln1(ln)ln2 2ln2(ln)2 x x x x x
xd d x c x x x x x x x x
=--=---=---+??
(31)()()()()
22
22
ln ln ln ln2ln
x dx x x xd x x x xdx
=-=-
???
()2
ln2ln2
x x x x x c
=-++
(32)2222
3333
t
t t t t
e t dt t de t e e dt
==-
???
22
363666
t t t t t
t e tde t e te e c c =-=-++=-++
?
(33)①()()22221211
2413929
x t x x t dx d x dt x x t x +=++--=+=+++++??? ()()2
222111ln 9arctan 99233
112ln 413arctan 233t t dt dt t c t t x x x c =-=+-++++=++-+?
?
②2211242
4132413
x x dx dx x x x x ++-=++++?
? 2222
1(413)(2)2413(2)3
d x x d x x x x +++=-++++??2
112ln 413arctan 233x x x c +=++-+ *(34)5422
3
388(1)x x x x dx x x dx x x x x
+-+-=+-+--?? 222
222322(1)8
(1)(1)(1)11
(1)8()1111(1)ln 148ln 321x x x x dx x x x x x x x dx dx x x x
d x x x x x x x +=+-+
---=+-+-----=+-+--+-????
32
211ln 14ln 18ln 32x x x x x x c =
+-+---++ 3211
3ln 14ln 18ln 32x x x x x x c =+----+++ *(35)解①24
2222511
()56
23x dx dx x x x x -=+-+--??
dx dx =+?
c =
+
解
②2224222
252556(3)(2)x x dx dx x x x x --==-+--??
2= ,:右边通分后再比较分子由对应系数相等有
02223305A B C D A B C D +++=??
=?
?
+++=??-+-+=-?
A B C D ====解得
=
原式
c =
++
*(36)2222
3232
(21)(1)x x x x dx dx x x x x x -+-+=+++??
解① 令222
32(1)1(1)
x x A B C x x x x x -+=+++++ 则2222(1)(1)()(2)(1)(1)A x B x x Cx A B x A B C x A x x x x +++++++++=++22
32
(1)x x x x -+=
+
于是 1232A B A B C A +=??
++=-??=?
得 2,1,6
A B C ==-=- 2222
3232
(21)(1)x x x x dx dx x x x x x -+-+∴=+++??2216()1(1)dx x x x =--++? 62ln ln 11x x c x =-++++26
ln 11
x c x x =++++
解②222223211
32(21)
2121(1)x x x dx dx dx dx x x x x x x x x x -+∴=-++++++++???? 222112
32[]21
21(1)x x dx dx dx x x x x x x +=-+-+++++??? 22211232221
2121x x dx dx dx dx x x x x x x x +=-+-++++++?
???
2222222222211
7221
21122162ln 221211(21)(1)
62ln 221(1)16ln 212ln 21166ln(1)ln ln 2111x dx dx dx x x x x x x dx dx x
x x x x d x x d x x
x x x x x x c
x x x x c c
x x x =--++++++=--++++++++=--++++=-++++++=-++++=+++++?
?????? (37)422222
1111()(1)1dx dx dx x x x x x x ==----???111ln 21x c x x -=+++ (38)1
sin cos dx x x
+?
解① 令2222
212
tan ,sin ,cos ,2111x u u u x x dx du u u u -====+++(万能置换)
22222
2
11221sin cos 2111du du u dx u u x x u u u u +==--+--+
++???
2=-
c =+
c c =+=+
解②22sin cos sin sin()2sin
cos
2
2
2
x x x x
x x x x π
π
π
+
++
-+=++=
2sin()cos )444
x x πππ
=+=+
11csc()()sin cos 44)
4
dx dx x d x x x x ππ
π∴==++++??
csc()cot()44x x c ππ
=
+-++
*
(39)(0)a ≠解:令
212(),t x t b dx tdt a a ==-=
1222
(1)
t m m m
tdt dt dt
t m a a t m a t m
+-
=?==-
+++
???
22
(ln)ln
t m t m c m m c
a a
=-++=+
(40) 2
2
1111111
ln ln ln(ln)
1121141
x x x x
dx d c
x x x x x
++++
==+
-----
??
(41)
2
ln cos sin
ln cos tan tan ln cos tan
cos cos
x x
dx xd x x x x dx
x x
==+
???
2
tan ln cos(sec1)
x x x dx
=+-
?tan ln cos tan
x x x x c
=+-+
(42)解①
()()(
)
()()
2
333
22
322
3
22
11
111
222
1
11
x t u u d u
x x dx tdt
dx
u
t
x x
=--
==
+
++
????
设
2
2
11
u
du u c c
u u
-
==++=
?
解②令tan
x t
=2
sec
dx tdt
=
sec t
=
()32
3332
2
322
2
tan sin1cos
sec cos
sec cos cos
1
x t t t
dx tdt dt d t
t t t
x
-
===-
+
????
2
11
(1)cos arctan
cos cos
d t t c x c
t t
=--=++=+
?
(43)
()()()
4
74
4
222
44
11
441
11
t x
x x t
dx dx dt
t
x x
=
=
+
++
=
???
令
()2
111
41
t
dt
t
+-
=
+
?
()
()
2
4
4
1111111
ln1
414441
1
111
ln1
441
dt dt t c
t t
t
x c
x
=-=++?+
++
+
=++?+
+
??
(44)
()
()
()c
x
x
x
d
x
dx
+
-
=
+
-
-
=
+
-
?
?
2
1
2
arctan
4
1
4
1
2
1
2
2
1
4
1
22
2
(45) 解①
()211
1
x x x
xe e e
dx dx c
x x
x
'
==+
++
+
??()
解②
()2
11
111
1
x x
x x
xe xe
dx xe d dxe
x x x
x
=-=-+
+++
+
???
11
()(1)
1111
x x
x x x
xe xe
e xe dx e x dx
x x x x
=-++=-++
++++
??
11x x x x
xe xe e dx e c x x =-+=-++++?1x e c x
=++ (46) 解① 令21
11,,t x dx dt x t t
===-则
21()dt t =-=-?
1()
d t +=-
11111
ln ln 22
t c c x =-+
++=-+++
c =
解②
1
2
x +
==
设t=
22u u
=
=?设t
1
2sin cos cos sin 66du u u ππ===-?
1
csc()()66sin()6
du u d u u ππ
π==---?
?ln csc()cot()66u u c ππ=---+
1cos()6ln sin()6u c c u ππ--=+=+-
ln
c c =++=回代
(47)(
)
()14
244111x x
e t
u x
e u dx d u u e
=-=
-+?
?设 ()()73
44
7362
44444()117373
x x u u u u du c e e c =-=-+=+-++?
(48)
2
()3
x ==+
52
sec 3
3
22
55
tan sec tan 33tan sec (sec 1)sec t u
x u u udu u udu u udu =+==
?=
=-=
令令
33
1
(sec sec )sec sec )11(sec tan ln sec tan ln sec tan )922u u du udu udu u u u u u u c =
-=-=++-++??
111
(sec tan ln sec tan )22u u u u c =
-++
2t c =+ (
132326x x c =
++++ (49) 解
①1
2
1
()
x t
d x -=-==
设 ()arcsin 2arcsin 21t c x c =+=-+
解
②2c ===
(50)()
()()
()2
2
312
31
1116
116
x x dx d x x x +-+=+++++?
?
()()()()2221161322116
116d x d x x x ??+++??=-++++??
2311ln 217arctan 224
x x x c +=
++-+
(51)
41411
144x t
d x +=+==
设
11
ln ln 4144
t c x c =
++=++
+ (52)
311
3d x -=
1
1
ln 31ln 313
3
x c x c =-++=-+
+
(53)=-
2
9411393d x x -=-
1
ln 33
x c =
+ 7. 求下列不定积分 (1)()()()c b ax f a
b ax df a dx b ax f ++=+=
+'??1
1 (2)()()()()()()xf x dx xdf x xf x f x dx xf x f x c ''''''==-=-+??? (3)()[]()()[]()()[]c x f a x df x f dx x f x f a a
a
++=
='+??11
1
(4)()()()()
()c x f x f x df dx x f x f +=='??
ln 8.()(0)0().x f x xe f f x -'==求满足,且的函数
()()(0)011
x x x x x x x
x
f x xe dx xde xe e dx xe e c
f c f x xe e --------==-=-+=--+===--+???解:代入
9. 21
()0),().f x x f x x
'=
>设(求
(
)()2u x x f u f x ''===
=
解:令即 ()12f x x dx c -==? 10. 2(sin )cos ,().f x x f x '=设求
不定积分练习题一、选择题、填空题: 1、(1 sin2X )dx 2 2、若e x是f(x)的原函数,贝x2f(l nx)dx ___________ 3、sin(ln x)dx _______ 2 4、已知e x是f (x)的一个原函数,贝V f (tanx)sec2xdx ___________ : 5、在积分曲线族dx 中,过(1,1点的积分曲线是y _______________ 6、F'(x) f(x),则f '(ax b)dx ____________ ; 、1 7、设f (x)dx 2 c,则 x 8、设xf (x)dx arcs in x c,贝V ---------- dx f(x) 9、f '(lnx) 1 x,则f (x) _______ ; 10、若f (x)在(a,b)内连续,则在(a,b)内f (x) _________ (A)必有导函数(B)必有原函数(C)必有界(D)必有极限 11、若xf (x)dx xsin x sin xdx,贝Vf (x) _____ 12、若F'(x) f(x), '(x) f(x),贝V f (x)dx ______ (A)F(x) (B) (x) (C) (x) c (D)F(x) (x) c 13 、 下列各式中正确的是:(A) d[ f (x)dx] f (x) (B)引 dx f (x)dx] f (x)dx (C) df(x) f(x) (D) df(x) f (x) c 14 、设f (x) e x,则: f(lnx) dx x 1 c x (A) 1 c x (B) lnx c (C) (D) ln x c ◎dx
不定积分练习题 2 11sin )_________ 2 x d x -=?一、选择题、填空题:、( 2 2()(ln )_______x e f x x f x dx =?、若是的原函数,则: 3sin (ln )______x d x =?、 2 2 2 4()(tan )sec _________; 5(1,1)________; 6'()(),'()_________;1() 7(),_________;1 8()arcsin ,______() x x x e f x f x xd x d x y x x F x f x f a x b d x f e f x d x c d x x e xf x d x x c d x f x --===+== +==+=?? ??? ? ? 、已知是的一个原函数,则、在积分曲线族 中,过点的积分曲线是、则、设则、设 则____; 9'(ln )1,()________; 10()(,)(,)()______;()()()()11()sin sin ,()______; 12'()(),'()(),()_____()() ()() ()(f x x f x f x a b a b f x A B C D xf x d x x x xd x f x F x f x x f x f x d x A F x B x C x κ??=+== - = ===???、则、若在内连续,则在内必有导函数必有原函数必有界 必有极限 、若 则、若则)()()()c D F x x c ?+++ 13()[()]() ()[()]()() ()() () ()()d A d f x dx f x B f x dx f x dx d x C df x f x D df x f x c === = +????、下列各式中正确的是: (ln )14(),_______ 11() ()ln () () ln x f x f x e dx x A c B x c C c D x c x x -==++-+-+? 、设则:
定积分典型例题20例答案 例1 求2 1lim n n →∞L . 分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限.若对题目中被积函数难以想到,可采取如下方法:先对区间[0,1]n 等分写出积分和,再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限. 解 将区间[0,1]n 等分,则每个小区间长为1i x n ?=,然后把2111 n n n =?的一个因子1n 乘 入和式中各项.于是将所求极限转化为求定积分.即 21lim n n →∞+L =1lim n n →∞+L =34 = ?. 例2 0 ? =_________. 解法1 由定积分的几何意义知,0 ?等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ≥) 与x 轴所围成的图形的面积.故0 ? = 2 π . 解法2 本题也可直接用换元法求解.令1x -=sin t (2 2 t π π - ≤≤ ),则 ? =2 2 tdt ππ- ? =2tdt =220 2cos tdt π ?= 2 π 例3 (1)若2 2 ()x t x f x e dt -=?,则()f x '=___;(2)若0 ()()x f x xf t dt =?,求()f x '=___. 分析 这是求变限函数导数的问题,利用下面的公式即可 () () ()[()]()[()]()v x u x d f t dt f v x v x f u x u x dx ''=-?. 解 (1)()f x '=42 2x x xe e ---; (2) 由于在被积函数中x 不是积分变量,故可提到积分号外即0()()x f x x f t dt =?,则 可得 ()f x '=0()()x f t dt xf x +?. 例4 设()f x 连续,且31 ()x f t dt x -=?,则(26)f =_________. 解 对等式310 ()x f t dt x -=? 两边关于x 求导得 32(1)31f x x -?=, 故321(1)3f x x -= ,令3126x -=得3x =,所以1(26)27 f =.
2016年专项练习题集-定积分的计算 一、选择题 1.dx x )5(1 22-?=( ) A.233 B. 31 C.3 4 D .83 【分值】5分 【答案】D 【易错点】求被积函数的原函数是求解关键。 【考查方向】求定积分 【解题思路】求出被积函数的原函数,应用微积分基本定理求解。 【解析】dx x )5(122-?=123153x x -=83 . 2.直线9y x =与曲线3 y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积为( ) A 、 B 、 C 、2 D 、4 【分值】5分 【答案】D 【易错点】求曲线围成的图形的面积,可转化为函数在某个区间内的定积分来解决,被积函
数一般表示为曲边梯形上边界的函数减去下边界的函数. 【考查方向】定积分求曲线围成的图形的面积 【解题思路】先求出直线与曲线在第一象限的交点,再利用牛顿-莱布尼茨公式求出封闭图形的面积. 【解析】由? ??==39x y x y ,得交点为()()()27,3,27,3,0,0--, 所以()4 81034129942303 =??? ??-=-=?x x dx x x S ,故选D. 3.2 2-?2412x x -+dx =( ) A.π 4 B.π 2 C.π D.π3 【分值】5分 【答案】A 【易错点】利用定积分的几何意义,一般根据面积求定积分,这样可以避免求原函数,注意理解所涉及的几何曲线类型. 【考查方向】求定积分 【解题思路】利用定积分的几何意义,转化为圆的面积问题。 【解析】设y =2412x x -+,即(x -2)2+y 2=16(y ≥0).∵2 2-?2412x x -+dx 表示以4为半径的圆的四分之一面积.∴2 2-?2412x x -+dx =π4. 4.F4遥控赛车组织年度嘉年华活动,为了测试一款新赛车的性能,将新款赛车A 设定v =3t 2+1(m/s)的速度在一直线赛道上行驶,老款赛车B 设定在A 的正前方5 m 处,同时以v
第4章不定积分
习题4-1 1.求下列不定积分: 知识点:直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析:利用不定积分的运算性质和基本积分公式,直接求出不定积分! ★(1) 思路: 被积函数52 x - =,由积分表中的公式(2)可解。 解: 5 3 2 2 23x dx x C - - ==-+? ★(2)dx - ? 思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。 解:1 14111 33322 23 ()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - =-=-=-+???? ★(3)22x x dx +? () 思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。 解:2 2 3 2122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++? ??() ★(4) 3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。 解: 3153 22 222 3)325 x dx x dx x dx x x C -=-=-+?? ★★(5)422 331 1 x x dx x +++? 思路:观察到422 223311311 x x x x x ++=+++后,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项, 分别积分。 解:4223 2233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 2 1x dx x +?
思路:注意到22222 111 1111x x x x x +-==-+++,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别积分。 解:2221arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++??? 注:容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地,如果被积函数为一个有理的假分式, 通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式,再分项积分。 ★(7)x dx x x x ? 34134 (- +-)2 思路:分项积分。 解:34 11342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-?????34134(- +-)2 223134 ln ||.423 x x x x C --=--++ ★ (8)23( 1dx x -+? 思路:分项积分。 解 :2231( 323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x =-=-+++? ? ★★ (9) 思路 =? 111 7248 8 x x ++==,直接积分。 解 : 715 8 88 .15x dx x C ==+? ? ★★(10) 221 (1)dx x x +? 思路:裂项分项积分。 解: 222222 111111 ()arctan .(1)11dx dx dx dx x C x x x x x x x =-=-=--++++???? ★(11)21 1 x x e dx e --? 解:21(1)(1) (1).11 x x x x x x x e e e dx dx e dx e x C e e --+==+=++--??? ★★(12)3x x e dx ?
定积分典型例题 例1 求21lim n n →∞L . 分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限.若对题目中被积函数难以想到,可采取如下方法:先对区间[0,1]n 等分写出积分和,再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限. 解 将区间[0,1]n 等分,则每个小区间长为1 i x n ?=,然后把2111n n n =?的一个因子1n 乘 入和式中各项.于是将所求极限转化为求定积分.即 21lim n n →∞+L =1lim n n →∞+L =34 =?. 例2 ? =_________. 解法1 由定积分的几何意义知,0 ?等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ≥) 与x 轴所围成的图形的面积.故0 ?= 2 π . 例18 计算2 1 ||x dx -?. 分析 被积函数含有绝对值符号,应先去掉绝对值符号然后再积分. 解 2 1||x dx -?=0 2 10()x dx xdx --+??=220210[][]22x x --+=5 2 . 注 在使用牛顿-莱布尼兹公式时,应保证被积函数在积分区间上满足可积条件.如 3 322 2111 []6 dx x x --=-=?,则是错误的.错误的原因则是由于被积函数21x 在0x =处间断且在被积区间内无界. 例19 计算2 20 max{,}x x dx ?. 分析 被积函数在积分区间上实际是分段函数 212()01x x f x x x ?<≤=?≤≤? . 解 232 12 2 2 12010 1 1717max{,}[][]23236 x x x x dx xdx x dx =+=+=+=? ?? 例20 设()f x 是连续函数,且10 ()3()f x x f t dt =+?,则()________f x =. 分析 本题只需要注意到定积分()b a f x dx ?是常数(,a b 为常数). 解 因()f x 连续,()f x 必可积,从而10 ()f t dt ?是常数,记1 ()f t dt a =?,则 ()3f x x a =+,且11 (3)()x a dx f t dt a +==??.
第4章不定积分 习题4-1 1.求下列不定积分: 知识点:直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析:利用不定积分的运算性质和基本积分公式,直接求出不定积分!
★(1) ? 思路: 被积函数52 x - =,由积分表中的公式(2)可解。 解: 53 2 2 23x dx x C --==-+? ★(2) dx ? 思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。 解:1 14111 33322 23 ()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - =-=-=-+? ??? ★(3)22 x x dx +? () 思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。 解:2 2 3 2122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++???() ★(4) 3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。 解: 3153 22 222 3)325 x dx x dx x dx x x C -=-=-+?? ★★(5)4223311x x dx x +++? 思路:观察到422 22 3311311 x x x x x ++=+++后,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别积分。 解:422 32233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 21x dx x +? 思路:注意到 22222 111 1111x x x x x +-==-+++,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别积分。
第五章 不定积分 习题 5-1 1. 1. 验证在(-∞,+∞) 内, 221 sin , cos 2, cos 2x x x -- 都是同一函 数的原函数. 解 221 (sin )'(cos 2)'(cos )'sin 22x x x x =-=-=因为 221 sin ,cos 2,cos sin 22x x x x --所以都是的原函数. 2. 2. 验证在(-∞,+∞) 内, 2222(),() 2()x x x x x x e e e e e e ---+-+都是 的原函数. 解 2 2 22[()]' [()]'=2() x x x x x x e e e e e e - --+=-+因为 2222 ()() 2().x x x x x x e e e e e e ---+=-+所以都是的原函数 3.已知一个函数的导数是2 11 x -,并且当x = 1时, 该函数值是3 2π,求这个函数. 解 设所求函数为f (x ), 则由题意知 '()f x = '(arcsin )x 因为 '()()d arcsin f x f x x x C ===+?所以 又当x = 1时, 3 (1)2f π =,代入上式, 得C = π 故满足条件的函数为 ()f x =arcsin x π+. 3. 3. 设曲线通过点(1, 2) , 且其上任一点处的切线的斜率等于这点横坐 标的两倍,求此曲线的方程. 解 设曲线方程为 ()y f x =, 则由题意知'' ()2y f x x == 因为 2()'2x x = 所以 2'()d 2d y f x x x x x C = ==+? ? 又因为曲线过点(1, 2), 代入上式, 得C = 1 故所求曲线方程为 2 1y x =+. 5. 求函数y = cos x 的分别通过点( 0, 1) 与点(π, -1)的积分曲线的方程. 解 设y = cos x 积分曲线方程为 ()y f x = 因为 ' (sin )cos x x = 所以 ()cos d sin f x x x x C ==+? 又因为积分曲线分别通过点( 0, 1) 与点(π, -1),代入上式, 得C 1 = 1 与 C 2 = -1. 故满足条件的积分曲线分别为
第五章 定积分 (A) 1.利用定积分定义计算由抛物线12 +=x y ,两直线)(,a b b x a x >==及横轴所 围成的图形的面积。 2.利用定积分的几何意义,证明下列等式: ? =1 12)1xdx 4 1) 21 2π = -? dx x ?- =π π0sin ) 3xdx ?? - =2 2 20 cos 2cos )4π ππ xdx xdx 3.估计下列各积分的值 ? 33 1arctan ) 1xdx x dx e x x ?-0 2 2)2 4.根据定积分的性质比较下列各对积分值的大小 ?2 1 ln )1xdx 与dx x ?2 1 2)(ln dx e x ?10)2与?+1 )1(dx x 5.计算下列各导数
dt t dx d x ?+20 2 1)1 ?+32 41)2x x t dt dx d ?x x dt t dx d cos sin 2)cos()3π 6.计算下列极限 x dt t x x ?→0 20 cos lim )1 x dt t x x cos 1)sin 1ln(lim )20 -+?→ 2 2 20 )1(lim )3x x t x xe dt e t ? +→ 7.当x 为何值时,函数? -=x t dt te x I 0 2 )(有极值? 8.计算下列各积分 dx x x )1 ()12 1 42? + dx x x )1()294+?
? --212 12) 1()3x dx ? +a x a dx 30 2 2) 4 ?---+2 11)5e x dx ?π20sin )6dx x dx x x ? -π 3sin sin )7 ? 2 )()8dx x f ,其中??? ??+=22 11)(x x x f 1 1>≤x x 9.设k ,l 为正整数,且l k ≠,试证下列各题: ?- =π π 0cos )1kxdx πππ =?-kxdx 2cos )2 ?- =?π π 0sin cos )3lxdx kx ?-=π π 0sin sin )4lxdx kx
定积分典型例题20例答案 例1 求33322 32 1lim (2)n n n n n →∞+++. 分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限.若对题目中被积函数难以想到,可采取如下方法:先对区间[0,1]n 等分写出积分和,再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限. 解 将区间[0,1]n 等分,则每个小区间长为1i x n ?=,然后把2111n n n =?的一个因子1 n 乘 入和式中各项.于是将所求极限转化为求定积分.即 33322 32 1lim (2)n n n n n →∞+++=333 112 lim ()n n n n n n →∞++ +=1303 4 xdx =?. 例2 2 20 2x x dx -? =_________. 解法1 由定积分的几何意义知,2 20 2x x dx -?等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ≥) 与x 轴所围成的图形的面积.故220 2x x dx -? = 2 π . 解法2 本题也可直接用换元法求解.令1x -=sin t (2 2 t π π - ≤≤ ),则 2 2 2x x dx -? =2 2 2 1sin cos t tdt ππ- -? =2 2 21sin cos t tdt π -? =220 2cos tdt π ?= 2 π 例3 (1)若2 2 ()x t x f x e dt -=?,则()f x '=___;(2)若0 ()()x f x xf t dt =?,求()f x '=___. 分析 这是求变限函数导数的问题,利用下面的公式即可 () () ()[()]()[()]()v x u x d f t dt f v x v x f u x u x dx ''=-?. 解 (1)()f x '=42 2x x xe e ---; (2) 由于在被积函数中x 不是积分变量,故可提到积分号外即0()()x f x x f t dt =?,则 可得 ()f x '=0()()x f t dt xf x +?. 例4 设()f x 连续,且31 ()x f t dt x -=?,则(26)f =_________. 解 对等式310 ()x f t dt x -=? 两边关于x 求导得 32(1)31f x x -?=,
第4章不定积分 内容概要 课后习题全解 习题4-1 1.求下列不定积分: 知识点:直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。
思路分析:利用不定积分的运算性质和基本积分公式,直接求出不定积分! ★(1) 思路: 被积函数52 x - =,由积分表中的公式(2)可解。 解: 53 2 2 23x dx x C -- ==-+? ★(2) dx - ? 思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。 解:1 14111 33322 23()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - =-=-=-+???? ★(3)22 x x dx +? () 思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。 解:2 2 3 2122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++? ??() ★(4) 3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。 解: 3153 22 222 3)325 x dx x dx x dx x x C -=-=-+?? ★★(5)4223311x x dx x +++? 思路:观察到422 223311311x x x x x ++=+++后,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别积分。 解:4223 2233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 21x dx x +?
思路:注意到 22222 111 1111x x x x x +-==-+++,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别积分。 解:22 21arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++??? 注:容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地,如果被积函数为一个有理的假分式,通常先将其分解为一个整式 加上或减去一个真分式的形式,再分项积分。 ★(7)x dx x x x ? 34 134( -+-)2 思路:分项积分。 解:3411342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-? ????34134( -+-)2 ★ (8) 23(1dx x -+? 思路:分项积分。 解 :2231( 323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x =-=-+++? ?? ★★ (9) 思路 =? 看到1117248 8 x x ++==,直接积分。 解 : 7 15 8 88 .15x dx x C ==+? ★★(10) 221 (1)dx x x +? 思路:裂项分项积分。 解: 222222 111111 ()arctan .(1)11dx dx dx dx x C x x x x x x x =-=-=--++++???? ★(11)21 1 x x e dx e --? 解:21(1)(1)(1).11 x x x x x x x e e e dx dx e dx e x C e e --+==+=++--??? 3x x e dx ?
高等数学不定积分例题思路和答案超全 内容概要 课后习题全解 习题4-1 :求下列不定积分1.知识点:。直接积分法的练习——求不定积分的基本方法思路分析:!利用不定积分的运算性质和基本积分公式,直接求出不定积分(1)★思路: 被积函数,由积分表中的公式(2)可解。 解: (2)★思路: 根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。解: (3)★思路: 根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。:解. (4)★思路: 根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。解: (5)思路:观察到后,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别积分。
解: (6)★★思路:注意到,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别积分。 解: 注:容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地,如果被积函数为一个有理的假分式,通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式,再分项积分。(7)★思路:分项积分。 解: (8)★思路:分项积分。 解: (9)★★思路:?看到,直接积分。 解: (10)★★思路: 裂项分项积分。解: (11)★解: (12)★★思路:初中数学中有同底数幂的乘法:指数不变,底数相乘。显然。 解: (13)★★思路:应用三角恒等式“”。 解: (14)★★思路:被积函数,积分没困难。 解: (15)★★思路:若被积函数为弦函数的偶次方时,一般地先降幂,再积分。 解: (16)★★思路:应用弦函数的升降幂公式,先升幂再积分。 解: () 17★思路:不难,关键知道“”。 :解. ()18★思路:同上题方法,应用“”,分项积分。 解: ()19★★思路:注意到被积函数,应用公式(5)即可。 解: ()20★★思路:注意到被积函数,则积分易得。 解: 、设,求。2★知识点:。考查不定积分(原函数)与被积函数的关系思路分析::。即可1直接利用不定积分的性质解::等式两边对求导数得 、,。求的原函数全体设的导函数为3★知识点:。仍为考查不定积分(原函数)与被积函数的关系思路分析:。连续两次求不定积分即可解:,由题意可知:。所以的原函数全体为、证明函数和都是的原函数4★知识点:。考查原函数(不定积分)与被积函数的关系思路分析:。只需验证即可解:,而、,且在任意点处的切线的斜率都等于该点的横坐标的倒数,求此曲线的方程。一曲线通过点5★知识点:属于第12章最简单的一阶线性微分方程的初值问题,实质仍为考查原函数(不定积分)与被积函数的关系。 思路分析:求得曲线方程的一般式,然后将点的坐标带入方程确定具体的方程即可。 解:设曲线方程为,由题意可知:,; 又点在曲线上,适合方程,有, 所以曲线的方程为 、,:问6一物体由静止开始运动,经秒后的速度是★★(1)在秒后物体离开出发点的距离是多少?
定积分的计算 班级 姓名 一、利用几何意义求下列定积分 (1)dx x ? 1 1 -2-1 (2)dx x ? 2 2-4 (3) dx x ? 2 2-2x (4) ()dx x x ? -2 4 二、定积分计算 (1)()dx ?1 7-2x (2)( ) d x ?+2 1 x 2x 32 (3)dx ?3 1 x 3 (4)dx x ?π π - sin (5)dx x ?e 1 ln (6)dx ? +1 x 112 (7)() dx x x ?+-10 2 32 (8)()dx 2 31 1-x ? (9)dx ?+1 1 -2x x 2)( (10)( ) d x x ?+21 2x 1x (11)() dx x x ?-+1 1 -352x (12)() dx e e x x ?+ln2 x -e (13)dx x ?+π π --cosx sin ) ( (14)dx ? e 1 x 2 (15)dx x ?2 1 -x sin -2e )( (16)dx ?++2 1-3x 1 x x 2 (17)dx ? 2 1x 13 (18)()dx 2 2 -1x ?+
三、定积分求面积、体积 1求由抛物线y 2=2x 与直线y =4-x 围成的平面图形的面积。 2.求曲线y =x ,y =2-x ,y =-1 3 x 所围成图形的面积. 3.求由曲线y =cos x (0≤x ≤2π)与直线y =1所围成的图形面积 4.如图求由两条曲线y =-x 2 ,y =-14 x 2 及直线y =-1所围成的图形的面积. 5、求函数f(x)=???? ? x +1 (-1≤x<0)cosx (0≤x ≤π 2)的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积。 6.将由曲线y =x 2,y =x 3所 围成平面图形绕x 周旋转一周,求所得旋转体的体积。 7.将由三条直线x =0、x =2、y =0和曲线y =x 3所围成的图形绕x 周旋转一周,求所得旋转体的体积。 8.由曲线y =x 与直线x =1,x =4及x 轴所围成的封闭图形绕x 周旋转一周,求所得旋转体的体积
不定积分 (A) 1、求下列不定积分 1)?2 x dx 2) ? x x dx 2 3) dx x ?-2)2 ( 4) dx x x ? +2 2 1 5)??- ? dx x x x 3 2 5 3 2 6) dx x x x ?2 2sin cos 2 cos 7) dx x e x) 3 2(?+ 8) dx x x x ) 1 1( 2 ?- 2、求下列不定积分(第一换元法) 1) dx x ?-3)2 3( 2) ? - 33 2x dx 3) dt t t ?sin 4) ? ) ln(ln ln x x x dx 5)? x x dx sin cos6) ?- +x x e e dx 7) dx x x) cos(2 ? 8) dx x x ? -4 3 1 3 9) dx x x ?3 cos sin 10) dx x x ? - - 2 4 9 1 11)? -1 22x dx 12) dx x ?3 cos 13)?xdx x3 cos 2 sin 14) ?xdx x sec tan3 15) dx x x ? +2 3 916) dx x x ? +2 2sin 4 cos 3 1 17) dx x x ? -2 arccos 2 1 10 18) dx x x x ? +) 1( arctan
3、求下列不定积分(第二换元法) 1) dx x x ? +2 1 1 2) dx x ?sin 3) dx x x ?-4 2 4) ?> - )0 (, 2 2 2 a dx x a x 5)? +3 2)1 (x dx 6) ? +x dx 2 1 7)? - +2 1x x dx 8) ? - +2 1 1x dx 4、求下列不定积分(分部积分法) 1) inxdx xs ? 2) ?xdx arcsin 3)?xdx x ln 2 4) dx x e x ?- 2 sin 2 5)?xdx x arctan 2 6) ?xdx x cos 2 7)?xdx 2 ln 8) dx x x 2 cos2 2 ? 5、求下列不定积分(有理函数积分) 1) dx x x ? +3 3 2)? - + + dx x x x 10 3 3 2 2 3)? +)1 (2x x dx (B) 1、一曲线通过点 )3, (2e,且在任一点处的切线斜率等于该点的横坐标的倒数,求该曲线的 方程。 2、已知一个函数 ) (x F的导函数为2 1 1 x -,且当1 = x时函数值为 π 2 3 ,试求此函数。
上海第二工业大学 不定积分、定积分 测验试卷 姓名: 学号: 班级: 成绩: 一、选择题:(每小格3分,共30分) 1、设 sin x x 为()f x 的一个原函数,且0a ≠,则()f ax dx a ?应等于( ) (A )3sin ax C a x +; (B )2sin ax C a x +; (C )sin ax C ax +; (D )sin ax C x + 2、若x e 在(,)-∞+∞上不定积分是()F x C +,则()F x =( ) (A )12,0(),0x x e c x F x e c x -?+≥=?-+;(B ),0()2,0x x e c x F x e c x -?+≥=?-++; (C ),0 ()2,0x x e x F x e x -?≥=?-+;(D ),0(),0 x x e x F x e x -?≥=?- 3、设0 1,0 ()0,0,()()1,0x x f x x F x f t dt x >?? ===??- ?,则( ) (A )()F x 在0x =点不连续; (B )()F x 在(,)-∞+∞内连续,在0x =点不可导; (C )()F x 在(,)-∞+∞内可导,且满足()()F x f x '=; (D )()F x 在(,)-∞+∞内可导,但不一定满足()()F x f x '=。 4、极限0 2 sin lim x x x t tdt t dt →?? =( ) (A )-1; (B )0; (C )1; (D )2 5、设在区间[,]a b 上()0,()0,()0f x f x f x '''><>。令1()b a s f x dx =?,2()()s f b b a =- 31 [()()]()2 s f a f b b a =+-,则( ) (A )123s s s <<; (B )213s s s <<; (C )312s s s <<; (D )231s s s <<
不定积分-定积分复习题及答案-精品 不定积分、定积分 测验试卷 姓名: 学号: 班级: 成绩: 一、选择题:(每小格3分,共30分) 1、设 sin x x 为()f x 的一个原函数,且0a ≠,则() f ax dx a ?应等于( ) (A )3sin ax C a x +; (B )2sin ax C a x +; (C )sin ax C ax +; (D )sin ax C x + 2、若x e 在(,)-∞+∞上不定积分是()F x C +,则()F x =( ) (A )12,0(),0x x e c x F x e c x -?+≥=?-+;(B ),0 ()2,0x x e c x F x e c x -?+≥=?-++; (C ),0 ()2,0x x e x F x e x -?≥=?-+;(D ),0(),0x x e x F x e x -?≥=?- 3、设0 1,0 ()0,0,()()1,0x x f x x F x f t dt x >?? ===??- ?,则( ) (A )()F x 在0x =点不连续; (B )()F x 在(,)-∞+∞内连续,在0x =点不可导; (C )()F x 在(,)-∞+∞内可导,且满足()()F x f x '=; (D )()F x 在(,)-∞+∞内可导,但不一定满足()()F x f x '=。 4、极限0 2 sin lim x x x t tdt t dt →?? =( ) (A )-1; (B )0; (C )1; (D )2 5、设在区间[,]a b 上()0,()0,()0f x f x f x '''><>。令1()b a s f x dx = ? ,2()()s f b b a =- 31 [()()]()2 s f a f b b a =+-,则( ) (A )123s s s <<; (B )213s s s <<; (C )312s s s <<; (D )231s s s << 二、填空题:(每小格3分,共30分)
第5章 定积分及其应用 (一)、单项选择题 1.函数()x f 在区间[a ,b]上连续是()x f 在[a ,b]上可积的( )。 A .必要条件 B 充分条件 C 充分必要条件 D 既非充分也非必要条件 2.下列等式不正确的是( )。 A . ()()x f dx x f dx d b a =??????? B. ()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=???? ??? C. ()()x f dx x f dx d x a =??????? D. ()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 3.? ?→x x x tdt tdt sin lim 的值等于( ). A.-1 B.0 C.1 D.2 4.设x x x f +=3 )(,则 ? -2 2 )(dx x f 的值等于( )。 A .0 B.8 C. ? 2 )(dx x f D. ?2 )(2dx x f 5.设广义积分 ? +∞ 1 dx x α收敛,则必定有( )。 A.1-<α B. 1->α C. 1<α D. 1>α 6.求由1,2,===y x e y x 围成的曲边梯形的面积时,若选择x为积分变量,则积分区间为( )。 A.[0,2e ] B.[0,2] C.[1,2] D.[0,1] 7.由曲线2,0,===y x e y x 所围成的曲边梯形的面积为( )。 A.dy y ? 2 1 ln B. dy e e x ? 2 C.dy y ? 2 ln 1ln D. ()d x e x ?-2 1 2 8.由直线1,+-==x y x y ,及x轴围成平面图形的面积为( )。 A. ()[]dy y y ?--1 1 B. ()[]dx x x ? -+-21 1 C. ()[]dy y y ? --210 1 D.()[]dx x x ? +--1 1 9.由e x x y x y e ===,log ,ln 1围成曲边梯形,用微法求解时,若选x为积分变量,面积微元为 ( )。 A.dx x x e ???? ? ? +1 log ln B.dy x x e ???? ? ?+1log ln C.dx x x e ???? ? ?-1log ln D.dy x x e ??? ? ? ?-1log ln 10.由0,1,1,2==-==y x x x y 围成平面图形的面积为( )。 A. ? -1 1 2dx x B. ? 1 2dx x C. ? 1 dy y D.? 1 2 dy y
不定积分练习题 一、选择题、填空题: 1、 ((1—sin 2 X )dx = 2 ------------- 2、 若 e x 是f (x)的原函数,贝x 2f(lnx)dx = ________ 3、sin (I n x)dx 二 __ 12、若 F '(x)工 f(x), ? '(x)工 f (x),则 f(x)dx = _______________________________________________ (A)F(x) (B) : (x) (C) : (x) - c (D)F(x) (x) c 13、下列各式中正确的是: (A) d[ f(x)dx]二 f(x) (B) —[ f(x)dxp f(x)dx dx L (C) df(x)二 f(x) (D) df(x)二 f(x) c 14、设 f(x)=e :则: f(lnx) dx = _____________ 2 已知e 公是f (x)的一个原函数,贝V f (tan x)sec xdx 二__ 在积分曲线族(卑中,过(1,1点的积分曲线是y=_ 'x\!x F'(x)= f (x),贝》J f'(ax+b)dx = ________ ; 设 [f (x)dx =丄 + c ,贝叮 "号)dx = _________ ; e 「dx= ____ ; "f(x) f '(ln x) =1 x,则f (x)二 ______ ; 10、 若 f (x)在(a, b)内连续,则在(a, b)内 f (x) ___ ; (A)必有导函数 (B)必有原函数 (C)必有界(D)必有极限 11、 ______________________________________________ 若 Jxf (x)dx = xs in x — [sin xdx,贝 V f (x) = ________ ; 4、 5、 6、 7、 9、 设 xf (x)dx =arcsin x c,贝V
不定积分 (A) 1、求下列不定积分 1)?2 x dx 2) ?x x dx 2 3)dx x ?-2)2( 4)dx x x ?+22 1 5)??-?dx x x x 32532 6)dx x x x ?22sin cos 2cos 7)dx x e x )32(?+ 8) dx x x x )1 1(2?- 2、求下列不定积分(第一换元法) 1)dx x ?-3 )23( 2) ? -3 32x dx 3) dt t t ? sin 4)? )ln(ln ln x x x dx 5)?x x dx sin cos 6)?-+x x e e dx 7)dx x x )cos(2? 8)dx x x ?-43 13 9)dx x x ?3cos sin 10)dx x x ?--2491 11)?-122 x dx 12)dx x ? 3 cos 13)?xdx x 3cos 2sin 14)? xdx x sec tan 3 15) dx x x ?+239 16)dx x x ?+22sin 4cos 31
17)dx x x ? -2 arccos 2110 18) dx x x x ? +) 1(arctan 3、求下列不定积分(第二换元法) 1)dx x x ?+2 11 2)dx x ? sin 3)dx x x ? -42 4)?>-)0(,2 22 a dx x a x 5)? +3 2)1(x dx 6)?+ x dx 21 7) ?-+2 1x x dx 8) ?-+ 2 11x dx 4、求下列不定积分(分部积分法) 1)inxdx xs ? 2)? xdx arcsin 3)?xdx x ln 2 4) dx x e x ?-2sin 2 5)? xdx x arctan 2 6)? xdx x cos 2 7)? xdx 2 ln 8) dx x x 2cos 2 2? 5、求下列不定积分(有理函数积分) 1)dx x x ?+33 2)?-++dx x x x 1033 22 3)?+)1(2x x dx (B)