拉普拉斯变换公式总结 The following text is amended on 12 November 2020.
拉普拉斯变换、连续时间系统的S 域分析
基本要求
通过本章的学习，学生应深刻理解拉普拉斯变换的定义、收敛域的概念：熟练掌握拉普拉斯变换的性质、卷积定理的意义及它们的运用。能根据时域电路模型画出S 域等效电路模型，并求其冲激响应、零输入响应、零状态响应和全响应。能根据系统函数的零、极点分布情况分析、判断系统的时域与频域特性。理解全通网络、最小相移网络的概念以及拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系。会判定系统的稳定性。
知识要点
1. 拉普拉斯变换的定义及定义域
（1） 定义
单边拉普拉斯变换：
正变换0[()]()()st
f t F s f t dt e ζ∞
--
==?
逆变换 1
[()]()()2j st
j F s f t F s ds j e σσζπ+∞
-∞
==
?
双边拉普拉斯变换：
正变换 ()()st
B s f t dt e F ∞
--∞
=?
逆变换1
()()2j st
B j f t s ds j e F σσπ+∞
-∞
=
?
（2） 定义域
若0σσ>时，lim ()0t
t f t e
σ-→∞=则()t
f t e
σ-在0σσ>的全部范围内收敛，积分0()st
f t dt e +∞
--
?
存
在，即()f t 的拉普拉斯变换存在。0σσ>就是()f t 的单边拉普拉斯变换的收敛域。0σ与函数()f t 的性质有关。
2. 拉普拉斯变换的性质
（1） 线性性
若11[()]()f t F S ζ=,22[()]()f t F S ζ=,1κ,2κ为常数时，则
11221122[()()]()()f t f t F s F s ζκκκκ+=+ （2） 原函数微分
若[()]()f t F s ζ=则()
[
]()(0)df t sF s f dt
ζ-=- 式中()
(0)r f
-是r 阶导数()
r r
d f t dt
在0-时刻的取值。 （3） 原函数积分
若[()]()f t F s ζ=，则(1)(0)()[()]t
f F s f t dt s s
ζ---∞
=+?
式中0(1)
(0)()f f t dt ---∞=?
（4） 延时性
若[()]()f t F s ζ=，则000[()()]()st f t t u t t e F s ζ---=
（5） s 域平移
若[()]()f t F s ζ=，则[()]()at f t e F s a ζ-=+
（6） 尺度变换
若[()]()f t F s ζ=，则1[()]()s
f at F a a
ζ=
（a >0） （7） 初值定理lim ()(0)lim ()t o s f t f sF s +
+→→∞
==
（8） 终值定理lim ()lim ()t s f t sF s →+∞
→∞
=
（9） 卷积定理
若11[()]()f t F s ζ=，22[()]()f t F s ζ=，则有1212[()()]()()f t f t F s F s ζ*=
12121[()()][()()]2f t f t F s F s j
ζπ=
*=
121
()()2j j F p F s p dp j σσ
π+∞-∞
-?
3. 拉普拉斯逆变换
（1） 部分分式展开法
首先应用海维赛展开定理将()F s 展开成部分分式，然后将各部分分式逐项进行逆变换，最后叠加起来即得到原函数()f t 。
（2）留数法
留数法是将拉普拉斯逆变换的积分运算转化为求被积函数()st F s e 在围线中所有极点的留数运算，即(1)
1
1
[()]()()[()]22j st st st j c
F s F s e ds F s e ds F s e j j σσ
ζ
ππ+∞--∞
=
=
=∑??
极点
的留数
若i p 为一阶级点，则在极点i s p =处的留数2
1
[()()]i
n
st
i i i s p i r s p F s e X ===-∑
若i p 为k 阶级点，则1
11[()()](1)!i
k k st i i s p k d r s p F s e k ds
-=-=
--
4. 系统函数（网络函数）H （s ）
（1） 定义
系统零状态响应的拉普拉斯变换与激励的拉普拉斯变换之比称为系统函数，即
()
()()
zs R s H s E s =
冲激响应()h t 与系统函数()H s 构成变换对，即()[()]H s h t ζ=系统的频率响应特性()()()()j w s jw
H jw H s H jw e ?===式中，()H jw 是幅频响应特性，()w ?是相频响应特
性。
（2） 零极点分布图
1212()()()
()()()()()()
m n K s z s z s z N s H s D s s p s p s
p ---=
=--- 式中，K 是系数；1z ，2z ，m z 为()H s 的零
点；1p ，2p ，，n p 为()H s 的极点。在s 平面上，用“
”表示零点，“X ”表示极
点。将()H s 的全部零点和极点画在s 平面上得到的图称为系统的零极点分布图。对于实系统函数而言，其零极点要么位于实轴上，要么关于实轴成镜像对称分布。
（3） 全通函数
如果一个系统函数的极点位于左半平面，零点位于右半平面，而且零点与极点对于jw 轴互为镜像，那么这种系统函数称为全通函数，此系统则为全通系统或全通网络。全通网络函数的幅频特性是常数。
（4） 最小相移函数
如果系统函数的全部极点和零点均位于s 平面的左半平面或jw 轴，则称这种函数为最小相移函数。具有这种网络函数的系统为最小相移网络。
（5） 系统函数()H s 的求解方法
①由冲激响应()h t 求得，即()[()]H s h t ζ=。
②对系统的微分方程进行零状态条件下的拉普拉斯变换，然后由()
()()
zs R s H s E s =
获得。 ③根据s 域电路模型，求得零状态响应的像函数与激励的像函数之比，即为()H s 。
5. 系统的稳定性
若系统对任意的有界输入，其零状态响应也是有界的，则此系统为稳定系统。
（1）稳定系统的时域判决条件()h t dt M +∞
-∞
≤?
（充要条件） ①
若系统是因果的，则①式可改写为0
()h t dt M +∞
≤?
（2） 对于因果系统，其稳定性的s 域判决条件
①若系统函数()H s 的全部极点落于s 左半平面，则该系统稳定；
②若系统函数()H s 有极点落于s 右半平面，或在虚轴上具有二阶以上的极点，则该系统不稳定；
③若系统函数()H s 没有极点落于s 右半平面，但在虚轴上有一阶极点，则该系统临界稳定。
内容摘要
例题
·求拉氏变换
·求拉氏变换，拉氏变换的性质
·拉氏变换的微分性质
·系统函数，求解系统的响应
拉氏变换的和
典型信号的拉氏变换
二．单边拉氏变换逆变换的求法
三．拉氏变换的 四．
五．系统函数
一.拉普拉斯
·用拉氏变换法分析电路·
例4-1
求下列函数的拉氏变换()()1-
f
t
=t
tu
分析
拉氏变换有单边和双边拉氏变换,为了区别起见,本书以()s
F表示()t f单边拉氏变换,以()s
表示()t f双边拉氏变换。若文字中未作说明,则指单边拉氏变换。单边拉氏变换只研F
B
究0
t的时间函数,因此,它和傅里叶变换之间有一些差异,例如在时移定理,微分定理和初≥
值定理等方面。本例只讨论时移定理。请注意本例各函数间的差异和时移定理的正确应用。
解答
例4-2
求三角脉冲函数)
(f t如图4-2（a）所示的象函数
分析
解答
方法一：按定义式求解
方法二：利用线性叠加和时移性质求解
方法三：利用微分性质求解
方法四：利用卷积性质求解
方法一：按定义式求解
方法二：利用线性叠加和时移性质求解
由于
于是 方法三：利用微分性质求解
分析
信号的波形仅由直线组成，信号导数的象函数容易求得，或者信号经过几次微分后出现原信号，这时利用微分性质比较简单。 将()t f 微分两次，所得波形如图4-2（b ）所示。
显然
根据微分性质
由图4-2（b ）可以看出
于是
()()
(
)
2222e 11
e e 211
s
s s s s
s F ----=+-=
方法四：利用卷积性质求解
()t f可看作是图4-2(c）所示的矩形脉冲()t f
1
自身的卷积
于是，根据卷积性质
而
所以
例4-3
应用微分性质求图4-3（a）中的象函数下面说明应用微分性质应注意
,
2
1
f
由于
因而
这是应用微分性质应特别注意的问题。
由图4-3（b）知
()()s
s
s
F-
-
=e
1
1
1
()()2
2
e
1
1s
s
s
F-
-
=图4-2
()()t f
t
f
t
f
3
2
1
),
(
,
(),
1
t
f()()()t f
t
f
t
f
3
2
1
,
,'
'
'
图
4-4（b)
例4-4
某线性时不变系统，在非零状条件不变的情况下，三种不同的激励信号作用于系统。
为图中所示的矩形脉冲时，求此时系统的输出
阶跃响应
则 例4-5
电路如图4-5（a ）所示
（1）求系统的冲激响应。
（2）求系统的起始状态 使系统的零输
入响应等于冲激响应。
（3）求系统的起始状态，
解答
（1）求系统的冲激响应。
系统冲激响应()t h 与系统函数()s H 是一对拉氏变换的关系。对()s H 求逆变换可求得()t h ，这种方法比在时域求解微分方程简便。
利用s 域模型图4-5（b ）可直写出图4-5（a ）电路的系统函数
()
t x 3当输入()。
3t y ()()()()
()()()()()3e 1e e 23131zi 3---+=---+=-----t u t u t u t g t g t y t y t t t +
-
()
t v C
(t e 4-5(a)
()(),
00C L --v i 、()的激励时的完使系统对t u
冲激响应
（2）求系统的起始状态
为求得系统的零输入响应，应写出系统的微分方程或给出带有初值的s域模型。下面我们用s域模型求解。图4-5(a)电路的s域模型如图4-5(b)。
由图4-5(b)可以写出
上式中第二项只和系统起始状态有关，因此该项是零输入响应的拉氏变换。依题意的要求，该项应和()s
H相等，从而得
故系统的起始状态
说明
通过本例可以看出，改变系统的起始状态可以使系统的完全响应满足某些特定要求。本质上，系统的零输入响应完全由系统的起始状态决定，对一个稳定系统而言，零输入响应是暂态响应中的一部分，因此，改变系统的起始状态只能改变系统的暂态响应，使暂态响应满足某些特定要求，例如，本例要求暂态响应为零。
（3）求系统的起始状态
从而求得系统的起始状态
附录A 拉普拉斯变换及反变换
1.表A-1 拉氏变换的基本性质
2．表A-2 常用函数的拉氏变换和z变换表
3． 用查表法进行拉氏反变换
用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。设)(s F 是s 的有理真分式
11
10
111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++==---- （m n >） 式中系数n n a a a a ,,...,,110-，m m b b b b ,,,110- 都是实常数；n m ,是正整数。按代数定理可将
)(s F 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。
① 0)(=s A 无重根
这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。
∑
=-=-++-++-+-=n
i i
i n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 122
11)( （F-1） 式中，n s s s ,,,21 是特征方程A(s)＝0的根。i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计算：
)()(lim s F s s c i s s i i
-=→ （F-2）
或
i
s
s i s A s B c ='=
)()
( （F-3）
式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数
[]?
?????-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 11
1)()(＝t s n i i i
e c -=∑1
(F-4) ② 0)(=s A 有重根
设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为 =
n
n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -++-++-+-++-+-++-- 11
111
111)()()( 式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…, n s 为F(s)的n-r 个单根；
其中，1+r c ，…, n c 仍按式(F-2)或(F-3)计算，r c ，1-r c ，…, 1c 则按下式计算：
)()(lim !11)()
(1s F s s ds
d j c r j j s s j
r -=→- (F-5)
原函数)(t f 为
t s n
r i i t s r r r r i
e c e c t c t r c t r c ∑+=---+??
????+++-+-=112211
1
)!2()!1( （F-6）