66圆锥体的表面积
怎样求扇形的弧长.如果已知扇形的半径r和圆心角n°,就可以求得圆心角所对的
弧长,设弧长为f,即有
反过来,可以根据这个弧长f和扇形的半径r,求扇形的圆心角n,即
有了这个关系,我们就可以讨论求圆锥体的表面积了.我们可以像展开圆柱体一样展开圆锥体的表面.把一个圆锥体的表面展开是一个扇形和一个底圆。显然,圆锥体的表面积就是底面圆面积与侧面扇形面积的和.其实,需要解决的关键问题是如何求得侧面的扇形面积.
根据需要,我们先来介绍一个新的名称.我们把从圆锥的顶点到底面圆周上任何一点的线段叫做圆锥的母线(注意与圆锥的高的区别).从上图中可以看出,侧面扇形的半径正好等于圆锥的母线长,那么,要想求得侧面扇形面积,还必须找到这个扇形的圆心角有多少度,这是从原来的圆锥体上无法直接量出来的.怎么办?请大家注意到图中的这样一个事实:侧面扇形的弧线,在展开前原本与底面圆周相连接的,那么,展开后,这条弧线长不就正好等于底面圆的周长吗?(底面圆的周长可以根据底面圆的半径求出),而由这条弧线长和母线长(展开后侧面扇形的半径)又可
以求得侧面扇形的圆心角的度数,最后侧面扇形的面积就可以求出来了.这样,求侧面扇形面积的思路可以概括为:
第一步,求出底面圆的周长,就得到侧面扇形的弧线长;
第二步,由弧线长和母线长求出侧面扇形的圆心角的度数;
第三步,求出侧面扇形的面积.
用侧面扇形的面积加上底面圆的面积就是圆锥体的表面积.
下面就请读者按照上面的思路完成一个来计算圆锥体表面积的例子.
如右图.
(1)侧面扇形的弧长(底面圆的周长):____. (2)侧面扇形的圆心角:_____.
(3)侧面扇形的面积:______. (4)底面圆的面积:_______.(5)圆锥体的表面积:______.
最后,再请读者按照上面的思路,用字母换算,导出圆锥体的表面积计算公式.
设圆锥的母线长为l,底面圆的半径为r,求侧面积S.
【规律】母线长为1,底面半径为r的圆锥体的表面积是:
或写成
S表=πr(l+r).
【练习】
1.求下面各圆锥体的侧面积.
(1)底面半径是1厘米,母线长是2厘米;(2)底面半径是0.3分米,母线长是1.2分米;
(3)底面直径是80毫米,母线长是100毫米;(4)底面圆周长是12.56厘米,母线长是10厘米.
2.求下面各圆锥体的表面积.
(1)底面半径是0.5分米,母线长是1分米;(2)底面直径是15厘米,母线长是20厘米;
(3)底面圆周长是28.26毫米,母线长是5毫米.
3.用一张圆心角是120°,半径是6分米的扇形胶片制作一个圆锥体模型.问这
个圆锥体的底面圆的半径有多大?