特殊平行四边形
一、关系结构图：
二、特殊平行四边形：
1．平行四边形的性质：
四边形ABCD 是平行四边形??????
????.
54321）邻角互补（）对角线互相平分；（）两组对角分别相等；
（）两组对边分别相等；（）两组对边分别平行；（
2．平行四边形的判定：
1
2345ABCD ??
?
?
???
?
??
（）两组对边分别平行（）两组对边分别相等（）两组对角分别相等四边形是平行四边形（）一组对边平行且相等（）对角线互相平分.
3．矩形的性质：
四边形ABCD 是矩形???
?
??.3;
2;1
）对角线相等（）四个角都是直角（有通性）具有平行四边形的所（
4．矩形的判定：
??
?
??
+边形）对角线相等的平行四（）三个角都是直角（一个直角）平行四边形（321?四边形ABCD 是矩形. A
B
D
O
C
A
B
D
O
C
A D B
C
A
D B
C
O
C
D
A
B
A B
C
D O
5. 菱形的性质：
四边形ABCD 是菱形?123.?????
（）具有平行四边形的所有通性；（）四条边都相等；
（）对角线互相垂直且平分对角
6. 菱形的判定：
123+?
????
（）平行四边形一组邻边相等（）四条边都相等（）对角线互相垂直的平行四边形?四边形ABCD 是菱形.
7. 正方形的性质：
四边形ABCD 是正方形?1
23.?????
（）具有平行四边形的所有通性；（）四条边都相等，四个角都是直角；（）对角线相等、互相垂直且平分对角
8. 正方形的判定：
123++?
?+?
?+?
（）平行四边形一组邻边相等一个直角（）菱形一个直角（）矩形一组邻边相等?四边形ABCD 是正方形.
三、梯形
1、梯形的相关概念
一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。 2、梯形的判定
（1）定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形是梯形。 （2）一组对边平行且不相等的四边形是梯形。 3、直角梯形的定义：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形。 4、等腰梯形定义：两腰相等的梯形叫做等腰梯形。 性质：
（1）等腰梯形的两腰相等，两底平行。
（2）等腰梯形同一底上的两个角相等，同一腰上的两个角互补。 （3）等腰梯形的对角线相等。
C
D
B A
O
C
D
B
A
O
（4）等腰梯形是轴对称图形，它只有一条对称轴，即两底的垂直平分线。 判定：
（1）定义：两腰相等的梯形是等腰梯形
（2）定理：在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形
（3）对角线相等的梯形是等腰梯形。（选择题和填空题可直接用） 5、梯形的面积
（1）如图，DE AB CD S ABCD ?+=
)(2
1
梯形 （2）梯形中有关图形的面积：
①BAC ABD S S ??=；②BOC AOD S S ??=；③BCD ADC S S ??=.
6、梯形问题中作辅助线的常用方法(基本图形)
四、有关连接四边形各边中点所得图形的知识点：
（1）顺次连接任意四边形的四边中点所得的四边形是平行四边形； （2）顺次连接矩形的四边中点所得的四边形是菱形； （3）顺次连接菱形的四边中点所得的四边形是矩形； （4）顺次连接等腰梯形的四边中点所得的四边形是菱形； （5）顺次连接对角线相等的四边形四边中点所得的四边形是菱形； （6）顺次连接对角线互相垂直的四边形四边中点所得的四边形是矩形； （7）顺次连接对角线互相垂直且相等的四边形四边中点所得的四边形是正方形.
五、一些定理和推论：
1、三角形的中位线
定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线 定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半 2、梯形的中位线
定义：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线 定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半 3、推论：夹在两平行线间的平行线段相等
4、推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
5、推论：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形
【练习一】
一、填空题
1、如图，ABCD，则AB=_____，______=AD，∠A=______，______=∠D，
若此时∠B+∠D=128°，则∠B=______度，∠C=______度.
2、如果一个平行四边形的周长为80 cm，且相邻两边之比为1∶3，则长边=_____cm，短边=_____cm.
3、如下左图，ABCD，∠C的平分线交AB于点E，交DA延长线于点F，且AE=3 cm，EB=5 cm，则ABCD的周长为__________.
4、如上中图，ABCD，AB>BC，AC⊥AD，且AB∶BC=2∶1，则DC∶AD=_____,∠DCA=____度，∠D=∠B=______度，∠DAB=∠BCD=_______度.
5、如上右图，ABCD的对角线AC，BD交于点O，则图中全等三角形有______对.
二、选择题
1. ABCD中，∠A∶∠D=3∶6，则∠C的度数是（）
A.60°
B.120
C.90°
D.150°
2. 在ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D的可能情况是（）
A. 2∶7∶2∶7
B. 2∶2∶7∶7
C. 2∶7∶7∶2
D. 2∶3∶4∶5
3. 如下左图，从等腰△ABC底边上任意一点D，作DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，则
AEDF的周长（）
A. 等于三角形周长
B. 是三角形周长的一半
C. 等于三角形腰长
D. 是腰长的2倍
4. 如上右图，ABCD中，BC∶AB=1∶2，M为AB的中点，连结MD、MC，则∠DMC等于（）
A.30°
B.60°
C.90°
D.45°
5. 以不共线的三点为顶点，可以作平行四边形（）
A. 一个
B. 两个
C. 三个
D. 四个
6. 平行四边形具有，但一般四边形不具有的性质是（）
A.不稳定性
B.内角和等于360°
C.对角线互相平分
D.外角和等于360°
7. 如下左图，在ABCD中，DB=DC，∠C=70°，AE⊥BD于E，则∠DAE等于（）
A.20°
B.25°
C.30°
D.35°
三、解答题
1. 已知：如上右图ABCD的周长是20 cm，△ADC的周长是16 cm. 求：对角线AC的长.
【练习二】
一、判断题
1. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形( )
2. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形( )
3. 对角线相等的四边形是平行四边形( )
4. 有两组对角分别相等的四边形是平行四边形( )
5. 对角线互相垂直的四边形是平行四边形( )
6. 邻边互相垂直的四边形是平行四边形( )
7. 如果一条对角线将四边形分成两个全等三角形，那么这个四边形是平行四边形( )
8. 对角线互相平分的四边形是平行四边形( )
9. 一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形( )
二、填空题
1. 如果一个四边形的每对相邻内角都互补，那么这个四边形是__________.
2. 延长△ABC的中线AD到E，使AE=2AD，则四边形ABEC是__________.
3. 如果一个四边形以其对角线交点为中心，在平面内旋转180°，与原四边形重合，则这个四边形是__________。
4.ABCD的周长是48厘米，AB=6厘米，则BC=__________厘米.
三、选择题
1. 判断一个四边形是平行四边形的条件是( )
A.一组对边相等，另一组对边平行
B.一组邻边相等，一组对边相等
C.一条对角线平分另一条对角线，且一组对边平行
D.一条对角线平分另一条对角线，且一组对边相等
2. 平行四边形的对角线将它分成四个三角形，则这四个三角形的面积( )
A.都不相等
B.不都相等
C.都相等
D.以上结论都不对
3. 下列条件能组成一个平行四边形的是( )
A.相邻的两边分别是5 cm和7 cm，一条对角线长是13 cm
B.两组对边分别是3 cm和4 cm
C.一条边长是7 cm，两条对角线长分别是3 cm和4 cm
D.一组对角都是135°，另一组对角都是40°
4. 下列给出的条件中，能判断四边形ABCD是平行四边形的是( )
A.AB∥CD，AD=BC
B.AB=AD，CB=CD
C.AB=CD，AD=BC
D.∠B=∠C，∠A=∠D
【练习三】
一、填空题
1. 三角形的中位线平行于__________，且等于__________的一半.
2. 连结任意四边形的四边中点，所得到的四边形是__________.
3. 一个三角形的三边长分别为4，5，6，则连结各边中点所得三角形的周长为__________.
4. 三角形三条中位线将其分成__________个全等三角形.
二、选择题
1. 顺次连结梯形各边中点所组成的图形是（）
A.平行四边形
B.菱形
C.梯形
D.正方形
2. 顺次连结对角线互相垂直的四边形中点所得图形是（）
A.平行四边形
B.矩形
C.菱形
D.正方形
3. 等腰梯形的对角线互相垂直，若连接该等腰梯形各边中点，则所得图形是（）
A.平行四边形
B.矩形
C.菱形
D.正方形
三、解答题
2. 四边形各边中点及对角线中点共六个点中，任取四个点连成四边形中，最多可以有几个平行四边形，证明你的结论.
【练习四】
一、判断题
1. 矩形的对角线互相平分（）
2. 矩形的对角线互相垂直（）
3. 对角线相等的四边形是矩形（）
4. 矩形具有平行四边形的一切性质（）
5. 对角线相等的平行四边形是矩形（）
二、填空题
1. 如下左图，矩形的两条对角线夹角是60°，一条对角线与较短边的和是15，则该矩形对角线的长是__________.
2. 如上右图.已知矩形的长为20，宽为12，顺次连结矩形四边中点所形成四边形的面积是__________.
3. 矩形除具有平行四边形性质外，还具有性质：
①_____________________________;
②_____________________________.
4. 矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若∠AOB=120°，则∠OBA=__________.
5. 矩形的对角线相交成60°角，对角线长为10厘米，则矩形的宽为__________.
6. 在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=∠D，则四边形ABCD是__________形.
7. 判定一个四边形是矩形，可以先判定它是__________，再判定这个四边形有一个__________或再判定这个四边形的两条对角线__________.
8. ABCD的两条对角线相交于一点O，若△AOB是等边三角形，AB=2 cm，则ABCD的面积等于__________.
三、选择题
1. 如下左图，过矩形ABCD的顶点A作对角线BD的平行线交CD的延长线于E，则△AEC是
（）A.等边三角形B.等腰三角形C.不等边三角形D.等腰直角三角形
2. 如上右图，在矩形ABCD中，O是BC的中点，∠AOD=90°，若矩形ABCD的周长为30 cm，则AB的长为（）
A.5 cm
B.10 cm
C.15 cm
D.7.5 cm
3. 下列命题中正确的是（）
A. 有一个角是直角的四边形是矩形
B. 三个角是直角的多边形是矩形
C. 两条对角线相等的四边形是矩形
D. 两条对角线相等的平行四边形是矩形
4. 在矩形ABCD中，AB=2AD，E是CD上一点，且AE=AB，则∠CBE等于（）
A.30°
B.22.5°
C.15°
D.以上答案都不对
四、解答题
1、如左下图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于O，AE平分∠BAD，交BC于E，若∠CAE=15°，
求∠BOE的度数.
2、如右上图ABCD，四内角平分线相交于E、F、G、H.求证：四边形EFGH是矩形
【练习五】
一、判断题
1. 对角线相等的四边形是菱形( )
2. 菱形的对角线互相平分( )
3. 对角线垂直的四边形是菱形( )
4. 只有菱形才可能对角线互相垂直( )
5. 邻边相等的平行四边形是菱形( )
二、填空题
1. 邻边相等的平行四边形是__________.
2. 菱形的一个角是150°，如果边长为a，那么它的高为__________.
3. 如果菱形的周长等于它的一组对边距离的8倍，那么它的四个角分别是__________度.
4. 菱形的两条对角线长分别是8 cm和10 cm，则菱形的面积是__________.
5. 菱形除具有平行四边形的性质外，还具有一些特殊性质，四条边__________，对角线__________.
6. 菱形的一个内角是120°，边长为4厘米，则此菱形的两条对角线长分别是__________.
7. 要判断一个四边形是菱形，可以首先判断它是一个平行四边形，然后再判定这个四边形的一组__________或两条对角线__________.
8. 将矩形四边形中点顺次连结，形成的四边形是__________.
三、选择题
1. 四边相等的四边形是( )
A.菱形
B.矩形
C.正方形
D.梯形
2. 菱形的面积等于( )
A.对角线乘积
B.一边的平方
C.对角线乘积的一半
D.边长平方的一半
3. 下列条件中，可以判定一个四边形是菱形的是( )
A.两条对角线相等
B.两条对角线互相垂直
C.两条对角线相等且垂直
D.两条对角线互相垂直平分
4.在ABCD中，下列结论中，不一定正确的是( )
A.AB=CD
B.AC=BD
C.当AC⊥BD时，它是菱形
D.当∠ABC=90°，它是矩形
四、解答题
2. 在矩形ABCD中，O是对角线AC的中点，EF是线段AC的中垂线，交AD、BC于E、F.
求证：四边形AECF是菱形
【练习六】
一、判断题
1. 有一个角是直角的平行四边形是矩形
2. 有一个角是直角的菱形是正方形
3. 两条对角线互相垂直的矩形是正方形
4. 四边都相等的矩形是正方形
5. 正方形具有矩形和菱形的所有性质
6. 既是矩形又是菱形的图形是正方形
二、填空题
1. 正方形的性质：①正方形的四个角__________，四条边__________，②正方形的两条对角线__________，并且__________.
2. 正方形的对角线长为10 cm，则正方形的边长是__________.
3. 正方形的判定方法：①____________的菱形是正方形.②____________的矩形是正方形.
4. 正方形以对角线的交点为中心，在平面上旋转最少__________度可以与原图形重合.
三、选择题
1. 下列命题正确的是（）
A. 四角相等且两边相等的四边形是正方形
B. 对角线相等的平行四边形是正方形
C. 对角线垂直的平行四边形是正方形
D. 对角线和一边的夹角是45°的菱形是正方形
2. 如图，正方形ABCD的对角线AC是菱形AEFC的一边，则∠F AB等于（）
A.135°
B.45°
C.22.5°
D.30°
四、解答题
1. 如左下图，ABCD和AEFG都是正方形. 求证：BE=DG
2.（1）顺次连结平行四边形四边中点所组成的图形是什么四边形?
（2）顺次连结矩形、菱形、正方形各边中点，分别组成什么四边形?
【练习七】
一．选择题
1．一个等腰梯形的两底之差为12，高为6，则等腰梯形的两底的一个锐角为（）
A 、?30
B 、?45
C 、?60
D 、?75
2．在Rt ⊿ABC 中，∠ACB =?90，∠A =?30，AC =cm 3，则AB 边上的中线为（ ） A 、cm 1 B 、cm 2 C 、cm 5.1 D 、cm 3
3．等边三角形一边上高线长为cm 32，那么这个等边三角形的中位线长为（ ） A 、cm 3 B 、cm 5.2 C 、cm 2 D 、cm 4 4．下列判定正确的是（ ）
A 、对角线互相垂直的四边形是菱形
B 、两角相等的四边形是梯形
C 、四边相等且有一个角是直角的四边形是正方形
D 、两条对角线相等且互相垂直的四边形是正方形
5．顺次连结等腰梯形各边中点得到的四边形是（ ） A 、矩形 B 、菱形 C 、正方形 D 、平行四边形 6．直角梯形的两个直角顶点到对腰中点的距离（ ）
A 、相等
B 、不相等
C 、可能相等也可能不相等
D 、互相垂直 二．填空题
7．已知菱形的周长为cm 40，一条对角线长为cm 16，则这个菱形的面积为 ；
8．如图：EF 过平行四边形ABCD 的对角线交点O ，交AD 于E ，交BC 于F ，已知AB =4，BC =5，OE =5.1，那么四边形EFCD 的周长为 ；
9．已知，如图：平行四边形ABCD 中，AB =12，AB 边上的高为3，BC 边上的高为6，则平行四边形ABCD 的周长为 ；
10．⊿ABC 中，AB = AC =13，∠BAC 的平分线AD 交BC 于D ，则D 点到AB 的距离为 ； 11．如图，在Rt ⊿ABC 中，∠C =?90，AC = BC ，AB =30，矩形DEFG 的一边在AB 上，顶点G 、F 分别在AC 、BC 上，D 、E 在AB 上，若DG ：GF =1：4，则矩形DEFG 的面积为 ； 12．在⊿ABC 和⊿ADC 中：下列论断：①AB = AD ；②∠BAC =∠DAC ；③BC = DC ，把其中两个论断作为条件，另一个论断作为结论，写出一个真命题是： ；
A
B
C
D
E
A
B
C
E
G
13．如图，在⊿ABC 中，∠C =?90，∠B =?15，AB 的垂直平分线交AB 于D ，交BC 于D ，DB =10，那么AC = ；
14．在⊿ABC 中，∠C =?90，周长为cm )325(+，斜边上的中线CD =cm 2，则Rt ⊿ABC 的面积为 。 三．作图题
已知三个村庄的位置如图，三村联合打一口井，向三个村庄供水，使水井到三个村庄的距离相等，水井的位置设在何处? 请用尺规画出水井位置，不写作法，保留痕迹。
A ?
B ?
C ?
四．解答证明题：
16．在平行四边形ABCD 中，BC = 2AB ，E 为BC 中点，求∠AED 的度数。
18．如图：在⊿ABC 中，∠BAC =?90，AD ⊥BC 于D ，CE 平分∠ACB ，交AD 于G ，交AB 于E ，EF ⊥BC 于F ，求证：四边形AEFG 是菱形。
F
19．如图，以正方形ABCD 的对角线AC 为一边，延长AB 到E ，使AE = AC ，以AE 为一边作菱形AEFC ，若菱形的面积为29，求正方形边长。
20．如图AD 是⊿ABC 边BC 边上的高线，E 、F 、G 分别是AB 、BC 、AC 的中点，求证：四边形EDGF 是等腰梯形。
21．如图，AC 、BD 是矩形ABCD 的对角线，A H ⊥BD 于H ，CG ⊥BD 于G ，AE 为∠BAD 的平分线，交GC 的延长线于E ，求证：BD = CE 。
参考答案
3.1.1平行四边形的性质
一、1.CD BC ∠C ∠B 64 116 2.30 10 3.26 cm 4.2∶1 30 60 120 5.4 二、1.A 2.A 3.D 4.C 5.C 6.C 7.A 三、1. 解：∵
ABCD 的周长为20 cm ∴AD +DC =
2
1×20=10(cm ) 而△ADC 的周长为16 cm . 即AD +DC +AC =16 ∴10+AC =16，∴AC =6，∴对角线AC 的长为6 cm . 2. 证明：∵AB ∥CD ∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴在△AOB 和△COD 中??
?
??∠=∠=∠=∠4321CD AB ∴△AOB ≌△COD ∴AO =CO ，BO =DO
3.（1）补全图形，略
（2）证明：∵AD ∥BC ，∴∠ADE =∠CBF ∴在△ADE 和△CBF 中，
∴??
?
??=?=∠=∠∠=∠CB AD CFB AED CBF ADE 90 ∴△ADE ≌△CBF ，∴AE =CF 3.1.2平行四边形的判别
一、1.× 2.√ 3.× 4.√ 5.× 6.√ 7.× 8.√ 9.√
二、1.平行四边形2.平行四边形3.平行四边形 4.18 三、1.C 2.C 3.B 4.C
四、1.已知：四边形ABCD ，AC 与BD 为它的对角线，交于点O ，且AO =CO ，BO =DO ，求证：四边形ABCD 为平行四边形.
证明：在△ABO 和△CDO 中 ??
?
??=∠=∠=DO BO COD AOB CO
AO
∴△ABO ≌△CDO ∴AB =CD 同理可证△ADO ≌△CBO
∴AD =BC ∴四边形ABCD 为平行四边形.
2.证明：连结BD ，与AC 交于点O ∴AO =CO ，BO =DO ，
又∵AE =CF ，∴EO =FO ∴四边形EDFB 为平行四边形 3.1.2三角形的的中位线
一、1.第三边 第三边 2.平行四边形 3.7.5 4.四 二、1.A 2.B 3.D
三、1.证明：∵F 、G 是AB 、AC 的中点 ∴FG ∥BC 且FG =
2
1
BC ∵CD ⊥DB 且E 是BC 的中点 ∴DE =2
1
BC ， ∴FG =DE 2.答：最多有三个，如图
EFGH 、
FMHN 、
EMGN 证明：提示三角形中位线定理.
3.2.1矩形
一、1.√ 2.× 3.× 4.√ 5.√
二、1.10 2.120（平方单位） 3.①对角线相等 ②四个内角均为90°
4.30°
5.5厘米
6.矩
7.平行四边形 内角是直角 相等
8.43 cm 2 三、1.B 2.A 3.D 4.C
四、1.解：在矩形ABCD 中，∵AE 平分∠BAD ，∴∠BAE =
2
1
∠BAD =45° 又∵∠CAE =50°，∴∠BAO =∠BAE +∠CAE =60° △AOB 为等边三角形， ∴OB =AB ，∠ABO =60° ∴∠OBE =∠ABC －∠ABO =90°－60°=30° ∵∠BAE =45°，∠BEA =45° ∴AB =BE ，OB =BE ∴∠BOE =
2
301802180?
-?=
∠-?OBE =75° 2.证明：如图在
ABCD 中，∵AE 、BG 、CG 、DE 分别为四个内角平分线
∴∠1=∠2=90°，∠3+∠4=90°
在△ABH 中∠AHB =90°=∠GHE ，在△AED 中∠AED =90° 同理可证∠GFE =90°，∠HGF =90° ∴四边形EFGH 为矩形. 3.2.2菱形
一、1.× 2.√ 3.× 4.× 5.√ 二、1.菱形2.
2
a
3.30° 150° 30° 150°或150° 30° 150° 30°
4.40 cm 2
5.相等 互相垂直且平分一组对角
6.4厘米，43厘米
7.邻边相等 互相垂直
8.菱形
三、1.A 2.C 3.D 4.B
四、1.证明：在菱形ABCD 中，AB =AD =BC =CD ，∠B =∠D
又∵E 、F 分别是BC 、CD 的中点，∴BE =DF ∴在△ABE 和△ADF 中，AB =AD ，∠B =∠D ，BE =DF ∴△ABE ≌△ADF ，∴AE =AF
2.证明：（证法不惟一）∵O 是AC 的中点，∴AO =CO 又在矩形ABCD 中，AD ∥BC ，∴∠1=∠2
∴在△AOE 和△COF 中，∠1=∠2，AO =CO ，∠AOE =∠COF =90° ∴△AOE ≌△COF ，∴AE =CF 又EF 是AC 的垂直平分线， ∴AE =CE ，AF =CF ∴AE =CE =AF =CF ∴四边形AECF 是菱形 3.2.3正方形及其应用 一、1.√ 2.√ 3.√ 4.√ 5.√ 6.√
二、1.①是直角 相等 ②相等 互相垂直平分于 2.52cm 3.一个内角是直角或对角线相等 一组邻边相等或对角线垂直 4.90 三、1.D 2.C
四、1.证明：∵四边形ABCD 、AEFG 都是正方形，∴AB =AD ，AE =AG
又∵∠BAE +∠EAD =90°，∠DAG +∠EAD =90° ∴∠BAE =∠DAG ，∴△BAE ≌△DAG ∴BE =DG
2.（1）平行四边形 （2）顺次连结矩形各边中点所组成的图形是菱形，顺次连结菱形各边中点所组成的图形是矩形，顺次连结正方形各边中点所成的图形是正方形 单元测试参考答案：
一选择题（每小题2分，共12分） 1．B ；2．A ；3．C ；4．C ；5．B ；6．A ； 二．填空题：（每小题3分，共24分）
7．2
96cm ；8．12；9．36；10．13
60；11．100；12．①，③?②或①，②?③；
13．5；14．4
3
3-
； 三．15．有铅笔作图痕迹，有点O 为所作点为水井的结论。 四．16．证1：∵ E 为BC 中点，∴BE = EC =
21
BC ，∵BC = 2AB ∴AB = BE = EC = DC
∴∠BAE =∠BEA ，∠CED =∠CDE ∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴∠B +∠C =?180 ∴∠BAE +∠BEA +∠CED +∠CDE +∠B +∠C =?360 ∴2（∠BEA +∠CED ）+?180=?360 ∴∠BEA +∠CED =?90 ∴∠AED =-?180（∠BEA +∠CED ）=?=?-?9090180 17．证：∵BE = DF ，EF = EF ， ∴BE + EF = DF + EF ∴BF = ED ∵AD = BC ，AE ⊥BD ，CF ⊥BD ， ∴⊿AED ≌⊿CFB ∴AD = BC ∴∠ADB =∠CBD ∴AD ∥BC ∴四边形ABCD 是平行四边形 18．证：∵CE 平分∠ACB ，EA ⊥CA ，EF ⊥BC ∴AE = FE ∵∠1 =∠2
∴⊿AEC ≌⊿FEC ∴AC = FC ∵CG = CG ∴⊿ACG ≌⊿FCG
∴∠5 =∠7 =∠B ∴GF ∥AE ∵AD ⊥BC ，EF ⊥BC ∴AG ∥EF
∵AG =GF （或AE = EF ） ∴四边形AGFE 是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形） 19．解：设正方形的边长为x ∵AC 为正方形ABCD 的对角线 ∴AC =x 2 29222==?=?=x x x CB AE S AEFC 菱形∴92
=x ∴3±=x 舍去3-=x 答：正方形的边长为3。
20．证：∵F 、G 、E 分别为AB 、AC 、BC 的中点， ∴FG ∥BC ，FE ∥GC ∴EF = GC =21AC ∵在Rt ⊿ADC 中， ∵DG 为斜边AC 边上的中线 ∴DG =21AC
∴EF = DG ∵FG ∥BC ∴FG ∥DE 且FG ≠DE ∴四边形EDGF 是等腰梯形。 21．证：∵矩形ABCD 的对角线AC 、BD ∴AC = BD
且有：AB = DC ，∠BAD =∠CDA =?90 AD = AD ∴⊿BAD ≌⊿CDA
∴∠1 =∠4∵A H ⊥BD ∴∠2 +∠3 =?90，而∠1 +∠2 =?90 ∴∠3 =∠1 =∠4∵AE 平分∠BAD ∴∠3 +∠5 =∠6 +∠4 ∴∠5 =∠6 ∵A H ⊥BD ，EG ⊥BD ∴A H ∥GE ∴∠5 =∠E ∴∠E =∠6 ∴AC = CE = BD ∴BD = CE
北师大版初三数学复习计 划 Prepared on 21 November 2021
九年级数学中考备考复习计划一、复习的整体思路 初三数学总复习，通常分三个阶段。 第一阶段：全面复习基础知识，夯实“三基”。通过第一阶段的复习，使学生系统的掌握基础知识，基本技能和基本方法，形成清晰的知识网络和稳定的知识框架。 第二阶段：综合运用知识，强化能力培养。第二阶段的复习既不是知识的复习，更不是知识的压缩，而是一个知识总综合、巩固、完善、提高的过程。即注重知识的整合，又注重查缺补漏，力求使各部分知识成为一个有机的整体。实现基础知识重点化、重点知识网络化、网络知识题型化、题型设计生活化。在这一阶段要以数学思想方法为主线，学生的综合训练为主题，克服重复，突出重点。在数学应用方面，注意数学知识与生活的联系，穿插专题复习，培养学生渗透题型生活化的意识，以此提高学生对阅读理解题的审题能力。 第三阶段：考前模拟，建立自信。此阶段注重提高学生的整体能力，包括知识的深化巩固，能力的培养提高，解体的技巧和方法，运算速度和准确率等方法，要注意及时评价，及时反馈。 二、复习的整体策略和方法 整体策略为以课本为主，紧扣教材，注重基础知识，基本技能和基本方法的训练和落实，决不放弃课本。
整体方法为：以小题组训练为主，强化落实，力求一课一练，一张一测，注重反馈和评价，不断总结。 三、复习课时安排 第一阶段： 按照初中数学知识体系，整体可划分为“数与式、方程(组)与不等式(组)、函数与函数图像、图形初步、三角形、四边形、圆、对称旋转、三角函数、统计与概率”共10个单元。具体时间可划分及课时安排如下：
最新北师大版九年级数学上册教案 设置情景,给出圆周角概念,探究这些圆周角与圆心角的关系,运用数学分类思想给予逻辑证明定理,得出推导,让学生活动证明定理推论的正确性,最后运用定理及其推导解决一些实际问题。一起看看最新北师大版九年级数学上册教案!欢迎查阅! 最新北师大版九年级数学上册教案1 学习目标 1.了解圆周角的概念. 2.理解圆周角的定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半. 3.理解圆周角定理的推论:半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径. 4.熟练掌握圆周角的定理及其推理的灵活运用. 设置情景,给出圆周角概念,探究这些圆周角与圆心角的关系,运用数学分类思想给予逻辑证明定理,得出推导,让学生活动证明定理推论的正确性,最后运用定理及其推导解决一些实际问题学习过程
一、温故知新: (学生活动)同学们口答下面两个问题. 1.什么叫圆心角? 2.圆心角、弦、弧之间有什么内在联系呢? 二、自主学习: 自学教材P90---P93,思考下列问题: 1、什么叫圆周角?圆周角的两个特征: 。 2、在下面空里作一个圆,在同一弧上作一些圆心角及圆周角。通过圆周角的概念和度量的方法回答下面的问题. (1)一个弧上所对的圆周角的个数有多少个? (2).同弧所对的圆周角的度数是否发生变化? (3).同弧上的圆周角与圆心角有什么关系? 3、默写圆周角定理及推论并证明。 4、能去掉"同圆或等圆"吗?若把"同弧或等弧"改成"同弦或等弦"性质成立吗? 5、教材92页思考?在同圆或等圆中,如果两个圆周角相等,它们所对的弧一定相等吗?为什么?
北师大版初三数学上册知识点汇总 第一章 证明(二) ※等腰三角形的“三线合一”：顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 ※等边三角形是特殊的等腰三角形，作一条等边三角形的三线合一线，将等边三角形分成两个全等的 直角三角形，其中一个锐角等于30o，这它所对的直角边必然等于斜边的一半。 ※有一个角等于60o的等腰三角形是等边三角形。 ※如果知道一个三角形为直角三角形首先要想的定理有： ①勾股定理：2 22c b a =+（注意区分斜边与直角边） ②在直角三角形中，如有一个内角等于30o，那么它所对的直角边等于斜边的一半 ③在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半（此定理将在第三章出现） ※垂直平分线．．．．．是垂直于一条线段．．并且平分这条线段的直线．．。（注意着重号的意义） <直线与射线有垂线，但无垂直平分线> ※线段垂直平分线上的点到这一条线段两个端点距离相等。 ※线段垂直平分线逆定理：到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 ※三角形的三边的垂直平分线交于一点，并且这个点到三个顶点的距离相等。（如图1所示， AO=BO=CO ） ※角平分线上的点到角两边的距离相等。 ※角平分线逆定理：在角内部的，如果一点到角两边的距离相等，则它在该角的平分线上。 角平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合。 ※三角形三条角平分线交于一点，并且交点到三边距离相等，交点即为三角形的内心。 (如图2所示，OD=OE=OF) 第二章 一元二次方程 ※只含有一个未知数的整式方程，且都可以化为02 =++c bx ax （a 、b 、c 为 常数，a ≠0）的形式，这样的方程叫一元二次方程．．．．．． 。 ※把02 =++c bx ax （a 、b 、c 为常数，a ≠0）称为一元二次方程的一般形式，a 为二次项系数；b 为一次项系数；c 为常数项。 ※解一元二次方程的方法：①配方法 <即将其变为0)(2 =+m x 的形式> ②公式法 a ac b b x 242-±-= （注意在找ab c 时须先把方程化为一般形式） A C B O 图1 图2 O A C B D E F
九（上）数学知识点答案 第一章证明（一） 1、你能证明它吗？ （1）三角形全等的性质及判定 全等三角形的对应边相等，对应角也相等 判定：SSS、SAS、ASA、AAS、 （2）等腰三角形的判定、性质及推论 性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角） 判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边） 推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即“三线合一”）（3）等边三角形的性质及判定定理 性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60度；等边三角形的三条边都满足“三线合一”的性质；等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴。 判定定理：有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。或者三个角都相等的三角形是等边三角形。 （4）含30度的直角三角形的边的性质 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 2、直角三角形 （1）勾股定理及其逆定理 定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。 逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。（2）命题包括已知和结论两部分；逆命题是将倒是的已知和结论交换；正确的逆命题就是逆定理。 （3）直角三角形全等的判定定理 定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL） 3、线段的垂直平分线 （1）线段垂直平分线的性质及判定 性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。 （2）三角形三边的垂直平分线的性质 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。 （3）如何用尺规作图法作线段的垂直平分线 分别以线段的两个端点A、B为圆心，以大于AB的一半长为半径作弧，两弧交于点M、N；作直线MN，则直线MN就是线段AB的垂直平分线。 4、角平分线 （1）角平分线的性质及判定定理 性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等； 判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。 （2）三角形三条角平分线的性质定理 性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。 （3）如何用尺规作图法作出角平分线
最新北师大版九年级数学上册知识点总结 第一章证明（一） 1、你能证明它吗？ （1）三角形全等的性质及判定 全等三角形的对应边相等，对应角也相等 判定：SSS、SAS、ASA、AAS、 （2）等腰三角形的判定、性质及推论 性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角） 判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边） 推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即“三线合一”）（3）等边三角形的性质及判定定理 性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60度；等边三角形的三条边都满足“三线合一”的性质；等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴. 判定定理：有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形.或者三个角都相等的三角形是等边三角形. （4）含30度的直角三角形的边的性质 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 2、直角三角形 （1）勾股定理及其逆定理 定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方. 逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形. （2）命题包括已知和结论两部分；逆命题是将倒是的已知和结论交换；正确的逆命题就是逆定理. （3）直角三角形全等的判定定理 定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL） 3、线段的垂直平分线 （1）线段垂直平分线的性质及判定 性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. （2）三角形三边的垂直平分线的性质 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等. （3）如何用尺规作图法作线段的垂直平分线 分别以线段的两个端点A、B为圆心，以大于AB的一半长为半径作弧，两弧交于点M、N；作直线MN，则直线MN就是线段AB的垂直平分线. 4、角平分线 （1）角平分线的性质及判定定理 性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等； 判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上. （2）三角形三条角平分线的性质定理 性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等. （3）如何用尺规作图法作出角平分线
北 师 大 版 九 年 级 数 学 , 知 识 点 汇 总 第一章特殊平行四边形 一、平行四边形 1、定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 2、性质：（1）平行四边形的对边平行且相等。 （2）平行四边形的对角相等，邻角互补。 ）
（3）平行四边形的对角线互相平分，两条对角线把平行四边形分成四个面积相等的三角形。 （4）平行四边形是中心对称图形。 3、判定：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 （3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 （4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 （5）对角线互相平分的四边形是平行四边形。 4、面积：S平行四边形=底ⅹ高 二、菱形 1、定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 《 2、性质：（1）菱形具有平行四边形的所有性质。 （2）菱形的四条边都相等。 （3）菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角；两条对角线把菱形分成四个全等的直角三角形。 （4）菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形（两条）。 3、判定：（1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 （2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 （3）四条边都相等的四边形是菱形。 4、面积：S菱形=底ⅹ高；S菱形=对角线乘积的一半 三、矩形 1、定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。 、 2、性质：（1）矩形具有平行四边形的所有性质。 （2）矩形的四个角都是直角。 （3）矩形的对角线相等且互相平分，两条对角线把矩形分成四个面积相等的等腰三角形。 （4）推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 （5）矩形既是中心对称图形，又是轴对称图形（两条）。 3、判定：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形。 （2）对角线相等的平行四边形是矩形。 （3）有三个角是直角的四边形是矩形。 4、面积：S矩形=底ⅹ高
北师大版初中数学知识点汇总九年级(上册) 班级姓名 第一章证明(二) 1、三角形全等的性质及判定 全等三角形的对应边相等，对应角也相等 判定：SSS、SAS、ASA、AAS、 2、等腰三角形的判定、性质及推论 性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角） 判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边） 推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即“三线合一”） 3、等边三角形的性质及判定定理 性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60度；等边三角形的三条边都满足“三线合一”的性质；等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴。判定定理：有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。或者三个角都相等的三角形是等边三角形。 含30度的直角三角形的边的性质 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 4、直角三角形 （1）勾股定理及其逆定理 定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。 逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。 （2）命题包括已知和结论两部分；逆命题是将倒是的已知和结论交换；正确的逆命题就是逆定理。 （3）直角三角形全等的判定定理 定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL） 5、线段的垂直平分线 （1）线段垂直平分线的性质及判定 性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。 （2）三角形三边的垂直平分线的性质 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。（3）如何用尺规作图法作线段的垂直平分线 分别以线段的两个端点A、B为圆心，以大于AB的一半长为半径作弧，两弧交于点M、N；作直线MN，则直线MN就是线段AB的垂直平分线。 6、角平分线 （1）角平分线的性质及判定定理 性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等； 判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。
初中数学知识点总结 第一章 实数 考点一、实数的概念及分类 1、实数的分类 正有理数 有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数 无理数 无限不循环小数 负无理数 2、无理数 在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类： （1）开方开不尽的数，如 32,7等； （2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3 π +8等； …等； （4）某些三角函数，如sin60o 等 考点二、实数的倒数、相反数和绝对值 1、相反数：实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=—b ，反之亦成立。 2、绝对值：一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。零的绝对值时它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0。正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。 3、倒数：如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。 考点三、平方根、算数平方根和立方根 1、平方根：如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根（或二次方跟）。 一个数有两个平方根，他们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。 正数a 的平方根记做“a ± ”。 2、算术平方根：正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根，记作“a ”。 0≥a 正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。 ==a a 2 a （a ≥0） ==a a 2 -a （a <0） ；注意a 的双重非负性：
初三数学上册全册教案（北师大版） 北师大版九年级数学上全册精品教案 证明 ．你能证明它们吗？3课时 ．直角三角形2课时 ．线段的垂直平分线2课时 ．角平分线1课时 你能证明它们吗? 教学目标： 知识与技能目标： ．了解作为证明基础的几条公理的内容。 ．掌握证明的基本步骤和书写格式． 过程与方法 ．经历“探索——发现——猜想——证明”的过程。 ．能够用综合法证明等区三角形的有关性质定理。 情感态度与价值观 ．启发、引导学生体会探索结论和证明结论，即合情推理与演绎推理的相互依赖和相互补充的辩证关系．．培养学生合作交流、独立思考的良好学习习惯． 重点、难点、关键 ．重点：探索证明的思路与方法。能运用综合法证明问
题． ．难点：探究问题的证明思路及方法． ．关键：结合实际事例，采用综合分析的方法寻找证明的思路． 教学过程： 一、议一议： ．还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗？ ．你能利用已有的公理和定理证明这些结论吗？ 给出公理和定理： ．等腰三角形两腰相等，两个底角相等。 ．等边三角形三边相等，三个角都相等，并且每个角都等于延伸． 二、回忆上学期学过的公理 本套教材选用如下命题作为公理: 两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行; 两条平行线被第三条直线所截,同位角相等; 两边夹角对应相等的两个三角形全等; 两角及其夹边对应相等的两个三角形全等; 三边对应相等的两个三角形全等; 全等三角形的对应边相等,对应角相等. 三、推论两角及其中一角的对边对应相等的两个三角
形全等。 证明过程： 已知：∠A=∠D,∠B=∠E,Bc=EF 求证：△ABc≌△DEF 证明：∵∠A+∠B+∠c=180°， ∠D+∠E+∠F=180° ∴∠c=180°- ∠F=180°- 又∵∠A=∠D,∠B=∠E ∴∠c=∠F 又∵Bc=EF ∴△ABc≌△DEF 推论等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 随堂练习： 做教科书第4页第1，2题。 课堂小结： 通过这节课的学习你学到了什么知识？ 作业： 基础作业：P5页习题1.11、2。 你能证明它们吗 教学目标：
观风海中学九年级期末测试测试题一 (满分：150分，考试用时120分钟) 一、选择题(本大题共15个小题，每小题3分，共45分) 1.已知一元二次方程x 2－5x ＋3＝0的两根为x 1，x 2，则x 1x 2＝( ) A ．5 B ．－5 C ．3 D ．－3 2．下列几何体中，俯视图与主视图完全相同的几何体是( ) A ．圆锥 B ．球 C ．圆柱 D ．长方体 3．已知2是关于x 的方程x 2－3x ＋a ＝0的一个解，则a 的值是( ) A ． 5 B ．4 C ．3 D ．2 4．(黔西南中考)如图，在菱形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，AO ＝4，BO ＝3，则菱形的边长AB 等于( ) A ．10 B.7 C ．6 D ．5 5．如图，若要使平行四边形ABCD 成为菱形，则可添加的条件是( ) A ．AB ＝CD B ．AD ＝BC C ．AB ＝BC D ．AC ＝BD 6．关于x 的一元二次方程kx 2＋2x －1＝0有两个不相等实数根，则k 的取值范围是( ) A ．k>－1 B ．k ≥－1 C ．k ≠0 D ．k>－1且k≠0 7．若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体是( ) 8．下列对正方形的描述错误的是( ) A ．正方形的四个角都是直角 B ．正方形的对角线互相垂直 C ．邻边相等的矩形是正方形 D ．对角线相等的平行四边形是正方形 9．小颖将一枚质地均匀的硬币连续掷了三次，你认为三次都是正面朝上的概率是( ) A.12 B.13 C.14 D.18 10．班上数学兴趣小组的同学在元旦时，互赠新年贺卡，每两个同学都相互赠送一张，小明统计出全组共互送了90张贺年卡，那么数学兴趣小组的人数是多少？设数学兴趣小组人数为x 人，则可列方程为( )
初中数学知识点总结 第一章实数 考点一、实数的概念及分类 1、实数的分类 正有理数 有理数零有限小数和无限循环小数 实数负有理数 正无理数 无理数无限不循环小数 负无理数 2、无理数 在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类： （1）开方开不尽的数，如等； （2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如+8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等； （4）某些三角函数，如sin60o等 考点二、实数的倒数、相反数和绝对值 1、相反数：实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，则有a+b=0，a=—b，反之亦成立。 2、绝对值：一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。零的绝对值时它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a，则a≥0；若|a|=-a，则a≤0。正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。 3、倒数：如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。 考点三、平方根、算数平方根和立方根 1、平方根：如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根（或二次方跟）。 一个数有两个平方根，他们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。 正数a的平方根记做“”。 2、算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“”。 正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。 （0） ；注意的双重非负性： -（<0）0 3、立方根：如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a 的立方根（或a 的三次方根）。 一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。 注意：，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。 考点四、科学记数法和近似数 1、有效数字：一个近似数四舍五入到哪一位，就说它精确到哪一位，这时，从左边第一个不是零的数字起到右边精确的数位止的所有数字，都叫做这个数的有效数字。 2、科学记数法：把一个数写做的形式，其中，n是整数，这种记数法叫做科学记数法。考点五、实数大小的比较 1、数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。 2、实数大小比较的几种常用方法 （1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。 （2）求差比较：设a、b是实数，
初中数学知识体系D-1 第一章数式与平面直角坐标系 1、数：实数、数轴、相反数、倒数、绝对值、科学记数、近似数、有效数字、平方根、立方根、实数的混合运算 2、整式：列代数式、单项式、多项式、去括号、合并同类项、平方差公式、完全平方公式、因式分解、、非负的三种情况（绝对值、平方、平方根）、整式的混合运算 3、分式：分式的意义、约分和通分、分式的混合运算 4、幂：同底数幂的乘除、幂的乘方、积的乘方、零指数幂、负数指数幂、大小比较 5、二次根式：二次根式的意义、二次根式的的性质、二次根式的混合运算 6、平面直角坐标系：象限、点到坐标轴的距离 第二章方程与不等式
1、一元一次方程：等量关系、解一元一次方程的步骤(去括号、去分母、移项、合并同类项) 2、二元一次方程组：解二元一次方程组的步骤、代入消元法、加减消元法、整体消元法 3、一元二次方程：根的判别式、根与系数关系、直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法 4、分式方程：解题步骤（提公因式、公式法、十字相乘、分组分解）、增根、验根 5、不等式：不等式的基本性质、不等式组的解集、不等式中字母的取值范围 第三章函数 1、函数：变量关系、函数自变量的取值范围、函数表示方法、分段函数、画函数图像 2、一次函数：一般形式、正比例函数、待定系数法、图像和性质、平移 3、二次函数：一般形式、常见表达式、
顶点坐标及其意义、图像与性质、平移 4、反比例函数：一般形式、图像与性质、k的意义 5、三角函数：正弦、余弦、正切、特殊角的三角函数值、锐角三角函数的性质、等角代换法、参数法、构造法 第四章平面与空间几何 1、几何基础：点、线、面、体、角、展开图、欧拉公式、平移、轴对称、中心对称、三视图、平行投影与中心投影、尺规作图、几何证明 2、三角形：四线、边角关系、等腰三角形、等边三角形、勾股定理、全等三角形的性质、全等三角形的判定条件、倍长中线法、截长补短法、比例的基本性质、合比与等比性质、平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定 3、平行四边形：平行四边形的判定、矩形的判定、菱形的判定、正方形的判定、中点四边形
侧面是曲面底面是圆面圆柱，:???侧面是正方形或长方形底面是多边形棱体柱体，:侧面是曲面底面是圆面圆锥，:???侧面都是三角形底面是多边形棱锥锥体，:?????????有理数?????---)3,2,1:()3,2,1:(ΛΛ如负整数如正整数整数)0(零?????----)8.4,3.2,31,21:(Λ如负分数分数)8.3,3.5,31,21:(Λ如正分数北师大版初中数学七年级上册知识点汇总 第一章 丰富的图形世界 ¤1. ¤2. ¤3. 球体：由球面围成的（球面是曲面） ¤4. 几何图形是由点、线、面构成的。 ①几何体与外界的接触面或我们能看到的外表就是几何体的表面。几何的表面有平面 和曲面； ②面与面相交得到线； ③线与线相交得到点。 ※5. 棱：在棱柱中，任何相邻两个面的交线都叫做棱． 。 ※6. 侧棱：相邻两个侧面的交线叫做侧棱．． ，所有侧棱长都相等。 ¤7. 棱柱的上、下底面的形状相同，侧面的形状都是长方形。 ¤8. 根据底面图形的边数，人们将棱柱分为三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱……它们底 面图形的形状分别为三边形、四边形、五边形、六边形…… ¤9. 长方体和正方体都是四棱柱。 ¤10. 圆柱的表面展开图是由两个相同的圆形和一个长方形连成。 ¤11. 圆锥的表面展开图是由一个圆形和一个扇形连成。 ※12. 设一个多边形的边数为n(n≥3，且n 为整数)，从一个顶点出发的对角线有(n-3)条； 可以把n 边形成(n-2)个三角形；这个n 边形共有 2 )3(-n n 条对角线。 ◎13. 圆上两点之间的部分叫做弧． ，弧是一条曲线。 ◎14. 扇形，由一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形。 ¤15. 凸多边形和凹多边形都属于多边形。有弧或不封闭图形都不是多边形。 第二章 有理数及其运算 ※ ※数轴的三要素：原点、正方向、单位长度（三者缺一不可）。 ※任何一个有理数，都可以用数轴上的一个点来表示。（反过来，不能说数轴上所有的点都 表示有理数） ※如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互 为相反数。（0的相反数是0）
第一章 特殊平行四边形 1.1 菱形的性质与判定（一） 学习目标： ①通过折、剪纸张的方法，探索菱形独特的性质。 ②通过学生间的交流、计论、分析、类比、归纳、运用已学过的知识总结菱形的特征。 教学重点：菱形的概念和菱形的性质，菱形的面积公式的推导。 教学难点：菱形的性质的理解及菱形性质的灵活运用。 学习过程： 活动一： 自学课本例题以上的内容，完成下列问题： 1. 如何从一个平行四边形中剪出一个菱形来？ 的四边形叫做菱形，生活中的菱形有 。 2. 按探究步骤剪下一个四边形。 ①所得四边形为什么一定是菱形？ ②菱形为什么是轴对称图形？ 有 对称轴。 图中相等的线段有： 图中相等的角有： ③你能从菱形的轴对称性中得到菱形所具有的特有的性质吗？自己完成证明。 平行四边形 菱形 ？
性质： 证明： 活动二：对比菱形与平行四边形的对角线 菱形的对角线： 平行四边的对角线： 活动三：菱形性质的应用 1.菱形的两条对角线的长分别是6cm和8cm，求菱形的周长和面积。 2.如图，菱形花坛ABCD的边长为20cm，∠ABC=60° 沿菱形的两条对角线修建了两条小路AC和BD， 求两条小路的长和花坛的面积。
课效检测： 一、填空 （1）菱形的两条对角线长分别是12cm ，16cm ，它的周长等于 ，面积等于 。 （2）菱形的一条边与它的两条对角线所夹的角比是3：2，菱形的四个内角是 。 （3）已知：菱形的周长是20cm ，两个相邻的角的度数比为1：2，则较短的对角线长是 。 （4）已知：菱形的周长是52 cm ，一条对角线长是24 cm ，则它的面积是 。 二、解答题 已知：如图，在菱形ABCD 中，周长为8cm ，∠BAD=1200 对角线AC ，BD 交于点O ，求这个菱形的对角线长和面积。 教学设计反思 本节课的主要教学内容为菱形的定义和性质。学生已经学习了平行四边形的性质，这是本节的知识基础。关于菱形的定义和性质，就是在平行四边形的基础上，进一步强化条件得到的。 A B C D O
北师大版九年级数学教材分析 九年级上册数学教材分析 1.本册容结构 ⑴本册容分属几何、代数、概率三个领域，具体牵涉到： 几何：图形与证明——特殊的平行四边形；认识图形——视图与投影。 代数：方程——一元二次方程；函数——反比例函数。 概率：建立概率概念——概率的频率定义与多种求值方法。 ⑵不同容之间的联系（逻辑框架与方法） 1.本册容与教材其他各册相关容的联系：特殊的平行四边形；“一元二次方程”、“反比例函数”和“一元一次函数”、“一元二次函数”；“视图与投影”和“空间图形”、“平行”、“相似”；“频率与概率”与先前的概率实验等。 2.各部分容的设计要点：（关于证明学习的要点说明——不能够仅仅将证明的教学基本目标定位成确认命题的正确性；还应当包括对证明本身的学习：证明的必要性，数学证明的含义，证明的基本过程，证明的基本方法，由证明而获得的理解和发现。） 第一章特殊的平行四边形：对“公理”意义的进一步理解；关注“证明的基本方法”、“获得证明策略的不同思路”、“由证明而导致的新发现”，特别地，对于“反证法”的逻辑合理性的理解。 （1）证明的思路与以前直观探索的联系；出现的新命题的探索及证明的思路。证明方法的学习、 获得证明的策略； 本册主要是对这些结论进行理论的证明。但这并不意味着我们在前几册中的直观探索就没有用 处了，事实上，前面学生借助折纸、画图等活动进行直观探索的过程和方法为本章的证明提供了铺垫，为学生提供了定理相应的证明思路。如在证明等腰三角形的两个底角相等时，教材先给出了证 明的思路，即由当时利用折纸来探索此结论的方法，而想到通过连接底边的中线构造全等三角形， 从而证明两个角相等。 除了学生已经直观探索过的命题外，教材中还涉及了一些学生没有探索过的新命题。这些命题 的获得有的是直接通过证明得到的，而有的则创设了一些问题情景，通过合情推理获得的，但此时 证明是必须的。要使学生意识到证明是探索活动的自然延续和必要发展，使学生经历“探索——发现——猜想——证明”的过程，体会合情推理与论证推理在获得结论中各自发挥的作用，进一步发 展学生的推理证明意识和能力。如对于命题“直角三角形中，300所对的边等于斜边的一半”，教材 引导学生拼摆三角板，去发现其边之间的关系，但我们不能只满足于结论的获得，要积极探索证明 的思路和方法。事实上，探索的过程为证明时辅助线的添加提供了思路，为证明奠定了基础，这些 都希望教师在教学时能够充分的意识到。 教材还注意引导学生探索证明的不同思路和方法，并进行适当的比较和讨论，开阔学生的视野，培养学生的思维能力，如在一种证明结束后提出问题“你还有其他的证明方法吗？与同伴交流”。 此外，教材还注意渗透数学的思想方法，如由特殊结论到一般结论的归纳思想、类比、转化 的思想方法等。如在证明等腰梯形的两个底角相等时，教材在分析证明思路时指出将等腰梯形的两 个底角转化为等腰三角形的两个底角，从而证明其相等——明确方法的学习。 （2）关注命题的拓展、引申，引导学生发现规律，发展概括抽象的能力。证明加深理解 特殊的平行四边形的设计上注意到了对学生数学学习方法的指导和思维能力、水平的指导和培养，
九年级数学 上册知识点汇总 第一章 证明(二) ※等腰三角形的“三线合一”：顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 ※等边三角形是特殊的等腰三角形，作一条等边三角形的三线合一线，将等边三角形分成两个全等的 直角三角形，其中一个锐角等于30o，这它所对的直角边必然等于斜边的一半。 ※有一个角等于60o的等腰三角形是等边三角形。 ※如果知道一个三角形为直角三角形首先要想的定理有： ①勾股定理：222c b a =+（注意区分斜边与直角边） ②在直角三角形中，如有一个内角等于30o，那么它所对的直角边等于斜边的一半 ③在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半（此定理将在第三章出现） ※垂直平分线．．．．．是垂直于一条线段．．并且平分这条线段的直线．． 。（注意着重号的意义） <直线与射线有垂线，但无垂直平分线> ※线段垂直平分线上的点到这一条线段两个端点距离相等。 ※线段垂直平分线逆定理：到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 ※三角形的三边的垂直平分线交于一点，并且这个点到三个顶点的距离相等。（如图1所示， AO=BO=CO ） ※角平分线上的点到角两边的距离相等。 ※角平分线逆定理：在角内部的，如果一点到角两边的距离相等，则它在该角的平分线上。 角平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合。 ※三角形三条角平分线交于一点，并且交点到三边距离相等，交点即为三角形的内心。 (如图2所示，OD=OE=OF) 第二章 一元二次方程 ※只含有一个未知数的整式方程，且都可以化为02=++c bx ax （a 、b 、c 为 常数，a ≠0）的形式，这样的方程叫一元二次方程．．．．．． 。 ※把02 =++c bx ax （a 、b 、c 为常数，a ≠0）称为一元二次方程的一般形式，a 为二次项系数；b 为一次项系数；c 为常数项。 ※解一元二次方程的方法：①配方法 <即将其变为0)(2=+m x 的形式> ②公式法 a ac b b x 242-±-= （注意在找abc 时须先把方程化为一般形式） ③分解因式法 把方程的一边变成0，另一边变成两个一次因式的乘积来求解。 A C B O 图1 图2 O A C B D E F
侧面是曲面底面是圆面 圆柱，:?? ?侧面是正方形或长方形底面是多边形棱体柱体，:侧面是曲面底面是圆面 圆锥，:?? ?侧面都是三角形底面是多边形棱锥锥体，:最新北师版初中数学知识点复习 七年级上 第一章 丰富的图形世界（New ） 1 生活中的立体图形 2 展开与折叠 3 截一个几何体 4 从三个方向看物体的形状 ¤1. ¤2. ¤3. 球体：由球面围成的（球面是曲面） ¤4. 几何图形是由点、线、面构成的。 ①几何体与外界的接触面或我们能看到的外表就是几何体的表面。几何的表面有平面和曲面；②面与面相交得到线；③线与线相交得到点。 ※5. 棱：在棱柱中，任何相邻两个面的交线都叫做棱．。 ※6. 侧棱：相邻两个侧面的交线叫做侧棱．． ，所有侧棱长都相等。 ¤7. 棱柱的上、下底面的形状相同，侧面的形状都是长方形。 ¤8. 根据底面图形的边数，人们将棱柱分为三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱……它们底 面图形的形状分别为三边形、四边形、五边形、六边形…… ¤9. 长方体和正方体都是四棱柱。 ¤10. 圆柱的表面展开图是由两个相同的圆形和一个长方形连成。 ¤11. 圆锥的表面展开图是由一个圆形和一个扇形连成。 ※12. 设一个多边形的边数为n(n≥3，且n 为整数)，从一个顶点出发的对角线有(n-3)条； 可以把n 边形成(n-2)个三角形；这个n 边形共有2 ) 3(-n n 条对角线。 ◎13. 圆上两点之间的部分叫做弧． ，弧是一条曲线。 ◎14. 扇形，由一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形。 ¤15. 凸多边形和凹多边形都属于多边形。有弧或不封闭图形都不是多边形。 第二章 有理数及其运算（New ） 1.有理数 2.数轴 3.绝对值 4.有理数的加法 5.有理数的减法 6.有理数的加减混合运算 7.有理数的乘法 8.有理数的除法 9.有理数的乘方 10.科学记数法
小学与初中数学的学习差异 初中三年的学习将在小学基础上，继续学习数学基础知识中式的基本运算，掌握一些基本运算方法、 基本运算技巧及简单的几何知识。 从知识结构上看，初中数学是建立在小学已学知识基础之上，是小学知识的开拓和扩展，初中数学内 容有着两大体系：代数、几何；四大块：代数式的运算、方程、不等式以及几何初步认识，这些知识点在 小学或多或少都有过简单的渗透，因此对步入初中后的学习并不陌生。小学： 知识：简单的、直观的，单纯研究算术数，着重数的运算 教学方式：注重学生用较多时间进行新知的探索，练习机会多，对教师依赖性较强。 初中： 知识：抽象性、严密性，内容更加丰富、抽象，认识上有了质的飞跃，记忆、理解应用、推理归纳的 要求更高。 教学方式：教学内容多，时间紧，课堂没有多少复习时间，要通过学生的课前预习、课后复习等环节 加以掌握与巩固。 小升初的准备：知识的衔接 1、由算术数到有理数、实数。衔接环节是负数的初步认识，即非负有理数→初步认识负数→有理数。 有理数与算术数的区别，有理数是由两部分组成：符号部分和数字部分( 即算术数 ) 。有理数的分类与小学 的算术数相比只是多了负整数和负分数。务必使学生熟练掌握算术的四则运算，再弄懂符号法则，有理数 的运算即可轻而易举过关。 2、由算术运算到代数运算。衔接环节是用字母表示数。即数的运算→用字母表示数→式的运算。小 学里学生已接触过用字母表示数的形式，如简易方程中的未知数Ｘ，一些定律和公式也用字母表示，初步 体会到字母比数更具有一般性，所以初中教学中应揭示数与式的联系和区别，数可以看成是式的特殊情况， 数的运算可以看成是式的运算的特殊情形，用类比的方法进行教学。 3、认识学习数量关系。从认识常见数量关系开始，经过认识正比例、反比例作为过渡，进入中学后 开始较系统地逐步学习函数。用算术方法与方程解应用题是两种思维方法不同的解题方法。在小学高年级 及初一应用题教学时，应该把体验方程的优越性作为一个主要教学目标，有意识地指导学生将两种方法进 行对比，面对复杂的逆解题，能自觉利用方程简化思维过程。 4、空间图形：小学数学教材中，简单几何图形的知识占了很大篇幅，这些知识基本上都是属于实验 几何，让学生量一量、画一画、拼一拼、折一折，去学到一些几何知识。中学讲授时既让学生通过实验得 出结论，又要强调说明不能满足于实验，而必须从理论上给予严格论证。 因此，要注重预习，指导自学；学会复习，温故知新；重视数学的思考；积极渗透数学思想（在小学 阶段的数学思想方法主要有：图示法、归纳法、对应法、转化法、化归法、分类法、列举法、假设法、方 程法等，在初中阶段的数学思想方法是在小学数学思想方法的基础上不断地发展来的，如消元法、代入法、函数法、集合法等。）
北师大版-数学九年级上册知识点归纳总结 第一章特殊的平行四边形 一、平行四边形 1.平行四边形的定义:两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 2.平行四边形的性质 （1）平行四边形的对边平行且相等。（对边） （2）平行四边形相邻的角互补，对角相等（对角） （3）平行四边形的对角线互相平分。（对角线） （4）平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点。 常用点： （1）若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段的中点是对角线的交点，并且这条直线二等分此平行四边形的面积。 （2）推论：夹在两条平行线间的平行线段相等。 3.平行四边形的判定
（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。（对边） （2）定理1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。（对边） （3）定理2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。（对边） （4）定理3：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。（对角） （5）定理4：对角线互相平分的四边形是平行四边形。（对角线） 4.两条平行线的距离 两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离。注意：平行线间的距离处处相等。 5.平行四边形的面积: S平行四边形=底边长×高=ah 二、菱形 1.菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 2.菱形的性质 （1）菱形的四条边相等，对边平行。（边） （2）菱形的相邻的角互补，对角相等。（对角） （3）菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角。（对角线）
（4）菱形既是中心对称图形又是轴对称图形；对称中心是对角线的交点（对称中心到菱形四条边的距离相等）；对称轴有两条，是对角线所在的直线。 3.菱形的判定 （1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 （2）定理1：四边都相等的四边形是菱形。（边） （3）定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。（对角线） （4）定理3：对角线垂直且平分的四边形是菱形。（对角线） 4.菱形的面积：S菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半 三、矩形 1.矩形的定义:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 2.矩形的性质 （1）矩形的对边平行且相等。（对边） （2）矩形的四个角都是直角。（内角） （3）矩形的对角线相等且互相平分。（对角线） （4）矩形既是中心对称图形又是轴对称图形；对称中心是对角线的交点（对称中心到矩形四个顶点的距离相等）；对称轴有两条，是对边中点连线所在的直线。
第一章直角三角形的边角关系 第1课时 §1.1.1 锐角三角函数 教学目标 1、经历探索直角三角形中边角关系的过程 2、理解锐角三角函数（正切、正弦、余弦）的意义，并能够举例说明 3、能够运用三角函数表示直角三角形中两边的比 4、能够根据直角三角形中的边角关系，进行简单的计算 教学重点和难点 重点：理解正切函数的定义 难点：理解正切函数的定义 教学过程设计 ?从学生原有的认知结构提出问题 直角三角形是特殊的三角形，无论是边，还是角，它都有其它三角形所没有的性质。这一章，我们继续学习直角三角形的边角关系。 ?师生共同研究形成概念 1、梯子的倾斜程度 在很多建筑物里，为了达到美观等目的，往往都有部分设计成倾斜的。这就涉及到倾斜角的问题。用倾斜角刻画倾斜程度是非常自然的。但在很多实现问题中，人们无法测得倾斜角，这时通常采用一个比值来刻画倾斜程度，这个比值就是我们这节课所要学习的——倾斜角的正切。 1）（重点讲解）如果梯子的长度不变，那么墙高与地面的比值越大，则梯子越陡；2）如果墙的高度不变，那么底边与梯子的长度的比值越小，则梯子越陡； 3）如果底边的长度相同，那么墙的高与梯子的高的比值越大，则梯子越陡； 通过对以上问题的讨论，引导学生总结刻画梯子倾斜程度的几种方法，以便为后面引入正切、正弦、余弦的概念奠定基础。 2、想一想（比值不变） ☆想一想书本P 2 想一想 通过对前面的问题的讨论，学生已经知道可以用倾斜角的对边与邻边之比来刻画梯子的倾斜程度。当倾斜角确定时，其对边与邻边的比值随之确定。这一比值只与倾斜角的大小有关，而与直角三角形的大小无关。
3、 正切函数 （1） 明确各边的名称 （2） 的邻边 的对边A A A ∠∠=tan （3） 明确要求：1）必须是直角三角形；2）是∠A 的对边与∠A 的邻边的比值。 ☆ 巩固练习 a 、 如图，在△ACB 中，∠C = 90°， 1） tanA = ；tanB = ； 2） 若AC = 4，BC = 3，则tanA = ；3） 若AC = 8，AB = 10，则tanA = ；tanB = ；b 、 如图，在△ACB 中，tanA = 。（不是直角三角形） （4） tanA 的值越大，梯子越陡 4、 讲解例题 例1 图中表示甲、乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡？ 分析：通过计算正切值判断梯子的倾斜程度。这是上述结论的直接应用。 例2 如图，在△ACB 中，∠C = 90°，AC = 6，4 3 tan = B ，求B C 、AB 的长。 分析：通过正切函数求直角三角形其它边的长。 ? 随堂练习 5、书本 P 4 随堂练习 ? 小结 正切函数的定义。 ? 作业 书本 P4 习题1.1 1、2、4。 B A B C ∠A 的对边 ∠A 的邻边斜边 8m α5m 5m β 13m A B C