清华大学2016年暑期学校测试真题
1. 已知2
0 a <且1a ≠，则a 的取值范围是 . 【答案】20,3?? ??? 【解析】根据题意，有23 log 1a >，于是a 的取值范围是20,3?? ??? . 2. 在锐角ABC ?中，3,sin a b A B ==+=ABC ?的面积是 . 【解析】解法一：由正弦定理可得 1 2R == ， 其中R 为ABC ?外接圆半径，于是 sin 22 a A R = =， 从而根据余弦定理 2222cos b c a bc A +-=， 解得1c =（此时B 为钝角，舍去）或2c =.因此ABC ?的面积 1sin 22 S bc A ==. 解法二：根据正弦定理 sin sin 3sin B a B b A A ===， 于是 sin A = ， 其余同解法一. 3. 已知椭圆22 132 x y C + =：的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 作直线1l 与椭圆交于A ，C 两点，直线1l 的 斜率为1，过点1F 作直线2l 与椭圆交于B ，D 两点，且AC BD ⊥，则四边形ACBD 的面积是 . 【答案】 9625 【解析】由焦点弦长公式，可得四边形ACBD 的面积 2222222212112296 22cos cos 25 ACBD ab ab S AC BD a c a c θθ=??=??= -- 其中1231,,4 4 a b c π π θθ== == = . 4. 在正方体1111ACBD AC B D -的底面1111A C B D 内有一点M ，且1//BM AD C 平面，则1tan D MD ∠的最大值是 . 【解析】作平面11BA C ，如下页图，根据题意，点M 在线段11A C 上运动. 于是 ( ) 11 11111tan ,DD DD D MD D M d D A C ∠= ≤=当M 位于11A C . 5. 已知集合{ }{ } (]2 2 |230|0=3,5A x x x B x x ax b A B R A B =-->=++≤=,,,,则 a b += . 【答案】-9 【解析】根据题意()(),13,A =-∞-+∞，于是[]1,5B =-， 从而由韦达定理得 154,155a b -=-+==-?=-， 于是9a b +=- . 6. 圆心为点()0,1的单位圆沿x 轴正向滚动，初始时刻点P 的坐标为()0,0O ，当圆心运动到,12π?? ??? 时，点P 的坐标为 . 【答案】1,12π??- ??? 【解析】先考虑旋转，则整个圆顺时针旋转了2 π ， 于是点()0,0旋转到点()1,1-； 再考虑平移，可得1,12P π??- ??? 7. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1052016S =，2016105S =，则2121S = . 【答案】-2121 【解析】根据题意，关于n 的方程 2121 n S n += 有两个实数根105n =和2016n =，考虑到()n f n S n =+形如2 a n n β?+?， 因此由()()1052016f f =可得， ()()()2121105201600f f f =+==. 备注：一般地，若等差数列的前n 项和n S 满足p S q =且q S p =，则()p q S p q +=-+. 8. 数列{}n a 满足111n n a a +=- ，n N * ∈，12a =，已知{}n a 的通项可以表示成()sin A n B ω?++的形式，则数列{}n a 通项的一个表达试为 . 213 32n π π???-+ ??? 【解析】根据题意，有 11 2,,1,2,,1, 22 n a --： 于是考虑周期为3，对应23 π ω= ， 由1231 2,,12 a a a == =-得 sin 1,2sin 2,341sin ,32A B A B A B ?π?π?+=-??????++=? ???? ???++=? ? ??? 解得12B = ，2 3A = ，取A =?可取3 π-. 9. 定义()11M x M f x x M -∈?=? ?? ,, ，且()(){}|1M N M N x f x f x ?=?=-. 集合{}|,,12016A x x k k N k ==∈≤≤，集合{}|2,,12016B x x k k N k ==∈≤≤. (1) 求()2016A f ，()2016B f . (2) 设()card X 为集合X 的元素个数，求()()m card X A card X B =?+?的最小值. 【解析】(1)根据()M f x 的定义，有()20161A f =-,()20161B f =-. (2)设集合X 中有0x 个元素既不在A 中也不在B 中，1x 个元素只在集合A 中，2x 个元素只在集合B 中，3x 个元素同时在集合A ,B 中，如图. 则 ()() ()()()()()()()021******* 22 2 2016201621008 2016 m card X A card X B x x card A x x x x card B x x card A card B x x card A card B card A B =?+?=++--+++--????????=++-≥+-=+-?= 当00x =,()3x card A B =时等号成立，即A B X ?，且()X A B ?时可取到最小值，也可以直接 取X A B =，因此所求的最小值为2016. 10. 已知()()sin f x A x B ω?=++，自变量、相位、函数值的部分取值如下表 (1) 求()f x 的解析式； (2) 求()f x 的单调递增区间； (3) 求()f x 在(]0,2π内的所有零点. 【解析】(1)根据题意 ()2 5=2sin 13 9f x x π?? -+ + ??? ， 也即 ()2 4=2sin 13 9f x x π?? + + ??? . (2)函数()f x 的单调递增区间为()173,31212k k k Z ππππ?? -+∈ ?? ? . (3)函数()f x 的零点形如 2472396 x k ππ π+=+ ， 或 24112,396x k k Z πππ+=+∈， 解得其在(]0,2π内的所有零点为1312 x π =. 11. 已知圆22 :16O x y +=，,A B 为圆O 与x 轴的两个不同的交点，12,l l 是圆O 在点,A B 处的切线，P 为圆上不与,A B 重合的点，过点P 的切线交12,l l 于,C D 两点，AD 与BC 交于点(),M m n . (1) 求m 与n 之间的数量关系； (2) 存在一点(),0Q a 且0a >，使得QM ，求a 的值. 【解析】(1)如图，设P 在x 轴上的投影为H ，则由梯形的性质可得其对角线的交点M 为线段PH 的中点. 因此m 与n 之间的数量关系为 ()22 10164 m n n +=≠. (2)根据题意 ()()2 2 2 2 2221341 +444433 a QM m a n m a m m a ??=-=-+-=-+- ???， 由于0n ≠，44m -<<，因此只有 22444,314,32a a ? -< ? ???-= ? ????? 解得2 a =. 12. 已知直线l 为曲线ln :a x C y x +=在点()1,a 处的切线. (1) 求直线l 的方程 (2) 求证：当1a ≤时，直线l 除切点外恒在C 的上方. 【解析】(1)记()ln = a x f x x +，则()f x 的导函数 ()2 1ln a x f x x --'= ， 于是切线l 方程为 ()121y a x a =-+-. (2)只需要证明当1a ≤时，有 ()ln 0,1, 121a x x x a x a x +?>≠<-+-， 也即 ()2 20,1,1ln 0x x x a x x x ?>≠--+-->. 因此只需要证明 ()2 20,1,1ln 0x x x x x x ?>≠--+-->. 即 0,1,ln 10x x x x ?>≠-->. 这显然成立，因此原命题得证. 本文档由华夏园教育提供
相关主题
文本预览