定积分单元测试题
定积分单元测试题 一、填空题 1、 dx x ? +4 1 1=___________。 2、广义积分43 x dx - +∞ =? 3、________1 1 02=+?dx x x 。 4、()________1202 =-?dx x 。 5、设 ()32 1 2-=? -x dt t f x ,则()=2f 。6、=+? 3 1 ln 1e x x dx 。 7、()=?? ????++++??-dx x x x x x π πcos 113sin 222 4 。8、x dt t x x ?→0 20cos lim =____________ 9、12 12|| 1x x dx x -+=+? 。 10、= -?dx x 201. 11、2 22sin 1cos x x dx xdx π π-+=+? 12、已知()2 cos ,x F x t dt =?则()F x '= 13、已知()2 x t x F x te dt -=?,则()F x '= 二、单项选择 1、若连续函数 ()x f 满足关系式()2ln 220+?? ? ??=?x dt t f x f ,则()x f 等于( )。 (A )2ln x e ; (B ) 2ln 2x e ; (C ) 2ln +x e ; (D ) 2ln 2+x e 。 2、设 )(x f 连续,则=-?x dt t x tf dx d 0 22)(( ) (A ))(2x xf ; (B ))(2x xf -; (C ))(22x xf ; (D ))(22x xf -。 3、设 )(x f 是连续函数,且?+=10 )(2)(dt t f x x f ,则)(x f =( ) (A )1-x ; (B )1+x ; (C)1+-x ; (D )1--x 。 4、设()()x a x F x f t dt x a = -?,其中()f x 为连续函数,则lim ()x a F x →=( ) (A )a (B ))(a af (C ))(a f (D )0 5、 =?dt e dx d b x t 2( ) (A)2x e (B)2x e - (C)22x b e e - (D)2 2x xe - 6、=-+?→x dt t x x cos 1)1ln(lim 2sin 0 ( ) (A)8 (B)4 (C)2 (D)1 7、反常积分收敛的是( )
高中数学定积分知识点
数学选修2-2知识点总结 一、导数 1.函数的平均变化率为 =??=??x f x y x x f x x f x x x f x f ?-?+=--)()()()(111212 注1:其中x ?是自变量的改变量,可正,可负,可零。 注2:函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。 2、导函数的概念:函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000,则称函数)(x f y =在点0x 处可导,并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数,记作)(0'x f 或 0|'x x y =,即)(0'x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000. 3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率; 函数的导数的几何意义是切线的斜率。 4导数的背景(1)切线的斜率;(2)瞬时速度;
6、常见的导数和定积分运算公式:若() g x均可导(可积),则有: f x,() 用导数求函数单调区间的步骤: ①求函数f(x)的导数'() f x ②令'() f x>0,解不等式,得x的范围就是递增区间. ③令'() f x<0,解不等式,得x的范围,就是递减区间; [注]:求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。 7.求可导函数f(x)的极值的步骤: (1)确定函数的定义域。 (2) 求函数f(x)的导数'() f x (3)求方程'() f x=0的根 (4) 用函数的导数为0的点,顺次将函数的定义区间分成若干小开区间,并列成表格,检查/() f x在方程根左右的值的符号,如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得极大值;如
高中数学导数及微积分练习题
1.求导:(1)函数y= 2cos x x 的导数为-------------------------------------------------------- (2)y =ln(x +2)-------------------------------------;(3)y =(1+sin x ) 2 ------------------------ ---------------------- (4)y =3x 2+x cos x ------------------------------------ ;(5)y =x 2cos(2x -π 3)---------------------------------------- . (6)已知y =ln 3x e x ,则y ′|x =1=________. 2.设1ln )(2+=x x f ,则=)2('f ( ). (A). 54 (B).52 (C).51 (D).5 3 3.已知函数d cx bx ax x f +++=23)(的图象与x 轴有三个不同交点)0,(),0,0(1x ,)0,(2x ,且)(x f 在1x =-,2=x 时取得极值,则21x x ?的值为( ) (A).4 (B).5 (C).-6 (D).不确定 34.()34([0,1])1 ()1()()0()1 2f x x x x A B C D =-∈-函数的最大值是( ) 5.设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V ,则其表面积最小时,底面边长为( ). (A).3V (B).32V (C).34V (D).32V 6.由抛物线x y 22 =与直线4-=x y 所围成的图形的面积是( ). (A).18 (B). 3 38 (C). 3 16 (D).16 7.曲线3 x y =在点)0)(,(3≠a a a 处的切线与x 轴、直线a x =所围成的三角形的面积为6 1 ,则=a _________ 。 8.已知抛物线2y x b x c =++在点(1 2),处的切线与直线20x y ++=垂直,求函数2y x bx c =++的最值.
导数与定积分
洞口三中2008年下学期高二数学(理科)训练测试试题 姓名________ 学号_____ 测试内容:选修2-2:导数、定积分以及其简单应用 一、选择题: 1、曲线 3y x =在点)8,2(处的切线方程为( ) A .126-=x y B .1612-=x y C .108+=x y D .322-=x y 2.设2 1sin x y x -=,则'y =( ) A .x x x x x 22sin cos )1(sin 2--- B .x x x x x 22sin cos )1(sin 2-+- C .x x x x sin )1(sin 22-+- D .x x x x sin )1(sin 22--- 3.由抛物线x y 22 =与直线4-=x y 所围成的图形的面积是( ). A .18 B .38/3 C .16/3 D .16 4.函数y=2x 3-3x 2 -12x+5在[0,3]上的最大值与最小值分别是( ) A 、5 、-15 B 、5 、 4 C 、-4、 -15 D 、5 、 -16 5.设y=x-lnx ,则此函数在区间(0,1)内为( ) A .单调递增 B 、有增有减 C 、单调递减 D 、不确定 6、设()ln f x x x =,若0'()2f x =,则0x =( B ) A. 2e B. e C. ln 2 2 D. ln 2 7、由直线21=x ,x=2,曲线x y 1 =及x 轴所围图形的面 积是( ) A. 415 B. 417 C. 2ln 21 D. 2ln 2 8、若21()ln(2)2 f x x b x =-++∞在(-1,+)上是减函数, 则b 的取值范围是( ) A. [1,)-+∞ B. (1,)-+∞ C. (,1]-∞- D. (,1)-∞- 9、设a ∈R ,若函数3ax y e x =+,x ∈R 有大于零的极值点,则( ) A .3a >- B .3a <- C .a>-1/3 D .a<-1/3 10、已知函数(),()y f x y g x ==的导函数的图象如下图,那么(),()y f x y g x ==图 象可能是 二、填空题
定积分知识点总结.doc
定积分知识点总结 北京航空航天大学 李权州 一、定积分定义与基本性质 1.定积分定义 设有一函数f(x)给定在某一区间[a,b]上. 我们在a 与b 之间插入一些分点b x x x x a n =<<<<=...210. 而将该区间任意分为若干段. 以||||π表示差数 )1,...,1,0(1-=-=?+n i x x x i i i 中最大者. 在每个分区间],[1+i i x x 中各取一个任意的点i x ξ=. )1,...,1,0(1-=≤≤+n i x x i i i ξ 而做成总和 ∑-=?=1 0)(n i i i x f ξσ 然后建立这个总和的极限概念: σπ0 ||||lim →=I 另用""δε-语言进行定义: 0>?ε,0>?δ,在||||πδ<时,恒有 εσ<-||I 则称该总和σ在0→λ时有极限I . 总和σ在0→λ时的极限即f(x)在区间a 到b 上的定积分,符号表示为 ?=b a dx x f I )( 2.性质 设f(x),g(x)在[a,b]上可积,则有下列性质 (1) 积分的保序性 如果任意)(),(],,[x g x f b a x ∈,则??≥b a b a dx x g dx x f ,)()(
特别地,如果任意,0)(],,[≥∈x f b a x 则?≥b a dx x f 0)( (2) 积分的线性性质 ???±=±b a b a b a dx x g dx x f dx x g x f )()())()((βαβα 特别地,有??=b a b a x f c dx x cf )()(. 设f(x)在[a,b]上可积,且连续, (1)设c 为[a,b]区间中的一个常数,则满足 ???+=b c c a b a dx x f dx x f dx x f )()()( 实际上,将a,b,c 三点互换位置,等式仍然成立. (4)存在],[b a ∈θ,使得 )()()(θf a b dx x f b a -=? 二、达布定理 1.达布和 分别以i m 和i M 表示函数f(x)在区间],[1+i i x x 里的下确界及上确界并且做总和 ∑∑=+=+-=-=n i i i i n i i i i x x m f S x x M f S 1 11 1)(),(,)(),(ππ ),(f S π称为f(x)相应于分割π的达布上和,),(f S π称为f(x)相应于分割π的达布下 和 特别地,当f(x)连续时,这些和就直接是相应于任意分割法的积分和的最小者和最大者,因为在这种情形下f(x)在没一个区间上都可以达到其上下确界. 回到一般情况,有上下界定义知道 i i i M f m ≤≤)(ξ 将这些不等式逐项各乘以i x ?(i x ?是正数)并依i 求其总和,可以得到
导数及其应用单元测试题
《导数及其简单应用》单元测试题 一、选择题(本大题共有8小题,每小题5,共40分) 1. f(x)=x 3 , 0'()f x =6,则x 0 = ( ) (A ) (B ) - (C )± (D ) ±1 2、设连续函数 0)(>x f ,则当b a <时,定积分?b a dx x f )(的符号 A 、一定是正的 B 、一定是负的 C 、当b a << 0时是正的,当0<导数与积分经典例题以及答案
高三数学 导数与积分经典例题以及答案 一. 教学内容: 导数与积分 二. 重点、难点: 1. 导数公式: c x f y ==)( 0)(='x f n x x f y ==)( 1)(-?='n x n x f x x f y sin )(== x x f cos )(=' x x f y cos )(== x x f sin )(-=' x a x f y ==)( a a x f x ln )(=' x x f y a log )(== e x x f a log 1 )(= ' 2. 运算公式 )()(])()([x g x f x g x f '±'='± )()()()(])()([x g x f x g x f x g x f '?+'='? ) () ()()()(])()([ 2 x g x g x f x g x f x g x f '-'=' 3. 切线,过P (00,y x )为切点的)(x f y =的切线,))((000x x x f y y -'=- 4. 单调区间 不等式0)(>'x f ,解为)(x f y =的增区间,0)(<'x f 解为)(x f y =的减区间。 5. 极值 (1)),(0x a x ∈时,0)(>'x f ,),(0b x x ∈时,0)(<'x f ∴ )(0x f 为)(x f y =极大值 (2)),(0x a x ∈时0)(<'x f ,),(0b x x ∈时,0)(>'x f ∴ )(0x f 为)(x f y =的极小值。
【典型例题】 [例1] 求下列函数的导数。 (1)1731 233 +--= x x x y ; (2)||ln x y =; (3)2 1x x x y +-= ; (4)e e y x x x +-=23; (5)1 ln 2 += x x y ; (6)x x x y sin cos -=。 分析:直接应用导数公式和导数的运算法则 解析:(1))7()3()1 ( 233 '-'-'='x x x y )1('+ 0)(7)(3)(2 3 3 1+'-'-'=- x x x x x x 1493 1234 ---=- (2)当0>x 时,x y x y 1,ln = '=; 当0导数及定积分知识点的总结及练习(经典)
导数的应用及定积分 (一)导数及其应用 1.函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率是lim Δx →0 Δy Δx =lim Δx → f (x 0+Δx )-f (x 0)Δx .我们称它为函数y =f (x )在x =x 0处的导数,记作f ′(x 0)或y ′|x =x 0,即f ′(x 0)=lim Δx →0 Δy Δx =lim Δx → f (x 0+Δx )-f (x 0)Δx 。 2.导数的几何意义 函数y =f (x )在x =x 0处的导数,就是曲线y =f (x )在x =x 0处的切线的斜率 ,即k =f ′(x 0)=lim Δx →0 f (x 0+Δx )-f (x 0) Δx . 3.函数的导数 对于函数y =f (x ),当x =x 0时,f ′(x 0)是一个确定的数.当x 变化时,f ′(x )便是一个关于x 的函数,我们称它为函数y =f (x )的导函数(简称为导数),即f ′(x )=y ′=lim Δx →0 f (x 0+Δx )-f (x 0) Δx . 4.函数y =f(x)在点x 0处的导数f ′(x 0)就是导函数f ′(x)在点x =x 0处的函数值,即f ′(x 0)=f ′(x)|x =x 0。 5.常见函数的导数 (x n )′=__________.(1 x )′=__________.(sin x )′=__________.(cos x )′=__________. (a x )′=__________.(e x )′=__________.(log a x )′=__________.(ln x )′=__________. (1)设函数f (x )、g (x )是可导函数,则: (f (x )±g (x ))′=________________;(f (x )·g (x ))′=_________________. (2)设函数f (x )、g (x )是可导函数,且g (x )≠0,?? ?? f (x ) g (x )′=___________________. (3)复合函数y =f(g(x))的导数和函数y =f(u),u =g(x)的导数间的关系为yx ′=y u ′·u x ′.即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积. 6.函数的单调性 设函数y =f(x)在区间(a ,b)内可导, (1)如果在区间(a ,b)内,f ′(x)>0,则f(x)在此区间单调__________; (2)如果在区间(a ,b)内,f ′(x)<0,则f(x)在此区间内单调__________. (2)如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大,那么这个函数在这个范围内变化较__________,其图象比较__________. 7.函数的极值
导数与定积分测试题
高二理科数学导数与定积分测试题 一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分.) 1. ?1 0dx e x =( ) A. 1 B. 1-e C.e D.1+e 2. 曲线2)(3-+=x x x f 的一条切线平行于直线14-=x y ,则切点P 0的坐标为( ) A .(0,-1)或(1,0) B .(1,0)或(-1,-4) C .(-1,-4)或(0,-2) D .(1,0)或(2,8) 3. 函数)1()1()(2-+=x x x f 在1=x 处的导数等于( ) A. 1 B.2 C.2 D.4 4. 函数x x x x f -+=23)(的单调递减区间是( ) A. )31,1(- B. )1,31(- C. )31,1(-- D. )1,31 ( 5. 若2 09,T x dx T =?则常数的值为( ) A. 9 B.-3 C. 3 D. -3或3 6.已知函数x x x f ln )(=,则函数)(x f ( ) A. 在e x = 处取得极小值 B. 在e x = 处取得极大值 C.在e x 1 = 处取得极小值 D. 在e x 1 = 处取得极大值 7.函数f(x)在其定义域可导,)(x f y =的图象如右图所示,则导函数)('x f 的图象为( ) 8.若函数a x x x x f +++-=93)(23在区间[-2,-1]上的最大值为2,则它在该区间上的最小值为( ) A.-5 B.7 C.10 D.-19 9.已知k x kx x f 22)(2++=在(1,2)存在单调递增区间,则k 的取值围是( ) A. 21 1-<<-k B. 21 1->-k D. 21 -曲线积分与曲面积分单元测试
曲线积分与曲面积分单元测试 一.选择题 1、设曲线积分 dy y y x dx xy x q L q )56()4(4214?++?∫与路线无关,则q = ( ) (A) 1(B) 2(C) 3 (D) 4 2、设L 是从原点)0,0(O 经过点)1,1(A 到点)0,2(B 的有向折线,则 ∫=++L xydy dx y x 2)(2 (A) 1(B) 2(C) 4(D) 0 3、设曲线L 为圆周 922=+y x ,顺时针方向,则 ∫=?+?L dy x x dx y xy )4()22(2 (A) 0(B) π2(C) π6(D) π18 4、设)(t f 连续可微,且 ∫≠=t k dt t f 0 0)(,L 为半圆周 22x x y ?=,起点为 原点,终点为)0,2(,则∫=++L ydy xdx y x f )(22 (A) 0 (B) k (C) k 2 (D) 2 k 5 、设Σ为平面1002=?z x 在柱面 1)10(22=?+y x 内的部分的下侧,则 =?∫∫L dxdy dzdx (A) π (B) π?(C) π2(D) π2? 6、设Σ为锥面 )0(22H z y x z ≤≤+=的下侧,则 ∫∫Σ =++dxdy dydz dzdx 32 (A) 2 H π(B) 2 3H π(C) 2 2H π (D) 0 二.填空题 1、∫=?=L dy y x I )4 32(22 ,其中L 是从点)0,0(A 沿2x y =至点)4,2(B 的弧段.
2、设),(y x f 在1422≤+y x 上具有二阶连续的偏导数,L 是椭圆周 14 22 =+y x 的顺时针方向,则 []∫=++?L y x dy y x f dx y x f y ),(),(3 3、设L 是xoy 平面上顺时针方向绕行的简单闭曲线,并且 ∫?=++?L dy y x dx y x 9)34()2(则L 所围的面积= 4、xydz xzdy yzdx ++的原函数为 5、设32,,z R y Q x P ?=== 则对任意一条封闭曲线L , =++∫Rdz Qdy Pdx L 三.计算曲线积分 dy e xdx e e L y sin 2sin 2 ∫+,其中L 是从点)0,0(O 沿y=sin x 到点 )1,2 (π =B 的曲线段. 四.计算曲面积分 ∫∫?+=?++=L dxdy z y x dzdx z y dydz y x I )(2)()(33,其中 )20(:222≤=+Σvz z y x 的下侧. 五.设)(,0x f x > 为连续可微函数,且2)1(=f 对0>x 有任一闭闭线L ,有∫=+L dy x xf ydx x 0)(43. 求)(x f 和积分 ∫+xy L dy x xf ydx x )(43的值,其中是由 )0,2(A 至)3,3(B 的一段弧. 六.求 dxdy z z y f y dzdx y z y f dydz x I L ??????++??????++=∫∫)(1)(21333,其中)(t f 连续可微, Σ为曲面 4,1,22222222=++=+++=z y x z y x y x x 所围立体表面外侧. 七.用斯托克斯公式计算 ∫+++++=L dz y x dy z x dx z y I )()()(222222,其中L 为 1=++z y x 与三坐标面 的交线,它的走向使所围平面区域上侧在曲线的左侧.
导数的概念及计算、定积分检测题
导数的概念及计算、定积分检测题 (试卷满分100分,考试时间90分钟) 一、选择题(每小题5分,共40分) 1.已知函数f (x )=1 x cos x ,则f (π)+f ′????π2等于( ) A .-3 π2 B .-1π2 C .-3π D .-1π 解析:选C 因为f ′(x )=-1x 2cos x +1x (-sin x ),所以f (π)+f ′????π2=-1π+2 π×(-1)=-3π . 2.(2020·沈阳一中模拟)曲线f (x )=2e x sin x 在点(0,f (0))处的切线方程为( ) A .y =0 B .y =2x C .y =x D .y =-2x 解析:选B ∵f (x )=2e x sin x ,∴f (0)=0,f ′(x )=2e x (sin x +cos x ),∴f ′(0)=2,∴所求切线方程为y =2x . 3.一质点沿直线运动,如果由始点起经过t 秒后的位移为s =13t 3-3 2t 2+2t ,那么速度为 零的时刻是( ) A .0秒 B .1秒末 C .2秒末 D .1秒末和2秒末 解析:选D ∵s =13t 3-3 2t 2+2t ,∴v =s ′(t )=t 2-3t +2.令v =0,得t 2-3t +2=0,t 1 =1或t 2=2. 4.由曲线y =x 2和曲线y =x 围成的一个叶形图如图所示,则图中阴影部分的面积为( ) A.1 3 B.310 C.14 D.15 解析:选A 由??? y =x 2, y =x , 解得????? x =0,y =0或????? x =1,y =1,所以阴影部分的面积为??0 1 (x - x 2 )d x =????23x 32-13x 3??? 1 =13 .