第二篇线性代数
目录
第一讲行列式（1-11）
第二讲矩阵及其运算（12-31）
第三讲向量（32-51）
第四讲线性方程组（52-75）
第五讲矩阵对角化（76-99）
第六讲二次型（100-118）
第一讲行列式
考纲要求
1.了解行列式的定义，掌握行列式的性质.
2.会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式.
问题1.1 何谓行列式？行列式在线性代数中有哪些应用？
答行列式是方阵的元素按一定规则运算得到的一个数，这个数从不同的角度反映了方阵的性质. 行列式在线性代数中有广泛应用，请看下面的定理.
定理1 设A为n阶方阵，则下列命题等价：
⑴0
A≠（A非奇异）；
⑵A可逆；
⑶存在方阵B，使得A B E
B A E；
=或者=
⑷A可表示为有限个初等方阵的乘积；
⑸()
r n（A满秩）；
A=
⑹A的特征值全不为零；
⑺A的行（列）向量组线性无关；
⑻A x=0只有零解；
⑼A x b
=有惟一解；
⑽T
A A为正定矩阵.
定理2设A为n阶方阵，则下列命题等价：
A=（A奇异）；
⑴0
⑵A不可逆；
⑶()
r n
A；
<
⑷0是A的一个特征值；
⑸A的行（列）向量组线性相关；
⑹A x=0有非零解；
=有无穷多解或者无解.
⑺A x b
▲上述定理反映了行列式与矩阵的可逆性、矩阵的秩、矩阵的特征值、向量组的线性相关性、线性方程组之间的联系，随着复习的深入，要加深对定理的理解，理顺知识间的关系，打开解题思路.
问题1.2 余子式、代数余子式
答 划去n 阶行列式中元素ij a 所在的第i 行、第j 列留下的1n -阶行列式称为元素ij
a 的余子式，记作ij M ，并称(1)
i j
ij ij A M +=-为元素ij a 的代数余子式. 由定义知，
余子式ij M 和代数余子式ij A 与第i 行、第j 列的元素的取值无关.
例题
设4
5
2
1
011130112101
--=
D ，求41424344A A A A +++；41424344.M M M M +++
解 （方法一）根据定义计算（略）.
（方法二）41424344A A A A +++是将行列式第四行的元素全部改为1，然后按第四行
展开的展开式，得
414243441
0121012101
1103110311011110111011
11
1
1
10
1
--+++=
==-=-A A A A ， 类似可得414243444142434410121103511101
1
1
1-+++=-+-+=
=---M M M M A A A A .
问题1.3 行列式的性质 答 行列式的性质有
⑴行列互换，行列式不变； ⑵两行互换，行列式反号； ⑶一行的公因子可以提出来；
⑷两行成比例，行列式为零；
⑸行列式可以按一行拆分为两个行列式之和；
⑹一行的倍数加到另一行，行列式不变.
▲⑴由性质⑴知，行列式对行成立的性质，对列也成立. ⑵利用行列式的性质，可以简化行列式的计算.
问题1.4 行列式按一行（列）展开公式 答 1122i i i i in in a A a A a A =+++A （按第i 行展开）
1122j j j j nj nj a A a A a A =+++A （按第j 列展开）
▲一行元素与另一行对应元素的代数余子式乘积之和为零，即
11220()i j i j in jn a A a A a A i j +++=≠ ；
一列元素与另一列对应元素的代数余子式乘积之和为零，即
11220()i j i j ni nj a A a A a A i j +++=≠ .
问题1.5 如何计算数字、字母型行列式？ 答 数字、字母型行列式的计算方法有
⑴化三角形法； ⑵展开降阶法； ⑶展开递推法； ⑷数学归纳法； ⑸公式法. ▲常用公式有：
公式1 上（下）三角形行列式 1
12
212**********
*
*
n n
n
a a a a a a a a a ==
.
公式2 关于副对角线的上（下）三角形行列式 1
1(1)
2
2
2
12******(1)
****
*
*
n n n n
n
a a a a a a a a a -==-
.
公式3 范德蒙德行列式 1211
1
1
1
2
111()n i j j i n
n n n n
x x x x x x x x ≤<≤---=
-∏
.
▲计算行列式时，根据行列式的特点（例如行和相等、爪形、可化为爪形、
三对角等），采用适当的变形方法，可以简化运算.
常用变形方法
⑴把某一行（列）的倍数加到其余各行（列）；
⑵把其余各行（列）的倍数加到某一行（列）； ⑶把上一行（列）的倍数加到下一行（列）.
例题
1.设方阵3
22142
3k
k -??
?
=-- ? ?-?
?
A ，且0λ-=A E ，求λ的值. 解 【求矩阵的特征值，关键是计算特征多项式λ-A E 】
3221221014
2312
3k k k λ
λλλλλ
λ
λ
-----=
---=
-------A E
2
12201(1)(1)00
1k λλλλλ
--=
--=---=--，
故1231,1λλλ==-=.
2.求方程
03
47
53
4453542333322212223212
=---------------x x x x
x x x x x x x x x x x x 的根.
解 【关键是计算左端四阶行列式】
21232101222122232210133324535331224435743
43
7
3
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
x ------------=-------------
21002210021215503312122
17
6
43
7
6
x x x x x x x x x x x
x ()-----===--+=---------，
故0x =或者1x =.
3.设6
3
1
21024221421)(++--=
x x x
x x x
x f ，证明0)(='x f 有小于1的正根.
解 【用罗尔定理】
f x ()是一个多项式，它在01[,]上可导，且
012412240020121
3
6
f ()=
=，112411*********
1
4
7f ()=
=，
由罗尔定理知，0)(='x f 有小于1的正根.
4.计算行列式1
1
1
1
111111111111--+---+---=
x x x x D .
解 【行和相等，首先将第2、3、4列加到第1列】
1234
1111111111111111111111
1
1
1
1
1
1
c c c c x x
x x x x D x x x x x
+++-----+--+-=
=
----+----
213141
43
34
2
11111001111100(1)
11111001
1
1
1
1
c c c c c c x x x x x
x x x x x x +-?+---+-===?-=----.
5.计算4
321
1
001001111a a a a D =
，其中0432≠a a a .
解 【爪形行列式，将第2、3、4列的适当倍数加到第1列，化为上三角行列式】
11
2
3
4
22334
4
1111111111000001000001
a a a a a a a D a a a a ---
=
=
23412
3
4
111a a a a a a a ()=-
--
.
6.计算4
32143
2
1
432143214321++++=
a a a a a a a a a a a a a a a a D .
解 【除对角元外，各行元素相同，只要将第2、3、4行减去第1行，就化为爪形】
12341234123412341
2
3
41121200310304
1
4
a a a a a a a a a a a a D a a a a a a a a +++-=
=
+-+-
32
414!(1)2
34a a a a =++
++
.
▲除对角元外，各行元素成比例的行列式，都可以化为爪形行列式.
7.计算2
2
221111
000000c d a b d c b a D =
.
解 （方法一 多零，按第一行展开）
1
11
111111212
222
2
2
2
2
2
0000
000
000000
a b c d c d c d D a a b b b a d c d c d c =
=+ 12121212121212121212()()()()a a c c d d b b c c d d a a b b c c d d =---=--.
（方法二）23
23
1
11
1111111222222112
2
2
2
2
2
0000000000000000000
c c r r a b a b a b c
d c d b a D b a b a c d d c d c d c ??=
=-
=
12121212()()a a b b c c d d =--.
8.计算125
64
27
16
25169454321111=
D .
解 【利用行列式的拆分性质和范德蒙德行列式】
11111111011123452345034549162549162509162516
27
64
125
8
27
64
125
8
27
64
125
D =
=+
32425243535484353544()()()()()()()()()=----------=-.
9.计算a
b
b
b a b b b a D n
=
.
解 （方法一）各行元素之和相等，各列加到第一列，再化为上三角形行列式：
1111
n a b b b b b a b a b D a n b b
b
a b
a
[()]
=
=+-
1
1
00110
n b
b a b a n b a n b a b a b
[()]
[()]()
--=+-=+---
.
（方法二）各行减去第一行，化为爪形行列式：
n a b b b a b D b
b
a =
1
010
n a b b b a a b a n b a b b a
a b
[()]()
---=
=+----
.
10.设()ij a =A 为n 阶矩阵，其中ij a i j =-，求A .
解 从第n 行开始，依次用下面一行减去上面一行，再把第n 列加到前面各列，化为
上三角行列式：
01221012211
0132111112104311111234011111112
3
10
1
1
1
1
1
A ---------------=
=
--------
n n n n n n n n n n n n n n
1
2
112310222100221(1)
(1)2
000210
01
---+---------=
=-----
n n n n n n n n .
11.a
b
c
d
b a d
c c
d a b d c b a D ------=
.
解 【T DD 为对角行列式】
T
0000000000
a
b c d a b c d k b a d c
b
a d c k D D
c d a b c d a b k d
c
b
a d
c
b
a k
------=
=
------，
其中2222k a b c d =+++， 故222224()D a b c d =+++，
又D 的展开式中4a 的系数为1，所以22222()D a b c d =+++.
12.计算a
a a a a a a a a D ---------=11
110001100011
0001.
解 【这是一个三对角行列式，可以用下面三种方法计算】
（方法一）按第一行展开（这是计算三对角行列式的基本方法）
5111243(1)(1)D D a A aA a D aD ==-+=-+
一般地，有递推公式12(1)n n n D a D aD --=-+，
11D a =-，2
21D a a =-+，
2
3
321(1)1D a D aD a a a =-+=-+-，2
3
4
432(1)1D a D aD a a a a =-+=-+-+， 2
3
4
5
543(1)1D a D aD a a a a a =-+=-+-+-.
（方法二）化为三角形行列式，为此，先将行列式拆分成两个行列式之和：
51
000000110001000
1100110001100110
001
1000
1
1a
a a a
a a a D D a a a a a a a a a a
----==+------------
10000000100
10000100110000100110
01
00
1
1a a a a a a a a a a a a a
--=+------
2
2345
43211(1)1(1)1aD a aD a a aD a a a a a =-=--=-+-=-+-+-.
问题1.6 如何计算抽象行列式？
答 计算抽象行列式，除了掌握行列式的性质，还必须熟记关于矩阵行列式的结论：
⑴若A 为n 阶矩阵，则n
k k
=A A .
⑵若A 为n 阶矩阵，则T =A A ，1
*n -=A A .
⑶若A 为n 阶可逆矩阵，则1
1--=A A
.
⑷若A ，B 为n 阶矩阵，则AB A B =?.
⑸若A 为n 阶矩阵，(1,2,,)i i n λ= 是A 的特征值，则12A λλλ= n . ⑹设A ，B 分别为m 阶，n 阶矩阵，则
==?A C A O A B O
B C
B
，
(1)
m n
C A O A A B B
O B
C ==-?.
例题
1.设123,,,,αααβγ都是4维列向量，且123,,,a αααβ=，321,,,b βγααα+=，1232,,,γααα= .
解 【用拆分性质】123,,,a αααβ=，
321321321,,,,,,,,,b
βγαααβαααγααα+=+=321321,,,,,,b b a γαααβααα?=-=-，
故1231232,,,2,,,2()a b γαααγααα==-.
2.设123,,2ααα=，则112123,2,23αααααα+++= .
解 【用倍加性质】1121231223,2,23,2,23αααααααααα+++=+
123123,2,36,,12αααααα===.
3.设123,,ααα都是3维列向量，记矩阵
123(,,)A ααα=，123123123(,24,39)B ααααααααα=++++++，
如果1A =，那么B = .
解 【用倍加性质】123123123,24,39B =++++++ααααααααα
1232323123233,3,28,3,2ααααααααααααα=++++=+++
12323312231232,3,2,,2,,2=+++=+==ααααααααααααα.
4.设A 与B 均为n 阶矩阵，2,3==-A B ，则*12A B -= .
解 21
1
1
*
1
*
1
2
22
2
3
A B
A
B
A B -----===-
n n n
n
.
5.设A 为3阶方阵，且2A =，则1*(2)A A --= .
解 1*
1
*
1(2)2
A A A A ---=
-
**
112A A A
=
-
2
*
3*
3
33327()()4
4
4
16
A A A
=-
=-
=-
=-
.
6.设2101
2000
1A ??
?
= ? ??
?
，矩阵B 满足**2ABA BA E =+，则B = . 解 3=A ，**3===AA A A A E E ，
用A 右乘**2ABA BA E =+，得36A B B A =+，(36)A E B A -=，
36A E B A -=，0
30
363
00270
3
A E --=-=-，故19
B =.
7.设,A B 为3阶矩阵，且13,2,2A B A B -==+=，则1A B -+= .
解 【用矩阵乘积的行列式】
1
1
1
()()---+=+=+=+B A B B A E B A A A B A A ，
取行列式，得11--+=+B A B B A A ，
将13,2,2A B A B -==+=代入上式，得13-+=A B .
8.设A 为3阶方阵，且,2,2A E A E A E --+均不可逆，则A = .
解 【用特征值】,2,2A E A E A E --+均不可逆
?10,20,2802
A E A E A E A E -=-=+=+
=，
由特征方程0A E λ-=知，A 的特征值为11,2,2
-，
故112()12A =??-
=-.
9.设4阶方阵A 与B 相似，A 的特征值为
5
1
,41,31,21，则1B E --= . 解 A 与B 相似?A 与B 有相同的特征值?B 的特征值为5
1,41,31,21
?1B E --的特征值为1,2,3,4，
故1123424B E --=???=. 10.设A 与B 相似，0010
2030
0B ??
?
= ? ??
?
，则A E -＝ . 解 （方法一）A 与B 相似?A 与B 有相同的特征值
2
010
20(2)(3)30
B E λ
λλλλλ-??
?-=-=-- ? ?-?
?
， B
的特征值为
故A
的特征值为2,A E -
的特征值为1,1
故11)(1)2A E -=??=-.
（方法二）A 与B 相似，则A E -与B E -相似，
故A E -1
010
1023
1
B E -=-==--. 11.设A ,B ,
C 都是行列式为2的3阶方阵，求1
2
()3
O
A
B C
--.
解 【关于副对角线的分块下三角行列式】
33
1
3
1
3
21127(1)
(
)
(1)22
23
8
()
()333?---=--=--==
O A A B A
A
B C
B
B
.
行列式的几种常见计算技巧和方法 2.1 定义法 适用于任何类型行列式的计算，但当阶数较多、数字较大时，计算量大，有一定的局限性． 例1 计算行列式 00400300200 1000. 解析：这是一个四级行列式，在展开式中应该有244=！ 项，但由于出现很多的零，所以不等于零的项数就大大减少．具体的说，展开式中的项的一般形式是43214321j j j j a a a a ．显然，如果41≠j ，那么011=j a ，从而这个项就等于零．因此只须考虑41=j 的项，同理只须考虑 1,2,3432===j j j 的这些项，这就是说，行列式中不为零的项只有 41322314a a a a ，而()64321 =τ，所以此项取正号．故 0 04003002001000 =()()241413223144321=-a a a a τ. 2.2 利用行列式的性质 即把已知行列式通过行列式的性质化为上三角形或下三角形.该方法适用于低阶行列式． 2.2.1 化三角形法 上、下三角形行列式的形式及其值分别如下：
nn n n n a a a a a a a a a a a a a 2211nn 333223221131211000000=，nn nn n n n a a a a a a a a a a a a a 221132 1 33323122211100 00 00=. 例2 计算行列式n n n n b a a a a a b a a a a ++= + 21 211211n 1 11 D . 解析：观察行列式的特点，主对角线下方的元素与第一行元素对应相同，故用第一行的()1-倍加到下面各行便可使主对角线下方的元素全部变为零．即：化为上三角形． 解：将该行列式第一行的()1-倍分别加到第2,3…（1n +）行上去，可得 1 21n 11210000D 0 n n n a a a b b b b b += = . 2.2.2 连加法 这类行列式的特征是行列式某行（或列）加上其余各行（或列）后，使该行（或列）元素均相等或出现较多零，从而简化行列式的计算．这类计算行列式的方法称为连加法．
内容提要： 一、行列式的定义 1、2阶和3阶行列式 2112221122 21 1211a a a a a a a a D -== 31231232211333221133 32 31 23222113 1211a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++= 322311332112312213a a a a a a a a a --- 2、排列与逆序 定义 由n ,,3,2,1 组成的一个有序数组称为一个n 阶排列． 3、n 阶行列式定义 定义 称∑ -== n n n p p p np p p p p p nn n n n n a a a a a a a a a a a a D 21212121) (2 1 22221 11211 )1(τ )det(ij a = 为n 阶行列式，记作D 或n D ．也记作)det(ij a ． 4、三角形行列式：主对角线元素的乘积。 二、行列式的性质 性质1 D D ='． 性质2 互换行列式的某两行（或列），行列式仅变符号． 推论 若行列式中某两行（或列）相同，则行列式为零． 性质3 行列式某行（列）的各元素乘以k ，等于用数k 乘以行列式． 推论 行列式的某行（或列）各元素的公因子可以提到行列式符号外面相乘． 推论 若行列式的某两行（或列）的对应成元素成比例，则行列式为零．
性质4 nn n n in i i n nn n n in i i n nn n n in in i i i i n a a a a a a a a a a a a a a a a a a 21 21 1121121 21112112 1 2211112 11βββαααβαβαβα+=+++ 性质5 将行列式的某行（或列）各元素乘以数k 加到另一行（或列）的对应元素上,行列式的值不变． 三、行列式的展开定理 定义 在n D 中划掉ij a 所在的行和列（即第i 行和第j 列），余下的元素按原来的相对位置构成一个（1-n ）阶行列式，称为ij a 的余子式，记作ij M ． ij j i ij M A +-=)1( ——ij a 的代数余子式 定理1 in in i i i i A a A a A a D +++= 2211 （n i ,,2,1 =） →按第i 行展开 或 ni ni i i i i A a A a A a D +++= 2211 （n i ,,2,1 =） →按第i 列展开 推论 02211=+++jn in j i j i A a A a A a （j i ≠） 或 02211=+++nj ni j i j i A a A a A a （j i ≠） 四、Cramer 规则 ?????? ?=+++=+++=+++n n nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112 222212********* （1） 定理 当0≠D 时，方程组（1）有唯一解 D D x 11= ，D D x 22=，……，D D x n n =．
n 阶行列式的计算方法 徐亮 （西北师大学数信学院数学系 ， 730070 ） 摘 要：本文归纳总结了n 阶行列式的几种常用的行之有效的计算方法，并举列说明了它们的应运． 关键词：行列式，三角行列式，递推法，升降阶法，得蒙行列式 The Calculating Method of the N-order Determinant Xu Liang (College o f M athematics and Information Scien ce ，North west Normal Uni versit y ， Lanzhou 730070，Gansu ，Chin a ) Abstract:This paper introduces some common and effective calculating methods of the n-order determinant by means of examples. Key words: determinant; triangulaire determinant; up and down order; vandermonde determinant 行列式是讨论线形方程组理论的一个有力工具，在数学的许多分支中都有这极为广泛的应用，是一种不可缺少的运算工具，它是研究线性方程组，矩阵，特征多项式等问题的基础，熟练掌握行列式的计算是非常必要的．行列式的计算问题多种多样，灵活多变，需要有较强的技巧．现介绍总结的计算n 阶行列式的几种常用方法． 1． 定义法 应用n 阶行列式的定义计算其值的方法，称为定义法． 根据定义，我们知道n 阶行列式 12121211 12121222() 1212(1)n n n n n j j j j j nj j j j n n nn a a a a a a a a a a a a π= -∑ L L L L L M M L M L ．
浅 一、 特殊行列式法 1．定义法 当行列式中含零元较多时，定义法可行． 例1 计算n 级行列式 α β βαβαβα000000 0000 00 =D . 解：按定义，易见121,2,,,n j j j n === 或 1212,3,,,1n n j j j n j -==== . 得 11(1)n n n D αβ-+=+- 2．三角形行列式法 利用行列式性质，把行列式化成三角形行列式． nn a a a a a a 000n 222n 11211＝nn n n a a a a a a 212212110 0112233nn a a a a = 例2 计算n 级行列式1231 131 211 2 3 1 n n x n D x n x +=++ 解： 将n D 的第(2,3,,)i i n = 行减去第一行化为三角形行列式，则 1230 1000 0200 1 (1)(2)(1) n n x D x x n x x x n -=--+=---+
3．爪形行列式法 例3 计算行列式 0121 1 220 0000n n n a b b b c a D c a c a = ()0,1,2,,i a i n ≠= 解: 将D 的第i +1列乘以（i i a c - ）都加到第1列()n i ,2,1=，得 10 12 120000000 00n i i n i i n bc a b b b a a D a a - =∑= ＝011()n n i i i i i i b c a a a ==-∑∏ 4． 范德蒙行列式法 1 2 3 2 2221 2 3 11111 2 3 1111n n n n n n n a a a a D a a a a a a a a ----= 1()i j j i n a a ≤<≤= -∏ 例4 计算n 级行列式 2 2221233 333 1 2 3 12 3 11 1 1 n n n n n n n x x x x D x x x x x x x x = 解：利用D 构造一个1n +阶范德蒙行列式 12222 212121111()n n n n n n n x x x x g x x x x x x x x x = 多项式()g x 中x 的系数为3(1)n D +-，而()g x 又是一个范德蒙行列式，即 1 ()() n i i g x x x ==-∏∏≤<≤-n i j j i x x 1)(
计算n 阶行列式的若干方法举例 n 阶行列式的计算方法很多，除非零元素较少时可利用定义计算（①按照某一列或某一行展开②完全展开式）外，更多的是利用行列式的性质计算，特别要注意观察所求题目的特点，灵活选用方法，值得注意的是，同一个行列式，有时会有不同的求解方法。下面介绍几种常用的方法，并举例说明。 1．利用行列式定义直接计算 例 计算行列式 0 0100200 1000000n D n n =-L L M M M M L L 解 D n 中不为零的项用一般形式表示为 112211!n n n nn a a a a n ---=L . 该项列标排列的逆序数t （n －1 n －2…1n ）等于(1)(2) 2 n n --， 故(1)(2) 2 (1) !.n n n D n --=- 2．利用行列式的性质计算 例： 一个n 阶行列式n ij D a =的元素满足,,1,2,,,ij ji a a i j n =-=L 则称D n 为反对称 行列式， 证明：奇数阶反对称行列式为零. 证明：由ij ji a a =-知ii ii a a =-，即0,1,2,,ii a i n ==L 故行列式D n 可表示为1213112 23213 2331230000 n n n n n n n a a a a a a D a a a a a a -=-----L L L L L L L L L ，由行列式的性质A A '=，1213112 23213 2331230000 n n n n n n n a a a a a a D a a a a a a -----=-L L L L L L L L L 12131122321323312300(1)00 n n n n n n n a a a a a a a a a a a a -=------L L L L L L L L L (1)n n D =- 当n 为奇数时，得D n =－D n ，因而得D n = 0.
行列式计算7种技巧7种手段 【说明】行列式是线性代数的一个重要研究对象,是线性代数中的一个最基本,最常用的工具,记为det(A).本质上,行列式描述的是在n 维空间中,一个线性变换所形成的平行多面体的体积,它被广泛应用于解线性方程组,矩阵运算,计算微积分等.鉴于行列式在数学各领域的重要性,其计算的重要性也不言而喻,因此,本人结合自己的学习心得,将几种常见的行列式计算技巧和手段归纳于此,供已具有行列式学习基础的读者阅读 一7种技巧: 【技巧】所谓行列式计算的技巧,即在计算行列式时,对已给出的原始行列式进行化简,使之转化成能够直接计算的行列式,由此可知,运用技巧只能化简行列式,而不能直接计算出行列式 技巧1:行列式与它的转置行列式的值相等,即D=D T 111211121121222122221 2 12n n n n n n nn n n nn a a a a a a a a a a a a a a a a a a = 技巧2:互换行列式的任意两行(列),行列式的值将改变正负号 111212122221222111211 2 1 2 n n n n n n nn n n nn a a a a a a a a a a a a a a a a a a =- 技巧3:行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面 1111121111121221 222 22212221 1 2 1 2 n n n n n n i n n n n n nn n n nn b a b a b a a a a b a b a b a a a a b b a b a b a a a a ==∏ 技巧4:行列式具有分行(列)相加性 11121111211112111 22 1 2121 2 1 2 1 2 n n n t t t t tn tn t t tn t t tn n n nn n n nn n n nn a a a a a a a a a b c b c b c b b b c c c a a a a a a a a a +++=+ 技巧5:将行列式的某一行(列)的各元素乘以同一数k 后加到另一行(列)对应的元素上,行列式的值不变
行列式的若干计算技巧与方法 内容摘要 1. 行列式的性质 2.行列式计算的几种常见技巧和方法 定义法 利用行列式的性质 降阶法 升阶法（加边法） 数学归纳法 递推法 3. 行列式计算的几种特殊技巧和方法 拆行（列）法 构造法 特征值法 4. 几类特殊行列式的计算技巧和方法 三角形行列式 “爪”字型行列式 “么”字型行列式 “两线”型行列式 “三对角”型行列式 范德蒙德行列式 5. 行列式的计算方法的综合运用 降阶法和递推法 逐行相加减和套用范德蒙德行列式 构造法和套用范德蒙德行列式
行列式的性质 性质1 行列互换，行列式不变．即 nn a a a a a a a a a a a a a a a a a a n 2n 1n2 2212n12111nn n2n12n 2221 1n 1211 . 性质2 一个数乘行列式的一行（或列），等于用这个数乘此行列式．即 nn n2 n1in i2i1n 11211 k k k a a a a a a a a a k nn a a a a a a a a a n2n1in i2i1n 11211. 性质3 如果行列式的某一行（或列）是两组数的和，那么该行列式就等于两个行列式的和，且这两个行列式除去该行（或列）以外的各行（或列）全与原来行列式的对应的行（或列）一样．即 111211112111121112212121 2 1212.n n n n n n n n n nn n n nn n n nn a a a a a a a a a b c b c b c b b b c c c a a a a a a a a a K K K M M M M M M M M M M M M K K K M M M M M M M M M M M M K K K 性质4 如果行列式中有两行（或列）对应元素相同或成比例，那么行列式为零．即 k a a a ka ka ka a a a a a a nn n n in i i in i i n 21 2121112 11nn n n in i i in i i n a a a a a a a a a a a a 212121112 11 =0. 性质5 把一行的倍数加到另一行，行列式不变．即
行列式计算7种技巧7种手段 编者:Castelu 【编写说明】行列式是线性代数的一个重要研究对象,是线性代数中的一个最基本,最常用的工具,记为det(A).本质上,行列式描述的是在n 维空间中,一个线性变换所形成的平行多面体的体积,它被广泛应用于解线性方程组,矩阵运算,计算微积分等.鉴于行列式在数学各领域的重要性,其计算的重要性也不言而喻,因此,本人结合自己的学习心得,将几种常见的行列式计算技巧和手段归纳于此,供已具有行列式学习基础的读者阅读 一.7种技巧: 【技巧】所谓行列式计算的技巧,即在计算行列式时,对已给出的原始行列式进行化简,使之转化成能够直接计算的行列式,由此可知,运用技巧只能化简行列式,而不能直接计算出行列式 技巧1:行列式与它的转置行列式的值相等,即D=D T 111211121121222122221 212n n n n n n nn n n nn a a a a a a a a a a a a a a a a a a = 技巧2:互换行列式的任意两行(列),行列式的值将改变正负号 111212122221222111211 21 2n n n n n n nn n n nn a a a a a a a a a a a a a a a a a a =- 技巧3:行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面 111112111112122122222212221 121 2n n n n n n i n n n n n nn n n nn b a b a b a a a a b a b a b a a a a b b a b a b a a a a == ∏ 技巧4:行列式具有分行(列)相加性 11121111211112111221 21 21 2 1 21 2n n n t t t t tn tn t t tn t t tn n n nn n n nn n n nn a a a a a a a a a b c b c b c b b b c c c a a a a a a a a a +++=+ 技巧5:将行列式的某一行(列)的各元素乘以同一数k 后加到另一行(列)对应的元素上,行列式的值不变
第1章 n 阶行列式 n 阶行列式理论是线性代数中最基本的内容之一，它产生于线性方程组求解公式——克 莱姆法则，又自成体系，形成了自己的核心内容：定义、性质、计算方法.本章重点要掌握行列式定义和计算方法——化三角形法.学习的困难之处在于行列式的定义的理解和展开性质的应用. 第1节 二、三阶行列式 在中学，大家学习了线性方程组的加减消元法和代入消元法求方程组的解.例如，解二元线性方程组 347, 5611, x y x y +=?? +=? 就可以这样解： 64,?-?得 76114 3654 x ?-?= ?-?， 53,?-?得 7511311375 45633654 y ?-??-?= = ?-??-?， 现在的问题是：怎样记住解,x y 的分子、分母呢？ 首先从,x y 变形以后的分母看到：3654、、、就是方程组中,x y 的系数，因此，我们能想到规定记号 34 =36-5456 ??， 这样，我们就有了一种新的方法：例如， 2325-4310-12-245 =??==， -32-37-52-21-10-315 7 =??==（）. 其次，观察,x y 的分子，我们看到 x 的分子74 76-114= 116 ??是用常数项“取代”了分母中的x 的系数；
y 的分子37 113-75= 511 ??是用常数项“取代”了分母中的y 的系数. 显然，对于一般的二元一次方程组 11121 21222 a x a y b a x a y b +=?? +=? 的解，规定公分母为 1112 112212212122 -a a a a a a a a = （1.1） 当1112112212212122 -a a a a a a a a =则成立如下求解公式 1122221222121112112212212122b a b a b a b a x a a a a a a a a -==-， 1112122111211112112212212122 a b a b b a b a y a a a a a a a a -==-. 同样，我们也可以运用消元法求出三元一次方程组 111122133121122223323113223333 a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b ++=?? ++=??++=? 的解.其公分母为 111213 21 22 231122331223311321321123321221331322313132 33 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a =++--- （1.2） 就可得到如下求解公式 112132 22 23 33233 111121********* 32 33 b a a b a a b a a x a a a a a a a a a = ，
1 行列式的定义及性质 1.1 定义[3] n 级行列式 1112121 22 212 n n n n nn a a a a a a a a a 等于所有取自不同行不同列的个n 元素的乘积12 12n j j nj a a a (1)的代数和,这里12 n j j j 是 1,2, ,n 的一个排列,每一项(1)都按下列规则带有符号:当12n j j j 是偶排列时,(1)带正号，当 12n j j j 是奇排列时,(1)带有负号.这一定义可写成 () () 121212 1112121 22 21212 1n n n n j j j n j j nj j j j n n nn a a a a a a a a a a a a τ= -∑ 这里 12 n j j j ∑ 表示对所有n 级排列求和. 1.2 性质[4] 性质1.2.1 行列互换,行列式的值不变. 性质1.2.2 某行(列)的公因子可以提到行列式的符号外. 性质1.2.3 如果某行(列)的所有元素都可以写成两项的和,则该行列式可以写成两行列式的和;这两个行列式的这一行(列)的元素分别为对应的两个加数之一,其余各行(列)与原行列式相同. 性质1.2.4 两行(列)对应元素相同,行列式的值为零. 性质1.2.5 两行(列)对应元素成比例,行列式的值为零. 性质1.2.6 某行(列)的倍数加到另一行(列)对应的元素上,行列式的值不变. 性质1.2.7 交换两行(列)的位置,行列式的值变号.
2 行列式的分类及其计算方法 2.1 箭形（爪形）行列式 这类行列式的特征是除了第1行(列)或第n 行(列)及主(次)对角线上元素外的其他元素均为零，对这类行列式可以直接利用行列式性质将其化为上(下)三角形行列式来计算.即利用对角元素或次对角元素将一条边消为零. 例1 计算n 阶行列式 ()1 2323111100 1 0001 n n n a a D a a a a a =≠. 解 将第一列减去第二列的 21a 倍，第三列的3 1a 倍第n 列的 1 n a 倍，得 1 223 111110 000 000 n n n a a a a D a a ?? -- - ?? ? = 1221n n i i i i a a a ==?? =- ?? ? ∑ ∏. 2.2 两三角型行列式 这类行列式的特征是对角线上方的元素都是c ,对角线下方的元素都是b 的行列式，初看，这一类型似乎并不具普遍性，但很多行列式均是由这类行列式变换而来，对这类行列式，当 b c =时可以化为上面列举的爪形来计算，当b c ≠时则用拆行(列)法[9]来计算. 例2 计算行列式
行列式的计算方法总结: 1. 利用行列式性质把行列式化为上、下三角形行列式. 2. 行列式按一行(一列)展开,或按多行(多列)展开(Laplace 定理). 几个特别的行列式: B A B C A B C A == 0021 , B A B A D D B A mn )1(0 021 -== ,其中B A ,分别是n m ,阶的方阵. 例子: n n a b a b a b b a b a b a D 22O N N O = , 利用Laplace 定理,按第1,+n n 行展开,除2级子式 a b b a 外其余由第1,+n n 行所得的2级子式均为零. 故222222112)()1(--+++++-=-= n n n n n n n D b a D a b b a D ,此为递推公式,应用可得 n n n n b a D b a D b a D )()()(224222222222-==-=-=--Λ. 3. 箭头形行列式或者可以化为箭头形的行列式. 例:n n n n n n n a x x a a x x a a x x a a a a x x a a a a x a a a a x a a a a x ------=Λ ΛΛΛΛΛΛΛΛΛ ΛΛΛΛΛΛΛΛ00 000 01 133112 2113213 21321 321321 -----(倍加到其余各行第一行的1-) 100 101010 011)(3 332 221 111 Λ ΛΛΛΛΛΛΛΛ-------? -=∏=n n n n i i i a x a a x a a x a a x x a x --------(每一列提出相应的公因子i i a x -) 1 001000 010)(3 332 222111 1 Λ ΛΛΛΛΛΛΛΛn n n n i i i i n i i i a x a a x a a x a a x a a x x a x ----+-? -=∑∏== --------(将第n ,,3,2Λ列加到第一列)
浅论行列式及其计算方法 摘要：本文主要介绍了行列式的概念——行列式是n 阶矩阵的一个特征量。行列式的性质——行列式和它的转置行列式相等等一系列性质。行列式的计算方法——化三角法，定义法等。克莱姆法则。以及和矩阵相关的一些问题。 关键词：行列式的概念 行列式的性质 行列式的计算 矩阵 克莱姆法则 正文 1行列式的概念 1.1 二阶、三阶行列式 行列式是代数式的简要记号，如 1112112212212122a a a a a a a a =- （1.1） 111213 21222311223312233113213231 32 33 a a a a a a a a a a a a a a a a a a =++ 322311332112312213a a a a a a a a a --- （1.2） 分别是二阶、三阶行列式，两式的左端表示行列式的记号，右端是行列式的全面展开式。行列式的元素有两个下标，分别称为行标和列标。如32a 表示该元素位于第3行、第2列。 二阶、三阶行列式的全面展开可以用对角线法。 【例】5152(1)3133 2 -=?--?=； 2 2 2 2 ()a b a b a b b a =--=+-； 250 1334 1 6 ---2361(1)0(5)(3)4=??+?-?+-?-?034-?? (1)(3)21(5)6--?-?-?-?(36)(0)(60)(0)(6)(30)120=++----=。 1.2 n 阶行列式的全面展开 用2 n 个元素可以构成n 阶行列式 nn n n n n a a a a a a a a a 2 1 2222111211 。 行列式有时简记为j i a 。一阶行列式a 就是a 。高于4阶的行列式不能用对角线法展开。参照二阶、三阶行列式的展开式（1.1）、（1.2），规定n 阶行列式的全面展开按如下方式进行： （1）展开式的每一项都是不同行、不同列的n 个元素的乘积。 （2）取自不同行、不同列的n 个元素要出现所有不同的搭配。若将行标顺序安排，则每一项对应列标的一个排列。如332112a a a 对应的排列是2 1 3。所有不同的搭配，对应所有不同的列标排列，n 个自然数共有!n 种排列，因而全面展开式共有!n 项。 （3）各项的前置符号，偶排列取正，奇排列取负。所谓偶（奇）排列是指该排列的逆序数
特殊行列式及行列式计算方法总结 一、 几类特殊行列式 1. 上（下）三角行列式、对角行列式（教材P7例5、例6） 2. 以副对角线为标准的行列式 11112112,1 221222,11,21,1 1,11 2 ,1 (1)2 12,11 000000 0000 0000 (1) n n n n n n n n n n n nn n n n n n nn n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---------===-L L L L L L M M M M M M M M M N L L L L 3. 分块行列式（教材P14例10） 一般化结果： 00n n m n n m n m m n m m n m A C A A B B C B ????= =? 0(1)0n m n n m n mn n m m m n m m n A C A A B B C B ????= =-? 4. 范德蒙行列式（教材P18例12） 注：4种特殊行列式的结果需牢记！ 以下几种行列式的特殊解法必须熟练掌握！！！ 二、 低阶行列式计算 二阶、三阶行列式——对角线法则 （教材P2、P3） 三、 高阶行列式的计算 【五种解题方法】 1) 利用行列式定义直接计算特殊行列式； 2) 利用行列式的性质将高阶行列式化成已知结果的特殊行列式； 3) 利用行列式的行（列）扩展定理以及行列式的性质，将行列式降阶进行计算 ——适用于行列式的某一行或某一列中有很多零元素，并且非零元素的代数余子式很容易计算； 4) 递推法或数学归纳法； 5) 升阶法（又称加边法）
§1.1全排列及逆序数 1、二阶与三阶行列式 由二元线性方程组引入二阶行列式 ???=+=+22221211212111b x a x a b x a x a 利用消元法解得??? ????--=--=211222112111122211222111222211a a a a a b a b x a a a a a b a b x 21,x x 的分母记作211222112221 1211 a a a a a a a a -= （1）称为线性方程组的系数行列式D 1x 的分子记作21222122 212 1b a a b a b a b -==1D 2x 的分子记作2121211221111D b a b a b a b a =-= 若系数行列式0≠D ，则二元线性方程组有唯一解?????==D D x D D x 2211 同样的，对于三元线性方程组?????=++=++=++33332321 3123232221211313212111b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a ，当系数行列式0≠D 时有唯一解???? ?????===D D x D D x D D x 332211， 系数行列式 =D 11121321 2223112233122331132132112332122133132231313233 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a =++--- 321,,D D D 是分别用常数项321,, b b b 替换系数行列式的第一列，第二列，第三列得来 的。 2、排列：由1,2，…，n 组成的一个有序数组称为一个n 级全排列(简称为排列)
第一讲：行 (a 1 b 2 a 2 b)x b 2 c 1 b 1 c 2 a 2X b 2y C 2 (a? a z bjy a? 825 ⑵当a 1 b 2 a 2 b 0时， (DdG biC 2=a 1 c 2 a 2 c, =0时，那么方程组有无穷多组解; 0时，方程组无解。 用二阶行列式表示为 (2)当D 0时,(i)D x D y 0,方程组有无穷多解; (ii)D x 0或 D y 0,方程组无解。 D 叫做二元一次方程组的判别式。 4、三阶行列式 与二阶行列式的引入是相同的；解三元一次方程组而来。 a 1 bl C 1 a 2 b 2 c 2 a s b s C 3 ［知识结叫做 x,y i ,x 2,y 2都叫行列式的 a i x b i y C i x (1)当 a 1 b 2 a 2b 0时，方程组有惟一解 b 2C i biC 2 a 1 b 2 a 2 bi a 1 q a 2 g a r b ? a ? b^ 3、二元一次方程组 dx by a 2X dy C 2 ，D x ，D y (ii )b 2 c 1 b 1 c 2 0或 a 1 c 2 a 2 c 1 (1当D 0时，方程组有惟一解 y D x D . D/ D 定义:
也可以按照某一行或某一列展开表示: a b i c i a ? b ? C 2 a 3 b s C 3 a iA b i B i G G ； 其中A i ,B ,,C i 称为代数余子式，如 B i QX by CiZ d 1 Dx a 2X by C 2Z d 2 Dy a a X dy C 3Z d 3 Dz a d 1 C 1 a a 2 C 2 a 2 a 3 C 3 a 3 d 2 d 3 ,D z D x D y ，其中D D z D y E d i b 2 d 2 b 3 d 3 (1)当D 0,方程组有惟一解 D x D 巳;(2)当D 0,方程组无解或无穷多解。 D D z D ［巩固练 习］ 的值为 1、二阶行列式 2、关于X, y 的方程组 2 2 ax by a b 2 「、砧丽佯* ' ,(a b )的解集为 bx ay 2ab 2 3、使得方程组aX (2a 1)y a 2a 1 有惟一解的实数a 的范围为 X ay 2a 方程组有无穷多组解的实数 a 的值为 ;使 4、行列式 的第三行第二列的元素的代数余子式是
中南民族大学 毕业论文(设计) 学院: 数学与统计学学院 专业: 统计学年级:2008 题目: 行列式计算的若干方法 学生姓名: 曹金金学号:08067005
指导教师姓名: 汪宝彬职称:讲师 2012年4月30日
中南民族大学本科毕业论文（设计）原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成果.除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品.本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担. 作者签名： 年月日
目录 摘要 (1) 关键词 (1) Abstract (1) Key words (1) 1 引言 (2) 2.1排列 (2) 2.2行列式的定义 (2) 2.2.1 二阶、三阶行列式 (2) 2.2.2 n阶行列式的定义 (3) 2.2.3 几种特殊的行列式的定义 (3) 2.3 行列式的基本性质 (5) 3几种常见的行列式的计算方法 (6) 3.1利用行列式定义直接计算 (6) 3.2 利用行列式的性质计算 (6) 3.3 三角化法 (7) 3.4 降阶法 (8) 3.5利用范德蒙德行列式求解 (10) 3.6 数学归纳法 (11) 3.7 拆项法 (12) 3.8析因子法 (13) 3.9 加边法(升阶法) (13) 3.10递推公式法 (14) 3.11超范德蒙行列式法 (15) 3.12利用分块计算行列式 (16) 4 结论 (16) 致谢 (17) 参考文献 (17)
行列式计算的若干方法 摘要：在线性代数中,行列式的求解是非常重要的. 本文首先介绍行列式的定义与性质；然后通 过实例给出了计算行列式的几种方法.从文中可以看出，选择合适的计算方法可有效的计算行列式. 关键词：行列式；性质；计算方法 Some Methods of Determinant Calculation Abstract: Determinant plays an important role in the linear algebra. In this paper we first introduce the definition and properties of determinant. Then several methods of the calculation are given by some examples. It can be seen from the paper that choose the appropriate calculation method can efficiently compute the determinant. Key words: determinant; property; the calculation methods
计算n 阶行列式的若干方法举例 n 阶行列式的计算方法很多，除非零元素较少时可利用定义计算（①按照某一列或某一行展开②完全展开式）外，更多的是利用行列式的性质计算，特别要注意观察所求题目的特点，灵活选用方法，值得注意的是，同一个行列式，有时会有不同的求解方法。下面介绍几种常用的方法，并举例说明。 1．利用行列式定义直接计算 例 计算行列式 0 0100 200 100 00n D n n = - 解 D n 中不为零的项用一般形式表示为 1122 11!n n n n n a a a a n ---=. 该项列标排列的逆序数t （n －1 n －2…1n ）等于(1)(2) 2 n n --， 故(1)(2) 2 (1) !.n n n D n --=- 2．利用行列式的性质计算 例： 一个n 阶行列式n ij D a =的元素满足,,1,2, ,,ij ji a a i j n =-= 则称D n 为反对称 行列式， 证明：奇数阶反对称行列式为零. 证明：由ij ji a a =-知ii ii a a =-，即0,1,2, ,ii a i n == 故行列式D n 可表示为1213112 23213 233123000 n n n n n n n a a a a a a D a a a a a a -=-----，由行列式的性质T A A =，1213112 23213 23312300 00 n n n n n n n a a a a a a D a a a a a a -----=-12131122321323312300( 1)0 n n n n n n n a a a a a a a a a a a a -=------(1)n n D =- 当n 为奇数时，得D n =－D n ，因而得D n = 0.
行列式的求法有多种，以下简单进行总结。 一、逆序定义法 行列式的逆序法定义如下： 1212121112121222(,,......,)12,,......,1 2(1)......n n n n n j j j j j nj j j j n n nn a a a a a a a a a a a a τ= -∑ 这里，12,,......,n j j j 为1,2,...,n 的任一排列，12(,,......,)n j j j τ为该排列的逆序数，求和是对所有的排列求的，因此，该和式一共有!n 项，每项都是n 个数相乘，并得计算逆序数，计算量巨大。因此，一般而言，逆序法定义具有理论上研究的意义，而比较少用于求行列式。但是，如果行列式的项中有大量的0，那么用逆序法计算可能会很简单。以下举例如下： 例1：求 11 22 nn a a a 。 解答： 12121211 22 (,,......,)12,,......,(1)......n n n j j j j j nj j j j nn a a a a a a τ= -∑ 只当11j =，22j =，……，n j n =，其项才可能非零。因此， 11 22 (1,2,......,)01,12,2,1,12,2,1,12,2,(1)......(1)............n n n n n n n nn a a a a a a a a a a a a τ=-=-= 例2、求 1 2 n d d d 。 解答： 1212121 2 (,,......,)12,,......,(1)......n n n j j j j j nj j j j n d d a a a d τ= -∑ 只当1j n =，21j n =-，……，1n j =，其项才可能非零。因此，
计算技巧及方法总结 一、 一般来说，对于二阶、三阶行列式，可以根据定义来做 1、二阶行列式 2112221122 2112 11a a a a a a a a -= 2、三阶行列式 33 32 31 23222113 1211a a a a a a a a a =.332112322311312213322113312312332211a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++ 例1计算三阶行列式6 01504 321 - 解 =-6 015043 21601??)1(52-?+043??+)1(03-??-051??-624??- 4810--=.58-= 但是对于四阶或者以上的行列式，不建议采用定义，最常采用的是行列式的性质以及降价法来做。但在此之前需要记忆一些常见行列式形式。以便计算。 计算上三角形行列式 nn nn n n a a a a a a a a a 2211222112110 = 下三角形行列式 nn n n a a a a a a 21 222111000.2211nn a a a = 对角行列式 nn nn n n a a a a a a a a a 221121 2221 11 0= 二、用行列式的性质计算 1、记住性质，这是计算行列式的前提 将行列式D 的行与列互换后得到的行列式,称为D 的转置行列式,记为T D 或'D ,即若
,21222 21 11211nn n n n n a a a a a a a a a D = 则 nn n n n n T a a a a a a a a a D 2122212 12111=. 性质1 行列式与它的转置行列式相等, 即.T D D = 注 由性质1知道，行列式中的行与列具有相同的地位，行列式的行具有的性质,它的列也同样具有. 性质2 交换行列式的两行(列),行列式变号. 推论 若行列式中有两行(列)的对应元素相同,则此行列式为零. 性质3 用数k 乘行列式的某一行(列), 等于用数k 乘此行列式, 即 .2 1 21112 112 1 21 112111kD a a a a a a a a a k a a a ka ka ka a a a D nn n n in i i n nn n n in i i n === 第i 行(列)乘以k ,记为k i ?γ(或k C i ?). 推论1 行列式的某一行(列)中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面. 推论2 行列式中若有两行(列)元素成比例,则此行列式为零. 性质4 若行列式的某一行(列)的元素都是两数之和, 例如, nn n n in in i i i i n a a a c b c b c b a a a D 2 12 21111211+++=. 则 212 1 21112112 1 21 11211 D D a a a c c c a a a a a a b b b a a a D nn n n in i i n nn n n in i i n +=+= . 性质5 将行列式的某一行(列)的所有元素都乘以数k 后加到另一行(列)对应位置的元素上, 行列式不变. 注: 以数k 乘第j 行加到第i 行上,记作j i kr r +; 以数k 乘第j 列加到第i 列上，记作j i kc c +. 2、利用“三角化”计算行列式 计算行列式时，常用行列式的性质，把它化为三角形行列式来计算. 例如化为上三角形行列式的步骤是: