一、填空
1. 若b 是任一正整数，则=),0(b 。
2. 若b 是任一整数，则=),0(b 。
3. [5.7]= {5.7}= [ 5.9]-= { 5.8}-=
4. [1.2]= =}2.1{ [ 1.2]-= =-}2.1{
5. 写出标准分解式
(1)!20= .
(2)30!=
(3)32!= .
6. !20中质因数2的指数是 。在!40的标准分解式中质因数3的指数是 。
7. 同余式(mod )ax b m ≡有解的充要条件是 。
8. 不定方程ax by c +=，其中a,b 都是整数，且都不为零，方程有解的充分必要条件是 。
9. 设模为正整数m ，则整数的同余关系作为等价关系满足的三个基本性质是：
(1) (自反性) ；
(2) (对称性)若)(mod m b a ≡，则)(mod m a b ≡；
(3) （传递性） 。
10. 写出模7的绝对最小完全剩余系： ，写出模7的最小非负完全剩余系： 模7的一组简化剩余系： .
11. 欧拉函数2(7)?= ， =)10(? ，=)37(? ，
=)120(? 。
12. 求最大公因数 (169, 121)= ，(1859, 1753)= ， (76501, 9719)= ，（48, 72, 108）= 。
13. 求最小公倍数 [21, 35 ]= ，[123, 321]= ，[138, 36]= ，
[125, 725, 1125]= [128, 234, 524]= .
14. 写出82798848的标准分解式 。
15. 写出51480的标准分解式 。
二、判断
1.若)(mod m b a ≡，d 是m b a ,,的任一公因数，则)(mod d m
d b d a =。 （
） 2.模m 的一个简化剩余系中数的个数为1)(-m ?。（ ）
3.若)(m od 22m b a ≡成立，则)(mod m b a ≡。（ ）
4.若)2(mod b a ≡，则)2(mod 222b a ≡。 （ ）
5. 4063的十进制中后两位数是2和9。 （ ）
6. 30！的标准分解式中质因数13的指数是3. （ ）
7. 30！的标准分解式中质因数13的指数是2. （ ）
8. 180的标准分解式是53222??。（ ）
9. （198,252）=16. （ ）
10. 从260到545的整数中,是13倍数的整数有 22 个。( )
11. 若)(mod m b a ≡，0,|>d m d ，则)(mod d b a ≡. （ ）
12. 同余式)5(m od 0421525103467≡-+--x x x x 是模5的七次同余式.
（
） 13. 若)(mod m b a ≡，0>k ，则)(mod mk bk ak ≡. （ ）
14. 若435693=a ，则a 既能被3整除也能被9整除。 （ ）
15. 若637693=a ，因为693-637=56，所以若a 能被7整除而不能被11与13整除。（ ）
16. 模6=m 的最小非负完全剩余系有两组，分别为2,1,0,1,2,3---和
3,2,1,0,1,2--。
（ ） 17. 模10=m 的一个简化剩余系为9,7,3,1。 （ ）
18. 模11=m 的一个简化剩余系为10,9,8,7,6,5,4,3,2,1,0。（ ）
19. 若22(mod )a b m ≡，则(mod )a b m ≡或(mod )a b m ≡-至少有一个成立。（ ）
20.若(mod )a b m ≡，则222(mod )a b m ≡。（ ）
21.设p 是奇质数，且p 不能整除a . 则22(mod )a b p ≡成立的充分必要条件是(mod )a b p ≡或者(mod )a b p ≡-有且仅有一式成立。（ ）
三、计算与证明.
1. 证明 3|(1)(21)n n n ++ ，其中 n 是任何整数。
2. 已知两个自然数的和为165，它们的最大公因数为15，求这两个数.
3. 求最大公因数（24871，3468），（18900，64680）(71004,154452).
4. 求最小公倍数 [21,35]、[123,321]、[125,725,1125].
5. 求82798848的标准分解式.
6. 求30! 的标准分解式。
7. 解不定方程
（1）3511.x y +=（2）5741.x y +=（3）1172138.x y +=
（4）1525100.x y +=（5）306360630.x y -=（6）
75321111=-y x
8. 把100分成两份，使一份可被7整除，一份可被11整除。
9. 把 239 分成两份，使一份可被17整除，一份可24整除。
10. 求以下方程一切整数解：
(1) 45830x y z ++=
(2) 123441014620.x x x x +++=
(3) 10005249=-+z y x .
(4) 237x y z ++=.
(5) 881016x y z -+=
(6) 61521930x y z t +++=
11. 把
1760
写成分母两两互质的三个既约分数之和。
12. 写出模9的一个完全剩余系，要求都是偶数。
13. 写出模7和模8的绝对最小完全剩余系。
14. 写出模5的所有剩余类。
15. 写出模20的一个简化剩余系。
16. 写出模17的一个简化剩余系。
17. 写出模12的绝对最小简化剩余系。
18. 计算欧拉函数：(3780)?=
(30)?= (35)?= (47)?= (77)?= (360)?= (250)?=
(120)?=
19. 今天是星期一，再过20002天是星期几？
20. 如果今天是星期一，再过101010天是星期几？
21. 求4063的十进制中后两位数字是多少？
22. 求159313被7除的余数。
23. 解同余式46(mod10)x ≡，3339(mod75)x ≡
24. 解同余式（1）912(mod15)x ≡, （2）11175(mod321)x ≡
（3）)341(mod 121286≡x
25. 解同余式组
(1) 1(mod3),1(mod5),2(mod7),2(mod11).x x x x ≡≡-≡≡-
(2) 2(mod3),3(mod5),2(mod7).x x x ≡≡≡
(3) 1(mod5),5(mod6),4(mod7),10(mod11).x x x x ≡≡≡≡
(4) 1(mod3),1(mod5),2(mod7),2(mod11).x x x x ≡≡-≡≡-
(5) 1(mod 2),2(mod5),3(mod7),4(mod9).x x x x ≡≡≡≡
26. 解高次同余式
(1) 982)(),35(m od 0)(3
4+++=≡x x x x f x f 。
(2) 32
()0(mod 30),()6271720.f x f x x x x ≡=+++
(3)
42()0(mod 30),()32 6.f x f x x x x ≡=+-+
(4)
4()0(mod 27),()7 4.f x f x x x ≡=++