§2 充分条件与必要条件 课时目标 1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义.2.了解充分而不必要条件,必要而不充分条件,既不充分也不必要条件的含义.3.正确判断充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件.4.通过学习,理解对条件的判定可以归结为判断命题的真假.
1.充分条件
“若p ,则q ”形式的命题为真命题是指:由条件p 可以得到结论q .通常记作________,读作“p 推出q ”.此时我们称________________________.
2.必要条件
如果“若p ,则q ”形式的命题为真命题,即________,称p 是q 的____________,同时,我们称q 是p 的____________.
3.充要条件:由于p ?q ,所以p 是q 的充分条件;由于q ?p ,所以p 是q 的必要条件,在这种情况下,我们称p 是q 的充分必要条件,简称充要条件.
4.推出与充分条件、必要条件
若p ?q ,但q ?p ,则称p 是q 的________________________;
若p ?q ,但q ?p ,则称p 是q 的_________________________;
若p ?q ,且q ?p ,则称p 是q 的________________________.
一、选择题
1.“A =B ”是“sin A =sin B ”的( )
A .充分不必要条件
B .必要不充分条件
C .既是充分条件,又是必要条件
D .既不充分又不必要条件
2.“m <14
”是“一元二次方程x 2+x +m =0有实数解”的( ) A .充分不必要条件 B .充要条件
C .必要不充分条件
D .既不充分也不必要条件
3.设0 ,则“x sin 2x <1”是“x sin x <1”的( ) A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件 4.设集合M ={x |x >2},P ={x |x <3},那么“x ∈M ,或x ∈P ”是“x ∈M ∩P ”的( ) A .必要不充分条件 B .充分不必要条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件 5.若f (x )是R 上的减函数,且f (0)=3,f (3)=-1,设P ={x ||f (x +t )-1|<2},Q ={x |f (x )<-1},若“x ∈P ”是“x ∈Q ”的充分不必要条件,则实数t 的取值范围是( ) A .{t |t ≤0} B .{t |t ≥0} C .{t |t ≥-3} D .{ 二、填空题 6.“lg x >lg y ”是“x >y ”的____________条件. 7.p 是q 的充分不必要条件,r 是q 的必要不充分条件,那么p 是r 的____________条件. 8.不等式(a +x )(1+x )<0成立的一个充分而不必要条件是-2 三、解答题 9.求证:关于x 的方程x 2+2ax +b =0有实数根且两根均小于2的充分但不必要条件是a ≥2且|b |≤4. 10.已知p :实数x 满足x 2-4ax +3a 2<0,其中a <0;q :实数x 满足x 2-x -6≤0或x 2+2x -8>0,且p 是q 的充分不必要条件,求a 的取值范围. 能力提升 11.记实数x 1,x 2,…,x n 中的最大数为max{x 1,x 2,…,x n },最小数为min {}x 1,x 2,…,x n .已知△ABC 的三边边长为a ,b ,c (a ≤b ≤c ),定义它的倾斜度为 l =max ??????a b ,b c ,c a ·min ???? ??a b ,b c ,c a , 则“l =1”是“△ABC 为等边三角形”的( ) A .必要而不充分条件 B .充分而不必要条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件 12.已知数列{a n }的前n 项和为S n =(n +1)2+c ,探究{a n }是等差数列的充要条件. 1.判断两个条件之间的关系,可以从推出“?”或“?”成立的情况来确定. 2.可以利用集合间的关系来判断条件之间的关系. 3.利用条件的充分性、必要性可以解决一些与范围有关的问题. 4.探求充要条件,要保证转化过程是等价转化,分清条件的充分性和必要性. §2 充分条件与必要条件 知识梳理 1.p ?q p 是q 的充分条件 2.p ?q 充分条件 必要条件 4.充分但不必要条件 必要但不充分条件 既不充分也不必要条件 作业设计 1.A [“A =B ”?“sin A =sin B ”,反过来不对.] 2.A [由x 2+x +m =0知, Δ=1-4m ≥0?m ≤14?m<14 .] 3.B [当0 时,0 ,不一定得到x sin x<1. 反之,当x sin x<1时,x sin 2x 故x sin 2x<1是x sin x<1的必要不充分条件.] 4.A [本题可以根据集合间的关系来解. (M ∩P)(M ∪P).] 5.D [由|f(x +t)-1|<2,得-1 f (3) 又因为f(x)是R 上的减函数,∴-t 由f (x )<-1=f (3),得x >3, 若“x ∈P ”是“x ∈Q ”的充分不必要条件, 则-t ≥3,∴t ≤-3.] 6.充分不必要 7.充分不必要 解析 p ?q ?r ,反之不对. 8.a >2 解析 不等式变形为(x +1)(x +a )<0,因当-2 9.证明 先证明条件的充分性: ∵????? a ≥2, b ≤4,?a 2≥4≥b , ∴方程x 2+2ax +b =0有Δ=4(a 2-b )≥0, ∴方程有实数根,① ∵????? a ≥2,b ≥-4,?? ???? -2a ≤-4,b ≥-4 ∴(x 1-2)+(x 2-2)=(x 1+x 2-4) =-2a -4≤-4-4=-8<0, 而(x 1-2)(x 2-2)=x 1x 2-2(x 1+x 2)+4 =b +4a +4≥-4+8+4=8>0, ∴????? (x 1-2)+(x 2-2)<0,(x 1-2)(x 2-2)>0,?????? x 1-2<0,x 2-2<0, ????? x 1<2,x 2<2,即方程有小于2的实数根.② 显然,由①、②知“a ≥2,且|b |≤4”?“方程有实数根且两根均小于2”. 再验证条件不必要性: ∵方程x 2-x =0的两根为x 1=0,x 2=1,则方程的两根均小于2,而a =-12 <2, ∴“方程的两根小于2”?“a ≥2,且|b |≤4”. 综上,a ≥2,且|b |≤4是方程有实数根且两根均小于2的充分但不必要条件. 10.解 由x 2-4ax +3a 2<0且a <0得3a 所以p :3a 由x 2-x -6≤0得-2≤x ≤3, 由x 2+2x -8>0得x <-4或x >2, 所以q :x <-4或x ≥-2 因为p ?q 所以a ≤-4或-2≤3a <0 所以a ≤-4或-23 ≤a <0 故所求a 的取值范围是 ???? ??a |a ≤-4或-23≤a <0. 11.A [当△ABC 是等边三角形时,a =b =c , ∴l =max ??????a b ,b c ,c a ·min ???? ??a b ,b c ,c a =1×1=1. ∴“l =1”是“△ABC 为等边三角形”的必要条件. ∵a ≤b ≤c ,∴max ??????a b ,b c ,c a =c a . 又∵l =1,∴min ??????a b ,b c ,c a =a c , 即a b =a c 或b c =a c , 得b =c 或b =a ,可知△ABC 为等腰三角形,而不能推出△ABC 为等边三角形. ∴“l =1”不是“△ABC 为等边三角形”的充分条件.] 12.解 当{a n }是等差数列时,∵S n =(n +1)2+c , ∴当n ≥2时,S n -1=n 2+c , ∴a n =S n -S n -1=2n +1, ∴a n +1-a n =2为常数. 又a 1=S 1=4+c , ∴a 2-a 1=5-(4+c )=1-c , ∵{a n }是等差数列,∴a 2-a 1=2,∴1-c =2. ∴c =-1,反之,当c =-1时,S n =n 2+2n , 可得a n=2n+1 (n≥1)为等差数列, ∴{a n}为等差数列的充要条件是c=-1.