一、选择题
1. （2019山东省潍坊市，8，3分）如图已知∠AOB ，按照以下步骤作图：
①以点O 为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交∠AOB 的两边于C ，D 两点，连接CD ．
②分别以点C ，D 为圆心，以大于线段OC 的长为半径作弧，两弧在∠AOB 内交于点E ，连接CE ，DE ． ③连接OE 交CD 于点M ．
下列结论中错误的是（ ）
A ．∠CEO =∠DEO
B ．CM =MD
C ．∠OC
D =∠ECD D ．S 四边形OCED =
1
2
CD ·OE 【答案】C
【解析】由作图可知OC =OD ，CE ＝DE ，OE ＝OE ，所以△OCE ≌ODE ，∴∠CEO =∠DEO ，选项A 正确，根据“三线合一”可知，CM =MD ，CD ⊥OE ，所以选项B 、D 正确；选项C 错误；故答案选择C. 【知识点】尺规作图，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质
2. （2019浙江省衢州市，7，3分）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的
“三等分角仪”能三等分任一角。这个三等分角仪由两根有槽的棒OA ，OB 组成，两根棒在O 点相连并可绕O 转动。C 点固定，OC =CD =DE ，点D ，E 可在槽中滑动，若∠BDE =75°，则∠CDE 的度数是 A .60° B .65° C .75° D .80°
【答案】D
【解析】本题考查等腰三角形及三角形外角的性质，因为OC =CD =DE ，所以∠O=∠CDO, ∠DCE=∠CED.所以∠DCE=2∠O ，∠EDB=3∠O=75°, 所以∠O=25°, ∠CED=∠ECD=50°,所以∠CDE =180°-∠CED-∠ECD=180°-50°-50°=80°，故选D 。
【知识点】等腰三角形的判定 等腰三角形的判定 三角形内角和 三角形外角的性质
3. （2019重庆A 卷，12，4）如图，在△ABC 中，D 是AC 边上的中点，连结BD ，把△BDC ′沿BD 翻折，得
到△BDC'，DC '与AB 交于点E ，连结AC'，若AD ＝AC '＝2，BD ＝3，则点D 到BC '的距离为（ ） A ．
233 B ．7
21
3 C ．7 D ．13
【答案】B ．
【解析】如答图，过点D 作DM ⊥BC '于点M ，过点B 作BN ⊥DC '于点N ，由翻折可知DC '＝DC ＝AD ＝2，∠BDC ＝∠B DC '．∵AD ＝AC '＝2，∴△ADC'是等边三角形，从而∠ADC '＝∠B DC '＝∠BDC ＝60°．在Rt △BDN 中，DN ＝
12BD ＝32，BN
C N '＝12．于是，BC '
．∵BDC S '?＝
1122DC BN BC DM ''?=?，∴DM ＝DC BN
BC
'?'
2
＝7．故选B ．
【知识点】翻折；等边三角形的判定与性质；勾股定理；解直角三角形；面积桥法．
4. (2019山东聊城,11,3分)如图在等腰直角三角形ABC 中,∠BAC ＝90°,一个三角尺的直角顶点与BC 边的中点O 重合,且两条直角边分别经过点A 和点B,将三角尺绕点O 按顺时针方向旋转任意一个锐角,当三角尺的两直角边与AB,AC 分别交于点E,F 时,下列结论中错误的是
A.AE+AF ＝AC
B.∠BEO+∠OFC ＝180°
C.OE+OF
BC
D.S 四边形AEOF ＝1
2
S △ABC
第11题图 【答案】C
【解析】连接AO,易得△AEO ≌△CFO,∴AE+AF ＝CF+AF ＝AC,故A 正确；∠BEO+∠OFC ＝∠BEO+∠AEO ＝180°,故B 正确；随着三角形的转动,OE 和OF 的长度会变化,故C 错误；S 四边形AEOF ＝S △AEO +S △AFO ＝S △CFO +S △AFO
＝1
2
S △ABC ,故D 正确；故选
C. 第12题答图
第12题图
第11题答图
【知识点】旋转,三角形全等
5. （2019四川宜宾，7，3分）如图，EOF ∠的顶点O 是边长为2的等边ABC ?的重心，EOF ∠的两边与ABC ?的边交于E ，F ，120EOF ∠=?，则EOF ∠与ABC ?的边所围成阴影部分的面积是( )
A B C D 【答案】C
【解析】解：连接OB 、OC ，过点O 作ON BC ⊥，垂足为N ，
ABC ?为等边三角形， 60ABC ACB ∴∠=∠=?，
点O 为ABC ?的内心
12OBC OBA ABC ∴∠=∠=∠，1
2
OCB ACB ∠=∠．
30OBA OBC OCB ∴∠=∠=∠=?． OB OC ∴=．120BOC ∠=?， ON BC ⊥，2BC =， 1BN NC ∴==，
3tan 1ON OBC BN ∴=∠=?=
132OBC S BC ON ?∴=
=
． 120EOF AOB ∠=∠=?，
EOF BOF AOB BOF ∴∠-∠=∠-∠，即EOB FOC ∠=∠．
在EOB ?和FOC ?中，
30OBE OCF OB OC
EOB FOC ∠=∠=???
=??∠=∠?
， ()EOB FOC ASA ∴???．
OBC S S ?∴==
阴影 故选：C ．
【知识点】三角形的重心；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质
6.（2019台湾省，15，3分）如图，ABC ?中，AC BC AB =<．若1∠、2∠分别为ABC ∠、ACB ∠的外角，则下列角度关系何者正确( )
A ．12∠<∠
B ．12∠=∠
C ．2180A ∠+∠
D ．1180A ∠+∠>?
【答案】C 【解析】解：
AC BC AB =<，
A ABC AC
B ∴∠=∠<∠，
1∠、2∠分别为ABC ∠、ACB ∠的外角，
2A ABC ∴∠=∠+∠，
2180A A A ABC ACB A ABC ∴∠+∠=∠+∠+∠<∠+∠+∠=?，
故选：C ．
【知识点】等腰三角形的性质；三角形的外角性质定理；三角形的内角和
二、填空题
1. （2019湖南怀化，14，4分）若等腰三角形的一个底角为72°，则这个等腰三角形的顶角为 【答案】36°.
【解析】解：∵等腰三角形的一个底角为72°，
∴这个等腰三角形的顶角为180°-72°×2=36°. 故答案为36°.
【知识点】等腰三角形的性质，三角形内角和定理
2. （2019四川南充，14，4分）在ABC ?中，AB AC =，40A ∠=?，则B ∠= ?． 【答案】70 【解析】解：AB AC =，B C ∴∠=∠，180A B C ∠+∠+∠=?，1(18040)702
B ∴∠=?-?=?．
故答案为70．
【知识点】等腰三角形的性质
3. （2019甘肃武威，17，4分）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k 称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰ABC ?中，80A ∠=?，则它的特征值k = ． 【答案】85或14
【解析】解：①当A ∠为顶角时，等腰三角形两底角的度数为：18080502
?-?
=?， ∴特征值808
505
k ?=
=? ②当A ∠为底角时，顶角的度数为：180808020?-?-?=? ∴特征值201
804
k ?=
=? 故答案为85或1
4
【知识点】等腰三角形的性质
4. （2019贵州黔东南，13，3分）如图，以△ABC 的顶点B 为圆心，BA 长为半径画弧，交BC 边于点D ，连接AD ．若∠B ＝40°，∠C ＝36°，则∠DAC 的大小为 ．
【答案】34°
【解析】解：∵∠B ＝40°，∠C ＝36°， ∴∠BAC ＝180°﹣∠B ﹣∠C ＝104° ∵AB ＝BD
∴∠BAD ＝∠ADB ＝（180°﹣∠B ）÷2＝70°， ∴∠DAC ＝∠BAC ﹣∠BAD ＝34° 故答案为：34°．
【知识点】等腰三角形的性质
5. （2019四川广安，13，3分）等腰三角形的两边长分别为6cm ，13cm ，其周长为 cm ．
【答案】32
【解析】解：由题意知，应分两种情况：
（1）当腰长为6cm时，三角形三边长为6，6，13，6613
+<，不能构成三角形；
（2）当腰长为13cm时，三角形三边长为6，13，13，周长213632cm
=?+=．
故答案为32．
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
6.（2019四川绵阳，18，3分）如图，△ABC、△BDE都是等腰直角三角形，BA＝BC，BD＝BE，AC＝4，DE
＝2．将△BDE绕点B逆时针方向旋转后得△BD′E′，当点E′恰好落在线段AD′上时，则CE′＝．
【答案】．
【解析】解：如图，连接CE′，
∵△ABC、△BDE都是等腰直角三角形，BA＝BC，BD＝BE，AC＝4，DE＝2，
∴AB＝BC＝2，BD＝BE＝2，
∵将△BDE绕点B逆时针方向旋转后得△BD′E′，
∴D′B＝BE′＝BD＝2，∠D′BE′＝90′，∠D′BD＝∠ABE′，
∴∠ABD′＝∠CBE′，
∴△ABD′≌△CBE′（SAS），
∴∠D′＝∠CE′B＝45°，
过B作BH⊥CE′于H，
在Rt△BHE′中，BH＝E′H BE′，
在Rt△BCH中，CH，
∴CE′，
故答案为：．
【知识点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；旋转的性质
7. （2019浙江嘉兴，16，4分）如图，一副含30?和45?角的三角板ABC 和EDF 拼合在个平面上，边AC 与EF 重合，12AC cm =．当点E 从点A 出发沿AC 方向滑动时，点F 同时从点C 出发沿射线BC 方向滑动．当点E 从点A 滑动到点C 时，点D 运动的路径长为 cm ；连接BD ，则ABD ?的面积最大值为 ．2cm ．
【答案】(24-， 【解析】解：
12AC cm =，30A ∠=?，45DEF ∠=?
BC ∴=，AB =，ED DF ==
如图，当点E 沿AC 方向下滑时，得△E D F '''，过点D '作D N AC '⊥于点N ，作D M BC '⊥于点M
90MD N '∴∠=?，且90E D F '''∠=?
E D N
F D M ''''∴∠=∠，且90D NE D MF ''''∠=∠=?，E D D F ''''=
∴△D NE ''?△()D MF AAS ''
D N D M ''∴=，且D N AC '⊥，D M CM '⊥ CD '∴平分ACM ∠
即点E 沿AC 方向下滑时，点D '在射线CD 上移动，
∴当E D AC ''⊥时，DD '值最大，最大值(12CD cm =-=-
∴当点E 从点A 滑动到点C 时，点D 运动的路径长2(12(24cm =?-=-
如图，连接BD '，AD '，
AD B
ABC AD C
BD C
S
S S
S
'''?=+-
1111
(122222
AD B
S
BC AC AC D N BC D M D N ''''∴=
?+??-??=-? 当E D AC ''⊥时，AD B
S '有最大值，
AD B
S
'∴
最大值21(122
cm =+-?．
故答案为：(24-
，
【知识点】轨迹；全等三角形的判定和性质；等腰直角三角形的性质；角平分线的性质；三角形的面积 三、解答题
1. （2019重庆A 卷，20，10）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 是BC 边上的中点，连结AD ，BE 平分∠ABC
交AC 于点E ，过点E 作EF ∥BC 交AB 于点F ．
（1）若∠C ＝36°，求∠BAD 的度数；（2）求证：FB ＝FE ．
【思路分析】（1）先利用“等边对等角”求出∠ABC 的度数，然后利用三角形内角和定理，得到∠BAC 的度数，最后利用“三线合一”性质，即可求出∠BAD 的度数；（2）由角平分线定义，得∠ABE ＝∠CBE ，再由平行线性质，得到∠FEB ＝∠CBE ，从而∠ABE ＝∠FEB ，于是FB ＝FE ． 【解题过程】（1）解：∵AB ＝AC ，
∴∠B ＝∠C ＝36°．
∴∠BAC ＝180°－∠B －∠C ＝108°． ∵AB ＝AC ，D 是BC 边上的中点， ∴AD 平分∠BAC ．
∴∠BAD ＝
1
2
∠BAC ＝54°． （2）证明：∵BE 平分∠ABC ，
∴∠ABE ＝∠CBE ． ∵EF ∥BC ，
∴∠FEB ＝∠CBE ． ∴∠ABE ＝∠FEB ． ∴FB ＝FE ．
【知识点】等腰三角形的性质与判定；角平分线定义；平行线的性质；三角形内角和定理．
2. （2019重庆市B 卷，20，10）如图，在△ABC 中，AB=AC ,AD ⊥BC 于点D ． （1） 若∠C=42°，求∠BAD 的度数；
（2） 若点E 在边AB 上，EF ∥AC 交AD 的延长线于点F ．
求证：AE=FE
第20题图
F
E
D
C
B
A
【思路分析】
（1）根据∠C=42°,AB=AC结合等腰三角形的性质及内角和180°可得顶角度数．由AD⊥BC根据三线合一推出∠BAD的度数为顶角一半．
（2）根据EF∥AC可以得出内错角∠F=∠BAF,利用等角对等边得出结果．（3）考虑到△ABD为直角三角形，也可以结合内角和算出∠BAD．
【解题过程】
（1）证明：
（方法一）：∵AB=AC，∠C=42°，
∴∠B=∠C=42°，
∴∠BAC=180°－∠B－∠C=180°－42°－42°=96°
∵AD⊥BC
∴∠BAD=1
2∠BAC=
1
2×96°=48°
（方法二）：∵AB=AC ∠C=42°
∴∠B=∠C=42°
∵AD⊥BC于点D
∴∠ADB=90°
∴∠BAD=180°－90°－42°=48°
（2）证明：
∵EF∥AC
∴∠CAF=∠F
∵AB=AC，AD⊥BC
∴∠CAF=∠BAF
∴∠F=∠BAF
∴AE=FE
【知识点】等腰三角形的性质，平行线性质，三线合一，等边对等角，等角对等边．
3.（2019四川省眉山市，21，8分）如图，在四边形ABCD中AB∥DC，点E是CD的中点，AE=BE．求证：∠D=∠C．
【思路分析】根据AE=BE ，求出∠EAB=∠EBA ，根据平行线的性质，可证∠DEA=∠CEB ，进而利用三角形全等的判定和性质即可得证. 【解题过程】证明：∵AE=BE ，∴∠EAB=∠EBA ，∵DC ∥AB ，∴∠DEA=∠EAB ，∠CEB=∠EBA ，∴∠DEA=
∠CEB ，在△EDA 和△CEB 中，DE CE
DEA CEB AE BE =??
∠=∠??=?
，∴△EDA ≌△CEB （SAS ），∴∠D=∠C.
【知识点】等腰三角形的性质，平行线的性质，全等三角形的性质和判定
4. （2019江苏省无锡市，21，8） 如图，在△ABC 中，AB =AC ,点D 、E 分别在AB 、AC 上，BD =CE ，BE 、CD 相交于点O ；
求证：（1）△DBC ≌△ECB ;（2）OC OB =.
第21题图
【思路分析】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识. （1）利用边角边证明全等即可；(2)由全等得到等角，再得到等边. 【解题过程】解：
（1）证明：∵AB =AC ，∴∠ECB =∠DBC ，在△DBC 与△ECB 中， BD = CE ，∠DBC =∠ECB ，BC = CB ，∴ △DBC ≌△ECB （SAS ）；
(2)证明：由(1)知△DBC ≌△ECB ， ∴∠DCB =∠EBC ， ∴OB =OC .
【知识点】考查全等三角形的判定和性质；等腰三角形的判定和性质
5. 2019浙江绍兴，23，8分）如图1是实验室中的一种摆动装置，BC 在地面上，支架ABC 是底边为BC 的等腰直角三角形，摆动臂AD 可绕点A 旋转，摆动臂DM 可绕点D 旋转，30AD =，10DM =． （1）在旋转过程中，
①当A ，D ，M 三点在同一直线上时，求AM 的长．
②当A ，D ，M 三点为同一直角三角形的顶点时，求AM 的长．
（2）若摆动臂AD 顺时针旋转90?，点D 的位置由ABC ?外的点1D 转到其内的点2D 处，连结12D D ，如图2
，此时
2135AD C ∠=?，260CD =，求2BD 的长．
B
【思路分析】（1）①分两种情形分别求解即可．
②显然MAD ∠不能为直角．当AMD ∠为直角时，根据222AM AD DM =-，计算即可，当90ADM ∠=?时，根据222AM AD DM =+，计算即可．
（2）连接CD ．首先利用勾股定理求出1CD ，再利用全等三角形的性质证明21BD CD =即可． 【解题过程】解：（1）①40AM AD DM =+=，或20AM AD DM =-=． ②显然M AD ∠不能为直角．
当AMD ∠为直角时，222223010800AM AD DM =-=-=，
AM ∴=(-． 当90ADM ∠=?时，2222230101000AM AD DM =+=+=，
AM ∴=(-．
综上所述，满足条件的AM 的值为或 （2）如图2中，连接CD ．
由题意：1290D AD ∠=?，1230AD AD ==，
2145AD D ∴∠=?，12D D = 2135AD C ∠=?， 2190CD D ∴∠=?，
1CD ∴= 1290BAC A AD ∠=∠=?，
2212BAC CAD D AD CAD ∴∠-∠=∠-∠， 12BAD CAD ∴∠=∠，
AB AC =，21AD AD =，
21()BAD CAD SAS ∴???，
21BD CD ∴==
【知识点】等腰直角三角形的性质；勾股定理；全等三角形的判定和性质