奥数浓度问题
引子:
一个好玩的故事~~~~
熊喝豆浆:
黑熊领着三个弟弟在森林里游玩了半天,感到又渴又累,正好路过了狐狸开的豆浆店。
只见店门口张贴着广告:“既甜又浓的豆浆每杯元。”黑熊便招呼弟弟们歇脚,一起来喝豆浆。黑熊从狐狸手中接过一杯豆浆,给最小的弟弟喝掉6
1,加满水后给老三喝掉了31,再加满水后,又给老二喝了一半,最后自己把剩下的一半喝完。 狐狸开始收钱了,他要求黑熊最小的弟弟付出×61=(元);老三×31=(元); 老二与黑熊付的一样多,×21=(元)。兄弟一共付了元。
兄弟们很惊讶,不是说,一杯豆浆元,为什么多付-=元肯定是黑熊再敲诈我们。 不服气的黑熊嚷起来:“多收我们坚决不干。”
“不给,休想离开。”
现在,大家说说为什么会这样呢
1、“稀释”问题:特点是加“溶剂”,解题关键是找到始终不变的量(溶质)。 例1、要把30克含盐16%的盐水稀释成含盐%的盐水,须加水多少克 例
2、现有烧碱35克,配制成浓度为28%的烧碱溶液,须加多少水
例3、治棉铃虫须配制%的“1059”溶液,问在599千克水中,应加入30%的“1059”溶液多少千克
2、“浓缩”问题:特点是减少溶剂,解题关键是找到始终不变的量(溶质)。 例4、在含盐%的盐水中蒸去了236千克水,就变成了含盐30%的盐水,问原来的盐水是多少千克
例5、要从含盐%的盐水40千克中蒸去多少水分才能制出含盐20%的盐水
3、“加浓”问题:特点是增加溶质,解题关键是找到始终不变的量(溶剂)。 例6、有含盐8%的盐水40千克,要配制成含盐20%的盐水,须加盐多少千克
4、配制问题:是指两种或两种以上的不同浓度的溶液混合配制成新溶液(成品),解题关键是分析所取原溶液的溶质与成品溶质不变及溶液前后质量不变,找到两个等量关系。
例7、把含盐5%的食盐水与含盐8%的食盐水混合制成含盐6%的食盐水600克,分别应取两种食盐水各多少千克
例8在浓度为50%的硫酸溶液100千克中,再加入多少千克浓度为5%的硫酸溶液,就可以配制成浓度为25%的硫酸溶液
5含水量问题
例9仓库运来含水量为90%的水果100千克,1星期后再测发现含水量降低了,变为 80%,现在这批水果的总重量是多少千克
6、重复操作问题(牢记浓度公式,灵活运用浓度变化规律,浓度问题的难点)例10、从装满100克浓度为80%的盐水杯中倒出40克盐水,再用清水将杯加满;再倒出40克盐水,然后再用清水将杯加满,如此反复三次后,杯中盐水的浓度是多少
例11、有盐水若干升,加入一定量水后,盐水浓度降到3%,又加入同样多的水后,盐水浓度又降到2%,再加入同样多的水,此时浓度是多少呢又问未加入水时盐水浓度是多少
例12、有甲、乙两个桶,甲桶里装了一些水,乙桶里装了一种纯农药,按下面方法来调配农药溶液:第一次甲桶倒进乙桶里的水的数量与原来乙桶中农药数量相同,调匀;第二次把乙桶里的农药溶液倒进甲桶里,倒回的数量与甲桶里剩的水的数量相同,调匀;第三次再把甲桶中的农药溶液倒回乙桶,数量与此时乙桶中的溶液数量相同,这时两个桶中的农药溶液数量相同.请你算一算:
①开始时水与纯农药的比.
②最后在甲桶里的水与纯农药的比.
③最后在乙桶里的水与纯农药的比.
例13现在有溶液两种,甲为50%的溶液,乙为30%的溶液,各900克,现在从甲、乙两溶液中各取300克,分别放到乙、甲溶液中,混合后,再从甲、乙两溶液中各取300克,分别放到乙、甲溶液中,……,
问1)、第一次混合后,甲、乙溶液的浓度
2)、第四次混合后,甲、乙溶液的浓度
3)、猜想,如果这样无穷反复下去,甲、乙溶液的浓度。
例14 有甲、乙、丙3瓶酒精溶液,浓度分别为75%、60%和45%,它们的重量比为3:2:1,如果把两瓶酒精混合后再按原重量分配到各自的瓶中,我们就称为一次操作,现在先对甲、乙两瓶酒精进行一次操作,再对乙、丙两瓶酒精进行一次操作,最后对丙、甲两瓶酒精进行一次操作,那么最后甲瓶酒精的浓度是多少
例15在编号为1、2、3的3个相同的杯子里,分别盛着半杯水。1号杯中溶有
1 100克糖,3号杯中溶有100克盐,先将1号杯中液体的一半及3号杯中液体的
4
2到1号杯,接着倒出所倒入2号杯,然后搅匀。再从2号杯中倒出所盛液体的
7
1到3号杯。问:这时每个杯中含盐量与含糖量之比各是多少
余液体的
7
7生活实际问题
例16使用甲种农药每千克要兑水20千克,使用乙种农药每千克要兑水40千克。根据农科院专家的意见,把两种农药混起来用可以提高药效。现有两种农药共5千克,要配药水140千克,其中甲种农药需要()千克。(2006迎春杯)
例17用30千克水洗一套脏衣服,假定衣服上的脏水中经搓洗后都能均匀地溶解且混合在水中,现有三种洗法:
洗法一:一次用30千克水搓洗后捞出拧干晾晒,但衣服上还有100克水残存需晒
干。
洗法二:用一半水洗后拧干,再用一半水洗。
洗法三:把水三等分,分三次洗。
问哪种洗法洗得干净
例18 我们知道空气主要由氧气和氮气组成,其中氧气的所占为空气的20%,氮气所占为空气的80%,现在有空气1000立方米,为了防止某些物品的氧化,我们冲入2000立方米的氮氧混合气体,其中,氧占5%,氮占95%,问:冲入氮氧混合气后,气体的浓度变为多少
8 还原问题
例19 有甲、乙两个容器,分别装了若干纯酒精和水。第一次将甲的2
1倒给乙,混合后再把乙的一半倒给甲。这样再做一次后,甲中有22%的酒精溶液300克,问最初甲装( )克,乙装( )克。
例20 A,B,C 三个试管中各盛有10克、20克、30克水.把某种浓度的盐水10克倒入A 中,充分混合后从A 中取出10克倒入B 中,再充分混合后从B 中取出10克倒入C 中,最后得到的盐水的浓度是%.一开始倒入试管A 中的盐水浓度是
( )%.
9 从“三”到“二”
例21 浓度为 20%,18%,16%三种盐水,混合后得到100克 %的盐水.如果 18%的盐水比 16%的盐水多 30克,问每种盐水各多少克
例22瓶子里装有酒精含量为15%的酒精溶液1000克,现在又分别倒入100克和400克的A ,B 两种酒精溶液,瓶子里的酒精含量变为14%。已知A 种酒精溶液的酒精含量是B 种酒精含量的2倍。求A 种酒精溶液的含量。
10 非典型较难题
例23甲、乙两瓶浓度未知的酒精分别含纯酒精200毫升和450毫升,如果把它们均匀混合(忽略体积变化)则混合后的浓度比原来甲瓶的浓度高7%,但比原来乙瓶的浓度低14%,问混合后的浓度是多少
例24有3个一样大的桶,一个装有浓度60%的酒精100升,一个装有水100升,还有一个桶是空的。现在要配置成浓度为36%的酒精,只有5升和3升的空桶各一个可以作为量具,并且桶上无其他刻度。如果一种量具至多用4次,那么最多能配置成36%的酒精多少升
下面来练练手!~
解题在于实践:
题目1. 有一堆含水量%的煤,经过一段时间的风干,含水量降为10%。现在这堆煤的重量是原来的百分之几
题目2. 甲种酒精纯酒精含量为72%,乙种酒精纯酒精含量为58%,混合后纯酒精含量为62%,如果每种酒精取的数量比原来多15升,混合后纯酒精含量为%,问第一次混合时,甲乙两种酒精各取了多少升
题目3. 有A 、B 、C 三根管子,A 管以每秒4克的流量流出含盐20%的盐水,B 管以每秒6克的流量流出含盐15%的盐水,C 管以每秒10克的流量流出水,C 管打开后,开始2秒不流,接着流5秒,然后又停2秒,再流5秒,……,三管同时打开,1分钟后都关上,这时得到的混合液中含盐百分之几
题目4. 有甲乙两只桶,甲桶盛了半桶水,乙桶盛了不到半桶纯酒精,先将甲桶的水倒入乙桶,倒入的容量与乙桶的酒精量相等;再将乙桶的溶液倒入甲桶,倒入的容量与甲桶剩下的水相等;再将甲桶的溶液倒入乙桶,倒入的容量与乙桶剩下的溶液量相等;再将乙桶的溶液倒入甲桶,倒入的容量与甲桶剩下的溶液量相等.此时,恰好两桶溶液的数量相等,求些时甲,乙两桶酒精溶液的浓度比.
题目5. 甲桶中装有10升纯酒精,乙桶中装有6升纯酒精与8升水的混合物,丙桶中装有10升水,现在先从甲桶向乙桶倒入一定量的酒精,并搅拌均匀;然后从乙桶向丙桶倒入一定量的液体,并搅拌均匀;接着从丙桶向甲桶倒入一定是的液体,最后各桶中的酒精浓度分别为:甲桶75%,乙桶50%,丙桶25%,那么此时丙桶中有混合液体多少升
题目6. 甲容器中有500克20%的盐水,乙容器中有500克水。先将甲中一半的盐水倒入乙,充分搅拌;再将乙中一半的盐水倒入甲,充分搅拌;最后将甲中盐水的一部分倒入乙,使甲、乙的盐水重量相同。求此时乙中盐水的浓度。
题目7. 一个20千克的大西瓜,它重量的98%是水分,将西瓜放在太阳下晒,水分被蒸发后的西瓜重量的95%是水分。那么晒后西瓜的重量是( )千克。
题目8. 甲,乙两种含金样品熔成合金,如甲的重量是乙的一半,得到含金68%的合
金,如果甲的重量是乙的321倍,得到含金623
2%的合金,求甲,乙两种含金样品中含金的百分数.
.
题目9. 甲容器中有13%的盐水300克,乙容器中有7%的盐水700克,分别从甲和乙取出相同重量的盐水,把从甲取出的倒入乙中,把从乙取出的倒出的倒入甲中,现在甲、乙容器中盐水浓度相同,问:
(1)甲、乙中相同的浓度是多少
(2)分别从甲和乙取出多少克盐水倒入另一容器中
题目10. 有A 、B 、C 三种盐水,按A 与B 数量之比为2:1混合,得到浓度为13%的盐水;按A 与B 数量之比为1:2混合,得到浓度为14%的盐水,如果A,B,C 数量之比为1:1:3,混合成的盐水浓度为%,问盐水C 的浓度是多少
题目11. 甲种酒精4升,乙种酒精6升,混成的酒精含纯酒精62%,如果甲种酒精和乙种酒精一样多,混合成的酒精含纯酒精61%.问甲、乙两种酒精中含纯酒精的百分数各是多少
题目12.甲容器中有浓度4%的盐水150克,乙容器中有某种浓度的盐水若干.从乙中取出450克盐水,放入甲中混合成浓度为%的盐水,再把水倒入乙容器中,使与甲的盐水一样多,现在乙容器中盐水浓度为%,问原来乙容器中有多少克盐水浓度的百分数是多少
题目13.甲容器中有8%的食盐水300克,乙容器中有%的食盐水 120克.往甲、乙两个容器分别倒入等量的水,使两个容器的食盐水浓度一样.问倒入多少克水题目14.A种酒精中纯酒精含量为40%,B种酒精中纯酒精的含量为36%,C种酒精
中纯酒精的含量为35%。它们混合在一起得到了纯酒精含量为%的酒精11升.其中B种酒精比C种酒精多3升,那么其中A种酒精有多少升
平方根练习题 1、平方根:一般地,如果一个数x 的平方等于a,即x 2=a 那么这个数x 就叫做a 的平方根(也叫做二次方根式),算术平方根 2、平方根的性质:(1)一个正数有 个平方根,它们 (2)0的平方根是 ;(3) 没有平方根. 3、重要公式: (1)=2 )( a (2) { ==a a 2 4、平方表: 5.正数有_____________个立方根, 0有__________个立方根,负数有__________个立方根,立方根也叫做_______________. 6.一个正方体的棱长扩大3倍,则它的体积扩大_____________. 7.若一个数的立方根等于数的算术平方根,则这个数是_____________. 8. 0的立方根是___________.(-1)2005的立方根是______________.1827 26 的立方根是________. 例1、判断下列说确的个数为( ) ① -5是-25的算术平方根; ② 6是()26-的算术平方根; ③ 0的算术平方根是0; ④ 0.01是0.1的算术平方根;
⑤ 一个正方形的边长就是这个正方形的面积的算术平方根. A .0 个 B .1个 C .2个 D .3个 例2、 36的平方根是( ) A 、6 B 、6± C 、 6 D 、 6± 例3、下列各式中,哪些有意义? (1) 5 (2)2- (3) 4 - (4) 2 )3(- (5) 310- 例4、一个自然数的算术平方根是a ,则下一个自然数的算术平方根是( ) A .()1+a B .()1+±a C .1 2+a D .12+± a 强化训练 一、选择题 1.下列说法中正确的是( ) A .9的平方根是3 B 2 C. 4 D. 2 2. 4的平方的倒数的算术平方根是( ) A .4 B .18 C .-14 D .14 3.下列结论正确的是( ) A 6)6(2-=-- B 9)3(2=- C 16)16(2±=- D 25 1625162 =???? ? ? - - 4.以下语句及写成式子正确的是( ) A 、7是49的算术平方根,即749±= B 、7是2)7(-的平方根,即 7)7(2=- C 、7±是49的平方根,即7 49=± D 、7±是49的平方根,即749±= 5.下列说法:(1)3±是9的平方根;(2)9的平方根是3±;(3)3是9的平方根; (4)9的平方根是3,其中正确的有( ) A .3个 B .2个 C .1个 D .4个 6.下列说确的是( ) A .任何数的平方根都有两个 B .只有正数才有平方根 C .一个正数的平方根的平方仍是这个数 D .2a 的平方根是a ±
高考数学-指数函数图像和性质及经典例题 【基础知识回顾】 一、指数公式部分 有理指数幂的运算性质 (1)r a ·s r r a a += ),,0(Q s r a ∈>; (2)rs s r a a =)( ),,0(Q s r a ∈>; (3)s r r a a a b =)( ),0,0(Q r b a ∈>>. 正数的分数指数幂的意义 )1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m )1,,,0(1 1*>∈>= = - n N n m a a a a n m n m n m 二、指数函数 1.指数函数的概念:一般地,函数)1a ,0a (a y x ≠>=且叫做指数函数,其中x 是自变量,函数的定义域为R . 2.指数函数的图象和性质 1.在同一坐标系中画出下列函数的图象: (1)x )31(y = (2)x )2 1 (y = (3)x 2y = (4)x 3y = (5)x 5y =
【指数函数性质应用经典例题】 例1.设a 是实数, 2 ()()21 x f x a x R =- ∈+,试证明:对于任意,()a f x 在R 上为增函数. 证明:设1212,,x x R x x ∈<,则 12()()f x f x -12 22()()2121 x x a a =- --++ 21222121 x x = - ++ 121 22(22)(21)(21) x x x x -=++, 由于指数函数2x y =在R 上是增函数, 且12x x <, 所以1222x x < 即1 2220x x -<, 又由20x >, 得1 1 20x +>,2120x +>, ∴12()()0f x f x -< 即12()()f x f x <, 所以,对于任意,()a f x 在R 上为增函数. 例2.已知函数2 ()1 x x f x a x -=+ +(1)a >, 求证:(1)函数()f x 在(1,)-+∞上为增函数;(2)方程()0f x =没有负数根.
二项式定理 一、二项式定理: ()n n n k k n k n n n n n n b C b a C b a C a C b a +++++=+-- 110(*∈N n )等号右边的多项式叫做 ()n b a +的二项展开式,其中各项的系数k n C )3,2,1,0(n k ???=叫做二项式系数。 对二项式定理的理解: (1)二项展开式有1+n 项 (2)字母a 按降幂排列,从第一项开始,次数由n 逐项减1到0;字母b 按升幂排列,从第一项开始,次数由0逐项加1到n (3)二项式定理表示一个恒等式,对于任意的实数b a ,,等式都成立,通过对b a ,取不同的特殊值,可为某些问题的解决带来方便。在定理中假设x b a ==,1,则 ()n n n k n k n n n n n x C x C x C x C x +++++=+- 101(*∈N n ) (4)要注意二项式定理的双向功能:一方面可将二项式()n b a +展开,得到一个多项式; 另一方面,也可将展开式合并成二项式()n b a + 二、二项展开式的通项:k k n k n k b a C T -+=1 二项展开式的通项k k n k n k b a C T -+=1)3,2,1,0(n k ???=是二项展开式的第1+k 项,它体现了 二项展开式的项数、系数、次数的变化规律,是二项式定理的核心,它在求展开式的某些特定项(如含指定幂的项、常数项、中间项、有理项、系数最大的项等)及其系数等方面有广泛应用 对通项k k n k n k b a C T -+=1)3,2,1,0(n k ???=的理解: (1)字母b 的次数和组合数的上标相同 (2)a 与b 的次数之和为n (3)在通项公式中共含有1,,,,+k T k n b a 这5个元素,知道4个元素便可求第5个元素 例1.n n n n n n C C C C 13 21393-++++ 等于 ( ) A .n 4 B 。n 43? C 。134-n D.3 1 4-n 例2.(1)求7 (12)x +的展开式的第四项的系数; (2)求9 1()x x -的展开式中3 x 的系数及二项式系数
《平方根》典型例题及练习
平方根练习题 1、平方根:一般地,如果一个数x 的平方等于a,即x 2=a 那么这个数x 就叫做a 的平方根(也叫做二次方根式),算术平方根 2、平方根的性质:(1)一个正数有 个平方根,它们 (2)0的平方根 是 ;(3) 没有平方根. 3、重要公式: (1)=2 )( a (2){==a a 2 4、平方表: 5.正数有_____________个立方根, 0有__________个立方根,负数有__________个立方根,立方根也叫做_______________. 6.一个正方体的棱长扩大3倍,则它的体积扩大_____________. 7.若一个数的立方根等于数的算术平方根,则这个数是_____________. 8. 0的立方根是___________.(-1)2005的立方根是______________.1827 26 的立方根是________. 例1、判断下列说法正确的个数为( ) ① -5是-25的算术平方根; ② 6是()26-的算术平方根; ③ 0的算术平方根是0;
④ 0.01是0.1的算术平方根; ⑤ 一个正方形的边长就是这个正方形的面积的算术平方根. A .0 个 B .1个 C .2个 D .3个 例2、 36的平方根是( ) A 、6 B 、6± C 、 6 D 、 6± 例3、下列各式中,哪些有意义? (1) 5 (2)2- (3)4- (4) 2 )3(- (5) 310- 例4、一个自然数的算术平方根是a ,则下一个自然数的算术平方根是( ) A .()1+a B .()1+±a C .1 2+a D .12+± a 强化训练 一、选择题 1.下列说法中正确的是( ) A .9的平方根是3 B 4 2 2. 4的平方的倒数的算术平方根是( ) A .4 B .18 C .-14 D .14 3.下列结论正确的是( ) A 6)6(2-=-- B 9)3(2=- C 16)16(2±=- D 25 1625162 =? ?? ? ? ?-- 4.以下语句及写成式子正确的是( ) A 、7是49的算术平方根,即749±= B 、 7是2 )7(-的平方根,即 7)7(2=- C 、7±是49的平方根, 即7 49=± D 、7±是49的平方根,即749±= 5.下列说法:(1)3±是9的平方根;(2)9的平方根是3±;(3)3是9的平方根; (4)9的平方根是3,其中正确的有( ) A .3个 B .2个 C .1个 D .4个 6.下列说法正确的是( ) A .任何数的平方根都有两个 B .只有正数才有平方根