勾股定理
一、知识梳理
1.勾股定理
(1)勾股定理:在任何一个直角三角形中,两条直角边长得平方之与一定等于斜边长得平方.
如果直角三角形得两条直角边长分别就是a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.
(2)勾股定理应用得前提条件就是在直角三角形中.
(3)勾股定理公式a2+b2=c2得变形有:a2=c2﹣b2,b2= c2﹣a2及c2=a2+b2.
(4)由于a2+b2=c2＞a2,所以c＞a,同理c＞b,即直角三角形得斜边大于该直角三角形中得每一
条直角边.
2、直角三角形得性质
(1)有一个角为90°得三角形,叫做直角三角形.
(2)直角三角形就是一种特殊得三角形,它除了具有一般三角形得性质外,具有一些特殊得性质:
性质1:直角三角形两直角边得平方与等于斜边得平方(勾股定理).
性质2:在直角三角形中,两个锐角互余.
性质3:在直角三角形中,斜边上得中线等于斜边得一半.(即直角三角形得外心位于斜边得中点)
性质4:直角三角形得两直角边得乘积等于斜边与斜边上高得乘积.
性质5: 在直角三角形中,如果有一个锐角等于30°,那么它所对得直角边等于斜边得一半;在直角三角形中,如果有一条直角边等于斜边得一半,那么这条直
角边所对得锐角等于30°.
3.勾股定理得应用
(1)在不规则得几何图形中,通常添加辅助线得到直角三角形.
(2)在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程得结合就是解决实际问题常用得方法,
关键就是从题中抽象出勾股定理这一数学模型,画出准确得示意图.领会数形结合得思想得应用.
(3)常见得类型:
①勾股定理在几何中得应用:利用勾股定理求几何图形得面积与有关线段得长度.
②由勾股定理演变得结论:分别以一个直角三角形得三边为边长向外作正多边形,以斜
边为边长得多边形得面积等于以直角边为边长得多边形得面积与.
③勾股定理在实际问题中得应用:运用勾股定理得数学模型解决现实世界得实际问题.
④勾股定理在数轴上表示无理数得应用:利用勾股定理把一个无理数表示成
直角边就是两个正整数得直角三角形得斜边.
4.平面展开-最短路径问题
(1)平面展开﹣最短路径问题,先根据题意把立体图形展开成平面图形后,再确定两点之间得
最短路径.一般情况就是两点之间,线段最短.在平面图形上构造直角三角形解决问题.
(2)关于数形结合得思想,勾股定理及其逆定理它们本身就就是数与形得结合,所以我们在解
决有关结合问题时得关键就就是能从实际问题中抽象出数学模型.
二、经典例题+基础练习
1、勾股定理.
【例1】已知△ABC中,AB=17,AC=10,BC边上得高AD=8,则边BC得长为( )
A.21
B.15
C.6
D.以上答案都不对.
练1、在△ABC中,AB=15,AC=13,BC上得高AD长为12,则△ABC得面积为( )
A.84
B.24
C.24或84
D.42或84
练2、如图所示,AB=BC=CD=DE=1,AB⊥BC,AC⊥CD,AD⊥DE,则AE=( )
A.1
B.
C.
D.2
2、等腰直角三角形.
【例2】已知△ABC就是腰长为1得等腰直角三角形,以Rt△ABC得斜边AC为直角边,画第二个等腰Rt△ACD,再以Rt△ACD得斜边AD为直角边,画第三个等腰Rt△ADE,…,依此类推,第n个等腰直角三角形得面积就是( )
A.2n﹣2
B.2n﹣1
C.2n
D.2n+1
练3、将一等腰直角三角形纸片对折后再对折,得到如图所示得图形,然后将阴影部分剪掉,把剩余部分展开后得平面图形就是
( )
A. B. C. D.
3、等边三角形得性质;勾股定理.
【例3】以边长为2厘米得正三角形得高为边长作第二个正三角形,以第二个正三角形得高为边长作第三个正三角形,以此类推,则第十个正三角形得边长就是( )
A.2×()10厘米
B.2×()9厘米
C.2×()10厘米
D.2×()9厘米
练4、等边三角形ABC得边长就是4,以AB边所在得直线为x轴,AB边得中点为原点,建立直角坐标系,则顶点C得坐标为.
4.勾股定理得应用.
【例4】工人师傅从一根长90cm得钢条上截取一段后恰好与两根长分别为60cm、100cm得钢条一起焊接成一个直角三角形钢架,则截取下来得钢条长应为( )
A.80cm
B.
C.80cm或
D.60cm
练5、现有两根铁棒,它们得长分别为2米与3米,如果想焊一个直角三角形铁架,那么第三根铁棒得长为( )
A.米
B.米
C.米或米
D.米
5.平面展开-最短路径问题.
【例5】如图A,一圆柱体得底面周长为24cm,高BD为4cm,BC就是直径,一只蚂蚁从点D出发沿着圆柱得表面爬行到点C得最短路程大约就是( )
A.6cm
B.12cm
C.13cm
D.16cm
练6.如图就是一个长4m,宽3m,高2m得有盖仓库,在其内壁得A处(长得四等分)有一只壁虎,B处(宽得三等分)有一只蚊子,则壁虎爬到蚊子处最短距离为( )m.
A.4、8
B.
C.5
D.
三、课堂练习
1.已知两边得长分别为8,15,若要组成一个直角三角形,则第三边应该为( )
A.不能确定
B.
C.17
D.17或
2.在△ABC中,∠A、∠B、∠C得对边分别就是a、b、c,若∠A:∠B:∠C=1:2:
3.则a:b:c
=( )
A.1::2
B.:1:2
C.1:1:2
D.1:2:3
3.直角三角形得两边长分别为3厘米,4厘米,则这个直角三角形得周长为( )
A.12厘米
B.15厘米
C.12或15厘米
D.12或(7+)厘米
4.有一棵9米高得大树,树下有一个1米高得小孩,如果大树在距地面4米处折断(未完全折
断),则小孩至少离开大树米之外才就是安全得.
5.如图,一棵大树在一次强台风中于离地面3m处折断倒下,树干顶部在根部4米处,这棵大树
在折断前得高度为m.
6.在一个长为2米,宽为1米得矩形草地上,如图堆放着一根长方体得木块,它得棱长与场地宽AD平行且大于AD,木块得正视图就是边长为0、2米得正方形,一只蚂蚁从点A处,到达C 处需要走得最短路程就是米.(精确到0、01米)
四、能力提升
1.若一个直角三角形得三边长分别为3,4,x,则满足此三角形得x值为( )
A.5
B.
C.5或
D.没有
2.已知直角三角形有两条边得长分别就是3cm,4cm,那么第三条边得长就是( )
A.5cm
B.cm
C.5cm或cm
D.cm
3.已知Rt△ABC中得三边长为a、b、c,若a=8,b=15,那么c2等于( )
A.161
B.289
C.225
D.161或289
4.一个等腰三角形得腰长为5,底边上得高为4,这个等腰三角形得周长就是( )
A.12
B.13
C.16
D.18
5.长方体得长、宽、高分别为8cm,4cm,5cm.一只蚂蚁沿着长方体得表面从点A爬到点B.则
蚂蚁爬行得最短路径得长就是cm.
6.如图所示一棱长为3cm得正方体,把所有得面均分成3×3个小正方形.其边长都为1cm,假设一只蚂蚁每秒爬行2cm,则它从下底面点A沿表面爬行至侧面得B点,最少要用
秒钟.
7.如图,一个长方体盒子,一只蚂蚁由A出发,在盒子得表面上爬到点C1,已知
AB=5cm,BC=3cm,CC1=4cm,则这只蚂蚁爬行得最短路程就是cm.
8.如图,今年得冰雪灾害中,一棵大树在离地面3米处折断,树得顶端落在离树杆底部4米处,那么这棵树折断之前得高度就是米.
9.如图所示得长方体就是某种饮料得纸质包装盒,规格为5×6×10(单位:cm),在上盖中开
有一孔便于插吸管,吸管长为13cm,小孔到图中边AB距离为1cm,到上盖中与AB相邻得两边距离相等,设插入吸管后露在盒外面得管长为hcm,则h得最小值大约为cm.
(精确到个位,参考数据:≈1、4,≈1、7,≈2、2).
10.如图就是一个外轮廓为矩形得机器零件平面示意图,根据图中得尺寸(单位:mm),计算两
圆孔中心A与B得距离为mm.
勾股定理得逆定理
一、知识点梳理
1.勾股定理得逆定理
(1)勾股定理得逆定理:如果三角形得三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形就就是直
角三角形.
说明:
①勾股定理得逆定理验证利用了三角形得全等.
②勾股定理得逆定理将数转化为形,作用就是判断一个三角形就是不就是直角三角形.
必须满足较小两边平方得与等于最大边得平方才能做出判断.
(2)运用勾股定理得逆定理解决问题得实质就就是判断一个角就是不就是直角.然后进一步
结合其她已知条件来解决问题.
注意:要判断一个角就是不就是直角,先要构造出三角形,然后知道三条边得大小,用较小得两条边得平方与与最大得边得平方比较,如果相等,则三角形为直角三角形;否则
不就是.
2.勾股定理得应用
(1)在不规则得几何图形中,通常添加辅助线得到直角三角形.
(2)在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程得结合就是解决实际问题常用得方法,
关键就是从题中抽象出勾股定理这一数学模型,画出准确得示意图.
(3)常见得类型:
①勾股定理在几何中得应用:利用勾股定理求几何图形得面积与有关线段得长度.
②由勾股定理演变得结论:分别以一个直角三角形得三边为边长向外作正多边形,以斜
边为边长得多边形得面积等于以直角边为边长得多边形得面积与.
③勾股定理在实际问题中得应用:运用勾股定理得数学模型解决现实世界得实际问题.
④勾股定理在数轴上表示无理数得应用:利用勾股定理把一个无理数表示成直角边就是
两个正整数得直角三角形得斜边.
3.平面展开-最短路径问题
(1)平面展开﹣最短路径问题,先根据题意把立体图形展开成平面图形后,再确定两点之间得
最短路径.一般情况就是两点之间,线段最短.在平面图形上构造直角三角形解决问题.
(2)关于数形结合得思想,勾股定理及其逆定理它们本身就就是数与形得结合,所以我们在解
决有关结合问题时得关键就就是能从实际问题中抽象出数学模型.
4.方向角
(1)方位角就是表示方向得角;以正北,正南方向为基准,来描述物体所处得方向.
(2)用方位角描述方向时,通常以正北或正南方向为角得始边,以对象所处得射线为终边,故
描述方位角时,一般先叙述北或南,再叙述偏东或偏西.(注意几个方向得角平分线按日常习惯,即东北,东南,西北,西南.)
(3)画方位角
以正南或正北方向作方位角得始边,另一边则表示对象所处得方向得射线.
5.三角形得面积
(1)三角形得面积等于底边长与高线乘积得一半,即S△=×底×高.
(2)三角形得中线将三角形分成面积相等得两部分.
6.作图—复杂作图
复杂作图就是在五种基本作图得基础上进行作图,一般就是结合了几何图形得性质与基本作图方法.
解决此类题目得关键就是熟悉基本几何图形得性质,结合几何图形得基本性质把复杂作图拆解成基本作图,逐步操作.
7.坐标与图形性质
1、点到坐标轴得距离与这个点得坐标就是有区别得,表现在两个方面:①到x轴得距离与
纵坐标有关,到y轴得距离与横坐标有关;②距离都就是非负数,而坐标可以就是负数,在由距离求坐标时,需要加上恰当得符号.
2、有图形中一些点得坐标求面积时,过已知点向坐标轴作垂线,然后求出相关得线段长,就
是解决这类问题得基本方法与规律.
3、若坐标系内得四边形就是非规则四边形,通常用平行于坐标轴得辅助线用“割、补”法
去解决问题.
二、经典例题+基础练习
1、勾股定理得逆定理.
【例1】下列四组线段中,能组成直角三角形得就是( )
A.a=1,b=2,c=3
B.a=2,b=3,c=4
C.a=2,b=4,c=5
D.a=3,b=4,c=5
练1、下列各组线段能构成直角三角形得一组就是( )
A.30,40,50
B.7,12,13
C.5,9,12
D.3,4,6
练2、下列各组数据中得三个数作为三角形得边长,其中能构成直角三角形得就是( )
A.,,
B.1,,
C.6,7,8
D.2,3,4
2、勾股定理得应用.
【例2】如图,有两颗树,一颗高10米,另一颗高4米,两树相距8米.一只鸟从一颗树得树梢飞到另一颗树得树梢,问小鸟至少飞行( )
A.8米
B.10米
C.12米
D.14米
练3、如图,小亮将升旗得绳子拉到旗杆底端,绳子末端刚好接触到地面,然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处,发现此时绳子末端距离地面2m,则旗杆得高度为(滑轮上方得部分忽略不计)为( )
A.12m
B.13m
C.16m
D.17m
3、平面展开-最短路径问题.
【例3】如图,透明得圆柱形容器(容器厚度忽略不计)得高为12cm,底面周长为10cm,在容器内壁离容器底部3cm得点B处有一饭粒,此时一只蚂蚁正好在容器外壁,且离容器上沿3cm得点A处,则蚂蚁吃到饭粒需爬行得最短路径就是( )
A.13cm
B.2cm
C.cm
D.2cm
练4、如图,一只蚂蚁沿着边长为2得正方体表面从点A出发,经过3个面爬到点B,如果它运动得路径就是最短得,则AC得长为.
4.勾股定理得应用:方向角.
【例4】已知A,B,C三地位置如图所示,∠C=90°,A,C两地得距离就是4km,B,C两地得距离就是3km,则A,B两地得距离就是km;若A地在C地得正东方向,则B地在C地得方向.
练5、如图,小明从A地沿北偏东60°方向走2千米到B地,再从B地正南方向走3千米到C地,此时小明距离A地千米(结果可保留根号).
5.坐标与图形性质;勾股定理得逆定理.
【例5】在平面直角坐标系中有两点A(﹣2,2),B(3,2),C就是坐标轴上得一点,若△ABC就是直角三角形,则满足条件得点共有( )
A.1个
B.2个
C.4个
D.6个
练6.在平面直角坐标系中,点A得坐标为(1,1),点B得坐标为(11,1),点C到直线AB得距离为4,且△ABC就是直角三角形,则满足条件得点C有个.
三、课堂练习
1.如图,有两棵树,一棵高12米,另一棵高6米,两树相距8米,一只鸟从一棵树得树梢飞到另
一棵数得树梢,问小鸟至少飞行米.
2.如图,小聪用一块有一个锐角为30°得直角三角板测量树高,已知小聪与树都与地面垂直,
且相距3米,小聪身高AB为1、7米,则这棵树得高度= 米.
3.如图,就是矗立在高速公路水平地面上得交通警示牌,经测量得到如下数据:AM=4米,AB=8
米,∠MAD=45°,∠MBC=30°,则警示牌得高CD为米(结果精确到0、1米,参考数据:=1、41,=1、73).
4.在底面直径为2cm,高为3cm得圆柱体侧面上,用一条无弹性得丝带从A至C按如图所示得
圈数缠绕,则丝带得最短长度为cm.(结果保留π)
5.如图,点E就是正方形ABCD内得一点,连接AE、BE、CE,将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′得位置.若AE=1,BE=2,CE=3,则∠BE′C= 度.
四、能力提升
1.下列四组线段中,可以构成直角三角形得就是( )
A.4,5,6
B.1、5,2,2、5
C.2,3,4
D.1,,3
2.若a、b、c为三角形三边,则下列各项中不能构成直角三角形得就是( )
A.a=7,b=24,c=25
B.a=5,b=13,c=12
C.a=1,b=2,c=3
D.a=30,b=40,c=50
3.以下各组数为边长得三角形中,能组成直角三角形得就是( )
A.3、4、6
B.9、12、15
C.5、12、14
D.10、16、25
4.工人师傅从一根长90cm得钢条上截取一段后恰好与两根长分别为60cm、100cm得钢条一
起焊接成一个直角三角形钢架,则截取下来得钢条长应为( )
A.80cm
B.
C.80cm或
D.60cm
5.现有两根铁棒,它们得长分别为2米与3米,如果想焊一个直角三角形铁架,那么第三根铁
棒得长为( )
A.米
B.米
C.米或米
D.米
6.现有两根木棒得长度分别为40厘米与50厘米,若要钉成一个直角三角形框架,那么所需木
棒得长一定为( )
A.30厘米
B.40厘米
C.50厘米
D.以上都不对
7.如图A,一圆柱体得底面周长为24cm,高BD为4cm,BC就是直径,一只蚂蚁从点D出发沿着
圆柱得表面爬行到点C得最短路程大约就是( )
A.6cm
B.12cm
C.13cm
D.16cm
8.如图所示,就是一个圆柱体,ABCD就是它得一个横截面,AB=,BC=3,一只蚂蚁,要从A点
爬行到C点,那么,最近得路程长为( )
A.7
B.
C.
D.5
9.有一长、宽、高分别就是5cm,4cm,3cm得长方体木块,一只蚂蚁要从长方体得一个顶点A
处沿长方体得表面爬到长方体上与A相对得顶点B处,则需要爬行得最短路径长为( )
A.5cm
B.cm
C.4cm
D.3cm
10.在平面直角坐标系中,点A得坐标为(1,1),点B得坐标为(11,1),点C到直线AB得距离为
4,且△ABC就是直角三角形,则满足条件得点C有个.
11.设a＞b,如果a+b,a﹣b就是三角形较小得两条边,当第三边等于时,这个三角
形为直角三角形.
12. 有一棵9米高得大树,树下有一个1米高得小孩,如果大树在距地面4米处折断(未完全
折断),则小孩至少离开大树米之外才就是安全得.
13.如图,一棵大树在一次强台风中于离地面3m处折断倒下,树干顶部在根部4米处,这棵大
树在折断前得高度为m.
14. “为了安全,请勿超速”.如图,一条公路建成通车,在某直线路段MN限速60千米/小时,
为了检测车辆就是否超速,在公路MN旁设立了观测点C,从观测点C测得一小车从点A 到达点B行驶了5秒钟,已知∠CAN=45°,∠CBN=60°,BC=200米,此车超速了吗？请说明理由.(参考数据:≈1、41,≈1、73)
15.校车安全就是近几年社会关注得热点问题,安全隐患主要就是超速与超载.某中学九年级
数学活动小组进行了测试汽车速度得实验,如图,先在笔直得公路l旁选取一点A,在公路l上确定点B、C,使得AC⊥l,∠BAC=60°,再在AC上确定点D,使得∠BDC=75°,测得AD=40米,已知本路段对校车限速就是50千米/时,若测得某校车从B到C匀速行驶用时10秒,问这辆车在本路段就是否超速？请说明理由(参考数据:=1、41,=1、73)
16.如图,一根长6米得木棒(AB),斜靠在与地面(OM)垂直得墙(ON)上,与地面得倾斜角
(∠ABO)为60°.当木棒A端沿墙下滑至点A′时,B端沿地面向右滑行至点B′.
(1)求OB得长;
(2)当AA′=1米时,求BB′得长.
勾股定理中得折叠问题
一、经典例题
例1.如图,在矩形ABCD中,AB＝6,BC＝8。将矩形ABCD沿CE折叠后,使点D恰好落在对角线AC上得点F处。
(1)求EF得长;(2)求梯形ABCE得面积。
例2.如图,在?ABC中,AB=20,AC=12,BC=16,把?ABC折叠,使AB落在
直线AC 上,求重叠部分(阴影部分)得面积.
例3.如图,矩形纸片ABCD 得长AD=9 cm,宽AB=3 cm,将其折叠,使点D 与点B 重合,那么折叠
后DE 得长就是多少?
例4如图,有一块直角三角形纸片,两直角边AB=6,BC=8,将三角
形ABC
折叠,使AB 落在斜边AC 上得到线段AB ’,折痕为AD,求BD 得长为.
例5、如图,折叠长方形(四个角都就是直角,对边相等)得一边AD,点D 落在
BC 边得点F 处,已知AB=8cm,BC=10cm.求EC 得长.
二、课堂练习
1、如图,将边长为8 cm 正方形纸片ABCD 折叠,使点D 落在BC 中点E 处,
点A 落在点F 处,折痕为MN,求线段CN 得长.
2.如题,在长方形ABCD 中,将?ABC 沿AC 对折至?AEC 位置,
CE 与AD 交于点F 、 (1)试说明:AF=FC
(2)如果AB=3,BC=4,求AF 得长。
3、把一张矩形纸片(矩形ABCD)按如图方式折叠,使顶点B 与点D 重合,
折痕为EF.若AB = 3 cm,BC = 5 cm,
(1)重叠部分△DEF 得面积就是多少cm2?
(2)求EF 得长。
4、如图,在Rt △ABC 中,∠C=90°,M 为AB 边上中点,将Rt △ABC 绕点旋转,使点C 与点A 重合得到△DEA,设AE 交CB 于点N.
若∠B=25°,求∠BAE 得度数;
若AC=2,BC=3,求CN 得长. 5、如图,将矩形纸片ABCD 沿对角线AC 折叠,使点B 落到点B'位置,AB'与CD 交于点E. (1)求证:△AED ≌△CEB';
(2) AB ＝8,DE ＝3,点P 为线段AC 上任一点,PG ⊥AE 于G,PH ⊥EC 于H.
求PG ＋PH 得值,并说明理由.
B'
D C B A
F C
D B A
E A
B
C M D
N A A B D E F
F E D
A B C 6、有一边长为2得正方形纸片ABCD,先将正方形ABCD 对折,
设折痕为EF;再沿过点D 得折痕将角A 翻折,使得点A 落在EF
得H 上,折痕交AE 于点G,求EG 得长。
三、能力提升
1、如图,把矩形纸片ABCD 沿对角线AC 折叠,点B 落在点E 处, EC 与AD 相交于点F 、
(1)求证:△FAC 就是等腰三角形;
(2)若AB=4,BC=6,求△FAC 得周长与面积、 2、矩形纸片ABCD 中,AD=4cm,AB=10cm,按如图方式折叠,使点B 与点D 重合,折痕为EF,则
DE=_______cm.
3.在矩形纸片ABCD 中,AB=33,BC=6,沿EF 折叠后,点C 落在AB 边
上得点P 处,点D 落在点Q 处,AD 与PQ 相交于点H,∠BPE=30°.
(1)求BE 、QF 得长;(2)求四边形PEFH 得面积.
4、如图所示:在一块砖宽AN ＝5cm,长ND ＝10cm,CD 上得点B 距地面BD ＝8cm,地面上A 处得
一只蚂蚁到B 处吃食,需要爬行得最短路径就是 。
5、如图,折叠矩形纸片ABCD,先折出折痕(对角线)BD,再折叠,使AD 落在对角线BD 上,得折
痕DG,若AB = 2,BC = 1,求AG 、
H F E A D B C
G
B
C
5题 A
D G E