习题3
3-1．原长为m 5.0的弹簧，上端固定，下端挂一质量为kg 1.0的物体，当物体静止时，弹簧长为m 6.0．现将物体上推，使弹簧缩回到原长，然后放手，以放手时开始计时，取竖直向下为正向，写出振动式。（g 取9.8）
解：振动方程：cos()x A t ω?=+，在本题中，kx mg =，所以9.8k =； ∴
ω=
==。 取竖直向下为x 正向，弹簧伸长为0.1m 时为物体的平衡位置，所以如果使弹簧的初状态为原长，那
么：A =0.1m ，
当t =0时，x =-A ，那么就可以知道物体的初相位为π。
所以：0.1cos x π=+）
即：)x =-。
3-2．有一单摆，摆长m 0.1=l ，小球质量g 10=m ，0=t 时，小球正好经过rad 06.0-=θ处，并以角
速度0.2rad/s θ= 向平衡位置运动。设小球的运动可看作简谐振动，试求：（1）角频率、频率、周期；（2）用余弦函数形式写出小球的振动式。（g 取9.8）
解：振动方程：cos()x A t ω?=+ 我们只要按照题意找到对应的各项就行了。
（1
）角频率： 3.13/rad s ω=
==，
频率：0.5Hz ν=
== ，
周期：22T s ===； （2）振动方程可表示为：cos 3.13A t θ?=+（），∴ 3.13sin 3.13A t θ?=-+ （） 根据初始条件，0t =时：cos A θ?=，0(12sin 0(343.13A
θ
?>=-< ，象限），象限）
可解得：200
8.810227133 2.32A m ?-=?==-=-，， 所以得到振动方程：28.810cos 3.13 2.32t m θ-=?-（） 。
3-3．一质点沿x 轴作简谐振动，振幅为cm 12，周期为s 2。当0=t 时，位移为cm 6，且向x 轴正方向运
动。求：（1）振动表达式；（2）s 5.0=t 时，质点的位置、速度和加速度；（3）如果在某时刻质点位于cm 6-=x ，
且向x 轴负方向运动，求从该位置回到平衡位置所需要的时间。 解：（1）由题已知 A =0.12m ，T =2 s ，∴ 2T
π
ωπ=
= 又∵t =0时，06x cm =，00v >，由旋转矢量图，可知：3
π
?=-
故振动方程为：0.12cos
3
x t m π
π=-（）；
（2）将t =0.5 s 代入得：
0.12cos 0.12cos 0.10436
x t m ππ
π=-==（），
0.12sin 0.12cos 0.188/36v t m s ππ
ππ=--==-（）， 222
0.12cos 0.12cos 1.03/36
a t m s πππππ=--=-=-（）
方向指向坐标原点，即沿x 轴负向； （3）由题知，某时刻质点位于6cm 2
A
x =-=-
， x
且向x 轴负方向运动，如图示，质点从P 位置回到 平衡位置Q 处需要走3
2
π
π
??=+
，建立比例式：
2t
T
?π??=， 有：5
6
t s ?=
。 3-4．两质点作同方向、同频率的简谐振动，振幅相等。当质点1在 2/1A x =处，且向左运动时，另一个质点2在 2/2A x -= 处，且向右运动。求这两个质点的位相差。 解：由旋转矢量图可知：
当质点1在 2/1A x =处，且向左运动时， 相位为
3
π， 而质点2在 2/2A x -= 处，且向右运动， 相位为
43
π。 所以它们的相位差为π。
3-5．当简谐振动的位移为振幅的一半时，其动能和势能各占总能量的多少？物体在什么位置时其动能和势能各占总能量的一半？
解：由212P E k x =
，212k E m v =，有：221
cos ()2P E k A t ω?=+， 2222211
sin ()sin ()22
k E m A t k A t ωω?ω?=+=+，
（1）当2
A
x =时，由cos()x A t ω?=+，
有：1cos()2t ω?+=，sin()t ω?+=，
∴
14P E E =，3
4
k E E =； （2）当1
2
P k E E E ==
时，有：22cos ()sin ()t t ω?ω?+=+
∴cos()
t ω?+=，0.707x A A ==±。
3-6．两个同方向的简谐振动曲线(如图所示)
（1）求合振动的振幅。
（2）求合振动的振动表达式。 解：通过旋转矢量图做最为简单。 由图可知，两个振动同频率，且
1A 初相：12
π
?=
，2A 初相：22
π
?=-
，
表明两者处于反相状态，
（反相21(21)k ???π?=-=±+，012k = ，
，，）
∵12A A <，∴合成振动的振幅：21A A A =- ； 合成振动的相位：22
π
??==-
；
合成振动的方程：）（）（2
2cos 12π
π--=
t T A A x 。
3-7．两个同方向，同频率的简谐振动，其合振动的振幅为cm 20，与第一个振动的位相差为
6
π
。若第一个振动的振幅为cm 310。则（1）第二个振动的振幅为多少？（2）两简谐振动的位相差为多少？ 解：如图，可利用余弦定理：
由图知 ?-+=30cos 212212
2A A A A A =0.01 m ∴A ２=0.1 m ，
再利用正弦定理：02
sin sin30A A θ=
，有： 2
sin 12A
A θ==，∴2πθ=。
说明A １与A ２间夹角为π/2，即两振动的位相差为π/2 。
3-8. 质点分别参与下列三组互相垂直的谐振动：
（1） 4c o s 864c o s 86x t y t ππππ???
=+
????
??
???=- ????? ；（2） 4c o s 8654c o s 86x t y t ππππ??
?=+ ????
?????=- ????? ； （3） 4c o s 8624c o s 83x t y t ππππ???=+ ?
???
?
?
???=+ ?
???
? 。试判别质点运动的轨迹。 解：质点参与的运动是频率相同，振幅相同的垂直运动的叠加。 对于cos()x x A t ω?=+，4cos()y y t ω?=+的叠加，可推得：
22222cos()sin ()x y x y x y x y A ????+--=-
（1）将6x π?=，6y π?=-代入有：2222cos 16sin 33x y x y ππ+-=， 则方程化为：22
12x y x y +-=，轨迹为一般的椭圆；
（2）将6x π?=，56y π?=-代入有：222
2cos 16sin x y x y ππ+-=
则方程化为：22
20x y x y +-=，即0x y +=，轨迹为一直线；
（3）将6x π?=，23y π?=代入有：2222cos 16sin 22x y x y ππ+-= 则方程化为：222
4x y +=，轨迹为圆心在原点，半径为4m 的圆。
3-9．沿一平面简谐波的波线上，有相距2.0m 的两质点A 与B ，B 点振动相位比A 点落后6
π
，已知振动周期为2.0s ，求波长和波速。
解：根据题意，对于A 、B 两点，m x 2612=?=-=?，π
???，
而相位和波长之间满足关系：πλ
πλ
???221
212x
x x ?-
=--
=-=?，
代入数据，可得：波长λ=24m 。又∵T =2s ，所以波速12/u m s T
λ
=
=。
3-10．已知一平面波沿x 轴正向传播，距坐标原点O 为1x 处P 点的振动式为)cos(?ω+=t A y ，波速为u ，求：
（1）平面波的波动式；
（2）若波沿x 轴负向传播，波动式又如何?
解：（1）设平面波的波动式为0cos[]x
y A t u
ω
?=-+（），则P 点的振动式为： 1
0cos[]P x y A t u
ω?=-
+（），与题设P 点的振动式cos()P y A t ω?=+比较， 有：10x u
ω??=+，∴平面波的波动式为：1
cos[()]x x y A t u ω?-=-+；
（2）若波沿x 轴负向传播，同理，设平面波的波动式为：0cos[]x
y A t u ω?=++（），则P 点的振动式为：
1
0cos[]P x y A t u ω?=+
+（），与题设P 点的振动式cos()P y A t ω?=+比较， 有：10x u ω??=-+，∴平面波的波动式为：1
cos[()]x x y A t u ω?-=++。
3-11．一平面简谐波在空间传播，如图所示，已知A 点的振动规律为cos(2)y A t πν?=+，试写出： （1）该平面简谐波的表达式；
（2）B 点的振动表达式（B 点位于A 点右方d 处）。 解：（1）仿照上题的思路，根据题意，设以O 点为原点平面简谐波的表达式
为：
0cos[2]x
y A t u πν?=++（），则A 点的振动式：
0cos[2]A l
y A t u
πν?-=++（）
题设A 点的振动式cos(2)y A t πν?=+比较，有：02l
u
πν??=+， ∴该平面简谐波的表达式为：]2cos[?πν+++
=）（u
x u l t A y （2）B 点的振动表达式可直接将坐标x d l =-，代入波动方程：
]2cos[]2cos[?πν?πν++=+-++
=）（）（u
d t A u l d u l t A y
3-12．已知一沿x 正方向传播的平面余弦波，s 3
1
=
t 时的波形如图所示，且周期T 为s 2。 （1）写出O 点的振动表达式；
（2）写出该波的波动表达式； （3）写出A 点的振动表达式； （4）写出A 点离O 点的距离。
解：由图可知：0.1A m =，0.4m λ=，而2T s =，则：/0.2/u T m s λ==，
2T πωπ=
=，25k ππλ
==，∴波动方程为：00.1cos(5)y t x ππ?=-+ O 点的振动方程可写成：00.1cos()O y t π?=+
由图形可知：s 31=t 时：0.05O y =，有：00.050.1cos()3
π
?=+
考虑到此时0O
d y d t
<，∴03π?=，
53π（舍去） 那么：（1）O 点的振动表达式：0.1cos()3
O y t π
π=+
；
（2）波动方程为：0.1cos(5)3
y t x π
ππ=-+
；
（3）设A 点的振动表达式为：0.1cos()A A y t π?=+
由图形可知：s 31=
t 时：0A y =，有：cos()03
A π
?+= 考虑到此时0A
d y d t
>，∴56A π?=-
（或76A π?=） ∴A 点的振动表达式：50.1cos()6A y t ππ=-，或70.1cos()6
A y t ππ=+； （4）将A 点的坐标代入波动方程，可得到A 的振动方程为：
0.1cos(5)3
A A y t x π
ππ=-+，与（3）求得的A 点的振动表达式比较，有：
5563A t t x πππππ-=-+，所以：m x A 233.030
7== 。
3-13．一平面简谐波以速度m/s 8.0=u 沿x 轴负方向传播。已知原点的振动曲
线如图所示。试写出：
（1）原点的振动表达式； （2）波动表达式；
（3）同一时刻相距m 1的两点之间的位相差。 解：这是一个振动 图像！
由图可知A =0.5cm ，设原点处的振动方程为：30510cos()O y t ω?-=?+。 （1）当0t =时，30
2.510O t y -==?，考虑到：
0O
t d y d t
=>，有：03
π
?=-
，
当1t =时，10O
t y ==，考虑到：
10O t d y d t
=<，有：3
2
π
π
ω-
=
，56
πω=
， ∴原点的振动表达式：3
5510cos(
)63
O y t ππ-=?-； （2）沿x 轴负方向传播，设波动表达式：3
5510cos(
)63
y t k x ππ
-=?+- 而512460.825k u ωππ==?=，∴3
524510cos(
)6253
y t x πππ-=?+-； （3）位相差：25
2 3.2724
x k x rad ?ππλ??==?== 。
3-14．一正弦形式空气波沿直径为cm 14的圆柱形管行进，波的平均强度为3
9.010-?/()J s m ?，频率为
Hz 300，波速为m/s 300。问波中的平均能量密度和最大能量密度各是多少？每两个相邻同相面间的波段
中含有多少能量？
解：（1）已知波的平均强度为：3
9.010
I -=?/()J s m ?，由I w u =? 有：
3539.010310/300
I w J m u --?===?
53max 2610/w w J m -==?；
（2）由W w V =?，∴221144u
W w d w d πλπν=?=
5327310/(0.14)1 4.62104
J m m m J π
--=????=? 。
3-15．一弹性波在媒质中传播的速度310/u m s =，振幅41.010A m -=?，频率3
10Hz ν=。若该媒质的
密度为3
800/kg m ，求：（1）该波的平均能流密度；（2）1分钟内垂直通过面积2
4
m 100.4-?=S 的总能量。
解：（1）由：221
2
I u A ρω=
，有： 34232110800102102
I π-=????（）（）521.5810/W m =?；
（2）1分钟为60秒，通过面积2
4m 100.4-?=S 的总能量为：
W I S t =5431.581041060 3.7910J -=????=? 。
3-16．设1S 与2S 为两个相干波源，相距41波长，1S 比2S 的位相超前2
π
。若两波在在1S 、2S 连线方向上的强度相同且不随距离变化，问1S 、2S 连线上在1S 外侧各点的合成波的强度如何？又在2S 外侧各点的
强度如何？ 解：（1）如图，1S 、2S 连线上在1S 外侧，
∵212122()24
r r π
π
πλ
???πλλ?=--
-=--?=-，
∴两波反相，合成波强度为0；
（2）如图，1S 、2S 连线上在2S 外侧， ∵212122('')()02
4
r r π
π
π
λ
???λ
λ?=--
-=-
-
-=， ∴两波同相，合成波的振幅为2A ，
合成波的强度为：220(2)44I A A I === 。
D 为声音探测器，
3-17．图中所示为声音干涉仪，用以演示声波的干涉。S 为声源，如耳或话筒。路径SBD 的长度可以变化，但路径SAD 是固定的。干涉仪内有空
气，且知声音强度在B 的第一位置时为极小值100单位，而渐增至B 距第一位置
为cm 65.1的第二位置时，有极大值900单位。求：
（1）声源发出的声波频率；
（2）抵达探测器的两波的振幅之比。 解：根据驻波的定义，相邻两波节(腹)间距：2
x λ
?=，
相邻波节与波腹的间距：4
x λ
?=
，可得：4 6.6x cm λ=?=。
S S ?
?1
S 2
S 'r
（1）声音的速度在空气中约为340m/s ，所以：2
340
51516.610
u
Hz νλ
-=
=
=?（）。 （2）∵2
I A =，2
min 12()I A A =-，2max 12()I A A =+，依题意有：
212212()100()900
A A A A -=+= ?
122010
A A == ，那么
1221
A A = 。
3-18．蝙蝠在洞穴中飞来飞去，是利用超声脉冲来导航的。假定蝙蝠发出的超声频率为39000Hz 。当它以空气中声速的
1
40
的运动速率朝着墙壁飞扑过程中，试问它自己听到的从墙壁反射回来的脉冲频率是多少？
解：根据多普勒效应，
(Hz)4100039413900040
400S S 0S S 0==-+
=-+=+-=u u u
u v u v u u v u v u u νννν反
3-19．一声源的频率为1080Hz ，相对于地以30m/s 的速度向右运动，在其右方有一反射面相对于地以65m/s 的速率向左运动，设空气中的声速为331m/s ，求： （1）声源在空气中发出声音的波长； （2）每秒钟到达反射面的波数； （3）反射波的波速； （4）反射波的波长。
解：（1）在声源前方静止接收器接收到的频率 S
1v u u
-=νν 声音的波长(m)2801080
303310S S
1
.v u v u u u
u
=-=-=-=
=
νννλ
（2）每秒钟到达反射面的波数（等于反射波的频率）为 (H z )
14213033165
3311080S 02=-+=-+=v u v u 反νν （3）波速只取决于媒质的性质，因此反射波的波速仍为 (m/s)331
=u （4）反射波的波长为 (m )23301421
33122.u ===
νλ 3-20．试计算：一波源振动的频率为2040Hz ，以速度s v 向墙壁接近（如图所示），速度s v ，设声速为观察者在A 点听得拍音的频率为3Hz ν?=，求波源移动的340/m s 。
解：根据观察者不动，波源运动，即：0S u ≠，0R u =，
观察者认为接受到的波数变了：0S
u
u u νν=
-， 其中340u =，2043ν=，02040ν=，分别代入，可得：0.5/S u m s = 。
思考题
3-1．试说明下列运动是不是简谐振动：
（1）小球在地面上作完全弹性的上下跳动；
（2）小球在半径很大的光滑凹球面底部作小幅度的摆动。 答：要使一个系统作谐振动，必须同时满足以下三个条件：
① 描述系统的各种参量，如质量、转动惯量、摆长……等等在运动中保持为常量； ② 系统是在自己的稳定平衡位置附近作往复运动； ③ 在运动中系统只受到内部的线性回复力的作用。
或者说，若一个系统的运动微分方程能用02
22=+ξωξdt
d 描述时，其所作的运动就是谐振动。
那么，（1）拍皮球时球的运动不是谐振动。第一、球的运动轨道中并不存在一个稳定的平衡位置；第二、球在运动中所受的三个力：重力，地面给予的弹力，击球者给予的拍击力，都不是线性回复力。要使一个系统作谐振动，必须同时满足以下三个条件：一、描述系统的各种参量，如质量、转动惯量、摆长……等等在运动中保持为常量；二、系统是在自己的稳定平衡位置附近作往复运动；三、在运动中系统只受到内
部的线性回复力的作用。或者说，若一个系统的运动微分方程能用22
2
0d d t
ξωξ+=描述时，其所作的运动就是谐振动。
（2）小球在图所示的情况中所作的小弧度的运动，是谐振动。显然，小球在运动过程中，各种参量均为常量；该系统(指小球凹槽、地球系统)的稳定平衡位置即凹槽最低点，即系统势能最小值位置点O ；而小球在运动中的回复力为sin mg θ-。题中所述，S R ?<<，故0S
R
θ?=
→，所以回复力为mg θ-。（式中负号表示回复力的方向始终与角位移的方向相反）即小球在O 点附近的往复运动中所受回复力为线性的。若以小球为对象，则小球在以O ′为圆心的竖直平面内作圆周运动，由牛顿第二定律，在凹槽切线方向上有
mR 22
d mR mg d t
θθ=，令R g =2ω，则有：02
22=+θωθdt d 。
3-2．简谐振动的速度和加速度在什么情况下是同号的?在什么情况下是异号的?加速度为正值时，振动质点的速率是否一定在增加？反之，加速度为负值时，速率是否一定在减小? 答： 简谐振动的速度： sin()v A t ωω?=-+；
加速度：2
cos()a A t ωω?=-+；
要使它们同号，必须使质点的振动相位在第一象限。其他象限的相位两者就是异号的。
加速度为正值时，振动质点的速率不一定在增加，反之，加速度为负值时，速率也不一定在减小。 只有当速度和加速度是同号时，加速度才能使速率增加；反之，两者异号时，加速度使速率减小。
3-3．分析下列表述是否正确，为什么?
（1）若物体受到一个总是指向平衡位置的合力，则物体必然作振动，但不一定是简谐振动； （2）简谐振动过程是能量守恒的过程，凡是能量守恒的过程就是简谐振动。 答：（1）的表述是正确的，原因参考7-1；
（2）的表述不正确，比如自由落体运动中能量守恒，但不是简谐振动。
3-4．用两种方法使某一弹簧振子作简谐振动。
方法1：使其从平衡位置压缩l ?，由静止开始释放。 方法2：使其从平衡位置压缩2l ?，由静止开始释放。
若两次振动的周期和总能量分别用21T T 、和21E E 、表示，则它们满足下面那个关系？ （A ） 2121E E T T == （B ） 2121E E T T ≠=
（C ） 212
1E E T T =≠ （D ） 2121E E T T ≠≠
答：根据题意，这两次弹簧振子的周期相同，振幅相差一倍。所以能量不同。选择（B ）。
3-5．一质点沿x 轴作简谐振动，周期为T ，振幅为A ，质点从2
1A
x =运动到A x =2处所需要的最短时间为多少？ 答：质点从21A
x =运动到A x =2处所需要的最短相位变化为4
π，所以运动的时间为：/48T t πω?=
=。
3-6．一弹簧振子，沿x 轴作振幅为A 的简谐振动，在平衡位置0=x 处，弹簧振子的势能为零，系统的机械能为50J ，问振子处于2/A x =处时；其势能的瞬时值为多少？
答：由题意，在平衡位置0=x 处，弹簧振子的势能为零，系统的机械能为50J ，所以该振子的总能量为50J ，当振子处于2/A x =处时；其势能的瞬时值为：
J E A k kx M 5.124
504121212122====）（。
3-7.图（a ）表示沿x 轴正向传播的平面简谐波在0=t 时刻的波形图，则图（b ）表示的是：
（A ）质点m 的振动曲线； （B ）质点n 的振动曲线； （C ）质点p 的振动曲线； （D ）质点q 的振动曲线。
答：图（b ）在t=0时刻的相位为
2
π
，所以对应的是质点n 的振动曲线，选择B 。
3-8．从能量的角度讨论振动和波动的联系和区别。. 答：（1）在波动的传播过程中，任意时刻的动能和势能不仅大小相等而且相位相同，同时达到最大，同时等于零。而振动中动能的增加必然以势能的减小为代价，两者之和为恒量。
（2）在波传动过程中，任意体积元的能量不守恒。质元处在媒质整体之中，沿波的前进方向，每个质元从后面吸收能量，又不停的向前面的质元释放能量，能量得以不断地向前传播。而一个孤立振动系统总能量是守恒的。
3-9. 当两列波干涉时，是否会有能量损失？
答：否。当两列波干涉时，波的能量只是进行了重新分布，并不会有损失。
3-10. 一卫星发射恒定频率的无线电波。地面上的探测器测到了这些无线电波，并使它们与某一标准频率形成拍，然后将拍频输入扬声器，人们就“听”到了卫星的信号。试描述当卫星趋近地面探测器、通过探测器上空以及离开探测器时声音的变化情况。
答：由于多普勒效应，当卫星趋近地面探测器、通过探测器上空以及离开探测器时，地面上探测器测到的来自卫星的无线电波频率将大于、等于和小于其发射频率（ν1），它们与标准频率(ν2)形成拍的拍频将随着增大（若ν2>ν1）或减小（若ν1>ν2），扬声器发出的拍音也随之变短或变长。
第二章 振动与波习题答案 12、一放置在水平桌面上的弹簧振子，振幅2 10 0.2-?=A 米，周期50.0=T 秒，当0 =t 时 (1) 物体在正方向的端点； (2) 物体在负方向的端点； (3) 物体在平衡位置，向负方向运动； (4) 物体在平衡位置，向正方向运动。 求以上各种情况的谐振动方程。 【解】：π=π = ω45 .02 )m () t 4cos(02.0x ?+π=， )s /m ()2 t 4cos(08.0v π+?+ππ= (1) 01)cos(=?=?，， )m () t 4cos(02.0x π= (2) π=?-=?，1)cos(， )m () t 4cos(02.0x π+π= (3) 2 1)2cos(π=?-=π+?， ， )m () 2 t 4cos(02.0x π+π= (4) 21)2cos(π-=?=π+?， ， )m () 2 t 4cos(02.0x π-π= 13、已知一个谐振动的振幅02.0=A 米，园频率πω 4=弧度／秒， 初相2/π=?。 (1) 写出谐振动方程； (2) 以位移为纵坐标，时间为横坐标，画出谐振动曲线。 【解】：)m () 2 t 4cos(02.0x π+π= ， )(2 12T 秒=ωπ= 15、图中两条曲线表示两个谐振动 (1) 它们哪些物理量相同，哪些物理量不同? (2) 写出它们的振动方程。
【解】：振幅相同，频率和初相不同。 虚线： )2 t 2 1cos(03.0x 1π-π= 米 实线： t cos 03.0x 2π= 米 16、一个质点同时参与两个同方向、同频率的谐振动，它们的振动方程为 t 3cos 4x 1= 厘米 )3 2t 3cos(2x 2π+= 厘米 试用旋转矢量法求出合振动方程。 【解】：)cm () 6 t 3cos(32x π+= 17、设某一时刻的横波波形曲线如图所示，波动以1米／秒的速度沿水平箭头方向传播。 (1) 试分别用箭头表明图中A 、B 、C 、D 、E 、F 、H 各质点在该时刻的运动方向； (2) 画出经过1秒后的波形曲线。 【解】： 18、波源作谐振动，其振动方程为(m ))240(1043t cos y π-?=，它所形成的波以30m/s 的速度沿一直线传播。
高等教育出版社，金尚年，马永利编著的理论力学课后习题答案 第一章 1.2 afG — sin0) ；殳上运动的质点的微 afl - COS0) 分方程，并证明该质点在平衡位置附近作振动时，振动周期与振幅无关. 解： 设s为质点沿摆线运动时的路程，取0=0时，s=0 H ( x = a(0-sine) * ly = —a(l — COS0) ds - J (dx)2 + (dy)2 二 J((i9 — COS0 亠de)2+(sirL9 de)2 = 2asin| 2a sin舟dO = 4 a (L co马 写出约束在铅直平面内的光滑摆线
ee A s=2acos^59 + 2asin?9 = acos| 9^ + 2a sin? 9 x轴的夹角，取逆时针为正，tan (p即切线斜率设（P为质点所在摆线位置处切线方向 与 dy cos 0 -1 tan
振动与波习题练习The final revision was on November 23, 2020
第4章 振动与波动 一、选择题 1. 在下列所述的各种物体运动中, 可视为简谐振动的是 [ ] (A) 将木块投入水中, 完全浸没并潜入一定深度, 然后释放 (B) 将弹簧振子置于光滑斜面上, 让其振动 (C) 从光滑的半圆弧槽的边缘释放一个小滑块 (D) 拍皮球时球的运动 . 2.一弹簧振子周期为T ．现将弹簧截去一半，仍挂上原来的物体, 则新的弹簧振子周期为 [ ] (A) T (B) 2T (C) (D) 3. 三只相同的弹簧(质量忽略不计)都一端固定, 另一端连接质量为m 的物体, 但放置情况不同．如图4-1-3所 示，其中一个平放, 一个斜放, 另 一个竖直放．如果让它们振动起 来, 则三者的 [ ] (A) 周期和平衡位置都不相同 (B) 周期和平衡位置都相同 (C) 周期相同, 平衡位置不同 (D) 周期不同, 平衡位置相同 4. 如图4-1-4所示，升降机中有一个作谐振动的单摆, 当升降 机静止时, 其振动周期为2 s ， 当升降机以加速度上升时, 升 降机中的观察者观察到其单摆的振动周期与原来的振动周期 相比，将 [ ] (A) 增大 (B) 不变 (C) 减小 (D) 不能确定 图4-1-3 图4-1-4
. 5. 两质点在同一方向上作同振幅、同频率的简谐振动．在振动过程中, 每当它们经过振幅一半的地方时, 其运动方向都相反．则这两个振动的相位差为 [ ] (A) π (B) π32 (C) π34 (D) π5 4 6 在简谐振动的速度和加速度表达式中，都有一个负号, 这是意味着 [ ] (A) 速度和加速度总是负值 (B) 速度的相位比位移的相位超前 π2 1, 加速度的相位与位移的相位相差π (C) 速度和加速度的方向总是相同 (D) 速度和加速度的方向总是相反 7一质点以周期T 作简谐振动, 则质点由平衡位置正向运动到最大位移一半处的最短时间为 [ ] (A) 6T (B) 8T (C) 12T (D) T 12 7 8 一作简谐运动质点的振动方程为π)21π2cos(5+ =t x , 它从计时开始, 在运动一个周期后 [ ] (A) 相位为零 (B) 速度为零 (C) 加速度为零 (D) 振动能量为零 9 有一谐振子沿x 轴运动, 平衡位置在x = 0处, 周期为T , 振幅为A ，t = 0时刻振子过2 A x = 处向x 轴正方向运动, 则其运动方程可表示为 [ ] (A) )21cos(t A x ω= (B) )cos(2 t A x ω= (C) )3π2sin(--=T t A x π (D) )3π2cos(-=T t A x π 10. 当一质点作简谐振动时, 它的动能和势能随时间作周期变化．如果ν是质点振动的频率, 则其动能变化的频率为
1-1一个物体放在水平台面上，当台面沿铅垂方向作频率为5 Hz的简谐振动时，要使物体不跳离平台，对台面的振幅应有何限制? 解：物体与桌面保持相同的运动，知桌面的运动为 ， x=A sin10πt； 由物体的受力分析，N = 0（极限状态） 物体不跳离平台的条件为：； 既有， , 由题意可知Hz，得到，mm。 1-2有一作简谐振动的物体，它通过距离平衡位置为cm及cm 时的速度分别为20 cm/s及cm/s，求其振动周期、振幅和最大速度。解： 设该简谐振动的方程为；二式平方和为 将数据代入上式： ； 联立求解得 A=10.69cm；1/s；T=s 当时，取最大，即：
得： 答：振动周期为2.964s；振幅为10.69cm；最大速度为22.63m/s。 1-3 一个机器内某零件的振动规律为 ，x的单位是cm，1/s 。这个振动是否为简谐振动?试求它的振幅、最大速度及最大加速度，并用旋转矢量表示这三者之间的关系。 解： 振幅A=0.583 最大速度 最大加速度 1-4某仪器的振动规律为。此振动是否为简谐振动?试用x- t坐标画出运动图。 解：因为ω1=ωω2=3ω,ω1≠ω2.又因为T1=2π/ω T2=2π/3ω，所以，合成运动为周期为T=2π/3ω的非简谐运动。两个不同频率的简谐振动合成不是简谐振动，当频率比为有理数时，可合称为周期振动，合成振动的周期是两个简谐振动周期的最小公倍数。
1-5已知以复数表示的两个简谐振动分别为和，试求它们的合成的复数表示式，并写出其实部与虚部。 解：两简谐振动分别为，， 则：=3cos5t+3isin5t =5cos(5t+)+3isin(5t+) 或； 其合成振幅为：= 其合成振动频率为5t，初相位为：=arctan 则他们的合成振动为：实部：cos(5t+ arctan) 虚部：sin(5t+ arctan) 1-6将题1-6图的三角波展为傅里叶级数。 解∶三角波一个周期内函数x (t)可表示为 ， 由式得
第4章 振动与波动 一、选择题 1. 在下列所述的各种物体运动中, 可视为简谐振动的是 [ ] (Ａ） 将木块投入水中， 完全浸没并潜入一定深度, 然后释放 (B) 将弹簧振子置于光滑斜面上, 让其振动 (C ） 从光滑的半圆弧槽的边缘释放一个小滑块 （D) 拍皮球时球的运动 . 2．一弹簧振子周期为T .现将弹簧截去一半,仍挂上原来的物体， 则新的弹簧振子周期为 ［ ] (A) T ? ? （B ） 2T (Ｃ) 1.４Ｔ ?(Ｄ) 0。7T 3。 三只相同的弹簧(质量忽略不计)都一端固定, 另一端连接质量为m 的物体, 但放置情况不同.如图4-1－3所示,其中一个平放, 一个斜放， 另一个竖直放.如果让它们振动起来， 则三者的 [ ] （A ） 周期和平衡位置都不 相同 (B) 周期和平衡位置都相同 (C) 周期相同, 平衡位置不同 (D) 周期不同, 平衡位置相同 ４。 如图４—１—４所示，升降机中有一个作谐振动的单摆, 当升降 机静止时, 其振动周期为2 s ， 当升降机以加速度上升时, 升降机中 的观察者观察到其单摆的振动周期与原来的振动周期相比，将 [ ］ （A) 增大 （Ｂ) 不变 （C) 减小 （D) 不能确定 。 ５. 两质点在同一方向上作同振幅、同频率的简谐振动．在振动过程中, 每当它们经过振幅一半的地方时, 其运动方向都相反．则这两 个振动的相位差为 [ ] （A) π (B) π32 (C) π34 (D) π5 4 6 在简谐振动的速度和加速度表达式中，都有一个负号， 这是意味着 [ ] （Ａ） 速度和加速度总是负值 (B ） 速度的相位比位移的相位超前 π2 1, 加速度的相位与位移的相位相差π (Ｃ) 速度和加速度的方向总是相同 (D) 速度和加速度的方向总是相反 7一质点以周期T 作简谐振动， 则质点由平衡位置正向运动到最大位移一半处的最短时间为 [ ] (A) 6T (B) 8T (C) 12T （Ｄ) T 12 7 8 一作简谐运动质点的振动方程为π)2 1π2cos(5+=t x , 它从计时开始, 在运动一个 图4-1-3 图4-1-4
（ 1 ）角频率：co = = 393矿ad/L , c 0.5Hz , 2兀 c / =2s ； J9.8 0 = Acos(3.13r+ ^) ,「? 〃 = —3.13*sin(3.13， + °) e . e cos (p = — , sm(p = - 可解得：A = 8.8xl0-2/n,。= 227°=-133°=-2.32, g （2）振动方程可表示为: 根据初始条件，（二 0时: >0(1,2 象限) 3.13A ( <0(3,4象 限) 3.1 .原长为0.5m 的弹簧，上端固定，下端挂一质量为0.1kg 的物体，当物体静止.时，弹簧长为0.6m.现 将物体上推，使弹簧缩回到原长，然后放手，以放手时开始计时，取竖直向下为正向，写出振动式。（g 取 9.8） 解：振动方程：x = A cos （69f + （p ）,在木题中，kx = mg ,所以A =9.8； 取竖直向下为x 正向，弹簧佃长为0.1所时为物体的平衡位置，所以如果使弹簧的初状态为原长，那 么：A=0.1m, 当-0时，尸-A,那么就可以知道物体的初相位为私 所以：x = 0.1 cos （>/98r + 即：x = -0.1 cos （V98r ） 0 3-2.有一单摆，摆长/ = 1.0m,小球质量m = 10g , 1 = 0时，小球正好经过0 - -0.06rad 处，并以角 速度0 = O.2rad/s 向平衡位置运动。设小球的运动可看作简谐振动,试求：（1）角频率、频率、周期；（2） 用余弦函数形式写出小球的振动式。（g 取9.8） 解：振动方程：x = Acos （口（ + 9）我们只要按照题意找到对应的各项就行了。 3-3. 一质点沿尤轴作简谐振动，振幅为12cm,周期为2s 。当t = 0时，位移为6cm,且向尤轴正方向运 动。求：（1）振动表达式;（2），= 0.5s 时,质点的位置、速度和加速度;（3）如果在某时刻质点位于JV = -6cm , 且向尤轴负方IE 运动，求从该位置I 可到平衡位置所需要的时间。 2/r 解：（1）由题己知 A=0.12m, T=2 s ,「? co ———=71 T rr 又?.?/=0时，x 0 = 6cm , v 0 >0,由旋转矢量图，可知：（p =—— TT 故振动方程为：x = 0.12cos （混—一）m ； 3 （2）将r=0.5s 代入得： x = 0.12 cos （混一马）= 0.12 cos g = 0.104m, 3 6 v = 一0.12/rsin （H -马）=0.12cosg = -0.188m/s , 3 6 a = 一0.12/2 cos （混-生）=-0.12/ cos — = -1.03m/s?, 3 6 方向指向坐标原点，即沿x 轴负向； A （3）由题知，某时刻质点位于x = -6cm =——， 2 g _ 频率：八土 周期：T = 171
振动和波知识点 34. 弹簧振子、简谐振动、简谐振动的振幅、周期和频率， 简谐振动的图像。* 弹簧振子---小球所受的摩擦力忽略不计，弹簧的质量忽略不 计，这样的系统叫弹簧振子。 简谐振动---物体在跟偏离平衡位置的位移的大小成正比，并且总指向平衡位置的回复力的、 作用下的振动。 F = - k x 简谐振动的振幅---震动物体离开平衡位置的最大距离，叫做振动的振幅。 ---能表示震动的强弱。 周期和频率---简谐振动物体完成一次全振动所需要的时间，叫做振动的周期。 ---单位时间内完成的全振动的次数，叫做振动的频率。 固有频率---简谐运动的频率由振动系统本身的性质所决定，与振幅无关，这个频率叫做固 有频率。例如：弹簧振子的频率只与劲度系数和振子的质量决定与振幅无关。 简谐振动的图像---简谐振动的位移（相对于平衡位置的位移）---时间的图像，叫做~~~。 起始的时间不同 35.单摆、在小振幅条件下单摆作简谐振动、周期公式。* 单摆---如果悬挂小球的细线的伸缩和质量可以忽略，线长又比小球的直径大得多，这样的 装置叫做单摆。摆角很小时单摆作简谐振动。此时有：l x ≈ θsin 回复力---重力沿切线方向的分量。x l mg F - = kx F -= 周期公式---g l T π2= 周期为2秒的单摆叫做秒摆 用单 2 24T l g π= 36.振动中的能量转化。振幅越大振动的能量就越大，在振动过程中动能和势能发生相互转化，在平衡位置时的动能最大，在位移最大处的势能最大，动能为零。 37.自由振动和受迫振动，受迫振动的频率、共振及其常见的应用。 阻尼振动实际的震动系统不可避免地受到摩擦和其它阻力，即受到阻尼的作用，系统克服阻尼的作用做功，系统的机械能随着时间逐渐减少，振动的振幅逐渐减少，待到能量耗尽之时，振动就停下来了，这种振幅逐渐减小的振动，叫做阻尼振动。
精心整理 1-1???一个物体放在水平台面上，当台面沿铅垂方向作频率为5 Hz的简谐振动时，要使物体不跳离平台，对台面的振幅应有何限制? 解：物体与桌面保持相同的运动，知桌面的运动为 ， x=A sin10πt????； ???????? 既有 , ，得到，mm 有一作简谐振动的物体，它通过距离平衡位置为cm 解： 设该简谐振动的方程为； ； A=10.69cm；1/s；T=s 当时，取最大，即： 得： 答：振动周期为2.964s；振幅为10.69cm；最大速度为22.63m/s。
1-3?一个机器内某零件的振动规律为，x的单位是cm，1/s?。 这个振动是否为简谐振动?试求它的振幅、最大速度及最大加速度，并用旋转矢量表示这三者之间的关系。 解： ????????振幅A=0.583 ??????最大速度??? 已知以复数表示的两个简谐振动分别为和，试求它们的合成的复数表示式， 解：两简谐振动分别为，， 则：=3cos5t+3isin5t =5cos(5t+)+3isin(5) 或； 其合成振幅为：= 其合成振动频率为5t，初相位为：=arctan 则他们的合成振动为：?实部：cos(5t+?arctan) ????????????????????????????????????虚部：sin(5t+?arctan)
1-6将题1-6图的三角波展为傅里叶级数。 解∶三角波一个周期内函数x?(t)可表示为 ?， 由式得??????????????????????????????????????????????????????????n=1，2，3…… 1-7 ， ,???? ?????； ?????P(t)平均值为0
第九章振动复习题 1． 一轻弹簧，上端固定，下端挂有质量为m 的重物，其自由振动的周期为T ．今已知振子离开平衡位置为x 时，其振动速度为v ， 加速度为a ．则下列计算该振子劲度系数的公式中，错误的是： (A) 2 max 2max /x m k v =． (B) x mg k /=． (C) 22/4T m k π=． (D) x ma k /=． ［ B ］ 2． 一长为l 的均匀细棒悬于通过其一端的光滑水平固 定轴上，（如图所示），作成一复摆．已知细棒绕通过其一端的轴的转动惯量23 1ml J =，此摆作微小振动的周期为 (A) g l π2. (B) g l 22π. (C) g l 322π . (D) g l 3π . ［ C ］ 3． 把单摆摆球从平衡位置向位移正方向拉开，使摆线与竖直方向成一微小角度 ，然后由静止放手任其振动，从放手时开始计 时．若用余弦函数表示其运动方程，则该单摆振动的初相为 (A) ． (B) /2． (C) 0 ． (D) ． ［ C ］ 4． 两个质点各自作简谐振动，它们的振幅相同、周期相同．第一个质点的振动方程为x 1 = A cos(t + )．当第一个质点从相对于其平衡位置的正位移处回到平衡位置时，第二个质点正在最大正位移处．则第二个质点的振动方程为 (A) )π2 1cos(2++=αωt A x ． (B) )π2 1cos(2-+=αωt A x ． l
(C) ) π2 3 cos(2-+=αωt A x ． (D) )cos(2π++=αωt A x ． ［ B ］ ［ ］ 6. 一质点作简谐振动．其运动速度与时间 的曲线如图所示．若质点的振动规律用余弦函数描述，则其初相应为 (A) /6． (B) 5/6． (C) -5/6． (D) -/6． (E) -2/3． ［ ］ 7. 一个弹簧振子和一个单摆（只考虑小幅度摆动），在地面上的固有振动周期分别为T 1和T 2．将它们拿到月球上去，相应的周期分别为1T '和2T '．则有 (A) 11T T >'且22T T >'． (B) 11T T <'且22T T <'． (C) 11T T ='且22T T ='． (D) 11T T ='且22T T >'． ［ D ］ 8. 一弹簧振子，重物的质量为m ，弹簧的劲度系数为k ，该振子作振幅为A 的简谐振动．当重物通过平衡位置且向规定的正方向运动 时，开始计时．则其振动方程为： (A) )21/(cos π+=t m k A x (B) )2 1/cos(π-=t m k A x (C) )π21/(cos +=t k m A x (D) )2 1/cos(π-=t k m A x (E) t m /k A x cos = ［ B ］ 9. 一质点在x 轴上作简谐振动，振辐A = 4 cm ，周期T = 2 s ，其平衡位置取作坐标原点．若t = 0时刻质点第一次通过x = -2 cm 处，且向x 轴负方向运动，则质点第二次通过x = -2 cm 处的时刻为 (A) 1 s ． (B) (2/3) s ． (C) (4/3) s ． (D) 2 s ． ［ B ］ 10．一物体作简谐振动，振动方程为)4 1cos(π+=t A x ω．在 t = T /4 （T 为周期）时刻，物体的加速度为 (A) 2221ωA -． (B) 222 1 ωA ． (C) 232 1ωA -． (D) 232 1 ωA ． ［ B ］ v (m/s)t (s)O m m v 21
2019高三物理振动和波知识点归纳 精品学习高中频道为各位同学整理了高三物理振动和波知识点归纳，供大家参考学习。更多各科知识点请关注新查字典物理网高中频道。 振动和波(机械振动与机械振动的传播) 1.简谐振动F=-kx {F:回复力，k:比例系数，x:位移，负号表示F的方向与x始终反向} 2.单摆周期T=2(l/g)1/2 {l:摆长(m)，g:当地重力加速度值，成立条件:摆角100;lr｝ 3.受迫振动频率特点：f=f驱动力 4.发生共振条件:f驱动力=f固，A=max，共振的防止和应用〔见第一册P175〕 5.机械波、横波、纵波〔见第二册P2〕 6.波速v=s/t=f=/T{波传播过程中，一个周期向前传播一个波长;波速大小由介质本身所决定} 7.声波的波速(在空气中)0℃：332m/s;20℃:344m/s;30℃:349m/s;(声波是纵波) 8.波发生明显衍射(波绕过障碍物或孔继续传播)条件：障碍物或孔的尺寸比波长小，或者相差不大 9.波的干涉条件：两列波频率相同(相差恒定、振幅相近、振动方向相同) 10.多普勒效应:由于波源与观测者间的相互运动，导致波源发射频率
与接收频率不同{相互接近，接收频率增大，反之，减小〔见第二册P21〕｝ 注： (1)物体的固有频率与振幅、驱动力频率无关，取决于振动系统本身; (2)加强区是波峰与波峰或波谷与波谷相遇处，减弱区则是波峰与波谷相遇处; (3)波只是传播了振动，介质本身不随波发生迁移,是传递能量的一种方式; (4)干涉与衍射是波特有的; (5)振动图象与波动图象; (6)其它相关内容：超声波及其应用〔见第二册P22〕/振动中的能量转化〔见第一册P173〕。
2008年振动力学期末考试试题 第一题（20分） 1、在图示振动系统中，已知：重物C 的质量m 1，匀质杆AB 的质量m 2，长为L ，匀质轮O 的质量m 3，弹簧的刚度系数k 。当AB 杆处于水平时为系统的静平衡位置。试采用能量法求系统微振时的固有频率。 解： 系统可以简化成单自由度振动系统，以重物C 的位移y 作为系统的广义坐标，在静平衡位置时 y ＝0，此时系统的势能为零。 AB 转角：L y /=? 系统动能： m 1动能：2112 1 y m T = m 2动能：2222222 22222)3 1(21))(31(21)31(2121y m L y L m L m J T ====? ω m 3动能：2322 32333)2 1(21))(21(2121y m R y R m J T ===ω 系统势能： 221)2 1 (21)21(y k y g m gy m V ++-= 在理想约束的情况下，系统的主动力为有势力，则系统的机械能守恒，因而有： E y k gy m gy m y m m m V T =++-++= +2212321)2 1 (2121)2131(21 上式求导，得系统的微分方程为： E y m m m k y '=+++) 2 1 31(4321 固有频率和周期为： ) 2 131(43210m m m k ++= ω 2、质量为m 1的匀质圆盘置于粗糙水平面上，轮缘上绕有不可伸长的细绳并通过定滑轮A 连在质量为m 2的物块B 上；轮心C 与刚度系数为k 的水平弹簧相连；不计滑轮A ，绳及弹簧的质量，系统自弹簧原长位置静止释放。试采用能量法求系统的固有频率。 解：系统可以简化成单自由度振动系统，以重物B 的位移x 作为系统的广义坐标，在静平衡位置时 x ＝0，此时系统的势能为零。 物体B 动能：2212 1 x m T =
振动与波练习题2005 一、填空题 1.一物体作简谐振动，振动方程为x = A cos (ωt+π/ 4 )。在t =T / 4 (T 为周期)时刻，物 体的加速度为 . 2.一质点沿x 轴作简谐振动，振动方程为x = 4×10－2 cos (2πt + 3 1 ) (SI) 。从t = 0 时刻起，到质点位置在x = －2 cm 处，且向x 轴正方向运动的最短时间间隔为 3.已知两个简谐振动曲线如图1所示。x 的位相比x 的位相为 . (A) 落后π/2 （B ）超前π/2 (C) 落后π (D) 超前π 图1 图2 4.一质点作简谐振动，周期为T 。质点由平衡位置向X 轴正方向运动时，由平衡位置 到二分之一最大位移这段路程所需要的时间为 5.一平面简谐波，沿x 轴负方向传播。圆频率为ω，波速为u 。设t ＝ T/4时刻的波 形如图2所示，则该波的表达式为 。 6.当机械波在媒质中传播时，一媒质质元的最大变形量发生在 位置处。 7.如图3所示两相干波源S 1和S 2相距λ/4，（λ为波长）S 1的位相比S 2的位相超前π/2, 在S 1，S 2的连线上，S 1外侧各点（例如P 点）两波引起的两谐振动的位相差 是 . 8.一质点作简谐振动。其振动曲线如图4所示。根据此图，它的周期T ＝ ， 用余弦函数描述时初位相φ＝ 。 图3 图4 9.一物体同时参与同一直线上的两个简谐振动： x 1 = 0.05 cos (4πt +π/3 ) (SI) x 1 = 0.03 cos (4πt －2π/3 ) (SI) 合振动的振幅为 m. 10一平面简谐波沿X 轴正方向传播，波速u = 100 m/s ，t = 0时刻的波形曲线如图所 示。波长λ＝ ，振幅 A = ,频率ν ＝ 。
考试要求 1、弹簧振子，简谐振动．简谐振动的振幅、周期和频率，简称振动的振动图象．B 2、单摆，在小振幅条件下单摆作简谐振动，周期公式．B 3、振动中的能量转化．简谐振动中机械能守恒．A 4、受迫振动，受迫振动的振动频率．共振及其常见的应用．A 5、振动在介质中的传播——波．横波和纵波．横波的图象．波长、频率和波速的关系．B 6、波的叠加．波的干涉．衍射现象．A 7、声波．A 说明： 1、不要求会推导单摆的周期公式． 2、对于振动图象和波的图象，只要求理解它们的物理意义，并能识别它们． 3、波的衍射和干涉，只要求定性了解． 知识结构
方法指导 ——洪安生 机械振动和机械波是力学部分的最后一章，也可以说是力学知识的总结和应用．振动是一种复杂的运动，它的速度、加速度、动能、势能等都随时间变化，其中简谐运动是其中最简单的一种，它是一种周期性的运动．振动在介质中的传播就形成机械波，波动的更复杂的运动形式，首先它研究的不再是某一个质点，而是连续的弹性介质，对于波动过程中的每个质点，它的位移是
时间的周期性函数，而对于沿波传播方向上的各质点，它们的位移又是空间位置的周期性函数．两个周期（时间周期和空间周期）是这一部分重要的内容． 这部分的内容还比较多，如阻尼振动与无阻尼振动、受迫振动和共振、波的叠加、干涉和衍射等，这些内容不算重点内容，要求都不高，但也要知道它们的意义及简单应用等． 下面几个问题是本章的重点和难点： 1、振动、波动的联系和区别 （1）联系：振动在介质中的传播就形成波，可以说没有振动就没有波．在波动传播过程中，每一个质点都在振动，众多质点的振动形成波． （2）区别：对于单个质点而言，运动形式是振动．对于连续介质中的众多质点而言，就是波．对于单个质点，它的运动是周期性运动，即时间周期；而对于众多质点，还有个空间周期，即波长． 振动图像的纵坐标是位移，横坐标是时间，它表示的是某个质点的位移随时间变化的规律；波动图像的纵坐标是位移，横坐标是沿波传播方向上的位置，它表示的是沿波传播方向上各质点的位移随位置变化的规律． 有波，一定有振动，因为其中的每个质点都在振动；而有振动，却不一定有波，因为波要靠弹性介质传播，如果没有传播波的介质，即使振源在振动，也不会形成波． 2、简谐运动的规律 简谐运动是振动中最简单的一种，它是周期性的振动． 简谐运动的动力学条件是：受到的回复力跟位移成正比，方向跟位移方向相反，即． 简谐运动的运动学规律是随时间按正弦或余弦规律， 如：，，等等． 简谐运动的图像是正弦或余弦函数图像． 我们重点讲了两种简谐运动的模型，一个是弹簧振子，另一个是单摆．前者是真正的简谐运动，后者则只有在小振幅的条件下，可以近似看作简谐运动． 对于弹簧振子，要知道它是周期性运动，虽然不要求掌握弹簧振子的周期公式，但应知道弹簧振子的周期与振幅大小无关，而是决定于弹簧振子的本身结构，即决定于振子的质量和弹簧的劲度系数．还要掌握振子在每1/4个周期时间内的位移、速度、加速度、动能、势能等等是如何随时间的变化而变化的． 对于单摆，要知道它只有在小角度振动的情况下，才可以近似认为是简谐运动．单摆也具有等时性，要记住它的周期公式T=2π，式中是摆长（从悬点到摆球中心的距离）、是
物理知识点详解：振动和波 【】：温故而知新，大家只要做到这点，一定可以提高学习能力。小编为大家整理了物理知识点详解，方便同学们查看复习，希望大家喜欢。也希望大家好好利用。 振动和波(机械振动与机械振动的传播) 1.简谐振动F=-kx {F:回复力，k:比例系数，x:位移，负号表示F的方向与x始终反向} 2.单摆周期T=2π(l/g)1/2 {l:摆长(m)，g:当地重力加速度值，成立条件:摆角θlr｝ 3.受迫振动频率特点：f=f驱动力 4.发生共振条件:f驱动力=f固，A=max，共振的防止和应用〔见第一册P175〕 5.机械波、横波、纵波〔见第二册P2〕 6.波速v=s/t=λf=λ/T{波传播过程中，一个周期向前传播一个波长;波速大小由介质本身所决定} 7.声波的波速(在空气中)0℃： 332m/s;20℃:344m/s;30℃:349m/s;(声波是纵波) 8.波发生明显衍射(波绕过障碍物或孔继续传播)条件：障碍物或孔的尺寸比波长小，或者相差不大 9.波的干涉条件：两列波频率相同(相差恒定、振幅相近、振动方向相同) 10.多普勒效应:由于波源与观测者间的相互运动，导致波源
发射频率与接收频率不同{相互接近，接收频率增大，反之，减小〔见第二册P21〕｝ 注： (1)物体的固有频率与振幅、驱动力频率无关，取决于振动系统本身; (2)加强区是波峰与波峰或波谷与波谷相遇处，减弱区则是波峰与波谷相遇处; (3)波只是传播了振动，介质本身不随波发生迁移,是传递能量的一种方式; (4)干涉与衍射是波特有的; (5)振动图象与波动图象; (6)其它相关内容：超声波及其应用〔见第二册P22〕/振动中的能量转化〔见第一册P173〕。 【总结】：物理知识点详解就为大家介绍到这里了，希望大家在高三复习阶段不要紧张，认真复习，成功是属于你们的。
振动与波动 一、选择题 1. 弹簧振子作简谐振动，振幅为A ，周期为T ，其运动方程用余弦函数表示．若0t =时，振子在负的最大位移处，则初相为B (A) 0． (B) π． (C) 2 π． (D) 2 π- ． 2. 一质量为m 的物体和劲度系数为k 的轻弹簧组成的振动系统，若以物体通过-1/2振幅且向负方向运动为计时时刻，该系统的振动方程为A (A) 2)3 x A π=+ . (B) )3x A π =+. (C) cos(2)3 x A π =+. (D) 2)3 x A π =+. 3. 图中所画的是两个简谐振动的振动曲线．若这两个简谐振动可叠 加，则合成的余弦振动的初相为 B (A) 32π. (B) π. (C) 12 π. (D) 0. 4. 0t =时，振子在位移为/2A 处，且向负方向运动，则初相的旋转矢量为 A 5. 一个质点作简谐运动，振幅为A ，在起始时刻质点的位移为2 A -，且向x 轴正方向运动，代表此简谐运动的旋转矢量为B 6. 两个质点各自作简谐振动，它们的振幅相同、周期相同．第一个质点的振动方程为
1cos()x A t ωα=+．当第一个质点从相对于其平衡位置的正位移处回到平衡位置时，第二个 质点正在最大正位移处．则第二个质点的振动方程为 B (A) 21cos()2x A t ωαπ=++. (B) 21cos()2 x A t ωαπ=+-. (C) 23 cos()2 x A t ωαπ=+-. (D) 2cos()x A t ωαπ=++. 7. 一物体作简谐振动，振动方程为1cos()4 x A t ωπ=+．在/4t T =（T 为周期）时刻，物体的加速度为 B (A) 2A ω． (B) 2ω． (C) 2A ω． (D) 2A ω． 8. 一物体作简谐振动，振动方程为1cos()4 x A t ωπ=+．在/2t T =（T 为周期）时刻，物体的加速度为 B (A) 2A ω． (B) 2ω． (C) 2A ω． (D) 2A ω． 9. 已知某简谐运动的振动曲线如图所示，则此简谐运动的运动方程为D (A) 222cos ππ33x t ??=-????. (B) 2 22cos ππ33x t ??=+????. (C) 422cos ππ33x t ??=-????. (D) 4 22cos ππ3 3x t ??=+????. 10. 一质点作简谐振动，周期为T ．当它由平衡位置向x 轴正方向运动时，从二分之一最大 位移处到最大位移处这段路程所需要的时间为 C (A) 12T ． (B) 8T ． (C) 6T ． (D) 4T ． 11. 把单摆摆球从平衡位置向位移正方向拉开，使摆线与竖直方向成一微小角度θ，然后由 静止放手任其振动，从放手时开始计时．若用余弦函数表示其运动方程，则该单摆振动的初相为 C (A) π． (B) 2 π ． (C) 0． (D) θ． 12. 一个弹簧振子和一个单摆（只考虑小幅度摆动），在地面上的固有振动周期分别为1T 和2T ．将它们拿到月球上去，相应的周期分别为1'T 和2'T ．则有 D (A) 11'T T >且22'T T >. (B) 11'T T <且22'T T <. (C) 11'T T =且22'T T =. (D) 11'T T =且22'T T >. 13. 一质点作简谐振动，已知振动周期为T ，则其振动动能变化的周期是 B (A) 4 T ． (B) 2 T ． (C) T ． (D) 2T ． 14. 一弹簧振子作简谐振动，当位移为振幅的一半时，其动能为总能量的 D
振动理论练习题 Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998
第1章练习题 题已知一弹簧质量系统的振动规律为x(t)=?t+?t (cm), 式中，?=10? (1/s)。 (1)求其振幅、最大速度、最大加速度和初相位；(2)以旋转矢量表示出它们之间的关系。 题如题图所示，一弹簧质量系统沿光滑斜面作自由振动，求其振动微分方程及固有频率。 题图题图 题一均质直杆，长为l，重力W，用2根长为h的铅直线挂成水平位置，见题图。试求此杆绕铅直轴oo1微幅振动的微分方程和它的固有周期。 题如题图，质量m1自高度l下落碰撞原在弹簧k下平衡的质量m2，为完全塑性碰撞，求碰撞后两质量的振动运动。 题图题图 题如题图，惯性矩为J的轮和轴，轴中心线与铅垂线有夹角?，盘上半径r处有一附加质量m，求轮和盘系统的固有振动周期。 题利用等效质量与刚度的概念求解题图示系统的固有频率。AB杆为刚性，本身质量不计。 题图题图 题两缸发动机的曲轴臂及飞轮如题图所示，曲轴相当于在半径r处有偏心质量m e，为平衡这一质量将平衡配重放在飞轮上，设所在位置同样距轴心r，求平衡配重所需质量。
题 用衰减振动法测定某系统的阻尼系数时，测得在40周内振幅由减少到。求此系统的相对阻尼系数?。 题 某洗衣机滚筒部分重14kN ，用四个弹簧对称支承，每个弹簧的刚度为k =80N ／mm 。 (1)试计算此系统的临界阻尼系数c c ；(2)这个系统装有四个阻尼缓冲器，每个阻尼系数c =·s ／mm 。试问此系统自由振动时经过多少时间后，振幅衰减到10％(3)衰减振动的周期是多少与不安装缓冲器时的振动周期作比较。 题 如题图,展开周期半正弦函数F (t )成傅里叶级数，求出所示弹簧质量系统在该F (t ) 作用下的响应。 题图 题图 题 求题图所示初始时静止的弹簧质量系统在力F (t )=F o e -bt 作用下的瞬态响应。 题 试求在t =0时，有冲量F 作用下，有阻尼弹簧质量系统的瞬态响应峰值x m 及其出现时间t m 。 题 弹簧质量系统30o 光滑斜面降落，如题图所示。自弹簧开始接触底面到离开为止，求所需的时间为多少 题图 题图 题 无阻尼单自由度质量弹簧m-k 系统，受题图所示力的作用， 记x s =F 0/k ，m k n /2 =ω， 求证，在t < t 0 内，有 )sin (1 )(0 t t t x t x n n n s ωωω-= 在t > t 0内， 有 )(cos ]sin )([sin 1)(000 t t t t t t x t x n n n n s -+--=ωωωω。 题 如题图,为车辆行驶通过曲线路面模型，设道路曲面方程为：)2cos 1(x l a y s π -=，求： 1）车辆通过曲线路面时的振动；2）车辆通过曲线路面后的振动。 题图 题图
振动和波 （一）专项训练 【例题精选】 例1一弹簧振子作简谐振动，周期为T，则： A．若t时刻和() t t +?时刻振子运动位移的大小相等，方向相同，则?t一定等于T 的整数倍 B．若t时刻和() +?时刻振子运动位移的大小相等，方向相反，则?t一定等于T/2 t t 的整数倍 C．若?? =+ ，则时刻和()时刻振子运动的加速度一定相等 t T t t t D．若?? /() 2，则在时刻和时刻弹簧的长度一定相等 =+ t T t t t 分析：弹簧振子作简谐振动图象如图所示，图线上A点与B、E、F、I等点所对应的时刻振子位移大小相等，方向相同，由横轴看可知，A点与E、I等点对应的时刻差为T或T 的整数倍，而A点与B、F等点对应的时刻差不是T或T的整数倍，因此A选项不正确。 A点与C、D、G、H等点所对应时刻振子位移大小相等，方向相反，由横轴看可知，A 点与C、G等点所对应时刻差为T/2或T/2的奇数倍，A点与D、H等点所对应时刻差不是T/2或T/2的奇数倍，选项B不正确。 如果t t t +?时刻差为一个周期，则这两个时刻振动情况完全相同，加速度一时刻与() 定相等，选项C是正确的。 如果t t t T +?2，这两个时刻振动的位移大小相等，方向相反，振子分时刻与相差 ()/ 别位于平衡位置两侧，弹簧的长度显然不相等，选项D是错误的。 答案：C。 例2作简谐振动的弹簧振子振动图象如图所示，下列说法中正确的是 A．t=0时，质点位移为零，速度为零，加速度为零 B．t=1s时，质点位移最大，速度为零，加速度最大 C．t1和t2时刻振子具有相同的动能和动量 D．t3和t4时刻振子具有相同的加速度 E．5秒内振子通过的路程是25cm，而位移是5cm。
《振动力学》——习题 第二章 单自由度系统的自由振动 2-1 如图2-1 所示，重物1W 悬挂在刚度为k 的弹簧上并处于静止平衡位置，另一重物2W 从高度为h 处自由下落到1W 上且无弹跳。试求2W 下降的最大距离和两物体碰撞后的运动规律。 解： 2 22221v g W h W = ，gh v 22= 动量守恒： 122 122v g W W v g W +=，gh W W W v 221212+= 平衡位置： 11kx W =，k W x 1 1= 1221kx W W =+，k W W x 2 112+= 故： k W x x x 2 1120= -= ()2 121W W kg g W W k n +=+= ω 故： t v t x t x t x x n n n n n n ωωωωωωsin cos sin cos 12 000+ -=+-= x x 0 x 1 x 12 平衡位置
2-2 一均质等直杆，长为l ，重量为w ，用两根长h 的相同的铅垂线悬挂成水平位置，如图2-2所示。试写出此杆绕通过重心的铅垂轴做微摆动的振动微分方程，并求出振动固有周期。 解：给杆一个微转角θ 2a θ＝h α 2F ＝mg 由动量矩定理： a h a mg a mg Fa M ml I M I 822cos sin 12 1 2 2-=-≈?-=== =αθ αθ 其中 1 2c o s s i n ≈≈θ αα h l ga p h a mg ml n 2 22 22304121==?+θθ g h a l ga h l p T n 3π23π2π22 2= == 2-3 一半圆薄壁筒，平均半径为R , 置于粗糙平面上做微幅摆动，如图2-3所示。试求 其摆动的固有频率。
高中物理振动和波公式总结 高中物理振动和波公式 1.简谐振动F=-kx {F：回复力，k：比例系数，x：位移，负号表示F的方向与x始终反向} 2.单摆周期T=2π(l/g)1/2 {l：摆长(m)，g：当地重力加速度值，成立条件：摆角θ<100;l>>r｝ 3.受迫振动频率特点：f=f驱动力 4.发生共振条件：f驱动力=f固，A=max，共振的防止 和应用 5.机械波、横波、纵波：波就是振动的传播，通过介质 传播。在同种均匀介质中，振动的传播是匀速直线运动，这 种运动，用波速V表征。对于匀速直线运动，波速V不变(大小不变，方向不变)，所以波速V是一个不变的量。介质分 子并没有随着波的传播而迁移，介质分子的永不停息的无规 则的运动，是热运动，其平均速度为零。 6.波速v=s/t=λf=λ/T{波传播过程中，一个周期向前传播一个波长;波速大小由介质本身所决定} 7.声波的波速(在空气中)0℃332m/s;20℃： 344m/s;30℃：349m/s;(声波是纵波) 8.波发生明显衍射(波绕过障碍物或孔继续传播)条件：障碍物或孔的尺寸比波长小，或者相差不大 9.波的干涉条件：两列波频率相同(相差恒定、振幅相
近、振动方向相同) 10.多普勒效应：由于波源与观测者间的相互运动，导 致波源发射频率与接收频率不同{相互接近，接收频率增大，反之，减小｝ 高中物理振动和波知识点 1.简谐运动 (1)定义：物体在跟偏离平衡位置的位移大小成正比， 并且总是指向平衡位置的回复力的作用下的振动，叫做简谐 运动. (2)简谐运动的特征：回复力F=-kx，加速度a=-kx/m，方向与位移方向相反，总指向平衡位置. 简谐运动是一种变加速运动，在平衡位置时，速度最大，加速度为零;在最大位移处，速度为零，加速度最大. (3)描述简谐运动的物理量 ①位移x：由平衡位置指向振动质点所在位置的有向线 段，是矢量，其最大值等于振幅. ②振幅A：振动物体离开平衡位置的最大距离，是标量，表示振动的强弱. ③周期T和频率f：表示振动快慢的物理量，二者互为 倒数关系，即T=1/f. (4)简谐运动的图像 ①意义：表示振动物体位移随时间变化的规律，注意振