学 习 资 料 专 题
2019学年度第一学期高二年级10月月考测试卷数学
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知直线l 经过(sin 20,0),(0,cos20)A B ??，则直线l 的倾斜角为 （ ）
A ．20°
B ．70°
C ．160°
D ．110°
2.下列说法不是线面位置关系的性质定理的是（ ）
A ．,//a b a b αα⊥⊥?
B ．//,,///a a b a b αβαβ?=?
C ．,//a a b b αα⊥?⊥
D ．,,a b a αβααββ⊥?=?⊥
3.已知两条直线1:10l ax y ++=与2:10l x ay ++=互相平行，则a =( )
A ．1±
B ．-1
C ．1,0
D ．-1,0
4.在正三棱样111ABC A B C -中，1AB =，则异面直线1CB 与1AB 所成的角是（ ）
A ．60°
B ．75° C.90° D ．105°
5.过平面α外一点A 作α的两条互相垂直的斜线AB 、AC ，它们与面α所成的角分别为15°和75°，则ABC ?的内角B=（ ）
A ．75°
B ．15° C.30° D ．60°
6.点P 是直线51280x y -+=上一点，O 为坐标原点，则OP 的最小值为（ ）
A ．13
B ．813 C.8 D ．138
7.已知点A （1，1），B （3，5）到经过点（2，1）的直线l 的距离相等，则l 的方程为 （ ）
A ．230x y --=
B ．2x = C.230x y --=或2x = D ．以上都不对
8.四面体ABCD 的棱长AB=CD=6 ）
A ．65
B ．125．
9.在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，E 是PC 中点，则平面ABE 分该四棱锥的两部分的体积比是（ ）
A ．2:3
B ．2:5 C.3:5 D ．3:8
10.在三棱锥P-ABC 中，PA ⊥面ABC ，AB ⊥AC 且AC=1，AB=2，PA=3，过AB 作截面交PC 于D ，则截面ABD 的最小面积为（ ）
A ．10
B ．5 C.10 D ．5
11.设点M 是棱长为2的正方体的棱AD 的中点，P 是平面11BCC B 内一点，若面1D PM 分别与面ABCD 和面11BCC B 所成的锐二面角相等，则1PC 长度的最小值是（ ）
A ．5
B ．2 C.3
D ．1 12.已知异面直线a,b 成70°角，A 为空间中一点，则过A 且a,b 都成55°的平面个数有（ ）
A ．1
B ．2 C.3 D ．4
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知直线l 经过A （-1，2）且原点到直线l 的距离为1，则l 的方程为 ．
14.一个几何体的三视图如图，则它的体积为 ．
15.已知二面角 l αβ--为60°，P 为二面角内一点，PA α⊥，PB β⊥，垂足分别为A 和B 且PA=PB=3，则P 到棱l 的距离为 ．
16.在三棱锥A-BCD 中，45BAC BAD CAD ∠=∠=∠=?，点P 到三个侧面的距离均等于
PA= ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知直线垂直于直线:3260l x y '+-=，且在两坐标轴上的截距之和为-2，求直线l 的
方程.
18. 在四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥面ABCD ，90,//,2,BAD AB CD PA AD AB E ∠=?==是PC 中点.
(1)求证：BE//面PAD ；
（2）求证：BE ⊥面PCD.
19. 如图，在三棱锥P-ABC 中，PB ⊥AC ，PB 与底面ABC 成30°角，PAC ?的面积为1.
(1)若PC ⊥AB ，求证：P 在底面ABC 的射影H 是ABC ?的垂心;
(2)当二面角P-AC-B 为多少时，ABC ?的面积最大？
20. 已知直线l 经过点P （2，2）且分别与x 轴正半轴，y 轴正半轴交于A 、B 两点，O 为坐标原点.
(1)求AOB ?面积的最小值及此时直线l 的方程；
(2)求||||PA PB ?的最小值及此时直线l 的方程.
21. 在边长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是棱CC 1的中点.
(1)求B 到面1AMB 的距离；
(2)求BC 与面1AMB 所成角的正切值；
(3)求面1AMB 与面ABCD 所成的锐二面角的余弦值.
22.如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为菱形，PA ⊥面ABCD ，PA=AB=2，60BAD ∠=?.
（1）求证：面PBD ⊥面PAC ；
（2）求AC 与PB 所成角的余弦值；
（3）求二面角D PC B --的余弦值.
试卷答案
一、选择题
1-5:DCBCB 6-10:BCCCC 11、12：AA
二、填空题
13. 1x =或3450x y +-= 14. 36 15.6 16.3
三、解答题
17.解：设:230l x y c -+=，令03c x y =?=，令02c y x =?=- 由题意知：212.326
c c c c -==-?= 故:23120l x y -+= 18.证明：（1）取PD 中点F ，连接EF ，AF ，则//EF AB ?
////BE AF AF PAD BE PAD BE PAD ????????
面面面
（2）由题意知：CD PAD CD AF AF PAD ⊥??⊥???
面面 AF CD AF PD AF PCD BE PCD CD PD D ⊥??⊥?⊥?⊥??=?
面面
19.（1）证明：由题意知：,AC PB
AC PH AC PBH BH PBH AC BH PB PH P ⊥??⊥?⊥??⊥??=?
面面
同理：AB ⊥CH ，所以H 为ABC ?的垂心；
（2）过B 作BD ⊥AC 于D ，连接PD ，由（1）知：∠PDB 即为二面角P-AC-B 的平面角，记∠PDB=θ， 在PBD ?中，30PBD ∠=? 1sin 22sin(30)21sin 2
ABC
PAC AC BD S BD BPD S PD PBD
AC PD θ????∠====+?≤?? 当且仅当60θ=?时等号成立. 20.设:
1x y l a b +=，则22:1(2)(2)4l a b a b +=?--=
（1）2
11281122AOB S ab a b ??? ?=≥?= ? ?+??，当且仅当4a b ==时，等号成立，即:40l x y +-= （2
）||||PA PB ?==
8≥=，当且仅当4a b ==时等号成立，即:40l x y +-=
21.（1）法1 11111133
B AMB A BMB AMB MBB V V S h S AB --??==?=? 4343
h h ?=?= 法2 连接A 1B 交AB 1于E ，D 1C 交MN 于F ，连接EF ，过B 作BH ⊥EF ，垂足为H ，则BH 即为所求. 如图，易知：BH=
43
.
（2）设B 1M 和AM 的延长线相交于G ，由（1）知BGH ∠即为所求
.
1sin tan 34
BH BGH BGH BG ∠==?∠=
(3)法1 过B 作BE ⊥AN ，垂足为E ，连接B 1E ，则1BEB ∠即为所求
. 1112tan cos 3
BB BE BEB BEB ==∠?=∠
法2 取A 1D 1中点F ，连接BF ，则∠FBB 1即为所求.
112cos 3B F B B B BF =
=∠ 法3 12cos 3
ABC AMB S S θ??==
.
22.(1)证明：BD AC BD PA BD PAC AC PA A ⊥??⊥?⊥??=?
面
又BD PAC PAC PBD BD PBD ⊥??⊥???
面面面面 （2）法1：如图
cos 4PBE ∠== 法
2cos cos30cos 454θ=??=
（3）过B作BF⊥PC，垂足为F，连接DF
由（1）知：BD⊥PC，所以PC BD
PC BF PC BDF PC DF
BD BF B
⊥?
?
⊥?⊥?⊥
?
?
=?
面，则
∠BFD即为所求，
77
41 cos
7 BFD
+-
?∠==-