第五章 机械振动
5-1一远洋货轮，质量为t M 4102?=，浮在水面对其水平截面积为23102m S ?=。设在水面附近货轮的截面积与货轮高度无关，试证明此货轮在水中的铅直自由运动是简谐振动，并求其自由振动的周期。
解：取固定坐标xOy ，坐标原点O 在水面上（图题所示）
设货轮静止不动时，货轮上的A 点恰在水面上，则浮力为S ρga .这时 ga s Mg ρ= 往下沉一点时，
合力 )(y a g s Mg F +-=ρ gy s ρ-=. 又 2
2d d t
y M
Ma F ==
故0d d 2
2=+gy s t
y M
ρ
02
2=+
y M
g s dt
dy ρ
故作简谐振动 M g
s ρω
=
2
)(35.68
.91010210
10222233
3
4
s g
s M T =?????===π
ρπ
ω
π
5-2 重物A 的质量M=1kg ，放在倾角0
30=θ的光滑斜面上，并用绳跨过定滑轮与劲度系数
1
49-?=m
N k 的轻弹簧连接，如习题5-2图所示，将物体由弹簧未形变的位置静止释放，
并开始计时，试求:
（1）不计滑轮质量，物体A 的运动方程;
（2）滑轮为质量M ，半轻r 的均质圆盘，物体A 的运动方程。
解：取物体A 为研究对象，建立坐标Ox 轴沿斜面向下，原点取在平衡位置处，即在初始位置斜下方距离l 0处，此时：
)(1.0sin 0m k
mg l ==
θ
(1)
习题5-1图
(1) A 物体共受三力；重mg, 支持力N, 张力T.不计滑轮质量时，有 T =kx
列出A 在任一位置x 处的牛顿方程式
22
0d d )(sin sin t
x m
x l k mg T mg =+-=-θθ
将（1）式代入上式，整理后得
0d d 22
=+
x m
k t
x
故物体A 的运动是简谐振动，且)rad/s (7==
m
k ω
由初始条件,000??
?=-=v l x 求得,1.00?
??===π?m
l A 故物体A 的运动方程为 x =0.1cos(7t+π)m
(2) 当考虑滑轮质量时，两段绳子中张力数值不等，如图所示，分别为T 1、T 2,则对A 列出任一位置x 处的牛顿方程式为:
22
1d d sin t
x m
T mg =-θ (2) 对滑轮列出
转
动
方
程为：
2
2
221d d 2121t x Mr r
a
Mr J r T r T =??? ??==-β (3) 式中,T 2=k (l 0+x ) （4） 由式（3）、(4)知22
01d d 21)(t
x M x l k T +
+=代入(2)式知
2
2
021)(sin dt
x
d m M x l k mg ??? ??+=+-θ 又由（1）式知0sin kl mg =θ
故0d d )
2
1(2
2
=++kx t
x m M
即
0)
2
(
d d 2
2
=++x m M k
t
x
习题5-2图
m
M k +=
22
ω
可见，物体A 仍作简谐振动，此时圆频率为：rad/s)(7.52=+=
m
M k ω
由于初始条件：0,000=-=v l x
可知，A 、?不变，故物体A 的运动方程为:
m t x )7.5cos(1.0π+=
由以上可知：弹簧在斜面上的运动，仍为简谐振动，但平衡位置发生了变化，滑轮的质量改变了系统的振动频率.
5-3质点作简谐振动的振动曲线如习题5-3图所示，试根据图得出该质点的振动表达式。 解：简谐振动的振动表达式：)cos(?ω+=t A x
由题图可知，m 1042-?=A ,当t=0时，将m 1022-?=x 代入简谐振动表达式，得：
2
1cos =
?
由)sin(?ωωυ+-=t A ,当t=0时，?ωυsin A -= 由图可知，υ>0,即0sin
1cos =?,取3
π
?-
=
又因:t=1s 时，,1022
m x -?=将其入代简谐振动表达式，
得
213cos ,3cos 42=??? ?
?
-??
? ?
?
-
=πωπω
由t=1s 时,???
??
-
-=3sin πωωυA <0知，03sin >??
? ??
-πω,取33ππω=-， 即 s 32πω=
质点作简谐振动的振动表达式为
m t x ??? ??-?=-33
2
cos 10
42
ππ
5-4在一个电量为Q ，半径为R 的均匀带电球中，沿某一直径挖一条隧道，另一质量为m
，
习题5-3图
电量为-q 的微粒在这个隧道中运动，试求证该微粒的运动是简谐振动，并求出振动周期(设带电球体介电常数为0ε)。
解：以该球的球心为原点，假设微粒在某一任意时刻位于遂道中的位矢为r
，由高斯定理可
知3
04R
r Q E πε =
,则微粒在此处受电场力为:r R
Qq F
3
04πε-
=
式中，负号表明电场F 的方向与r
的正方向相反，指向球心.由上式及牛顿定律，得：
4d d 04d d 0
43
02
2
3
02
2
3
0=+
?
=+
=+
r mR
Qq t
r r R
Qq t
r m
r R
Qq F πεπεπε 令 m
R Qq 3
02
4πεω
=
则
0d d 2
2
2
=+r t
r ω
故微粒作简谐振动，平衡点在球心处.由ω
π
2=
T 知: Qq
mR T 3
042πεπ=
5-5如习题5-5图所示，有一轻质弹簧，其劲度系数k=5001
-?m
N ，上端固定，下端悬挂一
质量M=4.0kg 的物体A ，在物体A 的正下方h=0.6m 处，以初速度1
010.4-?=s m v 的速度向
上抛出一质量m=1.0kg 的油灰团B ，击中A 并附着于A 上。 （1）证明A 与B 作简谐振动;
（2）写出它们共同作简谐振动的振动表达式; （3）弹簧所受的最大拉力是多少?(取2
10-?=s m g ，弹簧未挂重物时，其下端端点位
于/
O 点)
解：（1）取弹簧原长所在位置为O '点.当弹簧挂上物体A 时，处于静止位置P 点，有：
P O k Mg '=
将A 与B 粘合后，挂在弹簧下端，静止平衡所在位置O 点，取O 点为原坐标原点如图题5-5所示，则有：g m M O O k )(+='
设当B 与A 粘在一起后，在其运动过程的任一位置，弹簧形变量x O O +',则A 、B 系统所受合力为：
kx x O O k g m M F -=+'-+=)()(
即 0d d )(2
2
=++kx t
x m M
可见A 与B 作简谐和振动. (2) 由上式知，rad/s)(10=+=
m
M k ω
以B 与A 相碰点为计时起点，此时A 与B 在P 点，由图题5-5可知
k
mg k
Mg g k
m M P O O O OP =-
+=
'-'=
则t=0时，m 02.00-=-
=-=k
mg OP x (负号表P 点在O 点上方)
又B 与A 为非弹性碰撞，碰撞前B 的速度为:m/s 222
0101=-='gh υυ
碰撞后，A 、B 的共同速度为：m/s 4.0010=+'=m
M m υυ （方向向上）
则t=0时，???=-=s m m
x /4.002.00
0υ
可求得：)m (0447.02
202
=+
=ω
υx A
πω
υ?65.0arctan 00
=???
?
??-=x 可知A 与B 振动系统的振动表达式为：m t x )65.010cos(0447.0π+= (3) 弹簧所受的最大拉力，应是弹簧最大形变时的弹力，最大形变为：
m A g k
m M A O O x 1447.0=++=
+'=?
则最大拉力 N 4.72max ==x k F ?
5-6 一物体竖直悬挂在劲度系数k 的弹簧上简谐振动，设振幅A=0.24m ，周期T=4.0s ，开始时在平衡位置下方0.12m 处向上运动。求: (1)物体作简谐振动的振动表达式
;
习题5.5图
(2)物体由初始位置运动到平衡位置上方0.12处所需的最短时间;
(3)物钵在平衡位置上方0.12m 处所受到的合外刀的大小及方向(设物体的质量为l.0kg)。 解：(1) 已知A=0.24m, 2
2π
πω=
=
T
,如选x 轴向下为正方向.
已知初始条件0m,12.000<=υx 即 3
,21c o s ,c o s 24.012.0π
???±
===
而 ,0sin ,0sin 0><-=??ωυA 取3
π
?=
,故：
m t x ??
?
??+
=32
cos 24.0ππ
(2) 如图题所示坐标中，在平衡位置上方0.12m, 即x=-0.12m 处，有
3
23
22132cos πππππ
±
=+
-
=??? ??+t t
因为所求时间为最短时间，故物体从初始位置向上运动，0<υ.故0)3
2sin(
>+π
π
t
则取
323
2
ππ
π
=+
t
可得：s t 32min =
(3) 物体在平衡位置上方0.12m 处所受合外力0.3N x m =-=ωF ,指向平衡位置.
5-7如习题5-7图所示，质量m=10g 的子弹，以1
1000-?=s m v 的速度射入一在光滑平面上与弹簧相连的木块，并嵌入其中，致使弹簧压缩而作简谐振动，若木块质量M=4.99kg ，弹簧的劲度系数1
3
108-??=m
N k ，求简谐振动的振动表达式。
解：子弹射入木块为完全非弹性碰撞，设u 为子弹射入木块后二者共同速度，由动量定理可知：
m/s)(0.2=+=
υm
M m u
不计摩擦，弹簧压缩过程中系统机械能守恒，即：
2
02
2
1)(2
1kx u
m M =
+ （x 0为弹簧最大形变量）
m u k
m M x 2
010
0.5-?=+=
由此简谐振动的振幅 2
0100.5-?==x A
习题5-6图
系统圆频率rad/s)(40=+=
m
M k ω
若取物体静止时的位置O （平衡位置）为坐标原点，Ox 轴水平向右为正，则初始条件为： t =0时，x =0,0m/s 0.20>==u υ
由,sin ,cos 00?ωυ?A A x -==得：2
π
?-
=
则木块与子弹二者作简谐振动，其振动表达式为：
m t x )2
40cos(10
0.52
π
-
?=-
5-8 如习题5-8图所示，质量为m 1的光滑物块和弹簧构成振动系统，已知两弹簧的劲度系数分别为k 1=3.01-?m N ，k 2=1.01-?m N ，:此系统沿弹簧的长度方向振动，周朗T 1=1.0s ，振幅A 1=0.05m ，当物块经过平衡位置时有质量为m 2=0.10kg 的油泥块竖直落到物体上并立即粘住，求新的振动周期T 2和振幅A 。
解：当物体m 1向右移动x 时，左方弹簧伸长x ，右方弹簧缩短x ，但它们物体的作用方向是相同的，均与物体的位移方向相反，即
)(21x k x k F +-=
令F =-kx ,有:N/m 421=+=k k k
由 k
m T π
2=
得)kg (1.0442
2
12
2
11≈=
=
π
π
k T k T m
则粘上油泥块后，新的振动系统质量为：
kg 20.021=+m m
新的周期 )s (4.122
12=+=k
m m T π
在平衡位置时，m 2与m 1发生完全非弹性碰撞. 碰撞前，m 1的速度m/s 10.0111πωυ==A 设碰撞后，m 1和m 2共同速度为υ. 根据动量守恒定律，
υυ)(2111m m m +=
则 m /s 05.0)
(2111πυυ=+=
m m m
新的振幅 m)(035.022
2==
=π
υω
υT
A
5-9质量为0.2kg 的质点作简谐振动，其振动方程为??
?
?
?
-
=25sin 60.0πt x ，
式中x 的单位为m ，t 的单位为s ，求: (1)振动周期;
(2)质点初始位置，初始速度; (3)质点在经过
2
A 且向正向运动时的速度和加速度以及此时质点所受的力;
(4)质点在何位置时其动能、势能相等？ 解：（1）由振动方程)2
5sin(60.0π
-=t x 知，5(rad/s)m,6.0==ωA
故振动周期： )s (26.1)s (256.15
22≈===πω
π
T
(2) t=0时，由振动方程得：
)2
5cos(0.3|m
60.0000=-
==
-==πυt dt
dx x t
(3) 由旋转矢量法知，此时的位相：3
π
?-
=
速度 m /s )
(6.2m /s )23
(560.0sin =-??-=-=?ωυA 加速度 )m/s (5.7m/s
2
1560.0cos 2
2
2
2
-=?
?-=-=?ωA a
所受力 N)(5.1N )5.7(2.0-=-?==ma F
（4）设质点在x 处的动能与势能相等，由于简谐振动能量守恒，即：
2
21kA E E E p k =
=+ 故有： )2
1(21212
kA E E E p k =
== 即
2
2
2
12
121kA kx
?=
可得： m)(42.02
2±=±
=A x
5-10手持一块平板。平板上放一质量m=0.5kg 的砝码，现使平板在竖直方向上振动，设这振动为简谐振动，频率v =2Hz ，振幅A=0.04m ，问: (1)位移最大时，砝码对平板的正压力多大? (2)以多大振幅振动时，会便砝码脱离平板?
(3)如果振动频率加快一倍，则砝码随板保持一起振动的振幅上限如何? 解：（1）砝码运动到最高点时，加速度最大，方向向下，由牛顿第二定律，有：
N mg ma
-=max
N 是平板对砝码的支持力.
故N)(74.1)4()()(22max =-=-=-=vA g m A g m a g m N πω
砝码对板的正压力与N 大小相等，方向相反.砝码运动到最低点时，加速度也是最大，但方向向上，由牛顿第二定律，有：
mg N ma -'=max
故 N)(1.8)4()(2
2max =+=+='A v g m a g m N π
砝码对板的正压力与板对砝码的支持力N '大小相等，方向相反. （2）当N=0时，砝码开始脱离平板，故此时的振幅应满足条件：
m)
(062.040)4(22
max max 2
==
=-=v
g A vA g m N ππ
(3) 由2
2
max 4v
g A π=
,可知，2
max v A 与成反比，当v v 2='时，
m 0155.04
1max max
=='A A
5-11有一在光滑水平面上作简谐振动的弹簧振子，劲度系数为k ，物体质量为m ，振幅为A ，当物体通过平衡位置时，有一质量为m'的泥团竖直落在物体上，并与之粘结在一起，求: (1)系统的振动周期和振幅; (2)振动总能量损失了多少?
(3)如果当物体达到振幅A 时，泥团竖直落在物体上，则系统的周期和振幅又是多？振动的总能量是否改变?物体系统通过平衡位置的速度又是多少? 解：（1）设振子过平衡位置时的速度为υ，由机械能守恒，有：
2
2
2
12
1υm kA
=
A m
k =
υ
由水平方向动量定理： ?='+υm u m m )(υm m m u '
+=
此后，系统振幅为A '，由机械能守恒，有：
2
2
)(2
121u m m A k '+=
'
得： A m m m A '
+=
'
有： k
m m T '+='π2
（2）碰撞前后系统总能量变化为：
)2
1
(
)1(
2
12
1212
2
2
2
kA m m m m m m kA kA
A k E '+'
-
=-'
+=
-
'=
?
式中，负号表示能量损耗，这是泥团与物体的非弹性碰撞所致.
（3）当m 达到振幅A 时，m '竖直落在m 上，碰撞前后系统在水平方向的动量均为零，因而系统的振幅仍为A ，周期为k
m m '+π
2，系统的振动总能量不变，为
2
2
1kA （非弹性碰
撞损耗的能量为源于碰撞前m '的动能）. 物体系统过平衡位置时的速度υ'由：
2
2
)(2
121υ''+=
m m kA
得： A m m k '
+±='υ
5-12一水平放置的简谐振子，如习题5-12a 图所示，当其从
2
A 运动到
2
A -的位置处（A 是
振幅）需要的最短时间为s t 0.1=?，现将振子竖直悬挂，如习题5-2b 图所示，现由平衡位置向下拉0.1m ，然后放手，让其作简谐振动，已知m=5.0kg ，以向上方向为x 轴正方向，t=0时，m 处于平衡位置下方且向x 轴负方向运动，其势能为总能量的0.25倍，试求: (1)振动的周期、圆频率、振幅; (2)t=0时，振子的位置，速度和加速度; (3)t=0时，振子系统的势能、动能和总能量; (4)振动的位移表达式。 解：（1）由放置矢量法可知，振子从
2
A 运动到
2
A -的位置处，
角相位的最小变化为：3
π
??=
则圆频率 r a d /s
3
π
???ω=
=
t
习题5-12图
周期 s T 62==
ω
π
由初始状态，在图示坐标中，初始条件为：m)(1.00
m
1.000=????=-=A x υ
则振幅 m 1.02
2020
=+
=ω
υx A
（2）因为E E p 41=
又 2
2
2
1,21kA E kx E p =
=
故
)2
1(412122
kA kx
=
得： m)(05.0±=x 根据题意，振子在平衡位置的下方，取x =－0.05m. 根据振动系统的能量守恒定律：
2
2
2
2
12
121kA m kx =
+
υ
故 )s m (091.01
2
2
-?±=-±=x A ωυ
根据题意，取m/s 091.0-=υ 再由 )s i n ()c o s (?ωωυ?ω+-=+=t A t t A x
)c o s (d d 2
?ωω
+-==
t A t
v a
x 2ω-= 得： )m /s (055.02
=a （3）t=0时，(J)108.681)21(4141
3
222-?===
=mA kA E E p ω
(J )10218
3)21(43433
222-?====mA kA E E k
ω (J )10
8.273
-?=+=p k E E E
（4）由简谐振动的振动表达式)cos(?ω+=t A x 当t=0时，0m/s 091.0m,05.000<-=-=υx ,可得：π?3
2=
又 3
,10.0π
ω=
=m A
故 m t x )3
2
3
c o s (1.0ππ+=
5-13作简谐振动的P 、Q 两质点，它们的振幅分别为m A p 2
100.5-?=，m A Q 2
10
0.2-?=，
圆频率都为1-?s rad π，初相位分别为3
π
?=P ，3
π
?-
=Q ，求:
(1)它们各自的振动位移表达式;
(2)当t=l s 时，它们的x 、v 、a 各是多少? (3)判断哪一个质点振动超前?
解：（1）据题意，两质点振动方程分别为：
m
t x m
t x Q P )3
cos(10
00.2)3
cos(1000.52
2
π
ππ
π-
?=+?=--
（2）P 、Q 两质点的速度及加速度表达分别为：
)m/s )(3
sin(10
00.52
π
πωυ+
??-==
-t dt dx P P
)m/s )(3
sin(10
00.22
ππωυ-
??-==
-t dt
dx Q Q
)m/s )(3
cos(10
00.52
2
2π
πωυ+
??-==
-t dt d a P P
)m/s )(3
cos(10
00.22
2
2ππωυ-
??-==
-t dt
d a Q Q
当t=1s 时，有：
)
(m/s 10
87.9/3
2cos
10
00.2)
(m/s 1068.24/34cos 1000.5(m/s)
1044.5/32sin
1000.2(m/s)
1060.13/34sin 1000.5(m)
1000.13
2cos
10
00.2)
(m 10
5.234cos 1000.52
2
2222
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
------------?=??-=?=??-=?-=??-=?=??-=?-=?=?=?=s
m a s m a s m s m m x m x Q P Q P Q P ππ
π
πππυππυππ
（3）由相位差
3
2)3
(3)()(ππ
π
???ω?ω??=
-
-=
-=+-+=Q P Q P t t
可见，P 点的相比Q 点的相位超前3
2π.
5-14一质量kg m 21000.1-?=的质点作振幅为A=m 21000.5-?的简谐振动，初始位置在位移
2
1A 处并向着平衡位置运动，每当它通过平衡位置时的动能k E 为J 51008.3-?。
(1)写出质点的振动表达式; (2)求出初始位置的势能。 解：（1）由题意得初始条件：
?????<=0210
0υA x 可得：3
π
?=
(由旋转矢量法可证出)
在平衡位置的动能就是质点的总能量
)
J (10
08.32
12
15
2
2
2
2
-?===
=?=A m kA
E m k m k ωω
ω
可求得：s rad m
E A
/2
21πω=
=
则振动表达式为：
m t x )3
2
cos(
10
00.52
π
π
+
?=-
(2) 初始位置势能
)3
2
(
cos 2
1212
222
π
π
ω+
=
=
t A m kx
E P
当t=0时，
3cos 212
2
2
π
ωA m E P =
J J 6
2
22
2
2
10
71.73
cos
)10
00.5()2
(
10
00.12
1---?=?????=π
π
5-15质量m=10g 的小球作简谐振动，其A=0.24m ，25.0=v Hz ，当t=0时，初位移为
m 1
10
2.1-?，并向着平衡位置运动，求:
(l)t=0.5s 时，小球的位置;
(2)t=0.5s 时，小球所受力的大小与方向; (3)从起始位置到cm x 12-=处所需的最短时间; (4)在cm x 12-=处小球的速度与加速度; (5)t=4s 时，p k E E ,以及系统的总能量。 解：（1）由初始条件：
??
?
102.1010υm
x 可知，3
π
?=
且 2
2π
πω==v
则振动表达式为：m t x )3
2cos(24.0π
π
+
=
当t=0.5s 时，
m m x 2
10
00.6)3
2
12
cos(
24.0-?-=+
?
=π
π
(2) t=0.5s 时，小球所受力：
(N)10
48.1)(3
2
-?=-==x m ma f ω
因t=0.5s 时，小球的位置在m x 21000.6-?-=处，即小球在x 轴负方向，而f 的方向是沿x 轴正方向，总是指向平衡位置.
(3) 从初始位置m x 10102.1-?=到m x 1
102.1-?-=所需最短时间设为t ，由旋转矢量法
知，
π
?π
?3
2,3
,0±
=±=处处x x
)s (3223=???
???
?
????????==t t πωπω (4) 因为 )3
2s i n (24.02)sin(π
ππ
?ωωυ+?-
=+-=t t A )3
2c o s (24.04)cos(2
2
π
ππ
?ωω+?-
=+-=t t A a 习题5-15图
在s t m x 3
2102.11=
?-=-处
)
3
2
cos(
24.04
)3
3
22
cos(
24.04
/10
26.3/)3322
sin(
24.02
2
2
1
2
πππ
πππ
απππυ+
?-
=+
?
?-
=?-=+?
?-=-t s
m s
m (5) t=4s 时， 2
2
)]3
2
sin(
[2
12
1π
π
ωυ
+
-=
=
t A m m E k
(J )
1033.5J
)3
42
(
sin 24.0)2
(
01.02
14
2
22-?=+
????=
πππ
)3
2
(
c o s 2
12
12
2
2
2
π
π
ω+
=
=
t A m kx
E P
(J )
1077.1J
)3
42
(
cos 24.0)2
(
01.02
14
2
22-?=+
?????=
πππ
(J )107.10J 101.77J 1033.5-4
-44?=?+?=+=-P k E E E 总
5-16两质点沿同一直线作同频率、同振幅的简谐振动，在振动过程中，每当它们经过振幅一半时相遇，而运动方向相反，求它们相位差，并作旋转矢量图表示。 解：设两质点的振动表达式分别为：
)
cos()cos(2211?ω?ω+=+=t A x t A x
由图题可知，一质点在2
1A x =
处时对应的相位为： 32/arccos
1π
?ω=
=+A A t
同理：另一质点在相遇处时，对应的相位为：
3
52/arccos
2π?ω=
=+A
A t
故相位差
)()(12?ω?ω??+-+=t t ππ
π??3
43
3512=
-
=
-=
若21υυ与的方向与上述情况相反，故用同样的方法，可得：
习题5-16图
ππ
π
????3
2)3
(3
12=
-
-=
-=
5-17已知两个简谐振动的t x -曲线如习题5-17图所示，它们的频率相同，求它们的合振动的振动表达式。
解：由图题5-17(图在课本上P 200)所示曲线可以看出，两个简谐振动的振幅相同，即m 05.021==A A ,周期均匀s 1.0=T ，因而圆频率为：ππω202==
T
由x -t 曲线可知，简谐振动1在t=0时，,010=x 且010>υ，故可求得振动1的初位相π?2
310=
.
同样，简谐振动2在t=0时，π?υ==-=202020,0,05.0可知m x 故简谐振动1、2的振动表达式分别为：
m
t x t x )20cos(05.0)
2
320cos(05.021ππππ+=+
=
因此，合振动的振幅和初相位分别为： m A A A A A 2
1020212
22
110
25)cos(2-?=-++=
??
20
21012021010cos cos sin sin arctan
?????A A A A ++=
ππ
4
54
1a r c t a n 或
=
=
但由x-t 曲线知，t=0时，π?4
5,05.021应取因此-=+=x x x .
故合振动的振动表达式：m t x )4
520cos(10252
ππ+
?=-
5-18
已知两
个同
方向
、同频
率的
简谐振动如下：
??? ??+=π5310cos 05.01t x ??? ?
?
+=π5310cos 06.02t x 式中x 单位为m ，t 单位为s 。
(1)求它们合振动的振幅与初相位;
(2)另有一同方向简谐振动)10cos(07.03?+=t x ，问?为何值时，31x x +的振幅最大? ?为何值时，32x x +的振幅最小?
(3)用旋转矢量法表示(1)、(2)两小问的结果。 解：（1）它们的合振动幅度初相位分别为：
)cos(212212
221??-++=
A A A A A
m )5
3
5c o s (06.005.0206
.005
.02
2
ππ-???++=
m 0892
.0= 2
2112
211c o s c o s s i n s i n a r c t a n ?????A A A A ++=
316819.15.2arctan 5
cos
06.05
3cos
05.05
sin 06.053sin
05.0'?===++=
rad ππππ
（2）当π??k 21±=-,即ππ?π?5
3221+
±=+±=k k 时，31x x +的振幅最大；当
π??)12(2+±=-k ，即5
)12()12(2π
π??+
+±=++±=k k 时，32x x +的振幅最小.
（3）以上两小问的结果可用旋转矢量法表示，如图题5-18所示.
5-19两个同方向、同频率的简谐振动，其合振动的振幅A=0.20m ，合振动的相位与第一个振动的相位差为30o
，若第一个振动的振幅A 1=0.173m ，求第二个振动的振幅及第一、第二两个振动的相位差为多少?
解：根据题意画出振幅矢量合成图，如习题5-19图所示.由习题5-19图及余弦定理可知 cm 2
33.172023.1720
30cos 22
2
12
12
2?
??-+=
?-+=
AA A A A
0.10m cm 10== 又因为
)c o s (c o s 12????-= 010
3.172)100300(4002)
(2
12
2212=??+-=
+-=
A A A A A
若2
π
??=,即第一、第二两个振动的相位差为
2
π
习题5-19图
第五章 习题解答 5-1 解：等压过程系统做功W ，根据等压过程做功的公式： W=p(V 2-V 1)=νR ΔT 可得ΔT=W/νR ，ν=1mol ，ΔT=W/R W W i T R i T T C Q p 2 72222)(12=+=?+=-=υ υp 5-2 J T R i E 65.124131.82 3102=???=?=?υ 5-3 解：等容过程有W=0，Q=ΔE J T R i E 747930031.82 322=???=?=?=υ 5-4 解：等压过程系统做功W ，根据等压过程做功的公式： W=p(V 2-V 1)=νR ΔT=200J W i T R i T T C Q 2 222)(12+=?+=-=υ υp 单原子分子 i =3，J Q 5002002 23=?+= 单原子分子 i =5，J Q 7002002 25=?+= 5-5. 一系统由如图所示的a 状态沿acb 到达b 状态，有334J 热量传入系统，系统做功J 126。 （1）经adb 过程，系统做功J 42，问有多少热量传入系统? （2）当系统由b 状态沿曲线ba 返回状态a 时，外界对系统 做功为J 84，试问系统是吸热还是放热？热量传递了多少? 解：由acb 过程可求出b 态和a 态的内能之差 Q=ΔE+W ，ΔE=Q -W=334-126=208 J adb 过程，系统作功W=42 J ， Q=ΔE+W=208+42=250J 系统吸收热量 ba 过程，外界对系统作功A=-84 J ， Q=ΔE ＋W=-208-84=-292 J 系统放热 5-6 解：ab 过程吸热，bc 过程吸热 cd 过程放热，da 过程放热 取1atm=105Pa 根据等温、等压过程的吸热公式可得 J V p V p i T T C Q a a b b ab 336)(2)(12=-= -=V υ J V p V p i Q b b c c bc 560)(2 2=-+= J V p V p i Q c c d d cd 504)(2 -=-= J V p V p i Q d d a a da 280)(2 2-=-+= 整个过程总吸热J Q Q Q bc ab 8961=+=，总放热J Q Q Q da cd 7842=+= p
一、选择题 1. 半径为R 的均匀带电球面，若其电荷面密度为σ，取无穷远处为零电势点，则在距离球面r （R r <） 处的电势为( ) A 、0 B 、R 0 εσ C 、r R 02 εσ D 、r R 024εσ 2. 下列说法正确的是：( ) A. 电场场强为零的点，电势也一定为零 B. 电场场强不为零的点，电势也一定不为零 C. 电势为零的点，电场强度也一定为零 D. 电势在某一区域内为常量，则电场强度在该区域内必定为零 3. 如图示，边长是a 的正方形平面的中垂线上，距中心O 点 处， 有一电量为q 的正点电荷，则 通过该平面的电通量是（ ）。 A. B. C. D. 4. 两根长度相同的细导线分别密绕在半径为R 和r 的两个直圆筒上形成两个螺线管，两个螺线管的长 度相同，R=2r ，螺线管通过的电流相同为I ，螺线管中的磁感应强度大小为B R ，B r ，则应该满足：( ) A. B R =2B r B. B R =B r C. 2B R =B r D. B R =4B r 5. 两个同心均匀带电球面，半径分别为a R 和b R (b a R R <), 所带电荷分别为a q 和b q ．设某点与球 心相距r ，当b a R r R <<时，取无限远处为零电势，该点的电势为（ ） A 、 r q q b a +?π041ε B 、 r q q b a -?π041ε
C 、???? ? ?+?b b a R q r q 0 41επ D 、 ???? ??+?b b a a R q R q 0 41 επ 6. 面积为S 和S 2的两圆线圈1、2如图放置，通有相同的电流I ．线圈1的电流所产生的通过线圈2的磁通用21Φ表示，线圈2的电流所产生的通过线圈1的磁通用12Φ表示，则21Φ和12Φ的大小关系为（ ） 1 2 S 2 S I I A 、12212ΦΦ= B 、1221ΦΦ> C 、1221ΦΦ= D 、12212 1 ΦΦ= 7. 如图所示，两个“无限长”的、半径分别为1R 和2R 的共轴圆柱面均匀带电，沿轴线方向单位长度上所带电荷分别为1λ和2λ，则在两圆柱面之间、距离轴线为r 处的P 点的电场强度大小E 为（ ） A 、 r 02 12ελλπ+ B 、 2 02 10122R R ελελπ+ π C 、 r 01 2ελπ D 、0 8. 如图，长度为l 的直导线ab 在均匀磁场B ? 中以速度v ? 移动，直导线ab 中的电动势为（ ）
) 2(选择题(5)选择题(7)选择题单元一 质点运动学（一） 一、选择题 1. 下列两句话是否正确： (1) 质点作直线运动，位置矢量的方向一定不变； 【 ? 】 (2) 质点作园周运动位置矢量大小一定不变。 【 ? 】 2. 一物体在1秒内沿半径R=1m 的圆周上从A 点运动到B 点，如图 所示，则物体的平均速度是： 【 A 】 (A) 大小为2m/s ，方向由A 指向B ； (B) 大小为2m/s ，方向由B 指向A ； (C) 大小为3.14m/s ，方向为A 点切线方向； (D) 大小为3.14m/s ，方向为B 点切线方向。 3. 某 质 点 的 运 动 方 程 为 x=3t-5t 3+6(SI) ，则该质点作 【 D 】 (A) 匀加速直线运动，加速度沿X 轴正方向； (B) 匀加速直线运动，加速度沿X 轴负方向; (C) 变加速直线运动，加速度沿X 轴正方向; (D)变加速直线运动，加速度沿X 轴负方向 4. 一质点作直线运动，某时刻的瞬时速度v=2 m/s ，瞬时加速率a=2 m/s 2则一秒钟后质点的速度: 【 D 】 (A) 等于零 (B) 等于-2m/s (C) 等于2m/s (D) 不能确定。 5. 如图所示，湖中有一小船，有人用绳绕过岸上一定高度处 的定滑轮拉湖中的船向边运动。设该人以匀速度V 0 收绳，绳不伸长、湖水静止，则小船的运动是 【 C 】 (A)匀加速运动; (B) 匀减速运动; (C) 变加速运动; (D) 变减速运动; (E) 匀速直线运动。 6. 一质点沿x 轴作直线运动，其v-t 曲线如图所示， 如t=0时， 质点位于坐标原点，则t=4.5s 时，质点在x 轴上的位置为 【 C 】 (A) 0； (B) 5m ； (C) 2m ； (D) -2m ； (E) -5m *7. 某物体的运动规律为 t kv dt dv 2-=， 式中的k 为大于零的常 数。当t=0时，初速为v 0，则速度v 与时间t 的函数 关系是 【 C 】
大学物理练习册习题答案
练习一 （第一章 质点运动学） 一、1.（0586）（D ）2.（0587）（C ）3.（0015）（D ）4.（0519）（B ） 5.（0602）（D ） 二、1.（0002）A ｔ= 1.19 s ｔ= 0.67 s 2.（0008）8 m 10 m 3.（0255）() []t t A t ωβωωωβ βsin 2cos e 22 +--，()ωπ/122 1+n ， （n = 0, 1, 2,…） 4.（0588） 30/3 Ct +v 4 00112 x t Ct ++ v 5.（0590） 5m/s 17m/s 三、 1.（0004）解：设质点在x 处的速度为v ， 2 d d d 26 d d d x a x t x t ==?=+v v ()2 d 26d x x x =+??v v v () 2 2 1 3 x x +=v 2.（0265）解：（1） /0.5 m/s x t ??==-v （2） 2 =/96dx dt t t =- v （3） 2= 6 m/s -v |(1.5)(1)||(2)(1.5)| 2.25 m S x x x x =-+-= 3.（0266）解：（1） j t r i t r j y i x r ????? sin cos ωω+=+=
（2） d sin cos d r r t i r t j t ωωωω==-+v v v v v 22 d cos sin d a r t i r t j t ωωωω==--v v v v v （3） ()r j t r i t r a ???? sin cos 22 ωωωω-=+-= 这说明 a ?与 r ? 方向相反，即a ?指向圆心. 4. 解：根据题意t=0，v=0 --------==?+?∴=?+?=====?+?=+?+?? ??? ??由于及初始件v t t r t t r dv adt m s i m s j dt v m s ti m s tj dr v t r m i dt dr vdt m s ti m s tj dt r m m s t m s t j 0 220 220 220 2222[(6)(4)] (6)(4)0,(10)[(6)(4)][10(3)][(2)] 质点运动方程的分量式： --=+?=?x m m s t y m s t 2 2 22 10(3)(2) 消去参数t ，得到运动轨迹方程 =-y x 3220 练习二（第一章 质点运动学） 一、1.（0604）（C ） 2.（5382）（D ） 3.（5627）（B ） 4.（0001）（D ） 5.（5002）（A ） 二、1.（0009） 0 bt +v 2. （0262） －c （b －ct ）2/R
第八章 恒定磁场 8-1 均匀磁场的磁感强度B 垂直于半径为r 的圆面．今以该圆周为边线，作一半球面S ，则通过S 面的磁通量的大小为［ ］。 (A) B r 22π (B) B r 2π (C) 0 (D) 无法确定 分析与解 根据高斯定理，磁感线是闭合曲线，穿过圆平面的磁通量与穿过半球面的磁通量相等。正确答案为（B ）。 8-2 下列说法正确的是[ ]。 (A) 闭合回路上各点磁感强度都为零时，回路内一定没有电流穿过 (B) 闭合回路上各点磁感强度都为零时，回路内穿过电流的代数和必定为零 (C) 磁感强度沿闭合回路的积分为零时，回路上各点的磁感强度必定为零 (D) 磁感强度沿闭合回路的积分不为零时，回路上任意点的磁感强度必定为零 分析与解 由磁场中的安培环路定理，磁感强度沿闭合回路的积分为零时，回路上各点的磁感强度不一定为零；闭合回路上各点磁感强度为零时，穿过回路的电流代数和一定为零。正确答案为（B ）。 8-3 磁场中的安培环路定理∑?=μ=?n L I 1i i 0d l B 说明稳恒电流的磁场是[ ]。 (A) 无源场 (B) 有旋场 (C) 无旋场 (D) 有源场
分析与解 磁场的高斯定理与安培环路定理是磁场性质的重要表述，在恒定磁场中B 的环流一般不为零，所以磁场是涡旋场；而在恒定磁场中，通过任意闭合曲面的磁通量必为零，所以磁场是无源场；静电场中E 的环流等于零，故静电场为保守场；而静电场中，通过任意闭合面的电通量可以不为零，故静电场为有源场。正确答案为（B ）。 8-4 一半圆形闭合平面线圈，半径为R ，通有电流I ，放在磁感强度为B 的均匀磁场中，磁场方向与线圈平面平行，则线圈所受磁力矩大小为[ ]。 (A) B R I 2π (B) B R I 221π (C) B R I 24 1π (D) 0 分析与解 对一匝通电平面线圈，在磁场中所受的磁力矩可表示为B e M ?=n IS ，而且对任意形状的平面线圈都是适用的。正确答案为（B ）。 8-5 一长直螺线管是由直径d =0.2mm 的漆包线密绕而成。当它通以I =0.5A 的电流时，其内部的磁感强度B =_____________。(忽略绝缘层厚度，μ0=4π×10-7N/A 2) 分析与解 根据磁场中的安培环路定理可求得长直螺线管内部的磁感强度大小为nI B 0μ=，方向由右螺旋关系确定。正确答安为（T 1014.33-?）。 8-6 如图所示，载流导线在平面内分布，电流为I ，则在圆心O 点处的磁感强度大小为_____________，方向为 _____________ 。 分析与解 根据圆形电流和长直电 流的磁感强度公式，并作矢量叠加，可得圆心O 点的总
第五章 稳恒电流 本章提要 1．电流强度 · 当导体中存在电场时，导体中的电荷会发生定向运动形成电流。如果在t ?时间内通过导体某一截面的电量为q ?，则通过该截面的电流I 为 q I t ?= ? · 如果电流随时间变化，电流I 的定义式为 t q t q I t d d lim 0= ??=→? 2．电流密度 · 导体中任意一点的电流密度j 的大小规定为单位时间内通过该点单位垂直截面的电量，j 的方向规定为通过该点的正电荷运动的方向。根据电流密度的定义，导体中某一点面元d S 的电流密度为 d d I j S ⊥ = · 对于宏观导体，当导体中各点的j 有不同的大小和方向，通过导体任意截面S 的电流可通过积分计算，即 d j S S =???I 3．欧姆定律 · 对于一般的金属导体，在恒定条件下欧姆定律有如下表达形式 R U U I 2 1-= 其中R 为导体的电阻，21U U -为导体两端的电势差 · 欧姆定律的微分形式为 E j σ= 其中ρσ1=为电导率
4．电阻 · 当导体中存在恒定电流时，导体对电流有一定的电阻。导体的电阻与导体的材料、大小、形状以及所处状态（如温度）有关。当导体的材料与温度一定时，对一段截面积均匀的导体，其电阻表达式为 S l R ρ = 其中l 为导体的长度，S 为导体的横截面积，ρ为导体的电阻率 5．电动势 · 非静电力反抗静电力移动电荷做功，把其它种形式的能量转换为电势能，产生电势升高。 q A 非= ε · 当非静电力不仅存在于内电路中，而且存在于外电路中时，整个回路的电动势为 l E l k ??=d ε 6．电源电动势和路端电压 · 若电源正负极板的电势分别为U +和U -，电源内阻为r ，电路中电流为I ，则电源电动势为 ()U U Ir +-ε=-- · 路端电压为 Ir U U -=--+ε 7．接触电动势 · 因电子的扩散而在导体接触面上形成的等效电动势。 A B ln n kT e n ε= 其中e 为电子电量，k 为玻尔兹曼常数，T 为热力学温度
第一章质点运动学 1、(习题1.1)：一质点在xOy 平面内运动，运动函数为2 x =2t,y =4t 8-。（1）求质点的轨道方程；（2）求t =1 s t =2 s 和时质点的位置、速度和加速度。 解：（1）由x=2t 得， y=4t 2-8 可得： y=x 2 -8 即轨道曲线 （2）质点的位置 ： 2 2(48)r ti t j =+- 由d /d v r t =则速度： 28v i tj =+ 由d /d a v t =则加速度： 8a j = 则当t=1s 时，有 24,28,8r i j v i j a j =-=+= 当t=2s 时，有 48,216,8r i j v i j a j =+=+= 2、（习题1.2）： 质点沿x 在轴正向运动，加速度kv a -=，k 为常数．设从原点出发时速 度为0v ，求运动方程)(t x x =. 解： kv dt dv -= ??-=t v v kdt dv v 001 t k e v v -=0 t k e v dt dx -=0 dt e v dx t k t x -?? =0 00 )1(0 t k e k v x --= 3、一质点沿x 轴运动，其加速度为a = 4t (SI)，已知t = 0时，质点位于x 0=10 m 处，初速度v 0 = 0．试求其位置和时间的关系式． 解： =a d v /d t 4=t d v 4=t d t ? ?=v v 0 d 4d t t t v 2=t 2 v d =x /d t 2=t 2 t t x t x x d 2d 0 20 ?? = x 2= t 3 /3+10 (SI) 4、一质量为m 的小球在高度h 处以初速度0v 水平抛出，求： （1）小球的运动方程； （2）小球在落地之前的轨迹方程； （3）落地前瞬时小球的 d d r t ，d d v t ，t v d d . 解：（1） t v x 0= 式（1） 2gt 21h y -= 式（2） 201 ()(h -)2 r t v t i gt j =+ （2）联立式（1）、式（2）得 2 2 v 2gx h y -= （3） 0d -gt d r v i j t = 而落地所用时间 g h 2t = 所以 0d -2g h d r v i j t = d d v g j t =- 2 202y 2x )gt (v v v v -+=+= 21 20 212202)2(2])([gh v gh g gt v t g dt dv +=+=
例1 路灯离地面高度为H，一个身高为h 的人，在灯下水平路面上以匀速度步行。如图3-4所示。求当人与灯的水平距离为时，他的头顶在地面上的影子移动的速度的大小。 解:建立如右下图所示的坐标，时刻头顶影子的坐标为 ，设头顶影子的坐标为，则 由图中看出有 则有 所以有 ; 例2如右图所示，跨过滑轮C的绳子，一端挂有重物B，另一端A 被人拉着沿水平方向匀速运动，其速率。A离地高度保 持为h，h =1.5m。运动开始时，重物放在地面B0处，此时绳C在铅 直位置绷紧，滑轮离地高度H = 10m，滑轮半径忽略不计，求： (1) 重物B上升的运动方程；
(2) 重物B在时刻的速率和加速度； (3) 重物B到达C处所需的时间。 解：(1)物体在B0处时，滑轮左边绳长为l0 = H-h，当重物的位移为y时，右边绳长为 因绳长为 由上式可得重物的运动方程为 (SI) (2)重物B的速度和加速度为 (3)由知 当时，。
此题解题思路是先求运动方程，即位移与时间的函数关系，再通过微分求质点运动的速度和加速度。 例3一质点在xy平面上运动，运动函数为x = 2t, y = 4t2-8(SI)。 (1) 求质点运动的轨道方程并画出轨道曲线； (2) 求t1=1s和t2=2s时，质点的位置、速度和加速度。 解：(1) 在运动方程中消去t，可得轨道方程为 ， 轨道曲线为一抛物线如右图所示。 (2) 由 可得: 在t1=1s 时， 在t2=2s 时, 例4质点由静止开始作直线运动，初始加速度为a0，以后加速度均匀增加，每经过τ秒增加a0，求经过t秒后质点的速度和位移。 解：本题可以通过积分法由质点运动加速度和初始条件，求解质点的速度和位移。
第十章 10-1无限长直线电流的磁感应强度公式为B＝μ0I 2π a，当场点无限接近于导线时(即a→0)，磁感应强度B→∞，这个结论正确吗？如何解释？ 答：结论不正确。公式 a I B π μ 2 =只对理想线电流适用，忽略了导线粗细，当a→0，导线的尺寸不能忽略，电流就不能称为线电流，此公式不适用。 10-2如图所示，过一个圆形电流I附近的P点，作一个同心共面圆形环路L，由于电流分布的轴对称，L上各点的B大小相等，应用安培环路定理，可得∮L B·d l ＝0，是否可由此得出结论，L上各点的B均为零？为什么？ 答：L上各点的B不为零. 由安培环路定理 ∑ ?= ? i i I l d B μ 得0 = ? ?l d B ，说明圆形环路L内的电流代数和为零， 并不是说圆形环路L上B一定为零。 10-3设题10-3图中两导线中的电流均为8A，对图示的三条闭合曲线a,b,c，分别写出安培环路定理等式右边电流的代数和．并讨论： (1)在各条闭合曲线上，各点的磁感应强度B 的大小是否相等? (2)在闭合曲线c上各点的B 是否为零?为什么? 解：?μ = ? a l B 8 d ?μ = ? ba l B 8 d ?= ? c l B0 d (1)在各条闭合曲线上，各点B 的大小不相等． (2)在闭合曲线C上各点B 不为零．只是B 的环路积分为零而非每点0 = B ．题10-3图 习题10-2图
10-4 图示为相互垂直的两个电流元，它们之间的相互作用力是否等值、反向？由此可得出什么结论？ 答：两个垂直的电流元之间相互作用力不是等值、反向的。 B l Id F d ?= 2 0?4r r l Id B d ?= πμ 221 21221 10221212201112)?(4?4r r l d I l d I r r l d I l d I F d ??=??= πμπμ 2 12 12112 20212121102212)?(4?4r r l d I l d I r r l d I l d I F d ??=??= πμπμ ))?()?((42 12 121221************r r l d l d r r l d l d I I F d F d ??+??-=+ πμ 2 122112 210212112221212102112)(?4))?()?((4r l d l d r I I r l d r l d l d r l d I I F d F d ??=?-?=+πμπμ 一般情况下 02112≠+F d F d 由此可得出两电流元（运动电荷）之间相互作用力一般不满足牛顿第三定律。 10-5 把一根柔软的螺旋形弹簧挂起来，使它的下端和盛在杯里的水银刚好接触，形成串联电路，再把它们接到直流电源上通以电流，如图所示，问弹簧会发生什么现象？怎样解释？ 答：弹簧会作机械振动。 当弹簧通电后，弹簧内的线圈电流可看成是同向平行的，而同向平行电流会互相吸引，因此弹簧被压缩，下端会离开水银而电流被断开，磁力消失，而弹簧会伸长，于 是电源又接通，弹簧通电以后又被压缩……，这样不断重复，弹簧不停振动。 10-6 如图所示为两根垂直于xy 平面放置的导线俯视图，它们各载有大小为I 但方向相反的电流.求：(1)x 轴上任意一点的磁感应强度；(2)x 为何值时，B 值最大，并给出最大值B max . 解：(1) 利用安培环路定理可求得1导线在P 点产生的磁感强度的大小为： r I B π=201μ2/1220)(12x d I +?π=μ 2导线在P 点产生的磁感强度的大小为： r I B π=202μ2 /1220)(1 2x d I +?π=μ 1B 、2B 的方向如图所示． P 点总场 θθcos cos 2121B B B B B x x x +=+= 021=+=y y y B B B 习题10-4图 r 12 r 21 习题10-5图 习题10-6图 y P r B 1 x y 1 o x d θ θ
1。质点的运动方程为 求： (1)质点的轨迹方程； (2)质点在第1s和第2秒的运动速度； (3)质点在第1s和第2秒的加速度。 2．在离水面高为h 的岸边，有人用绳子拉小船靠岸，人以不变的速率u收绳。求：当船在离岸距离为x时的速度和加速度。 例3：一质点作直线运动，已知其加速度a= 2- 2t (SI)，初始条件为x0=0，v0=0，求 (1)质点在第1s末的速度； (2)质点的运动方程； (3)质点在前3s内经历的路程。
4。 5。
6。已知l 长的绳端拴一质量m 的小球(另 一端固定在o 点)，自水平位置由静止释 放。求球摆至任一位置时，球的速度及绳 中的张力。 7． 一个滑轮系统，如图，A 滑轮的加速度为a ，两边分别悬挂质量为m 1和m 2的两个物体， 求两个物体的加速度。 7。一个以加速度大小a=1/3g 上升的升降机里，有一装置如图所示，物体A 、B 的质量相同，均为m ，A 与桌面之间的摩擦忽略不计，滑轮的重量忽略不计。从地面看，B 做自由落体运动。试求，若从升降机上看，B 的加速度大小是多少？
8. 9.重量为P 的摆锤系于绳的下端,绳长为l ,上端固定,如图所示,一水平变力大小为F 从零逐渐增大,缓慢地作用在摆锤上,使摆锤虽然移动,但在所有时间内均无限接近力平衡,一直到绳子与竖直线成 Θ0 角的位置,试计算此变力所做的功. P F
10.一束子弹射入木块，并在木块中走了S '，然后停止；而子弹和木块整个系统水平向右走了S ，求子弹和木块所受的一对摩擦力f s 和f s '所做的净功。 11. 如图所示,倔强系数为k 的弹簧悬挂着质量为m 1,m 2两个物体,开始时处于静止,突然把两物体间的连线剪断,求m 1的最大速度为多少? 12. 墙壁上固定一水平放置的轻弹簧，弹簧的另一端连一质量为m 的物体，弹簧的弹性系数为k ，物体m 与水平面间的摩擦系数为μ，开始时，弹簧没有伸长，现以恒力F 将物体自平衡位置开始向右拉动，试求此系统所具有的最大势能。 k 1m 2 m
2014级机械《大学物理》习题库 1．以下四种运动形式中，a 保持不变的运动是 ［ D ］ (A) 单摆的运动 (B) 匀速率圆周运动 (C) 行星的椭圆轨道运动 (D) 抛体运动 2．一运动质点在某瞬时位于矢径(,)r x y r 的端点处，其速度大小为［ D ］ (A) d d r t (B) d d r t r (C) d d r t r 3．质点沿半径为R 的圆周作匀速率运动，每T 秒转一圈。在2T 时间间隔 中，其平均速度大小与平均速率大小分别为 ［ B ］ (A) 2/R T ，2/R T (B) 0 ，2/R T (C) 0 ， 0 (D) 2/R T ， 0. 4．某人骑自行车以速率v 向西行驶，今有风以相同速率从北偏东30°方向吹来，试问人感到风从哪个方向吹来［ C ］ (A) 北偏东30° (B) 南偏东30° (C) 北偏西30° (D) 西偏南30° 5．对于沿曲线运动的物体，以下几种说法中哪一种是正确的： ［ B ］ (A) 切向加速度必不为零 (B) 法向加速度必不为零（拐点处除外） (C) 由于速度沿切线方向，法向分速度必为零，因此法向加速度必为零 (D) 若物体作匀速率运动，其总加速度必为零 6．下列说法哪一条正确［ D ］ (A) 加速度恒定不变时，物体运动方向也不变 (B) 平均速率等于平均速度的大小 (C) 不管加速度如何，平均速率表达式总可以写成(v 1、v 2 分别为初、末速率) 12 2 v v v
(D) 运动物体速率不变时，速度可以变化。 7．质点作曲线运动，r 表示位置矢量，v 表示速度，a 表示加速度，S 表示路程，t a 表示切向加速度，下列表达式中，［ D ］ (1) d d v a t ， (2) d d r v t ， (3) d d S v t ， (4) d d t v a t r (A) 只有(1)、(4)是对的 (B) 只有(2)、(4)是对的 (C) 只有(2)是对的 (D) 只有(3)是对的 8．如图所示，假设物体沿着竖直面上圆弧形轨道下滑，轨道是光滑的，在 从A 至C 的下滑过程中，下面哪个说法是正确的［ D ］ (A) 它的加速度大小不变，方向永远指向圆心 (B) 它的速率均匀增加 (C) 它的合外力大小变化，方向永远指向圆心 (D) 轨道支持力的大小不断增加 9.某质点作直线运动的运动学方程为x ＝3t -5t 3 + 6 (SI)，则该质点作［ D ］ (A) 匀加速直线运动，加速度沿x 轴正方向 (B) 匀加速直线运动，加速度沿x 轴负方向 (C) 变加速直线运动，加速度沿x 轴正方向 (D) 变加速直线运动，加速度沿x 轴负方向 10．一个圆锥摆的摆线长为l ，摆线与竖直方向的夹角恒为 ，如图所示。则摆锤转动的周期为［ D ］ (A) (C) 2 2 11．粒子B 的质量是粒子A 的质量的4倍。开始时粒子A 的速度为 34i j v v ，粒子B 的速度为 27i j v v 。由于两者的相互作用，粒子A 的速 度为 74i j v v ，此时粒子B 的速度等于［ A ］ A 11图
习题五 5-1 振动和波动有什么区别和联系?平面简谐波动方程和简谐振动方程有什么不同?又有什么联系?振动曲线和波形曲线有什么不同? 解: (1)振动是指一个孤立的系统(也可是介质中的一个质元)在某固定平衡位置附近所做的往复运动，系统离开平衡位置的位移是时间的周期性函数，即可表示为)(t f y =；波动是振动在连续介质中的传播过程，此时介质中所有质元都在各自的平衡位置附近作振动，因此介质中任一质元离开平衡位置的位移既是坐标位置x ，又是时间t 的函数，即),(t x f y =． (2)在谐振动方程)(t f y =中只有一个独立的变量时间t ，它描述的是介质中一个质元偏离平衡位置的位移随时间变化的规律；平面谐波方程),(t x f y =中有两个独立变量，即坐标位置x 和时间t ，它描述的是介质中所有质元偏离平衡位置的位移随坐标和时间变化的规律． 当谐波方程 ) (cos u x t A y -=ω中的坐标位置给定后，即可得到该点的振动方程，而波源持续不断地振动又是产生波动的必要条件之一． (3)振动曲线)(t f y =描述的是一个质点的位移随时间变化的规律，因此，其纵轴为y ，横轴为t ；波动曲线),(t x f y =描述的是介质中所有质元的位移随位置，随时间变化的规律， 其纵轴为y ，横轴为x ．每一幅图只能给出某一时刻质元的位移随坐标位置x 变化的规律，即只能给出某一时刻的波形图，不同时刻的波动曲线就是不同时刻的波形图． 5-2 波动方程y =A cos ［ω( u x t - )+0?］中的u x 表示什么?如果改写为y =A cos (0?ωω+-u x t )，u x ω又是什么意思?如果t 和x 均增加，但相应的［ω( u x t - )+0?］的值不变，由此能从波动方程说明什么? 解: 波动方程中的u x /表示了介质中坐标位置为x 的质元的振动落后于原点的时间；u x ω则表示x 处质元比原点落后的振动位相；设t 时刻的波动方程为 ) cos(0φωω+-=u x t A y t 则t t ?+时刻的波动方程为 ] ) ()(cos[0φωω+?+-?+=?+u x x t t A y t t 其表示在时刻t ，位置x 处的振动状态，经过t ?后传播到t u x ?+处．所以在 ) (u x t ωω-中，当t ，x 均增加时， ) (u x t ωω-的值不会变化，而这正好说明了经过时间t ?，波形即向前传播了t u x ?=?的距离，说明) cos(0φωω+-=u x t A y 描述的是一列行进中的波，故谓之行 波方程． 5-3 波在介质中传播时，为什么介质元的动能和势能具有相同的位相，而弹簧振子的动能和势能却没有这样的特点? 解: 我们在讨论波动能量时，实际上讨论的是介质中某个小体积元dV 内所有质元的能量．波动动能当然是指质元振动动能，其与振动速度平方成正比，波动势能则是指介质的形
) 2(选择题(5) 选择题单 元一 质点运动学（一） 一、选择题 1. 下列两句话是否正确： (1) 质点作直线运动，位置矢量的方向一定不变； 【 ? 】 (2) 质点作园周运动位置矢量大小一定不变。 【 ? 】 2. 一物体在1秒内沿半径R=1m 的圆周上从A 点运动到B 点，如图所示，则物体的平均速度是： 【 A 】 (A) 大小为2m/s ，方向由A 指向B ； (B) 大小为2m/s ，方向由B 指向A ； (C) 大小为3.14m/s ，方向为A 点切线方向； (D) 大小为3.14m/s ，方向为B 点切线方向。 3. 某质点的运动方程为x=3t-5t 3+6(SI)，则该质点作 【 D 】 (A) 匀加速直线运动，加速度沿X 轴正方向； (B) 匀加速直线运动，加速度沿X 轴负方向; (C) 变加速直线运动，加速度沿X 轴正方向; (D)变加速直线运动，加速度沿X 轴负方向 4. 一质点作直线运动，某时刻的瞬时速度v=2 m/s ，瞬时加速率a=2 m/s 2则一秒钟后质点的速度: 【 D 】 (A) 等于零 (B) 等于-2m/s (C) 等于2m/s (D) 不能确定。 5. 如图所示，湖中有一小船，有人用绳绕过岸上一定高度处的定滑轮拉湖中的船向边运动。设该人以匀速度V 0收绳，绳不伸长、湖水静止，则小船的运动是 【 C 】 (A)匀加速运动; (B) 匀减速运动; (C) 变加速运动; (D) 变减速运动; (E) 匀速直线运动。 6. 一质点沿x 轴作直线运动，其v-t 曲线如图所示，如t=0时，质点位于坐标原点，则t=4.5s 时，
一、 选择题 1. 对一个作简谐振动的物体，下面哪种说法是正确的？ [ C ] (A) 物体处在运动正方向的端点时，速度和加速度都达到最大值； (B) 物体位于平衡位置且向负方向运动时，速度和加速度都为零； (C) 物体位于平衡位置且向正方向运动时，速度最大，加速度为零； (D) 物体处在负方向的端点时，速度最大，加速度为零。 2. 一沿X 轴作简谐振动的弹簧振子，振幅为A ，周期为T ，振动方程用余弦函数表示，如果该振子 的初相为4 3 π，则t=0时，质点的位置在： [ D ] (A) 过1x A 2=处，向负方向运动； (B) 过1x A 2 =处，向正方向运动； (C) 过1x A 2=-处，向负方向运动；(D) 过1 x A 2 =-处，向正方向运动。 3. 一质点作简谐振动，振幅为A ，在起始时刻质点的位移为/2A ，且向x 轴的正方向运动，代表 此简谐振动的旋转矢量图为 [ B ] 4. 图(a)、(b)、(c)为三个不同的谐振动系统，组成各系统的各弹簧的倔强系数及重物质量如图所示，(a)、(b)、(c)三个振动系统的ω (ω为固有圆频率)值之比为： [ B ] (A) 2：1：1； (B) 1：2：4； (C) 4：2：1； (D) 1：1：2 5. 一弹簧振子，当把它水平放置时，它可以作简谐振动，若把它竖直放置或放在固定的光滑斜面上如图，试判断下面哪种情况是正确的： [ C ] (A) 竖直放置可作简谐振动，放在光滑斜面上不能作简谐振动； (B) 竖直放置不能作简谐振动，放在光滑斜面上可作简谐振动； (C) 两种情况都可作简谐振动； (D) 两种情况都不能作简谐振动。 6. 一谐振子作振幅为A 的谐振动，它的动能与势能相等时，它的相位和坐标分别为： [ C ] (4) 题(5) 题
大学物理学第版修订版邮电大学出版社上册第 五章习题答案 Pleasure Group Office【T985AB-B866SYT-B182C-BS682T-STT18】
习 题5 选择题 (1)一物体作简谐振动，振动方程为)2cos(π ω+=t A x ，则该物体在0=t 时 刻的动能与8/T t =（T 为振动周期）时刻的动能之比为： (A)1：4 （B ）1：2 （C ）1：1 (D) 2：1 [答案：D] (2)弹簧振子在光滑水平面上作简谐振动时，弹性力在半个周期内所作的 功为 (A)kA 2 (B) kA 2/2 (C) kA 24A ±2A ±23A ±22A ±4cm2cm2cm 23 s 2A cos(2//2)x A t T ππ=-cos(2//3)x A t T ππ=+O θsin mg -S ?R R S ?=θθmg -中负号，表示回复力的方向始终与角位移的方向相反．即小球在O 点附近的往复运动中所受回复力为线性的．若以小球为对象，则小球在以O '为圆心的竖直平面内作圆周运动，由牛顿第二定律，在凹槽切线方向上有 令R g =2ω，则有 弹簧振子的振幅增大到原振幅的两倍时，其振动周期、振动能量、最大速度 和最大加速度等物理量将如何变化 解：弹簧振子的振动周期、振动能量、最大速度和最大加速度的表达式分别为 所以当振幅增大到原振幅的两倍时，振动周期不变，振动能量增大为原来的4倍，最大速度增大为原来的2倍，最大加速度增大为原来的2倍。 单摆的周期受哪些因素影响把某一单摆由赤道拿到北极去，它的周期是否变化
解：单摆的周期为 因此受摆线长度和重力加速度的影响。把单摆由赤道拿到北极去，由于摆线长度不变，重力加速度增大，因此它的周期是变小。 简谐振动的速度和加速度在什么情况下是同号的在什么情况下是异号的加速度为正值时，振动质点的速率是否一定在增大 解：简谐振动的速度和加速度的表达式分别为 当00sin()cos()t t ω?ω?++与同号时，即位相在第1或第3象限时，速度和加速度同号；当00sin()cos()t t ω?ω?++与异号时，即位相在第2或第4象限时，速度和加速度异号。 加速度为正值时，振动质点的速率不一定增大。 质量为kg 10103-?的小球与轻弹簧组成的系统，按20.1cos(8)(SI)3x t ππ=+ 的规律 作谐振动，求： (1)振动的周期、振幅和初位相及速度与加速度的最大值； (2)最大的回复力、振动能量、平均动能和平均势能，在哪些位置上动能与势能相等 (3)s 52=t 与s 11=t 两个时刻的位相差； 解：(1)设谐振动的标准方程为)cos(0φω+=t A x ，则知： 又 πω8.0==A v m 1s m -? 51.2=1s m -? (2) 0.63N m m F ma == 当p k E E =时，有p E E 2=， 即 )2 1(212122kA kx ?= ∴ m 20 222±=±=A x (3) ππωφ32)15(8)(12=-=-=?t t
1．选择题 1．在升降机天花板上拴有轻绳，其下端系一重物，当升降机以加速度a 1上升时，绳中的张 力正好等于绳子所能承受的最大张力的一半，问升降机以多大加速度上 升时，绳子刚好被拉断？ （ ） (A) 2a 1． (B) 2(a 1+g )． (C) 2a 1＋g ． (D) a 1＋g ． 2．如图所示，质量为m 的物体用细绳水平拉住，静止在倾角为θ的固定的光滑斜面上，则斜面给物体的支持力为 （ ） (A) θcos mg . (B) θsin mg . (C) θcos mg . (D) θsin mg . 3．竖立的圆筒形转笼，半径为R ，绕中心轴OO ＇转动，物块A 紧靠在圆筒 的内壁上，物块与圆筒间的摩擦系数为μ，要使物块A 不下落，圆筒转动的 角速度ω至少应为 （ ） (A) R g μ (B)g μ (C) R g μ (D)R g 4．已知水星的半径是地球半径的 0.4倍，质量为地球的0.04倍．设在地球 上的重力加速度为g ，则水星表面上的重力加速度为： （ ） (A) 0.1 g (B) 0.25 g (C) 2.5 g (D) 4 g 5．一个圆锥摆的摆线长为l ，摆线与竖直方向的夹角恒为θ，如图所示．则 摆锤转动的周期为 （ ） (A)g l . (B)g l θcos . (C)g l π 2. (D)g l θπcos 2 . 6．在作匀速转动的水平转台上，与转轴相距R 处有一体积很小的工件A ，如图所示．设工件与转台间静摩擦系数为μs ，若使工件在转台上无滑动， 则转台的角速度ω应满足 （ ） (A)R g s μω≤. (B)R g s 23μω≤. (C)R g s μω3≤. (D)R g s μω2≤. 7．用水平压力F 把一个物体压着靠在粗糙的竖直墙面上保持静止．当F 逐渐增大时，物体所受的静摩擦力f （ ） (A) 恒为零． (B) 不为零，但保持不变． (C) 随F 成正比地增大． (D) 开始随F 增大，达到某一最大值后，就保持不变 a 1 m θ θ l ωO R A A O O ′ ω
大学物理习题大题答 案
1.1质点延Ox轴做直线运动加速度a=-kx，k为正的常量，质点在X0处的速度是V0，求质点速度的大小V与坐标X的函数 能量守恒：（m*V0^2 / 2）＝（m*V^2 / 2）＋（m*K*X^2 ） F= ma=-mkx 。上式解得：V＝±根号（V0^2－2K*X^2） 1.2飞轮半径为0.4m,自静止启动,其角加速度为0.2转每秒,求t=2s时边缘上，各点的速度、法向加速度、切向加速度、合加速度 ω=ω0+a't ω0=0,t=2s,a'=0.2 × 2pi弧度/s^2=1.257弧度/s^2 ω=a't=1.257弧度/s^2×2s=2.514弧度/s 切向速度：v=ωr=0.4mx1.257弧度/s=1m/s 法向加速度：a。=ω^2r=(2.514弧度/s)^2 × 0.4m=2.528m/s^2 切向加速度：a''=dv/dt=rdω/dt=ra'=0.4m × 1.257弧度/s^2=0.5m/s^2 合加速度：a=√(a''^2+a。^2)=2.58m/s^2 合加速度与法向夹角：Q=arctan(a''/a。)=11.2° 2.2质量为m的子弹以速度v0水平射入沙土中，设子弹所受的阻力与速度成正比，系数为k， 1.求子弹射入沙土后速度随时间变化的函数关系式， a = -kv/m = dv/dt dv/v = - k/m dt 两边同时定积分，得到lnv -lnv0 = kt/m v=v0*exp(-k/m * t) 2.求子弹射入沙土的最大深度 dv/dt=a=f/m=-kv/m v=ds/dt=ds/dv * dv/dt = -ds/dv * kv/m 整理得： kds=-mdv 同时对等号两边积分，得：ks=mv0 =》 s=mv0/k. 3.1一颗子弹在枪筒离前进时所受的合力刚好为F=400-4*10的五次方/3*t，子弹从枪口射出时的速率为300m/s。假设子弹离开枪口时合力刚好为零，则：（1）子弹走完枪筒全长所用的时间t=? (2)子弹在枪筒中所受力的冲量I=？（3）子弹的质量m=? （1）子弹走完枪筒全长所用的时间t 子弹从枪口射出时受力刚好为零 令 F = 400-4*10^5/3*t = 0，得 t = 3*10^(-3) s (2)子弹在枪筒中所受力的冲量I 。 I = ∫Fdt = 0.6 Ns （3）子弹的质量m 根据动量定理，子弹在枪筒中所受力的冲量I,等于动量增量
第五章 刚体力学 一、填空 1.刚体的基本运动包括 和 。 2.刚体的质心公式 。 3.质量为m,半径为R 的均匀薄圆环对过圆心且垂直圆环面的转动惯量是 ，对 圆环直径的转动惯量是 。 4.长度为L,质量为M 均匀细棒，对通过棒的一端与棒垂直轴的转动惯量是 ，对通过棒中点与棒垂直轴的转动惯量是 。 二、简答题 1.什么是刚体？ 2.简述质心运动定理的内容。 3.简述刚体绕某轴转动时的转动惯量的定义式及影响转动惯量的因素。 4.简述转动惯量的平行轴定理和垂直轴定理。 5.简述转动定律的内容。 三、计算题 5.1飞轮以转速{ EMBED Equation.3 |1min 1500n -?=round n 转动，受到制动而 均匀的减速，经而停止。求： （1）角加速度的大小； （2）从制动算起到停止，转过的圈数； （3）制动后，第时角速度的大小。
5.2 已知飞轮的半径为，初速度为，角加速度为。试计算时的 （1）角速度； （2）角位移； （3）边缘上一点的速度； （4）边缘上一点的加速度。 5.3某发动机飞轮在时间间隔内的角位移为 求：时刻的角速度和角加速度。 5.4如图所示，钢制炉门由两个长1.5m的平行臂AB和CD支撑，以角 速率逆时针转动，求臂与铅直成45o时门中心G的速度和加速度。 5.5 桑塔纳汽车时速为166km/h，车轮滚动半径为0.26m，自发动机至驱动轮的转速比为0.909.问发动机转速为每分钟多少转？ 第五章刚体力学答案 一、填空 1.平动，定轴转动 2. 3. 4. 二、简答题
1.什么是刚体？ 刚体是受力作用时不改变形状和体积的物体，是物体的理想化模型。 2.简述质心运动定理的内容。 质点系所受的合外力等于质点系的质量乘以质心加速度。 3.简述刚体转动惯量的定义式，并具体说明转动惯量与哪些因素有关 答：转动惯量定义式：。其与物体的总质量、质量的分布、转轴的位置有关。4.简述转动惯量的平行轴定理和垂直轴定理。 答：平行轴定理：刚体对于某轴的转动惯量等于刚体对于通过其质心且和该轴平行的轴的转动惯量与刚体的质量和两轴间距平方的乘积之和。即：。 垂直轴定理：薄板对于垂直板面轴oz的转动惯量，等于薄板对位于板面内与oz 轴交于一点的两相互垂直的轴ox和oy的转动惯量之和。即：。 5.简述刚体转动定律的内容。 答：刚体在合外力距的作用下，所获得的角加速度与合外力矩的大小成正比，与转动惯量成反比。 三、计算题 5.1飞轮以转速转动，受到制动而均匀的减速，经而停止。求： （1）角加速度的大小； （2）从制动算起到停止，转过的圈数； （3）制动后，第时角速度的大小。 解：（1）初角速度末角速度 由定义得，角加速度 （2）从制动算起到停止，转过的角度 转过的圈数 （3）第时角速度的大小 5.2 已知飞轮的半径为，初速度为，角加速度为。试计算时的 （1）角速度； （2）角位移；