第一章数字信号处理概述
简答题：
1．在A/D变换之前和D/A变换之后都要让信号通过一个低通滤波器，它们分别起什么作用？
答：在A/D变化之前让信号通过一个低通滤波器，是为了限制信号的最高频率，使其满足当采样频率一定时，采样频率应大于等于信号最高频率2倍的条件。此滤波器亦称位“抗折叠”滤波器。
在D/A变换之后都要让信号通过一个低通滤波器，是为了滤除高频延拓谱，以便把抽样保持的阶梯形输出波平滑化，故友称之为“平滑”滤波器。
判断说明题：
2．模拟信号也可以与数字信号一样在计算机上进行数字信号处理，自己要增加一道采样的工序就可以了。（）
答：错。需要增加采样和量化两道工序。
3．一个模拟信号处理系统总可以转换成功能相同的数字系统，然后基于数字信号处理理论，对信号进行等效的数字处理。（）
答：受采样频率、有限字长效应的约束，与模拟信号处理系统完全等效的数字系统未必一定能找到。因此数字信号处理系统的分析方法是先对抽样信号及系统进行分析，再考虑幅度量化及实现过程中有限字长所造成的影响。故离散时间信号和系统理论是数字信号处理的理论基础。
第二章 离散时间信号与系统分析基础
一、连续时间信号取样与取样定理
计算题：
1．过滤限带的模拟数据时，常采用数字滤波器，如图所示，图中T 表示采样周期（假设T 足够小，足以防止混迭效应），把从)()(t y t x 到的整个系统等效为一个模拟滤波器。 （a ） 如果
kHz T rad n h 101,8)(=π截止于，求整个系统的截止频率。
（b ）
对于kHz 201=，重复（a ）的计算。
解 （a ）因为当0)(=≥ωπω
j e H rad 时，在数 — 模变换中
)(1)(1)(T
j X T j X T e Y a a j ωω=Ω= 所以)(n h 得截止频率8πω=c
对应于模拟信号的角频率c Ω为
8
π
=
ΩT c
因此 Hz T
f c c 6251612==Ω=
π 由于最后一级的低通滤波器的截止频率为T
π
，因此对T 8π没有影响，故整个系统的截止频
率由)(ω
j e
H 决定，是625Hz 。
（b ）采用同样的方法求得kHz T 201=，整个系统的截止频率为 Hz T
f c 1250161
==
二、离散时间信号与系统频域分析
计算题：
1．设序列)(n x 的傅氏变换为
)(ωj e X ，试求下列序列的傅里叶变换。
（1）)2(n x （2）)(*n x （共轭）
解：（1）)2(n x 由序列傅氏变换公式 DTFT ∑
∞
-∞
=-=
=n n
j j e n x e
X n x ωω)(()]([)
可以得到
DTFT 2
)()2()]
2([n j n n jn e
n x e
n x n x '
-∞
-∞
='-∑∑'=
=
ωω
为偶数
)()(2
1
)(2
1)(21)(21)(21)]()1()([2
122)2(2
)2
(2
2ωωπω
ωπω
ωωj j j j n j n n jn n j n
n e X e X e X e X e n x e n x e n x n x -+=+=+=-+=++-∞
-∞=∞-∞=--∞
-∞=∑∑∑
（2）)(*n x （共轭） 解：DTFT )(**])([)(*)
(*ωωω
j n n jn jn e X e n x e
n x n x -∞
-∞
=∞
-∞
=-===
∑∑
2．计算下列各信号的傅里叶变换。
（a ）][2n u n
- （b ）]
2[)41
(+n u n
（c ）]24[n -δ （d ）n
n )
2
1(
解：（a ）∑∑-∞
=--∞
-∞
==
-=
2
][2)(n n j n
n
j n n
e e
n u X ωωω
ωωj n
n j e e 2
111)2
1(0-=
=∑∞
=
（b ）∑∑∞
-=--∞
-∞==+=2
)41(]2[41)(n n j n n
j n n e e n u X ωωω）（
ωω
ωj j m m j m e e e -∞
=---==∑4
1116
)41(20)2(2
（c ）ωωωδω2]24[][)(j n n
j n
j n e e
n e
n x X -∞
-∞
=--∞
-∞
==-=
=
∑∑
（d ）]12
111
2111[21)(?--+-==
--∞
-∞
=∑ω
ωωωj j n j n n e e e X ）（ 利用频率微分特性，可得
22)2
11(1
21)211(121)
()(ωωωωω
ωωj j j j e e
e e d X d j
X ---+--=-=
3．序列)(n x 的傅里叶变换为)(jw
e X ，求下列各序列的傅里叶变换。 （1）)(*
n x - （2）)](Re[n x (3) )(n nx
解： （1）
)(*])([)(*)
(*
jw n n jw n jwn
e X e
n x e
n x
=-=
-∑∑∞
-∞
=--∞
-∞=-
（2）
∑∑∞
-∞=-*-*∞
-∞=-+=+=
n jw jw jwn
n jwn
e X e X e n x n x e
n x )]()([21)]()([2
1)](Re[ （3）
dw e dX j e n x dw d j dw e n dx j e
n nx jw n jwn
n jwn n jwn
)()()(1)(==-=∑∑∑∞-∞
=-∞
-∞=-∞
-∞
=- 4．序列)(n x 的傅里叶变换为)(jw
e X ，求下列各序列的傅里叶变换。 （1）)(n x * （2）)](Im[n x j (3)
)(2
n x 解：（1）)(])([])([)()())((jw n n w j n n w j n jwn
e X e n x e
n x e
n x
-**∞
-∞
=--∞
-∞
=*
---∞
-∞
=-*
===
∑∑∑
（2）
[]
)()(2
1
)()(21])()([21)]()([21)(jw jw n n w j jw
n n jwn jwn jwn n e X e X e n x e X e n x e n x e n x n x -**
∞-∞=--∞-∞=∞
-∞
=-*--∞
-∞=*-=
???
?
??????? ??-=-=--∑∑∑∑
（3）
)()(21)()(21)()(21)()
()(2
jw j w j j n n n w j j n jwn
e X e X d e X e X e n x d e X e
n x *==?
?
????=?∑?∑∑--∞
-∞=-
∞
-∞=--∞
-∞
=-θππθθπ
π
θθ
π
θπθ
π
5．令)(n x 和)(jw e X 表示一个序列及其傅立叶变换，利用
)(jw
e X 表示下面各序列的傅立叶变换。
（1）)2()(n x n g = （2）()??
?=为奇数为偶数
n n n x n g 0
2)(
解：（1）∑∑∑∞
-∞
=-∞
-∞
=-∞
-∞
=-=
=
=
为偶数
k k w k j n jnw
n jnw
jw e
k x e
n x e
n g e G 2
)()2()()(
[]
??????-+=??????+=+=+=-+=-∞
-∞
=--∞-∞
=-∞-∞=-∞
-∞=-∑∑∑∑)()(2121
)(21)(21)(21))((21)(21)()1()(2
12
2)2(2)2
(22
2
2w
j w j w
j w j k w
jk w j k w
jk j k w jk k w k
j k
e X e X e X e X e
k x e X e e k x e k x e k x k x πππ
（2）)()()2()()(222w j r w
jr r rw
j n jnw
jw
e X e
r x e
r g e
n g e G ==
=
=
∑∑∑∞
-∞
=-∞
-∞
=-∞
-∞
=-
6．设序列)(n x 傅立叶变换为
)(jw
e X ，求下列序列的傅立叶变换。
（1）
)
(0n n x -
n 为任意实整数
（2）()???=为奇数为偶数
n n n x n g 0
2)(
（3）)2(n x
解：（1）0
)(jwn jw
e
e X -?
（2） )2
(n x n 为偶数
=)(n g ?)(2w
j e X
0 n 为奇数 （3）)()2(2
jw e
X n x ?
7．计算下列各信号的傅立叶变换。
（1）{})2()3()21
(--+n u n u n （2）)2sin()718cos(
n n +π
（3）??
???≤≤=其它－04
1)3cos()(n n n x π
【解】（1）{}∑∞
-∞=---+=n kn N j n
e n u n u k X π
2)2()3()2
1()(
∑∑∞=-∞
-=--=2232)2
1()21(n kn
N j n n kn N j n e
e π
π k N
j k N j k N
j k N j e e
e e
ππππ
222
223
2
114
12
118-----
-=
k N
j k
N j k
N j e e e π
π
π
2255232
1
1)21(18----= （2）假定)7
18cos(n π和)2sin(n 的变换分别为)(1k X 和)(2
k X ，则
∑∞
-∞
=??
????
--+--
=k k k N k k N
k X )27182()27182()(1πππδπππ
δπ
∑∞
-∞=??
?
???-++--=
k k k N k k N j k X )222()222()(2ππδππδπ
所以 )()()(21k X k X k X +=
∑∞
-∞=???
??
?-++-----+--=k k k N j k k N j k k N k k N )22()222()27182()27182(ππδππδπππδπππδπ
（3）∑-=-=
4
4
23cos )(n k N
jn
ne
k X π
π
∑-=--+=4
423
3)(2
1n k N jn n j n
j e e e π
π
π
∑∑=++=--+=90
)23()32(490)23()32(42121n n N j k N j n n k N j k N j e e e e π
πππππππ
)23()23()
3
2(4)23()23()
3
2(4112
1112
19
9k N
j k N j k N j k N
j k N j k N j e
e e e
e e πππππππππ
πππ+++---+-++-=
8．求下列序列的时域离散傅里叶变换
)(n x -*， [])(Re n x ， )(0n x
解：)()()()(ωωj n j e X e n x n x **
∞∞---∞
∞-*
=??
? ??-=-∑∑
[]()()
)()()(2
1
)()(21)(Re ωωωωj e j j n j e X e X e X e n x n x n x =+=+=-*∞
∞
--*∞∞-∑
∑ ()[]
)(Im )()(21)(0
ωωω
j n j j e X j e n x n x e
n x
=--=∑∑∞
∞
--*∞
∞
--
三、离散时间系统系统函数
填空题：
1．设)(z H 是线性相位FIR 系统，已知)(z H 中的3个零点分别为1，0.8，1+j ，该系统阶数至少为（ ）。
解：由线性相位系统零点的特性可知，1=z 的零点可单独出现，8.0=z 的零点需成对出现，
j z +=1的零点需4个1组，所以系统至少为7阶。
简答题：
2．何谓最小相位系统？最小相位系统的系统函数)(min Z H 有何特点？
解：一个稳定的因果线性移不变系统，其系统函数可表示成有理方程式
∑∑=-=--==
N k k
k M
r r
r Z a Z
b Z Q Z P Z H 1
01)
()
()(，他的所有极点都应在单位圆内，即1 k α。但零点
可以位于Z 平面的任何地方。有些应用中，需要约束一个系统，使它的逆系统
)
(1
)(Z H Z G =也是稳定因果的。这就需要)(Z H 的零点也位于单位圆内，即1 r β。一
个稳定因果的滤波器，如果它的逆系统也是稳定因果的，则称这个系统是最小相位。等价的，我们有如下定义。
【定义】一个有理系统函数，如果它的零点和极点都位于单位圆内，则有最小相位。 一个最小相位系统可由它的傅里叶变换的幅值)(jw e H 唯一确定。从jw
e 求)(Z H 的过
程如下：给定jw
e
，先求2
jw e
，它是)cos(kw 的函数。然后，用
)(2
1k k
Z Z -+替代)cos(kw ，我们得到)()()(1
-=Z
H Z H Z G 。最后，最小相位系统由单位圆内的)(Z G 的极、零点形成。
一个稳定因果系统总可以分解成一个最小相位系统和一个全通系统的乘积，即
)()()(min Z H Z H Z H ap =
完成这个因式分解的过程如下：首先，把)(Z H 的所有单位圆外的零点映射到它在单位圆内的共轭倒数点，这样形成的系统函数)(min Z H 是最小相位的。然后，选择全通滤波器
)(Z H ap ，把与之对应的)(min Z H 中的零点映射回单位圆外。
3．何谓全通系统？全通系统的系统函数
)
(Z H ap 有何特点？
解：一个稳定的因果全通系统，其系统函数)(Z H ap 对应的傅里叶变换幅值1)(=jw
e H ，该单位幅值的约束条件要求一个有理系统函数方程式的零极点必须呈共轭倒数对出现，即
∏∑∑=-*
-=-=---=-=
=N
k k
k
N k k
k M
r r
r ap Z Z Z a Z
b Z Q Z P Z H 11
11
011)
()
()(αα。因而，如果在k Z α=处有一个极点，
则在其共轭倒数点*=k
Z α1
处必须有一个零点。
4．有一线性时不变系统，如下图所示，试写出该系统的频率响应、系统（转移）函数、差分方程和卷积关系表达式。
解：频率响应：∑∞
∞
--=n
j j e n h e
H ωω
)()(
系统函数：∑∞
∞
--=
n
Z
n h Z H )()(
差分方程：?
?
?
?
??-)()(1Z X Z Y Z 卷积关系：∑∞
∞
-*=
)()()(n x n h n y
第三章 离散傅立叶变换
一、离散傅立叶级数
计算题：
1．如果)(~n x 是一个周期为N 的周期序列，那么它也是周期为2N 的周期序列。把)(~n x 看作周期为N 的周期序列有)(~)(~1k X n x ?（周期为N ）；把)(~n x 看作周期为2N 的周期序列有)(~)(~2k X n x ?（周期为2N ）；试用）（k X 1~表示）（k X 2~。
解： ∑∑-=-=-==10
10
21)(~)(~)(~N n N n kn N j kn N e n x W n x k X π
n k
N j N N
n N n N n n k N j kn N e n x e n x W n x k X 2212120
10
2222)(~)(~)(~)(~ππ--=-=-=-∑∑∑+==
对后一项令N n n -='，则
∑∑-=-='+'--+'+=10
10
)(22222)(~)(~)(~N n N n N n k
N j n k
N j e N n x e n x k X ππ
)
2
(~)1()(~)1(1
2
2k
X e e
n x e jk N n n k
N j
jk πππ--=--+=+=∑
所以?????=0)2(~2)(12k X k X 为奇数为偶数k k
二、离散傅立叶变换定义
填空题
2．某DFT 的表达式是∑-==
1
)()(N k kl M
W
k x l X ，则变换后数字频域上相邻两个频率样点之
间的间隔是（ ）。 解：M π2
3．某序列DFT 的表达式是∑-==
1
)()(N k kl
M
W
k x l X ，由此可看出，该序列的时域长度是
（ ），变换后数字频域上相邻两个频率样点之间隔是（ ）。
解：N M π2
4．如果希望某信号序列的离散谱是实偶的，那么该时域序列应满足条件（ ）。 解：纯实数、偶对称
5．采样频率为Hz F s 的数字系统中，系统函数表达式中1
-z
代表的物理意义是（ ），
其中时域数字序列)(n x 的序号n 代表的样值实际位置是（ ）；)(n x 的N 点DFT )k X （中，序号k 代表的样值实际位置又是（ ）。
解：延时一个采样周期F T 1=，F n nT =，k N
k π
ω2=
6．用8kHz 的抽样率对模拟语音信号抽样，为进行频谱分析，计算了512点的DFT 。则频域抽样点之间的频率间隔f ?为_______,数字角频率间隔w ?为 _______和模拟角频率间隔
?Ω ______。
解：15.625，0.0123rad ，98.4rad/s 判断说明题：
7．一个信号序列，如果能做序列傅氏变换对它进行分析，也就能做DFT 对它进行分析。 （ ）
解：错。如果序列是有限长的，就能做DFT 对它进行分析。否则，频域采样将造成时域信号的混叠，产生失真。
计算题
8．令
)(k X 表示N 点的序列)(n x 的N 点离散傅里叶变换，)(k X 本身也是一个N 点的序
列。如果计算)(k X 的离散傅里叶变换得到一序列)(1n x ，试用)(n x 求)(1n x 。 解：∑∑∑∑∑-='-='+-=-=''-='=??
????'==
101
0)
(101
01
1)()()()(N n N k n n k N nk N N k N n n k N N k nk N
W n x W W n x W
k X n x 因为
∑-='+?
??=1
0)
(0N k n n k N
N W 其他Nl n n ='+ 所以
∑-'
-=+-=1
1)())(()()(N n N N n R n Nx Nl n Nx n x
9．序列}{0,0,1,1)(=n x ，其4点DFT
)
(k x 如下图所示。现将
)(n x 按下列（1）
，（2），
（3）的方法扩展成8点，求它们8点的DFT ？（尽量利用DFT 的特性）
n x
k
（1）
??
?-=)4()
()(1n x n x n y 7~43~0==n n （2）
??
?=0)
()(2n x n y 7~43~0==n n （3）
????
?=0)
2()(3n x n y 奇数偶数==n n 解：（1）
()()()0
1230,2211=+≤≤=k Y k k X k Y
（2）()()30,70,2,211112≤≤≤≤==??
?
??=k k k k k X k X k Y （3）
()()()()4
mod ,30,70114113k k k k k X k X k Y =≤≤≤≤==
10．设)(n x 是一个2N 点的序列，具有如下性质： )()(n x N n x =+
另设)()()
(1n R n x n x N =，它的
N 点DFT 为)(1k X ，求)(n x 的2N 点DFT )(k X 和
)(1k X 的关系。
解： ()??
? ??=221k X k X 推导过程略
11．试求以下有限长序列的N 点DFT （闭合形式表达式） （1）)()(n R a n x N n
=
（2）)()(n nR n x N =
解：（1）因为)()
(n R a n x N n =，所以
k N
j N N n nk N
j n ae
a e
a k X ππ210
211)(--=---=
=∑
（2）由)()(n nR n x N =，得
∑-==1
0)()(N n N nk
N k R nW k X
∑-=+=1
)1()()(N n N k n N k N
k R nW k X W ∑∑-=+-=-=-1
)1(1
)()()1)((N n N k
n N N n nk N
k N
k R nW nW
W k X []
)
())1(()()1)2(2()1(321
1
)1(32)1(32k R W N k R N W N W W W N W W W N N n nk N N k
N N k N k N k N N k N k N k N ∑-=--+--=-+-+++--++++= )()(11)1(k NR k R W W N N N
k N k N -=?????
?--+--= 所以
)(1)(k R W N
k X N k
N
--=
12．计算下列序列的N 点DFT ：
()116P
（1）10,)(-≤≤=N n a n x n
（2）=)(n x ??
?
??nm N π2cos ，N n ≤≤0，N m <<0 解：（1）k
N
N
k N NK N N N n nk N
n aW a aW W a W
a k X --=--==
∑-=1111)(10
，10-≤≤N k （2）∑∑-=---=???
? ??+=??? ??=102221
0212cos )(N n nk N j mn N j mn N j N n nk N e e e W mn N k X π
π
π
π
?
???
?
??--+--=+-+-----)(2)(2)(2)(2111121m k N j m k j m k N j m k j e e e e ππππ ????
?
??--+--=++-+-++-+-+-------ππ
ππππππππ)(1
)()()()()(1)()
()()(21m k N N j m k N j m k N j m k j m k j m k N N j m k N j m k N j m k j m k j e e e e e e e e
e e
()()()
???
?
????+++--=++--+-ππππππ)(1)(1)(sin )(sin )(sin ))sin((21m k N N j m k N N j e N m k m k e N m k m k
2
N
, k=m 或k=-m =
0, 其它
13．已知一个有限长序列)5(2)()(-+=n n n x δδ （1） 求它的10点离散傅里叶变换)(k X
（2） 已知序列)(n y 的10点离散傅立叶变换为)()(210k X W k Y k
=，求序列)(n y
（3） 已知序列)(n m 的10点离散傅立叶变换为)()()(k Y k X k M =，求序列)(n m
解；（1）[]∑∑-==-+==
1
9
10)5(2)()()(N n n nk
nk N
W n n W
n x k X δδ =1+2k
W 510
=1+2k j
e
510
2π
-
=1+2k
)1(-，9,...,1,0=k
（2）由)()(210k X W k Y k
=可以知道，)(n y 是)(n x 向右循环移位2的结果，即
())7(2)2()2()(10-+-=-=n n n x n y δδ
（3）由)()()(k Y k X k M =可以知道，点循环卷积。的与是10)()()(n y n x n m
一种方法是先计算的线性卷积与)()(n y n x
∑∞
-∞
=-=
*=l l n y l x n y n x n u )()()()()(
={}4,0,0,0,0,4,0,0,0,0,1,0,0 然后由下式得到10点循环卷积
{})7(4)2(50,0,4,0,0,0,0,5,0,0)()10()(10-+-==??
?
???-=∑∞-∞=n n n R l n u n m l δδ
另一种方法是先计算)(n y 的10点离散傅立叶变换
()()[]k
k n nk N n nk N
W W W n n W
n y k Y 7102109
101
2722)()(+=-+-==∑∑=-=δδ 再计算乘积
()()
k
k k W W W k Y k X k M 710210510221)()()(++== k k k k W W W W 1210710710210422+++= k
k W W 71021045+=
由上式得到 ()()7425)(-+-=n n n m δδ 14．（1）已知序列：102sin )(-≤≤??
?
??=N n n N n x ，π，求)(n x 的N 点DFT 。 （2）已知序列：
{
2
,1,010)(==
n n x ，，其它
，则)(n x 的
9点DFT 是
8,...,2,1,09sin 3sin )(9
2=??
? ???
?? ??=-k k k e
k X k
j ，πππ 正确否？用演算来证明你的结论。()345P 解：（1）)(k X kn
N j N n e
n N π
π21
2sin --=∑??? ??= ∑-=--???? ??-=1022221N n kn N j n N j n N j e e e j π
π
π
∑-=+--???
? ??-=10)1(2)1(221N n n k N j n k N j e e j π
π
1,2
=-k N
j = 1,2
-=k N
j
0， 其它
（2）?
??
? ??-???? ??-=--=
=
------=-∑k j k j k j k j k j k j k j
k j
n kn
j e e e e e e e
e e
k X 999333
9
2962
9
211)(π
πππ
π
π
πππ
8,...,1,09sin 3sin 9
2=??
? ???
?? ??-K k k e
k j
，πππ 可见，题给答案是正确的。
15．一个8点序列)(n x 的8点离散傅里叶变换)(k X 如图5.29所示。在)(n x 的每两个取样值之间插入一个零值，得到一个16点序列)(n y ，即
??
?
??2n x ，n 为偶数 =)(n y
0 ，n 为奇数
（1）求)(n y 的16点离散傅里叶变换)(k Y ，并画出)(k Y 的图形。
（2）设)(k X 的长度N 为偶数，且有12,...,1,0),1()(-=--=N k k N X k X ，求??
?
??2N x 。
解：（1）因n 为奇数时0)(=n y ，故
∑∑=-??
? ??=
=14
,...2,01615
16
2)()(n nk n nk
W n x W
n y k Y ∑==
7
8
)(m mk
W
m x ， 150≤≤k
另一方面 ??
???≤≤=∑=其它,07
0,)()(7
08k W m x k X m mk
因此 ?????≤≤=-∑=-其它,015
8,)()8(7
0)8(8k W m x k X m k m
?????≤≤=∑=其它,015
0,)(7
08k W m x m mk
所以 )(k Y ??
???≤≤=∑=其它,015
0,)(7
08k W m x m mk
??
?
??≤≤-≤≤=其它,015
8),8(70),(k k X k k X
按照上式可画出)(k Y 的图形，如图5.34所示。
16．计算下列有限长序列)(n x 的DFT ，假设长度为N 。
（1）n
a n x =)( 10-≤≤N n
（2）{
}1,3,2,1)(--=n x
解：（1）()
∑∑-=-===
1
1
)(N n n
k
N N n nk
N
n
aW W
a k X
()
k N
N k
N
N
k
N
aW a aW aW --=--=1111 10-≤≤N k (2) ∑==
3
4)()(n nk
W n x k X
k
k k k k k k W
W W W W W W 34
24342440432132--+=--+=
k
k
k
j j ----+=)1(3)(21 )30(≤≤k
17．长度为8的有限长序列)(n x 的8点DFT 为)(k X ，长度为16的一个新序列定义为 )2
(n
x 14,...2,0=n =)(n y
0 15,...,3,1=n 试用)(k X 来表示[])()(n y DFT k Y =。 解：∑==
15
016
)()(n nk W
n y k Y
∑∑=+=++=7
)12(167
216
)12()2(r k
r r rk W r y W
r y ∑==7
8)(r rk W r x )15,...,1,0(=k
而 ∑==
7
8
)()(n nk W
n x k X )7,...,
1,0(=k 因此，当7,...,
1,0=k 时，)()(k X k Y =；当15,...,9,8=k 时，令)7,...,1,0(8=+=l l k ，得到：)()()()8(7
87
)
8(8
l X W r x W
r x l Y r rl r l r ===
+∑∑==+
即 )8()(-=k X k Y
于是有 )(k X 7,...,
1,0=k =)(k Y
)8(-k X 15,...,9,8=k
18．??
?
??=====304
,211,02
)(n N n n n x 若试计算)(n x 的离散傅里叶变换)(k X 的值
)3,2,1,0(=k 。
【解】 ∑-==
1
40)()(k kn
N
W
k x n X
所以 50122)()0(0
003
=+++==∑=N N N k kn N W W W W
k x X
ππ
ππj j
j
j
N
N N k kn
N
e e
e
e
W W W W
k x X ----=++=++=+++==∑2
24
24
22103
022220122)()1(
ππ24
203
220122)()2(j j N N N k kn N e e W W W W k x X --=++=+++==∑
ππ32
36303
220122)()3(j j
N
N N k kn
N
e e
W W W W
k x X --=++=+++==∑
证明题：
19．设)(k X 表示长度为N 的有限长序列)(n x 的DFT 。 （1）
证明如果)(n x 满足关系式
)1()(n N x n x ---=
则
0)0(=X
（2）
证明当N 为偶数时，如果
)1()(n N x n x --=
则0)2
(
=N
X 解 （1）
∑∑∑∑∑-=-=-=-=-=---=
===1
2
120
1
10
1
)
1()()()()0()()(N N
n N n N n N n N N n nk
N
n N x n x n x W n x X W n x k X
令m n N =--1
∑∑-=-=-
=0
12
12
)()()0(N n N n m x n x X
显然可得 0)0(=X
（2）∑∑-=-=-==1
10)1)(()()2(N n n N n jk n x e
n x N X π
（将n 分为奇数和偶数两部分表示）
∑∑-=+-=-++-=120
12120
2)1)(12()1)(2(N r r N
r r r x r x
∑∑-=-=+-=120
120
)12()2(N r N r r x r x
()1221)12()21(120
120
+=--+---=∑∑-=-=k r N r x r N x N r N r 令
∑∑-==+-+=
120
2
)12()12(N r N k r x r x
显然可得 0)2
(
=N
X 简答题：
21．在离散傅里叶变换中引起混迭效应的原因是什么？怎样才能减小这种效应？ 解：因为为采样时没有满足采样定理
减小这种效应的方法：采样时满足采样定理，采样前进行滤波，滤去高于折叠频率2s f 的频率成分。
22．试说明离散傅里叶变换与Z 变换之间的关系。
解：离散傅立叶变换是Z 变换在单位圆上的等间隔采样。
三、离散傅立叶变换性质
填空题：
1．已知序列}{3,2,1,0;1,3,2,2][=--=k k x ，序列长度4=N ，写出序列
]
[])2[(4k R k x N -的值（ ）。
数字信号处理试题及答案 一、 填空题（30分，每空1分） 1、对模拟信号（一维信号，是时间的函数）进行采样后，就是 离散时间 信号， 再进行幅度量化后就是 数字 信号。 2、已知线性时不变系统的单位脉冲响应为)(n h ，则系统具有因果性要求 )0(0)(<=n n h ，系统稳定要求∞<∑∞ -∞=n n h )(。 3、若有限长序列x(n)的长度为N ，h(n)的长度为M ，则其卷积和的长度L 为 N+M-1。 4、傅里叶变换的几种形式：连续时间、连续频率—傅里叶变换；连续时间离散频率—傅里叶级数；离散时间、连续频率—序列的傅里叶变换；散时间、 离散频率—离散傅里叶变换 5、 序列)(n x 的N 点DFT 是)(n x 的Z 变换在 单位圆上 的N 点等间隔采样。 6、若序列的Fourier 变换存在且连续，且是其z 变换在单位圆上的值，则序列 x(n)一定绝对可和。 7、 用来计算N ＝16点DFT ，直接计算需要__256___次复乘法，采用基2FFT 算 法，需要__32__ 次复乘法 。 8、线性相位FIR 数字滤波器的单位脉冲响应()h n 应满足条件 ()()1--±=n N h n h 。 9. IIR 数字滤波器的基本结构中， 直接 型运算累积误差较大； 级联型 运 算累积误差较小； 并联型 运算误差最小且运算速度最高。 10. 数字滤波器按功能分包括 低通 、 高通 、 带通 、 带阻 滤 波器。 11. 若滤波器通带内 群延迟响应 = 常数，则为线性相位滤波器。 12. ()?? ? ??=n A n x 73cos π错误!未找到引用源。的周期为 14 13. 求z 反变换通常有 围线积分法（留数法）、部分分式法、长除法等。 14. 用模拟滤波器设计IIR 数字滤波器的方法包括：冲激响应不变法、阶跃响 应不变法、双线性变换法。
一、 单 项选择题 1. 序列x(n)=Re(e jn π/12 )+I m (e jn π/18 ),周期为( )。 A. 18π B. 72 C. 18π D. 36 2. 设C 为Z 变换X(z)收敛域内的一条包围原点的闭曲线，F(z)=X(z)z n-1 ,用留数法求X(z)的反变换时( )。 A. 只能用F(z)在C 内的全部极点 B. 只能用F(z)在C 外的全部极点 C. 必须用收敛域内的全部极点 D. 用F(z)在C 内的全部极点或C 外的全部极点 3. 有限长序列h(n)(0≤n ≤N-1)关于τ= 2 1 -N 偶对称的条件是( )。 A. h(n)=h(N-n) B. h(n)=h(N-n-1) C. h(n)=h(-n) D. h(n)=h(N+n-1) 4. 对于x(n)= n )21(u(n)的Z 变换，( )。 A. 零点为z=21，极点为z=0 B. 零点为z=0，极点为z=21 C. 零点为z=21，极点为z=1 D. 零点为z=2 1 ，极点为z=2 5、)()(101n R n x =，)()(72n R n x =，用DFT 计算二者的线性卷积，为使计算量尽可能的少，应使DFT 的长度N 满足 。 A.16>N B.16=N C.16
1-1画出下列序列的示意图 (1) (2) (3) (1) (2)
(3) 1-2已知序列x(n)的图形如图1.41，试画出下列序列的示意图。 图1.41信号x(n)的波形 (1)(2)
(3) (4) (5)(6) (修正：n=4处的值为0，不是3）（修正：应该再向右移4个采样点）1-3判断下列序列是否满足周期性，若满足求其基本周期 (1) 解：非周期序列; (2) 解：为周期序列，基本周期N=5; (3)
解：，，取 为周期序列，基本周期。 (4) 解： 其中，为常数 ，取，，取 则为周期序列，基本周期N=40。 1-4判断下列系统是否为线性的？是否为移不变的？ (1)非线性移不变系统 (2) 非线性移变系统（修正：线性移变系统） (3) 非线性移不变系统 (4) 线性移不变系统 (5) 线性移不变系统（修正：线性移变系统）1-5判断下列系统是否为因果的？是否为稳定的？ (1) ，其中因果非稳定系统 (2) 非因果稳定系统 (3) 非因果稳定系统 (4) 非因果非稳定系统
(5) 因果稳定系统 1-6已知线性移不变系统的输入为x(n)，系统的单位脉冲响应为h(n)，试求系统的输出y(n)及其示意图 (1) (2) (3) 解：（1） （2） （3）
1-7若采样信号m(t)的采样频率fs=1500Hz，下列信号经m(t)采样后哪些信号不失真？ (1) (2) (3) 解： (1)采样不失真 (2)采样不失真 (3) ，采样失真 1-8已知,采样信号的采样周期为。 (1) 的截止模拟角频率是多少？ (2)将进行A/D采样后，的数字角频率与的模拟角频率的关系如何？ (3)若，求的数字截止角频率。 解： (1) (2) (3)
2020/3/27 2009-2010 学年第二学期 通信工程专业《数字信号处理》（课程）参考答案及评分标准 一、 选择题 （每空 1 分，共 20 分） 1．序列 x( n) cos n sin n 的周期为（ A ）。 4 6 A ． 24 B ． 2 C ． 8 D ．不是周期的 2．有一连续信号 x a (t) cos(40 t) ，用采样间隔 T 0.02s 对 x a (t) 进行采样，则采样所得的时域离散信 号 x(n) 的周期为（ C ） A ． 20 B ． 2 C ． 5 D ．不是周期的 3．某线性移不变离散系统的单位抽样响应为h(n) 3n u( n) ，该系统是（ B ）系统。 A ．因果稳定 B ．因果不稳定 C ．非因果稳定 D ．非因果不稳定 4．已知采样信号的采样频率为 f s ，采样周期为 T s ，采样信号的频谱是原模拟信号频谱的周期函数，周 期为（ A ），折叠频率为（ C ）。 A ． f s B ． T s C ． f s / 2 D ． f s / 4 5．以下关于序列的傅里叶变换 X ( e j ) 说法中，正确的是（ B ）。 A ． X ( e B ． X ( e C ． X (e D ． X (e j j j j ) 关于 是周期的，周期为 ) 关于 是周期的，周期为 2 ) 关于 是非周期的 ) 关于 可能是周期的也可能是非周期的 6．已知序列 x(n) 2 (n 1) (n)(n 1) ，则 j X (e ) 的值为（ ）。 C
2020/3/27 A ． 0 B ． 1 C ． 2 D ． 3 N 1 7．某序列的 DFT 表达式为 X (k ) x(n)W M nk ，由此可看出，该序列的时域长度是（ A ），变换后数字域 n 0 上相邻两个频率样点之间的间隔（ C ）。 A ． N B ． M C ．2 /M D ． 2 / N 8．设实连续信号 x(t) 中含有频率 40 Hz 的余弦信号，现用 f s 120 Hz 的采样频率对其进行采样，并利 用 N 1024 点 DFT 分析信号的频谱，得到频谱的谱峰出现在第（ B ）条谱线附近。 A ． 40 B ． 341 C ． 682 D ．1024 9．已知 x( n) 1，2,3,4 ，则 x ( ) R 6 ( ) （ ）， x ( n 1) R 6 (n) （ ） n 6 n 6 A C A ． 1,0,0,4,3,2 B ． 2,1,0,0,4,3 C ． 2,3,4,0,0,1 D ． 0,1,2,3,4，0 10．下列表示错误的是（ B ）。 A ． W N nk W N ( N k) n B ． (W N nk ) * W N nk C ． W N nk W N (N n) k D ． W N N /2 1 11．对于 N 2L 点的按频率抽取基 2FFT 算法，共需要（ A ）级蝶形运算，每级需要（ C ）个蝶形运算。 A ． L B ． L N 2 C ． N D ． N L 2 12．在 IIR 滤波器中，（ C ）型结构可以灵活控制零极点特性。 A ．直接Ⅰ B ．直接Ⅱ C ．级联 D ．并联 13．考虑到频率混叠现象，用冲激响应不变法设计 IIR 数字滤波器不适合于（ B ）。 A ．低通滤波器 B ．高通、带阻滤波器 C ．带通滤波器 D ．任何滤波器
数字信号处理模拟试题一 一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.在对连续信号均匀采样时，要从离散采样值不失真恢复原信号，则采样角频率Ωs与信号最高截止频率Ωc应满足关系（A ） A.Ωs>2Ωc B.Ωs>Ωc C.Ωs<Ωc D.Ωs<2Ωc 2.下列系统（其中y(n)为输出序列，x(n)为输入序列）中哪个属于线性系统？（D） A.y(n)=y(n-1)x(n) B.y(n)=x(n)/x(n+1) C.y(n)=x(n)+1 D.y(n)=x(n)-x(n-1) 3.已知某序列Z变换的收敛域为5>|z|>3，则该序列为（D ） A.有限长序列 B.右边序列 C.左边序列 D.双边序列 4.实偶序列傅里叶变换是（A ） A.实偶序列 B.实奇序列 C.虚偶序列 D.虚奇序列 5.已知x(n)=δ(n)，其N点的DFT［x(n)］=X(k)，则X(N-1)=（B） A.N-1 B.1 C.0 D.-N+1 6.设两有限长序列的长度分别是M与N，欲通过计算两者的圆周卷积来得到两者的线性卷积，则圆周卷积的点数至少应取（B ） A.M+N B.M+N-1 C.M+N+1 D.2(M+N) 7.下面说法中正确的是（C） A.连续非周期信号的频谱为周期连续函数 B.连续周期信号的频谱为周期连续函数 C.离散非周期信号的频谱为周期连续函数 D.离散周期信号的频谱为周期连续函数 8.下列各种滤波器的结构中哪种不是IIR滤波器的基本结构？（C ） A.直接型 B.级联型 C.频率抽样型 D.并联型 9.下列关于FIR滤波器的说法中正确的是（C） A.FIR滤波器容易设计成线性相位特性
数字信号处理试题及答案 一、填空题：（每空1分，共18分） 1、 数字频率ω是模拟频率Ω对采样频率s f 的归一化，其值是 连续 （连续还是离散？）。 2、 双边序列z 变换的收敛域形状为 圆环或空集 。 3、 某序列的 DFT 表达式为∑-==1 0)()(N n kn M W n x k X ，由此可以看出，该序列时域的长度为 N ，变换后数字频域上相邻两个频率样点之间的间隔是 M π 2 。 4、 线性时不变系统离散时间因果系统的系统函数为2 52) 1(8)(2 2++--=z z z z z H ，则系统的极点为 2,2 1 21-=-=z z ；系统的稳定性为 不稳定 。系统单位冲激响应)(n h 的初值 4)0(=h ；终值)(∞h 不存在 。 5、 如果序列)(n x 是一长度为64点的有限长序列)630(≤≤n ，序列)(n h 是一长度为128点 的有限长序列)1270(≤≤n ，记)()()(n h n x n y *=（线性卷积），则)(n y 为 64+128-1＝191点 点的序列，如果采用基FFT 2算法以快速卷积的方式实现线性卷积，则FFT 的点数至少为 256 点。 6、 用冲激响应不变法将一模拟滤波器映射为数字滤波器时，模拟频率Ω与数字频率ω之间的 映射变换关系为T ω = Ω。用双线性变换法将一模拟滤波器映射为数字滤波器时，模拟频率Ω 与数字频率ω之间的映射变换关系为)2 tan(2ω T =Ω或)2arctan(2T Ω=ω。 7、当线性相位 FIR 数字滤波器满足偶对称条件时，其单位冲激响应)(n h 满足的条件为 )1()(n N h n h --= ，此时对应系统的频率响应)()()(ω?ω ωj j e H e H =，则其对应的相位函数 为ωω?2 1 )(-- =N 。 8、请写出三种常用低通原型模拟滤波器 巴特沃什滤波器 、 切比雪夫滤波器 、 椭圆滤波器 。 二、判断题（每题2分，共10分） 1、 模拟信号也可以与数字信号一样在计算机上进行数字信号处理，只要加一道采样的工序就可 以了。 （╳） 2、 已知某离散时间系统为)35()]([)(+==n x n x T n y ，则该系统为线性时不变系统。(╳)
一. 填空题 1、一线性时不变系统，输入为x（n）时，输出为y（n）；则输入为2x（n）时，输出为2y(n) ；输入为x（n-3）时，输出为y(n-3) 。 2、从奈奎斯特采样定理得出，要使实信号采样后能够不失真还原，采样频率fs与信号最高频率f max关系为：fs>=2f max。 3、已知一个长度为N的序列x(n)，它的离散时间傅立叶变换为X（e jw），它的N点离散傅立叶变换X（K）是关于X（e jw）的N 点等间隔采样。 4、有限长序列x(n)的8点DFT为X（K），则X（K）= 。 5、用脉冲响应不变法进行IIR数字滤波器的设计，它的主要缺点是频谱的交叠所产生的现象。 6．若数字滤波器的单位脉冲响应h（n）是奇对称的，长度为N，则它的对称中心是(N-1)/2 。 7、用窗函数法设计FIR数字滤波器时，加矩形窗比加三角窗时，所设计出的滤波器的过渡带比较窄，阻带衰减比较小。 8、无限长单位冲激响应（IIR）滤波器的结构上有反馈环路，因此是递归型结构。 9、若正弦序列x(n)=sin(30nπ/120)是周期的,则周期是N= 8 。 10、用窗函数法设计FIR数字滤波器时，过渡带的宽度不但与窗的类型有关，还与窗的采样点数有关 11．DFT与DFS有密切关系，因为有限长序列可以看成周期序列的主值区间截断，而周期序列可以看成有限长序列的周期延拓。 12．对长度为N的序列x(n)圆周移位m位得到的序列用x m (n)表示，其数学表达式为 x m (n)= x((n-m)) N R N (n)。 13．对按时间抽取的基2-FFT流图进行转置，并将输入变输出，输出变输入即可得到按频率抽取的基2-FFT流图。 14.线性移不变系统的性质有交换率、结合率和分配律。 15.用DFT近似分析模拟信号的频谱时，可能出现的问题有混叠失真、泄漏、栅栏效应和频率分辨率。
A 一、 选择题（每题3分，共5题） 1、)6 3()(π-=n j e n x ，该序列是 。 A.非周期序列 B.周期6 π = N C.周期π6=N D. 周期π2=N 2、序列)1()(---=n u a n x n ，则)(Z X 的收敛域为 。 A.a Z < B.a Z ≤ C.a Z > D.a Z ≥ 3、对)70()(≤≤n n x 和)190()(≤≤n n y 分别作 20 点 DFT ，得)(k X 和)(k Y ， 19,1,0),()()( =?=k k Y k X k F ，19,1,0)],([)( ==n k F IDFT n f ， n 在 围时，)(n f 是)(n x 和)(n y 的线性卷积。 A.70≤≤n B.197≤≤n C.1912≤≤n D.190≤≤n 4、)()(101n R n x =，)()(72n R n x =，用DFT 计算二者的线性卷积，为使计算量尽可能的少，应使DFT 的长度N 满足 。 A.16>N B.16=N C.16 数字信号处理期末试题及答案汇总 数字信号处理卷一 一、填空题（每空1分, 共10分） 1．序列()sin(3/5)x n n π=的周期为 。 2．线性时不变系统的性质有 律、 律、 律。 3．对4 ()()x n R n =的Z 变换为 ，其收敛域为 。 4．抽样序列的Z 变换与离散傅里叶变换DFT 的关系为 。 5．序列x(n)=(1，-2，0，3；n=0，1，2，3), 圆周左移2位得到的序列为 。 6．设LTI 系统输入为x(n) ，系统单位序列响应为h(n)，则系统零状态输出y(n)= 。 7．因果序列x(n)，在Z →∞时，X(Z)= 。 二、单项选择题（每题2分, 共20分） 1．δ(n)的Z 变换是 （ ）A.1 B.δ(ω) C.2πδ(ω) D.2π 2．序列x 1（n ）的长度为4，序列x 2（n ）的长度为3，则它们线性卷积的长度是 （ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 7 3．LTI 系统，输入x （n ）时，输出y （n ）；输入 为3x （n-2），输出为 （ ） A. y （n-2） B.3y （n-2） C.3y （n ） D.y （n ） 4．下面描述中最适合离散傅立叶变换DFT 的是 （ ） A.时域为离散序列，频域为连续信号 B.时域为离散周期序列，频域也为离散周期序列 C.时域为离散无限长序列，频域为连续周期信号 D.时域为离散有限长序列，频域也为离散有限长序列 5．若一模拟信号为带限，且对其抽样满足奈奎斯特条件，理想条件下将抽样信号通过即可完全不失真恢复原信号（）A.理想低通滤波器 B.理想高通滤波器 C.理想带通滤波器 D.理想带阻滤波器 6．下列哪一个系统是因果系统（）A.y(n)=x (n+2) B. y(n)= cos(n+1)x (n) C. y(n)=x (2n) D.y(n)=x (- n) 7．一个线性时不变离散系统稳定的充要条件是其系统函数的收敛域包括（）A. 实轴 B.原点C.单位圆 D.虚轴 8．已知序列Z变换的收敛域为｜z｜>2，则该序列为（）A.有限长序列 B.无限长序列C.反因果序列 D.因果序列 9．若序列的长度为M，要能够由频域抽样信号X(k)恢复原序列，而不发生时域混叠现象，则频域抽样点数N需满足的条件是( ) A.N≥M B.N≤M C.N≤2M D.N≥2M 10．设因果稳定的LTI系统的单位抽样响应h(n)，在n<0时，h(n)= ( ) 一、 填空题（每题2分，共10题） 1、 1、 对模拟信号（一维信号，是时间的函数）进行采样后，就是 信号，再 进行幅度量化后就是 信号。 2、 2、 )()]([ω j e X n x FT =，用)(n x 求出)](Re[ω j e X 对应的序列 为 。 ３、序列)(n x 的N 点DFT 是)(n x 的Z 变换在 的N 点等间隔采样。 ４、)()(5241n R x n R x ==，只有当循环卷积长度L 时，二者的循环卷积等于线性卷积。 ５、用来计算N ＝16点DFT ，直接计算需要_________ 次复乘法，采用基2FFT 算法，需要________ 次复乘法，运算效率为__ _ 。 ６、FFT 利用 来减少运算量。 ７、数字信号处理的三种基本运算是： 。 ８、FIR 滤波器的单位取样响应)(n h 是圆周偶对称的，N=6， 3)3()2(2 )4()1(5.1)5()0(======h h h h h h ，其幅度特性有什么特性？ ，相位有何特性？ 。 ９、数字滤波网络系统函数为 ∑=--= N K k k z a z H 111)(，该网络中共有 条反馈支路。 １０、用脉冲响应不变法将)(s H a 转换为)(Z H ，若)(s H a 只有单极点k s ，则系统)(Z H 稳定的条件是 （取s T 1.0=）。 二、 选择题（每题3分，共6题） 1、 1、 )6 3()(π-=n j e n x ，该序列是 。 A.非周期序列 B.周期 6π = N C.周期π6=N D. 周期π2=N 2、 2、 序列 )1()(---=n u a n x n ，则)(Z X 的收敛域为 。 A. a Z < B. a Z ≤ C. a Z > D. a Z ≥ 3、 3、 对)70()(≤≤n n x 和)190()(≤≤n n y 分别作20点DFT ，得)(k X 和)(k Y ， 19,1,0),()()(Λ=?=k k Y k X k F ，19,1,0)],([)(Λ==n k F IDFT n f ， n 在 范围内时，)(n f 是)(n x 和)(n y 的线性卷积。 A.70≤≤n B.197≤≤n C.1912≤≤n D.190≤≤n 4、 4、 )()(101n R n x =，) ()(72n R n x =，用DFT 计算二者的线性卷积，为使计算量尽可 能的少，应使DFT 的长度N 满足 。 A.16>N B.16=N C.16 数字信号处理期末试卷(含答案) 填空题（每题2分，共10题） 1、 1、 对模拟信号（一维信号，是时间的函数）进行采样后，就是 信号，再 进行幅度量化后就是 信号。 2、 2、 )()]([ωj e X n x FT =，用)(n x 求出)](Re[ωj e X 对应的序列 为 。 ３、序列)(n x 的N 点DFT 是)(n x 的Z 变换在 的N 点等间隔采样。 ４、)()(5241n R x n R x ==，只有当循环卷积长度L 时，二者的循环卷积等于线性卷积。 ５、用来计算N ＝16点DFT ，直接计算需要_________ 次复乘法，采用基2FFT 算法，需要________ 次复乘法，运算效率为__ _ 。 ６、FFT 利用 来减少运算量。 ７、数字信号处理的三种基本运算是： 。 ８、FIR 滤波器的单位取样响应)(n h 是圆周偶对称的，N=6， 3)3()2(2 )4()1(5 .1)5()0(======h h h h h h ，其幅 度特性有什么特性？ ，相位有何特性？ 。 ９、数字滤波网络系统函数为 ∑=--= N K k k z a z H 111)(，该网络中共有 条反馈支路。 １０、用脉冲响应不变法将)(s H a 转换为)(Z H ，若)(s H a 只有单极点k s ，则系统)(Z H 稳定的条件是 （取s T 1.0=）。 一、 选择题（每题3分，共6题） 1、 1、 )6 3()(π-=n j e n x ，该序列是 。 A.非周期序列 B.周期 6π = N C.周期π6=N D. 周期π2=N 2、 2、 序列)1()(---=n u a n x n ，则)(Z X 的收敛域为 。 A.a Z < B.a Z ≤ C.a Z > D.a Z ≥ 3、 3、 对)70() (≤≤n n x 和)190()(≤≤n n y 分别作20点DFT ，得)(k X 和)(k Y ， 19,1,0),()()( =?=k k Y k X k F ，19,1,0)],([)( ==n k F IDFT n f ， n 在 范围内时，)(n f 是)(n x 和)(n y 的线性卷积。 A.70≤≤n B.197≤≤n C.1912≤≤n D.190≤≤n 4、 4、 )()(101n R n x =，)()(72n R n x =，用DFT 计算二者的线性卷积，为使计算量尽可 能的少，应使DFT 的长度N 满足 。 A.16>N B.16=N C.16 1. 两个有限长序列x1(n)，0≤n ≤33和x2(n)，0≤n ≤36，做线性卷积后结果的长度是 70 ， 若对这两个序列做64点循环卷积，则圆周卷积结果中n= 6 至 64 为线性卷积结果。 2. 一线性时不变系统，输入为 x （n ）时，输出为y （n ） ；则输入为2x （n ）时，输出为 ； 输入为x （n-3）时，输出为 3. 若正弦序列x(n)=sin(30n π/120)是周期的，则周期是N= 8 4. 如果一台计算机的速度为平均每次复乘5μS ，每次复加0.5μS ，用它来计算512 点的DFT[x(n)]，问直接计算需要多少时间，用FFT 运算需要多少时间。 1、 直接计算 复乘所需时间 62621510510512 1.31072T N s --=??=??= 复加所需时间()6610.51010.5105125110.130816T N N s --=???-=???= 所以12 1.441536T T T s =+= 2、用FFT 计算 复乘所需时间 66122512510log 510log 5120.0115222 N T N s --=?? =??= 复加所需时间662220.510log 0.510512log 5120.002304T N N s --=??=??= 所以120.013824T T T s =+= 6.设系统差分方程 y(n)=ay(n-1)+x(n) 其中x(n)为输入，y(n)为输出。当边界条件选为y(-1)=0时，是判断系统是否线性的、移不变的 7.用级联型结构实现以下系统函数，试问一共能构成几种级联型网络，并画出其中一种的信号流图。 ()() ()() 22 41 1.41()0.50.90.8Z Z Z H z Z Z Z +-+= -++ ==============================绪论============================== 1. A/D 8bit 5V 00000000 0V 00000001 20mV 00000010 40mV 00011101 29mV ==================第一章 时域离散时间信号与系统================== 1. ①写出图示序列的表达式 答：3)1.5δ(n 2)2δ(n 1)δ(n 2δ(n)1)δ(n x(n)-+---+++= ②用δ(n) 表示y (n )={2,7,19,28,29,15} 2. ①求下列周期 ②判断下面的序列是否是周期的; 若是周期的， 确定其周期。 （1）A是常数 8ππn 73Acos x(n)??? ? ??-= （2）)8 1 (j e )(π-=n n x 解： （1） 因为ω= 73π, 所以314 π2=ω, 这是有理数， 因此是周期序列， 周期T =14。 （2） 因为ω= 81, 所以ω π2=16π, 这是无理数， 因此是非周期序列。 ③序列)Acos(nw x(n)0?+=是周期序列的条件是是有理数2π/w 0。 3.加法 乘法 序列{2，3，2，1}与序列{2，3，5，2，1}相加为__{4，6，7，3，1}__，相乘为___{4，9，10，2} 。 移位 翻转：①已知x(n)波形，画出x(-n)的波形图。 ② 尺度变换：已知x(n)波形，画出x(2n)及x(n/2)波形图。 卷积和：①h(n)*求x(n)，其他0 2 n 0n 3，h(n)其他03n 0n/2设x(n) 例、???≤≤-=???≤≤= ②已知x (n )={1,2,4,3},h (n )={2,3,5}, 求y (n )=x (n )*h (n ) x (m )={1,2,4,3},h (m )={2,3,5}，则h (-m )={5,3,2}(Step1:翻转) 一、填空题（每空1分, 共10分） 1．序列()sin(3/5)x n n π=的周期为 。 2．线性时不变系统的性质有 律、 律、 律。 3．对4()()x n R n =的Z 变换为 ，其收敛域为 。 4．抽样序列的Z 变换与离散傅里叶变换DFT 的关系为 。 5．序列x(n)=(1，-2，0，3；n=0，1，2，3), 圆周左移2位得到的序列为 。 6．设LTI 系统输入为x(n) ，系统单位序列响应为h(n)，则系统零状态输出y(n)= 。 7．因果序列x(n)，在Z →∞时，X(Z)= 。 答案： 1.10 2.交换律，结合律、分配律 3. 4 11,01z z z --->- 4. k N j e Z π2= 5.{0，3，1，-2; n=0,1,2,3} 6.()()()y n x n h n =* 7. x(0) 二、单项选择题（每题2分, 共20分） 1．δ(n)的Z 变换是 （ a ） A.1 B.δ(ω) C.2πδ(ω) D.2π 2．序列x 1（n ）的长度为4，序列x 2（n ）的长度为3，则它们线性卷积的长度是 （ c ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 7 3．LTI 系统，输入x （n ）时，输出y （n ）；输入为3x （n-2），输出为 （ b ） A. y （n-2） B.3y （n-2） C.3y （n ） D.y （n ） 4．下面描述中最适合离散傅立叶变换DFT 的是 （ d ） A.时域为离散序列，频域为连续信号 B.时域为离散周期序列，频域也为离散周期序列 C.时域为离散无限长序列，频域为连续周期信号 D.时域为离散有限长序列，频域也为离散有限长序列 5．若一模拟信号为带限，且对其抽样满足奈奎斯特条件，理想条件下将抽样信号通过 即可完 全不失真恢复原信号 （ a ） A.理想低通滤波器 B.理想高通滤波器 C.理想带通滤波器 D.理想带阻滤波器 6．下列哪一个系统是因果系统 （ b ） A.y(n)=x (n+2) B. y(n)= cos(n+1)x (n) C. y(n)=x (2n) D.y(n)=x (- n) 7．一个线性时不变离散系统稳定的充要条件是其系统函数的收敛域包括 （ c ） A. 实轴 B.原点 C.单位圆 D.虚轴 数字信号处理试卷答案 完整版 一、填空题：（每空1分，共18分） 1、 数字频率ω是模拟频率Ω对采样频率s f 的归一化，其值是 连续 （连续还是离散？）。 2、 双边序列z 变换的收敛域形状为 圆环或空集 。 3、 某序列的 DFT 表达式为∑-==1 0)()(N n kn M W n x k X ，由此可以看出，该序列时域的长度为 N ，变换后数字频域上相邻两个频率样点之间的间隔是 M π 2 。 4、 线性时不变系统离散时间因果系统的系统函数为2 52) 1(8)(22++--=z z z z z H ，则系统的极点为 2,2 1 21-=-=z z ；系统的稳定性为 不稳定 。系统单位冲激响应)(n h 的初值 4)0(=h ；终值)(∞h 不存在 。 5、 如果序列)(n x 是一长度为64点的有限长序列)630(≤≤n ，序列)(n h 是一长度为128点 的有限长序列)1270(≤≤n ，记)()()(n h n x n y *=（线性卷积），则)(n y 为 64+128-1＝191点 点的序列，如果采用基FFT 2算法以快速卷积的方式实现线性卷积，则FFT 的点数至少为 256 点。 6、 用冲激响应不变法将一模拟滤波器映射为数字滤波器时，模拟频率Ω与数字频率ω之间的 映射变换关系为T ω = Ω。用双线性变换法将一模拟滤波器映射为数字滤波器时，模拟频率Ω 与数字频率ω之间的映射变换关系为)2 tan(2ω T =Ω或)2arctan(2T Ω=ω。 7、当线性相位 FIR 数字滤波器满足偶对称条件时，其单位冲激响应)(n h 满足的条件为 )1()(n N h n h --= ，此时对应系统的频率响应)()()(ω?ω ωj j e H e H =，则其对应的相位函数 为ωω?2 1 )(-- =N 。 8、请写出三种常用低通原型模拟滤波器 巴特沃什滤波器 、 切比雪夫滤波器 、 椭圆滤波器 。 二、判断题（每题2分，共10分） 1、 模拟信号也可以与数字信号一样在计算机上进行数字信号处理，只要加一道采样的工序就可 以了。 （╳） 2、 已知某离散时间系统为)35()]([)(+==n x n x T n y ，则该系统为线性时不变系统。(╳) 江 苏 大 学 试 题 课程名称 数字信号处理 开课学院 使用班级 考试日期 江苏大学试题第2A页 江苏大学试题第3A 页 江苏大学试题第页 一、填空题：（每空1分，共18分） 8、 数字频率ω是模拟频率Ω对采样频率s f 的归一化，其值是 连续 （连续还是离散？）。 9、 双边序列z 变换的收敛域形状为 圆环或空集 。 10、 某序列的DFT 表达式为∑-== 10 )()(N n kn M W n x k X ，由此可以看出，该序列时域的长度为 N ， 变换后数字频域上相邻两个频率样点之间的间隔是 M π 2 。 11、 线性时不变系统离散时间因果系统的系统函数为2 52) 1(8)(22++--=z z z z z H ，则系统的极点为 2,2 1 21-=-=z z ；系统的稳定性为 不稳定 。系统单位冲激响应)(n h 的初值4)0(=h ； 终值)(∞h 不存在 。 12、 如果序列)(n x 是一长度为64点的有限长序列)630(≤≤n ，序列)(n h 是一长度为128点的有限长 序列)1270(≤≤n ，记)()()(n h n x n y *=（线性卷积），则)(n y 为 64+128-1＝191点 点的序列，如果采用基FFT 2算法以快速卷积的方式实现线性卷积，则FFT 的点数至少为 256 点。 13、 用冲激响应不变法将一模拟滤波器映射为数字滤波器时，模拟频率Ω与数字频率ω之间的映射变换 关系为T ω = Ω。用双线性变换法将一模拟滤波器映射为数字滤波器时，模拟频率Ω与数字频率ω之 间的映射变换关系为)2tan(2ωT = Ω或)2 arctan(2T Ω=ω。 当线性相位FIR 数字滤波器满足偶对称条件时，其单位冲激响应)(n h 满足的条件为)1()(n N h n h --= ， 1. 有一个线性移不变的系统，其系统函数为： 2z 2 1 )21)(2 11(2 3)(11 1<<-- - = ---z z z z H 1）用直接型结构实现该系统 2)讨论系统稳定性，并求出相应的单位脉冲响应)(n h 4．试用冲激响应不变法与双线性变换法将以下模拟滤波器系统函数变换为数字滤波器系统函数： H(s)= 3) 1)(s (s 2 ++其中抽样周期T=1s 。 三、有一个线性移不变的因果系统，其系统函数为： ) 21)(2 1 1(2 3)(111------= z z z z H 1用直接型结构实现该系统 2)讨论系统稳定性，并求出相应的单位脉冲响应)(n h 七、用双线性变换设计一个三阶巴特沃思数字低通虑波器，采样频率为kHz f s 4=（即采样周期为s T μ250=）,其3dB 截止频率为kHz f c 1=。三阶模拟巴特沃思滤波器为： 3 2 ) ()(2)(211)(c c c a s s s s H Ω+Ω+Ω+= 解1)2 111112 5 12 3) 21)(2 1 1(2 3)(------+-- = --- = z z z z z z z H …………………………….. 2分 当2 1 2> >z 时： 收敛域包括单位圆……………………………6分 系统稳定系统。……………………………….10分 1111 1211 2 111)21)(2 11(2 3)(------- -= -- - = z z z z z z H ………………………………..12分 )1(2)()2 1 ()(--+=n u n u n h n n ………………………………….15分 4.（10分）解： 3 1 11)3)(1(1)(+- +=++= s s s s s H ………………1分 1 311)(------ -= Z e s T Z e T z H T T ……………………3分 三、计算题 1、已知10),()(<<=a n u a n x n ,求)(n x 的Z 变换及收敛域。 （10分） 解：∑∑∞ =-∞ -∞=-= = )()(n n n n n n z a z n u a z X 1 111 )(-∞=--== ∑ az z a n n ||||a z > 2、设)()(n u a n x n = )1()()(1--=-n u ab n u b n h n n 求 )()()(n h n x n y *=。（10分） 解：[]a z z n x z X -=? =)()(， ||||a z > []b z a z b z a b z z n h z H --=---= ?=)()(， ||||b z > b z z z H z X z Y -= =)()()( ， |||| b z > 其z 反变换为 [])()()()()(1n u b z Y n h n x n y n =?=*=- 3、写出图中流图的系统函数。(10分) 解：2 1)(--++=cz bz a z H 2 1124132)(----++= z z z z H ４、利用共轭对称性，可以用一次DFT 运算来计算两个实数序列的DFT ，因而可以减少计算量。设都是N 点实数序列，试用一次DFT 来计算它们各自的DFT ： [])()(11k X n x DFT = []) ()(22k X n x DFT =（10分）。 解:先利用这两个序列构成一个复序列，即 )()()(21n jx n x n w += 即 [][])()()()(21n jx n x DFT k W n w DFT +== []()[]n x jDFT n x DFT 21)(+= )()(21k jX k X += 又[])(Re )(1n w n x = 得 [])(})({Re )(1k W n w DFT k X ep == [] )())(()(2 1*k R k N W k W N N -+= 同样 [])(1 })({Im )(2k W j n w DFT k X op == [] )())(()(21*k R k N W k W j N N --= 所以用DFT 求出)(k W 后，再按以上公式即可求得)(1k X 与)(2k X 。 5、已知滤波器的单位脉冲响应为)(9.0)(5n R n h n =求出系统函数，并画出其直接型 结构。（10分） 解： ｘ（ｎ） 1-z 1-z 1-z 1-z １ 9.0 2 9.0 3 9.0 4 9.0 ｙ（ｎ） ６、略。 ７、设模拟滤波器的系统函数为 31 11342)(2+-+=++=s s s s s H a 试利用冲激响应不变法，设计IIR 数字滤波器。（10分） 解 T T e z T e z T z H 31111)(-------= A 一、选择题（每题3分，共5题） 1、 )6 3()(π-=n j e n x ，该序列是 。 A.非周期序列 B.周期6 π = N C.周期π6=N D. 周期π2=N 2、 序列)1()(---=n u a n x n ，则)(Z X 的收敛域为 。 A.a Z < B.a Z ≤ C.a Z > D.a Z ≥ 3、 对)70() (≤≤n n x 和)190()(≤≤n n y 分别作20 点 DFT ，得 )(k X 和)(k Y ， 19,1,0),()()( =?=k k Y k X k F ，19,1,0)],([)( ==n k F IDFT n f ， n 在 范围内时，)(n f 是)(n x 和)(n y 的线性卷积。 A.70≤≤n B.197≤≤n C.1912≤≤n D.190≤≤n 4、 )()(101n R n x =，)()(72n R n x =，用DFT 计算二者的线性卷积，为使计算量尽可能的少，应使DFT 的长度N 满足 。 A.16>N B.16=N C.16数字信号处理期末试题及答案汇总
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