2.1.2 平面直角坐标系中的基本公式
[学习目标] 1.通过数轴上两点的距离公式的探索,掌握平面直角坐标系中两点的距离公式和中点公式.2.通过对两点的距离公式的推导过程的探索,体会算法.3.进一步体会“坐标法”的基本思想,逐步学会用“坐标法”解决有关问题.
[知识链接]
1.在直角坐标系中,A (1,0),B (3,0)两点的距离为2；C (0,－1),D (0,3)两点的距离为4.
2.在直角三角形ABC 中,B ＝90°,AB ＝3,BC ＝4,则AC ＝5. [预习导引] 1.两点间距离公式
两点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)间的距离公式表示为d (A ,B )＝x 2－x 1
2
＋y 2－y 1
2
；
当AB 垂直于y 轴时,d (A ,B )＝|x 2－x 1|； 当AB 垂直于x 轴时,d (A ,B )＝|y 2－y 1|； 当B 为原点时,d (A ,B )＝x 2
1＋y 2
1. 2.坐标法
(1)定义：在解决一些平面上的几何问题时,经常在平面上建立坐标系,以坐标系为桥梁,将几何问题转化为代数问题,通过代数运算研究几何图形的性质,这种方法称为坐标法.注意在建立坐标系时,可以建立直线坐标系、直角坐标系等. (2)坐标法解决问题的基本步骤如下：
第一步,根据题中条件,建立恰当的坐标系,用坐标表示有关的量；第二步,进行有关代数运算；第三步,把代数结果翻译成几何关系. 3.中点坐标公式
已知A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),设点M (x ,y )是线段AB 的中点,则中点坐标公式为
? ??
??x 1＋x 22，y 1＋y 22.
要点一 两点的距离公式的应用
例1 已知△ABC 三个顶点的坐标分别为A (－a,0),B (a,0),C (0,3a ). 求证：△ABC 是等边三角形.
证明 由两点的距离公式得 |AB |＝a ＋a
2
＋0－0
2
＝2|a |,
|BC |＝0－a 2
＋3a －02
＝2|a |, |CA |＝
0＋a
2＋
3a －0
2
＝2|a |.
∴|AB |＝|BC |＝|CA |, 故△ABC 是等边三角形.
规律方法 1.判断多边形的形状或判断点之间的关系时,若已知点的坐标,一般转化为两点的距离求解.
2.根据边长判断三角形形状的结论主要有以下几种：等腰、等边、直角、等腰直角三角形等,在进行判断时,一定要得出最终结果,比如一个三角形是等腰直角三角形,若我们只通过两边长相等判定它是等腰三角形则是不正确的.
跟踪演练1 本例若改为：已知A (－1,－1),B (3,5),C (5,3),试判断△ABC 的形状. 解 d (A ,B )＝[3－－1]2
＋[5－－1]2
＝42
＋62
＝52＝213,
d (A ,C )＝[5－－1]2＋[3－－1]2
＝62
＋42
＝52＝213,
d (B ,C )＝5－3
2
＋3－5
2
＝22＋22
＝8＝2 2.
所以|AB |＝|AC |≠|BC |,且显然三边长不满足勾股定理, 所以△ABC 为等腰三角形, 要点二 中点公式的应用
例2 已知平行四边形ABCD 的两个顶点坐标分别为A (4,2),B (5,7),对角线交点为E (－3,4),求另外两顶点C 、D 的坐标.
解 设C 点坐标为(x 1,y 1),则由E 为AC 的中点得： ????? －3＝4＋x 12，4＝2＋y 1
2，
得?
??
?? x 1＝－10，y 1＝6.设D 点坐标为(x 2,y 2),则由E 为BD 的中点得
?????
－3＝5＋x 22，4＝7＋y 2
2，
得?????
x 2＝－11，y 2＝1，
故C 点坐标为(－10,6),D 点坐标为(－11,1).
规律方法 1.本题是用平行四边形对角线互相平分这一性质,依据中点公式列方程组求点的坐标.
2.中点公式常用于求与线段中点,三角形的中线,平行四边形的对角线等有关的问题,解题时一般先根据几何概念,提炼出点之间的“中点关系”,然后用中点公式列方程或方程组求解. 跟踪演练2 已知平行四边形ABCD 的三个顶点坐标分别为A (0,0),B (2,0),D (1,3),求顶点C 的坐标.
解 ∵平行四边形的对角线互相平分, ∴平行四边形对角线的中点坐标相同. 设C 点坐标为C (x ,y ),则 ?????
0＋x 2＝2＋12＝32，0＋y 2＝0＋32＝32，
∴?
??
??
x ＝3，y ＝3.即C (3,3).
要点三 坐标法的应用
例3 已知正三角形ABC 的边长为a ,在平面上求一点P ,使|PA |2
＋|PB |2
＋|PC |2
最小,并求此最小值.
解 以BC 所在直线为x 轴,BC 的垂直平分线为y 轴,建立直角坐标系如图.
则A ? ????0，
32a ,B ? ????－a 2，0,C ? ??
??a 2，0 设P (x ,y )则|PA |2
＋|PB |2
＋|PC |2
＝x 2
＋? ????y －
32a 2＋?
??
??x ＋a 22＋y 2
＋? ????x －a 22＋y 2 ＝3x 2
＋3y 2
－3ay ＋5a 2
4＝3x 2
＋3? ????y －36a 2＋a 2≥a 2,
当且仅当x ＝0,y ＝
3
6
a 时,等号成立, ∴所求最小值为a 2
,此时P 点坐标为P ? ??
??
0，
3a 6是正△ABC 的中心. 规律方法 (1)也可以B 为原点,BC 所在直线为x 轴建立直角坐标系,计算也不复杂. (2)配方法求最值是重要方法,应掌握好. (3)选择恰当坐标系的原则是“避繁就简”.
跟踪演练3 已知△ABC 是直角三角形,斜边BC 的中点为M ,建立适当的直角坐标系.证明：
AM ＝12
BC .
证明 如图所示,以Rt△ABC 的直角边AB 所在直线为x 轴,AC 所在直线为y 轴,建立直角坐标系,设B 、C 两点的坐标分别为(b,0)、(0,c ),
∵点M 是BC 的中点,故点M 的坐标为? ??
??b 2，c
2. 由两点的距离公式,得 |BC |＝ 0－b
2
＋c －02
＝ b 2
＋c 2
,
|AM |＝
? ????b 2－02＋? ??
??c 2－02＝12 b 2＋c 2, ∴AM ＝1
2
BC .
1.已知A (－8,－3),B (5,－3),则线段AB 的中点坐标为( )
A.? ????32，2
B.? ????－32，－3
C.? ??
??－32，3 D.? ??
??32，－3 答案 B
解析 由中点坐标公式可以求得.
2.已知A (1,2),B (a,6),且|AB |＝5,则a 的值为( ) A.4 B.－4或2 C.－2 D.－2或4
答案 D 解析
a －1
2
＋6－2
2
＝5,解得a ＝－2或4.
3.已知线段AB 的中点在坐标原点,且A (x,2),B (3,y ),则x ＋y 等于( ) A.5 B.－1 C.1 D.－5
答案 D
解析 易知x ＝－3,y ＝－2,∴x ＋y ＝－5.
4.以A (5,5),B (1,4),C (4,1)为顶点的三角形是( ) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形
答案 B
5.点A (2,3),B (5,4)之间的距离为________. 答案
10
解析 |AB |＝5－2
2
＋4－3
2
＝9＋1＝10.
1.A ,B 两点的距离与A ,B 两点的顺序无关,即d (A ,B )＝d (B ,A ).公式中坐标的顺序也可以同时调换,即d (A ,B )＝
x 2－x 1
2
＋y 2－y 1
2
＝x 1－x 2
2
＋y 1－y 2
2
.
2.在平面直角坐标系内,若已知点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),线段AB 的中点M 的坐标为(x ,y ),则有
?????
x ＝x 1
＋x 2
2，y ＝y 1
＋y 2
2.
对于A ,B ,M 三点,只需知道其中两点的坐标,便可求出其余一点的坐标. 3.坐标法应用的注意点：
一些平面几何问题用坐标法解决更简单,但要把坐标系建立在适当的位置上,注意利用图形的几何性质.
(1)要使尽可能多的已知点、直线落在坐标轴上；
(2)如果图形中有互相垂直的两条直线,则考虑其作为坐标轴；
(3)考虑图形的对称性,可将图形的对称中心作为原点,将图形的对称轴作为坐标轴. 事实上,建立不同的直角坐标系,相关点的坐标不同,但不影响最后的结果.