《微积分I 》期末复习题
说明: 本复习题仅供参考,部分积分题目不必做.
复习时应以教材为本,特别是例题和习题.
一、判断题
1、两个无穷大量之和仍为无穷大量。( )
2、无界数列必发散。( )
3、可导的奇函数的导数为偶函数。( )
4、函数在其拐点处的二阶导数有可能不存在。( )
5、闭区间上的连续函数是可积的。( )
6、无穷大量与有界量之积仍为无穷大量。( )
7、有界数列必收敛。( )
8、可导的偶函数的导数为奇函数。( )
9、一阶不可导点有可能是函数的极值点。( )
10、闭区间上的可积函数必有界。( )
二、填空题
1、若11()21
1212
x x f x x x x x +?=+≤?-≥?
,那么(1)f x += . 2.、若2()x f x e =,则0(12)(1)lim x f x f x
→--= . 3.、函数)
1(1)(2--=x x e x f x 的可去间断点为=0x ;补充定义=)(0x f 时,则函数在0x 处连续.
4、 若函数1()sin 3cos 3f x x a x =
-在3x π=处取极值,则a = ,()3f π为极 值. 5、sec d x x ?= .
6、若11
()211212x x f x x x x x +?=+≤?-≥?
,那么(1)f x -= .
7、2(12)0lim x x e e x
-→-= .
8、)
1(1)(2--=x x e x f x 的可去间断点为=0x ;补充定义=)(0x f 时,则函数在0x 处连续.
9、函数1()sin 3cos 3f x x a x =
-在3x π=处取极值,则a = ,()3f π为极 值. 10、csc d x x ?= .
11、若x x x f 2)1(2-=+,那么=)(x f 。
12、函数|
|2)(2x x x x f -=的跳跃间断点为 。 13、=∞→x
x x sin lim
。 14、设函数)(x f 可导,则=--→h
h f f h 2)1()1(lim 0 。 15、设x y 2log 3=,则=''y 。 16、函数)1ln()(+=x x f 在区间]1,0[上满足拉格朗日中值定理的ξ是 。
17、函数?-=
x dt t t x f 0)2()(的极小值为 。 18、设
C x F dx x f +=?)()(,则=?dx x x f )(ln 。 19、=+-?-dx x
x 41
4111ln 。 20、设某商品的需求量为275P Q -=(P 为价格),则5=P 时的需求弹性
为 。
21、若x x e f x 2)(2
-=,那么=)(x f 。 22、函数)
1()(22--=x x x x x f 的可去间断点为 。 23、=+→x
x x 20)sin 1(lim 。 24、设2)3(='f ,则=--→h f h f h 2)3()3(lim
0 。 25、设x e y 3cos 2=,则=''y 。
27、函数?-=x
dt t t x f 0)2()(的极大值为 。 28、设函数)(x f 有一原函数
x 1,则='?dx x f x )( 。 29、=-?-dx x x 1
124sin 。
30、设某商品的需求量为P Q 5.010-=(P 为价格),则8=P 时的需求弹性为 。
三、选择题(每题2分,共20分)
1、函数ln(sin )y x =的定义域是 . (A )[4,2](0,)ππ--? (B )[4,](0,)ππ--?
(C )[4,](0,2)ππ--? (D )[4,4)-
2、函数()sin()f x x x =,则)(x f .
(A )单调 (B ) 有界 (C )为周期函数 (D )无界
3、函数11
y x =-有 条渐近线. (A )1 (B ) 2 (C ) 3 (D )4
4、在同一变化过程中,结论 成立.
(A )两个无穷大之和为无穷大 (B )两个无穷大之差为无穷大
(C )无穷大与有界变量之积为无穷大 (D )两个无穷大之积为无穷大
5、当0→x 时,下列函数那个是其它三个的高阶无穷小 .
(A )2x (B )1cos x - (C ))1ln(2
x + (D )x x tan -
6、若)(x f 为定义在),(∞+-∞的可导的奇函数,则函数 为偶函数.
(A )(sin )f x ' (B )()sin f x x ' (C )'()f x (D )[()sin ]f x x '
7、已知函数)(x f 任意阶可导,且2()[()]f x f x '=,则)(x f 的n (n ≥ 2)阶导数 =)()(x f n .
(A )n x f n )]([! (B )1)]([!+n x f n (C ) n x f 2)]([ (D )n x f n 2)]([!
8、若()f x 在x a =处可微,则()f a '= .
(A )1lim ()()n n f a f a n →∞??+-????
(B )[]h h a f h a f h )()(lim 0--+→
(C )[]0()()lim h f a h f a h →-- (D )[]h
a f h a f h )()2(lim 0-+→ 9、若)(x f 的导函数是sin x ,则)(x f 的一个原函数是 .
(A )1sin x + (B )1cos x +
(C )1sin x - (D )1cos x -
10、设对任意的x ,总有()()()x f x g x φ≤≤,且lim[()()]0x g x x φ→∞
-=,则极限lim ()x f x →∞ . (A ) 存在且一定等于0 (B ) 存在但不一定为0
(C ) 一定不存在 (D ) 不一定存在
11、函数ln(5sin )y x =的定义域是 .
(A )[4,2](0,)ππ--? (B )[4,](0,)ππ--?
(C )[4,](0,2)ππ--? (D )[4,4)-
12、 函数()cos()f x x x =,则)(x f .
(A )单调 (B ) 有界 (C )为周期函数 (D )无界
13、2
5(2)y x =-有 条渐近线. (A )1 (B ) 2 (C ) 3 (D )4
14、在同一变化过程中,结论 成立.
(A )两个无穷大之和为无穷大 (B )两个无穷大之差为无穷大
(C )无穷大与有界变量之积为无穷大 (D )两个无穷大之积为无穷大
15、当0→x 时,下列函数那个是其它三个的高阶无穷小 .
(A )2x (B )1cos x - (C ))1ln(2x + (D )x x tan -
16、若)(x f 为定义在),(∞+-∞的可导的奇函数,则函数 为偶函数.
(A )(sin )f x ' (B )()sin f x x ' (C )'(cos )f x (D )[()sin ]f x x '
17、已知函数4
x x y =,则'y = . (A ) ln 44x x x - (B )1ln 44x x - (C ) 21ln 44
x x - (D ) 24ln 44x x x - 18、若()f x 在x a =处可微,则()f a '= .
(A )1lim ()()n n f a f a n →∞??+-???? (B )[]h
h a f h a f h )()(lim 0-
-+→ (C )[]0()()lim h f a h f a h →-- (D )[]
h a f h a f h )()2(lim 0-+→
19、若)(x f 的导函数是cos x ,则)(x f 的一个原函数是 .
(A )1sin x + (B )1cos x +
(C )1sin x - (D )1cos x -
20、设对任意的x ,总有()()()x f x g x φ≤≤,且lim ()lim ()0x x g x x φ→∞→∞==,
则
lim ()x
f x →∞ . (A ) 存在且一定等于0 (B ) 存在但不一定为0
(C ) 一定不存在 (D ) 不一定存在
四、计算题(每题10分,共20分)
1、求极限21
lim[ln(1)]x x x x →∞-+.
2、已知函数2 , 1() , 1
+>?=?≤?ax b x f x x x 有连续的导数,求a ,b.
3、设方程 22sin()xy e x y y +=,求0=x dy .
4
、计算不定积分 (0).a >,
5、计算不定积分cos .
x e xdx ?
6、 求极限11ln lim(ln )x x e x -→.
7、求抛物线2y x =上点(3,9)处的切线方程.
8、设方程 2sin()0xy y π-=,求()0,1'|y -和()0,1''|y -.
9
、计算不定积分 (0).a >
10、计算不定积分2.
x x e dx ?
11、求极限???? ??++++++∞→n n n n n 2221211
1lim 。 12、求极限)
cos 1(cos 1lim 0x x x
x --+→。 13、求极限x x x sin 0lim +→。
14、设y x x y =(0,>y x )
,求y ''。 15、求不定积分dx x x ?arctan 。
16、求定积分dx x x ?-2
0|)1(|。
17、求椭圆面122
22≤+b
y a x 的面积。 18、求极限n
n n n n n 1)4321(lim +++∞→。 19、求极限)
cos 1(sin 1tan 1lim 0x x x x x -+-+→。 20、求极限2tan 1)2(lim x
x x π-→。
21、设x x y xy =-+)ln(sin ,求
0=x dx dy
。 22、求不定积分dx x e
x ?-2
sin 。 23、求定积分dx x x ?-2
0|cos sin |π。
24、求由椭圆122
22=+b
y a x 所围成的平面区域的面积。 25.计算极限x
x x x 2sin 3553lim 2++∞→. 26.计算极限)2211(lim 222n
n n n n n n n n +++++++++∞→ .
27.设函数?????>≤+=0,sin 0,)(2x x
bx x bx a x f 在点0=x 处连续,求常数b a ,应满足的关系. 28.设tx x t t t f 2)11(lim )(+=∞→,求)(t f '.
29.设)1ln(2x x y ++=,求y '''.
30.设???
??+-=2323x x f y ,2arctan )(x x f =',求0=x dx dy . 31.设x y e xy cos 2=+,求dy .
32.设曲线ax x y +=3和c bx y +=2在点)0,1(-处有公切线,求c b a ,,的值.
33.设k f =')0((k 为常数),且R y x ∈?,,有)()()(y f x f y x f +=+,求)(x f .
34.计算?29sin 的近似值.
五、综合应用题(共10分)
1、已知某商品的需求函数为105
Q P =-,成本函数为502C Q =+,若生产的商品都能全部售出。求:使利润最大时的产量及此时的最大利润是多少.
2、已知某商品的需求函数为10P Q e
-=,求5P =,10P =,15P =时的需求弹性并说明其意义.
3、某厂生产x 件产品的成本为21.0409000)(x x x C ++=元,产品的售价为100元/件。问:(1)产量为多少时,利润最大?(2)利润最大时,边际成本是多少?有何经济意义?
六、证明题(共10分)
1、证明:双曲线2xy a =上任一点的切线与两坐标轴形成的三角形的面积等于常数2
2a .
2、证明:2121arctan arctan x x x x -≤-(12x x ≤).
3、求证:若函数)(x f 在闭区间],0[a 上连续,在开区间),0(a 可导,且0)(=a f ,则存在),0(a ∈ξ,使0)()(='+ξξξf f 。
4、求证:函数x x
x f )11()(+=在区间),0(+∞上单调递增。 5、求证:若函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续,在开区间),(b a 可导,且0)()(==b f a f ,则存在),(b a ∈ξ,使)()(ξξf f '=。
微积分试题及答案 一、填空题(每小题2分,共20分) 1. =∞→2 arctan lim x x x . 2. 设函数??? ??=<<-=0 , 10 )21()(1 x k x ,x x f x 在0=x 处连续,则=k 。 3. 若x x f 2e )(-=,则=')(ln x f 。 4. 设2sin x y =,则=)0() 7(y 。 5. 函数2 x y =在点0x 处的函数改变量与微分之差=-?y y d 。 6. 若)(x f 在[]b a ,上连续, 则=?x a x x f x d )(d d ; =? b x x x f x 2d )(d d . 7. 设函数)3)(2)(1()(---=x x x x f ,则方程0)(='x f 有 个实根。 8. 曲线x x y -=e 的拐点是 。 9. 曲线)1ln(+=x y 的铅垂渐近线是 。 10. 若 C x x x f x ++=? 2d )(,则=)(x f 。 二、单项选择(每小题2分,共10分) 1. 设x x f ln )(=,2)(+=x x g 则)]([x g f 的定义域是( ) (A )()+∞-,2 (B )[)+∞-,2 (C )()2,-∞- (D )(]2,-∞- 2. 当0→x 时,下列变量中与x 相比为高阶无穷小的是( ) (A )x sin (B )2 x x + (C )3x (D )x cos 1- 3. 函数)(x f 在],[b a 上连续是)(x f 在],[b a 上取得最大值和最小值的( ) (A )必要条件 (B )充分条件 (C )充分必要条件 (D )无关条件 4. 设函数)(x f 在]0[a , 上二次可微,且0)()(>'-''x f x f x ,则x x f ) ('在区间)0(a ,内是( ) (A )不增的 (B )不减的 (C )单调增加的 (D )单调减少的 5. 若 C x x x f +=?2d )(,则=-?x x xf d )1(2 。 (A )C x +-2 2)1(2 (B )C x +--2 2)1(2
地基与基础、微积分基础试题 地基与基础试题 1、土颗粒级配曲线越缓,说明土颗粒越不均匀,级配良好。 2、土中的气体如果处于封闭状态,则土不易压实,形成高压缩性土。 3、单粒结构的土如果孔隙比较小,且土体强度大,则可以作为天然地基。 4、地基土的自重应力图线是一条折线。 5、【判断】10 、土松而湿则强度低且压缩性大,反之,则强度高且压缩性小。 6、根据塑性指数的不同,粘性土可分为粘土和粉质粘土。 7、随着压力的变化,同一种土的压缩系数是一个常数。 8、沉井基础是一种深基础。 9、桩基础按承载性状可分为挤土桩和摩擦型桩。 10、土粒由粗变细,则土由无粘性变成有粘性,且由透水性强变为透水性弱。 11、土颗粒级配曲线越陡,说明级配越良。 12、达西定律是土中水渗流时的基本规律。 13、击实曲线中,最大干密度对应的含水量是最佳含水量。
14、地基是具有一定的深度和广度范围的。 15、【判断】57 、CFG桩的加固原理是置换和挤密。 16、土的液限与其天然含水量无关。 17、为防止不均匀挤土,可采用跳打法打桩。 18、压缩模量大的土是高压缩性土。 19、地基附加应力就是地基土自重引起的应力。 20、由于粉土的毛细现象剧烈,所以粉土是一种良好的路基填料。 21、大直径桥墩的灌注桩基础常采用人工挖孔。 22、抗剪强度库仑定律的表达式为。 23、饱和度反映了土体孔隙被水充满的程度。 24、与直剪试验相比,三轴试验显得简单、快捷。 25、土的塑限与其天然含水量无关。 26、塑性指数越小,说明土越具有高塑性。 27、泥浆护壁成孔时,泥浆的主要作用是清渣和护壁。 28、同一土体的最佳含水量是固定不变的。 29、土体的孔隙比也叫孔隙率。
大一高等数学期末考试试卷 一、选择题(共12分) 1. (3分)若2,0, (),0x e x f x a x x ?<=?+>?为连续函数,则a 的值为( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)-1 2. (3分)已知(3)2,f '=则0 (3)(3) lim 2h f h f h →--的值为( ). (A)1 (B)3 (C)-1 (D) 12 3. (3分)定积分22 π π-?的值为( ). (A)0 (B)-2 (C)1 (D)2 4. (3分)若()f x 在0x x =处不连续,则()f x 在该点处( ). (A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限 二、填空题(共12分) 1.(3分) 平面上过点(0,1),且在任意一点(,)x y 处的切线斜率为23x 的曲线方程为 . 2. (3分) 1 241 (sin )x x x dx -+=? . 3. (3分) 20 1 lim sin x x x →= . 4. (3分) 3223y x x =-的极大值为 . 三、计算题(共42分) 1. (6分)求2 ln(15) lim .sin 3x x x x →+ 2. (6分)设2 ,1 y x =+求.y ' 3. (6分)求不定积分2ln(1).x x dx +?
4. (6分)求3 (1),f x dx -? 其中,1,()1cos 1, 1.x x x f x x e x ?≤? =+??+>? 5. (6分)设函数()y f x =由方程0 cos 0y x t e dt tdt +=??所确定,求.dy 6. (6分)设2()sin ,f x dx x C =+?求(23).f x dx +? 7. (6分)求极限3lim 1.2n n n →∞ ? ?+ ??? 四、解答题(共28分) 1. (7分)设(ln )1,f x x '=+且(0)1,f =求().f x 2. (7分)求由曲线cos 22y x x π π??=-≤≤ ???与x 轴所围成图形绕着x 轴 旋转一周所得旋转体的体积. 3. (7分)求曲线3232419y x x x =-+-在拐点处的切线方程. 4. (7 分)求函数y x =+[5,1]-上的最小值和最大值. 五、证明题(6分) 设()f x ''在区间[,]a b 上连续,证明 1()[()()]()()().22b b a a b a f x dx f a f b x a x b f x dx -''=++--? ? 标准答案 一、 1 B; 2 C; 3 D; 4 A. 二、 1 31;y x =+ 2 2 ;3 3 0; 4 0. 三、 1 解 原式205lim 3x x x x →?= 5分 5 3 = 1分 2 解 22ln ln ln(1),12 x y x x ==-++ 2分
《高数》试卷1(上) 一.选择题(将答案代号填入括号内,每题3分,共30分). 1.下列各组函数中,是相同的函数的是( ). (A )()()2ln 2ln f x x g x x == 和 (B )()||f x x = 和 ()2g x x = (C )()f x x = 和 ()() 2 g x x = (D )()|| x f x x = 和 ()g x =1 2.函数()()sin 42 0ln 10x x f x x a x ?+-≠? =+?? =? 在0x =处连续,则a =( ). (A )0 (B )1 4 (C )1 (D )2 3.曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为( ). (A )1y x =- (B )(1)y x =-+ (C )()()ln 11y x x =-- (D )y x = 4.设函数()||f x x =,则函数在点0x =处( ). (A )连续且可导 (B )连续且可微 (C )连续不可导 (D )不连续不可微 5.点0x =是函数4 y x =的( ). (A )驻点但非极值点 (B )拐点 (C )驻点且是拐点 (D )驻点且是极值点 6.曲线1 || y x = 的渐近线情况是( ). (A )只有水平渐近线 (B )只有垂直渐近线 (C )既有水平渐近线又有垂直渐近线 (D )既无水平渐近线又无垂直渐近线 7. 211 f dx x x ??' ???? 的结果是( ). (A )1f C x ?? -+ ??? (B )1f C x ?? --+ ??? (C )1f C x ?? + ??? (D )1f C x ?? -+ ??? 8. x x dx e e -+?的结果是( ). (A )arctan x e C + (B )arctan x e C -+ (C )x x e e C --+ ( D )ln()x x e e C -++ 9.下列定积分为零的是( ).