3.7切线长定理
预习案
一、预习目标及范围：
1.理解切线长的概念，掌握切线长定理．
2.学会运用切线长定理解有关问题．
3．通过对例题的分析，培养学生分析总结问题的习惯，提高学生综合运用知识解题的能力，培养数形结合的思想．
预习范围：P97-98
二、预习要点
1.圆的切线长概念：下图中，P是⊙O外一点，_______________是⊙O的切线，我们把线段__________________的长叫做点P到⊙O的切线长．
2. 圆的切线长定理
从圆外一点引圆的_______条切线，它们的切线长_______，圆心和这一点的连线_______两条切线的夹角．
3.定义：叫圆的外切四边形，圆的外切四边形性质：圆的外切四边形.
三、预习检测
1.如果PA=4cm,PD=2cm,求半径OA的长.
2.设△ABC的边BC=8，AC=11，AB=15，内切圆⊙I和BC,AC,AB分别相切于点D,E,F.求AE,CD,BF的长.
探究案
一、合作探究
活动内容1：
探究1：如何用圆规和直尺作出这两条切线呢？
思考：已画出切线PA,PB，A,B为切点，则∠OAP=90°, 连接OP，可知A,B 除了在⊙O上，还在怎样的圆上?
探究2：切线长概念
切线与切线长是一回事吗？它们有什么区别与联系呢？
九年级切线长定理练习 题精选 Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998
九年级切线长定理练习题 一、选择题 1.下列说法中，不正确的是 ( ) A．三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点 B．锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的内心都在三角形内部 C．垂直于半径的直线是圆的切线 D．三角形的内心到三角形的三边的距离相等 2．给出下列说法： ①任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆； ②任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形； ③任意一个三角形一定有一个内切圆，并且只有一个内切圆； ④任意一个圆一定有一个外切三角形，并且只有一个外切三角形． 其中正确的有 ( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3.一个直角三角形的斜边长为8，内切圆半径为1，则这个三角形的周长等于 ( ) A．21 B．20 C．19 D．18 4. 如图，PA、PB分别切⊙O于点A、B，AC是⊙O的直径，连结AB、BC、OP， 则与∠PAB相等的角(不包括∠PAB本身)有 ( ) A．1个 B．2个C．3个 D．4个 4题图 5题图 6题图 5．如图，已知△ABC的内切圆⊙O与各边相切于点D、E、F，则点O是△DEF的( ) A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点 6.一个直角三角形的斜边长为8，内切圆半径为1，则这个三角形的周长等于( ) A．21 B．20 C．19 D．18 二、填空题 6．如图，⊙I是△ABC的内切圆，切点分别为点D、E、F，若∠DEF=52o， 则∠A的度为 ________． 6题图 7题图 8题图 7．如图，一圆内切于四边形ABCD，且AB=16，CD=10，则四边形ABCD的周长为________． 8．如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，∠BAC=50o，则∠BOC为____________度．
切线长定理—知识讲解 【学习目标】 1.了解切线长定义,掌握切线长定理； 2.了解圆外切四边形定义及性质； 3. 利用切线长定理解决相关的计算和证明. 【要点梳理】 要点一、切线长定理 1．切线长： 经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长. 要点诠释： 切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段. 2．切线长定理： 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 要点诠释： 切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等. 要点二、圆外切四边形的性质 1.圆外切四边形 四边形的四条边都与同一个圆相切,那这个四边形叫做圆的外切四边形. 2.圆外切四边形性质 圆外切四边形的两组对边之和相等. 【典型例题】 类型一、切线长定理 1．（2015秋?湛江校级月考）已知PA、PB分别切⊙O于A、B，E为劣弧AB上一点，过E点的切线交PA于C、交PB于D． （1）若PA=6，求△PCD的周长． （2）若∠P=50°求∠DOC． 【答案与解析】 解：（1）连接OE， ∵P A、PB与圆O相切， ∴PA=PB=6， 同理可得：AC=CE，BD=DE， △PCD的周长=PC+PD+CD=PC+PD+CE+DE=PA+PB=12；
（2）∵PA PB与圆O相切， ∴∠OAP=∠OBP=90°∠P=50°， ∴∠AOB=360°﹣90°﹣90°﹣50°=130°， 在Rt△AOC和Rt△EOC中， ， ∴Rt△AOC≌Rt△EOC（HL）， ∴∠AOC=∠COE， 同理：∠DOE=∠BOD， ∴∠COD=∠AOB=65°． 【总结升华】本题考查的是切线长定理和全等三角形的判定和性质，掌握切线长定理是解题的关键． 2．如图，△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O交AB于D，E为BC中点. 求证：DE是⊙O切线. 【答案与解析】 连结OD、CD，AC是直径，∴OA=OC=OD，∴∠OCD=∠ODC， ∠ADC=90°，∴△CDB是直角三角形. ∵E是BC的中点，∴DE=EB=EC，∴∠ECD=∠EDC，∠ECD+∠OCD=90°， ∴∠EDC+∠ODC=90°，即OD⊥ED， ∴DE是⊙O切线. 【总结升华】自然连接OD，可证OD⊥DE. 举一反三： 【变式】已知：如图，⊙O为ABC ?的外接圆，BC为⊙O的直径，作射线BF，使得BA平分CBF ∠，过点A作AD BF ⊥于点D.求证：DA为⊙O的切线. F C F C 【答案】连接AO. ∵ AO BO =，∴ 23 ∠=∠.
第3课时切线长定理 【知识与技能】 理解掌握切线长的概念和切线长定理，了解三角形的内切圆和三角形的内心等概念. 【过程与方法】 利用圆的轴对称性帮助探求切线长的特征.结合求证三角形内面积最大的圆的问题，掌握三角形内切圆和内心的概念. 【情感态度】 经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力. 【教学重点】 切线长定理及其应用. 【教学难点】 内切圆、内心的概念及运用. 一、情境导入，初步认识 探究如图，纸上有一⊙O，PA为⊙O的一条切线，沿着直线PO对折，设圆上与点A重合的点为B，回答下列问题：（1）OB是⊙O半径吗？（2）PB是⊙O的切线吗？（3）PA、PB是什么关系？（4）∠APO和∠BPO有何关系？ 学生动手实验，观察分析，合作交流后，教师抽取几位学生回答问题. 分析：OB与OA重合，OA是半径，∴OB也是半径.根据折叠前后的角不变，∴∠PBO=∠PAO=90°（即PB⊥OB），PA=PB，∠POA=∠POB；∠APO=∠BPO.而PB 经过半径OB的外端点，∴PB是⊙O的切线.
二、思考探究，获取新知 1.切线长的定义及性质 切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长. 我们知道圆的切线是直线，而切线长是一条线段长，不是直线. 如右图中，PA、PB是⊙O的两条切线，∴OA⊥PA，OB⊥PB.又OA=OB，OP=OP，∴Rt△AOP≌Rt△BOP，∴PA=PB，∠AOP=∠BOP，∠APO=∠BPO. 由此我们得到切线长定理: 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 【教学说明】这个定理要让学生分清题设和结论.题设：过圆外一点作圆的切线.结论：①过圆外的这一点可作该圆的两条切线.②两条切线长相等.③这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 猜想：在上图中连接AB，则OP与AB有怎样的关系？ 分析：∵PA、PB是⊙O的切线，A、B是切点.∴PA=PB，∠OPA=∠OPB，∴OP ⊥AB，且OP平分AB. 2.三角形的内切圆 思考如图是一张三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形的用料，并且使圆的面积尽可能大呢？ 【教学说明】引导学生分析作图的关键，假设圆已经作出，圆心应满足什么条件，怎样根据这些条件确定圆心？圆心确定后，如何确定半径？教师引导，学生要互相讨
、教学目标 1. 知道圆的有关定义及表示方法 . 2. 掌握点和圆的位置关系 . 3. 会根据要求画出图形 . 二、课时安排 1 课时 三、教学重点 点和圆的位置关系 . 四、教学难点 点和圆的位置关系 . 五、教学过程 （一）导入新课 生活中关于圆的图形展示， 引导学生认识圆并谈谈对圆的理解： （二）讲授新课 活动 1：小组合作 3.1 圆 观察车轮，你发现了什 么？ 车轮为什么做成圆
车轮做成三角形、正方形可以吗？ 探究 1：（1）如图， A，B 表示车轮边缘上的两点， 点离与 B， O之间的距离有什么关系？ （ 2）C 表示车轮边缘上的任意一点，要使车轮能够平稳地滚动， C，O之间的距 离与 A， O之间的距离应满足什么关系？ 明确：车轮边缘上任意两点到轴心的距离都相等 , 任意一点到轴心的距离是一个 定值 . 圆上的点到圆心的距离是一个定值 . 探究 2：投圈游戏 一些学生正在做投圈游戏 , 他们呈“一”字排开 , 这样的队形对每个人公平 吗 ?你认为他们应当排成什么样的队形 ? 为了使投圈游戏公平 , 现在有一条 3 米长的绳子 , 你准备怎么办 ? 定义：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，其中定点称为 圆心，定长称为半径 . 注意： 1. 从圆的定义可知 : 圆是指圆周而不是圆面 O表示车轮的轴心， A，O 之间的距
2. 确定圆的要素是：圆心、半径 圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，确定一个圆，两者缺一不可 . 以点 O为圆心的圆记作：⊙ O，读作：“圆 O”. 探究 3：圆的有关性质 战国时期的《墨经》一书中记载：“圜，一中同长也”.古代的圜（ huán）即圆，这句话 是圆的定义，它的意思是： 圆是从中心到周界各点有相同长度的图形 . 提问：如果一个点到圆心距离小于半径 , 那么这个点在哪里呢 ?大于圆的半径呢 ?反过来呢? 试根据圆的定义填空： 1.圆上各点到 ___________ 的距离都等于______________ . 2.到定点的距离等于定长的点都在 ____ . 探究 4：点与圆的位置关系 如图，设⊙O 的半径为 r，A点在圆内， B点在圆上， C点在圆外，那么 OA 1 《切线长定理》专题 班级 姓名 （一）温故知新： 1．直线和圆有哪几种位置关系？切线的判定定理和性质定理是什么？ （二）探究新知： 探究一：如图所示，已知⊙O 及圆外一点P ，过点P 作⊙O 的切线，可以作几条？ ☆ 从⊙O 外一点P 可以引⊙O 的 条切线， ☆ 切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点与 的线段的长，叫做这点到圆的 。 问题：如图，已知⊙O 及圆外一点P ，PA 、PB 是⊙O 的切线，A 、B 是切点，连接PO ，图中有哪些相等线段，相等的角？为什么？ 总结归纳： ☆ 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的 ，圆心和这一点的连线 两条切线的夹角. 用符号语言表示定理： （三）学以致用： 1.填空：如图，PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ， （1）若PB=12，PO=13，则AO=＿＿＿. （2）若PO=10，AO=6，则PB=＿＿＿； （3）若PA=4，AO=3，则PO=＿＿＿； 例 1 如图，PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，PO PA=4cm,PD=2cm. 求半径OA 的长.⑵如果∠APB=50°，C 是⊙O 上异于A 、B 的任意一点，求∠ACB 的度数？ P P 探究二：如图，是一块三角形铁皮，怎样才能从中剪裁一个“最大的圆”？ 作法： 总结归纳： ☆三角形的内切圆：与三角形各边都的圆叫做三角形的.内切圆的圆心是的交点，叫做三角形的。内心到的距离相等 1.已知：如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，图中共有几对相等线段？ ⑴若AD=4，BC=5，CF=2，则△ABC的周长是＿＿；⑵如果∠A=70°，则∠BOC= ； ⑶若AB=4，BC=5，AC=6，求AD，BE，CF的长？ 例2 如图，⊙I是Rt△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，已知∠C=90°，AC=3，BC=4，求⊙I的半径？ 直线和圆的位置关系习题课 A 2 切线长定理—知识讲解（基础） 【学习目标】 1.了解切线长定义；理解切线的判定和性质；理解三角形的内切圆及内心的定义； 2.掌握切线长定理；利用切线长定理解决相关的计算和证明. 【要点梳理】 要点一、切线的判定定理和性质定理 1．切线的判定定理： 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 要点诠释： 切线的判定方法： （1）定义：直线和圆有唯一公共点时，这条直线就是圆的切线； （2）定理：和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线； （3）判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.（切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可）. 2．切线的性质定理： 圆的切线垂直于过切点的半径. 要点诠释： 切线的性质： （1）切线和圆只有一个公共点； （2）切线和圆心的距离等于圆的半径； （3）切线垂直于过切点的半径； （4）经过圆心垂直于切线的直线必过切点； （5）经过切点垂直于切线的直线必过圆心. 要点二、切线长定理 1．切线长： 经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长. 要点诠释： 切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段. 2．切线长定理： 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 要点诠释： 切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等. 3．圆外切四边形的性质： 圆外切四边形的两组对边之和相等. 要点三、三角形的内切圆 1．三角形的内切圆： 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 2．三角形的内心： 2016最新版初三下册数学知识点总结 第一天 第一章 直角三角形边的关系 ※一. 正切： 正切．． 即的邻边 的对边 A A A ∠∠=tan ; 正弦，即斜边 的对边A A ∠=sin ; 余弦，即斜边 的邻边 A A ∠= cos ; ①)90cos(sin A A ∠-?=； )90sin(cos A A ∠-?= sin 2 A+cos 2 A=1 (5)直角三角形的内切圆半径2c b a r -+= (6)直角三角形的外接圆半径c R 2 1 = ※ 如图2，坡面与水平面的夹角叫做坡角．． (或叫做坡比．．)。用字母i 表示，即A l h i tan == （第二天）第三章 圆 1. 点与圆的位置关系及其数量特征： 如果圆的半径为r ，点到圆心的距离为d ，则 ①点在圆上 <===> d=r; ②点在圆内 <===> d 切线长定理教案 教学目标：1、了解切线长定义，掌握切线长定理，并利用它进行有关计算。 2、在运用切线长定理的解题过程中，进一步渗透方程的思想，熟悉用代数 的方法解几何题。 教学重点：理解切线长定理。 教学难点：灵活应用切线长定理解决问题。 学情分析：上节课我们共同学习了切线的定义以及与切线相关的定理，同学们掌握的不错，整体不错，为这节课的学习打下了良好的基础。 教学过程： 一、复习引入： 1. 切线的判定定理和性质定理. 2. 过圆上一点可作圆的几条切线？过圆外一点呢？过圆内一点呢？ 二、合作探究 1、切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长叫做这 点到圆的切线长 2、切线长定理 (1)操作：纸上一个。0, PA是OO的切线，？连结PQ ?沿着直线PO将纸对折, 设与点A重合的点为B。0B是O 0的半径吗？PB是OO的切线吗？猜一猜PA 与PB的关系？/ AP0与/ BP0呢？ 从上面的操作及圆的对称性可得： 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角. (2)几何证明. 如图，已知PA PB是OO的两条切线.求证：PA=PB Z AP(=Z BPO 证明: B 切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. (1) 图中共有几对相等的线段 (2) 若 AF=4 BD=5 CE=9 则厶 ABC 周长为 _______ 例 如图，△ ABC 的内切圆。0与BC,CA,AB 分别相切于点D,E,F,且AB=9cm BC=14cm,CA=13cm 求 AF,BD,CE 的长。若 S ^ABC = 18 10 ,求OO 的半径。 三、巩固练习 1、如图1, PA PB 是OO 的两条切线、A 、B 为切点。PO 交OO 于E 点 (1) 若 PB=12 PO=13 贝U AO= ___ (2) 若 PO=1Q AO=6 J 则 PB= ____ (3) 若 PA=4 AO=3 贝U PO= ___ ; PE= ___ . (4) 若 PA=4 PE=2 贝U AO= ___ . (1) 若PA=12则厶PCD 周长为 ______ 。 (2) 若厶 PCD 周长=1Q ,贝U PA= __ 。 (3) __________________________ 若/ APB=3Q ，则/AOB= ___________ , M 是OO 上一动点，则/ AMB= _______ 3、如图Rt △ ABC 的内切圆分别与 AB AC BC 相切于点E 、D F ,且/ ACB=9Q , AC=3、BC=4，求OO 的半径。 2、如图2 , 于C D 两点。 PB 北师大版九年级数学圆测试题及答案 集团企业公司编码：（LL3698-KKI1269-TM2483-LUI12689-ITT289- 九年级数学圆测试题 一、选择题 1．若⊙O 所在平面内一点P 到⊙O 上的点的最大距离为a ，最 小距离为b （a>b ），则此圆的半径为（ ） A ． 2b a + B ．2b a - C ．2 2b a b a -+或 D ．b a b a -+或 2．如图24—A —1，⊙O 的直径为10，圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为3，则弦AB 的长是（ ） A ．4 B ．6 C ．7 D ．8 3．已知点O 为△ABC 的外心，若∠A=80°，则∠BOC 的度数为（ ） A ．40° B ．80° C ．160° D ．120° 4．如图24—A —2，△ABC 内接于⊙O ，若∠A=40°，则∠OBC 的度数为（ ） A ．20° B ．40° C ．50° D ．70° 5．如图24—A —3，小 明同学设计 了一个测量圆直径的工具，标有刻度的尺子OA 、OB 在O 点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O 点靠在圆周上， 读得刻度OE=8个单位，OF=6个单位，则圆的直径为（ ） A ．12个单位 B ．10个单位 C ．1个单位 D ．15个单位 图24—A 图24—A 图24—A —2 图24—A 图24—A 6．如图24—A —4，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，若∠B=60°，则∠A 等于（ ） A ．80° B ．50° C ．40° D ．30° 7．如图24—A —5，P 为⊙O 外一点，PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B ，CD 切⊙O 于点E ，分别交PA 、PB 于点C 、D ，若PA=5，则△PCD 的周长为（ ） A ．5 B ．7 C ．8 D ．10 8．若粮仓顶部是圆锥形，且这个圆锥的底面直径为4m ，母线长为3m ，为防雨需在粮仓顶部铺上油毡，则这块油毡的面积是（ ） A ．26m B ．26m π C ．212m D ．212m π 9．如图24—A —6，两个同心圆，大圆的弦AB 与小圆相切于点P ，大圆的弦CD 经过点P ，且CD=13，PC=4，则两圆组成的圆环的面积是（ ） A ．16π B ．36π C ．52π D ．81π 10．已知在△ABC 中，AB=AC=13，BC=10，那么△ABC 的内切圆的半径为（ ） A ． 310 B ．5 12 C ．2 D ．3 11．如图24—A —7，两个半径都是4cm 的圆外切于点C ，一只蚂蚁由点A 开始依A 、B 、C 、D 、 E 、 F 、C 、 G 、A 的顺序沿着圆周上的8段长度相等的路径绕行，蚂蚁在这8段路径上不断爬 行，直到行走2006πcm 后才停下来，则蚂蚁停的那一个点为（ ） A ．D 点 B ．E 点 C ．F 点 D ．G 点 二、填空题 图24—A 图24—A 课题: 圆 【学习目标】 1、理解圆的描述定义,了解圆的集合定义. 2、经历探索点与圆的位置关系的过程，以及如何确定点和圆的三种位置关系 【重点难点】 重点：会确定点和圆的位置关系.。 难点：初步渗透数形结合和转化的数学思想，并逐步学会用数学的眼光和运动、集合的观点去认识世界、解决问题. 【学法指导】自主探究、认真完成教学案的问题，并把自己的疑问写出来，最后小组交流并解决。 【自主学习】（自学课本Ｐ65---P67思考下列问题） 1、举例说出生活中的圆。 2、车轮为什么做成圆形 3、你是怎样画圆的你能讲出形成圆的方法有多少种吗 【合作探究】（由自主学习第四题归纳总结下列概念） 1、圆的集合定义 （集合的观点） 2、圆的运动定义：_______________ （运动的观点） 圆心：半径： 3、圆的表示方法：以点O为圆心的圆，记作“”，读作 “”． 4、同时从圆的定义中归纳：（1）圆上各点到（圆心）的距离 都等于半径）； （2）到定点的距离等于的点都在同一个圆上． 5、与圆的有关概念讨论圆中相关元素的定义．如图，你能说出弦、 直径、弧、半圆的定义吗 弦：； 直径： ； 弧： ； 弧的表示方法： ； 半圆： ； 等圆： 等弧“ 优弧： 劣弧： ； 6、点和圆的位置关系：在平面内任意取一点P ，点与圆有哪几种位置关系若⊙O 的半径为r ， 点P 到圆心O 的距离为d ，那么： 点P 在圆 d r 点P 在圆 d r 点P 在圆 d r 【训练案】 1、设AB=3cm ，作图说明满足下列要求的图形： （1）到点A 和点B 的距离都等于2cm 的所有点组成的图形；（2）到点A 和点B 的距离都 ?? ? 新人教版九年级上册初中数学 重难点有效突破 知识点梳理及重点题型巩固练习 切线长定理—知识讲解（提高） 【学习目标】 1.了解切线长定义；理解切线的判定和性质；理解三角形的内切圆及内心的定义； 2.掌握切线长定理；利用切线长定理解决相关的计算和证明. 【要点梳理】 要点一、切线的判定定理和性质定理 1．切线的判定定理： 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 要点诠释： 切线的判定方法： （1）定义：直线和圆有唯一公共点时，这条直线就是圆的切线； （2）定理：和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线； （3）判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.（切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可）. 2．切线的性质定理： 圆的切线垂直于过切点的半径. 要点诠释： 切线的性质： （1）切线和圆只有一个公共点； （2）切线和圆心的距离等于圆的半径； （3）切线垂直于过切点的半径； （4）经过圆心垂直于切线的直线必过切点； （5）经过切点垂直于切线的直线必过圆心. 要点二、切线长定理 1．切线长： 经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长. 要点诠释： 切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段. 2．切线长定理： 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 要点诠释： 切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等. 3．圆外切四边形的性质： 圆外切四边形的两组对边之和相等. 要点三、三角形的内切圆 1．三角形的内切圆： 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 2．三角形的内心： 三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. 要点诠释： (1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形； (2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径). 【典型例题】 类型一、切线长定理 1.如图，等腰三角形ABC中，6 AC BC ==，8 AB=．以BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC 于点G，DF AC ⊥，垂足为F，交CB的延长线于点E．求证：直线EF是⊙O的切线. 【答案与解析】 如图，连结OD、CD，则90 BDC ∠=?． ∴CD AB ⊥． ∵ AC BC =，∴AD BD =． ∴D是AB的中点． ∵O是BC的中点， 《切线长定理》教案 浠水县望城实验中学万春光 教学目标 1．知识与技能：理解切线长的概念，掌握切线长定理的内容，并会运用切线长定理解决相关的问题. 2．过程与方法：通过复习引导给出切线长定义，经过实验、猜想、证明发现切线长定理。培养学生分析总结问题的习惯，提高学生综合运用知识解题的能力，培养数形结合的思想． 3．情感、态度和价值观：通过对定理的猜想和证明，激发学生的学习兴趣，调动学生的学习积极性，树立科学的学习态度． 教学重点 切线长定理及其运用. 教学难点 切线长定理的导出及证明和运用定理解决实际问题. 教学过程 (一)情景引入 由如何求“V ”形支架內篮球的半径而引出切线长. (二)探求新知 活动一：切线长定义 如图，已知⊙O外一点P,过P作⊙O的切线PA，切点为A，则P点与A点之间的线段长度，就是P点到⊙O的切线长. 切线长定义： 经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长. （引导学生理解：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量.） 活动二：过圆外一点最多可以引圆的几条线. （演示）过圆外一点最多可以引圆的两条切线. 活动三： 观察：如图，P是⊙O外一点，PA，PB是⊙O的两条切线，则线段PA，PB 都是点P到⊙O的切线长． 1、提出问题：（1）线段PA与PB的长度有什么关系呢. (2)连接PO,则∠OPA与∠OPB的大小有什么关系. 2、观察： 在半透明的纸上画出这个图形，沿着直线将图形对折，图中的PA与PB，∠APO与∠BPO有什么关系？ 3、猜想：PA=PB，∠APO=∠BPO 4、证明猜想，形成定理 《圆》教案 学习目标 1．知识技能：理解圆及相关概念，理解点与圆的位置关系，并能解决相关问题． 2．过程与方法：经历形成圆的概念的过程，经历探索点与圆位置关系的过程． 3．情感态度：在学习中体会圆的实际应用，感受数学与现实生活的密切联系，增强学生的数学应用意识．初步培养学生以定义为依据分析问题解决问题的良好习惯． 教学重点 1．圆的相关概念； 2．点与圆的位置关系． 教学难点 1．概念的融会贯通； 2．在具体问题中的点与圆的位置关系． 教学过程 一、情境导入： 用准备好的一根线可以围成怎样的图形？学生活动，用课件演示圆的形成过程． 设计意图：通过实际活动激发学生的学习兴趣，学生可以围成三角形，平行四边形，圆形等，引入圆． 二、温故知新： 复习回顾 1．举例说出生活中的圆． 2．结合圆的定义了解圆心和半径． 3．圆的周长公式圆的面积公式S= 三、交流展示： 阅读课本P65—P66找到相关概念． 1．圆的定义： 以点O为圆心的圆，记作“”，读作“”． 决定圆的位置，决定圆的大小． 2．弦：连接圆上任意两点的叫做弦． 直径：经过圆心的叫做直径． 是圆中最长的弦． 3．弧：任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧． 半圆：圆的任意一条的两个端点把圆分成两条弧，每一条都叫做半圆． 优弧：半圆的弧叫做优弧．用个点表示，如图中叫做优弧． 劣弧：半圆的弧叫做劣弧．用个点表示，如图中叫做劣弧． 4．等圆：能够的两个圆叫做等圆． 等弧：在同圆或等圆中，能够的弧叫做等弧． 四、提炼新知 点与圆的位置关系． 圆O的半径为r，点到圆心的距离为d． （1）点在圆内，即d 《切线长定理》习题 1．一个直角三角形的斜边长为8，内切圆半径为1，则这个三角形的周长等于（) A．21 B．20 C．19 D．18 2．如图，PA、PB分别切⊙O于点A、B，AC是⊙O的直径，连结AB、BC、OP，则与∠PAB相等的角（不包括∠PAB本身)有（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．如图，已知△ABC的内切圆⊙O与各边相切于点D、E、F，则点O是△DEF的（) A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点 4．△ABC中，AB＝AC，∠A为锐角，CD为AB边上的高，I为△ACD的内切圆圆心，则∠AIB的度数是（）A．120° B．125° C．135° D．150° 5．一个钢管放在V形架内，右图是其截面图，O为钢管的圆心．如果钢管的半径为25cm，∠MPN=60 ，则OP =（) A．50cm B．253cm C． 33 50 cm D．503cm 6．如图，PA、PB分别切圆O于A、B两点，C为劣弧AB上一点，∠APB=30°，则∠ACB=（）． B A C P O A．60° B．75° C．105° D．120° 7．如图，在△ABC中，5cm AB AC = =，cosB 3 5 =．如果⊙O的半径为10cm，且经过点B、C，那么线段AO =__________cm． 8．如图，PA、PB分别切⊙O于点A、B，点E是⊙O上一点，且 60 = ∠AEB，则= ∠P_____度．9．如图，AE、AD、BC分别切⊙O于点E、D、F，若AD=20，求△ABC的周长． 10．如图，已知AB为⊙O的直径，AD、BC、CD为⊙O的切线，切点分别是A、B、E，则有一下结论：（1）CO ⊥DO；（2）四边形OFEG是矩形．试说明理由． G F E C B 初中数学试卷 课时教学设计首页 授课时间2016年月日 授课时间2016年月日 教师行为学生行为 2、请你说一说为什么上述游戏中排成圆形（或圆弧 形）队形比较公平？ 二、冋题引申，探究圆的定义. 1、观察下列画圆的过程, 你能 根据自己的理解试着给圆下个 定义吗？课堂变化及处理主要环节的效果 一、创设问题情境，激发学生兴趣? 1、如图3-1 一些学生正在做投圈游戏，他们的投圈 目标都是图中的花瓶。如果他们呈“一”字型排开, 这样的队形对每个人都公平吗？你认为他们应当什么样的队形才公平？学生积极思考把自己带入游戏的快乐中， 并举手回答： 如果单纯考虑队形因素，即只考虑 “距离”对投圈结果的影响，那么排成 圆形（或圆弧形）队形比较公平。 学生抢答： 因为圆上的点道圆心的距离相等 引导学生发现：每一人 到玩具的距离相等时才 公平.为抽象出“平面上 到定点的距离等于定长 的所有点组成的图形叫 做圆”的概念做准备. 2、你能在图中找到圆心，半径，并会表示这个圆吗? 学生通过阅读课文独立回答 圆心：固定的端点叫作圆心；半径：线 段OA的长度叫作这个圆的半径. 圆的表示方法：以点O为圆心的圆，记 作“O O”，读作“圆O”通过游戏引出圆的概念教学时要对学生合理的想法给予肯定并引导完善 学生小组合作、分组讨论，通过动画演示，发现圆可以看成是平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形； 授课时间2016年月日教师行为学生行为 4、请你说一说圆上各点、定点、定长有何关系呢？ (1 )圆心的距离都等于定长 (2)到定点的距离等于定长的点 5、那么确定一个圆要几个要素： 一是圆心，圆心确定其位置， 二是半径，半径确定其大小. 三、进一步探究圆的相关概念，培养学生的自学探究精神。 请同学们结合图3-2小组交流讨论解决以下问题. 弦：直径： 弧、弧的表示方法: 半圆：等圆：等弧： 优弧：劣弧: 四、问题深入，探究点和圆的关系 1、在平面上任取一点，这点可能 在圆的什么地方？ 2、如图3-3所示，O O是 一个半径为r的圆，圆上分别取一点，点到圆心的 距离为d，你能用r与d的大小关系刻画它们的位 置特征吗? 小组讨论，组内互相交流协商、组内 统一意见?各组派代表表述本组讨论 结果? 学生根据自己的理解口头作答， 最后由一名学生小结? 学生通过自己阅读课文，与同伴交 流完成圆的相关概念的认识。 学生抢答： 这点可能在圆外、在圆上、或在圆 内。 学生口答并完成课文66页想一想。 点P在圆外，？ d> r; 点P在圆上，？ d= r; 点P在圆内，？ d v r. 课堂变化及处理 主要环节的效果学 生发言踊跃，思维得到 了有效的激发，多数学 生能抓住到定点的距离 相等的条件，只是表达 还不够准确、完善? 对还有疑虑的问题, 教师可以作引导性讲 解生回答教师引导 通过此问题的探究，使 学生理解点与圆的位置 关系，并体会定性分析 与定量分析的关系? 3.1 圆 学习目标: 经历形成圆的概念的过程，经历探索点与圆位置关系的过程；理解圆的概念，理解点与圆的位置关系． 学习重点: 圆及其有关概念，点与圆的位置关系． 学习难点: 用集合的观念描述圆． 学习过程: 一、例题讲解： 【例1】如图，Rt△ABC的两条直角边BC=3，AC=4，斜边AB上的高为CD，若以C为圆心，分别以r1=2cm，r2=2．4cm，r3=3cm为半径作圆，试判断D点与这三个圆的位置关系． 【例2】如何在操场上画出一个很大的圆？说一说你的方法． 【例3】已知：如图，OA、OB、OC是⊙O的三条半径，∠AOC=∠BOC，M、N分别为OA、OB的中点．求证：MC=NC． 【例4】设⊙O的半径为2，点P到圆心的距离OP=m，且m使关于x的方程2x2－22x ＋m－1=0有实数根，试确定点P的位置． 【例5】城市规划建设中，某超市需要拆迁．爆破时，导火索的燃烧速度与每秒0．9厘米，点导火索的人需要跑到离爆破点120米以外的安全区域，这个导火索的长度为18厘米，那么点导火索的人每秒跑6．5米是否安全？ 【例6】由于过渡采伐森林和破坏植被，使我国某些地区多次受到沙尘暴的侵袭．近来A市气象局测得沙尘暴中心在A市正东方向400km的B处，正在向西北方向移动（如图3-1-5），距沙尘暴中心300km的范围内将受到影响，问A市是否会受到这次沙尘暴的影响？ 二、随堂练习 1．已知圆的半径等于5cm，根据下列点P到圆心的距离：（1）4cm；（2）5cm；（3）6cm，判定点P与圆的位置关系，并说明理由． 2．点A在以O为圆心，3cm为半径的⊙O内，则点A到圆心O的距离d的范围是． 三、课后练习 1．P为⊙O内与O不重合的一点，则下列说法正确的是（） A．点P到⊙O上任一点的距离都小于⊙O的半径 B．⊙O上有两点到点P的距离等于⊙O的半径 C．⊙O上有两点到点P的距离最小 D．⊙O上有两点到点P的距离最大 2．若⊙A的半径为5，点A的坐标为（3，4），点P的坐标为（5，8），则点P的位置为（） A．在⊙A内B．在⊙A上C．在⊙A外D．不确定 3．两个圆心为O的甲、乙两圆，半径分别为r1和r2，且r1＜OA＜r2，那么点A在（）A．甲圆内B．乙圆外C．甲圆外，乙圆内D．甲圆内，乙圆外4．以已知点O为圆心作圆，可以作（） A．1个B．2个C．3个D．无数个 5．以已知点O为圆心，已知线段a为半径作圆，可以作（） A．1个B．2个C．3个D．无数个 6．已知⊙O的半径为3．6cm，线段OA=25/7cm，则点A与⊙O的位置关系是（）A．A点在圆外B．A点在⊙O上C．A点在⊙O内D．不能确定 7．⊙O的半径为5，圆心O的坐标为（0，0），点P的坐标为（4，2），则点P与⊙O的位置关系是（） A．点P在⊙O内B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．点P在⊙O 上或⊙O外 8．在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4cm，D是AB边的中点，以C为圆心，4cm长为半径作圆，则A、B、C、D四点中在圆内的有（） A．1个B．2个C．3个D．4个 9．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2cm，BC=4cm，CM为中线，以C为圆心，5cm 为半径作圆，则A、B、C、M四点在圆外的有，在圆上的有，在圆内的有． 24.2.2直线和圆的位置关系 第3课时切线长定理 一、新课导入 1.导入课题： 情景：如图，纸上有一个⊙O, PA为⊙O的一条切线，沿着直线PO将纸对折，设与点A重合的点为B. 问题1：OB是⊙O的半径吗？PB是⊙O的切线吗？ 问题2：猜一猜图中的PA与PB有什么关系？∠APO与∠BPO有什么关系？ 这节课我们继续探讨圆的切线的性质——切线长定理(板书课题). 2.学习目标： （1）知道什么是圆的切线长，能叙述并证明切线长定理. （2）会作三角形的内切圆，知道三角形内心的含义和性质. （3）能用切线长定理和三角形内心的性质来解决简单的问题. 3.学习重、难点： 重点：切线长定理及其运用. 难点：切线长定理的应用及如何作三角形的内切圆. 二、分层学习 1.自学指导： (1)自学内容：教材第99页“思考”之前的内容. (2)自学时间：8分钟. (3)自学方法：完成探究提纲. (4)探究提纲： ①过⊙O外一点P画⊙O的切线.动手画图，看看这样的切线能作几条？能作两条. ②在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长叫做这点到圆的切线长， 如图的线段PA与线段PB的长就是点P到⊙O的切线长. ③PA与PB，∠APO与∠BPO有什么关系？你能证明它们成立吗？ PA＝PB,∠APO＝∠BPO.可利用HL证明Rt△AOP≌Rt△BOP,进而得出结论. ④分别用文字语言和几何语言写出切线长定理. 文字语言：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等， 这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 几何语言：∵PA切⊙O于点A,PB切⊙O于点B. ∴PA = PB,OP平分∠APB . 2.自学：学生结合自学指导进行自学. 3.助学： （1）师助生： ①明了学情：看学生能否顺利完成定理的证明. ②差异指导：根据学情确定指导方案. （2）生助生：小组内相互交流、研讨. 4.强化： （1）切线长定理及它的证明. （2）交流：在提纲④的几何图形中，若连接AB交OP于点C，则图中有哪些垂直关系？哪些全等三角形？若设线段OP与⊙O的交点为D，且PA＝4，PD＝2，你能求出⊙O的半径长吗？ 解：AB⊥OP,OA⊥AP,OB⊥BP;△OAC≌△OBC,△OAP≌△OBP,△ACP≌△BCP.设⊙O的半径为r,则OP=OD+PD=r+2,在Rt△OAP中，OA2+AP2=OP2,即r2+42=(r+2)2. 解得r=3. 即⊙O的半径长为3. 1.自学指导： (1)自学内容：教材第99页“思考”到第100页的内容. (2)自学时间：8分钟. (3)自学方法：阅读，画图，推理，猜想. (4)自学参考提纲： ①如图，作与△ABC的三边都相切的⊙I. 因为⊙I与BA,BC都相切，所以点I在∠ABC的平分线上； 因为⊙I与CA,CB都相切，所以点I在∠ACB的平分线上； 所以点I是∠ABC与∠ACB平分线的交点. a.作∠ABC的平分线，∠ACB的平分线，交于点I； b.过I作ID⊥BC于D，以I 为圆心，ID为半径画圆，则⊙I即为所求. 九年级切线长定理练习 题 This model paper was revised by LINDA on December 15, 2012. 九年级切线长定理练习题 一、选择题 1.下列说法中，不正确的是 ( ) A．三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点 B．锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的内心都在三角形内部 C．垂直于半径的直线是圆的切线 D．三角形的内心到三角形的三边的距离相等 2．给出下列说法： ①任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆； ②任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形； ③任意一个三角形一定有一个内切圆，并且只有一个内切圆； ④任意一个圆一定有一个外切三角形，并且只有一个外切三角形． 其中正确的有 ( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3.一个直角三角形的斜边长为8，内切圆半径为1，则这个三角形的周长等于 ( ) A．21 B．20 C．19 D．18 4. 如图，PA、PB分别切⊙O于点A、B，AC是⊙O的直径，连结AB、BC、OP， 则与∠PAB相等的角(不包括∠PAB本身)有 ( ) A．1个 B．2个C．3个 D．4个4题图5题图 6题图5．如图，已知△ABC的内切圆⊙O与各边相切于点D、E、F，则点O是△DEF的 ( ) A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点 6.一个直角三角形的斜边长为8，内切圆半径为1，则这个三角形的周长等于 ( ) A．21 B．20 C．19 D．18 二、填空题 P B A O 6．如图，⊙I 是△ABC 的内切圆，切点分别为点D 、E 、F ，若∠DEF=52o ， 则∠A 的度为________． 6题图 7题图 8题图 7．如图，一圆内切于四边形ABCD ，且AB=16，CD=10，则四边形ABCD 的周长为________． 8．如图，已知⊙O 是△ABC 的内切圆，∠BAC=50o ，则∠BOC 为____________度． 三、解答题 9. 如图，AE 、AD 、BC 分别切⊙O 于点E 、D 、F ，若AD=20，求△ABC 的周长． 10. 如图，PA 、PB 是⊙O 的两条切线，切点分别为点 A 、 B ，若 直径AC= 12，∠P=60o ，求弦AB 的长． 11. 如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，A 、B 为切点，∠OAB ＝ 30°． （1）求∠APB 的度数； （2）当OA ＝3时，求AP 的长． 12．已知：如图，⊙O 内切于△ABC ，∠BOC =105°，∠ACB =90°，AB =20cm ．求BC 、AC 的 长． 13．已知：如图，△ABC 三边BC =a ，CA =b ，AB =c ， 它的内 切圆O 的半径长为r ．求△ABC 的面积S ． 14. 如图，在△ABC 中，已知∠ABC=90o ，在AB 上取一点E ，以BE 为直径的⊙O 恰与AC 相切于点D ，若AE=2 cm ， AD=4 cm ． (1)求⊙O 的直径BE 的长； (2)计算△ABC 的面积． 15．已知：如图，⊙O 是Rt △ABC 的内切圆，∠C =90°． (1)若AC =12cm ，BC =9cm ，求⊙O 的半径r ； (2)若AC =b ，BC =a ，AB =c ，求⊙O 的半径r ． 四、体验中考 16.（2011年安徽）△ABC 中，AB ＝AC ，∠A 为锐角，CD 为AB 边上的高，I 为△ACD 的内切圆圆心，则∠AIB 的度数是（ ）切线长定理专题
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