第33课时 简单的三角恒等变换
【考点点知】知己知彼，百战不殆
新课标高考对三角恒等变换的要求有所降低，但三角函数求值、化简及恒等式证明仍是高考的热点．需要掌握的公式有两角和差、倍角的三角函数公式.新课标主要要求“能用上述公式进行简单的三角函数恒等变换”，这说明备考重点是掌握变换的基本思想方法.而不是盲目地训练繁难的偏题、怪题，应重视通性、通法的运用．
考点一: 简单的三角恒等变换
1.巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如()()ααββαββ=+-=-+，2()()ααβαβ=++-，
2()()αβαβα=+--，2αβ
αβ++=?
，
(
)()
2
2
2αβ
β
ααβ+=-
--
等）.
2.三角函数次数的降升(降幂公式：2
1cos 2cos 2αα+=
，2
1cos 2sin 2
αα-=与升幂公式：2
1cos 22cos αα+=，2
1cos 22sin αα-=).
利用倍角公式或半角公式，可对三角式中某些项进行升降幂处理 ( 1±sin α 可化为
??? ??-±απ2cos 1，再用升次公式) ；2
2cos 2sin sin 1??
? ??+=+ααα，22cos 2sin sin 1??? ??-=-ααα等．
从右到左为升幂，这种变形有利用根式的化简或通分、约分；从左到右是降幂，有利于
加、减运算或积和（差）互化．
3.辅助角公式中辅助角的确定：()，
?ααα++=
+sin cos sin 22b a b a )sin ,(cos 2
2
2
2
b
a b b
a a s +=
+=
??在求最值、化简时起着重要作用.
【小题热身】明确考点，自省反思
1.
若
cos 2πsin 4αα=?
?- ?
?
?cos sin αα+的值为 . 2. 若
2213cos 20sin 10cos 10a -=???
,则a = .
3. (上海春季卷)已知tan ,(1)a a θ=>，求
sin 4tan 2sin 2πθθπθ??+ ??????- ???
= .
【考题点评】分析原因，醍醐灌顶
例1.设3sin β=sin(2α+β),α≠k π+2π,α+β≠k π+2
π
.(k ∈Z )
求证：tan(α+β)=2tan α.
思路透析:证明: 由3sin β=sin(2α+β），得3sin ［(α+β)－α］=sin ［(α+β)+α］, 即3sin(α+β)cos α－3cos(α+β)sin α=sin （α+β)cos α+cos(α+β)·sin α. 整理得sin(α+β)cos α=2cos(α+β)sin α. 因为α≠k π+
2π,α+β≠k π+2
π
(k ∈Z ).将上式两边同除以cos αcos(α+β). 得tan(α+β)=2tan α.
点评:要注意观察条件和结论之间的差异.主要是看角，看函数的名称、次数、式子的结构特征.如从角的差异入手，将角变形为2α+β=(α+β)+α,β=(α+β)－α.从已知条件变形入手，可证得结论.
例2.已知7sin α=3sin （α+β）,求证：2tan
22βα+=5tan 2
β
. 思路透析:证明：由已知7sin α=3sin （α+β），即7sin （22βα+－2β）=3sin （22βα++2
β
）.
∴7sin 22βα+cos 2β－7cos 22βα+sin 2β=3sin 22βα+cos 2β+3cos 22βα+sin 2β,
即2sin 22βα+cos 2β=5cos 22βα+sin 2
β.
两边同除以cos 22βα+cos 2
β
,即得
2tan 22βα+=5tan 2
β.
点评:盯住欲证等式的左、右两边，根据它们的状况（一般要看角、函数名称、结构特
征），采取恰当的措施来对条件等式进行变形，直到目标.
例3.求证：
αβαsin 2sin ）（+－2cos （α+β）=α
β
sin sin .
思路透析:证明：sin （2α+β）－2cos （α+β）sin α =sin ［（α+β）+α］－2cos （α+β）sin α
=sin （α+β）cos α+cos （α+β）sin α－2cos （α+β）sin α =sin （α+β）cos α－cos （α+β）sin α=sin ［（α+β）－α］=sin β. 两边同除以sin α得 αβαsin 2sin ）（+－2cos （α+β）=α
β
sin sin .
点评:证明三角恒等式，可先从两边的角入手——变角，将表达式中出现了较多的相异的角朝着我们选定的目标转化，然后分析两边的函数名称——变名，将表达式中较多的函数种类尽量减少，这是三角恒等变形的两个基本策略.
例4. P 是以F 1、F 2为焦点的椭圆上一点，且∠PF 1F 2=α，∠PF 2F 1=2α，求证：椭圆的离心率为e =2cos α－1.
思路透析:证明：在△PF 1F 2中，由正弦定理知
α2sin ||1PF =αsin |
|2PF =）（α3πsin
||21-F F .
由比例的性质得α
3sin ||21F F =ααsin 2sin |
|||21++PF PF
?e =
||||||2121PF PF F F +=ααα
sin 2sin 3sin +=α
αααααα2cos sin 2sin 2sin cos 2cos sin ++ =）（）（αααααcos 21sin cos sin 2cos 2sin 22+?+1-
=1
+-ααcos 21
cos 42=2cos α－1. 点评:依据椭圆的定义2a =|PF 1|+|PF 2|，2c =|F 1F 2|，∴e =a
c
22.在△PF 1F 2中解此三角即可得证.恰当地利用比例的性质有事半功倍之效. 【即时测评】学以致用，小试牛刀
1. 如果tan
31
2=
α
，那么cos α=( ) A. 12 B. 34 C. 54 D. 3
5
2. 若2π
<α<π，且cos α＝a ,则sin 2
α=( )
A.
B.
C.
D. 21a
-
3. 化简x x x x 2cos cos sin 2cos 44-++的结果是( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. -1
4. 给出下列三角函数式：①)4
sin(2x +π;
),4x π+③
22
12tan tan 221tan 2
x x x --+ ③
2
2cos 122cos 1x
x --+, 当x ∈R 时与cos x －sin x 恒等的是( ) A. ① B. ② C. ③ D. ④
【课后作业】学练结合，融会贯通
一、填空题:
1. 化简cos2α+6sin 2
2α
－8sin 4
2α
=________. 2. 若sin α＝
135，α在第二象限，则tan 2
α
= . 3. 若tan θ＋cot θ＝ｍ，则sin2θ= .
4. 若－2π<α<－
2
3π,则2)cos(1πα--= .
5. 已知tan α和tan （4
π
－α）是方程ax 2+bx +c =0的两个根，则a 、b 、c 的关系是 .
6. 周长为定值L （L ＞0）的直角三角形的面积的最大值为 . 二、解答题:
7.求证：.2
tan 2sin )1cos )(sin 1cos (sin x
x x x x x =+--+
8.在△ABC 中，求证：sin 2
.2sin 2sin 2sin 212sin 2sin 222C B A C B A -=++
第33课时 简单的三角恒等变换参考答案
【小题热身】 1. 12 2. 32 3.
【即时测评】
1. C
2. D
3. B
4. B
【课后作业】
一、填空题:
1. cos α
2. 5
3. m 2
4. －cos 2
α 5. c =b +a 6. 4223-L 2
二、解答题:
7.证明：左边=
x x x
x x x x x cos sin 2)
2sin 22cos 2sin 2)(2sin 22cos 2sin 2(22+- x
x x x x x x cos sin 2)2
sin 2)(cos 2sin 2(cos 2sin 42+-=
2222sin (cos sin )sin cos 2222tan 22sin cos cos cos cos 222
x x x x
x
x x x x x x -?=
===?右边.
8.证明：左边=
2
cos 12cos 12cos 1C
B A -+
-+- 31
(cos cos cos )22A B C =
-++ 31[cos()cos()cos ]222222A B A B A B A B C +-+-=-++-+ 231(2cos cos 12sin )22222A B A B C +-=-+- 211(2sin cos 2sin )2222C A B C -=--
1sin (cos cos )1sin 2sin sin 222222C A B A B C A B
-+=--=-?
12sin
sin sin .222
A B C =-
第1页 共64页 高考数学总复习教案 第一章-集合 考试内容：集合、子集、补集、交集、并集．逻辑联结词．四种命题．充分条件和必要条件． 考试要求： （1）理解集合、子集、补集、交集、并集的概念；了解空集和全集的意义；了解属于、包含、相等关系的意义；掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合． （2）理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义理解四种命题及其相互关系；掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义． §01. 集合与简易逻辑 知识要点 一、知识结构: 本章知识主要分为集合、简单不等式的解法（集合化简）、简易逻辑三部分： 二、知识回顾： （一） 集合 1. 基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用. 2. 集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法. 集合元素的特征：确定性、互异性、无序性. 集合的性质： ①任何一个集合是它本身的子集，记为A A ?； ②空集是任何集合的子集，记为A ?φ； ③空集是任何非空集合的真子集； 如果B A ?，同时A B ?，那么A = B. 如果C A C B B A ???，那么，. [注]：①Z = {整数}（√） Z ={全体整数} （×） ②已知集合S 中A 的补集是一个有限集，则集合A 也是有限集.（×）（例：S=N ； A=+N ，则C s A= {0}） ③ 空集的补集是全集. ④若集合A =集合B ，则C B A = ?， C A B = ? C S （C A B ）= D （ 注 ：C A B = ?）. 3. ①{（x ，y ）|xy =0，x ∈R ，y ∈R }坐标轴上的点集. ②{（x ，y ）|xy ＜0，x ∈R ，y ∈R }二、四象限的点集. ③{（x ，y ）|xy ＞0，x ∈R ，y ∈R } 一、三象限的点集.
2019高考数学一轮复习重点攻略 一、高三数学复习，大体可分四个阶段，每一个阶段的复习方法与侧重点都各不相同，要求也层层加深，因此，同学们在每一个阶段都应该有不同的复习方案，采用不同的方法和策略。 1.第一阶段，即第一轮复习，也称知识篇，大致就是高三第一学期。在这一阶段，老师将带领同学们重温高一、高二所学课程，但这绝不只是以前所学知识的简单重复，而是站在更高的角度，对旧知识产生全新认识的重要过程。因为在高一、高二时，老师是以知识点为主线索，依次传授讲解的，由于后面的相关知识还没有学到，不能进行纵向联系，所以，你学的往往时零碎的、散乱的知识点，而在第一轮复习时，老师的主线索是知识的纵向联系与横向联系，以章节为单位，将那些零碎的、散乱的知识点串联起来，并将他们系统化、综合化，侧重点在于各个知识点之间的融会贯通。所以大家在复习过程中应做到：①立足课本，迅速激活已学过的各个知识点。(建议大家在高三前的一个暑假里通读高一、高二教材)②注意所做题目使用知识点覆盖范围的变化，有意识地思考、研究这些知识点在课本中所处的地位和相互之间的联系。注意到老师选题的综合性在不断地加强。③明了课本从前到后的知识结构，将整个知识体系框架化、网络化。能提炼解题所用知识点，并说出其出处。④经常将使用最多的知识点总结起来，研究重点知识所在章节，并了解各章节在课本中的地位和作用。 2.第二轮复习，通常称为方法篇。大约从第二学期开学到四月中旬结束。在这一阶段，老师将以方法、技巧为主线，主要研究数学思想方
法。老师的复习，不再重视知识结构的先后次序，而是以提高同学们解决问题、分析问题的能力为目的，提出、分析、解决问题的思路用配方法、待定系数法、换元法、数形结合、分类讨论等方法解决一类问题、一系列问题。同学们应做到：①主动将有关知识进行必要的拆分、加工重组。找出某个知识点会在一系列题目中出现，某种方法可以解决一类问题。②分析题目时，由原来的注重知识点，渐渐地向探寻解题的思路、方法转变。③从现在开始，解题一定要非常规范，俗语说：不怕难题不得分，就怕每题都扣分，所以大家务必将解题过程写得层次分明，结构完整。④适当选做各地模拟试卷和以往高考题，逐渐弄清高考考查的范围和重点。 3.第三轮复习，大约一个月的时间，也称为策略篇。老师主要讲述选择题的解发、填空题的解法、应用题的解法、探究性命题的解法、综合题的解法、创新性题的解法，教给同学们一些解题的特殊方法，特殊技巧，以提高同学们的解题速度和应对策略为目的。同学们应做到：①解题时，会从多种方法中选择最省时、最省事的方法，力求多方位，多角度的思考问题，逐渐适应高考对减缩思维的要求。②注意自己的解题速度，审题要慢，思维要全，下笔要准，答题要快。③养成在解题过程中分析命题者的意图的习惯，思考命题者是怎样将考查的知识点有机的结合起来的，有那些思想方法被复合在其中，对命题者想要考我什么，我应该会什么，做到心知肚明。 4.最后，就是冲刺阶段，也称为备考篇。在这一阶段，老师会将复习的主动权交给你自己。以前，学习的重点、难点、方法、思路都是以
2021届单元训练卷?高三?数学卷（B ） 第4单元 三角函数 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知2sin(π)3α-=- 且π (,0)2 α∈-，则tan(2π)α-=（ ） A B ． C D ．2．已知π4 cos()45 α-=，则sin 2α=（ ） A ．725- B ． 725 C ．15 - D ． 15 3．已知π1 sin()63 α-=，则πcos(2)3α-=（ ） A ．79 - B ． 9 C ． 79 D ．9 - 4．已知π3sin()45α-=，π5π (,)24 α∈，则sin α=（ ） A B ． C ．± D ． 5．函数()g x 的图像是由π()sin(2)2f x x =+的图像向左平移π 6 个单位得到，则()g x 的一条对称轴方程是（ ） A ．π6 x =- B ．π6 x = C ．π12 x =- D ．π12 x = 6．已知1tan 4tan θθ+=，则2π cos ()4 θ+=（ ） A ． 1 5 B ． 14 C ． 13 D ． 12 7 ．函数()cos f x x x =-，[0,π]x ∈的单调递减区间是（ ） A ．2π[0, ]3 B ．π2π [, ]23 C ．2π[ ,π]3 D ．π5π [, ]26 8．若π1sin()6 3α-=，则2π cos( 2)3 α+的值为（ ） A ．1 3- B ．79 - C ． 13 D ． 79 9．函数π()sin(2)(||)2f x x ??=+< 的图象向左平移π 6 个单位后得到函数()g x 的图象，且()g x 是R 上的奇函数，则函数()f x 在π [0,]2 上的最小值为（ ） A ．2 - B ．12 - C ． 12 D ． 2 10．设π (0,)2α∈，π(0,)2β∈，且1sin tan cos α βα += ，则（ ） A ．π32 αβ-=- B ．π22αβ-=- C ．π32 αβ+= D ．π22 αβ+= 11．将函数sin 2y x =的图象向右平移π (0)2 ??<< 个单位长度得到()y f x =的图象．若函数()f x 在区间π[0,]4 上单调递增，且()f x 的最大负零点在区间5ππ (,)126 --上，则?的取值范围是（ ） A ．ππ (,]64 B ．ππ(,)62 C ．ππ( ,]124 D ．ππ( ,)122 12．函数πsin sin()3 y x x =+的图象沿x 轴向右平移(0)m m >个单位后，得到()y g x =为偶函数，则m 的最小值为（ ） A ． π 12 B ． π2 C ． π3 D ． π6 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13 ．函数2 3 ()cos cos 2 f x x x x =+ 的单调递增区间为__________．
广东省高考数学一轮复习：62 几何概型 姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 一、单选题 (共17题；共34分) 1. （2分）(2018·宜宾模拟) 设不等式组表示的平面区域为，在区域内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于1的概率是（） A . B . C . D . 2. （2分）已知实数x∈[0，8]，执行如右图所示的程序框图，则输出的x不小于55的概率为（） A . B . C .
D . 3. （2分） (2018高二上·唐县期中) 在长为12cm的线段AB上任取一点C，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC、CB的长，则该矩形面积大于20cm2的概率为（） A . B . C . D . 4. （2分） (2018高二上·阳高月考) 两人约定在20∶00到21∶00之间相见，并且先到者必须等迟到者40分钟方可离去，如果两人出发是各自独立的，在20∶00至21∶00各时刻相见的可能性是相等的，则他们两人在约定时间内相见的概率为（）． A . B . C . D . 5. （2分） (2016高一下·烟台期中) “勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明．如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是（）
A . B . C . D . 6. （2分）(2019·永州模拟) 如图，在边长为的正六边形内任取一点，则点到正六边形六个顶点的距离都大于的概率为（） A . B . C . D . 7. （2分）已知满足约束条件，且的最小值为6.若实数则点落在上述区域内的概率为（） A . B .
课时作业(六十二) 一、选择题 1．在(ax －1)7 展开式中含x 4 项的系数为－35，则a 为( ) A ．±1 B ．－1 C ．－12 D ．±1 2 答案 A 解析 由通项公式可得C 73 (ax )4 (－1)3 ＝－35x 4 ，∴C 73a 4 (－1)3 ＝－35，∴a 4 ＝1，∴a ＝±1. 2．在(1＋x )5 ＋(1＋x )6 ＋(1＋x )7 的展开式中，x 4 的系数是通项公式为a n ＝3n －5的数列的( ) A ．第20项 B ．第18项 C ．第11项 D ．第3项 答案 A 解析 ∵x 4 的系数是 C 54 ＋C 64 ＋C 74 ＝C 51 ＋C 62 ＋C 73 ＝5＋15＋35＝55， 则由a n ＝55，即3n －5＝55，解得n ＝20. 3．在(x ＋1)(2x ＋1)……(nx ＋1)(n ∈N * )的展开式中一次项系数为( ) A ．C n 2 B ． C n ＋12 C ．C n n －1 D.12 C n ＋13 答案 B 解析 1＋2＋3＋…＋n ＝ n ·n ＋1 2 ＝C n ＋12 4．设(5x －x )n 的展开式的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，M －N ＝240，则展开式中x 3 项的系数为( ) A ．500 B ．－500 C ．150 D ．－150 答案 C 解析 N ＝2n ，令x ＝1，则M ＝(5－1)n ＝4n ＝(2n )2 ， ∴(2n )2－2n ＝240,2n ＝16，n ＝4. 展开式中第r ＋1项T r ＋1＝C 4r ·(5x )4－r ·(－x )r ＝(－1)r ·C 4r ·5 4－r ·x 4－r 2 . 令4－r 2 ＝3，即r ＝2，此时C 42 ·52 ·(－1)2 ＝150.
第一章 集合与简易逻辑 第1课时 集合的概念及运算 【考点导读】 1. 了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能选择自然语言，图形语言，集合语言描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用． 2. 理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；了解全集与空集的含义． 3. 理解两个集合的交集与并集的含义，会求两个集合的交集与并集；理解在给定集合中一个子集补集的含义，会求给定子集的补集；能使用文氏图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用． 4. 集合问题常与函数，方程，不等式有关，其中字母系数的函数，方程，不等式要复杂一些，综合性较强，往往渗透数形思想和分类讨论思想． 【基础练习】 1. 集 合 {(, )0 2,02,,} x y x y x y Z ≤≤≤<∈用列举法表示{ ( , ) , ( 0,． 2.设集合{21,}A x x k k Z ==-∈，{2,}B x x k k Z ==∈，则A B ?=?． 3.已知集合{0,1,2}M =，{2,}N x x a a M ==∈，则集合M N ?=_______． 4.设全集{1,3,5,7,9}I =，集合{1,5,9}A a =-，{5,7}I C A =，则实数a 的值为____8 或2___． 【范例解析】 例.已知R 为实数集，集合2{320}A x x x =-+≤.若R B C A R ?=， {01R B C A x x ?=<<或23}x <<，求集合B . 分析：先化简集合A ，由R B C A R ?=可以得出A 与B 的关系；最后，由数形结合，利用数轴直观地解决问题. 解：（1） {12}A x x =≤≤，{1R C A x x ∴=<或2}x >.又R B C A R ?=， R A C A R ?=， 可得A B ?. {0,2}
选修4经典回顾 主讲教师：丁益祥 北京陈经纶中学数学特级教师 开篇语 选修系列4在高考中主要考查4—1中的几何证明选讲、4—4中的坐标系与参数方程、4—5中的不等式选讲三个专题内容．围绕着三部分内容的试题，既有选择题和填空题，又有解答题．因此在第一轮复习中必须围绕上述核心考点，选择相关的问题进行求解训练，提高解决不等式问题能力 开心自测 题一：不等式|21|35x x -++≤的解集是_______________． 题二：如图，,AB CD 是半径为a 的圆O 的两条弦，他们相交于AB 的中点P ，23 a PD = ，30OAP ∠=?，则CP ＝_________． 考点梳理 选修4—1几何证明选讲部分： 1．垂径定理： 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
2．圆周角定理： 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 3．圆内接四边形的性质定理： 圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内角的对角． 4．圆内接四边形的判定定理： 如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆．推论：如果一个四边形的外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆． 5．切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等． 6．弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． 7．相交弦定理： 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等． 8．切割线定理： 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项． 选修4—4中的坐标系与参数方程部分： 1. 极坐标与直角坐标的关系 设点M的直角坐标为(x，)y，极坐标为(ρ，)θ， 则 cos, sin. x y ρθ ρθ = ? ? = ? 或 222, tan(0). x y y x x ρ θ ?=+ ? ? =≠ ??
广东省高考数学一轮复习：18 三角函数的图象与性质 姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 一、单选题 (共12题；共24分) 1. （2分）在下列函数中，图象关于直线对称的是（） A . B . C . D . 2. （2分）已知函数在上有两个零点,则的值为（） A . B . C . D . 3. （2分）下列函数中，在区间(0，)上为增函数且以为周期的函数是（） A . B . C . D . 4. （2分）若函数是奇函数，则（）
A . １ B . ０ C . ２ D . －１ 5. （2分）(2019·大连模拟) 函数的最小正周期为（） A . B . C . D . 2 6. （2分） (2020高二上·安徽月考) 已知函数，将函数图象向右平移个单位得到 的图象，若点为函数图象的一个对称中心，为图象的一个对称中心，则的最小值为（） A . B . C . D . 7. （2分）(2019·新乡模拟) 已知函数，若 的最小正周期为，且，则的解析式为（） A . B .
C . D . 8. （2分）(2017·重庆模拟) 已知f（x）是定义在（0，3）上的函数，f（x）的图象如图所示，那么不等式f（x）cosx＜0的解集是（） A . （0，1）∪（2，3） B . C . D . （0，1）∪（1，3） 9. （2分） (2019高一下·宁江期末) 已知函数，若存在满足 ，且，则n 的最小值为（） A . 3 B . 4 C . 5 D . 6 10. （2分） (2020高三上·郑州月考) 已知点在函数（且， ）的图象上，直线是函数的图象的一条对称轴．若在区间内单调，则 （）
高考数学复习练习题全套 (附参考答案) 1. 已知：函数()()2411f x x a x =+-+在[)1,+∞上是增函数，则a 的取值范围是 ． 2. 设,x y 为正实数，且33log log 2x y +=，则 11 x y +的最小值是 . 3. 已知：()()()()50050A ,,B ,,C cos ,sin ,,αααπ∈． （1）若AC BC ⊥，求2sin α． （2）若31OA OC +=OB 与OC 的夹角． 4. 已知：数列{}n a 满足()2 1 123222 2 n n n a a a a n N -+++++= ∈……． （1）求数列{}n a 的通项． （2）若n n n b a =，求数列{}n b 的前n 项的和n S ．
姓名 作业时间： 2010 年 月 日 星期 作业编号 002 1. 2 2 75157515cos cos cos cos ++的值等于 ． 2. 如果实数.x y 满足不等式组22 110,220x x y x y x y ≥??-+≤+??--≤? 则的最小值是 ． 3. 北京奥运会纪念章某特许专营店销售纪念章，每枚进价为5元，同时每销售一枚这种纪念章还需向北京奥组委交特许经营管理费2元，预计这种纪念章以每枚20元的价格销售时该店一年可销售2000枚，经过市场调研发现每枚纪念章的销售价格在每枚20元的基础上每减少一元则增加销售400枚，而每增加一元则减少销售100枚，现设每枚纪念章的销售价格为x 元（x ∈N *）． （1）写出该特许专营店一年内销售这种纪念章所获得的利润y （元）与每枚纪念章的销售价格x 的函数关系式（并写出这个函数的定义域）； （2）当每枚纪念销售价格x 为多少元时，该特许专营店一年内利润y （元）最大，并求出这个最大值． 4. 对于定义域为[]0,1的函数()f x ，如果同时满足以下三条：①对任意的[]0,1x ∈，总有()0f x ≥；②(1)1f =；③若12120,0,1x x x x ≥≥+≤，都有1212()()()f x x f x f x +≥+成立，则称函数()f x 为理想函数． (1) 若函数()f x 为理想函数，求(0)f 的值； (2)判断函数()21x g x =-])1,0[(∈x 是否为理想函数，并予以证明； (3)若函数()f x 为理想函数，假定?[]00,1x ∈，使得[]0()0,1f x ∈，且00(())f f x x =，求证 00()f x x =．
广东高考数学考试一轮复习攻略 一、夯实基础，知识与能力并重。 没有基础谈不上能力;复习要真正地回到重视基础的轨道上来，这里的基础不是指针 对考试机械重复的训练，而是指要搞清基本原理、基本方法，体验知识形成过程以及对知 识本质意义的理解与感悟，同时，对基础知识进行全面回顾，并形成自己的知识体系。 著名数学家华罗庚先生说：“数学是一个原则，无数内容，一种方法，到处可用。” 华罗庚先生还一再倡导读书要把书读得“由薄到厚”，再“由厚到薄”，如果说我们从小 学到中学学习12年数学的过程是“由薄到厚”的过程，那么高考复习的过程应该是深刻 领会数学的内容、意义和方法，认真梳理、归纳、探究、总结、提练，把握规律、灵活运用，把数学学习变成“由厚变薄”的过程，变成我们培养科学精神、掌握科学方法的最有 效的工具，成为自己做高素质现代人的重要武器，那时，做高考数学题就会得心应手。 二、复习中要把注意力放在培养自己的思维能力上。 培养自己独立解决问题的能力始终是数学复习的出发点与落脚点，要在体验知识的过 程中，适时进行探究式、开放式题目的研究和学习，深刻领悟蕴涵在其中的数学思想方法，并加以自觉的应用，力求做到使自己的理性思维能力、分析问题和解决问题的能力有切实 的提高。 学习好数学要抓住“四个三”：1、内容上要充分领悟三个方面：理论、方法、思 维;2、解题上要抓好三个字：数、式、形;3、阅读、审题和表述上要实现数学的三种语言 自如转化文字语言、符号语言、图形语言;4、学习中要驾驭好三条线：知识结构是明线要 清晰，方法能力是暗线要领悟、要提练，思维训练是主线思维能力是数学诸能力的核心， 创造性的思维能力是最强大的创新动力，是检验自己大脑潜能开发好坏的试金石。 三、讲究复习策略。 在第一轮复习中，要注意构建完整的知识网络，不要盲目地做题，不要急于攻难度大 的“综合题、探究题”，复习要以中档题为主，选题要典型，要深刻理解概念，抓住问题 的本质，抓住知识间的相互联系。高考题大多数都很常规，只不过问题的情景、设问的角 度改变了一下，因此，建议考生在首轮复习中，不要盲目地自己找题，而应在老师的指导下，精做题。 数学是应用性很强的学科，学习数学就是学习解题。搞题海战术的方式、方法固然是 不对的，但离开解题来学习数学同样也是错误的的，其中的关键在于对待题目的态度和处 理解题的方式上。
1．下列表格中的x 与y 能构成函数的是( ) A. B. C. D. 答案 C 解析 A 中0既是非负数又是非正数；B 中0又是偶数；D 中自然数也是整数，也是有理数． 2．下列各组函数中，表示同一函数的是( ) A ．f (x )＝|x |，g (x )＝ x 2 B ．f (x )＝ x 2 ，g (x )＝( x )2 C ．f (x )＝x 2－1 x －1 ，g (x )＝x ＋1 D ．f (x )＝x ＋1·x －1，g (x )＝x 2 －1 答案 A 解析 A 中，g (x )＝|x |，∴f (x )＝g (x )． B 中，f (x )＝|x |，g (x )＝x (x ≥0)， ∴两函数的定义域不同． C 中，f (x )＝x ＋1(x ≠1)，g (x )＝x ＋1， ∴两函数的定义域不同．
D 中，f (x )＝x ＋1·x －1(x ＋1≥0且x －1≥0)， f (x )的定义域为{x |x ≥1}； g (x )＝x 2－1(x 2－1≥0)，g (x )的定义域为{x |x ≥1或x ≤－1}． ∴定义域不同． 3．函数y ＝1 1－ 1x 的定义域是( ) A ．{x |x ∈R 且x ≠0} B ．{x |x ∈R 且x ≠1} C ．{x |x ∈R 且x ≠0且x ≠1} D ．{x |x ∈R 且x ≠0或x ≠1} 答案 C 解析 由???? ? x ≠01－1 x ≠0得? ?? ?? x ≠0 x ≠1，故选C. 4．已知集合M ＝{－1,1,2,4}，N ＝{0,1,2}，给出下列四个对应法则：①y ＝x 2 ，②y ＝x ＋1，③y ＝2x ，④y ＝log 2|x |，其中能构成从M 到N 的函数的是( ) A ．① B ．② C ．③ D ．④ 答案 D 解析 对于①、②，M 中的2,4两元素在N 中找不到象与之对应，对于③，M 中的－1,2,4在N 中没有象与之对应．故选D. 5．(2012·福州质检)设函数f (x )＝? ???? 2x －3，x ≥1， x 2 －2x －2，x <1，若f (x 0)＝1，则x 0等于( ) A ．－1或3 B ．2或3 C ．－1或2 D ．－1或2或3 答案 C 解析 ∵f (x 0)＝1， ∴??? ? ? x 0≥1，2x 0－3＝1， 或??? ? ? x 0<1，x 0 2 －2x 0－2＝1， 解得x 0＝2或x 0＝－1. 6．(2012·湖北八校联考)设定义在R 上的函数y ＝f (x )满足f (x )·f (x ＋2)＝12，且 f (2010)＝2，则f (0)等于( ) A ．12 B ．6
高考第一轮复习数学知识点 第一：高考数学中有函数、数列、三角函数、平面向量、不等式、立体几何等九大章节。 主要是考函数和导数，这是我们整个高中阶段里最核心的板块，在这个板块里，重点考察两个方面：第一个函数的性质，包括函数的单调性、奇偶性;第二是函数的解答题，重点考察的是二次函数和高次函数，分函数和它的一些分布问题，但是这个分布重点还包含两个分析就是二次方程的分布的问题，这是第一个板块。 第二：平面向量和三角函数。 重点考察三个方面：一个是划减与求值，第一，重点掌握公式，重点掌握五组基本公式。第二，是三角函数的图像和性质，这里重点掌握正弦函数和余弦函数的性质，第三，正弦定理和余弦定理来解三角形。难度比较小。 第三：数列。 数列这个板块，重点考两个方面：一个通项;一个是求和。 第四：空间向量和立体几何。 在里面重点考察两个方面：一个是证明;一个是计算。 第五：概率和统计。 这一板块主要是属于数学应用问题的范畴，当然应该掌握下面几个方面，第一等可能的概率，第二事件，第三是独立事件，还有独立重复事件发生的概率。 第六：解析几何。 这是我们比较头疼的问题，是整个试卷里难度比较大，计算量最高的题，当然这一类题，我总结下面五类常考的题型，包括第一类所讲的直线和曲线的位置关系，这是考试最多的内容。考生应该掌握它的通法，第二类我们所讲的动点问题，第三类是弦长问题，第四类是对称问题，这也是2021年高考已经考过的一点，第五类重点问题，这类题时往往觉得有思路，但是没有答案，当然这里我相等的是，这道题尽管计算量很大，但是造成计算量大的原因，往往有这个原因，我们所选方法不是很恰当，因此，在这一章里我们要掌握比较好的算法，来提高我们做题的准确度，这是我们所讲的第六大板块。 第七：押轴题。 考生在备考复习时，应该重点不等式计算的方法，虽然说难度比较大，我建议考生，采取分部得分整个试卷不要留空白。这是高考所考的七大板块核心的考点。
2019届高考数学一轮复习教师用书文 第一节集合 1．集合的含义与表示 (1)了解集合的含义、元素与集合的属于关系． (2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题． 2．集合间的基本关系 (1)理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集． (2)在具体情境中，了解全集与空集的含义． 3．集合的基本运算 (1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集． (2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集． (3)能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算． 授课提示：对应学生用书第1页 ◆教材通关◆ 1．元素与集合 (1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性． (2)集合中元素与集合的关系有且仅有两种：属于(用符号“∈”表示)和不属于(用符号“?”表示)． (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．
2．集合间的基本关系 A B [必记结论] 集合的子集、真子集个数的规律为：含n 个元素的集合有2n 个子集，有2n －1个真子集(除集合本身)，有2n －1个非空子集，有2n －2个非空真子集(除集合本身和空集，此时n ≥1)． 3．集合的基本运算 (1)A ∩?＝?，A ∪?＝A ； (2)A ?B ?A ∩B ＝A ?A ∪B ＝B ??U A ??U B ?A ∩(?U B )＝?； (3)A ∪(?U A )＝U ，A ∩(?U A )＝?，?U (A ∩B )＝(?U A )∪(?U B )，?U (A ∪B )＝(?U A )∩(?U B )． [小题诊断] 1．(2017·高考全国卷Ⅰ)已知集合A ＝{x |x <2}，B ＝{x |3－2x >0}，则( ) A ．A ∩ B ＝?????? ??? ?x ??? x < 3 2 B ．A ∩B ＝?
广东省2019届高三数学一轮复习典型题专项训练 平面向量 1、（2018全国I 卷高考题）在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =（ ） A ．31 44AB AC - B ．13 44AB AC - C ． 31 44 AB AC + D ． 13 44 AB AC + 2、（2017全国I 卷高考题）已知向量a ，b 的夹角为60?，2a =，1b =，则2a b +=________． 3、（2016全国I 卷高考题）设向量)1,(m a =→ ，)2,1(=→ b ，且2 22b a b a +=+，则=m _______ 4、（广州市2018高三一模）已知向量(),2m =a ，()1,1=b ，若+=+a b a b ，则实数m = ． 5、（广州市2018高三二模）已知向量a 与b 的夹角为4 π ，2,2==a b ，()⊥+λa a b ，则实数λ= ． 6、（广州市2018高三上期末调研）已知向量(),2x x =-a ，()3,4=b ，若a b ，则向量a 的模 为________． 7、（广州市海珠区2018届高三综合测试（一））已知向量a ，b 的夹角为 60，2=a ，22=-b a ，则=b A ．4 B ．2 C ．2 D ．1 8、（惠州市2018届高三4月模拟考试）在ABC ?中， 3A π =，2AB =，3AC =，2CM MB =， 则AM BC ?=( ) (A) 113- (B) 43- (C) 43 (D) 11 3 9、（惠州市2018届高三第三次调研）已知向量a b ⊥，2,a b ==则2a b -= ． 10、（惠州市2018届高三第一次调研）已知正方形ABCD 的中心为O 且其边长为1，则 ()()=+?-BC BA OA OD ． 11、（揭阳市2018届高三学业水平（期末）考试）已知sin 24 a π =，cos 24 b π =，且a 、b 的夹 角为 12 π ，则=a b ? （A ） 116 （B ）18 （C ）38 （D ）14
高三数学第一轮复习教学反思 吴远新 高考在即，第一轮复习已经接近尾声，这里就一轮复习谈谈自己的一点反思。高考是选拔性的考试，对于数学学科来说，它是在考查学生基础知识的同时，突出能力（思维能力、运算能力、空间想象能力、实践创新能力）的考查。因此作为高三数学教师在进行高考复习时，特别是在第一轮复习时，始终应以夯实“三基”，提高能力为指导思想，使学生在有限的复习时间内立足基础，在能力的提高上有所突破，以达到应试的要求和水平。现结合本人的教学实践，谈几点体会:一、加强高考研究，把握高考方向 随着数学教育改革和素质教育的深入，高考命题也在逐年探索、改革，命题的方向愈加突出考查能力，所以研究好高考，尤其是把握好高考的新动向，搞好高考复习，不仅能为学生打好扎实的基础，提高学生的整体素质、应试能力和高考成绩，而且也必将提高自己的教学水平，促进素质教育的全面实施。研究高考要研究大纲和考纲，要研究新旧考题的变化，要进行考纲、考题与教材的对比研究。通过对高考的研究，把握复习的尺度，避免挖的过深,拔的过高、范围过大，造成浪费；避免复习落点过低、复习范围窄小，形成缺漏。 二、明确中心思想，做好学习计划 第一轮复习是高考复习的基础，其效果决定高考复习的成败；一轮复习搞的扎实，二轮复习的综合训练才能顺利进行。故制定以下指导思想：全面、扎实、系统、灵活。全面，即全面覆盖，不留空白；扎实，即单元知识的理解、巩固，把握三基务必牢固；系统，即前挂后连，有机结合，注意知识的完整性系统性，初步建立明晰的知识网络；灵活，即增强小综合训练，克服解题的单向性、定向性，培养综合运用、灵活处理问题的能力和探究能力。 第二轮复习是在第一轮复习的基础上，进行强化、巩固的阶段，是考生数学能力及数学成绩大幅度提高的阶段，在一定程度上决定高考的胜败。指导思想是：巩固、完善、综合、提高。巩固，即巩固第一轮复习成果，把巩固“三基”放在首位；完善，即通过专题复习，查漏补缺，进一步完善知识体系；综合，即在训练上，减少单一知识点的训练，增强知识的连结点，增强知识交汇点的题目，增强题目的综合性和灵活性；提高，即培养学生的思维能力、概括能力，分析问题、解决问题的能力。 三、重视回归课本，狠抓夯实基础 《考试说明》中强调，数学学科的命题，在考查基础知识的基础上，注重对数学思想和方法的考查，注重对数学能力的考查，注重展现数学的科学价值和人文价值，同时兼顾试题的基础性、综合性、现实性。并明确指出：易、中、难的比例控制在3：5：2左右，即中低档题占总分的80%左右，这就决定了在高考复习中
新课标高考数学一轮复习技巧 高考数学一轮复习技巧1 高三学生首先要做到“听话”，这里的“听话”是全方位的。如果你认为高三学习是 第一位的，而忽视了对自己的日常行为的要求，那你就错了，学校和老师在高三一年中不 会因为学习任务的加重，而放松对纪律的要求，反而会强化纪律以保证学习的正常进行。 学习上更要听话，教高三的老师都是经历了几次或十几次高考授课，非常有经验，复习的 进度、复习的内容、复习的顺序，都是长期教学实践中总结出来的。高考的变化及新要求，都会在复习中渗透进去。而不听老师的教诲，认为自有一套很好的复习方法的学生每年都 有最后会碰的“头破血流”的。 高考数学一轮复习技巧2 高考是个人行为，也是集体行为，复习中最重要的环节就是“听讲”，这就要求学生 上课时紧跟老师，仔细听讲，积极思考，倾听别人的想法，提出自己的见解，在讨论中完 成对知识、方法、能力的提高。如果高三任课教师发生变化，大家应该尽快适应。而不应 该因为不适应这个老师的教学方法，就不喜欢这个老师，进而就不喜欢这门课程，这样受 损失的只有学生自己。 高考数学一轮复习技巧3 复习每天都要进行，即使今天没有数学课，也要对知识加以复习，这就要求有一个计划，首先对时间加以计划，每天都要有数学的复习时间，四十分钟一节课左右，周末应有 两节课的时间;其次对学科加以计划，哪个时间段看哪个学科，要做到心中有数，计划有 了贵在坚持。 高考数学一轮复习技巧4 作业应该是检验听讲和复习效果的手段，不应看成一个负担，作业要认真对待，把每 一次作业看成一次考试，不能敷衍了事，不会做的题目可以与同学研讨，但不要直接抄写，每次作业都是一次练习的机会，不要错过。 高考数学一轮复习技巧5 高三复习阶段的考试是非常多的，考试是对知识、方法、能力、经验的检验，每次考 试都是一个积累，大家应该充分运用它。首先，考试要独立完成，不要看别人的，否则会 掩盖你的漏洞，失去老师对你的关注，也会失去对自己的正确估价。一两次考试成绩的好坏，说明不了什么，考好了不证明你就没有问题，考不好也不是说你彻底不行了。考试成 绩不真实，最后会在高考中体现出来，吃亏的还是学生自己。其次，考试要注重基础题的 解答，要明确考试是靠做“对”会做的题得分，而不是去做不会做的题得分你得不到分， 取得好成绩是依靠做“对”多少，而不是做“了”多少，因此大家要学会“放弃”，不要
数学高考第一轮复习规划与建议 一、高三期间复习阶段分析 第一轮复习一般从8月到12月，以教材的知识体系作为复习的主要线索，以帮助同学们回忆、回顾以前学习过的知识为主，对知识面进行全方位的覆盖，以及对基本方法、基本题型进行总结、反思; 第二轮复习大概从2月到4月中旬，在此阶段打破了教材的体系，主要是对高中数学的六大板块进行专题性的复习，在第一轮复习的基础上进一步加强综合性运用，提高解题的准确性、速度性和解答题的规范性; 第三轮复习一般从4月中旬到5月中旬，此阶段主要是同学们进行高考试题的模拟考试、训练，以培养同学们的答题技巧、答题方法、考场应变能力。5月下旬到6月5日期间则是同学们自主复习，以回归教材、错题反思、方法的进一步归纳总结。 所以在整个高三的复习中，第一轮复习所用的时间是最长的，它的复习成效将直接影响后面的复习效果。 二、数学第一轮复习建议 一、端正态度，切忌浮躁，忌急于求成 在第一轮复习的过程中，心浮气躁是一个非常普遍的现象。主要表现为平时复习觉得没有问题，题目也能做，但是到了考试时就是拿不了高分!这主要是因为： 1对复习的知识点缺乏系统的理解，解题时缺乏思维层次结构。第一轮复习着重对基础知识点的挖掘，数学老师一定都会反复强调基础的重要性。如果不重视对知识点的系统化分析，不能构成一个整体的知识网络构架，自然在解题时就不能拥有整体的构思，也不能深入理解高考典型例题的思维方法。 2复习的时候心不静。心不静就会导致思维不清晰，而思维不清晰就会促使复习没有效率。建议大家在开始一个学科的复习之前，先静下心来认真想一想接下来需要复习哪一块儿，需要做多少事情，然后认真去做，同时需要很高的注意力，只有这样才会有很好的效果。 3在第一轮复习阶段，学习的重心应该转移到基础复习上来。 因此，建议广大同学在一轮复习的时候千万不要急于求成，一定要静下心来，认真的揣摩每个知识点，弄清每一个原理。只有这样，一轮复习才能显出成效。 二、注重教材、注重基础，忌盲目做题
高考一轮复习（一） ——集合与函数 一、集合 1.集合的含义与表示 （1）集合的概念：集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法：N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集. （3）集合与元素间的关系：对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ?，两者必居其一. （4）集合的表示法： ①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合. ②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类 ①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(?). 2.集合间的基本关系 （6）子集、真子集、集合相等 名称 记号 意义 性质 示意图 子集 B A ? （或)A B ? A 中的任一元素都属于B (1)A ?A (2)A ?? (3)若B A ?且B C ?，则A C ? (4)若B A ?且B A ?，则A B = A(B) 或B A 真子集 A ≠ ?B （或B ≠ ?A ） B A ?，且B 中 至少有一元素不属于A （1）A ≠ ??（A 为非空子集） (2)若A B ≠?且B C ≠?，则A C ≠ ? B A 集合 相等 A B = A 中的任一元素 都属于B ，B 中的任一元素都属于 A (1)A ?B (2)B ?A A(B) （7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n -个真子集，它有21n -个非空子集，它有22n -非空真子集. 3.集合的基本运算 （8）交集、并集、补集
【教学目标】 正确理解和熟练掌握三垂线定理及其逆定理，并能运用它解决有关垂直问题。 【知识梳理】 1．斜线长定理 从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中， ①射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长； ②相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长； ③垂线段比任何一条斜线段都短． 2．重要公式 如图，已知OB ⊥平面α于B ，OA 是平面α的斜线，A 为斜足， 直线AC ?平面α，设∠OAB =θ1，又∠CAB =θ2，∠OAC =θ．那么 cos θ=cos θ1cos θ2． 3．直线和平面所成的角 ①平面斜线与它在平面内的射影所成的角，是这条斜线和这个平面内任一条直线所成的角中最小的角． ②一个平面的斜线和它在这个平面内的射影的夹角，叫做斜线和平面所成的角(或斜线和平面的夹角)．如果直线和平面垂直，那么就说直线和平面所成的角是直角；如果直线和平面平行或在平面内，那么就说直线和平面所成的角是0的角． 三垂线定理和三垂线定理的逆定理的主要应用是证明两条直线垂直，尤其是证明两条异面直线垂直，此外，还可以作出点到直线的距离和二面角的平面角．在应用这两个定理时，要抓住平面和平面的垂线，简称“一个平面四条线，线面垂直是关键”． 【点击双基】 1．下列命题中，正确的是 ( ) (A )垂直于同一条直线的两条直线平行 (B )平行于同一平面的两条直线平行 (C )平面的一条斜线可以垂直于这个平面内的无数条直线 (D )a 、b 在平面外，若a 、b 在平面内的射影是两条相交直线，则a 、b 也是相交直线 2．直线a 、b 在平面α内的射影分别为直线a 1、b 1，下列命题正确的是 ( ) (A )若a 1⊥b 1，则a ⊥b (B )若a ⊥b ，则a 1⊥b 1 (C )若a 1//b 1，则a 与b 不垂直 (D )若a //b ，则a 1与b 1不垂直 3．直线a 、b 在平面外，若a 、b 在平面内的射影是一个点和不过此点的一条直线，则a 与b 是 ( ) (A )异面直线 (B )相交直线 (C )异面直线或相交直线 (D )异面直线或平行直线 4．P 是△ABC 所在平面外一点，若P 点到△ABC 各顶点的距离都相等，则P 点在平面ABC 内的射影是△ABC 的 ( ) C α D A B O