2019-2020学年重庆一中高一（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.已知幂函数f(x)的图象经过点(2,8)，则f(?1
2
)的值等于()
A. ?1
8B. 1
8
C. ?8
D. 8
2.函数y=log a(2x?1)?1(a>0，且a≠1)的图象过定点()
A. (1
2,?1) B. (1,?1) C. (1,0) D. (1
2
,0)
3.已知集合A={x|?1 A. (2,3)∪(4,5) B. (2,3]∪(4，5] C. (2,3)∪[4，5] D. (2,3]∪[4,5] 4.已知函数f(x)=4x2?kx?8在[1,2]上具有单调性，则k的取值范围是() A. (?∞,8]∪[16,+∞) B. [8,16] C. (?∞,8)∪(16,+∞) D. [8,+∞) 5.命题“?x>0，使2x>3x”的否定是() A. ?x>0，使2x≤3x B. ?x>0，使2x≤3x C. ?x≤0，使2x≤3x D. ?x≤0，使2x≤3x 6.法国著名数学家和天文学家拉普拉斯曾说过：“对数倍增了天文学家的寿命.”比如在下面的部 分对数表中，16和256对应的幂指数分别为4和8，幂指数的和为12，而12对应的幂为4096，因此16×256=4096.根据此表，推算128×1024=() 7.函数f(x)=2x?1+√x?2的最小值是() A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8.若函数f(x)={ a x,x≥1 (4?a 2 )x+2,x<1且满足对任意的实数x1≠x2都有 f(x1)?f(x2) x1?x2 >0成立，则实数 a的取值范围是() A. (1,+∞) B. (1,8) C. (4,8) D. [4,8) 9.设f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=log2x，则f(?2)=() A. ?2 B. 2 C. ?1 D. 以上都不是 10.已知直线l1:mx+y?1=0，直线l2:(m?2)x+my?1=0，则“l1⊥l2”是“m=1”的 () A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 11. 已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数且在[0,+∞)上是增函数，则不等式f (2x ?1) 集为( ) A. (?∞,2) B. (?1,2) C. (?∞,?1)∪(2,+∞) D. (?1,+∞) 12. 已知函数f(x)={?x 2+2x,x ≤0ln(x +1),x >0 ，若|f(x)|≥2ax ，则a 的取值范围是( ) A. (?∞,0] B. [?2,1] C. [?2,0] D. [?1,0] 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. f(x)=的定义域为______ ． 14. 已知函数f(x)为奇函数，且当x ∈(?∞,0)时，f(x)=x(1?x)，则f(3)=______． 15. 函数f(x)=log 0.5(8+2x ?x 2)的单调递增区间是______ ． 16. 设函数f (x )=x 2+2x ?a ，若对任意的x ∈[?3, 0]都有f (x )≥0恒成立，则实数a 的取值范围 是__________； 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. 已知A ={x|1 4≤2x ≤32}，B ={y|y =log 12 x,1 64≤x ≤2}. (1)求A ∩B ； (2)若C ={x|1?m ≤x ≤1+m,m >0}，若C ?A ，求m 的取值范围． 18. 计算下列各式： (1)(0.027)23 +( 27125 ) ?1 3 ?(279 ) 0.5； (2)lg25+2 3lg8+lg5?lg20+(lg2)2． 19.设二次函数f(x)满足：对任意x∈R，都有f(x+1)+f(x)=2x2?2x?3． (1)求f(x)的解析式； (2)若关于x的方程f(x)?a=0有两个实数根x1，x2，且满足：?1 取值范围． (a x?3)(a>0且a≠1)． 20.函数f(x)=log1 2 (1)若a=2，求函数f(x)在(2,+∞)上的值域； (2)若函数f(x)在(?∞,?2)上单调递增，求a的取值范围． 21.已知定义域为R的函数f(x)=?2x+b 是奇函数(a>0,b>0)． 2x+1+a (1)求a，b值； (2)求函数f(x)的值域． 22.已知定义在R上的函数f(x)=2x?1 ． 2|x| (1)若f(x)=3 ，求x的值； 2 (2)若2t f(2t)+mf(t)≥0对于t∈[1,2]恒成立，求实数m的取值范围． -------- 答案与解析 --------1.答案：A 解析：解：设幂函数f(x)=xα(α∈R)，其图象经过点(2,8)， ∴2α=8， 解得α=3； ∴f(x)=x3， ∴f(?1 2)=(?1 2 )3=?1 8 ． 故选：A． 根据幂函数f(x)的图象经过点(2,8)，求出函数的解析式，再计算f(?1 2 )即可． 本题考查了求幂函数的解析式以及利用函数解析式求函数值的问题，是基础题目．2.答案：B 解析： 【分析】 令对数函数的真数等于1，求得x、y的值，可得它的图象过定点的坐标． 【解答】 解：令2x?1=1， 求得x=1，y=?1， 函数y=log a(2x?1)?1(a>0，且a≠1)的图象过定点(1,?1)， 故选B． 3.答案：C 解析：解：A={x|2 ∴?A B={x|2 故选：C． 可解出集合A，然后进行补集的运算即可． 考查描述法、区间表示集合的定义，以及补集的运算． 4.答案：A 解析：解：∵对称轴x=k 8 ，若函数f(x)在[1,2]上单调， 则k 8≥2或k 8 ≤1， 解得：k≥16或k≤8， 故选：A． 先求出函数的对称轴，根据函数的单调性，得到不等式，解出即可． 本题考查了二次函数的性质，考查了函数的单调性，是一道基础题． 5.答案：A 解析：解：命题是特称命题，则命题的否定是全称命题，即?x>0，使2x≤3x， 故选：A． 根据特称命题的否定是全称命题进行判断即可． 本题主要考查含有量词的命题的否定，根据特称命题的否定是全称命题是解决本题的关键．比较基础． 6.答案：B 解析： 【分析】 本题考查了阅读理解能力及进行简单的合情推理，属于基础题． 先通过阅读，理解题意后再进行简单的合情推理即可得解． 【解答】 解：由上表可知：128=27,1024=210，即128，1024对应的幂指数分别为7和10，幂指数和为17，而17对应的幂为131072， 因此128×1024=131072． 故选B． 7.答案：A 解析： 【分析】 本题考查求函数的最值，属于中档题． 利用换元法转化为二次函数求最值． 【解答】 解：令t=√x?2,t∈[0,+∞)，则x=t2+2， 所以y=2t2+t+3，在[0,+∞)单调递增， 当t =0时，y 最小值是3． 故选A ． 8.答案：D 解析： 【分析】 本题考查的知识点是分段函数的应用，正确理解分段函数的单调性，属于中档题． 若对任意的实数x 1≠x 2都有f(x 1)?f(x 2)x 1?x 2 >0成立，则函数f(x)={?a x ,x ?1 (4?a 2 )x +2,x <1 在R 上单调递增， 进而可得答案． 【解答】 解：∵对任意的实数x 1≠x 2都有 f(x 1)?f(x 2)x 1?x 2 >0成立， ∴函数f(x)={?a x ,x ?1 (4?a 2)x +2,x <1在R 上单调递增， ∴{a >1 4?a 2 >0a ≥4?a 2 +2 ， 解得：a ∈[4,8)， 故选D ． 9.答案：C 解析：由于f(x)是定义在R 上的奇函数，因此f(?2)=?f(2)=?log 22=?1． 10.答案：B 解析：解：直线l 1：mx +y ?1=0，直线l 2：(m ?2)x +my ?1=0，若“l 1⊥l 2”， 则m(m ?2)+m =0， 解得m =0或m =1， 故“l 1⊥l 2”是“m =1”的必要不充分条件， 故选：B ． 利用两条直线相互垂直的充要条件求出m 的值，再根据充分必要条件的定义即可得出． 本题考查了简易逻辑的判定方法、两条直线相互垂直的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 11.答案：B 解析： 【分析】 本题考查了抽象函数，函数的单调性与单调区间和函数的奇偶性． 利用偶函数的定义可知，f(2x?1)=f(|2x?1|)，则不等式变为f(|2x?1|) 【解答】 解：由f(x)为偶函数， 则f(2x?1)=f(|2x?1|)， 由f(2x?1) 由于f(x)在[0,+∞)上单调递增， 故|2x?1|<3，则?3<2x?1<3， 解得?1 即不等式的解集为(?1,2)． 故选B． 12.答案：D 解析： 【分析】 本题主要考查函数与方程的应用，利用分段函数作出函数的图 象，利用数形结合是解决本题的关键，作出函数f(x)和y=ax的 图象，将方程问题转化为两个函数的交点个数问题，利用数形 结合进行求解即可． 【解答】 解：作出函数y=|f(x)|的图象如图：|f(x)|≥2ax，由图像可 得，a≤0. 若a=0，2ax=０，则||f(x)|≥2ax恒成立． 若a<0， 当x>0时，ln(x+1)>０，|f(x)|≥2ax恒成立； 当x=0时，2ax=0，则|f(0)|=0，2ax=0，|f(x)|≥2ax成立； ?1，即a≥?1． 当x<0时，|f(x)|=x2?2x≥2ax，x?2≤2a，解得a≥x 2 综上可得，a的取值范围为［?1，0］． 故选Ｄ． 13.答案：{x|0 解析：解：函数f(x)=?log x 的定义域满足：{x >0 ?log 2x >0 ，解得：0 所以函数f(x)=?log 2 x 的定义域为{x|0 故答案为：{x|0 根据函数的解析式，列出使函数解析式有意义的不等式组，求出解集即可． 本题考查了定义域的求法和对数的计算．属于基础题． 14.答案：12 解析： 【分析】 本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及函数值的计算，属于基础题．根据题意，由函数的解析式求出f(?3)的值，结合函数的奇偶性可得f(3)的值，即可得答案． 【解答】 解：根据题意，当x ∈(?∞,0)时，f(x)=x(1?x)， 则f(?3)=(?3)×(1+3)=?12， 又由函数f(x)为奇函数， 则f(3)=?f(?3)=12． 故答案为12． 15.答案：[1,4) 解析：解：令t =8+2x ?x 2=?(x +2)(x ?4)>0，求得?2 再根据二次函数的性质可得函数t =?(x ?1)2+9在定义域(?2,4)上的减区间为[1,4)， 故答案为[1,4)． 令t =8+2x ?x 2>0，求得函数的定义域为(?2,4)，f(x)=log 0.5t ，故本题即求函数t 在定义域内的减区间．再根据二次函数的性质可得函数t =?(x ?1)2+9在定义域(?2,4)上的减区间． 本题主要考查复合函数的单调性，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于中档题． 16.答案：a ≤?1 解析： 【分析】 本题考查利用二次函数的性质及最值求解不等式恒成立问题，属于基础题目． 求函数f(x)的最小值为f(?1)=1?2?a=?1?a≥0即可解答． 【解答】 解：因为对任意的x∈[?3,0]都有f(x)≥0恒成立， 所以函数f(x)在[?3,0]上最小值大于等于0， 因为函数f(x)的对称轴为x=?1，开口向上， 所以函数f(x)的最小值为f(?1)=1?2?a=?1?a≥0， 解得a≤?1． 故答案为a≤?1． 17.答案：解：(1)∵A={x|1 4 ≤2x≤32}={x|?2≤x≤5}， B={y|y=log1 2x,1 64 ≤x≤2}={x|?1≤x≤6}． ∴A∩B={x|?1≤x≤5}． (2)∵C={x|1?m≤x≤1+m,m>0}，C?A， ∴{1+m≤5 1?m≥?2， 解得m≤3． ∴m的取值范围是{m|m≤3}． 解析：(1)求出集合A，B，由此能求出A∩B． (2)由C={x|1?m≤x≤1+m,m>0}，C?A，列出不等式组，由此能求出m的取值范围． 本题考查交集的求法，考查实数的取值范围的求法，考查交集、子集等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 18.答案：解：(1)原式=0.09+5 3?5 3 =0.09； (2)原式=2lg5+2lg2+lg5(2lg2+lg5)+(lg2)2 =2+lg2?lg5+(lg5)2+lg2?lg5+(lg2)2 =2+lg5?(lg2+lg5)+lg2?(lg5+lg2) =2+lg5+lg2 =2+1 =3． 解析：考查分数指数幂和对数的运算，为基础题． (1)进行分数指数幂的运算即可； (2)进行对数式的运算即可． 19.答案：解：(1)设f(x)=ax 2+bx +c(a ≠0)， 则f(x +1)+f(x)=2ax 2+(2a +2b)x +a +b +2c =2x 2?2x ?3， 所以{2a =2 2a +2b =?2a +b +2c =?3 , 解得：a =1，b =?2，c =?1， 从而f(x)=x 2?2x ?1． (2)令g(x)=f(x)?a =x 2?2x ?1?a =0， 由于?1 g(?1)>0 g(2)<0, 解得?1 解析：本题考查二次函数的性质，函数的解析式的求法，考查计算能力，难度不大． (1)设出二次函数，利用函数的解析式，化简表达式，通过比较系数，求出函数的解析式； (2)利用二次函数根与系数的关系，列出不等式，求解a 的范围即可． 20.答案：解：(1)令t =a x ?3=2x ?3，则它在(2,+∞)上是增函数，t >22?3=1， 故函数f(x)=log 12(2x ?3)=log 12t (2)∵函数f(x)在(?∞,?2)上单调递增，根据复合函数的单调性法则， 故t =a x ?3在(?∞,?2)上单调递减且恒为正值，∴{0 a ?2?3≥0，