高一年级数学期末考试试卷
姓名: 得分:
一、选择题。（每题3分，共30分）
1．在等差数列3，7，11…中，第5项为( )． A ．15 B ．18 C ．19 D ．23 2.ABC ?中，若?===60,2,1B c a ，则ABC ?的面积为（ ）
A ．2
1 B ．
2
3 C.1 D.
3
3．等差数列{an}中，a2＋a6＝8，a3＋a4＝3，那么它的公差是( )． A ．4 B ．5
C ．6
D ．7
4．△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a ＝3，b ＝4，∠C ＝60°，则c 的值等于( )． A ．5 B ．13
C ．
13
D ．
37
5．数列{an}满足a1＝1，an ＋1＝2an ＋1(n ∈N+)，那么a4的值为( )． A ．4 B ．8
C ．15
D ．31
6．△ABC 中，如果A
a
tan ＝B
b
tan ＝C
c
tan
，那么△ABC 是( )．
A ．直角三角形
B ．等边三角形
C ．等腰直角三角形
D ．钝角三角形
7．如果a ＞b ＞0，t ＞0，设M ＝b
a ，N ＝t
b t
a ++，那么( )．
A ．M ＞N
B ．M ＜N
C ．M ＝N
D ．M 与N 的大小关系随t 的变化而变化
8.已知0x >，函数4
y x x
=
+的最小值是（ ） A ．5 B ．4 C ．8 D ．6 9．如果a ＜b ＜0，那么( )． A ．a －b ＞0 B ．ac ＜bc C ．a 1＞b
1 D ．a2＜b2
10.圆x 2
＋y 2
－4x ＝0在点P (1,
3
)处的切线方程为（ ）
A.023=-+y x
B.0
43=-+y x C.043=+-y x D.023=+-y x
二、填空题。（每题4分，共20分）
11．已知x 是4和16的等差中项，则x ＝ 。
12．一元二次不等式x 2
＜x ＋6的解集为 。
13．函数f (x )＝x (1－x )，x ∈(0，1)的最大值为 。 14.在A B C ?
中，0
45,B c b =，那么A ＝ 。 15.若经过两点A (－1,0)、B (0,2)的直线L 与圆(x －1)2＋(y －a )2
＝1相切,则a ＝__________.
三、解答题（每题10分，共50分） 16．△ABC 中，BC ＝7，AB ＝3，且B
C
sin sin
＝5
3．
(1)求AC ； (2)求∠A ．
19．解：（1）由正弦定理得
B
AC sin ＝C AB sin ?AC AB
＝B
C sin sin ＝53?AC ＝33
5?＝5．
（2）由余弦定理得
cos A ＝AC AB BC AC AB ?-+2222＝53249259??-+＝2
1
-，所以∠A ＝120°．
17．已知等差数列{a n }的前n 项的和记为S n ．如果a 4＝－12，a 8＝－4．
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)求S n 的最小值及其相应的n 的值；
(3)从数列{a n }中依次取出a 1，a 2，a 4，a 8，…，1
2n －a ，…，构成一个新的数列{b n }，求{b n }的前n 项和．
解：（1）设公差为d ，由题意，
??? ? ??? 解得???
所以a n ＝2n －20．
（2）由数列{a n }的通项公式可知， 当n ≤9时，a n ＜0， 当n ＝10时，a n ＝0， 当n ≥11时，a n ＞0．
所以当n ＝9或n ＝10时，S n 取得最小值为S 9＝S 10＝－90． （3）记数列{b n }的前n 项和为T n ，由题意可知 b n ＝12-n a ＝2×2n －
1－20＝2n －20． 所以T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n
＝(21－20)＋(22－20)＋(23－20)＋…＋(2n －20) ＝(21＋22＋23＋…＋2n )－20n ＝2
1221
--+n －20n
＝2n +1－20n －2．
18．某工厂修建一个长方体无盖蓄水池，其容积为4 800立方米，深度为3米．池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元．设池底长方形长为x 米．
(1)求底面积，并用含x 的表达式表示池壁面积； (2)怎样设计水池能使总造价最低?最低造价是多少?
解：（1）设水池的底面积为S 1，池壁面积为S 2，则有S 1＝3
800
4 ＝1 600(平方米)． 池底长方形宽为x
6001米，则
S 2＝6x ＋6×
x
6001＝6(x ＋
x 6001)．
（2）设总造价为y ，则 y ＝150×1 600＋120×6(x ＋x
6001)≥240 000＋57 600＝297 600．
当且仅当x ＝
x
6001,即x ＝40时取等号．
所以x ＝40时,总造价最低为297 600元．
答：当池底设计为边长40米的正方形时，总造价最低，其值为297 600元．
19.求不等式的解集：0542<++-x x
（1）{15}x x x <->或
20.求过两圆C 1:x 2
＋y 2
－2y －4＝0和圆C 2:x 2
＋y 2
－4x ＋2y ＝0的交点，且圆心在直线l :2x ＋4y －1＝0上的圆的方程.
a 4＝－12
a 8＝－4 a 1＋3d ＝－12 a 1＋7d ＝－4
d ＝2
a 1＝－18
解:设所求圆的方程为x 2＋y 2－4x ＋2y ＋λ(x 2＋y 2－2y －4)＝0,其中λ≠－1,
即(1＋λ)(x 2＋y 2)－4x ＋(2－2λ)y －4λ＝0.
0141)1(2142
2=
+-+-++-+λλλλλy x y x . 其圆心为)11
,12(λλλ+-+,在直线2x ＋4y －1＝0上，
∴011)1(414=-+-++λλλ， 故3
1=λ.
∴所求圆的方程为x 2＋y 2－3x ＋y －1＝0.