人教B版高一数学必修一函数部分完整题型总结
一、考试内容：
映射、函数、函数的单调性、奇偶性．
反函数．互为反函数的函数图像间的关系．
指数概念的扩充．有理指数幂的运算性质．指数函数．
对数．对数的运算性质．对数函数．
函数的应用．
二、考试要求：
（1）了解映射的概念，理解函数的概念．
（2）了解函数单调性、奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性、奇偶性的方法．（3）了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系，会求一些简单函数的反函数．（4）理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图像和性质．
（5）理解对数的概念，掌握对数的运算性质；掌握对数函数的概念、图像和性质．
（6）能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题．
三、命题热点
分析近几年的高考试题，可以发现函数是高考数学的重点内容之一，函数的观点和思想方法贯穿整个高中数学的全过程，包括解决几何问题.在近几年的高考试卷中，一般以选择题和填空题的形式考查函数的性质、函数与方程、基本初等函数等，以解答题的形式与导数交汇在一起考查函数的定义域、单调性以及函数与不等式、函数与方程等知识.其中函数与方程思想、数形结合思想等都是考考查的热点。选择题、填空题、解答题三种题型中每年都有函数试题，而且常考常新.以基本函数为模型的应用题和综合题是高考命题的新趋势。
2012年高考热点主要有：①考查函数的表示法、定义域、值域、单调性、奇偶性、反函数和函数的图象.②函数与方程、不等式、数列是相互关联的概念，通过对实际问题的抽象分析，建立相应的函数模型并用来解决问题，是考试的热点.③考查运用函数的思想来观察问题、分析问题和解决问题，渗透数形结合和分类讨论的基本数学思想.
四、知识回顾
（一）本章知识网络结构：
定义定义域区间
对应法则
值域
一元二次函数
一元二次不等式
映射
函
数
性
质奇偶性
单调性
周期性
指
数
函
数
根式分数指数
指数函数的图像和性质
指数方程
对数方程
反函数互为反函数的
函数图像关系
对
数
函
数
对数
对数的性质
积、商、幂与
根的对数
对数恒等式
和不等式
常用对数
自然对数
对数函数的图像和性质
（二）考点总结 （1）函数
1．了解构成函数的要素，了解映射的概念,会求一些简单函数的定义域和值域.
2．理解函数的三种表示法：解析法、图象法和列表法，能根据不同的要求选择恰当的方法表示简单的函数.
3．了解分段函数，能用分段函数来解决一些简单的数学问题.
4．理解函数的单调性，会讨论和证明一些简单的函数的单调性；理解函数奇偶性的含义，会判断简单的函数奇偶性.
5．理解函数的最大（小）值及其几何意义，并能求出一些简单的函数的最大（小）值 6．会运用函数图像理解和研究函数的性质. （2）指数函数
1．了解指数函数模型的实际背景.
2．理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算. 3．理解指数函数的概念，会求与指数函数性质有关的问题. 4．知道指数函数是一类重要的函数模型. （3）对数函数
1．理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.
2．理解对数函数的概念；会求与对数函数性质有关的问题. 3．知道对数函数是一类重要的函数模型. 4．了解指数函数 与对数函数 互为反函数. （4）幂函数
1．了解幂函数的概念.
2．结合函数 的图像，了解它们的变化情况. （5）函数与方程
1．了解函数零点的概念，结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系.
2．理解并掌握连续函数在某个区间上存在零点的判定方法。能利用函数的图象和性质判别函数零点的个数.
（6）函数模型及其应用
1．了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征。知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.
2．了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用.
3．能利用给定的函数模型解决简单的实际问题. （三）知识要点回顾
（一）映射与函数 （1）映射与一一映射 （2）函数
函数三要素是定义域，对应法则和值域，而定义域和对应法则是起决定作用的要素，因为这二者确定后，值域也就相应得到确定，因此只有定义域和对应法则二者完全相同的函数才是同一函数. （3）反函数
反函数的定义
设函数))((A x x f y ∈=的值域是C ，根据这个函数中x,y 的关系，用y 把x 表示出，得到x=?(y). 若对于y 在C 中的任何一个值，通过x=?(y)，x 在A 中都有唯一
的值和它对应，那么，x=?(y)就表示y 是自变量，x 是自变量y 的函数，这样的函数x=?(y)
(y ∈C)叫做函数))((A x x f y ∈=的反函数，记作)(1
y f x -=,习惯上改写成)(1x f y -= （二）函数的性质 函数的单调性
定义：对于函数f(x)的定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1,x 2, ?若当x 1
若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数y=f(x)的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数. .函数的奇偶性
正确理解奇、偶函数的定义。必须把握好两个问题：（1）定义域在数轴上关于原点对称是函数)(x f 为奇函数或偶函数的必要不充分条件；（2）)()(x f x f =-或)()(x f x f -=-是定义域上的恒等式。
2．奇函数的图象关于原点成中心对称图形，偶函数的图象关于y 轴成轴对称图形。反之亦真，因此，也可以利用函数图象的对称性去判断函数的奇偶性。 3.奇函数在对称区间同增同减；偶函数在对称区间增减性相反. 4．如果)(x f 是偶函数，则|)(|)(x f x f =，反之亦成立。若奇函数在0=x 时有意义，则0)0(=f 。
7. 奇函数，偶函数： ?偶函数：)()(x f x f =-
设（b a ,）为偶函数上一点，则（b a ,-）也是图象上一点. 偶函数的判定：两个条件同时满足
①定义域一定要关于y 轴对称，例如：12+=x y 在)1,1[-上不是偶函数. ②满足)()(x f x f =-，或0)()(=--x f x f ，若0)(≠x f 时，1)
()
(=-x f x f . ?奇函数：)()(x f x f -=-
设（b a ,）为奇函数上一点，则（b a --,）也是图象上一点. 奇函数的判定：两个条件同时满足
①定义域一定要关于原点对称，例如：3x y =在)1,1[-上不是奇函数. ②满足)()(x f x f -=-，或0)()(=+-x f x f ，若0)(≠x f 时，
1)
()
(-=-x f x f . 8. 对称变换：①y = f （x ））
（轴对称
x f y y -=???→? ②y =f （x ））
（轴对称
x f y x -=???→? ③y =f （x ））
（原点对称x f y --=???→? 9. 判断函数单调性（定义）作差法：对带根号的一定要分子有理化，例如：
在进行讨论.
10. 外层函数的定义域是内层函数的值域. 例如：已知函数f （x ）= 1+
x
x
-1的定义域为A ，函数f [f （x ）]的定义域是B ，则集合A 与集合B 之间的关系是 .
解：)(x f 的值域是))((x f f 的定义域B ，)(x f 的值域R ∈，故R B ∈，而A {}1|≠=x x ，故A B ?.
11. 常用变换：
①)
()
()()()()(y f x f y x f y f x f y x f =-?=+. 证：)()(])[()()
()
()(y f y x f y y x f x f x f y f y x f -=+-=?=
- ②)()()()()()(y f x f y x f y f x f y
x
f +=??-= 证：)()()()(y f y
x f y y x f x f +=?= 12. ?熟悉常用函数图象：
例：|
|2x y =→||x 关于y 轴对称. |
2|21+?
?
?
??=x y →||21x y ??? ??=→|
2|21+?
?
? ??=x y
|122|2-+=x x y →||y 关于x 轴对称.
?熟悉分式图象：
例：3
7
2312-+
=-+=
x x x y ?定义域,3|{x x ≠值域},2|{R y y y ∈≠→值域≠x 前的系数之比.
2212221212
2222121)()()(b x b x x x x x b x b x x f x f x ++++-=+-+=-）（A B ?
（三）指数函数与对数函数
指数函数)10(≠>=a a a y x 且的图象和性质
()n
a n a a a c
b a b b a N
a n a a n a a a a a a a a a a a a c
b a N
N N
a M n
M M n M N
M N M
N M N M n a
1121log log ...log log 1
log log log log log log log 1
log log log log log log log log )(log 32log )12)1(=????=??=
==±=-=+=?-推论：换底公式：
（以上10且...a a ,a 1,c 0,c 1,b 0,b 1,a 0,a
0,N 0,M n 21≠≠≠≠ ）
注?：当0, b a 时，)log()log()log(b a b a -+-=?.
?：当0 M 时，取“+”，当n 是偶数时且0 M 时，0 n M ，而0 M ，故取“—”.
例如：x x x a a a log 2(log 2log 2
≠中x ＞0而2log x a 中x ∈R ）.
对数函数y =log a x 的图象和性质: 五、典型例题
题型1：函数及其表示
1．函数y ＝－x 2－3x ＋4
x
的定义域为________________．
解析 由题意得?
????
－x 2－3x ＋4≥0，
x ≠0，因此－4≤x ≤1且x ≠0. 答案 [－4,0)∪(0,1]
2．下列函数中，与函数y ＝1
x 有相同定义域的是________．
①f (x )＝ln x ②f (x )＝1
x
③f (x )＝|x | ④f (x )＝e x
解析 y ＝1x
定义域为(0，＋∞)，f (x )＝ln x 定义域为(0，＋∞)，f (x )＝1
x 定义域为{x |x ≠0}．
f (x )＝|x |定义域为R ，f (x )＝e x 定义域为R 答案 ①
3．已知函数f (x )＝?
????
log 2x ， x >0，2x ， x ≤0.若f (a )＝1
2，则a ＝________.
解析 当a >0时，log 2a ＝12，∴a ＝2，当a ≤0时，2a ＝12
＝2－
1，∴a ＝－1.∴a ＝－1或 2.
答案 －1或 2
4．定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )＋2xy (x ，y ∈R )，f (1)＝2， 则f (－3)＝________.
解析 f (1)＝f (0＋1)＝f (0)＋f (1)＋2×0×1 ＝f (0)＋f (1)，∴f (0)＝0.
f (0)＝f (－1＋1)＝f (－1)＋f (1)＋2×(－1)×1 ＝f (－1)＋f (1)－2，∴f (－1)＝0.
f (－1)＝f (－2＋1)＝f (－2)＋f (1)＋2×(－2)×1
＝f (－2)＋f (1)－4，∴f (－2)＝2.
f (－2)＝f (－3＋1)＝f (－3)＋f (1)＋2×(－3)×1 ＝f (－3)＋f (1)－6，∴f (－3)＝6. 答案 6
5．已知f ? ????1－x 1＋x ＝
1－x 21＋x 2
，则f (x )的解析式为__________． 解析 令t ＝1－x 1＋x ，则x ＝1－t 1＋t ，因此f (t )＝1－? ???
?1－t 1＋t 21＋? ??
?
?1－t 1＋t 2＝2t
1＋t 2，
因此f (x )的解析式为f (x )＝2x 1＋x 2. 答案 f (x )＝2x
1＋x 2 6．定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且f (x )＝ ?????
1 (－1 ，则f (3)＝________. 解析 f (3)＝f (2＋1)＝－f (2)＝－f (1＋1)＝f (1)＝－1. 答案 －1 7．已知函数φ(x )＝f (x )＋g (x )，其中f (x )是x 的正比例函数，g (x )是x 的反比例函数，且φ???? 13＝16，φ(1)＝8，则φ(x )＝____________. 解析 设f (x )＝mx (m 是非零常数)，g (x )＝n x (n 是非零常数)，则φ(x )＝mx ＋n x ， 由φ????13＝16，φ(1)＝8， 得????? 16＝13m ＋3n 8＝m ＋n ，解得????? m ＝3n ＝5. 故φ(x )＝3x ＋5x . 答案 3x ＋5 x 8．如右图所示，在直角坐标系的第一象限内，△AOB 是边 长为2的等边三角形，设直线x=t (0≤t ≤2)截这个三角形可得位于此直线 左方的图形的面积为f(t)，则函数y=f(t)的图象(如下图所示)大致是 (填序号)． 解析 首先求出该函数的解析式． 当0≤t ≤1时，如下图甲所示， 有f (t )＝S △MON ＝3 2 t 2. 当1≤t <2时，如下图乙所示， 有f (t )＝S △AOB －S △MNB ＝－ 3 2 (2－t )2＋3， .)21(3)2(2 3)10(2 3)(22 ???????≤<+--≤≤=∴t t t t t f 答案 ④ 9．在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点， 如果函数f (x )的图象恰好通过n (n ∈N *)个整点，则称函数f (x )为n 阶整点函数．有下列函数： ①f (x )＝sin 2x ；②g (x )＝x 3；③h (x )＝(1 3 )x ； ④φ(x )＝ln x ，其中是一阶整点函数的是____________________________________． 解析 对于函数f (x )＝sin 2x ，它只通过一个整点(0,0)，故它是一阶整点函数；对于函数g (x )＝x 3，当x ∈Z 时，一定有g (x )＝x 3∈Z ，即函数g (x )＝x 3通过无数个整点，它不是一 阶整点函数；对于函数h (x )＝(1 3 )x ，当x ＝0，－1，－2，…时，h (x )都是整数，故函数h (x ) 通过无数个整点，它不是一阶整点函数；对于函数φ(x )＝ln x ，它只通过一个整点(1,0)，故它是一阶整点函数． 答案 ①④ 10． (1)已知f (x )的定义域是[0,4]，求 ①f (x 2)的定义域； ②f (x ＋1)＋f (x －1)的定义域． (2)已知f (x 2)的定义域为[0,4]，求f (x )的定义域． 解 (1)∵f (x )的定义域为[0,4]， ①f (x 2)以x 2为自变量，∴0≤x 2≤4，∴－2≤x ≤2， 故f (x 2)的定义域为[－2,2]． ②f (x ＋1)＋f (x －1)以x ＋1，x －1为自变量，于是有? ???? 0≤x ＋1≤4， 0≤x －1≤4，∴1≤x ≤3. 故f (x ＋1)＋f (x －1)的定义域为[1,3]． (2)∵f (x 2)的定义域为[0,4]，∴0≤x ≤4， ∴0≤x 2≤16，故f (x )的定义域为[0,16]． 11．已知f (x )＝x 2－2x ＋1，g (x )是一次函数，且f [g (x )]＝4x 2，求g (x ) 的解析式． 解 设g (x )＝ax ＋b (a ≠0)， 则f [g (x )]＝(ax ＋b )2－2(ax ＋b )＋1 ＝a 2x 2＋(2ab －2a )x ＋b 2－2b ＋1＝4x 2. ∴???? ? a 2 ＝4，2ab －2a ＝0，b 2－2b ＋1＝0. 解得a ＝±2，b ＝1. ∴g (x )＝2x ＋1或g (x )＝－2x ＋1. 12．某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为3 000元 时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元． (1)当每辆车的月租金定为3 600元时，能租出多少辆车？ (2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？ 解 (1)当每辆车的月租金为3 600元时， 未租出的车辆数为3 600－3 000 50 ＝12， 所以这时租出了88辆车． (2)设每辆车的月租金定为x 元， 则租赁公司的月收益为 f (x )＝? ??? 100－x －3 00050(x －150)－x －3 00050×50， 整理得f (x )＝－x 2 50 ＋162x －21 000 ＝－1 50 (x －4 050)2＋307 050. ∴当x ＝4 050时，f (x )最大， 最大值为f (4 050)＝307 050. 答 (1)当每辆车的月租金定为3 600元时，能租出88辆车； (2)当每辆车的月租金定为4 050元时，租赁公司的月收益最大，最大收益为307 050元． 题型2： 函数的单调性及最大（小）值 1．函数f (x )＝ln(4＋3x －x 2)的单调递减区间是________． 解析 函数f (x )的定义域是(－1,4)， 令u (x )＝－x 2＋3x ＋4 ＝－????x －322＋25 4的减区间为??? ?32，4， ∵e>1，∴函数f (x )的单调减区间为???? 32，4. 答案 [3 2 ，4) 2．(2009·湖南改编)设函数y ＝f (x )在(－∞，＋∞)内有定义，对于给定的正数K ，定义函数 f K (x )＝? ???? f (x )， f (x )≤K ，K ， f (x )>K .取函数f (x )＝2－ |x |，当K ＝12时，函数f K (x )的单调递增区间为_ _________________． 解析 由f (x )＝2－ |x |≤12 得－|x |≤－1， ∴|x |≥1.∴x ≥1或x ≤－1. ∴f K (x )＝???? ? 2－ |x |，x ≥1或x ≤－1，12 ，－1 当x ∈(1，＋∞)时，f K (x )＝2－ x ＝????12x ，在(1，＋∞)上为减函数． 当x ∈(－∞，－1)时，f K (x )＝2x ，在(－∞，－1)上为增函数． 答案 (－∞，－1) 3．已知f (x )是R 上的减函数，则满足f (1 x )>f (1)的x 的取值范围为 __________________． 解析 由题意f (1x )>f (1)，1 x <1，即1－x x <0， ∴x >1或x <0. 答案 (－∞，0)∪(1，＋∞) 4若f (x )在(0，＋∞)上是减函数，则f (a 2－a ＋1)与f (3 4 )的大小关系是 ________________． 解析 ∵a 2－a ＋1＝(a －12)2＋34≥3 4 ， f (x )在(0，＋∞)上是减函数，∴f (a 2－a ＋1)≤f (3 4 )． 答案 f (a 2－a ＋1)≤f (3 4 ) 5．若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝a x ＋1 在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是 ____________________． 解析 由f (x )＝－x 2＋2ax 得对称轴为x ＝a ，在[1,2]上是减函数，所以a ≤1，又由g (x )＝a x ＋1 在[1,2]上是减函数，所以a >0，综合得a 的取值范围为(0,1]． 答案 (0,1] 6．关于下列命题： ①若函数y ＝2x 的定义域是{x |x ≤0}，则它的值域是{y |y ≤1}； ②若函数y ＝1x 的定义域是{x |x >2}，则它的值域是{y |y ≤1 2}； ③若函数y ＝x 2 的值域是{y |0≤y ≤4}，则它的定义域一定是{x |－2≤x ≤2}； ④若函数y ＝log 2x 的值域是{y |y ≤3}，则它的定义域是{x |0 解析 ①中，x ≤0，y ＝2x ∈(0,1]；②中，x >2，y ＝1x ∈(0，1 2 )；③中，y ＝x 2的值域是{y |0≤y ≤4}， 但它的定义域不一定是{x |－2≤x ≤2}；④中，y ＝log 2x ≤3，∴0 答案 ①②③ 7．已知y ＝f (x )是定义在(－2,2)上的增函数，若f (m －1) 解析 依题意，原不等式等价于 ???? ? －2 ?????? －1 －12 2m <23 ?－12 3 . 答案 ???－12，2 3 8．若函数f (x )＝(m －1)x 2＋mx ＋3 (x ∈R )是偶函数，则f (x )的单调减区间是____________________． 解析 ∵f (x )是偶函数， ∴f (－x )＝f (x )， ∴(m －1)x 2－mx ＋3 ＝(m －1)x 2＋mx ＋3，∴m ＝0. 这时f (x )＝－x 2＋3， ∴单调减区间为[0，＋∞). 答案 [0，＋∞) 9．(2010·湛江调研)若函数y ＝x 2－3x －4的定义域为[0，m ]，值域为[－25 4 ，－4]，则m 的取 值范围是__________________． 解析 ∵f (x )＝x 2－3x －4＝(x －32)2－25 4 ， ∴f (32)＝－25 4 ，又f (0)＝－4， 故由二次函数图象可知 ? ?? 3 2≤m ，m －32≤3 2－0. 解得3 2≤m ≤3. 答案 [3 2 ，3] 10．(14分)(2010·无锡模拟)已知f (x )在定义域(0，＋∞)上为增函数，且满足f (xy )＝f (x )＋f (y )， f (3)＝1，试解不等式f (x )＋f (x －8)≤2. 解 根据题意，由f (3)＝1， 得f (9)＝f (3)＋f (3)＝2. 又f (x )＋f (x －8)＝f [x (x －8)]， 故f [x (x －8)]≤f (9)． ∵f (x )在定义域(0，＋∞)上为增函数， ∴???? ? x >0，x －8>0，x (x －8)≤9， 解得8＜x ≤9. ∴原不等式的解集为{x |8 11．(16分)(2010·镇江模拟)已知f (x )＝x x －a (x ≠a )． (1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)内单调递增； (2)若a >0且f (x )在(1，＋∞)内单调递减，求a 的取值范围． (1)证明 任设x 1 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2 x 2＋2 ＝2(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2) . ∵(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0， ∴f (x 1)－f (x 2)<0即f (x 1) f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2 x 2－a ＝a (x 2－x 1)(x 1－a )(x 2－a ). ∵a >0，x 2－x 1>0， ∴要使f (x 1)－f (x 2)>0，只需(x 1－a )(x 2－a )>0恒成立，∴a ≤1. 综上所述，00时 有f (x )>0. (1)求证：f (x )在(－∞，＋∞)上为增函数； (2)若f (1)＝1，解不等式f [log 2(x 2－x －2)]<2. (1)证明 设x 2>x 1， 则x 2－x 1>0. ∵f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2－x 1＋x 1)－f (x 1) ＝f (x 2－x 1)＋f (x 1)－f (x 1) ＝f (x 2－x 1)>0，∴f (x 2)>f (x 1)， 故f (x )在(－∞，＋∞)上为增函数． (2)解 ∵f (1)＝1， ∴2＝1＋1＝f (1)＋f (1)＝f (2). 又f [log 2(x 2－x －2)]<2， ∴f [log 2(x 2－x －2)] 于是? ???? x 2－x －2>0，x 2－x －2<4. ∴? ???? x <－1或x >2，－2 ∴原不等式的解集为{x |－2 解析 设x <0，则－x >0，由f (x )为奇函数知 f (x )＝－f (－x )＝－[(－x )2－2(－x )]＝－x 2－2x . ∴f (x )＝? ??? ? x 2－2x (x ≥0)，－x 2－2x (x <0). 即f (x )＝x (|x |－2)． 答案 f (x )＝x (|x |－2) 3．(2010·浙江宁波检测)已知函数f (x )＝g (x )＋2，x ∈[－3,3]，且g (x )满足g (－x )＝－g (x )，若 f (x )的最大值、最小值分别为M 、N ，则M ＋N ＝________. 解析 因为g (x )是奇函数，故f (x )关于(0,2)对称， 所以M ＋N ＝4. 答案 4 4．(2010·泰州模拟)f (x )、g (x )都是定义在R 上的奇函数，且F (x )＝3f (x )＋5g (x )＋2，若F (a )＝b ，则F (－a )＝____________. 解析 令G (x )＝F (x )－2＝3f (x )＋5g (x )， 故G (x )是奇函数， 又????? G (a )＝F (a )－2，G (－a )＝F (－a )－2， 解得F (－a )＝－b ＋4. 答案 －b ＋4 5．(2010·无锡模拟)已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，则下列函数中是奇函数的是 ______(填序号)． ①y ＝f (|x |); ②y ＝f (－x )； ③y ＝x ·f (x )；④y ＝f (x )＋x . 解析 ∵f (x )的定义域为R ，∴f (|－x |)＝f (|x |)， ∴y ＝f (|x |)是偶函数； 令F (x )＝f (－x )， 则F (－x )＝f (x )＝－f (－x )＝－F (x )， ∴F (x )是奇函数，∴②是奇函数； 令M (x )＝x ·f (x )， 则M (－x )＝－x ·f (－x )＝x ·f (x )＝M (x )， ∴M (x )是偶函数； 令N (x )＝f (x )＋x ， 则N (－x )＝f (－x )－x ＝－f (x )－x ＝－[f (x )＋x ]＝－N (x )， ∴N (x )是奇函数，故②、④是奇函数． 答案 ②④ 6．(2009·重庆)若f (x )＝1 2x －1 ＋a 是奇函数，则a ＝________________. 解析 ∵f (－x )＝－f (x )，即12－x －1＋a ＝－1 2x －1 －a ， ∴2x ＋a －a ·2x 1－2x ＝－1－a ·2x ＋a 2x －1， ∴(a －1)2x －a ＝－a ·2x ＋(a －1)， ∴????? a －1＝－a ，－a ＝a －1， ∴a ＝12. 答案 1 2 7．(2010·江苏如东模拟)定义两种运算：a b ＝a 2－b 2，a ?b ＝(a －b )2，则函数f (x )＝2 x (x ?2)－2 的奇偶性为________________． 解析 由题意知：f (x )＝4－x 2(x －2)2－2＝4－x 2 |x －2|－2， 定义域为[－2,0)∪(0,2]， ∴f (x )＝4－x 2 －x ，x ∈[－2,0)∪(0,2]． 又∵f (－x )＝4－x 2 x ＝－f (x )． ∴函数f (x )为奇函数． 答案 奇函数 8．(2009·四川改编)已知函数f (x )是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有xf (x ＋1)＝(1＋x )f (x )，则f ??? ?f ????52的值是________． 解析 由xf (x ＋1)＝(1＋x )f (x )可得 32f ????52＝52f ????32，12f ????32＝32f ??? ?12， －12f ????12＝12f ??? ? －12.又∵f ????12＝f ????－12， ∴f ????12＝0，f ????32＝0，f ????52＝0. 又∵－1·f (－1＋1)＝(1－1)f (－1)， ∴－f (0)＝0f (－1)＝0. ∴f (0)＝0， ∴f ????f ????52＝f (0)＝0. 答案 0 9．(2009·连云港模拟)函数y ＝f (x )是偶函数，y ＝f (x －2)在[0,2]上单调递增，则f (－1)，f (0)， f (2)的大小关系是________． 解析 ∵f (x )是偶函数，∴其图象关于y 轴对称， 又∵y ＝f (x －2)的图象是由y ＝f (x )向右平移2个单位得到的，而y ＝f (x －2)在[0,2]上单调递 增， ∴f (x )在[－2,0]上单调递增，在[0,2]上单调递减， ∴f (－1)＝f (1)且f (0)>f (1)>f (2)， ∴其大小关系为f (0)>f (－1)>f (2)． 答案 f (0)>f (－1)>f (2) 10．(14分)(2009·江苏金陵中学三模)已知f (x )是实数集R 上的函数，且对任意x ∈R ，f (x )＝f (x ＋1)＋f (x －1)恒成立． (1)求证：f (x )是周期函数； (2)已知f (3)＝2，求f (2 004)． (1)证明 ∵f (x )＝f (x ＋1)＋f (x －1) ∴f (x ＋1)＝f (x )－f (x －1)， 则f (x ＋2)＝f [(x ＋1)＋1]＝f (x ＋1)－f (x ) ＝f (x )－f (x －1)－f (x )＝－f (x －1)． ∴f (x ＋3)＝f [(x ＋1)＋2]＝－f [(x ＋1)－1] ＝－f (x )． ∴f (x ＋6)＝f [(x ＋3)＋3]＝－f (x ＋3)＝f (x )． ∴f (x )是周期函数且6是它的一个周期． (2)解 f (2 004)＝f (334×6)＝f (0)＝－f (3)＝－2. 11．(16分)(2009·广东东莞模拟)已知函数f (x )＝x 2＋|x －a |＋1，a ∈R . (1)试判断f (x )的奇偶性； (2)若－12≤a ≤1 2 ，求f (x )的最小值． 解 (1)当a ＝0时，函数f (－x )＝(－x )2＋|－x |＋1＝f (x )， 此时，f (x )为偶函数． 当a ≠0时，f (a )＝a 2＋1，f (－a )＝a 2＋2|a |＋1， f (a )≠f (－a )，f (a )≠－f (－a )，此时，f (x )为非奇非偶函数． (2)当x ≤a 时，f (x )＝x 2－x ＋a ＋1＝????x －122＋a ＋34 ， ∵a ≤1 2 ，故函数f (x )在(－∞，a ]上单调递减， 从而函数f (x )在(－∞，a ]上的最小值为f (a )＝a 2＋1. 当x ≥a 时，函数f (x )＝x 2＋x －a ＋1＝????x ＋122－a ＋34 ， ∵a ≥－1 2，故函数f (x )在[a ，＋∞)上单调递增，从而函数f (x )在[a ，＋∞)上的最小值为f (a ) ＝a 2 ＋1. 综上得，当－12≤a ≤1 2 时，函数f (x )的最小值为a 2＋1. 12．(16分)(2009·东北三省联考)设函数f (x )在(－∞，＋∞)上满足f (2－x )＝f (2＋x )，f (7－x )＝f (7＋x )，且在闭区间[0,7]上，只有f (1)＝f (3)＝0. (1)试判断函数y ＝f (x )的奇偶性； (2)试求方程f (x )＝0在闭区间[－2 005，2 005]上的根的个数，并证明你的结论． 解 (1)由????? f (2－x )＝f (2＋x )f (7－x )＝f (7＋x )?? ???? f (x )＝f (4－x ) f (x )＝f (14－x ) ?f (4－x )＝f (14－x )?f (x )＝f (x ＋10)， 从而知函数y ＝f (x )的周期为T ＝10. 又f (3)＝f (1)＝0，而f (7)≠0，故f (－3)≠0. 故函数y ＝f (x )是非奇非偶函数． (2)由(1)知y ＝f (x )的周期为10.又f (3)＝f (1)＝0， f (11)＝f (13)＝f (－7)＝f (－9)＝0， 故f (x )在[0,10]和[－10,0]上均有两个解，从而可知函数y ＝f (x )在[0,2 005]上有402个解，在[－2 005,0]上有400个解，所以函数y ＝f (x )在[－2 005,2 005]上有802个解． 题型4： 指数与指数函数 1．(2010·镇江模拟)若0 x ，0.2x 的大小关系是________． 解析 取x ＝12，则212＝2，2－12＝22，0.21 2＝0.2， ∴2>22 >0.2，即2x >2－ x >0.2x . 答案 2x >2－ x >0.2x 2．(2009·江苏，10)已知a ＝5－1 2 ，函数f (x )＝a x ，若实数m 、n 满足f (m )>f (n )，则m 、n 的 大小关系为________． 解析 ∵0 2 <1， ∴函数f (x )＝a x 在R 上是减函数． 又∵f (m )>f (n )， ∴m 3．(2009·山东烟台模拟)函数y ＝2－ |x |的单调增区间是______________． 解析 画出函数y ＝2－|x | ＝? ???? 2－x x ≥02x x <0的图象，如图． 答案 (-∞，0] 4．(2010·泰州月考)设函数f (x )＝? ???? 2x ， x <0， g (x )， x >0若f (x )是奇函数，则g (2)＝________. 解析 ∵f (－2)＝2－ 2＝14 ＝－f (2) ∴f (2)＝－1 4 ， 又∵f (2)＝g (2)， ∴g (2)＝－1 4. 答案 －1 4 5．(2010·扬州调研)若函数y ＝4x －3·2x ＋3的定义域为集合A ，值域为[1,7]，集合B ＝(－∞， 0]∪[1,2]，则集合A 与集合B 的关系为________． 解析 因为y ＝4x －3·2x ＋3的值域为[1,7]， 所以1≤(2x )2－3·2x ＋3≤7， 所以x ≤0或1≤x ≤2. 答案 A ＝B 6．(2010·南京调研)若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝(a ＋1)1－ x 在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是______________． 解析 f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝(a ＋1)1－x 在区间[1,2]上都是减函数，即? ???? a ≤1， a ＋1>1.故 0 7．(2010·锦州模拟)函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大a 2 ，则a 的值是 _______． 解析 当a >1时，y ＝a x 在[1,2]上单调递增， 故a 2－a ＝a 2，得a ＝3 2 ； 当0 故a －a 2＝a 2，得a ＝12.故a ＝12或a ＝3 2. 答案 12或32 8．(2010·盐城模拟)函数f (x )＝x 2－bx ＋c 满足f (1＋x )＝f (1－x )且f (0)＝3，则 f (b x )________f (c x )．(用“≤”，“≥”，“>”，“<”填空) 解析 ∵f (1＋x )＝f (1－x )． ∴f (x )的对称轴为直线x ＝1，由此得b ＝2 又f (0)＝3，∴c ＝3， ∴f (x )在(－∞，1)上递减，在(1，＋∞)上递增． 若x ≥0，则3x ≥2x ≥1， ∴f (3x )≥f (2x )， 若x <0，则3x <2x <1， ∴f (3x )>f (2x )， ∴f (3x )≥f (2x )． 答案 ≤ 9．(2009·湖北黄冈四市联考)设函数f (x )＝|2x －1|的定义域和值域都是[a ，b ](b >a )，则a ＋b ＝________. 解析 因为f (x )＝|2x －1|的值域为[a ，b ]， 所以b >a ≥0， 而函数f (x )＝|2x －1|在[0，＋∞)上是单调递增函数， 因此应有????? |2a －1|＝a |2b －1|＝b ，解得? ???? a ＝0 b ＝1， 所以有a ＋b ＝1. 答案 1 10．(14分)(2009·广东韶关一模)要使函数y ＝1＋2x ＋4x a 在x ∈(－∞，1]上y >0恒成立，求a 的取值范围． 解 由题意得1＋2x ＋4x a >0在x ∈(－∞，1]上恒成立， 即a >－1＋2x 4x 在x ∈(－∞，1]上恒成立． 又∵－1＋2x 4 x ＝－????122x －????12x ＝－????????12x ＋122＋14， ∵x ∈(－∞，1]，∴????12x ∈????12，＋∞. 令t ＝????12x ，则f (t )＝－????t ＋122＋14 ， t ∈??? ?1 2，＋∞， 则f (t )在????12，＋∞上为减函数， f (t )≤f ????12＝－????12＋122＋14＝－34 ， 即f (t )∈????－∞，－3 4. ∵a >f (t )，在[1 2，＋∞)上恒成立， ∴a ∈??? ?－3 4，＋∞. 11．(16分)(2009·江苏苏北四市期末)设f (x )＝a x ＋b 同时满足条件f (0)＝2和对任意x ∈R 都有f (x ＋1)＝2f (x )－1成立． (1)求f (x )的解析式； (2)设函数g (x )的定义域为[－2,2]，且在定义域内g (x )＝f (x )，且函数h (x )的图象与g (x )的图 象关于直线y ＝x 对称，求h (x )； (3)求函数y ＝g (x )＋h (x )的值域． 解 (1)由f (0)＝2，得b ＝1， 由f (x ＋1)＝2f (x )－1，得a x (a －2)＝0， 由a x >0得a ＝2， 所以f (x )＝2x ＋1. (2)由题意知，当x ∈[－2,2]时，g (x )＝f (x )＝2x ＋1. 设点P (x ，y )是函数h (x )的图象上任意一点，它关于直线y ＝x 对称的点为P ′(y ，x )，依题意点P ′(y ，x )应该在函数g (x )的图象上，即x ＝2y ＋1，所以y ＝log 2(x －1)，即h (x )＝log 2(x －1)． (3)由已知得y ＝log 2(x －1)＋2x ＋1，且两个函数的公共定义域是[5 4 ，2]，所以函数y ＝g (x ) ＋h (x )＝log 2(x －1)＋2x ＋1(x ∈[5 4 ，2])． 由于函数g (x )＝2x ＋1与h (x )＝log 2(x －1)在区间[5 4 ，2]上均为增函数， 因此当x ＝54 时，y ＝24 2－1， 当x ＝2时，y ＝5，所以函数y ＝g (x )＋h (x )(x ∈[54 ，2])的值域为[24 2－1,5]． 12．(16分)(2010·南通模拟)已知函数f (x )＝(1 3 )x ，x ∈[－1,1]，函数g (x )＝f 2(x )－2af (x )＋3的 最 小值为h (a )． (1)求h (a )； (2)是否存在实数m ，n ，同时满足以下条件： ①m >n >3； ②当h (a )的定义域为[n ，m ]时，值域为[n 2，m 2]．若存在，求出m ，n 的值；若不存在，说明理由． 解 (1)因为x ∈[－1,1]，所以(13)x ∈[1 3 ，3]． 设(13)x ＝t ，t ∈[1 3 ，3]， 则g (x )＝φ(t )＝t 2－2at ＋3＝(t －a )2＋3－a 2. 当a <13时，h (a )＝φ(13)＝289－2a 3 ； 当1 3 ≤a ≤3时，h (a )＝φ(a )＝3－a 2； 当a >3时，h (a )＝φ(3)＝12－6a . 所以h (a )＝???? ? 289－2a 3 (a <1 3 )3－a 2 (13 ≤a ≤3)12－6a (a >3) . (2)因为m >n >3，a ∈[n ，m ]，所以h (a )＝12－6a . 因为h (a )的定义域为[n ，m ]，值域为[n 2，m 2]，且h (a )为减函数， 所以? ???? 12－6m ＝n 2 12－6n ＝m 2，两式相减得6(m －n )＝(m －n )(m ＋n )，因为m >n ，所以m －n ≠0，得m ＋n ＝6，但这与“m >n >3”矛盾，故满足条件的实数m ，n 不存在． 题型5： 对数与对数函数 1．(2009·全国Ⅱ改编)设a ＝log 2π，b ＝log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系为________． 解析 ∵a ＝log 3π>1，b ＝12log 23<1，c ＝1 2log 32<1， ∴a >b ，a >c .又log 23log 32＝lg 2 3 lg 22 >1，∴b >c ， ∴a >b >c . 答案 a >b >c 2．(2009·福建厦门模拟)函数y ＝lg x ＋lg(x －1)的定义域为A ，y ＝lg(x 2－x )的定义域为B ，则 A 、B 的关系是______________． 解析 由已知得? ??? ? x >0x －1>0，∴A ＝{x |x >1}，由x 2－x >0 得x >1或x <0，∴B ＝{x |x >1或x <0}，∴A B . 答案 A B 3．(2009·广东改编)若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的反函数，其图象经过点(a ， a )则f (x )＝__________________. 解析 由y ＝a x 得，x ＝log a y ，即f (x )＝log a x ， 由于a ＝log a a ＝12，因此f (x )＝log 1 2 x . 答案 log 1 2 x 4．(2009·南京十三中三模)已知f (x )＝???? ? (3a －1)x ＋4a ， x <1，log a x ， x ≥1是R 上的减函数，那么a 的 取值范围是________________． 解析 由已知???? ? 0 3a －1<0(3a －1)＋4a ≥0 ， 解得17≤a <1 3. 答案 [17，1 3 ) 5．(2010·江苏泰州月考)函数y ＝log 1 2 (x 2－3x ＋2)的递增区间是__________． 解析 由x 2 －3x ＋2>0得x <1或x >2， 当x ∈(－∞，1)时，f (x )＝x 2－3x ＋2单调递减， 而0<12<1，由复合函数单调性可知y ＝log 1 2(x 2－3x ＋2)在(－∞，1)上是单调递增的，在(2， ＋∞)上是单调递减的． 答案 ()－∞，1 6．(2010·泰州模拟)方程log 3(x 2－10)＝1＋log 3x 的解是________． 解析 log 3(x 2－10)＝log 33x . ∴x 2－10＝3x .∴x 2－3x －10＝0. ∴x ＝－2或x ＝5. 检验知x ＝5适合． 答案 5 7．(2009·辽宁改编)已知函数f (x )满足：当x ≥4时，f (x )＝????12x ；当x <4时，f (x )＝f (x ＋1)．则 f (2＋log 23)＝________. 解析 因为2＋log 23<4，故f (2＋log 23)＝f (2＋log 23＋1) ＝f (3＋log 23)．又因为3＋log 23>4，故f (3＋log 23) ＝????123＋log 23＝????123·13＝124. 答案 1 24 8．(2010·淮北调研)函数f (x )＝a x ＋log a (x ＋1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a ，则a 的值 为________． 解析 ∵y ＝a x 与y ＝log a (x ＋1)具有相同的单调性． ∴f (x )＝a x ＋log a (x ＋1)在[0,1]上单调， ∴f (0)＋f (1)＝a ，即a 0＋log a 1＋a 1＋log a 2＝a ， 化简得1＋log a 2＝0，解得a ＝1 2 . 答案 12 9．(2009·广东五校联考)设a >0，a ≠1，函数f (x )＝a lg(x 2－2x ＋3)有最大值，则不等式log a (x 2 －5x ＋7)>0的解集为________________． 解析 设t ＝lg(x 2－2x ＋3)＝lg[(x －1)2＋2]． 当x ＝1时，t min ＝lg 2.