直线的倾斜角、斜率与直线的方程考点和题型归纳
一、基础知识
1．直线的倾斜角
(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准， x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线 l 的倾斜角.
(2)规定：当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0. (3)范围：直线l 倾斜角的取值范围是[0，π)． 2．斜率公式
(1)定义式：直线l 的倾斜角为α????α≠π
2，则斜率k ＝tan α. (2)坐标式：P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在直线l 上， 且x 1≠x 2，则l 的斜率 k ＝y 2－y 1
x 2－x 1.
3．直线方程的五种形式
名称 方程 适用范围 点斜式 y －y 0＝k (x －x 0) 不含垂直于x 轴的直线 斜截式 y ＝kx ＋b 不含垂直于x 轴的直线 两点式 y －y 1y 2－y 1＝x －x 1
x 2－x 1
不含直线x ＝x 1(x 1≠x 2)和直线y ＝y 1(y 1≠y 2)
截距式 x a ＋y b
＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式 Ax ＋By ＋C ＝0，A 2＋B 2≠0
平面内所有直线都适用
二、常用结论
特殊直线的方程
(1)直线过点P 1(x 1，y 1)，垂直于x 轴的方程为x ＝x 1； (2)直线过点P 1(x 1，y 1)，垂直于y 轴的方程为y ＝y 1； (3)y 轴的方程为x ＝0； (4)x 轴的方程为y ＝0. 考点一 直线的倾斜角与斜率
[典例] (1)直线2x cos α－y －3＝0???
?α∈????π6，π3的倾斜角的取值范围是( ) A.????
π6，π3 B.????
π4，π3 C.????π4，π2
D.????π4，2π3
(2)直线l 过点P (1,0)，且与以A (2,1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围为________．
[解析] (1)直线2x cos α－y －3＝0的斜率k ＝2cos α， 因为α∈????π6，π3，所以12≤cos α≤3
2， 因此k ＝2·cos α∈[1， 3 ]．
设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1， 3 ]． 又θ∈[0，π)，所以θ∈????
π4，π3， 即倾斜角的取值范围是????π4，π3.
(2) 设P A 与PB 的倾斜角分别为α，β，直线P A 的斜率是k AP ＝1，直线PB 的斜率是k BP
＝－3，当直线l 由P A 变化到与y 轴平行的位置PC 时，它的倾斜角由α增至90°，斜率的取值范围为[1，＋∞)．
当直线l 由PC 变化到PB 的位置时，它的倾斜角由90°增至β，斜率的变化范围是(－∞，－ 3 ]．
故直线l 斜率的取值范围是(－∞，－ 3 ]∪[1，＋∞)． [答案] (1)B (2)(－∞，－ 3 ]∪[1，＋∞)
[变透练清]
1.(变条件)若将本例(1)中的条件变为：平面上有相异两点A (cos θ，sin 2 θ)，B (0,1)，则直线AB 的倾斜角α的取值范围是________．
解析：由题意知cos θ≠0，则斜率k ＝tan α＝sin 2θ－1
cos θ－0＝－cos θ∈[－1,0)∪(0,1]，所以直
线AB 的倾斜角的取值范围是????0，π4∪???
?3π
4，π. 答案：????0，π4∪???
?3π
4，π 2.(变条件)若将本例(2)中P (1,0)改为P (－1,0)，其他条件不变，则直线l 斜率的取值范围为________．
解析：设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＝0. ∵A ，B 两点在直线l 的两侧或其中一点在直线l 上， ∴(2k －1＋k )(－3＋k )≤0，
即(3k －1)(k －3)≤0，解得1
3≤k ≤ 3.
即直线l 的斜率的取值范围是????13，3. 答案：????13，3
3．若点A (4,3)，B (5，a )，C (6,5)三点共线，则a 的值为________．
解析：因为k AC ＝5－36－4＝1，k AB ＝a －3
5－4＝a －3.由于A ，B ，C 三点共线，所以a －3＝1，
即a ＝4.
答案：4
考点二 直线的方程
[典例] (1)若直线经过点A (－5,2)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的2倍，则该直线的方程为________________．
(2)若直线经过点A (－3，3)，且倾斜角为直线3x ＋y ＋1＝0的倾斜角的一半，则该直
线的方程为________________．
(3)在△ABC 中，已知A (5，－2)，B (7,3)，且AC 的中点M 在y 轴上，BC 的中点N 在x 轴上，则直线MN 的方程为________________．
[解析] (1)①当横截距、纵截距均为零时，设所求的直线方程为y ＝kx ，将(－5,2)代入y ＝kx 中，得k ＝－25，此时，直线方程为y ＝－2
5
x ，即2x ＋5y ＝0.
②当横截距、纵截距都不为零时， 设所求直线方程为x 2a ＋y
a
＝1，
将(－5,2)代入所设方程，解得a ＝－1
2，此时，直线方程为x ＋2y ＋1＝0.
综上所述，所求直线方程为x ＋2y ＋1＝0或2x ＋5y ＝0.
(2)由3x ＋y ＋1＝0得此直线的斜率为－3，所以倾斜角为120°，从而所求直线的倾斜角为60°，故所求直线的斜率为 3.
又直线过点A (－3，3)，所以所求直线方程为y －3＝3(x ＋3)，即3x －y ＋6＝0. (3)设C (x 0，y 0)，则M ?
????5＋x 02，y 0－22，N ? ??
??
7＋x 02，y 0＋32.
因为点M 在y 轴上，所以5＋x 0
2＝0，所以x 0＝－5.
因为点N 在x 轴上，所以y 0＋3
2＝0，
所以y 0＝－3，即C (－5，－3)， 所以M ????0，－5
2，N (1,0)， 所以直线MN 的方程为x 1＋y
－52＝1，
即5x －2y －5＝0.
[答案] (1)x ＋2y ＋1＝0或2x ＋5y ＝0 (2)3x －y ＋6＝0 (3)5x －2y －5＝0
[题组训练]
1．过点(1,2)，倾斜角的正弦值是
2
2
的直线方程是________________． 解析：由题知，倾斜角为π4或3π
4，所以斜率为1或－1，直线方程为y －2＝x －1或y －2
＝－(x －1)，即x －y ＋1＝0或x ＋y －3＝0.
答案：x －y ＋1＝0或x ＋y －3＝0
2．过点P (6，－2)，且在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1的直线方程为________________．
解析：设直线方程的截距式为x a ＋1＋y a ＝1，则6
a ＋1＋－2a ＝1，解得a ＝2或a ＝1，则直
线的方程是x 2＋1＋y 2＝1或x 1＋1＋y
1
＝1，即2x ＋3y －6＝0或x ＋2y －2＝0.
答案：2x ＋3y －6＝0或x ＋2y －2＝0
考点三 直线方程的综合应用
[典例] 已知直线l 过点M (2,1)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，求当|MA ―→|·|MB ―→
|取得最小值时直线l 的方程．
[解] 设A (a,0)，B (0，b )，则a ＞0，b ＞0，直线l 的方程为x a ＋y
b ＝1，
所以2a ＋1b
＝1.
|MA ―→|·| MB ―→|＝－MA ―→·MB ―→
＝－(a －2，－1)·(－2，b －1) ＝2(a －2)＋b －1＝2a ＋b －5 ＝(2a ＋b )????
2a ＋1b －5 ＝2b a ＋2a
b
≥4， 当且仅当a ＝b ＝3时取等号，此时直线l 的方程为x ＋y －3＝0.
[解题技法]
与直线方程有关问题的常见类型及解题策略
(1)求解与直线方程有关的最值问题．先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等
式求解最值．
(2)求直线方程．弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直接写出方程． (3)求参数值或范围．注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的性质或基本不等式求解．
[题组训练]
1．若直线ax ＋by ＝ab (a >0，b >0)过点(1,1)，则该直线在x 轴，y 轴上的截距之和的最小值为( )
A ．1
B ．2
C ．4
D ．8
解析：选C ∵直线ax ＋by ＝ab (a >0，b >0)过点(1,1)， ∴a ＋b ＝ab ，即1a ＋1
b ＝1，
∴a ＋b ＝(a ＋b )????
1a ＋1b ＝2＋b a ＋a
b
≥2＋2
b a ·a
b
＝4， 当且仅当a ＝b ＝2时上式等号成立．
∴直线在x 轴，y 轴上的截距之和的最小值为4.
2．已知直线l ：x －my ＋3m ＝0上存在点M 满足与A (－1,0)，B (1,0)两点连线的斜率k MA 与k MB 之积为3，则实数m 的取值范围是( )
A ．[－6， 6 ] B.????－∞，－
66∪????66，＋∞ C.?
???－∞，－66∪???
?66，＋∞ D.?
??
?－
22，
22 解析：选C 设M (x ，y )，由k MA ·k MB ＝3，得y x ＋1·y x －1
＝3，即y 2＝3x 2－3.
联立?????
x －my ＋3m ＝0，y 2＝3x 2－3，
得????1m 2－3x 2＋23m x ＋6＝0(m ≠0)， 则Δ＝??
?
?23m 2－24????1m 2－3≥0，即m 2≥16，解得m ≤－66或m ≥66. ∴实数m 的取值范围是?
???－∞，－
66∪???
?66，＋∞.
[课时跟踪检测]
1．(2019·合肥模拟)直线l ：x sin 30°＋y cos 150°＋1＝0的斜率是( ) A.
3
3
B.3 C ．－ 3
D ．－
33
解析：选A 设直线l 的斜率为k ，则k ＝－sin 30°cos 150°＝3
3.
2．倾斜角为120°，在x 轴上的截距为－1的直线方程是( ) A.3x －y ＋1＝0 B.3x －y －3＝0 C.3x ＋y －3＝0
D.3x ＋y ＋3＝0
解析：选D 由于倾斜角为120°，故斜率k ＝－ 3.又直线过点(－1,0)，所以直线方程为y ＝－3(x ＋1)，即3x ＋y ＋3＝0.
3．已知△ABC 的三个顶点坐标为A (1,2)，B (3,6)，C (5,2)，M 为AB 的中点，N 为AC 的中点，则中位线MN 所在直线的方程为( )
A ．2x ＋y －12＝0
B ．2x －y －12＝0
C ．2x ＋y －8＝0
D ．2x －y ＋8＝0
解析：选C 由题知M (2,4)，N (3,2)，则中位线MN 所在直线的方程为y －4
2－4＝x －2
3－2，整
理得2x ＋y －8＝0.
4．方程y ＝ax －1
a
表示的直线可能是( )
解析：选C 当a ＞0时，直线的斜率k ＝a ＞0，在y 轴上的截距b ＝－1
a ＜0，各选项都
不符合此条件；当a ＜0时，直线的斜率k ＝a ＜0，在y 轴上的截距b ＝－1
a ＞0，只有选项C
符合此条件．故选C.
5．在等腰三角形MON 中，MO ＝MN ，点O (0,0)，M (－1,3)，点N 在x 轴的负半轴上，则直线MN 的方程为( )
A ．3x －y －6＝0
B ．3x ＋y ＋6＝0
C ．3x －y ＋6＝0
D ．3x ＋y －6＝0
解析：选C 因为MO ＝MN ，所以直线MN 的斜率与直线MO 的斜率互为相反数，所以k MN ＝－k MO ＝3，所以直线MN 的方程为y －3＝3(x ＋1)，即3x －y ＋6＝0，选C.
6．若直线mx ＋ny ＋3＝0在y 轴上的截距为－3，且它的倾斜角是直线3x －y ＝33的倾斜角的2倍，则( )
A ．m ＝－3，n ＝1
B ．m ＝－3，n ＝－3
C ．m ＝3，n ＝－3
D ．m ＝3，n ＝1
解析：选D 对于直线mx ＋ny ＋3＝0，令x ＝0得y ＝－3n ，即－3
n ＝－3，n ＝1.
因为3x －y ＝33的斜率为60°，直线mx ＋ny ＋3＝0的倾斜角是直线3x －y ＝33的2倍，所以直线mx ＋ny ＋3＝0的倾斜角为120°，即－m
n
＝－3，m ＝ 3.
7．当0 2时，直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 解析：选B 由????? kx －y ＝k －1， ky －x ＝2k 得? ? ??? x ＝k k －1 ，y ＝2k －1k －1 . 又∵0 k －1<0，y ＝2k －1k －1 >0， 故直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在第二象限． 8．若直线l ：kx －y ＋2＋4k ＝0(k ∈R)交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，则当△AOB 的面积取最小值时直线l 的方程为( ) A ．x －2y ＋4＝0 B ．x －2y ＋8＝0 C ．2x －y ＋4＝0 D ．2x －y ＋8＝0 解析：选B 由l 的方程，得A ? ?? ??－2＋4k k ，0，B (0,2＋4k )．依题意得??? －2＋4k k ＜0，2＋4k ＞0， 解得k ＞0.因为S ＝12|OA |·|OB |＝12??????2＋4k k ·|2＋4k |＝12·(2＋4k )2 k ＝12 ????16k ＋4k ＋16≥1 2(2×8＋16)＝16，当且仅当16k ＝4k ，即k ＝1 2 时等号成立．此时l 的方程为x －2y ＋8＝0. 9．以A (1,1)，B (3,2)，C (5,4)为顶点的△ABC ，其边AB 上的高所在的直线方程是________________． 解析：由A ，B 两点得k AB ＝1 2，则边AB 上的高所在直线的斜率为－2，故所求直线方程 是y －4＝－2(x －5)，即2x ＋y －14＝0. 答案：2x ＋y －14＝0 10．已知直线l 过点(1,0)，且倾斜角为直线l 0：x －2y －2＝0的倾斜角的2倍，则直线l 的方程为________________． 解析：由题意可设直线l 0，l 的倾斜角分别为α，2α， 因为直线l 0：x －2y －2＝0的斜率为12，则tan α＝1 2， 所以直线l 的斜率k ＝tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2× 1 21－????122 ＝4 3， 所以由点斜式可得直线l 的方程为y －0＝4 3(x －1)， 即4x －3y －4＝0. 答案：4x －3y －4＝0 11．直线l 经过点A (1,2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是________________． 解析：由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y －2＝k (x －1)，直线l 在x 轴上的截距为1－2k ，令－3<1－2k <3，解不等式得k >1 2 或k <－1. 答案：(－∞，－1)∪????12，＋∞ 12．设点A (－1,0)，B (1,0)，直线2x ＋y －b ＝0与线段AB 相交，则b 的取值范围是________． 解析：b 为直线y ＝－2x ＋b 在y 轴上的截距，如图，当直线y ＝－2x ＋b 过点A (－1,0)和点B (1,0)时，b 分别取得最小值和最大值．∴b 的取值范围是[－2,2]． 答案：[－2,2] 13．已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程： (1)过定点A (－3,4)； (2)斜率为1 6 . 解：(1)设直线l 的方程为y ＝k (x ＋3)＋4，它在x 轴，y 轴上的截距分别是－4 k －3,3k ＋ 4， 由已知，得(3k ＋4)???? 4k ＋3＝±6， 解得k 1＝－23或k 2＝－83 . 故直线l 的方程为2x ＋3y －6＝0或8x ＋3y ＋12＝0. (2)设直线l 在y 轴上的截距为b ， 则直线l 的方程为y ＝1 6x ＋b ，它在x 轴上的截距是－6b ， 由已知，得|－6b ·b |＝6，∴b ＝±1. ∴直线l 的方程为x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0.
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