目录
摘要....................................................................................................................................................................I ABSTRACT..........................................................................................................................................................II 引言.. (1)
1绪论 (2)
1.1多输入多输出系统概论 (2)
1.1.1什么是多输入多输出 (2)
1.1.2多输入多输出的优点 (2)
1.2多输入多输出技术分类 (2)
1.3多输入多输出研究现状 (3)
1.3.1取得的进展 (3)
1.3.2存在的问题 (3)
1.4多输入多输出应用前景 (4)
1.4.1无线宽带移动通信系统 (4)
1.4.2传统蜂窝移动通信系统 (5)
1.5本论文的主要内容 (5)
2MIMO无线通信系统 (6)
2.1MIMO系统的信道容量 (6)
2.1.1MIMO信道模型 (6)
2.1.2SISO信道容量 (8)
2.1.3MIMO信道容量 (8)
2.2无线通信衰落特性 (9)
2.2.1无线信道传播特性 (9)
2.2.2三种经典的衰落分布 (10)
3MIMO系统信道容量分析 (12)
3.1平均功率分配的MIMO信道容量 (12)
3.2MIMO系统遍历信道容量 (12)
3.3MIMO系统发射端已知的信道容量 (14)
4MIMO信道模型的仿真设计 (17)
4.1MIMO系统的遍历信道容量仿真 (17)
4.2MIMO系统发送端已知的信道容量仿真 (18)
总结 (20)
致谢 (21)
参考文献 (22)
附录 (23)
摘要
多输入多输出技术是无线通信领域智能天线技术的重大突破，它扩展了一维智能天线技术，具有极高的频谱利用率，能在不增加带宽的情况下提高通信系统的容量。本文中首先对MIMO系统的发展历史以及应用前景等进行了基本的介绍。并对MIMO 技术的原理、模型以及信道容量进行了基本的分析。介绍了无线信道的传播特性以及三种衰落分布。还对信道容量的分析方法进行了介绍，例如平均功率分配法以及发送端已知信道参数的信道容量（用注水算法进行分析），介绍了MIMO系统的遍历容量。最后利用MATLAB对信道容量进行了相应的仿真。
关键词：MIMO信道容量平均功率分配法注水法
A BSTRACT
MIMO is major breakthrough in the field of wireless communications intelligence antenna technology.It extends the one-dimensional intelligence antenna technology,which has extremely high spectrum efficiency,and improves the capacity of communication system without increasing bandwidth.The thesis goes first to the basic introduction of the development history and application perspective of the MIMO system.Then,a brief analysis about the principle,models and channel capacity of MIMO is given,which presents the propagation feature and three wireless channel and the three types of fading distribution of wireless channel.It also introduces the analysis methods of the channel capacity.For instants,the average power distribution method and the known channel of transmitter of the channel capacity.(Evaluating with the water-filling methods),and the ergodic capacity of MIMO system.At last,by applying the MATLAB,this thesis does the emulation according to its characteristics.
Keywords:MIMO；channel capacity；the equal power allocation；water-filling
引言
MIMO(Multiple Input Multiple Output)技术作为无线通信领域的智能天线技术的重大突破，能在不增加带宽的基础上成倍的增加信道容量和频谱利用率。目前，很多国家已经开始了对新一代移动通信系统进行研究，新一代移动通信体统可以提供高速率（10～100Mb/s）的数据业务，因此需要采用具有大容量、高频谱利用率的技术。研究表明在无线通信中使用多输入多输出(MIMO)技术可以显著的提高信道的容量，并且改善无线通信系统的传输性能，适合下一代移动通信系统中对高速率数据业务的要求。因此，MIMO技术将是新一代无线通信的关键技术之一。
MIMO技术最早可以追溯到1908年，马可尼用它来对抗衰落。而到了70年代，有人提出将MIMO技术用于通信系统，但是直到90年代才由AT&T Bell实验室的学者完成了MIMO技术的奠基工作；1998年Wolninasky等人建立了一个MIMO实验系统，该系统采用的是垂直—贝尔实验室分层空时（V—BLAST）算法，在室内试验中达到了20bit/s/Hz的频谱利用率。由此，MIMO技术的研究得到了飞速的发展。
1绪论
无线通信技术是当今世界最活跃的科研领域之一，在过去的几十年里，无线通信技术得到了飞速的发展以及广泛的应用。新一代移动通信的发展，使得对信道容量、频谱利用率有了更高的需求，而MIMO无线通信技术的发展是解决这些问题的关键技术之一。
1.1多输入多输出系统概论
1.1.1什么是多输入多输出
多输入多输出(Multiple Input Multiple Output，MIMO)技术是由无线通信智能天线技术发展而来，是一种用来描述多天线无线通信系统的抽象数学模型，主要的特点就是利用发射送端的多个天线各自独立发送信号，同时在接收端用多个天线接收并恢复原信息。MIMO技术和智能天线的区别在于，MIMO系统中任意一个发送天线到任意一个接收天线之间的无线传输信道是相互独立的，具有很小的相关性。
众所周知的，多径会导致衰落，所以被看作有害因素。然而，在研究MIMO技术的过程中发现，对于MIMO来说多径却是一个可以利用的有利因素。MIMO技术就是利用多个天线来抑制信道衰落。
根据收发两端的天线数量，相对于普通的单输入单输出（Single Input Single Output,SISO）系统，MIMO多天线技术还包含单输入多输出（Single Input Multiple Output，SIMO）系统和多输入单输出（Multiple Input Single Output，MISO）系统。
1.1.2多输入多输出的优点
MIMO技术的应用，使空间成为一种可以用于提高性能的资源，并能够增加无线系统的覆盖范围。MIMO技术可以提高无线通信系统的信道容量和频谱利用率。信道容量随着天线数量的增大而线性增大，可以在不增加带宽和天线发送功率的情况下利用MIMO信道成倍的提高无线信道容量。
1.2多输入多输出技术分类
空分复用技术，工作在MIMO天线配置下，能够在不增加带宽的条件下，相比SISO系统成倍的提升信息传输速率，从而极大的提高了频谱利用率。“贝尔实验室分层空时”（BLAST）是典型的空间复用技术。
空间分集技术，利用发射或接收端的多根天线所提供的多重传输途径发送相同的资料，以增强资料的传输品质。
波束成型技术，借由多根天线产生一个具有指向性的波束，将能量集中在欲传输的方向，增加信号品质，并减少与其他用户间的干扰。
预编码，预编码主要是通过改造信道的特性来实现性能的提升。
以上MIMO相关技术并非是相斥的，而是可以相互配合应用的，如一个MIMO系统既可以包含空分复用也可以包含分集的技术。
1.3多输入多输出研究现状
1.3.1取得的进展
对于无线MIMO通信系统的研究充满了挑战性，信息论中预示了MIMO通信系统具有巨大的潜在信道容量，但是在实际应用中如何去获得这个容量并且在获得容量的同时要付出多大的代价，这些问题都是有待我们去研究的。因此，目前在全世界范围内的许多国家、研究机构、通信公司都开始对MIMO技术进行了深入的研究，使得该技术向实用化发展。近年来ITU和3GPP已经开始制定在3G和B3G移动通信中使用MIMO技术的相关标准。对于3G来说，MIMO技术可以对提高数据流量、系统性能和频谱利用率方面进行很好的补充。而自适应调制和编码、混合ARQ以及快速蜂窝选择等技术都是与此有关的。几年前，朗讯通信技术公司已对MIMO系统进行了早期实验，并且成功的测试了两款BLAST芯片，该芯片的最高速率可以达到19.2Mbps，而且BLAST研究小组更是取得了以前难以想象的无线频谱效率：20-40bps/H z,而且在30kHz的带宽范围内，Bell实验室实现了0.5Mbps-1Mbps的有效数据速率。
上述内容只是简单的介绍了MIMO技术在应用研究方面所取得的一些进展，而在实际上的进展却远不止这些。
1.3.2存在的问题
自90年代以来，MIMO技术在实验方面取得了飞速的发展，但是想要把MIMO 技术用于商用化还有许多的问题需要解决，这些问题主要包括以下几点：
(1)天线的数量和间距
天线的数量以及各天线之间距离是MIMO系统设计的关键的参数，若要实现MIMO系统的高频谱效率，则后者更为重要。当在基站安装大量的天线时，周围的环境会受到一定的损害，所以安装天线的数量需要限制在中等水平，比如4根，而天线之间的距离一般为10个波长，这样选择是因为基站通常安装在比较高的位置，不能保证总是存在能够使衰落去相关的本地散射体。而对于终端，选择半个波长的天线间距就足以保证有足够数量的不相关衰落，这是因为终端一般处于本地散射物之间，而且并不存在直接的传播路径，终端天线预计的最大天线数为4根，但是在实际情况下，一般会选择最小的数量:2根。对于手机来说，目前的设计趋势是把天线嵌入到机壳中，其目的是为了改进手机外观和增加产品的吸引力，这就使得天线间距的要求成为一个非常严重的问题。
(2)接收机的复杂性
MIMO系统接收机与单天线接收机相比，具有更明显更多的复杂性，具体表现在:①由于多用户、多天线的存在，对于消除空间干扰的空时合并器和信号检测器的设计会变得更加复杂，例如(4,4)MIMO系统与单天线接收机相比，其复杂性是后者的2倍。②由于MIMO系统接收机受周围环境的散射影响所产生的角度扩展和延时扩展，在均衡和干扰对消方面需要增加一些附加的处理。③MIMO系统信道估计也会导致复杂性的增加，这是因为整个信道矩阵的每一条路径延时(在OFDM中为每一个时隙)，都需要及时的跟踪和更新，而不仅仅是跟踪和更新单个系数。
(3)MIMO系统信道模型
MIMO系统的性能，跟所处环境的多径信号的性质有很大的关联，尤其是要受各条路径之间的相关度、时延扩展以及角度扩展的影响，因此，对户内和户外环境中无线MIMO信道的特性的了解和掌握，是对实现其潜在的巨大信道容量、取得预期的性能、选择合适的系统结构以及设计优良的信号处理算法是至关重要的。为此除了一些必要的实际测量外，还必须要建立合适的信道模型，用于预测MIMO系统的性能和评估算法的优劣。为了更好的适应无线信道的时变特性，不仅仅需要建立MIMO信道的静态模型，还要建立特定的动态模型。传统的无线系统的传输模型已经成为了标准，不过到目前为止，ITU还未制定出相应的MIMO信道模型标准，而3GPP已制定出了相关的MIMO的信道模型标准.
(4)信道状态信息(CSI)的获取和利用
如何准确地获取CSI并及时地反馈给发射机是MIMO系统设计中一个很重要的研究课题，信道容量实际上是其信道特征模式的函数，MIMO系统信道容量的实现将得益于已知其CSI的发射机，因为发射端可以利用CSI或部分反馈信息依据注水算法而不是平均分配算法。如果已知信道的相关矩阵，那么信道编码、每一支流的比特分配和放大器的功率管理都可以做到最佳。
除上述因素外，还有其他因素会使MIMO系统的性能变差，比如:不正确的信道估计、天线单元之间存在相关等。
1.4多输入多输出应用前景
1.4.1无线宽带移动通信系统
为了提高系统容量，下一代的无线宽带移动通信系统将会采用MIMO技术，即在基站端放置多个天线，在移动台也放置多个天线，基站和移动台之间形成MIMO 通信链路。应用MIMO技术的无线宽带移动通信系统从基站端的多天线放置方法上可以分为两大类：一类是多个基站天线集中排列形成天线阵列，放置于覆盖小区，称为集中式MIMO；另一类是基站的多天线分散放置在覆盖小区，称为分布式MIMO。
1.4.2传统蜂窝移动通信系统
MIMO技术可以比较简单的直接应用于传统蜂窝移动通信系统，将基站的单天线换为多个天线构成的天线阵列。基站通过天线阵列与小区内的具有多个天线的移动台进行MIMO通信。从系统结构的角度看，这样的MIMO系统与传统的SISO蜂窝移动通信系统相比并没有根本的区别。
1.5本论文的主要内容
主要研究了MIMO系统的信道容量。介绍了几种衰落分布。对MIMO系统的信道容量进行分析，并且推导出信道容量公式。最后用MATLAB软件进行仿真，并且得到MIMO信道容量的仿真图。
2MIMO 无线通信系统
2.1MIMO 系统的信道容量
2.2.1.1
1.1MIMO 信道模型假设系统发送端有M 根天线，接收端有N 根天线，发送端对信道状态信息未知，总的发射功率为P ，则每根天线的发射功率为M P ，每根接收天线接收到的总功率与总的发射功率相等，信道受到加性高斯白噪声（WGN ）的干扰，并且每根接收天线上的噪声功率为2δ，于是每根接收天线上的信噪比为2P/δρ=，又假设发射信号的带宽足够窄，信道的频率响应可认为是平坦的，用N M ×的复矩阵H 来表示信道矩阵，H 的第i 和j 元素，ij h 表示第i 根发射天线到第j 根接收天线的信道衰落系数。图2-1是MIMO 系统的框图。
图2-1MIMO 系统框图按照信息论，对于高斯信道，发射信号的最佳分布同样是高斯分布。因此，x 元素是零均值独立同分布的高斯变量。发射信号的协方差矩阵为
{}H xx xx E R =(2-1)
式中，{}·E 代表均值；H A 表示矩阵A 的厄米特转置矩阵，即A 的复共轭转置矩阵。不管发射天线M 为多少，总的发射功率限制为P ，可表示为
)(xx R tr P =(2-2)
式中，)(A tr 代表矩阵A 的迹，可以通过对A 的对角元素求和得到。如信道在发射端未知，则假定从各天线发射的信号都有相等的功率M P /。发射信号的协方差矩阵为
M xx I M
P R =(2-3)式中，M I 是M M ×的单位矩阵。由于发射信号的带宽足够窄，因此可认为它的频率
响应是平坦的。换句话说，假定信道是无记忆的。
用N M ×的复矩阵H 描述信道。ij H 表示矩阵H 的第j i ,个元素，代表从第j 根发射天线到第i 根接收天线之间的信道衰落系数。为了规范，假定N 根接收天线中的每一根天线的接收功率等于总的发射功率。这种假设，实际上忽略了信号传播过程中的信号衰减和放大，包括阴影、天线增益等。于是有确定系数的信道矩阵H 的元素的规范限定，如下式所示：
N i M h
M j ij ,2,1,2
1L ==∑=（2-4）
当信道矩阵元素为随机变量时，规范就是对上述表达式取期望值。
假定已知接收端信道矩阵，但发射端不确定。那么可以通过在接收端发射测试序列来估计信道矩阵。再通过可靠的反馈信道将估计的信道状态信息（CSI ）发送到发射端。
信道矩阵H 的元素可能是确定的，也可能是随机的。我们重点对与无线通信相关的示例进行分析，包括信道矩阵的瑞利分布和赖斯分布。在多数情况下，假定它是瑞利分布，因为对于非视距(NLOS )无线传播来说，它最具有代表性。
可以用1×N 的列矩阵描述接收端的噪声，表示为n 。它的元素是统计独立的复零均值高斯变量，它具有独立的、方差相等的实部和虚部。接收噪声的协方差矩阵为
{}
H nn nn E R =(2-5)
如果n 的元素之间没有相关性，则接收噪声的协方差矩阵为N
nn I R 2σ=(2-6)
N 个接收分支中每一个都有相同的噪声功率2σ。接收端基于最大似然准则，在N 根接收天线上进行联合操作。用1×N 的列矩阵描述接收信号，表示为ρ，其中每个复元素代表一根接收天线。R P 表示每根接收天线输出端的平均功率。每根接收天线处的平均信噪比（SNR ）定义为
2σρR
P =(2-7)
假定每根天线的总接收功率都等于总发射功率，则SNR 等于总的发射功率和每根接收天线的噪声功率的比值，而且它独立于M ，可写为
2σρP =
(2-8)
使用线性模型，可将接收矢量表示为
n
Hx r +=(2-9)
接收信号的协方差矩阵定义为}{H rr E ,利用式（2-9），则可以得出H
xx rr H HR R =(2-10)
而总接收信号功率可表示为)(rr R tr 。
2.1.2SISO 信道容量对于确定的单输入单输出（SISO ）信道，由于1==N M ，信道矩阵1==h H ，信噪比大小为ρ，根据香农公式，该信道的归一化容量为：
)1(log 2ρ+=C （2-11)
该容量的取得一般情况下不会受到编码或者信号设计复杂性的限制，也就是说只要信噪比每增加3dB ，信道容量每秒每赫兹就会增加1比特。而实际情况下无线信道是时变的，会受到衰落的影响，如果用h 表示在观察时刻，单位功率的复高斯信道的幅度（h H =），信道容量可表示为：
)1(log 22h C ρ+=(2-12)
这是一个随机变量，其分布可以通过计算得到。由于受到衰落的影响，SISO 信道的容量的值都是比较小的。
2.1.3MIMO 信道容量
对于分别配有M 根发射天线和N 根接收天线的MIMO 系统信道，发送端在对传输信道的状态信息未知的情况下，若其信道幅度固定，则信道容量为：
??????+=)det(log min 2Q M I C ρ（2-13）
其中，min 表示M 和N 中较小的天线数；min I 为单位矩阵，det(.)表示矩阵“.”的行列式。矩阵Q 的定义为：
???≥<=M N HH M N H H Q H H （2-14）
若信道系数的幅度随机变化，MIMO 信道容量为一个随机的变量，其均值可表示为：
????????????+=)det(log E C 2Q M I r ρ（2-15）
其中，r 为信道矩阵H 的秩，),min(N M r ≤。矩阵Q 的定义同式（2-14），符号{.}E 表示数学期望。
2.2无线通信衰落特性
2.2.1无线信道传播特性
移动信道环境中，任意时间t 接收的瞬时复信号)(t r 可以表达为：
)
()()(t j e t t r ψα=(2-16)式中，)(t α代表接收信号)(t r 的包络；)(t ψ代表)(t r 的相位。接下来分别研究接收信
号的包络特性和相位特性。
瞬时衰落信号的包络)(t α由两个乘性分量)(t s α和)(t r α表达式为：)()()(t t t r s ααα=(2-17)
)(t s α代表慢衰落，)(t r α代表快衰落。慢衰落表示接收信号的长期变化，又称为长期衰落，它是由建筑物或自然界特征的阻塞效应引起的。快衰落或短期衰落对应于接收信号在空间的迅速扰动，是由移动用户附近的障碍物对信号的散射引起的。
瞬时衰落信号的相位)(t ψ由衰落过程的频域特性、时域特性和空域特性来描述，这些特性分别与多径信号的多普勒扩展、时延扩展和角度扩展有关。
?多普勒扩展(时间选择性衰落)
由于移动用户与基站的相对运动，每条多径波都会有一个明显的频率偏移。由运动引起的接收信号频率的偏移称为多普勒频移，用D f 表示，它与移动用户的运动速度成正比，其关系式为
θλνcos =D f （2-18）
式中，ν为移动台的移动速度，λ为无线电波的波长，θ为无线电波与移动台运动方向之间的夹角，即到达角。
多普勒扩展(Doppler spread )是一种由多普勒频移现象引起的衰落过程的频率扩散(frequency dispersion )，又称时间选择性衰落(time selective fading )。
?时延扩展(频率选择性衰落)
在多径传播环境下，由于传播路径的差异导致多径信号以不同的时间到达接收端，如果基站发射的是一个时间宽度极窄的脉冲信号，移动用户接收到的将是多个具有不同时延的脉冲信号的叠加，很明显的，接收信号的波形比原脉冲宽了。由于信号波形的展宽是由信道的时延引起的，所以称之为时延扩展。
时延扩展(Delay spread)是一种由多径现象引起的衰落过程的时间扩散(time dispersion )，又称频率选择性衰落(frequency selective fading )。
?角度扩展(空间选择性衰落)
接收端的角度扩展指的是多径信号到达天线阵列的到达角度的展宽。同样发射端的角度扩展指的是由多径的反射和散射引起的发射角展宽。在某些情况下，路径的到达角(或发射角)与路径时延是统计相关的。
角度扩展(Angle spread )给出接收信号主要能量的角度范围，产生空间选择性衰
落(space-selective fading )，意即信号幅值与天线的空间位置有关。
2.2.2三种经典的衰落分布
假设信道矩阵H 的元素表示为：
M q N p e r H pq j pq pq ,,1,,1,L L ===φ（2-19）
其中pq r 表示信道增益的幅度，而pq φ为相位。这里我们假设相位均为[]ππ,?内的均匀分布，而根据幅度分布的不同，我们则说信道服从不同的衰落分布，如瑞丽（Rayleigh ）衰落分布、赖斯（Rice ）衰落分布和Nakagami 衰落分布。
接收信号可由大量的平面波复合而成，此时的接收信号可认为广义平稳复高斯随机过程。因此，我们可以用该随机过程来对信道建模。设)Im()Re(pq pq pq H j H H +=，对于某些类型的散射环境，比如2D 全向散射，)Re(pq H 和)Im(pq H 是独立同分布的零均值高斯随机过程，方差均为?。这时，信道增益的幅度pq r 服从Rayleigh 分布，即
0,)(22≥?
=??x e x x p x r pq （2-20）
其中?是pq H 的每维方差，即?=2)|(|2pq H E 。某些类型的散射环境下接收信号还具有镜面(specular)或者直达(C line of sight )分量。这时，)Re(pq H 和)Im(pq H 都是方差均为?的高斯随机过程，但均值不为零，分别为)Re(A 和)Im(A 。pq H 的均值不为零，则其包络分布为Rice 分布
0()(02)
(22≥??=?+?x xA J e x x p A x r pq (2-21)
其中(.)0J 为0阶第一类修正Bessel 函数。信道增益的平均功率为?+=2)|(|22A H E pq 。Rice 衰落通常用于存在LOS 分量的信道模型当中，一般采用直达分量(LOS)与散射分量的功率之比作为Rice 分布的主要参数
2
2r A K =?(2-22)
上式中的r K 因子通常以dB 形式表示。当)(0dB K r ?∞=时，Rice 分布退化为Rayleigh 分布。
Nakagami 在20世纪40年代初引入了Nakagami 分布来表征长距离HF 信道中的快衰落。选择Nakagami 分布是为了符合经验数据，而目前已经证实Nakagami 分布对于一些实验数据的匹配比Rayleigh ，Rice 或者对数正态分布都要好。
如果pq r 的概率密度函数为下式，则称其服从Nakagami-m 分布
0,)()(2)(2
12≥?
Γ=???x e x m m x p x m m m f f r f f f pq （2-23）
其中}{2pq r E =?为信道增益幅度的平均功率。
"Nakagami-m ”中的m 是Nakagami 分布的参数，称为衰落数(fading figure)，上式中用f m 表示，它等于
21,])[(2222≥???=f pq f m r E m （2-24）
如果f m 是整数，则Nakagami 随机变量可通过f m 2个独立的实高斯随机变量的平方和求平方根所得。
Nakagami 分布覆盖了很多分布的情况21=f m 时，它是单边高斯分布;1=f m 时，它变成了Rayleigh 分布;当f m 趋于无穷时概率密度函数变成冲激函数，信道成为无衰落的静态信道。
3MIMO 系统信道容量分析
3.1平均功率分配的MIMO 信道容量
功率分配是指在满足一定的条件下，如何设计发射信号，可以使系统的容量达到理想状态的最大值。平均功率分配法就是功率分配法中的一种方式。
平均功率分配就是将发射功率平均的分配给每个信道。MIMO 信道的组合信道总容量小于等于每一个信道独立使用时的容量总和。当且仅当组合信道彼此正交时，其总的信道容量才会与每个信道独立使用时的容量总和相等。通过对信道冲激响应矩阵进行奇异值分解（SVD ），找出MIMO 信道中包含的正交SISO 信道组，此时MIMO 信道容量与正交SISO 信道组容量相等。当发射端未知信道状态信息（CSI ）是，平均功率分配方案是最优的方法。
MIMO 系统的信道容量为：
()[]{}22/det log δH Nr HPH I E C +=（3-1）而对于平均功率分配来说，N N I P P P diag P ==),...,,(21，因此平均功率分配时系统的信道容量为：
()[]{}22/det log δH Nr HH I E C +=，
（3-2）化简以后得到：
∑=+≈N n H Nr HH I N C 122)}/({log
1δ(3-3)
其中，N 为产生的信道矩阵数目，即用于仿真的次数。一般情况下，N 的值越大，仿真效果越好。
3.2MIMO 系统遍历信道容量
对于随机时变的MIMO 信道来说，信道容量的度量方式有两种，即遍历容量和中断容量。遍历容量也就是随机信道的时间平均容量，可以通过对大量信道实现所对应的信道容量求统计平均获得；中断容量是指信道的瞬时容量小于摸容量值的概率等于某一给定的终端概率P 中断时所对应的信道容量值C 中断，即：
中断中断P C C P r =<)(（3-4）
而MIMO 信道的遍历容量是将交互信息量对CSI 矩阵H 的元素的做统计平均。当MIMO 系统的每个子信道的信道衰减系数相互独立时，遍历容量比较接近于这个系统所能够提供的频谱效率。
当H 的各元素是独立循环对称的复高斯变量时，Telatar 推导出的信道容量为
()()[]γγγγγd L m n k k M E C e m n m n K m k S ???∞
?=∫∑?+??????+=2010!!1log (3-5)
其中，()()k m n k k n m x m
n K x dx d
x k x L e e +????=!1为拉革尔多项式的k 阶系数
{}{}γ,,max ,,min N M n N M m ==是+?H H 的正特征值。事实上，理论推导指出，MIMO 信道的遍历容量随着{}N M ,min 线性增长。整理得信道的随机容量为
?????????????????????+=H N C H M H I det log 2ρbit/（s·Hz）(3-6)
然后，我们将研究公式（3-6）中的随机容量的分布，均值和拖尾特性。通常来说，当基于独立同分布瑞丽平坦衰落模型的H 是一个无记忆信道时，我们能够计算容量的分布。通常来说，单输入单输出信道具有最低的容量，而具有2发射天线和2接收天线的多输入多输出信道具有最高的容量。
对于M N ≥的情形，我们可以得到以χ形式的随机变量表示的容量的下界
∑+?=???????+>N M N k N C k 11log 2χρ(3-7)
式中k χ是具有k 2个自由度的χ随机变量。具有2k 个自由度的χ随机变量的概率密度函数为
()[]0,!11>???=x k x k e x x f k χ(3-8)
对于M N =的特例，我们对公式（3-7）中的下界用N C 来表示
∑=???????+=N k k N C N 11log 2χρ(3-9)
这一结果说明，当N 很大时，作为N 的函数的C N 的下界，呈线性增长，并且意味着当具有相同的发射天线数与接收天线数时，多输入多输出信道的容量随天线数的增加呈线性增长。一般情况下，容量随发射天线和接收天线的最小值而增长。当信噪比高时，公式（3-6）中描述的以接收信噪比ρ表示的多输入多输出信道的容量，可以写成:{}(){}∑+?=+≈M N M N k k N M N C ,min 1log 2log 2,min χρ(3-10)
式中χk 是具有k 2个自由度的χ随机变量。因此，当信噪比较高时，信噪比每增加3dB 容量将增加min{N ，M}个比特。
一个具有两个自由度的χ随机变量与一个具有单位均值的指数随机变量相同，其分布如下：
()0,2>?=x e x x f α（3-11）
在这种情况下，容量可以为任何非负的数，所以它没有加性高斯信道容量的作用大。换句话说，对于任意一个我们想要发送的速率，其结果就是在现实的信道中，香农容量小于所要求的速率的概率始终是大于零的。
对于信道矩阵H 是由一个遍历过程所产生的，存在一个非零的容量。若码字通过无限多个信道矩阵H 的相互独立的实现，那么遍历容量是输入与输出之间的最大互信息。例如，若信道是一个无记忆信道，即信道的每一次使用都对应于信道矩阵H 的一个相互独立的实现，那么存在有遍历容量，且不为零。对于一个非遍历信道而言，其容量可能与最大互信息不同。再如，若信道矩阵H 是随机的，且在传输过程中能够保持不变，通常最大互信息并非容量。如下述定理给出了多输入多输出信道的遍历容量。
定理多输入多输出信道的遍历容量为：
?????????????????????????????+=H N E C H M H I det log 2γ(3-12)
证明首先，我们注意到已知接收机信道而发射机对信道未知。对输入与接收机的观察点（r ，H ）之间的互信息用I(C:(r,H ))来表示为
()()()()()()[]H H r C I E H r C I H r C I H C I H r C I ===+=::::,:(3-13)其中，对H 的分布来求期望。若信道是各相同性的，那么当输入满足N C I K =的循环对称复高斯随机变量时，其输入与输出的互信息能取得最大值。公式(3-12)中的遍历容量实际上是公式（3-6）中的容量的均值。
3.3MIMO 系统发射端已知的信道容量
信息的传输必须经过信道，在单位时间内信道上所能传输的最大信息量称为信道容量。我们认为MIMO 信道是确定性的恒定参数信道，即在信号的传送过程中，信道响应不会发生变化，但受到加性高斯噪声的干扰，在发送功率受限的情况下，接收端已知信道状态信息(CSI ，Channel State Information )，而发射端未知信道状态信息的情况下计算信道的容量。我们假定信道容量的分析模型为复数基带线性系统，发送端的天线数为M ，接收端的天线数为N ，每根发射天线的功率为M P ，每根接收天线的功率等于总的发射功率。且每根接收天线的噪声功率为2σ，信噪比为:
2/σρP =（3-14）
为了研究随机信道矩阵H 的信道容量特性，我们假定信道的实现是固定值，h H =。也就是说信道矩阵是固定值，并且接收机已知H 。可以证明，对一个给定的信道的实现，h H =，当输入的码字为循环对称复高斯分布时，其互信息可以取得最
大值。这里定义C K 为输入C 的协方差。
于是，信道容量定义为：输入的发射总功率为P，亦即()P K Tr C ≤，其中()C K Tr 是矩阵C K 的迹，输入与输出之间的最大互信息。基于我们的符号中的参数的限制条件，取决于相应的规约。对某一信道的实现而言，输入与输出之间的互信息为
()??????????????????????+==H K H N I H H r C I C H M ρdet log :2（3-15）
于是，容量就是在所有满足()P K Tr C ≤的输入中，得到的互信息的最大值，即：
()??????????????????????+=≤H K H N I K C C H M N Tr C ρdet log max 2（3-16）
单位bit/（Hz s ?），表示对于带宽为B 的系统，能够准确无误地通信的最大速率为CB bit/s 。
能够达到信道容量的高斯输入的最佳协方差矩阵取决于信道矩阵。在发射机端对信道未知的情况下（一个开环系统），假设在各发射天线上进行等输入功率分配。其结果就是协方差矩阵C K 是一个多维的单位阵。考虑限制条件()N K Tr C ≤，由N C I K =得到如下的互信息
?????????????????????+=H H N I C H M EP ρdet log 2bit/（s·Hz）（3-17）
式中下标“EP”表示“等功率”。对于不相关独立同分布瑞丽衰落信道而言，在不同天线间进行等功率分配是最优的。然而，当衰落为莱斯衰落时，与等功率分配方案相比，不等功率分配方案将得到一个较大的互信息。公式（3-17）中的容量可以根据矩阵H H H ?的正定特征值计算得到。在此定义r 为矩阵H H H ?的秩，并且r i i ,,2,1,L =λ为矩阵H H H ?的非零特征值。于是特征值r i i ,,2,1,L =λ为正实数，有
∑=????????????+=r i i EP N C 121log λγ(3-18)
当发射机已知信道容量时，这是一个闭环系统，发射天线之间的功率非均匀分布是有益的。应用公式（3-16），并且对H 进行奇异值分解，在这样一种情况下，信道容量为
[]121max log 1r i i r
i i i C γγλγ====+∑∑(3-19)
上述容量可用注水算法计算得到。根据每个子载波不同的信道情况来决定其不同的调制方案，在某一固定的发射功率下，将达到香农定理的信道容量的极限，这就是常说的“注水算法（water-filling ）”。公式（3-19）中的等功率分配，N i
γγ=，将
得到公式（3-18）。若发射机已知信道，公式（3-19）中的容量将超过C EP 。这是由两个因素所致：不同天线间不等功率分配，C K 的对角元素以及最优矩阵C K 中的相关性。已经证明因为注水所得到的增益是由于最优矩阵C K 中的相关性所致。对于一个发射天线和接收天线数相等的系统，由于最优的注水所致的容量增加在高信噪比时消失。
4MIMO 信道模型的仿真设计
通过前面章节对MIMO 系统信道容量的分析以及推导出的信道容量公式，利用MATLAB 进行仿真，等到MIMO 系统信噪比与信道容量的关系图。主要对MIMO 系统的遍历容量和在发射机已知信道状态的情况下的容量进行了仿真。
4.1MIMO 系统的遍历信道容量仿真
MIMO 信道的遍历信道容量是将交互信息量对CSI 矩阵H 的元素做统计平均，当MIMO 系统的各子信道的衰减系数相互独立时遍历容量比较接近这个系统能够提供的频谱效率，实际上遍历容量就是香农定理。
MIMO 系统遍历信道容量公式为：
???????????????????????+=H N C T H M H I det log 2γbit/（s·Hz）(4-1)
式中M ——为发射天线和接收天线M 和N 中的最小数；
M I ——M *M 阶的单位矩阵；
()?det ——矩阵行列式；
γ
为信噪比。
图4-1MIMO 系统的遍历容量
在瑞利衰落模型的假设下，发射天线和接收天线分别为1*1、2*2、4*4和6*6时，对MIMO 系统遍历信道容量迭代10000进行仿真而得出信道容量随信噪比变化的曲线如图4-1所示。